Trupmenų palyginimas nesukuriant bendro vardiklio. Trupmenų lyginimas: taisyklės, pavyzdžiai, sprendiniai

Dvi nelygios trupmenos toliau lyginamos, siekiant išsiaiškinti, kuri trupmena didesnė, o kuri mažesnė. Norėdami palyginti dvi trupmenas, yra trupmenų palyginimo taisyklė, kurią suformuluosime toliau, taip pat analizuosime šios taisyklės taikymo pavyzdžius lyginant trupmenas su tomis pačiomis ir skirtingus vardiklius. Galiausiai parodysime, kaip palyginti trupmenas su identiški skaitikliai, nesukeliant jų į bendrą vardiklį, taip pat pagalvokite, kaip palyginti paprastąją trupmeną su natūraliuoju skaičiumi.

Puslapio naršymas.

Lyginant trupmenas su tais pačiais vardikliais

Lyginant trupmenas su tie patys vardikliai iš esmės yra identiškų akcijų skaičiaus palyginimas. Pavyzdžiui, bendroji trupmena 3/7 lemia 3 dalis 1/7, o trupmena 8/7 atitinka 8 dalis 1/7, todėl lyginant trupmenas su tais pačiais vardikliais 3/7 ir 8/7, reikia lyginti skaičius. 3 ir 8, tai yra, palyginti skaitiklius.

Iš šių samprotavimų išplaukia Taisyklė lyginant trupmenas su panašiais vardikliais: iš dviejų trupmenų, kurių vardikliai yra vienodi, tuo didesnė yra trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis, ir kuo mažesnė yra trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis.

Nurodytoje taisyklėje paaiškinama, kaip palyginti trupmenas su tais pačiais vardikliais. Pažvelkime į trupmenų palyginimo su panašiais vardikliais taisyklės taikymo pavyzdį.

Pavyzdys.

Kuri trupmena didesnė: 65/126 ar 87/126?

Sprendimas.

Palyginamų paprastųjų trupmenų vardikliai yra lygūs, o trupmenos 87/126 skaitiklis 87 yra didesnis nei trupmenos 65/126 skaitiklis 65 (jei reikia, žr. natūraliųjų skaičių palyginimą). Todėl pagal trupmenų su tais pačiais vardikliais palyginimo taisyklę trupmena 87/126 yra didesnė už trupmeną 65/126.

Atsakymas:

Skirtingais vardikliais turinčių trupmenų palyginimas

Skirtingais vardikliais turinčių trupmenų palyginimas gali būti sumažintas iki trupmenų su tais pačiais vardikliais palyginimo. Norėdami tai padaryti, jums tereikia suvesti palygintas paprastas trupmenas į bendrą vardiklį.

Taigi, norint palyginti dvi trupmenas su skirtingais vardikliais, jums reikia

• sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio;
• Palyginkite gautas trupmenas su tais pačiais vardikliais.

Pažvelkime į pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Palyginkite trupmeną 5/12 su trupmena 9/16.

Sprendimas.

Pirmiausia suveskime šias trupmenas su skirtingais vardikliais į bendrą vardiklį (žr. trupmenų suvedimo į bendrą vardiklį taisyklę ir pavyzdžius). Kaip bendrą vardiklį imame mažiausią bendrą vardiklį, lygų LCM(12, 16)=48. Tada trupmenos 5/12 papildomas koeficientas bus skaičius 48:12=4, o trupmenos 9/16 papildomas koeficientas bus skaičius 48:16=3. Mes gauname Ir .

Palyginę gautas trupmenas, turime . Todėl trupmena 5/12 yra mažesnė nei trupmena 9/16. Tai užbaigia trupmenų su skirtingais vardikliais palyginimą.

Atsakymas:

Paimkime dar vieną būdą palyginti trupmenas su skirtingais vardikliais, kuri leis palyginti trupmenas nesumažinant jų iki bendro vardiklio ir visų su šiuo procesu susijusių sunkumų.

