Kaip rasti lygiašonės trapecijos plotą. Trapecijos plotas: kaip apskaičiuoti, formulė

IR . Dabar galime pradėti svarstyti klausimą, kaip rasti trapecijos plotą. Ši užduotis kasdieniame gyvenime iškyla labai retai, tačiau kartais pasirodo, kad reikia, pavyzdžiui, rasti trapecijos formos kambario plotą, kuris vis dažniau naudojamas statant modernius butus, arba projektiniai renovacijos projektai.

Trapecija yra geometrinė figūra, sudarytas iš keturių susikertančių atkarpų, iš kurių dvi lygiagrečios viena kitai ir vadinamos trapecijos pagrindais. Kiti du segmentai vadinami trapecijos kraštinėmis. Be to, vėliau mums reikės kito apibrėžimo. Tai trapecijos vidurinė linija, kuri yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus ir trapecijos aukštį, kuris lygus atstumui tarp pagrindų.
Kaip ir trikampiai, trapecijos turi specialius tipus: lygiašonę (lygiašonę) trapeciją, kurios kraštinių ilgiai yra vienodi, ir stačiakampę trapeciją, kurioje viena iš kraštinių sudaro stačią kampą su pagrindais.

Trapecijos turi keletą įdomių savybių:

1. Trapecijos vidurio linija yra lygi pusei bazių sumos ir yra lygiagreti jiems.
   
2. Lygiašonėse trapecijose pusės o jų suformuoti kampai su pagrindais yra lygūs.
   
3. Trapecijos įstrižainių vidurio taškai ir jos įstrižainių susikirtimo taškai yra toje pačioje tiesėje.
   
4. Jei trapecijos kraštinių suma lygi pagrindų sumai, tai į ją galima įrašyti apskritimą
   
5. Jei kampų, kuriuos sudaro trapecijos kraštinės bet kuriame iš jos pagrindų, suma yra 90, tai atkarpos, jungiančios pagrindų vidurio taškus, ilgis yra lygus jų pusės skirtumui.
   
6. Lygiašonę trapeciją galima apibūdinti apskritimu. Ir atvirkščiai. Jei trapecija telpa į apskritimą, tada ji yra lygiašonė.
   
7. Atkarpa, einanti per lygiašonės trapecijos pagrindų vidurio taškus, bus statmena jos pagrindams ir žymi simetrijos ašį.
   

Kaip rasti trapecijos plotą.

Trapecijos plotas bus lygus pusei jos pagrindų sumos, padaugintos iš jos aukščio. Formulės formoje tai parašyta kaip išraiška:

kur S – trapecijos plotas, a, b – kiekvieno trapecijos pagrindo ilgis, h – trapecijos aukštis.

Šią formulę galite suprasti ir atsiminti taip. Kaip matyti iš paveikslo žemiau, trapecija naudojant vidurio linija gali būti paverstas stačiakampiu, kurio ilgis bus lygus pusei bazių sumos.

Taip pat galite išplėsti bet kurią trapeciją į daugiau paprastos figūros: stačiakampis ir vienas ar du trikampiai, o jei jums lengviau, tada raskite trapecijos plotą kaip ją sudarančių figūrų plotų sumą.

Yra dar viena paprasta formulė jo plotui apskaičiuoti. Pagal ją trapecijos plotas lygus jos vidurio linijos sandaugai iš trapecijos aukščio ir rašomas tokia forma: S = m*h, kur S yra plotas, m yra trapecijos ilgis. vidurio linija, h yra trapecijos aukštis. Ši formulė labiau tinka matematikos, o ne kasdieniams uždaviniams, nes realiomis sąlygomis be išankstinių skaičiavimų nesužinosite vidurio linijos ilgio. O jūs žinosite tik pagrindų ir šonų ilgius.

Tokiu atveju trapecijos plotą galima rasti naudojant formulę:

S = ((a+b)/2)*√c 2-((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

kur S – plotas, a, b – pagrindai, c, d – trapecijos kraštinės.

