Matematika programuotojams: tikimybių teorija. Tikimybių teorija ir pagrindinės teorijos sąvokos Tikimybių teorija kas

„Nelaimingi atsitikimai nėra atsitiktiniai“... Skamba taip, kaip sakė filosofas, bet iš tikrųjų didžiojo matematikos mokslo dalis yra tirti atsitiktinumą. Matematikoje atsitiktinumo teorija nagrinėja atsitiktinumą. Straipsnyje bus pateiktos formulės ir užduočių pavyzdžiai bei pagrindiniai šio mokslo apibrėžimai.

Kas yra tikimybių teorija?

Tikimybių teorija yra viena iš matematinių disciplinų, tiriančių atsitiktinius įvykius.

Kad būtų šiek tiek aiškiau, pateiksime nedidelį pavyzdį: jei monetą apversite aukštyn, ji gali nukristi „galvomis“ arba „uodegomis“. Kol moneta yra ore, galimos abi šios galimybės. Tai yra, galimų pasekmių tikimybė yra 1: 1. Jei ištrauksite vieną iš kaladės su 36 kortomis, tada tikimybė bus pažymėta kaip 1:36. Atrodytų, nėra ką tirti ir prognozuoti, ypač pasitelkus matematines formules. Nepaisant to, jei pakartosite tam tikrą veiksmą daug kartų, galite nustatyti tam tikrą modelį ir jo pagrindu numatyti įvykių baigtį kitomis sąlygomis.

Apibendrinant visa tai, kas išdėstyta pirmiau, tikimybės teorija klasikine prasme tiria galimybę, kad vienas iš galimų įvykių įvyks skaitine verte.

Iš istorijos puslapių

Tikimybių teorija, formulės ir pirmųjų užduočių pavyzdžiai atsirado tolimais viduramžiais, kai pirmą kartą buvo bandoma nuspėti kortų žaidimų baigtį.

Iš pradžių tikimybių teorija neturėjo nieko bendra su matematika. Jis buvo pagrįstas empiriniais faktais arba įvykio savybėmis, kurias buvo galima atkurti praktiškai. Pirmieji darbai šioje srityje kaip matematinė disciplina pasirodė XVII a. Įkūrėjai buvo Blaise'as Pascalis ir Pierre'as Fermatas. Ilgą laiką jie mokėsi azartinių lošimų ir matė tam tikrus modelius, apie kuriuos nusprendė papasakoti visuomenei.

Tą pačią techniką išrado Christianas Huygensas, nors ir nebuvo susipažinęs su Pascalio ir Fermato tyrimų rezultatais. „Tikimybių teorijos“ sąvoką, formules ir pavyzdžius, kurie laikomi pirmaisiais disciplinos istorijoje, supažindino jis.

Taip pat svarbūs Jacobo Bernoulli darbai, Laplaso ir Puasono teoremos. Jie pavertė tikimybių teoriją panašesnę į matematinę discipliną. Tikimybių teorija, formulės ir pagrindinių užduočių pavyzdžiai įgavo dabartinę formą Kolmogorovo aksiomų dėka. Dėl visų pokyčių tikimybių teorija tapo viena iš matematinių šakų.

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos. Renginiai

Pagrindinė šios disciplinos sąvoka yra „įvykis“. Yra trys įvykių tipai:

Patikimas. Tie, kurie vis tiek įvyks (moneta nukris).
Neįmanomas.Įvykiai, kurie neįvyks jokiu būdu (moneta liks kabėti ore).
Atsitiktinis. Tie, kurie įvyks arba neįvyks. Jiems įtakos gali turėti įvairūs veiksniai, kuriuos labai sunku numatyti. Jei kalbame apie monetą, tai atsitiktiniai veiksniai, galintys turėti įtakos rezultatui: monetos fizinės savybės, forma, pradinė padėtis, metimo galia ir kt.

Visi įvykiai pavyzdžiuose žymimi didžiosiomis lotyniškomis raidėmis, išskyrus P, kurios vaidmuo skiriasi. Pavyzdžiui:

A = "studentai atėjo į paskaitą".
Ā = "studentai neatėjo į paskaitą".

Praktinėse pratybose įprasta įvykius užrašyti žodžiais.

Viena iš svarbiausių renginių savybių yra jų lygios galimybės. Tai yra, jei mesti monetą, galimi visi pradinio kritimo variantai, kol ji nukris. Bet ir įvykiai nėra vienodai įmanomi. Taip atsitinka, kai kas nors konkrečiai įtakoja rezultatą. Pavyzdžiui, „pažymėtos“ žaidimo kortos ar kauliukai, kuriuose svorio centras pasislenka.

Renginiai taip pat yra suderinami ir nesuderinami. Suderinami įvykiai neatmeta vienas kito. Pavyzdžiui:

A = "studentas atėjo į paskaitą".
B = "studentas atėjo į paskaitą".

Šie įvykiai nepriklauso vienas nuo kito, o vieno iš jų išvaizda neturi įtakos kito išvaizdai. Nesuderinamus įvykius lemia tai, kad vieno išvaizda pašalina kito pasirodymą. Jei kalbėsime apie tą pačią monetą, tada iškritusios „uodegos“ neleidžia „galvoms“ atsirasti tame pačiame eksperimente.

Veiksmai dėl įvykių

Įvykiai gali būti dauginami ir pridedami atitinkamai, disciplinoje įvedami loginiai ryšiai „IR“ ir „ARBA“.

Suma nustatoma atsižvelgiant į tai, kad vienu metu gali įvykti bet kuris įvykis A, B arba du. Tuo atveju, kai jie nesuderinami, paskutinis variantas A arba B yra neįmanomas.

Įvykių dauginimas susideda iš A ir B atsiradimo vienu metu.

Dabar galite pateikti keletą pavyzdžių, kad geriau atsimintumėte pagrindus, tikimybių teoriją ir formules. Toliau pateikiami problemų sprendimo pavyzdžiai.

1 pratimas: Firma dalyvauja konkurse dėl sutarčių trijų rūšių darbams atlikti. Galimi įvykiai, kurie gali įvykti:

A = "firma gaus pirmąją sutartį".
A 1 = "įmonė negaus pirmosios sutarties".
B = "įmonė gaus antrą sutartį".
B 1 = "įmonė negaus antros sutarties"
C = "įmonė gaus trečią sutartį".
C 1 = "įmonė negaus trečios sutarties".

Pabandykime išreikšti šias situacijas naudodami veiksmus su įvykiais:

K = "firma gaus visas sutartis".

Matematine forma lygtis atrodys taip: K = ABC.

M = "firma negaus nė vienos sutarties".

M = A 1 B 1 C 1.

Užduotį apsunkina: H = „įmonė gaus vieną sutartį“. Kadangi nežinoma, kokią sutartį įmonė gaus (pirmą, antrą ar trečią), būtina įrašyti visą galimų įvykių seriją:

Н = А 1 ВС 1 υ AB 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

1 BC 1 yra įvykių serija, kai įmonė negauna pirmosios ir trečiosios sutarčių, o gauna antrąją. Kiti galimi įvykiai buvo užfiksuoti atitinkamu metodu. Simbolis υ disciplinoje reiškia „ARBA“ nuorodą. Jeigu pateiktą pavyzdį išversime į žmonių kalbą, tai įmonė gaus arba trečią sutartį, arba antrą, arba pirmą. Panašiai galite užrašyti ir kitas sąlygas disciplinoje „Tikimybių teorija“. Aukščiau pateiktos formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai padės tai padaryti patiems.

Tiesą sakant, tikimybė

Galbūt šioje matematinėje disciplinoje įvykio tikimybė yra pagrindinė sąvoka. Yra 3 tikimybės apibrėžimai:

klasika;
statistiniai;
geometrinis.

Kiekvienas iš jų turi savo vietą tikimybių tyrime. Tikimybių teorijoje, formulėse ir pavyzdžiuose (9 klasė) daugiausia naudojamas klasikinis apibrėžimas, kuris skamba taip:

Situacijos A tikimybė yra lygi pasekmių, palankių jos atsiradimui, skaičiaus ir visų galimų baigčių skaičiaus santykiui.

Formulė atrodo taip: P (A) = m / n.

A iš tikrųjų yra įvykis. Jei yra priešingas A atvejis, jis gali būti parašytas kaip Ā arba A 1.

m – galimų palankių atvejų skaičius.

n – visi įvykiai, kurie gali atsitikti.