Norint palyginti trupmenas a/b ir c/d, jas galima sumažinti iki bendro vardiklio b·d, lygaus lyginamų trupmenų vardikų sandaugai. Šiuo atveju papildomi trupmenų a/b ir c/d veiksniai yra atitinkamai skaičiai d ir b, o pradinės trupmenos redukuojamos į trupmenas, kurių bendras vardiklis b·d. Prisimindami taisyklę, kaip lyginti trupmenas su tais pačiais vardikliais, darome išvadą, kad pradinių trupmenų a/b ir c/d palyginimas buvo sumažintas iki sandaugų a·d ir c·b palyginimo.

Tai reiškia, kad Taisyklė lyginant trupmenas su skirtingais vardikliais: jei a d>b c , tai , o jei a d

Pažiūrėkime, kaip tokiu būdu palyginti trupmenas su skirtingais vardikliais.

Pavyzdys.

Palyginkite bendrąsias trupmenas 5/18 ir 23/86.

Sprendimas.

Šiame pavyzdyje a=5, b=18, c=23 ir d=86. Apskaičiuokime sandaugas a·d ir b·c. Turime a·d=5·86=430 ir b·c=18·23=414. Kadangi 430>414, tada trupmena 5/18 yra didesnė už trupmeną 23/86.

Atsakymas:

Lyginant trupmenas su tais pačiais skaitikliais

Trupmenas su tais pačiais skaitikliais ir skirtingais vardikliais tikrai galima palyginti, taikant ankstesnėje pastraipoje aptartas taisykles. Tačiau tokių trupmenų palyginimo rezultatą galima nesunkiai gauti palyginus šių trupmenų vardiklius.

Yra toks dalykas Taisyklė lyginant trupmenas su tais pačiais skaitikliais: iš dviejų trupmenų su tais pačiais skaitikliais ta, kurios vardiklis mažesnis, yra didesnis, o trupmena su didesniu vardikliu yra mažesnė.

Pažvelkime į sprendimo pavyzdį.

Pavyzdys.

Palyginkite trupmenas 54/19 ir 54/31.

Sprendimas.

Kadangi lyginamų trupmenų skaitikliai yra lygūs, o trupmenos 54/19 vardiklis 19 yra mažesnis už trupmenos 54/31 vardiklį 31, tai 54/19 yra didesnis nei 54/31.

Šioje pamokoje išmoksime palyginti trupmenas tarpusavyje. Tai labai naudingas įgūdis, reikalingas sprendžiant visą klasę sudėtingesnių problemų.

Pirmiausia leiskite jums priminti trupmenų lygybės apibrėžimą:

Laikoma, kad trupmenos a /b ir c /d yra lygios, jei ad = bc.

1. 5/8 = 15/24, nes 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, nes 3 18 = 2 27 = 54.

Visais kitais atvejais trupmenos yra nelygios ir joms teisingas vienas iš šių teiginių:

1. Dalis a/b yra didesnė už trupmeną c/d;
2. Dalis a /b yra mažesnė nei trupmena c /d.

Laikoma, kad trupmena a /b yra didesnė už trupmeną c /d, jei a /b − c /d > 0.

Laikoma, kad trupmena x /y yra mažesnė už trupmeną s /t, jei x /y − s /t< 0.

Pavadinimas:

Taigi, lyginant trupmenas, jas reikia atimti. Klausimas: kaip nesusipainioti su užrašais „daugiau nei“ (>) ir „mažiau nei“ (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. Išsiplėtusi žandikaulių dalis visada nukreipta į didesnį skaičių;
2. Aštri žandikaulių nosis visada rodo mažesnį skaičių.

Dažnai uždaviniuose, kai reikia palyginti skaičius, tarp jų dedamas ženklas „∨“. Tai aušra nuleista nosimi, o tai tarsi sufleruoja: didesnis skaičius dar nenustatytas.