Yra keletas kitų būdų, kaip rasti trapecijos plotą. Tačiau jie yra tokie pat nepatogūs, kaip ir paskutinė formulė, o tai reiškia, kad nėra prasmės prie jų galvoti. Todėl rekomenduojame naudoti pirmąją formulę iš straipsnio ir linkime, kad visada gautumėte tikslius rezultatus.

Daugiapusė trapecija... Ji gali būti savavališka, lygiašonė arba stačiakampė. Ir kiekvienu atveju turite žinoti, kaip rasti trapecijos plotą. Žinoma, lengviausias būdas yra prisiminti pagrindines formules. Tačiau kartais lengviau naudoti tokį, kuris gaunamas atsižvelgiant į visas konkrečios geometrinės figūros ypatybes.

Keletas žodžių apie trapeciją ir jos elementus

Bet kuris keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, gali būti vadinamas trapecija. Apskritai jie nėra lygūs ir vadinami bazėmis. Didesnis yra apatinis, o kitas - viršutinis.

Kitos dvi pusės pasirodo esančios šoninės. Savavališkoje trapecijoje jie turi skirtingą ilgį. Jei jie yra lygūs, tada figūra tampa lygiašone.

Jei staiga kampas tarp bet kurios pusės ir pagrindo yra lygus 90 laipsnių, tada trapecija yra stačiakampė.

Visos šios savybės gali padėti išspręsti problemą, kaip rasti trapecijos plotą.

Tarp figūros elementų, kurie gali būti būtini sprendžiant problemas, galime išskirti šiuos dalykus:

• aukštis, tai yra atkarpa, statmena abiem pagrindams;
• vidurinė linija, kurios galuose yra šoninių kraštinių vidurio taškai.

Kokia formule galima apskaičiuoti plotą, jei žinomas pagrindas ir aukštis?

Ši išraiška pateikiama kaip pagrindinė, nes dažniausiai šiuos dydžius galima atpažinti net tada, kai jie nėra aiškiai nurodyti. Taigi, norėdami suprasti, kaip rasti trapecijos plotą, turėsite pridėti abu pagrindus ir padalyti juos iš dviejų. Tada gautą vertę padauginkite iš aukščio vertės.

Jei bazes pažymėsime 1 ir 2, o aukštį n, tada ploto formulė atrodys taip:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

Formulė, apskaičiuojanti plotą, jei nurodytas jo aukštis ir vidurio linija

Jei atidžiai pažvelgsite į ankstesnę formulę, nesunku pastebėti, kad joje aiškiai nurodyta vidurio linijos reikšmė. Būtent bazių suma padalinta iš dviejų. Tegul vidurinė linija žymima raide l, tada ploto formulė tampa:

S = l * n.

Gebėjimas rasti plotą naudojant įstrižaines

Šis metodas padės, jei žinomas jų suformuotas kampas. Tarkime, kad įstrižainės pažymėtos raidėmis d 1 ir d 2, o kampai tarp jų yra α ir β. Tada formulė, kaip rasti trapecijos plotą, bus parašyta taip:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

Šioje išraiškoje α galite lengvai pakeisti β. Rezultatas nepasikeis.

Kaip sužinoti plotą, jei žinomos visos figūros pusės?

Taip pat yra situacijų, kai tiksliai žinomos šios figūros pusės. Ši formulė yra sudėtinga ir sunkiai įsimenama. Bet tikriausiai. Tegul šonuose yra žymėjimas: a 1 ir a 2, pagrindas a 1 yra didesnis nei a 2. Tada ploto formulė bus tokia:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + 1 2 - 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).

Lygiašonės trapecijos ploto apskaičiavimo metodai

Pirmasis yra dėl to, kad jame galima įrašyti apskritimą. Ir žinodami jo spindulį (jis žymimas raide r), taip pat kampą prie pagrindo - γ, galite naudoti šią formulę:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Paskutinė bendroji formulė, pagrįsta žiniomis apie visas figūros puses, bus žymiai supaprastinta dėl to, kad pusės turi tą pačią reikšmę:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (in 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Stačiakampės trapecijos ploto apskaičiavimo metodai

Akivaizdu, kad bet kuri iš aukščiau paminėtų dalykų tinka bet kuriai figūrai. Tačiau kartais pravartu žinoti vieną tokios trapecijos ypatybę. Tai slypi tame, kad skirtumas tarp įstrižainių ilgių kvadratų yra lygus skirtumui, sudarytam iš pagrindų kvadratų.