Pavyzdžiui, A = "ištraukite širdies kostiumo kortelę". Standartinėje kaladėje yra 36 kortos, iš kurių 9 yra širdelės. Atitinkamai, problemos sprendimo formulė atrodys taip:

P (A) = 9/36 = 0,25.

Dėl to tikimybė, kad iš kaladės bus ištraukta širdies kostiumo korta, yra 0,25.

Aukštosios matematikos link

Dabar jau mažai žinoma, kas yra tikimybių teorija, formulės ir užduočių sprendimo pavyzdžiai, kurie pasitaiko mokyklos programoje. Tačiau tikimybių teorija aptinkama ir aukštojoje matematikoje, kuri dėstoma universitetuose. Dažniausiai jie veikia su geometriniais ir statistiniais teorijos apibrėžimais ir sudėtingomis formulėmis.

Tikimybių teorija yra labai įdomi. Mokytis formules ir pavyzdžius (aukštoji matematika) geriau pradėti nuo mažų – su statistiniu (arba dažniniu) tikimybės apibrėžimu.

Statistinis požiūris neprieštarauja klasikiniam, bet šiek tiek jį išplečia. Jei pirmuoju atveju reikėjo nustatyti, su kokiu tikimybės laipsniu įvykis įvyks, tai taikant šį metodą būtina nurodyti, kaip dažnai jis įvyks. Čia pristatome naują sąvoką „santykinis dažnis“, kurią galima žymėti W n (A). Formulė nesiskiria nuo klasikinės:

Jei prognozavimui skaičiuojama klasikinė formulė, tai statistinė – pagal eksperimento rezultatus. Pavyzdžiui, atlikite nedidelę užduotį.

Technologinės kontrolės skyrius tikrina gaminių kokybę. Iš 100 gaminių 3 buvo nustatyti nekokybiški. Kaip randate kokybiško produkto dažnumo tikimybę?

A = "kokybiško produkto išvaizda".

Wn (A) = 97/100 = 0,97

Taigi kokybiško produkto dažnis yra 0,97. Iš kur gavai 97? Iš 100 mūsų patikrintų prekių 3 buvo netinkamos kokybės. Iš 100 atimame 3, gauname 97, tiek kokybiškų prekių.

Šiek tiek apie kombinatoriką

Kitas tikimybių teorijos metodas vadinamas kombinatorika. Pagrindinis jo principas yra tas, kad jei tam tikras A pasirinkimas gali būti atliktas m skirtingais būdais, o B pasirinkimas gali būti atliktas n skirtingų būdų, tai A ir B pasirinkimas gali būti atliktas dauginant.

Pavyzdžiui, iš miesto A į miestą B veda 5 keliai. Iš miesto B į miestą C yra 4 keliai. Kiek būdų galite patekti iš miesto A į miestą C?

Tai paprasta: 5x4 = 20, tai yra, iš taško A į tašką C galite patekti dvidešimčia skirtingų būdų.

Apsunkinkime užduotį. Kiek būdų yra žaisti kortomis pasjanso žaidime? Kaledėje yra 36 kortos – tai yra atskaitos taškas. Norint sužinoti būdų skaičių, reikia „atimti“ vieną kortelę iš pradinio taško ir padauginti.

Tai yra, 36x35x34x33x32 ... x2x1 = rezultatas netelpa į skaičiuotuvo ekraną, todėl galite tiesiog pažymėti jį kaip 36 !. Pasirašykite "!" šalia skaičiaus rodo, kad visa skaičių serija dauginama tarpusavyje.

Kombinatorikoje yra tokių sąvokų kaip permutacija, išdėstymas ir derinys. Kiekvienas iš jų turi savo formulę.

Sutvarkytas elementų rinkinys aibėje vadinamas išdėstymu. Vietos gali būti pasikartojančios, tai yra, vienas elementas gali būti naudojamas kelis kartus. Ir jokio pasikartojimo, kai elementai nesikartoja. n yra visi elementai, m yra elementai, kurie dalyvauja vietoje. Įdėjimo be pakartojimų formulė būtų tokia:

A n m = n! / (N-m)!

n elementų jungtys, kurios skiriasi tik išdėstymo tvarka, vadinamos permutacijomis. Matematikoje tai yra: P n = n!

n elementų deriniais m vadinami tokie junginiai, kuriuose svarbu, kokie jie buvo elementai ir koks jų bendras skaičius. Formulė atrodys taip:

A n m = n! / M! (N-m)!

Bernulio formulė

Tikimybių teorijoje, kaip ir kiekvienoje disciplinoje, yra iškilių savo srities tyrinėtojų darbų, kurie ją perkėlė į naują lygį. Vienas iš šių darbų yra Bernulio formulė, leidžianti nustatyti tikimybę, kad tam tikras įvykis įvyks nepriklausomomis sąlygomis. Tai rodo, kad A atsiradimas eksperimente nepriklauso nuo to paties įvykio atsiradimo ar nepasireiškimo ankstesniuose ar vėlesniuose bandymuose.

Bernulio lygtis:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Įvykio (A) atsiradimo tikimybė (p) kiekvienam bandymui nekinta. Tikimybė, kad situacija pasikartos lygiai m kartų per n skaičių eksperimentų, bus apskaičiuojama pagal aukščiau pateiktą formulę. Atitinkamai kyla klausimas, kaip sužinoti skaičių q.

Jei įvykis A įvyksta atitinkamai p kartų, jis gali neįvykti. Vienas iš jų yra skaičius, naudojamas visiems situacijos rezultatams disciplinoje nurodyti. Todėl q yra skaičius, nurodantis įvykio neįvykimo galimybę.

Dabar žinote Bernulio formulę (tikimybių teoriją). Toliau nagrinėsime problemų sprendimo pavyzdžius (pirmasis lygis).

2 užduotis: Parduotuvės lankytojas apsipirks su 0,2 tikimybe. 6 lankytojai į parduotuvę įėjo savarankiškai. Kokia tikimybė, kad lankytojas apsipirks?

Sprendimas: Kadangi nežinoma, kiek lankytojų turėtų įsigyti, vienas ar visi šeši, reikia apskaičiuoti visas įmanomas tikimybes naudojant Bernulio formulę.

A = „lankytojas perka“.

Šiuo atveju: p = 0,2 (kaip nurodyta užduotyje). Atitinkamai, q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (kadangi parduotuvėje yra 6 klientai). Skaičius m pasikeis iš 0 (joks pirkėjas nepirks) į 6 (visi parduotuvės lankytojai ką nors įsigys). Dėl to gauname sprendimą:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nė vienas iš pirkėjų nepirks su 0,2621 tikimybe.

Kaip kitaip naudojama Bernulio formulė (tikimybių teorija)? Problemų sprendimo pavyzdžiai (antrasis lygis) žemiau.

Po pirmiau pateikto pavyzdžio kyla klausimų, kur dingo C ir p. P atžvilgiu skaičius iki laipsnio 0 bus lygus vienetui. Kalbant apie C, jį galima rasti pagal formulę:

C n m = n! / m! (n-m)!

Kadangi pirmame pavyzdyje m = 0, atitinkamai, C = 1, o tai iš esmės neturi įtakos rezultatui. Naudodami naują formulę pabandykime išsiaiškinti, kokia tikimybė, kad du lankytojai pirks prekes.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Tikimybių teorija nėra tokia sudėtinga. Bernoulli formulė, kurios pavyzdžiai pateikti aukščiau, yra tiesioginis to įrodymas.

Puasono formulė

Puasono lygtis naudojama mažai tikėtinoms atsitiktinėms situacijoms apskaičiuoti.

Pagrindinė formulė:

P n (m) = λ m / m! × e (-λ).

Be to, λ = n x p. Štai tokia paprasta Puasono formulė (tikimybių teorija). Toliau svarstysime problemų sprendimo pavyzdžius.

3 užduotis: gamykla pagamino detalių 100 000 vnt. Sugedusios dalies atsiradimas = 0,0001. Kokia tikimybė, kad partijoje bus 5 sugedusios dalys?

Kaip matote, santuoka yra mažai tikėtinas įvykis, todėl skaičiavimui naudojama Puasono formulė (tikimybių teorija). Tokio pobūdžio problemų sprendimo pavyzdžiai niekuo nesiskiria nuo kitų disciplinos užduočių, reikiamus duomenis pakeičiame pateiktoje formulėje:

A = "atsitiktinai parinkta dalis bus sugedusi".

p = 0,0001 (pagal užduoties sąlygą).

n = 100000 (dalių skaičius).

m = 5 (defektuotos dalys). Mes pakeičiame duomenis į formulę ir gauname:

P 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Kaip ir Bernulio formulė (tikimybių teorija), kurios sprendimų pavyzdžiai yra parašyti aukščiau, Puasono lygtis turi nežinomą e. Tiesą sakant, ją galima rasti pagal formulę:

е -λ = lim n -> ∞ (1-λ / n) n.