Užduotis. Palyginkite skaičius:

Vadovaudamiesi apibrėžimu, atimkite trupmenas vieną iš kitos:

Kiekviename palyginime mes turėjome sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio. Tiksliau, naudojant kryžminį metodą ir surasti mažiausią bendrą kartotinį. Sąmoningai nekreipiau dėmesio į šiuos dalykus, bet jei kažkas neaišku, pažiūrėkite į pamoką „Trupmenų pridėjimas ir atėmimas“ - tai labai paprasta.

Dešimtainių skaičių palyginimas

Kalbant apie dešimtaines trupmenas, viskas yra daug paprasčiau. Čia nereikia nieko atimti – tiesiog palyginkite skaitmenis. Pravartu atsiminti, kokia yra reikšmingoji skaičiaus dalis. Tiems, kurie pamiršo, siūlau pakartoti pamoką „Dešimtainių skaičių dauginimas ir padalijimas“ - tai taip pat užtruks vos porą minučių.

Teigiamas dešimtainis X yra didesnis nei teigiamas dešimtainis Y, jei jame yra po kablelio, kad:

1. Šioje trupmenos X vietoje esantis skaitmuo yra didesnis už atitinkamą skaitmenį trupmenoje Y;
2. Visi X ir Y trupmenų skaitmenys, didesni už tai, yra vienodi.

1. 12.25 > 12.16. Pirmieji du skaitmenys yra vienodi (12 = 12), o trečiasis yra didesnis (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Kitaip tariant, einame po kablelio tikslumu ir ieškome skirtumo. Šiuo atveju didesnis skaičius atitinka didesnę trupmeną.

Tačiau šį apibrėžimą reikia paaiškinti. Pavyzdžiui, kaip rašyti ir lyginti dešimtainius skaičius? Atminkite: bet koks skaičius, parašytas dešimtaine forma, kairėje gali turėti bet kokį skaičių nulių. Štai dar pora pavyzdžių:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (mes kalbame apie apie aukštąjį rangą).
2. 2300,5 > 0,0025, nes 0,0025 = 0000,0025 – kairėje buvo pridėti trys nuliai. Dabar matote, kad skirtumas prasideda pirmuoju skaitmeniu: 2 > 0.

Žinoma, pateiktuose pavyzdžiuose su nuliais buvo akivaizdus perteklius, tačiau esmė yra būtent tokia: užpildykite trūkstamus bitus kairėje, o tada palyginkite.

Užduotis. Palyginkite trupmenas:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Pagal apibrėžimą turime:

1. 0,029 > 0,007. Pirmieji du skaitmenys sutampa (00 = 00), tada prasideda skirtumas (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Čia reikia atidžiai suskaičiuoti nulius. Pirmieji 5 skaitmenys abiejose trupmenose yra lygūs nuliui, bet tada pirmoje trupmenoje yra 3, o antroje - 0. Akivaizdu, kad 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. Perrašykime antrąją trupmeną į 0000.99501, pridėdami 3 nulius kairėje. Dabar viskas akivaizdu: 1 > 0 – skirtumas aptinkamas pirmajame skaitmenyje.

Deja, pateikta palyginimo schema po kablelio ne universalus. Šį metodą galima tik palyginti teigiami skaičiai. Bendruoju atveju veikimo algoritmas yra toks:

1. Teigiama trupmena visada yra didesnė už neigiamą trupmeną;
2. Dvi teigiamos trupmenos lyginamos naudojant aukščiau pateiktą algoritmą;
3. Dvi neigiamos trupmenos lyginamos tokiu pačiu būdu, tačiau pabaigoje nelygybės ženklas apverčiamas.

Na, neblogai? Dabar pažiūrėkime konkrečių pavyzdžių– ir viskas paaiškės.