Dažnai pamirštamos trapecijos formulės, o stačiakampio ir trikampio plotų išraiškos prisimenamos. Tada galite naudoti paprastą metodą. Padalinkite trapeciją į dvi formas, jei ji yra stačiakampė, arba į tris. Vienas tikrai bus stačiakampis, o antrasis arba likę du – trikampiai. Suskaičiavus šių skaičių plotus, belieka juos susumuoti.

Tai gana paprastas būdas rasti stačiakampės trapecijos plotą.

O jei žinomos trapecijos viršūnių koordinatės?

Tokiu atveju turėsite naudoti išraišką, leidžiančią nustatyti atstumą tarp taškų. Jis gali būti taikomas tris kartus: norint sužinoti ir pagrindus, ir vieną aukštį. Ir tada tiesiog pritaikykite pirmąją formulę, kuri aprašyta šiek tiek aukščiau.

Norėdami iliustruoti šį metodą, galima pateikti tokį pavyzdį. Duotos viršūnės su koordinatėmis A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Turite išsiaiškinti figūros plotą.

Prieš surasdami trapecijos plotą, iš koordinačių turite apskaičiuoti pagrindų ilgius. Jums reikės šios formulės:

atkarpos ilgis = √((taškų pirmųjų koordinačių skirtumas) 2 + (antrųjų taškų koordinačių skirtumas) 2 ).

Viršutinė bazė žymima AB, o tai reiškia, kad jos ilgis bus lygus √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Apatinė yra CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Dabar reikia nubrėžti aukštį nuo viršaus iki pagrindo. Tegul jos pradžia yra taške A. Atkarpos pabaiga bus apatiniame pagrinde taške su koordinatėmis (5; 1), tebūnie tai taškas H. Atkarpos AN ilgis bus lygus √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Belieka gautas reikšmes pakeisti trapecijos ploto formule:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problema buvo išspręsta be matavimo vienetų, nes nebuvo nurodyta koordinačių tinklelio skalė. Tai gali būti milimetras arba metras.

Pavyzdinės problemos

Nr 1. Būklė.Žinomas kampas tarp savavališkos trapecijos įstrižainių, jis lygus 30 laipsnių. Mažesnė įstrižainė yra 3 dm, o antroji yra 2 kartus didesnė. Būtina apskaičiuoti trapecijos plotą.

Sprendimas. Pirmiausia reikia išsiaiškinti antrosios įstrižainės ilgį, nes be to atsakymo apskaičiuoti nepavyks. Suskaičiuoti nesunku, 3 * 2 = 6 (dm).

Dabar reikia naudoti atitinkamą ploto formulę:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Problema išspręsta.

Atsakymas: Trapecijos plotas 4,5 dm2.

Nr 2. Būklė. Trapecijos ABCD pagrindai yra atkarpos AD ir BC. Taškas E yra SD pusės vidurys. Iš jos nubrėžta statmena tiesei AB, kurios galas žymimas raide H. Žinoma, kad AB ir EH ilgiai yra atitinkamai lygūs 5 ir 4 cm. Reikia apskaičiuoti plotą trapecija.

Sprendimas. Pirmiausia reikia padaryti piešinį. Kadangi statmena vertė mažesnė pusė, prie kurio jis nupieštas, tada trapecija bus šiek tiek pailgėjusi į viršų. Taigi EH bus figūros viduje.

Norėdami aiškiai matyti problemos sprendimo eigą, turėsite atlikti papildomą statybą. Būtent, nubrėžkite tiesią liniją, kuri bus lygiagreti kraštinei AB. Šios tiesės susikirtimo su AD taškai yra P, o su BC tęsiniu yra X. Gauta figūra VHRA yra lygiagretainis. Be to, jo plotas lygus reikiamam. Taip yra dėl to, kad trikampiai, gauti atliekant papildomą statybą, yra lygūs. Tai išplaukia iš šono lygybės ir dviejų šalia jos esančių kampų, kurių vienas yra vertikalus, kitas - skersai.