Tačiau yra specialių lentelių, kuriose yra beveik visos e.

Moivre-Laplace teorema

Jei Bernoulli schemoje testų skaičius yra pakankamai didelis, o įvykio A tikimybė visose schemose yra vienoda, tai įvykio A tikimybę tam tikrą skaičių kartų bandymų serijoje galima rasti taip: Laplaso formulė:

Р n (m) = 1 / √npq x ϕ (X m).

X m = m-np / √npq.

Norėdami geriau prisiminti Laplaso formulę (tikimybių teoriją), toliau pateikiami problemų pavyzdžiai.

Pirmiausia randame X m, duomenis (jie visi nurodyti aukščiau) pakeičiame į formulę ir gauname 0,025. Naudodami lenteles randame skaičių ϕ (0,025), kurio reikšmė yra 0,3988. Dabar galite pakeisti visus duomenis formulėje:

R 800 (267) = 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Taigi tikimybė, kad skrajutė nušvis lygiai 267 kartus, yra 0,03.

Bayes formulė

Bayes formulė (tikimybių teorija), kurios pagalba bus pateikti problemų sprendimo pavyzdžiai, yra lygtis, nusakanti įvykio tikimybę, remiantis aplinkybėmis, kurios gali būti su juo susijusios. Pagrindinė formulė atrodo taip:

P (A | B) = P (B | A) x P (A) / P (B).

A ir B yra tam tikri įvykiai.

P (A | B) - sąlyginė tikimybė, tai yra, įvykis A gali įvykti, jei įvykis B yra teisingas.

P (B | A) - sąlyginė įvykio B tikimybė.

Taigi, paskutinė trumpojo kurso „Tikimybių teorija“ dalis yra Bayes formulė, kurios problemų sprendimų pavyzdžiai pateikiami žemiau.

5 užduotis: Į sandėlį buvo atvežti trijų įmonių telefonai. Tuo pačiu metu dalis telefonų, kurie gaminami pirmoje gamykloje, sudaro 25%, antroje - 60%, trečioje - 15%. Taip pat žinoma, kad vidutinis brokuotų gaminių procentas pirmoje gamykloje yra 2%, antroje - 4%, o trečioje - 1%. Būtina rasti tikimybę, kad atsitiktinai pasirinktas telefonas pasirodys sugedęs.

A = „atsitiktinai pasirinktas telefonas“.

B 1 - telefonas, kurį pagamino pirmoji gamykla. Atitinkamai pasirodys įvestis B 2 ir B 3 (antrai ir trečiai gamykloms).

Dėl to gauname:

P (B 1) = 25 % / 100 % = 0,25; P (B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 – taip radome kiekvieno varianto tikimybę.

Dabar reikia rasti sąlygines norimo įvykio tikimybes, tai yra sugedusių gaminių tikimybę įmonėse:

P (A / B 1) = 2% / 100% = 0,02;

P (A / B 2) = 0,04;

P (A / B 3) = 0,01.

Dabar įjungiame duomenis į Bayes formulę ir gauname:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Straipsnyje pateikiama tikimybių teorija, formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai, tačiau tai tik didžiulės disciplinos ledkalnio viršūnė. O po viso to, kas parašyta, bus logiška užduoti klausimą, ar gyvenime reikalinga tikimybių teorija. Paprastam žmogui sunku atsakyti, geriau paklausti to, kuris su jo pagalba ne kartą pataikė jackpotą.

Taip pat bus pateiktos užduotys savarankiškam sprendimui, į kurias matysite atsakymus.

Tikimybių teorija apie įvykių tipus ir jų pasireiškimo tikimybę

Tikimybių teorija tiria įvykių tipus ir jų pasireiškimo tikimybę. Tikimybių teorijos atsiradimas siekia XVII amžiaus vidurį, kai matematikai susidomėjo lošėjų keliamomis problemomis ir pradėjo tyrinėti tokius įvykius kaip laimėjimo atsiradimas. Sprendžiant šias problemas, išsikristalizavo tokios sąvokos kaip tikimybė ir matematinis lūkestis. To meto mokslininkai - Huygensas (1629-1695), Pascalis (1623-1662), Fermatas (1601-1665) ir Bernoulli (1654-1705) buvo įsitikinę, kad masinių atsitiktinių įvykių pagrindu gali susidaryti aiškūs modeliai. Tuo pačiu tyrimams pakako elementariųjų aritmetinių ir kombinatorinių veiksmų.

Taigi, tikimybių teorija paaiškina ir tiria įvairius modelius, valdančius atsitiktinius įvykius ir atsitiktinius kintamuosius. Renginys yra bet koks faktas, kuris gali būti konstatuotas kaip stebėjimo ar patirties rezultatas. Stebėjimas arba patirtis reiškia tam tikrų sąlygų, kuriomis gali įvykti įvykis, įgyvendinimą.

Ką reikia žinoti norint nustatyti įvykio tikimybę

Visi įvykiai, kuriuos žmonės stebi arba patys kuria, skirstomi į:

patikimi įvykiai;
neįmanomi įvykiai;
atsitiktiniai įvykiai.

Patikimi įvykiai visada atsiranda susidarius tam tikroms aplinkybėms. Pavyzdžiui, jei dirbame, už tai gauname atlygį, jei išlaikėme egzaminus ir išlaikėme konkursą, galime patikimai tikėtis, kad būsime įtraukti į mokinių skaičių. Fizikoje ir chemijoje galima stebėti patikimus įvykius. Ekonomikoje patikimi įvykiai siejami su esama socialine struktūra ir teisės aktais. Pavyzdžiui, jei mes įdėjome pinigus į banką už indėlį ir išreiškėme norą juos gauti per tam tikrą laikotarpį, tada pinigus gausime. Tai galima laikyti patikimu įvykiu.

Neįmanomi įvykiai tikrai neįvyks, jei buvo sudarytos tam tikros sąlygos. Pavyzdžiui, vanduo neužšąla, jei temperatūra plius 15 laipsnių šilumos, gamyba nevykdoma be elektros.

Atsitiktiniai įvykiai kai realizuojamas tam tikras sąlygų rinkinys, jos gali ir negali. Pavyzdžiui, jei vieną kartą metame monetą, herbas gali nukristi arba nenukristi, galite laimėti su loterijos bilietu, bet galite nelaimėti, pagaminta prekė gali būti gera arba ji gali būti brokuota. Sugedusio daikto atsiradimas yra atsitiktinis įvykis, rečiau nei geros prekės pagaminimas.

Tikėtinas atsitiktinių įvykių dažnis yra glaudžiai susijęs su tikimybės samprata. Atsitiktinių įvykių atsiradimo ir neįvykimo dėsnius tiria tikimybių teorija.

Jei būtinų sąlygų rinkinys įgyvendinamas tik vieną kartą, tai apie atsitiktinį įvykį gauname nepakankamai informacijos, nes jis gali įvykti arba neįvykti. Jei sąlygų rinkinys įgyvendinamas daug kartų, atsiranda tam tikri dėsningumai. Pavyzdžiui, niekada negalima žinoti, kokio kavos aparato parduotuvėje prireiks kitam pirkėjui, tačiau jei žinomi jau seniai paklausiausių kavos aparatų prekės ženklai, tai remiantis šiais duomenimis galima organizuoti gamyba ar tiekimas, kad būtų patenkinta paklausa.

Žinios apie dėsnius, reglamentuojančius didžiulius atsitiktinius įvykius, leidžia numatyti, kada šie įvykiai įvyks. Pavyzdžiui, kaip minėta anksčiau, monetos metimo rezultato iš anksto numatyti negalima, tačiau jei moneta metama daug kartų, emblemą galima numatyti. Klaida gali būti nedidelė.

Tikimybių teorijos metodai plačiai taikomi įvairiose gamtos mokslų šakose, teorinėje fizikoje, geodezijoje, astronomijoje, automatizuoto valdymo teorijoje, klaidų stebėjimo teorijoje ir daugelyje kitų teorinių bei praktinių mokslų. Tikimybių teorija plačiai naudojama gamybos planavimo ir organizavimo, gaminių kokybės analizės, procesų analizės, draudimo, gyventojų statistikos, biologijos, balistikos ir kitose pramonės šakose.