Užduotis. Palyginkite trupmenas:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. –0,192 > –0,39. Trupmenos yra neigiamos, 2 skaitmuo skiriasi. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > –11,3. Teigiamas skaičius visada yra didesnis už neigiamą skaičių;
4. 19,032 > 0,091. Pakanka perrašyti antrąją trupmeną į formą 00.091, kad pamatytumėte, jog skirtumas atsiranda jau 1 skaitmenyje;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Skirtumas yra pirmoje kategorijoje.

Pamokos tikslai:

1. Švietimas: išmokyti lyginti trupmenas įvairių tipų naudojant įvairias technikas;
2. Švietimas: pagrindinių protinės veiklos technikų kūrimas, palyginimo apibendrinimas, pagrindinio dalyko išryškinimas; atminties, kalbos vystymas.
3. Švietimas: išmokti išklausyti vienas kitą, puoselėti savitarpio pagalbą, bendravimo ir elgesio kultūrą.

Pamokos žingsniai:

1. Organizacinis.

Pamoką pradėkime prancūzų rašytojo A. France žodžiais: „Mokytis gali būti smagu... Norint suvirškinti žinias, reikia jas įsisavinti su apetitu“.

Laikykimės šio patarimo, stenkimės būti dėmesingi ir su dideliu noru įsisavinkime žinias, nes... jie mums pravers ateityje.

2. Mokinių žinių atnaujinimas.

1.) Frontalinis žodinis studentų darbas.

Tikslas: pakartoti perskaitytą medžiagą, kuri reikalinga mokantis naujų dalykų:

A) taisyklingosios ir netinkamosios trupmenos;
B) trupmenų perkėlimas į naują vardiklį;
C) rasti mažiausią bendrą vardiklį;

(Dirbame su failais. Mokiniai juos turi kiekvienoje pamokoje. Į juos rašo atsakymus flomasteriu, o tada nereikalinga informacija ištrinama.)

Užduotys darbui žodžiu.

1. Pavadinkite papildomą grandinės trupmeną:

A) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
B) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Sumažinkite trupmenas iki naujo vardiklio 30:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Raskite mažiausią bendrą trupmenų vardiklį:

1/5 ir 2/7; 3/4 ir 1/6; 2/9 ir 1/2.

2.) Žaidimo situacija.

Vaikinai, mūsų draugas klounas (mokiniai su juo susipažino mokslo metų pradžioje) paprašė manęs padėti išspręsti problemą. Bet aš tikiu, kad jūs, vaikinai, galite padėti mūsų draugui be manęs. Ir užduotis yra kita.

Palyginkite trupmenas:

a) 1/2 ir 1/6;
b) 3/5 ir 1/3;
c) 5/6 ir 1/6;
d) 12/7 ir 4/7;
e) 3 1/7 ir 3 1/5;
e) 7 5/6 ir 3 1/2;
g) 1/10 ir 1;
h) 10/3 ir 1;
i) 7/7 ir 1.

Vaikinai, norėdami padėti klounui, ko turėtume išmokti?

Pamokos tikslas, užduotys (mokiniai formuluoja savarankiškai).

Mokytojas jiems padeda užduodamas klausimus:

a) kurias trupmenų poras jau galime palyginti?

b) kokio įrankio mums reikia trupmenoms palyginti?

3. Vaikinai grupėse (nuolatinėse kelių lygių grupėse).

Kiekvienai grupei suteikiama užduotis ir nurodymai, kaip ją atlikti.

Pirmoji grupė : Palyginkite mišrias frakcijas:

a) 1 1/2 ir 2 5/6;
b) 3 1/2 ir 3 4/5

ir išveskite taisyklę mišrioms trupmenoms su vienodomis ir skirtingomis sveikųjų skaičių dalimis išlyginti.