Lygiagretainio plotą galite rasti naudodami formulę, kurioje yra kraštinės sandauga ir į ją nuleistas aukštis.

Taigi trapecijos plotas yra 5 * 4 = 20 cm 2.

Atsakymas: S = 20 cm 2.

Nr 3. Būklė. Lygiašonės trapecijos elementai turi šias reikšmes: apatinis pagrindas - 14 cm, viršutinis pagrindas - 4 cm, aštrus kampas- 45º. Reikia apskaičiuoti jo plotą.

Sprendimas. Tegul mažesnis pagrindas yra pažymėtas BC. Iš taško B nubrėžtas aukštis bus vadinamas VH. Kadangi kampas yra 45º, trikampis ABH bus stačiakampis ir lygiašonis. Taigi AN = VN. Be to, AN labai lengva rasti. Jis lygus pusei bazių skirtumo. Tai yra (14–4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Pagrindai žinomi, aukščiai paskaičiuoti. Galite naudoti pirmąją formulę, kuri čia buvo aptarta savavališkai trapecijai.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Atsakymas: Reikalingas plotas yra 45 cm2.

Nr 4. Būklė. Yra savavališka trapecija ABCD. Taškai O ir E paimti iš jo šoninių kraštinių, kad OE būtų lygiagreti AD pagrindui. AOED trapecijos plotas yra penkis kartus didesnis nei OVSE. Apskaičiuokite OE reikšmę, jei žinomi bazių ilgiai.

Sprendimas. Jums reikės nubrėžti dvi lygiagrečias tieses AB: pirmąją per tašką C, jos susikirtimą su OE - tašku T; antrasis per E ir susikirtimo su AD taškas bus M.

Tegul nežinomas OE=x. Mažesnės trapecijos OVSE aukštis yra n 1, didesnės AOED yra n 2.

Kadangi šių dviejų trapecijų plotai yra susiję nuo 1 iki 5, galime parašyti tokią lygybę:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Trikampių aukščiai ir kraštinės yra proporcingi konstrukcijai. Todėl galime parašyti dar vieną lygybę:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​1 - x).

Paskutiniuose dviejuose įrašuose kairėje pusėje yra vienodos reikšmės, o tai reiškia, kad galime parašyti, kad (x + a 1) / (5(x + a 2)) yra lygus (x - a 2) / (a ​​​1-x).

Čia reikia atlikti daugybę transformacijų. Pirmiausia padauginkite skersai. Atsiras skliaustai, rodantys kvadratų skirtumą, pritaikę šią formulę gausite trumpą lygtį.

Jame reikia atidaryti skliaustus ir perkelti visus terminus su nežinomu „x“ į kairė pusė, tada paimkite kvadratinę šaknį.

Atsakymas: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

Praėjusių metų Vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino praktika rodo, kad geometrijos problemos daugeliui moksleivių kelia sunkumų. Su jais nesunkiai susidorosite, jei įsiminsite visas reikalingas formules ir pasimokysite spręsti problemas.

Šiame straipsnyje pamatysite formules, kaip rasti trapecijos plotą, taip pat problemų su sprendimų pavyzdžius. Su tais pačiais KIM galite susidurti per sertifikavimo egzaminus arba olimpiadose. Todėl elkitės su jais atsargiai.

Ką reikia žinoti apie trapeciją?

Pirmiausia prisiminkime tai trapecijos formos vadinamas keturkampiu, kurio dvi priešingos kraštinės, dar vadinamos bazėmis, yra lygiagrečios, o kitos dvi – ne.

Trapecijoje aukštis (statmenai pagrindui) taip pat gali būti sumažintas. Nubrėžta vidurinė linija - tai tiesi linija, lygiagreti pagrindams ir lygi pusei jų sumos. Taip pat įstrižainės, kurios gali susikirsti, sudarydamos smailius ir bukus kampus. Arba kai kuriais atvejais stačiu kampu. Be to, jei trapecija lygiašonė, į ją galima įrašyti apskritimą. Ir apibūdinkite ratą aplink jį.