Atsitiktiniai įvykiai dažniausiai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis A, B, C ir kt.

Atsitiktiniai įvykiai gali būti:

nenuoseklus;
Bendras.

Įvykiai A, B, C ... vadinami nenuoseklus jei dėl vieno bandymo gali įvykti vienas iš šių įvykių, bet dviejų ar daugiau įvykių neįmanoma.

Jeigu vieno atsitiktinio įvykio įvykis neatmeta kito įvykio, tai tokie įvykiai vadinami Bendras ... Pavyzdžiui, jei nuo konvejerio juostos pašalinama kita dalis ir įvykis A reiškia „detalė atitinka standartą“, o įvykis B reiškia „detalė neatitinka standarto“, tai A ir B yra nesuderinami įvykiai. Jei įvykis C reiškia „dalyvavo II laipsnio dalis“, tai šis įvykis derinamas su įvykiu A, bet nesuderinamas su įvykiu B.

Jei kiekviename stebėjime (teste) turėtų įvykti vienas ir tik vienas iš nenuoseklių atsitiktinių įvykių, tai šie įvykiai sudaro visa renginių visuma (sistema). .

Patikimas įvykis yra bent vieno įvykio iš visų įvykių pradžia.

Jei įvykiai, kurie sudaro visą įvykių rinkinį poromis nesuderinamas , tada dėl stebėjimo gali įvykti tik vienas iš šių įvykių. Pavyzdžiui, studentas turi išspręsti du testo uždavinius. Tikrai įvyks vienas ir tik vienas iš šių dalykų:

pirmoji užduotis bus išspręsta, o antra užduotis nebus išspręsta;
antra užduotis bus išspręsta, o pirmoji užduotis nebus išspręsta;
abi užduotys bus išspręstos;
nė viena užduotis nebus išspręsta.

Šie įvykiai formuojasi visas nenuoseklių įvykių rinkinys .

Jei visą įvykių rinkinį sudaro tik du nesuderinami įvykiai, jie vadinami tarpusavyje priešingi arba alternatyva įvykius.

Nurodomas įvykiui priešingas įvykis. Pavyzdžiui, išmetus vieną monetą, gali būti nurodyta nominali vertė () arba herbas ().

Renginiai vadinami vienodai įmanoma jei nė vienas iš jų neturi objektyvių pranašumų. Tokie įvykiai taip pat sudaro visą įvykių rinkinį. Tai reiškia, kad dėl stebėjimo ar testavimo būtinai turi įvykti bent vienas iš vienodai galimų įvykių.

Pavyzdžiui, ištisą įvykių grupę sudaro nominalo ir emblemos praradimas vienu monetos metimu, 0, 1, 2, 3 ir daugiau nei 3 klaidų buvimas viename išspausdinto teksto puslapyje.

Klasikinės ir statistinės tikimybės. Tikimybių formulės: klasikinė ir statistinė

Klasikinis tikimybės apibrėžimas. Galimybė arba palankus atvejis – tai atvejis, kai realizuojama tam tikra įvykio aplinkybių visuma A atsitikti. Klasikinis tikimybės apibrėžimas apima tiesioginį palankių atvejų arba galimybių skaičiaus apskaičiavimą.

Įvykio tikimybė A yra šiam įvykiui palankių progų skaičiaus ir visų vienodai galimų nesuderinamų įvykių skaičiaus santykis N kuris gali atsirasti dėl vieno bandymo ar stebėjimo. Tikimybių formulė įvykius A:

Jei visiškai aišku apie kokio įvykio tikimybę kalbame, tai tikimybė žymima maža raide p nenurodant įvykio pavadinimo.

Norint apskaičiuoti tikimybę pagal klasikinį apibrėžimą, reikia rasti visų vienodai galimų nenuoseklių įvykių skaičių ir nustatyti, kiek iš jų yra palankūs įvykio apibrėžimui A.

1 pavyzdys. Raskite tikimybę gauti skaičių 5 išmetus kauliuką.

Sprendimas. Yra žinoma, kad visi šeši veidai turi vienodą galimybę būti viršuje. Skaičius 5 pažymėtas tik viename veide. Visų vienodai galimų nenuoseklių įvykių skaičius yra 6, iš kurių tik viena palanki galimybė skaičiui 5 ( M= 1). Tai reiškia, kad norima tikimybė gauti skaičių 5

2 pavyzdys. Dėžutėje yra 3 raudoni ir 12 baltų vienodo dydžio rutuliukų. Vienas kamuolys buvo paimtas nežiūrint. Raskite tikimybę, kad bus paimtas raudonas rutulys.

Sprendimas. Ieškant tikimybės

Patys raskite tikimybes ir tada pažiūrėkite į sprendimą

3 pavyzdys. Metamas kauliukas. Renginys B- iškrito lyginis skaičius. Apskaičiuokite šio įvykio tikimybę.

5 pavyzdys. Urnoje yra 5 balti ir 7 juodi rutuliai. Atsitiktinai ištraukiamas 1 rutulys. Renginys A- ištrauktas baltas rutulys. Renginys B- nupieštas juodas rutulys. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybę.

Klasikinė tikimybė taip pat vadinama išankstine tikimybe, nes ji apskaičiuojama prieš pradedant bandymą ar stebėjimą. Klasikinės tikimybės apriorinis pobūdis reiškia pagrindinį jos trūkumą: tik retais atvejais jau prieš stebėjimo pradžią galima apskaičiuoti visus vienodai galimus nesuderinamus įvykius, įskaitant ir palankius. Tokios galimybės dažniausiai atsiranda situacijose, panašiose į žaidimus.

Deriniai. Jei įvykių seka nėra svarbi, galimų įvykių skaičius apskaičiuojamas kaip kombinacijų skaičius:

6 pavyzdys. Grupėje yra 30 mokinių. Trys studentai turėtų eiti į informatikos skyrių pasiimti ir atsinešti kompiuterio bei projektoriaus. Apskaičiuokite tikimybę, kad tai padarys trys konkretūs mokiniai.

Sprendimas. Galimų įvykių skaičius apskaičiuojamas pagal formulę (2):

Tikimybė, kad į katedrą pateks trys konkretūs studentai:

7 pavyzdys. Parduodama 10 mobiliųjų telefonų. Yra 3 iš jų, kurie turi defektų. Pirkėjas išsirinko 2 telefonus. Apskaičiuokite tikimybę, kad abu pasirinkti telefonai bus sugedę.

Sprendimas. Visų vienodai galimų įvykių skaičius randamas pagal formulę (2):

Naudodami tą pačią formulę randame įvykiui palankių galimybių skaičių:

Ieškoma tikimybės, kad abu pasirinkti telefonai bus sugedę:

Raskite tikimybę patys ir tada pažiūrėkite į sprendimą

8 pavyzdys. Egzamino bilietuose yra 40 klausimų, kurie nekartojami. Mokinys paruošė atsakymus į 30 iš jų. Kiekviename biliete yra 2 klausimai. Kokia tikimybė, kad studentas žinos atsakymus į abu biliete esančius klausimus?

Daugelis, susidūrę su „tikimybių teorijos“ sąvoka, išsigąsta, manydami, kad tai kažkas nepaprasto, labai sunkaus. Tačiau iš tikrųjų viskas nėra taip tragiška. Šiandien mes apsvarstysime pagrindinę tikimybių teorijos sampratą, išmoksime spręsti problemas naudojant konkrečius pavyzdžius.

Mokslas

Ką tiria tokia matematikos šaka kaip „tikimybių teorija“? Ji atkreipia dėmesį į modelius ir kiekius. Pirmą kartą mokslininkai šiuo klausimu susidomėjo dar XVIII amžiuje, kai studijavo azartinius lošimus. Pagrindinė tikimybių teorijos samprata yra įvykis. Tai bet koks faktas, nustatytas patirtimi ar stebėjimu. Bet kas yra patirtis? Kita pagrindinė tikimybių teorijos samprata. Tai reiškia, kad šios aplinkybės susidarė ne atsitiktinai, o tam tikram tikslui. Kalbant apie stebėjimą, čia pats tyrėjas nedalyvauja eksperimente, o tiesiog yra šių įvykių liudininkas, jis niekaip neįtakoja to, kas vyksta.