Instrukcijos: mišrių trupmenų palyginimas (naudojant skaičių pluoštą)

1. palyginti visas trupmenų dalis ir padaryti išvadą;
2. palyginti trupmenines dalis (nerodykite trupmeninių dalių palyginimo taisyklės);
3. sudaryti taisyklę – algoritmą:

Antroji grupė: Palyginkite trupmenas su skirtingais vardikliais ir skirtingais skaitikliais. (naudokite skaičių spindulį)

a) 6/7 ir 9/14;
b) 5/11 ir 1/22

Instrukcijos

1. Palyginkite vardiklius
2. Apsvarstykite, ar galima trupmenas sumažinti iki bendro vardiklio
3. Pradėkite taisyklę žodžiais: „Norėdami palyginti trupmenas su skirtingais vardikliais, turite...“

Trečioji grupė: trupmenų palyginimas su viena.

a) 2/3 ir 1;
b) 8/7 ir 1;
c) 10/10 ir 1 ir suformuluokite taisyklę.

Instrukcijos

Apsvarstykite visus atvejus: (naudokite skaičių spindulį)

a) Jei trupmenos skaitiklis yra lygus vardikliui, ………;
b) Jei trupmenos skaitiklis yra mažesnis už vardiklį,………;
c) Jei trupmenos skaitiklis yra didesnis už vardiklį,………. .

Suformuluokite taisyklę.

Ketvirta grupė: Palyginkite trupmenas:

a) 5/8 ir 3/8;
b) 1/7 ir 4/7 ir suformuluokite trupmenų, turinčių tą patį vardiklį, palyginimo taisyklę.

Instrukcijos

Naudokite skaičių spindulį.

Palyginkite skaitiklius ir padarykite išvadą, pradedant žodžiais: „Iš dviejų trupmenų su tais pačiais vardikliais .....“.

Penktoji grupė: Palyginkite trupmenas:

a) 1/6 ir 1/3;
b) 4/9 ir 4/3, naudojant skaičių spindulį:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Suformuluokite taisyklę, kaip lyginti trupmenas su tais pačiais skaitikliais.

Instrukcijos

Palyginkite vardiklius ir padarykite išvadą, pradedant žodžiais:

„Iš dviejų trupmenų su tais pačiais skaitikliais………..“.

Šešta grupė: Palyginkite trupmenas:

a) 4/3 ir 5/6; b) 7/2 ir 1/2 naudojant skaičių spindulį

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Suformuluokite teisingų ir netinkamų trupmenų palyginimo taisyklę.

Instrukcijos.

Pagalvokite, kuri trupmena visada didesnė, tinkama ar netinkama.

4. Padarytų išvadų aptarimas grupėse.

Žodis kiekvienai grupei. Mokinių taisyklių formulavimas ir palyginimas su atitinkamų taisyklių standartais. Toliau kiekvienam mokiniui pateikiami skirtingų tipų paprastųjų trupmenų palyginimo taisyklių atspaudai.

5. Grįžkime prie pamokos pradžioje iškeltos užduoties. (Klouno problemą sprendžiame kartu).

6. Darbas sąsiuviniuose. Naudodamiesi trupmenų palyginimo taisyklėmis, mokiniai, vadovaujami mokytojo, lygina trupmenas:

a) 8/13 ir 8/25;
b)11/42 ir 3/42;
c) 7/5 ir 1/5;
d) 18/21 ir 7/3;
e) 2 1/2 ir 3 1/5;
e) 5 1/2 ir 5 4/3;

(galima pakviesti mokinį prie lentos).

7. Mokinių prašoma atlikti testą, lyginant trupmenas dviem variantais.

1 variantas.

1) palyginkite trupmenas: 1/8 ir 1/12

a) 1/8 > 1/12;
b) 1/8<1/12;
c) 1/8 = 1/12

2) Kuris yra didesnis: 5/13 ar 7/13?

a) 5/13;
b) 7/13;
c) lygus

3) Kuris mažesnis: 2\3 ar 4/6?

a) 2/3;
b) 4/6;
c) lygus

4) Kuri trupmena mažesnė už 1: 3/5; 17/9; 7/7?

a) 3/5;
b) 17/9;
c) 7/7

5) Kuri trupmena didesnė už 1: ?; 7/8; 4/3?

a) 1/2;
b) 7/8;
c) 4/3

6) Palyginkite trupmenas: 2 1/5 ir 1 7/9

a) 2 1/5<1 7/9;
b) 2 1/5 = 1 7/9;
c) 2 1/5 > 1 7/9

2 variantas.