Trapecijos plotų formulės

Pirmiausia pažvelkime į standartines trapecijos ploto nustatymo formules. Toliau apsvarstysime būdus, kaip apskaičiuoti lygiašonių ir kreivių trapecijos plotą.

Taigi įsivaizduokite, kad turite trapeciją su pagrindais a ir b, kurios aukštis h nuleistas į didesnį pagrindą. Apskaičiuoti figūros plotą šiuo atveju taip pat lengva, kaip kriaušių lukštenimą. Jums tereikia padalyti pagrindų ilgių sumą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš aukščio: S = 1/2(a + b)*h.

Paimkime kitą atvejį: tarkime, kad trapecijoje, be aukščio, yra vidurinė linija m. Žinome vidurio linijos ilgio nustatymo formulę: m = 1/2(a + b). Todėl mes galime pagrįstai supaprastinti trapecijos ploto formulę iki tokio tipo: S = m*h. Kitaip tariant, norėdami rasti trapecijos plotą, turite padauginti vidurio liniją iš aukščio.

Panagrinėkime kitą variantą: trapecijoje yra įstrižainės d 1 ir d 2, kurios nesikerta stačiu kampu α. Norėdami apskaičiuoti tokios trapecijos plotą, turite padalyti įstrižainių sandaugą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš kampo tarp jų nuodėmės: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Dabar apsvarstykite trapecijos ploto nustatymo formulę, jei apie ją nieko nežinoma, išskyrus visų jos kraštinių ilgius: a, b, c ir d. Tai sudėtinga ir sudėtinga formulė, tačiau jums bus naudinga ją prisiminti bet kuriuo atveju: S = 1/2 (a + b) * √c 2 – ((1/2 (b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Beje, aukščiau pateikti pavyzdžiai tinka ir tuo atveju, kai reikia stačiakampės trapecijos ploto formulės. Tai trapecija, kurios šonas stačiu kampu ribojasi su pagrindais.

Lygiašonė trapecija

Trapecija, kurios kraštinės lygios, vadinama lygiašone. Apsvarstysime keletą lygiašonės trapecijos ploto formulės variantų.

Pirmas variantas: tuo atveju, kai apskritimas, kurio spindulys r, yra įrašytas lygiašonės trapecijos viduje, o kraštinė ir didesnis pagrindas sudaro smailią kampą α. Į trapeciją galima įrašyti apskritimą, jei jo pagrindų ilgių suma yra lygi kraštinių ilgių sumai.

Lygiašonės trapecijos plotas apskaičiuojamas taip: įbrėžto apskritimo spindulio kvadratą padauginkite iš keturių ir viską padalinkite iš sinα: S = 4r 2 /sinα. Kita ploto formulė yra specialus atvejis, kai kampas tarp didelio pagrindo ir šono yra 30 0: S = 8r2.

Antras variantas: šį kartą imame lygiašonę trapeciją, kurioje papildomai nubrėžtos įstrižainės d 1 ir d 2 bei aukštis h. Jei trapecijos įstrižainės yra viena kitai statmenos, aukštis yra pusė pagrindų sumos: h = 1/2(a + b). Tai žinant, jums jau žinomą trapecijos ploto formulę nesunku paversti šia forma: S = h 2.

Išlenktos trapecijos ploto formulė

Pradėkime nuo to, kad išsiaiškinkime, kas yra išlenkta trapecija. Įsivaizduokite koordinačių ašį ir ištisinės ir neneigiamos funkcijos f, kuri nekeičia ženklo x ašies atkarpoje, koordinačių ašį. Kreivinę trapeciją sudaro funkcijos y = f(x) grafikas - viršuje, x ašis yra apačioje (segmentas), o šonuose - tiesios linijos, nubrėžtos tarp taškų a ir b ir grafikas funkcija.