Renginiai

Sužinojome, kad pagrindinė tikimybių teorijos samprata yra įvykis, bet nesvarstėme klasifikavimo. Visi jie skirstomi į šias kategorijas:

Patikimas.
Neįmanomas.
Atsitiktinis.

Nepriklausomai nuo to, kokie įvykiai stebimi ar sukuriami eksperimento metu, jiems visiems taikoma ši klasifikacija. Kviečiame susipažinti su kiekviena iš rūšių atskirai.

Patikimas renginys

Tai yra tokia aplinkybė, prieš kurią buvo imtasi reikiamų priemonių. Norint geriau suprasti esmę, geriau pateikti kelis pavyzdžius. Fizikai, chemijai, ekonomikai ir aukštajai matematikai galioja šis įstatymas. Tikimybių teorija apima tokią svarbią sąvoką kaip patikimas įvykis. Štai keletas pavyzdžių:

Dirbame ir atlygį gauname darbo užmokesčio forma.
Gerai išlaikėme egzaminus, išlaikėme konkursą, už kurį gauname atlygį stojimo į ugdymo įstaigą forma.
Investavome pinigus į banką, jei reikės, atgausime.

Tokie įvykiai yra patikimi. Jei įvykdėme visas būtinas sąlygas, tuomet tikrai sulauksime laukiamo rezultato.

Neįmanomi įvykiai

Dabar nagrinėjame tikimybių teorijos elementus. Siūlome pereiti prie kito įvykio tipo, ty neįmanomo, paaiškinimo. Iš pradžių nustatykime svarbiausią taisyklę – neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui.

Sprendžiant problemas negalima nukrypti nuo šios formuluotės. Aiškumo dėlei pateikiami tokių įvykių pavyzdžiai:

Vanduo užšalo plius dešimties temperatūroje (tai neįmanoma).
Elektros trūkumas neturi įtakos gamybai (taip pat neįmanoma, kaip ir ankstesniame pavyzdyje).

Daugiau pavyzdžių pateikti neverta, nes aukščiau aprašytieji labai aiškiai atspindi šios kategorijos esmę. Neįmanomas įvykis niekada neįvyks per patirtį jokiomis aplinkybėmis.

Atsitiktiniai įvykiai

Studijuojant elementus, ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas šiam renginio tipui. Būtent juos šis mokslas tiria. Dėl patirties kažkas gali atsitikti arba ne. Be to, testą galima atlikti neribotą skaičių kartų. Ryškūs pavyzdžiai:

Monetos metimas yra patirtis arba išbandymas, o galvos kritimas yra įvykis.
Aklai ištraukti kamuolį iš maišo yra išbandymas, pagaunamas raudonas rutulys – tai įvykis ir t.t.

Tokių pavyzdžių gali būti neribotas skaičius, bet apskritai esmė turėtų būti aiški. Gautoms žinioms apie įvykius apibendrinti ir susisteminti pateikiama lentelė. Tikimybių teorija tiria tik paskutines rūšis iš visų pateiktų.

titulą	apibrėžimas
Patikimas	Įvykiai, vykstantys su 100 % garantija, laikantis tam tikrų sąlygų.	Priėmimas į mokymo įstaigą gerai išlaikius stojamąjį egzaminą.
Neįmanomas	Įvykiai, kurie niekada neįvyks jokiomis aplinkybėmis.	Sninga, kai oro temperatūra siekia plius trisdešimt laipsnių šilumos.
Atsitiktinis	Įvykis, kuris gali įvykti arba neįvykti eksperimento / bandymo metu.	Pataikyti arba nepataikyti metant krepšinio kamuolį į krepšį.

Įstatymai

Tikimybių teorija yra mokslas, tiriantis įvykio galimybę. Kaip ir kiti, ji turi tam tikras taisykles. Yra šie tikimybių teorijos dėsniai:

Atsitiktinių dydžių sekų konvergencija.
Didelių skaičių dėsnis.

Skaičiuodami komplekso galimybę, galite naudoti paprastų įvykių rinkinį, kad pasiektumėte rezultatą lengviau ir greičiau. Atkreipkite dėmesį, kad tikimybių teorijos dėsniai lengvai įrodomi naudojant kai kurias teoremas. Siūlome pirmiausia susipažinti su pirmuoju įstatymu.

Atsitiktinių dydžių sekų konvergencija

Atminkite, kad yra keletas konvergencijos tipų:

Atsitiktinių dydžių seka suartėja tikimybe.
Beveik neįmanoma.
Šaknies vidurkio ir kvadrato konvergencija.
Paskirstymo konvergencija.

Taigi skrendant labai sunku suvokti esmę. Štai keletas apibrėžimų, kurie padės suprasti šią temą. Pradedantiesiems pirmas vaizdas. Seka vadinama konverguoja tikimybe, jei įvykdoma ši sąlyga: n linkęs į begalybę, skaičius, iki kurio seka linksta, yra didesnis už nulį ir artimas vienetui.

Pereikime prie kitos formos, beveik tikrai... Sakoma, kad seka susilieja beveik tikrai atsitiktiniam dydžiui, nes n linkęs į begalybę, o P linkęs į vertę, artimą vienybei.

Kitas tipas yra RMS konvergencija... Naudojant SK-konvergenciją, vektorinių stochastinių procesų tyrimas redukuojamas iki jų koordinačių stochastinių procesų tyrimo.

Lieka paskutinis tipas, trumpai paanalizuosime, kad galėtume tiesiogiai spręsti problemas. Paskirstymo konvergencija taip pat turi dar vieną pavadinimą - „silpna“, toliau paaiškinsime, kodėl. Silpna konvergencija Ar paskirstymo funkcijų konvergencija visuose ribojančios pasiskirstymo funkcijos tęstinumo taškuose.

Neabejotinai laikysimės savo pažado: silpnoji konvergencija nuo visų aukščiau išvardintų skiriasi tuo, kad atsitiktinis dydis nėra apibrėžtas tikimybių erdvėje. Tai įmanoma, nes sąlyga formuojama tik naudojant paskirstymo funkcijas.

Didelių skaičių dėsnis

Tikimybių teorijos teoremos, tokios kaip:

Čebyševo nelygybė.
Čebyševo teorema.
Apibendrinta Čebyševo teorema.
Markovo teorema.

Jei atsižvelgsime į visas šias teoremas, šis klausimas gali užsitęsti kelias dešimtis puslapių. Mūsų pagrindinis uždavinys – tikimybių teoriją pritaikyti praktikoje. Siūlome tai padaryti dabar ir tai padaryti. Tačiau prieš tai apsvarstykite tikimybių teorijos aksiomas, jos bus pagrindiniai pagalbininkai sprendžiant problemas.

Aksiomos

Jau sutikome pirmąjį, kai kalbėjome apie neįmanomą įvykį. Prisiminkime: neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui. Pateikėme labai ryškų ir įsimintiną pavyzdį: snigo esant trisdešimties laipsnių Celsijaus oro temperatūrai.

Antrasis yra toks: patikimas įvykis įvyksta, kurio tikimybė lygi vienetui. Dabar parodysime, kaip tai parašyti matematine kalba: P (B) = 1.

Trečia: atsitiktinis įvykis gali įvykti arba neįvykti, tačiau tikimybė visada skiriasi nuo nulio iki vieneto. Kuo vertė artimesnė vienetui, tuo didesnė tikimybė; jei vertė artėja prie nulio, tikimybė yra labai maža. Parašykime matematine kalba: 0<Р(С)<1.

Apsvarstykite paskutinę, ketvirtąją aksiomą, kuri skamba taip: dviejų įvykių sumos tikimybė yra lygi jų tikimybių sumai. Rašome matematine kalba: P (A + B) = P (A) + P (B).

Tikimybių teorijos aksiomos yra paprasčiausios taisyklės, kurias prisiminti nebus sunku. Pabandykime išspręsti kai kurias problemas, remdamiesi jau įgytomis žiniomis.

Loterijos bilietas

Pradėkime nuo paprasčiausio pavyzdžio – loterijos. Įsivaizduokite, kad nusipirkote vieną loterijos bilietą dėl sėkmės. Kokia tikimybė, kad laimėsite bent dvidešimt rublių? Iš viso loterijoje dalyvauja tūkstantis bilietų, iš kurių vieno – penkių šimtų rublių prizas, dešimt – už šimtą, penkiasdešimt – už dvidešimt ir šimtą – už penkis. Tikimybių problemos yra pagrįstos sėkmės galimybės radimu. Dabar kartu išanalizuosime aukščiau pateiktos užduoties sprendimą.