1) palyginkite trupmenas: 3/5 ir 3/10

a) 3/5 > 3/10;
b) 3/5<3/10;
c) 3/5 = 3/10

2) Kuris yra didesnis: 10/12 ar 1/12?

a) lygus;
b) 10/12;
c) 1/12

3) Kuris yra mažesnis: 3/5 ar 1/10?

a) 3/5;
b) 1/10;
c) lygus

4) Kuri trupmena mažesnė už 1: 4/3; 1/15; 16/16?

a) 4/3;
b) 1/15;
c) 16/16

5) Kuri trupmena didesnė už 1: 2/5; 9/8; 11/12?

a) 2/5;
b) 9/8;
c) 11/12

6) Palyginkite trupmenas: 3 1/4 ir 3 2/3

a) 3 1/4 = 3 2/3;
b) 3 1/4 > 3 2/3;
c) 3 1/4< 3 2/3

Atsakymai į testą:

1 parinktis: 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a

2 parinktis: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c

8. Dar kartą grįžtame prie pamokos tikslo.

Patikriname palyginimo taisykles ir pateikiame diferencijuotus namų darbus:

1,2,3 grupės – kiekvienai taisyklei sugalvokite du palyginimo pavyzdžius ir juos išspręskite.

4,5,6 grupės - Nr.83a,b,c,Nr.84a,b,c (iš vadovėlio).

Iš dviejų trupmenų, turinčių tuos pačius vardiklius, ta, kurios skaitiklis didesnis, yra didesnis, o su mažesniu skaitikliu – mažesnė.. Tiesą sakant, vardiklis rodo, į kiek dalių buvo padalinta viena visuma, o skaitiklis rodo, kiek tokių dalių buvo paimta.

Pasirodo, kad kiekvieną apskritimą padalinome iš to paties skaičiaus 5 , bet jie paėmė skirtingą dalių skaičių: kuo daugiau jų paėmė, tuo didesnę dalį gavote.

Iš dviejų trupmenų su tais pačiais skaitikliais ta, kurios vardiklis mažesnis, yra didesnė, o ta, kurios vardiklis didesnis, yra mažesnė. Na, iš tikrųjų, jei padalinsime vieną ratą į 8 dalys, o kita ant 5 dalis ir paimkite po vieną dalį iš kiekvieno apskritimo. Kuri dalis bus didesnė?

Žinoma, iš apskritimo, padalinto iš 5 dalys! Dabar įsivaizduokite, kad jie dalijo ne apskritimus, o pyragus. Kuriam kūriniui teiktumėte pirmenybę, tiksliau, kuriai daliai: penktadaliui ar aštuntam?

Norėdami palyginti trupmenas su skirtingais skaitikliais ir vardikliais, turite sumažinti trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio ir tada palyginti trupmenas su tais pačiais vardikliais.

Pavyzdžiai. Palyginkite įprastas trupmenas:

Sumažinkime šias trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio. NOZ(4 ; 6) = 12. Kiekvienai frakcijai randame papildomų veiksnių. 1-ajai frakcijai papildomas koeficientas 3 (12: 4=3 ). 2-ajai frakcijai papildomas koeficientas 2 (12: 6=2 ). Dabar lyginame dviejų gautų trupmenų skaitiklius su tais pačiais vardikliais. Kadangi pirmosios trupmenos skaitiklis yra mažesnis už antrosios trupmenos skaitiklį ( 9<10) , tada pati pirmoji trupmena yra mažesnė už antrąją trupmeną.