Neįmanoma apskaičiuoti tokios nestandartinės figūros ploto aukščiau pateiktais metodais. Čia reikia taikyti matematinę analizę ir naudoti integralą. Būtent: Niutono-Leibnizo formulė - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Šioje formulėje F yra mūsų funkcijos pasirinktame segmente antidarinys. O kreivinės trapecijos plotas atitinka tam tikro segmento antidarinio prieaugį.

Pavyzdinės problemos

Kad visos šios formulės būtų lengviau suprantamos jūsų galvoje, pateikiame keletą problemų, susijusių su trapecijos ploto paieška. Geriausia bus, jei iš pradžių problemas bandysite išspręsti patys, o tik tada gautą atsakymą palyginsite su jau paruoštu sprendimu.

1 užduotis: Duota trapecija. Jo didesnis pagrindas 11 cm, mažesnis 4 cm. Trapecija turi įstrižaines, viena 12 cm ilgio, antra 9 cm.

Sprendimas: Sukurkite trapeciją AMRS. Per viršūnę P nubrėžkite tiesę РХ taip, kad ji būtų lygiagreti įstrižai MC ir kerta tiesę AC taške X. Gausite trikampį APХ.

Apsvarstysime dvi figūras, gautas atlikus šias manipuliacijas: trikampį APX ir lygiagretainį CMRX.

Lygiagretainio dėka sužinome, kad PX = MC = 12 cm ir CX = MR = 4 cm. Iš kur galime apskaičiuoti trikampio ARX kraštinę AX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Taip pat galime įrodyti, kad trikampis APX yra stačiakampis (tam taikykite Pitagoro teoremą – AX 2 = AP 2 + PX 2). Ir apskaičiuokite jo plotą: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.

Tada turėsite įrodyti, kad trikampiai AMP ir PCX yra vienodi. Pagrindas bus šalių MR ir CX lygybė (jau įrodyta aukščiau). Taip pat aukščiai, kuriuos nuleidžiate šiose pusėse – jie lygūs AMRS trapecijos aukščiui.

Visa tai leis jums pasakyti, kad S AMPC = S APX = 54 cm 2.

2 užduotis: Pateikta trapecija KRMS. Jo šoninėse pusėse yra taškai O ir E, o OE ir KS yra lygiagrečiai. Taip pat žinoma, kad trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5. RM = a ir KS = b. Turite rasti OE.

Sprendimas: Nubrėžkite tiesę, lygiagrečią RK per tašką M, o jos susikirtimo su OE tašką pažymėkite kaip T. A yra per tašką E nubrėžtos linijos, lygiagrečios RK, susikirtimo taškas su pagrindu KS.

Įveskime dar vieną žymėjimą – OE = x. Taip pat aukštis h 1 trikampiui TME ir aukštis h 2 trikampiui AEC (galite savarankiškai įrodyti šių trikampių panašumą).

Darysime prielaidą, kad b > a. Trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5, o tai suteikia teisę sudaryti tokią lygtį: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformuokime ir gausime: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Kadangi trikampiai TME ir AEC yra panašūs, turime h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Sujungkime abu įrašus ir gaukime: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Taigi OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Išvada

Geometrija nėra pats lengviausias mokslas, bet jūs tikrai galite susidoroti su egzamino klausimais. Pakanka parodyti šiek tiek atkaklumo ruošiantis. Ir, žinoma, atsiminkite visas reikalingas formules.

Visas trapecijos ploto skaičiavimo formules stengėmės surinkti į vieną vietą, kad galėtumėte jas panaudoti ruošdamiesi egzaminams ir peržiūrėdami medžiagą.

Būtinai pasakykite apie šį straipsnį savo klasės draugams ir draugams. socialiniuose tinkluose. Tegul vieningo valstybinio egzamino ir valstybinių egzaminų gerų pažymių būna daugiau!

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Trapecijos plotas. Sveikinimai! Šiame leidinyje apžvelgsime šią formulę. Kodėl ji yra būtent tokia ir kaip ją suprasti. Jei yra supratimo, tada to mokyti nereikia. Jei norite tiesiog pažvelgti į šią formulę ir skubiai, galite nedelsdami slinkti puslapiu žemyn))

Dabar išsamiai ir tvarkingai.