Jei penkių šimtų rublių laimėjimą pažymėsime raide A, tada tikimybė gauti A bus 0,001. Kaip mes tai gavome? Jums tereikia padalyti „laimingų“ bilietų skaičių iš bendro jų skaičiaus (šiuo atveju: 1/1000).

B yra šimto rublių laimėjimas, tikimybė bus 0,01. Dabar elgėmės tuo pačiu principu kaip ir ankstesniame veiksme (10/1000)

С - laimėjimas lygus dvidešimties rublių. Randame tikimybę, ji lygi 0,05.

Likę bilietai mūsų nedomina, nes jų prizinis fondas mažesnis nei nurodyta sąlygoje. Taikykime ketvirtąją aksiomą: tikimybė laimėti bent dvidešimt rublių yra P (A) + P (B) + P (C). Raidė P žymi šio įvykio tikimybę, jas jau radome ankstesniuose veiksmuose. Belieka tik pridėti reikiamus duomenis, atsakyme gauname 0,061. Šis skaičius bus atsakymas į užduoties klausimą.

Kortų kaladė

Tikimybių teorijos problemos gali būti sudėtingesnės, pavyzdžiui, paimkime šią užduotį. Čia yra trisdešimt šešių kortų kaladė. Jūsų užduotis yra ištraukti dvi kortas iš eilės, nemaišant krūvos, pirmoji ir antroji kortos turi būti tūzai, kostiumas nesvarbu.

Pirma, suraskime tikimybę, kad pirmoji korta bus tūzas, tam mes padaliname keturis iš trisdešimt šešių. Jie atidėjo į šalį. Išimame antrą kortą, tai bus tūzas su trijų trisdešimt penktadalių tikimybe. Antro įvykio tikimybė priklauso nuo to, kurią kortą ištraukiame pirmiausia, susimąstome, ar tai buvo tūzas, ar ne. Iš to išplaukia, kad įvykis B priklauso nuo įvykio A.

Kitas žingsnis – surasti vienalaikio įvykio tikimybę, tai yra, padauginame A ir B. Jų sandauga randama taip: vieno įvykio tikimybė padauginama iš sąlyginės kito įvykio tikimybės, kurią apskaičiuojame, darydami prielaidą, kad pirmasis įvykis įvyko, tai yra, su pirmąja korta ištraukėme tūzą.

Kad viskas būtų aišku, tokį elementą priskirsime įvykiais. Jis apskaičiuojamas darant prielaidą, kad įvykis A įvyko. Apskaičiuota taip: P (B / A).

Tęskime savo uždavinio sprendimą: P (A * B) = P (A) * P (B / A) arba P (A * B) = P (B) * P (A / B). Tikimybė yra (4/36) * ((3/35) / (4/36). Apskaičiuokite, apvalinkite iki artimiausios šimtosios. Turime: 0,11 * (0,09 / 0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Tikimybė kad iš eilės ištrauksime du tūzus, yra lygi devynioms šimtosioms dalims. Reikšmė labai maža, vadinasi, įvykio tikimybė itin maža.

Pamirštas numeris

Siūlome išanalizuoti dar keletą užduočių variantų, nei tikimybių tyrimų teorija. Kai kurių iš jų sprendimo pavyzdžių jau matėte šiame straipsnyje, pabandykime išspręsti tokią problemą: berniukas pamiršo paskutinį draugo telefono numerio skaitmenį, bet kadangi skambutis buvo labai svarbus, pradėjo rinkti viską iš eilės. Turime apskaičiuoti tikimybę, kad jis paskambins ne daugiau kaip tris kartus. Problemos sprendimas yra paprasčiausias, jei žinomos tikimybių teorijos taisyklės, dėsniai ir aksiomos.

Prieš žiūrėdami į sprendimą, pabandykite jį išspręsti patys. Žinome, kad paskutinis skaitmuo gali būti nuo nulio iki devynių, tai yra, yra tik dešimt reikšmių. Tikimybė gauti reikiamą yra 1/10.

Toliau turime apsvarstyti įvykio kilmės variantus, tarkime, kad berniukas teisingai atspėjo ir iškart įvedė norimą, tokio įvykio tikimybė yra 1/10. Antrasis variantas: pirmasis skambutis yra praleistas, o antrasis yra tikslingas. Apskaičiuokime tokio įvykio tikimybę: 9/10 padauginkite iš 1/9, galų gale taip pat gauname 1/10. Trečias variantas: pirmas ir antras skambučiai buvo ne tuo adresu, tik iš trečio berniukas pateko ten, kur norėjo. Apskaičiuojame tokio įvykio tikimybę: 9/10 padauginus iš 8/9 ir iš 1/8 gauname 1/10. Kiti variantai pagal problemos būklę mūsų nedomina, todėl gautus rezultatus turime susumuoti, galų gale turime 3/10. Atsakymas: Tikimybė, kad berniukas paskambins ne daugiau kaip tris kartus, yra 0,3.

Skaičių kortelės

Priešais jus yra devynios kortelės, kurių kiekvienoje yra parašytas skaičius nuo vieno iki devynių, skaičiai nesikartoja. Jie buvo sudėti į dėžutę ir kruopščiai sumaišyti. Turite apskaičiuoti tikimybę, kad

bus atmestas lyginis skaičius;
dviženklis.

Prieš pereidami prie sprendimo, nustatykime, kad m yra sėkmingų atvejų skaičius, o n yra bendras variantų skaičius. Raskime tikimybę, kad skaičius bus lyginis. Nesunku suskaičiuoti, kad yra keturi lyginiai skaičiai, tai bus mūsų m, iš viso galimi devyni variantai, tai yra, m = 9. Tada tikimybė yra 0,44 arba 4/9.

Apsvarstykite antrąjį atvejį: variantų skaičius yra devyni, bet sėkmingų rezultatų apskritai negali būti, tai yra, m lygus nuliui. Tikimybė, kad ištrauktoje kortelėje bus dviženklis skaičius, taip pat lygi nuliui.

Klasikinis tikimybės apibrėžimas grindžiamas sąvoka tikimybinė patirtis, arba tikimybinis eksperimentas. Jo rezultatas yra vienas iš kelių galimų rezultatų, vadinamas elementarius rezultatus, ir nėra pagrindo tikėtis, kad kartojant tikimybinį eksperimentą koks nors elementarus rezultatas pasirodys dažniau nei kiti. Pavyzdžiui, apsvarstykite tikimybinį kauliuko metimo eksperimentą. Šios patirties rezultatas yra vienas iš 6 taškų, nubrėžtų kauliuko šonuose.

Taigi šiame eksperimente yra 6 pagrindiniai rezultatai:

ir kiekvienas iš jų vienodai laukiasi.

Renginys klasikiniame tikimybiniame eksperimente yra savavališkas elementarių rezultatų rinkinio poaibis. Nagrinėjamame kauliuko metimo pavyzdyje įvykis yra, pavyzdžiui, lyginis taškų skaičius, susidedantis iš elementarių rezultatų.

Įvykio tikimybė yra skaičius:

kur yra elementarių baigčių, sudarančių įvykį, skaičius (kartais sakoma, kad tai yra elementarių baigčių, palankių įvykiui, skaičius), ir yra visų elementarių baigčių skaičius.

Mūsų pavyzdyje:

Kombinaciniai elementai.

Aprašant daugelį tikimybinių eksperimentų, elementarius rezultatus galima identifikuoti su vienu iš šių kombinatorikos (baigtinių aibių mokslo) objektų.

Permutacija iš skaičių vadinamas savavališkai sutvarkytu šių skaičių įrašu be pasikartojimų. Pavyzdžiui, trijų skaičių rinkiniui yra 6 skirtingos permutacijos:

, , , , , .

Savavališkam permutacijų skaičiui yra

(iš eilės einančių natūraliųjų skaičių sandauga, pradedant nuo 1).

Programinės įrangos derinys vadinamas savavališku netvarkingu bet kurių aibės elementų rinkiniu. Pavyzdžiui, trijų skaičių rinkinyje yra 3 skirtingos kombinacijos nuo 3 iki 2:

Savavališkai porai, derinių skaičius iš ir yra lygus

Pavyzdžiui,

Hipergeometrinis pasiskirstymas.

Apsvarstykite šią tikimybinę patirtį. Yra juoda dėžutė, kurioje yra balti ir juodi kamuoliukai. Kamuoliukai yra vienodo dydžio ir jų negalima atskirti liečiant. Eksperimentas susideda iš atsitiktinio kamuoliukų išėmimo. Įvykis, kurio tikimybę reikia rasti, yra tai, kad šie rutuliai yra balti, o kiti yra juodi.

Išvardinkime visus rutulius su skaičiais nuo 1 iki. Tegul skaičiai 1, ¼ atitinka baltus rutulius, o skaičiai ¼ – juodus rutulius. Elementarus šios patirties rezultatas yra netvarkingas elementų rinkinys iš rinkinio, tai yra, derinys pagal. Todėl yra visi elementarūs rezultatai.

Raskime elementarių rezultatų, palankesnių įvykiui, skaičių. Atitinkami rinkiniai sudaryti iš „baltų“ ir „juodų“ skaičių. Skaičius iš „baltų“ skaičių galite pasirinkti įvairiais būdais, o skaičius iš „juodųjų“ – įvairiais būdais. Baltos ir juodos spalvos rinkiniai gali būti derinami savavališkai, todėl yra tik elementarūs renginiui palankūs rezultatai.

Įvykio tikimybė yra

Gauta formulė vadinama hipergeometriniu skirstiniu.

5.1 užduotis. Dėžutėje yra 55 sąlyginės ir 6 brokuotos to paties tipo dalys. Kokia tikimybė, kad tarp trijų atsitiktinai parinktų dalių bus bent viena su defektais?

Sprendimas. Iš viso yra 61 detalė, imame 3. Elementari baigtis yra derinys nuo 61 iki 3. Visų elementariųjų baigčių skaičius yra lygus. Palankūs rezultatai skirstomi į tris grupes: 1) tai rezultatai, kurių 1 dalis yra su trūkumais ir 2 yra geri; 2) 2 dalys yra su defektais, o 1 - gera; 3) visos 3 dalys yra sugedusios. Pirmojo tipo aibių skaičius yra lygus, antrojo tipo aibių skaičius yra lygus, trečiojo tipo aibių skaičius yra lygus. Vadinasi, elementarūs rezultatai skatina įvykį. Įvykio tikimybė yra

Įvykių algebra

Elementarių įvykių erdvė vadinama visų elementarių rezultatų, susijusių su tam tikra patirtimi, visuma.

Suma du įvykiai vadinami įvykiu, kuris susideda iš elementarių įvykiui ar įvykiui priklausančių baigčių.

Pagal gaminį du įvykiai vadinami įvykiu, susidedančiu iš elementarių baigčių, priklausančių vienu metu įvykiams ir.

Įvykiai ir vadinami nenuosekliais, jei.

Renginys vadinamas priešingasįvykis, jei įvykiui palankios visos tos elementarios baigtys, kurios nepriklauso įvykiui. Visų pirma, ,.

Sumos teorema.

Visų pirma,.

Sąlyginė tikimybėįvykiai, su sąlyga, kad įvykis įvyko, vadinami sankirtai priklausančių elementariųjų baigčių skaičiaus ir priklausančių elementariųjų baigčių skaičiaus santykiu. Kitaip tariant, sąlyginė įvykio tikimybė nustatoma pagal klasikinę tikimybių formulę, kurioje yra naujoji tikimybių erdvė. Sąlyginė įvykio tikimybė žymima per.

TEOREMA apie produktą. ...

Renginiai vadinami nepriklausomas, jei. Nepriklausomiems įvykiams sandaugos teorema pateikia ryšį.

Šios dvi formulės yra sumos ir sandaugos teoremų pasekmė.

Bendrosios tikimybės formulė. Visa hipotezių grupė yra savavališkas nesuderinamų įvykių rinkinys, ¼, sumoje, sudarančioje visą tikimybinę erdvę:

Šioje situacijoje savavališkam įvykiui galioja formulė, vadinama bendrosios tikimybės formule,

kur yra Laplaso funkcija,,. Laplaso funkcija pateikiama lentelėse, o jos reikšmes tam tikrai galima rasti bet kuriame tikimybių teorijos ir matematinės statistikos vadovėlyje.

5.3 užduotis. Yra žinoma, kad didelėje dalių partijoje yra 11% sugedusių dalių. Patikrinti atrenkama 100 dalių. Kokia tikimybė, kad tarp jų yra ne daugiau kaip 14 brokuotų? Įvertinkite atsakymą naudodami Moivre-Laplace teoremą.

Sprendimas. Mes susiduriame su Bernulio testu, kur,,. Sėkmė apibrėžiama kaip sugedusios dalies radimas, o sėkmių skaičius patenkina nelygybę. Vadinasi,

Tiesioginis skaičiavimas suteikia:

, , , , , , , , , , , , , , .

Vadinasi,. Dabar taikysime Moivre-Laplace integralinę teoremą. Mes gauname:

Naudodami funkcijos reikšmių lentelę, atsižvelgdami į funkcijos nelygumą, gauname

Apytikslė skaičiavimo paklaida neviršija.

Atsitiktiniai kintamieji

Atsitiktinis dydis yra skaitinė tikimybinės patirties charakteristika, kuri yra elementarių rezultatų funkcija. Jei,, ¼, yra elementarių rezultatų rinkinys, tai atsitiktinis dydis yra funkcija. Tačiau patogiau atsitiktinį kintamąjį apibūdinti išvardijant visas galimas jo reikšmes ir tikimybes, su kuriomis jis paima šią reikšmę.

Tokia lentelė vadinama atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsniu. Kadangi įvykiai sudaro ištisą grupę, tikimybinio normalizavimo dėsnis yra įvykdytas

Atsitiktinio dydžio matematinė lūkestis arba vidutinė vertė yra skaičius, lygus atsitiktinio dydžio reikšmių sandaugų sumai pagal atitinkamas tikimybes.

Atsitiktinio dydžio dispersija (reikšmių sklaidos aplink matematinius lūkesčius laipsnis) yra atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis,

Galima parodyti, kad

Didumas

vadinamas atsitiktinio dydžio vidutiniu kvadratiniu nuokrypiu.

Atsitiktinio dydžio paskirstymo funkcija turi tikimybę patekti į aibę, ty

Tai neneigiama, nemažėjanti funkcija, turinti reikšmes nuo 0 iki 1. Atsitiktiniam dydžiui, turinčiam baigtinę reikšmių rinkinį, tai yra dalimis pastovi funkcija su antrojo tipo nenutrūkstamumu būsenų taškuose. Šiuo atveju jis yra ištisinis kairėje ir.

5.4 užduotis. Iš eilės metami du kauliukai. Jei ant vieno kauliuko iškrenta vienas, trys ar penki taškai, žaidėjas praranda 5 rublius. Sumetus du ar keturis taškus, žaidėjas gauna 7 rublius. Sumetus šešis taškus, žaidėjas praranda 12 rublių. Atsitiktinė vertė xžaidėjas pelno du kauliuko metimus. Raskite paskirstymo įstatymą x, nubraižykite pasiskirstymo funkciją, raskite matematinę lūkesčius ir dispersiją x.

Sprendimas. Pirmiausia pažiūrėkime, koks yra žaidėjo pelnas iš vieno kauliuko metimo. Tegul įvykis susideda iš 1, 3 arba 5 taškų. Tada ir laimėjimas bus rubliai. Tegul įvykis susideda iš 2 arba 4 taškų. Tada ir laimėjimas bus rubliai. Galiausiai tegul įvykis reiškia 6 taškų sumažėjimą. Tada prizas lygus rubliams.

Dabar apsvarstysime visas galimas įvykių kombinacijas ir su dviem kauliukų metimais bei nustatysime kiekvieno tokio derinio laimėjimų dydžius.

Jei įvykis įvyko, tada tuo pačiu metu.

Panašiai, nes gauname,.

Visos rastos būsenos ir suminės šių būsenų tikimybės įrašomos į lentelę:

Tikriname tikimybinio normalizavimo dėsnio įvykdymą: realioje tiesėje turite mokėti nustatyti tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis pateks į šį intervalą 1) ir greitai mažės už, ¼,

Tikimybių teorija – matematikos šaka, tirianti atsitiktinių reiškinių dėsnius: atsitiktinius įvykius, atsitiktinius dydžius, jų savybes ir operacijas su jais.

Ilgą laiką tikimybių teorija neturėjo aiškaus apibrėžimo. Jis buvo suformuluotas tik 1929 m. Tikimybių teorijos, kaip mokslo, atsiradimas siejamas su viduramžiais ir pirmaisiais lošimų (monetų, kauliukų, ruletės) matematinės analizės bandymais. XVII amžiaus prancūzų matematikai Blaise'as Pascalis ir Pierre'as Fermat'as, tyrinėdami azartinių lošimų laimėjimo prognozes, atrado pirmuosius tikimybių dėsnius, kylančius metant kauliukus.

Tikimybių teorija atsirado kaip mokslas iš tikėjimo, kad tam tikri modeliai yra atsitiktinių masinių įvykių šerdis. Tikimybių teorija tiria šiuos modelius.

Tikimybių teorija nagrinėja įvykius, kurių įvykis nėra tiksliai žinomas. Tai leidžia įvertinti kai kurių įvykių tikimybės laipsnį, palyginti su kitais.

Pvz.: neįmanoma vienareikšmiškai nustatyti „galvų“ ar „uodegų“ rezultato dėl monetos metimo, tačiau pakartotinai metant „galvų“ ir „uodegų“ iškrenta maždaug tiek pat, o tai reiškia kad tikimybė gauti „galvų“ ar „uodegų“ „yra 50%.

Testasšiuo atveju vadinamas tam tikros sąlygų visumos įgyvendinimas, tai šiuo atveju – monetos metimas. Iššūkį galima žaisti neribotą skaičių kartų. Šiuo atveju sąlygų kompleksas apima atsitiktinius veiksnius.

Testo rezultatas yra renginys... Renginys vyksta:

Patikimas (visada nutinka kaip testo rezultatas).
Neįmanoma (niekada neįvyksta).
Atsitiktinis (gali įvykti arba neįvykti dėl bandymo).

Pavyzdžiui, išmetus monetą neįmanomas įvykis – moneta atsidurs ant krašto, atsitiktinis įvykis – „galvų“ ar „uodegų“ kritimas. Konkretus tyrimo rezultatas vadinamas elementarus įvykis... Testo rezultate įvyksta tik elementarūs įvykiai. Vadinama visų galimų, skirtingų, specifinių testo rezultatų visuma elementarių įvykių erdvė.

Pagrindinės teorijos sąvokos

Tikimybė- įvykio atsiradimo tikimybės laipsnis. Kai kokios nors galimo įvykio priežastys nusveria priešingas priežastis, tada įvykis vadinamas tikėtinu, kitu atveju – mažai tikėtinas arba mažai tikėtinas.

Atsitiktinė vertė yra vertė, kuri dėl testavimo gali įgyti tam tikrą reikšmę ir iš anksto nežinoma, kuri. Pavyzdžiui: skaičius į gaisrinę per dieną, pataikymų skaičius 10 šūvių ir kt.

Atsitiktinius kintamuosius galima suskirstyti į dvi kategorijas.

Diskretus atsitiktinis dydis yra dydis, kuris atlikus testą su tam tikra tikimybe gali įgyti tam tikras reikšmes, sudarydamas skaičiuojamą aibę (aibę, kurios elementus galima sunumeruoti). Šis rinkinys gali būti ir baigtinis, ir begalinis. Pavyzdžiui, šūvių skaičius prieš pirmąjį pataikymą į taikinį yra atskiras atsitiktinis kintamasis, nes ši reikšmė gali įgyti begalinį, nors ir suskaičiuojamą skaičių reikšmių.
Nuolatinis atsitiktinis dydis vadinamas toks dydis, kuris gali paimti bet kokias reikšmes iš tam tikro baigtinio ar begalinio intervalo. Akivaizdu, kad nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra begalinis.

Tikimybių erdvė- sąvoką pristatė A.N. Kolmogorovas XX amžiaus 30-ajame dešimtmetyje formalizavo tikimybės sampratą, dėl kurios greitai išsivystė tikimybių teorija kaip griežta matematinė disciplina.

Tikimybių erdvė yra tripletas (kartais apsuptas kampiniais skliaustais:, kur

Tai savavališka aibė, kurios elementai vadinami elementariais įvykiais, rezultatais arba taškais;
- poaibių, vadinamų (atsitiktiniais) įvykiais, sigma-algebra;
- tikimybinis matas arba tikimybė, t.y. sigma-addityvinis baigtinis matas toks, kad.

Moivre-Laplace teorema– viena iš ribinių tikimybių teorijos teoremų, kurią Laplasas nustatė 1812 m. Ji teigia, kad sėkmingų to paties atsitiktinio eksperimento su dviem galimais rezultatais pakartojimų skaičius yra maždaug normalus. Tai leidžia jums rasti apytikslę tikimybės vertę.

Jei kiekvienam iš nepriklausomų testų kokio nors atsitiktinio įvykio tikimybė yra lygi () ir yra testų, kuriuose jis iš tikrųjų įvyksta, skaičius, tada nelygybės tikimybė yra artima (didelei) reikšmei. Laplaso integralo.

Pasiskirstymo funkcija tikimybių teorijoje- funkcija, apibūdinanti atsitiktinio dydžio arba atsitiktinio vektoriaus pasiskirstymą; tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę, mažesnę arba lygią x, kur x yra savavališkas realusis skaičius. Jei tenkinamos tam tikros sąlygos, tai visiškai nustato atsitiktinį kintamąjį.

Tikėtina vertė- vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė (tai tikimybės teorijoje nagrinėjamas atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys). Anglų kalbos literatūroje jis žymimas, rusiškai -. Statistikoje šis užrašas dažnai naudojamas.

Tegu duota tikimybių erdvė ir joje apibrėžtas atsitiktinis dydis. Tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra išmatuojama funkcija. Tada, jei yra erdvės Lebesgue integralas, jis vadinamas matematiniu lūkesčiu arba vidutine verte ir žymimas.

Atsitiktinio dydžio dispersija- tam tikro atsitiktinio dydžio sklaidos matas, ty jo nuokrypis nuo matematinio lūkesčio. Jis nurodytas rusų ir užsienio literatūroje. Statistikoje dažnai vartojamas pavadinimas arba. Kvadratinė dispersijos šaknis vadinama standartiniu nuokrypiu, standartiniu nuokrypiu arba standartiniu nuokrypiu.

Leisti būti atsitiktiniu dydžiu, apibrėžtu tam tikroje tikimybių erdvėje. Tada

kur simbolis reiškia matematinį lūkestį.

Tikimybių teorijoje vadinami du atsitiktiniai įvykiai nepriklausomas jeigu vieno iš jų atsiradimas nekeičia kito atsiradimo tikimybės. Panašiai vadinami du atsitiktiniai dydžiai priklausomas jei vienos iš jų vertė turi įtakos kito verčių tikimybei.

Paprasčiausia didelių skaičių dėsnio forma yra Bernulio teorema, teigianti, kad jei įvykio tikimybė visuose bandymuose yra vienoda, tai didėjant bandymų skaičiui, įvykio dažnis linkęs į įvykio tikimybę. įvykis ir nustoja būti atsitiktinis.

Didžiųjų skaičių dėsnis tikimybių teorijoje teigia, kad baigtinės imties iš fiksuoto skirstinio aritmetinis vidurkis yra artimas teoriniam matematiniam to skirstinio lūkesčių vidurkiui. Priklausomai nuo konvergencijos tipo, skiriamas silpnasis didelių skaičių dėsnis, kai yra tikimybės konvergencija, ir stiprus didelių skaičių dėsnis, kai konvergencija beveik neabejotina.

Bendra didelių skaičių dėsnio prasmė yra ta, kad bendras daugelio vienodų ir nepriklausomų atsitiktinių veiksnių veikimas lemia rezultatą, kuris nepriklauso nuo atvejo riboje.

Tikimybės įvertinimo metodai, pagrįsti baigtinės imties analize, yra pagrįsti šia savybe. Iliustratyvus pavyzdys – rinkimų rezultatų prognozė remiantis rinkėjų imties apklausa.

Centrinės ribos teoremos- teoremų klasė tikimybių teorijoje, teigianti, kad pakankamai didelio skaičiaus silpnai priklausomų atsitiktinių dydžių, turinčių maždaug vienodas skales (nė vienas iš terminų nedominuoja, nedaro lemiamo indėlio į sumą), suma turi skirstinį. artimas normaliai.

Kadangi daugelis atsitiktinių dydžių programose susidaro veikiant keletui silpnai priklausomų atsitiktinių veiksnių, jų pasiskirstymas laikomas normaliu. Šiuo atveju turi būti įvykdyta sąlyga, kad nė vienas iš veiksnių nėra dominuojantis. Centrinės ribos teoremos šiais atvejais pateisina normaliojo skirstinio taikymą.