Trapecija yra keturkampis, dvi šio keturkampio kraštinės lygiagrečios, kitos dvi – ne. Tie, kurie nėra lygiagretūs, yra trapecijos pagrindai. Kiti du vadinami šonais.

Jei kraštinės lygios, tada trapecija vadinama lygiašone. Jei viena iš kraštinių yra statmena pagrindams, tada tokia trapecija vadinama stačiakampe.

Klasikine forma trapecija pavaizduota taip - didesnis pagrindas yra apačioje, mažesnis - viršuje. Tačiau niekas nedraudžia jos vaizduoti ir atvirkščiai. Štai eskizai:

Kita svarbi koncepcija.

Trapecijos vidurio linija yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus. Vidurinė linija lygiagreti trapecijos pagrindams ir lygi jų pusei.

Dabar pasigilinkime giliau. Kodėl taip yra?

Apsvarstykite trapeciją su pagrindais a ir b ir su vidurine linija l, ir atlikite keletą papildomų konstrukcijų: per pamatus nubrėžkite tiesias linijas, o per vidurinės linijos galus - statmenas, kol jos susikirs su pagrindais:

* Viršūnių ir kitų taškų raidžių žymėjimai nėra įtraukti sąmoningai, kad būtų išvengta nereikalingų žymėjimų.

Žiūrėkite, 1 ir 2 trikampiai yra lygūs pagal antrąjį trikampių lygybės ženklą, 3 ir 4 trikampiai yra vienodi. Iš trikampių lygybės išplaukia elementų lygybė, būtent kojos (jos pažymėtos atitinkamai mėlyna ir raudona spalva).

Dabar dėmesio! Jei mintyse „nukirpsime“ mėlyną ir raudoną segmentus nuo apatinio pagrindo, tada mums liks segmentas (tai yra stačiakampio kraštinė), lygus vidurinei linijai. Toliau, jei iškirptus mėlynus ir raudonus segmentus „priklijuosime“ prie viršutinio trapecijos pagrindo, taip pat gausime atkarpą (tai taip pat yra stačiakampio kraštinė), lygią trapecijos vidurio linijai.

Supratau? Pasirodo, pagrindų suma bus lygi dviem vidurinėms trapecijos linijoms:

Peržiūrėkite kitą paaiškinimą

Darykime taip – ​​nutieskite tiesią liniją, einančią per apatinį trapecijos pagrindą, ir tiesę, kuri eis per taškus A ir B:

Mes gauname trikampius 1 ir 2, jie yra lygūs išilgai šoninių ir gretimų kampų (antrasis trikampių lygybės ženklas). Tai reiškia, kad gautas segmentas (eskize jis pažymėtas mėlyna spalva) yra lygus viršutinei trapecijos pagrindui.

Dabar apsvarstykite trikampį:

*Šios trapecijos vidurio linija ir trikampio vidurio linija sutampa.

Yra žinoma, kad trikampis yra lygus pusei jam lygiagrečios bazės, tai yra:

Gerai, mes tai išsiaiškinome. Dabar apie trapecijos plotą.

Trapecijos ploto formulė:

Jie sako: trapecijos plotas yra lygus pusės jos pagrindų ir aukščio sumos sandaugai.

Tai yra, paaiškėja, kad jis yra lygus vidurio linijos ir aukščio sandaugai:

Tikriausiai jau pastebėjote, kad tai akivaizdu. Geometriškai tai galima išreikšti taip: jei mintyse nupjausime 2 ir 4 trikampius nuo trapecijos ir atitinkamai pastatysime ant 1 ir 3 trikampių:

Tada gauname stačiakampį plote lygus plotui mūsų trapecija. Šio stačiakampio plotas bus lygus vidurio linijos ir aukščio sandaugai, tai yra, galime parašyti:

Bet esmė čia, žinoma, ne raštu, o supratimu.

Atsisiųskite (peržiūrėkite) straipsnio medžiagą *pdf formatu

Tai viskas. Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras.