Квадратные уравнения методом интервалов. Метод интервалов, примеры, решения

На этом уроке мы продолжим решение рациональных неравенств методом интервалов для более сложных неравенств. Рассмотрим решение дробно-линейных и дробно-квадратичных неравенств и сопутствующие задачи.

Теперь возвращаемся к неравенству

Рассмотрим некоторые сопутствующие задачи.

Найти наименьшее решение неравенства.

Найти число натуральных решений неравенства

Найти длину интервалов, составляющих множество решений неравенства.

2. Портал Естественных Наук ().

3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().

5. Центр образования «Технология обучения» ().

6. Раздел College.ru по математике ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. №№ 28(б,в); 29(б,в); 35(а,б); 37(б,в); 38(а).

Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.

Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.

Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), С числовыми неравенствами вы встречались и в младших классах. Знаете, что неравенства могут быть верными, а могут быть и неверными. Например, \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3} \) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 - неверное числовое неравенство.

Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 - неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.

Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.

Числовые неравенства

Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.

Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а Таким образом, неравенство а > b означает, что разность а - b положительна, т.е. а - b > 0. Неравенство а Для любых двух чисел а и b из следующих трёх соотношений a > b, a = b, a Сравнить числа а и b - значит выяснить, какой из знаков >, = или Теорема. Если a > b и Ь > с, то а > с.

Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.

При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй - более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.

Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d - положительные числа, то ac > bd.

Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c Наряду со знаками строгих неравенств > и Точно так же неравенство \(a \geq b \) означает, что число а больше или равно b, т. е. а не меньше b.

Неравенства, содержащие знак \(\geq \) или знак \(\leq \), называют нестрогими. Например, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) - нестрогие неравенства.

Все свойства строгих неравенств справедливы и для нестрогих неравенств. При этом если для строгих неравенств противоположными считались знаки > и Вы знаете, что для решения ряда прикладных задач приходится составлять математическую модель в виде уравнения или системы уравнений. Далее вы узнаете, что математическими моделями для решения многих задач являются неравенства с неизвестными. Будет введено понятие решения неравенства и показано, как проверить, является ли данное число решением конкретного неравенства.

Неравенства вида
\(ax > b, \quad ax в которых а и b - заданные числа, а x - неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным .

Определение. Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Решение уравнений вы осуществляли путём приведения их к простейшим уравнениям. Аналогично при решении неравенств их стремятся с помощью свойств привести к виду простейших неравенств.

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида
\(ax^2+bx+c >0 \) и \(ax^2+bx+c где x - переменная, a, b и c - некоторые числа и \(a \neq 0 \), называют неравенствами второй степени с одной переменной .

Решение неравенства
\(ax^2+bx+c >0 \) или \(ax^2+bx+c можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция \(y= ax^2+bx+c \) принимает положительные или отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции \(y= ax^2+bx+c \) в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы - вверх или вниз, пересекает ли парабола ось x и если пересекает, то в каких точках.

Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной:
1) находят дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2+bx+c \) и выясняют, имеет ли трехчлен корни;
2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при a > 0 или вниз при a 0 или в нижней при a 3) находят на оси x промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство \(ax^2+bx+c >0 \)) или ниже оси x (если решают неравенство
\(ax^2+bx+c Решение неравенств методом интервалов

Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) и \((5; +\infty) \)

Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.

Выражение (х + 2)(х - 3)(х - 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
где x–переменная, а x 1 , x 2 , ..., x n – не равные друг другу числа. Числа x 1 , x 2 , ..., x n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

Это свойство используется для решения неравенств вида
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) где x 1 , x 2 , ..., x n - не равные друг другу числа

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.

Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.

Решить неравенство:

\(x(0,5-x)(x+4) Очевидно, что нулями функции f(x) = x(0,5-x)(x+4) являются точки \(x=0, \; x=\frac{1}{2} , \; x=-4 \)

Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке:

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.

Ответ:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Метод интервалов принято считать универсальным для решения неравенств. Иногда этот метод также называют методом промежутков. Применим он как для решения рациональных неравенств с одной переменной, так и для неравенств других видов. В нашем материале мы постарались уделить внимание всем аспектам вопроса.

Что ждет вас в данном разделе? Мы разберем метод промежутков и рассмотрим алгоритмы решения неравенств с его помощью. Затронем теоретические аспекты, на которых основано применение метода.

Особое внимание мы уделяем нюансам темы, которые обычно не затрагиваются в рамках школьной программы. Например, рассмотрим правила расстановки знаков на интервалах и сам метод интервалов в общем виде без его привязки к рациональным неравенствам.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Алгоритм

Кто помнит, как происходит знакомство с методом промежутков в школьном курсе алгебры? Обычно все начинается с решения неравенств вида f (x) < 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , > или ≥). Здесь f (x) может быть многочленом или отношением многочленов. Многочлен, в свою очередь, может быть представлен как:

• произведение линейных двучленов с коэффициентом 1 при переменной х;
• произведение квадратных трехчленов со старшим коэффициентом 1 и с отрицательным дискриминантом их корней.

Приведем несколько примеров таких неравенств:

(x + 3) · (x 2 − x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0 ,

(x - 2) · (x + 5) x + 3 > 0 ,

(x − 5) · (x + 5) ≤ 0 ,

(x 2 + 2 · x + 7) · (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 · (x - 1) · (x - 3) 7 ≤ 0 .

Запишем алгоритм решения неравенств такого вида, как мы привели в примерах, методом промежутков:

• находим нули числителя и знаменателя, для этого числитель и знаменатель выражения в левой части неравенства приравниваем к нулю и решаем полученные уравнения;
• определяем точки, которые соответствуют найденным нулям и отмечаем их черточками на оси координат;
• определяем знаки выражения f (x) из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке и проставляем их на графике;
• наносим штриховку над нужными участками графика, руководствуясь следующим правилом: в случае, если неравенство имеет знаки < или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки > или ≥ , то выделяем штриховкой участки, отмеченные знаком « + ».

Четреж, с которым мы будем работать, может иметь схематический вид. Излишние подробности могут перегружать рисунок и затруднять решение. Нас будет мало интересовать маштаб. Достаточно будет придерживаться правильного расположения точек по мере роста значений их координат.

При работе со строгими неравенствами мы будем использовать обозначение точки в виде круга с незакрашенным (пустым) центром. В случае нестрогих неравенств точки, которые соответствуют нулям знаменателя, мы будем изображать пустыми, а все остальные обычными черными.

Отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков. Это позволяет нам получить геометрическое представление числового множества, которое фактически является решением данного неравенства.

Научные основы метода промежутков

Основан подход, положенный в основу метода промежутков, основан на следующем свойстве непрерывной функции: функция сохраняет постоянный знак на интервале (a , b) , на котором эта функция непрерывна и не обращается в нуль. Это же свойство характерно для числовых лучей (− ∞ , a) и (a , + ∞) .

Приведенное свойство функции подтверждается теоремой Больцано-Коши, которая приведена во многих пособиях для подготовки к вступительным испытаниям.

Обосновать постоянство знака на промежутках также можно на основе свойств числовых неравенств. Например, возьмем неравенство x - 5 x + 1 > 0 . Если мы найдем нули числителя и знаменателя и нанесем их на числовую прямую, то получим ряд промежутков: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) и (5 , + ∞) .

Возьмем любой из промежутков и покажем на нем, что на всем промежутке выражение из левой части неравенства будет иметь постоянный знак. Пусть это будет промежуток (− ∞ , − 1) . Возьмем любое число t из этого промежутка. Оно будет удовлетворять условиям t < − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Используя оба полученных неравенства и свойство числовых неравенств, мы можем предположить, что t + 1 < 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t на промежутке (− ∞ , − 1) .

Используя правило деления отрицательных чисел, мы можем утверждать, что значение выражения t - 5 t + 1 будет положительным. Это значит, что значение выражения x - 5 x + 1 будет положительным при любом значении x из промежутка (− ∞ , − 1) . Все это позволяет нам утверждать, что на промежутке, взятом для примера, выражение имеет постоянный знак. В нашем случае это знак « + ».

Нахождение нулей числителя и знаменателя

Алгоритм нахождения нулей прост: приравниваем выражения из числителя и знаменателя к нулю и решаем полученные уравнения. При возникновении затруднений можно обратиться к теме «Решение уравнений методом разложения на множители». В этом разделе мы ограничимся лишь рассмотрением примера.

Рассмотрим дробь x · (x - 0 , 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Для того, чтобы найти нули числителя и знаменателя, приравняем их к нулю для того, чтобы получить и решить уравнения: x · (x − 0 , 6) = 0 и x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 = 0 .

В первом случае мы можем перейти к совокупности двух уравнений x = 0 и x − 0 , 6 = 0 , что дает нам два корня 0 и 0 , 6 . Это нули числителя.

Второе уравнение равносильно совокупности трех уравнений x 7 = 0 , (x 2 + 2 · x + 7) 2 = 0 , (x + 5) 3 = 0 . Проводим ряд преобразований и получаем x = 0 , x 2 + 2 · x + 7 = 0 , x + 5 = 0 . Корень первого уравнения 0 , у второго уравнения корней нет, так как оно имеет отрицательный дискриминант, корень третьего уравнения - 5 . Это нули знаменателя.

0 в данном случае является одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя.

В общем случае, когда в левой части неравенства дробь, которая не обязательно является рациональной, числитель и знаменатель точно также приравниваются к нулю для получения уравнений. Решение уравнений позволяет найти нули числителя и знаменателя.

Определить знак интервала просто. Для этого можно найти значение выражения из левой части неравенства для любой произвольно выбранной точки из данного интервала. Полученный знак значения выражения в произвольно выбранной точке промежутка будет совпадать со знаком всего промежутка.

Рассмотрим это утверждение на примере.

Возьмем неравенство x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . Нулей числителя выражение, расположенное в левой части неравенства, нулей не имеет. Нулем знаменателя будет число - 3 . Получаем два промежутка на числовой прямой (− ∞ , − 3) и (− 3 , + ∞) .

Для того, чтобы определить знаки промежутков, вычислим значение выражения x 2 - x + 4 x + 3 для точек, взятых произвольно на каждом из промежутков.

Из первого промежутка (− ∞ , − 3) возьмем − 4 . При x = − 4 имеем (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Мы получили отрицательное значение, значит весь интервал будет со знаком « - ».

Для промежутка (− 3 , + ∞) проведем вычисления с точкой, имеющей нулевую координату. При x = 0 имеем 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Получили положительное значение, что значит, что весь промежуток будет иметь знак « + ».

Можно использовать еще один способ определения знаков. Для этого мы можем найти знак на одном из интервалов и сохранить его или изменить при переходе через нуль. Для того, чтобы все сделать правильно, необходимо следовать правилу: при переходе через нуль знаменателя, но не числителя, или числителя, но не знаменателя мы можем поменять знак на противоположный, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не можем поменять знак, если степень четная. Если мы получили точку, которая является одновременно нулем числителя и знаменателя, то поменять знак на противоположный можно только в том случае, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная.

Если вспомнить неравенство, которое мы рассмотрели в начале первого пункта этого материала, то на крайнем правом промежутке мы можем поставить знак « + ».

Теперь обратимся к примерам.

Возьмем неравенство (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 и решим его методом интервалов. Для этого нам необходимо найти нули числителя и знаменателя и отметить их на координатной прямой. Нулями числителя будут точки 2 , 3 , 4 , знаменателя точки 1 , 3 , 4 . Отметим их на оси координат черточками.

Нули знаменателя отметим пустыми точками.

Так как мы имеем дело с нестрогим неравенством, то оставшиеся черточки заменяем обычными точками.

Теперь расставим точки на промежутках. Крайний правый промежуток (4 , + ∞) будет знак + .

Продвигаясь справа налево будем проставлять знаки остальных промежутков. Переходим через точку с координатой 4 . Это одновременно нуль числителя и знаменателя. В сумме, эти нули дают выражения (x − 4) 2 и x − 4 . Сложим их степени 2 + 1 = 3 и получим нечетное число. Это значит, что знак при переходе в данном случае меняется на противоположный. На интервале (3 , 4) будет знак минус.

Переходим к интервалу (2 , 3) через точку с координатой 3 . Это тоже нуль и числителя, и знаменателя. Мы его получили благодаря двум выражениям (x − 3) 3 и (x − 3) 5 , сумма степеней которых равна 3 + 5 = 8 . Получение четного числа позволяет нам оставить знак интервала неизменным.

Точка с координатой 2 – это нуль числителя. Степень выражения х - 2 равна 1 (нечетная). Это значит, что при переходе через эту точку знак необходимо изменить на противоположный.

У нас остался последний интервал (− ∞ , 1) . Точка с координатой 1 – это нуль знаменателя. Он был получен из выражения (x − 1) 4 , с четной степенью 4 . Следовательно, знак остается прежним. Итоговый рисунок будет иметь вот такой вид:

Применение метода интервалов особенно эффективно в случаях, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы. Примером может стать необходимость вычисления значения выражения

x + 3 - 3 4 3 · x 2 + 6 · x + 11 2 · x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 · x - 2 3 5 · (x - 12)

в любой точке интервала 3 - 3 4 , 3 - 2 4 .

Теперь займемся применением полученных знаний и навыков на практике.

Пример 1

Решите неравенство (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0 .

Решение

Целесообразно применить для решения неравенства метод интервалов. Находим нули числителя и знаменателя. Нули числителя 1 и - 5 , нули знаменателя 7 и 1 . Отметим их на числовой прямой. Мы имеем дело с нестрогим неравенством, поэтому нули знаменателя отметим пустыми точками, нуль числителя - 5 отметим обычной закрашенной точкой.

Проставим знаки промежутков, используя правила изменения знака при переходе через нуль. Начнем с крайнего правого промежутка, для которого вычислим значение выражения из левой части неравенства в точке, произвольно взятой из промежутка. Получим знак « + ». Перейдем последовательно через все точки на координатной прямой, расставляя знаки, и получим:

Мы работаем с нестрогим неравенством, имеющим знак ≤ . Это значит, что нам необходимо отметить штриховкой промежутки, отмеченные знаком « - ».

Ответ: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Решение рациональных неравенств в большинстве случаев требует их предварительного преобразования к нужному виду. Только после этого появляется возможность использовать метод интервалов. Алгоритмы проведения таких преобразований рассмотрены в материале «Решение рациональных неравенств».

Рассмотрим пример преобразования квадратных трехчленов в записи неравенств.

Пример 2

Найдите решение неравенства (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 · x - 8 > 0 .

Решение

Давайте посмотрим, действительно ли дискриминанты квадратных трехчленов в записи неравенства отрицательны. Это позволит нам определить, позволяет ли вид данного неравенства применить для решения метод интервалов.

Вычислим дискриминант для трехчлена x 2 + 3 · x + 3: D = 3 2 − 4 · 1 · 3 = − 3 < 0 . Теперь вычислим дискриминант для трехчлена x 2 + 2 · x − 8: D ’ = 1 2 − 1 · (− 8) = 9 > 0 . Как видите, неравенство требует предварительного преобразования. Для этого представим трехчлен x 2 + 2 · x − 8 как (x + 4) · (x − 2) , а потом применим метод интервалов для решения неравенства (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0 .

Ответ: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Обобщенный метод промежутков применяется для решения неравенств вида f (x) < 0 (≤ , > , ≥) , где f (x) – произвольное выражение с одной переменной x .

Все действия проводятся по определенному алгоритму. При этом алгоритм решения неравенств обобщенным методом интервалов будет несколько отличаться от того, что мы разобрали ранее:

• находим область определения функции f и нули этой функции;
• отмечаем на координатной оси граничные точки;
• наносим на числовую прямую нули функции;
• определяем знаки промежутков;
• наносим штриховку;
• записываем ответ.

На числовой прямой необходимо отмечать в том числе и отдельные точки области определения. К примеру, областью определения функции служит множество (− 5 , 1 ] ∪ { 3 } ∪ [ 4 , 7) ∪ { 10 } . Это значит, что нам необходимо отметить точки с координатами − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 и 10 . Точки − 5 и 7 изобразим пустыми, остальные можно выделить цветным карандашом для того, чтобы отличать их затем от нулей функции.

Нули функции в случае нестрогих неравенств наносятся обычными (закрашенными) точками, строгих – пустыми точками. Если нули совпадают с граничными точками или отдельными точками области определения, то их можно перекрасить в черный цвет, сделав пустыми или закрашенными в зависимости от вида неравенства.

Запись ответа представляет собой числовое множество, которое включает в себя:

• промежутки со штриховкой;
• отдельные точки области определения со знаком плюс, если мы имеем дело с неравенством, знак которого > или ≥ или со знаком минус, если в неравенстве есть знаки < или ≤ .

Теперь стало понятно, что тот алгоритм, который мы привели в самом начале темы, является частным случаем алгоритма применения обобщенного метода интервалов.

Рассмотрим пример применения обобщенного метода интервалов.

Пример 3

Решите неравенство x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 x - 7 < 0 .

Решение

Вводим функцию f такую, что f (x) = x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 x - 7 . Найдем область определения функции f :

x 2 + 2 · x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Теперь найдем нули функции. Для этого проведем решение иррационального уравнения:

x 2 + 2 · x - 24 - 3 4 · x - 3 = 0

Получаем корень x = 12 .

Для обозначения граничных точек на оси координат используем оранжевый цвет. Точки - 6 , 4 у нас будут закрашенными, а 7 оставляем пустой. Получаем:

Отметим ноль функции пустой точкой черного цвета, так как мы работаем со строгим неравенством.

Определяем знаки на отдельных промежутках. Для этого возьмем по одной точке из каждого промежутка, например, 16 , 8 , 6 и − 8 , и вычислим в них значение функции f :

f (16) = 16 2 + 2 · 16 - 24 - 3 4 · 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 · 8 - 24 - 3 4 · 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9 < 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 > 0 f (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15 < 0

Расставляем только что определенные знаки, и наносим штриховку над промежутками со знаком минус:

Ответом будет являться объединение двух промежутков со знаком « - »: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

В ответ мы включили точку с координатой - 6 . Это не нуль функции, который мы бы не включили в ответ при решении строгого неравенства, а граничная точка области определения, которая входит в область определения. Значение функции в этой точке отрицательное, это значит, что она удовлетворяет неравенству.

Точку 4 мы в ответ не включили, точно также, как не включили весь промежуток [ 4 , 7) . В этой точке, точно также, как и на всем указанном промежутке значение функции положительно, что не удовлетворяет решаемому неравенству.

Запишем это еще раз для более четкого понимания: цветные точки необходимо включать в ответ в следующих случаях:

• эти точки являются частью промежутка со штриховкой,
• эти точки являются отдельными точками области определения функции, значения функции в которых удовлетворяют решаемому неравенству.

Ответ: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

1. Рассмотрим, например, такое неравенство

Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.

В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.

Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.

Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида .

Где и - корни квадратного уравнения .

Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Нули знаменателя и - выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя и - закрашены, так как неравенство нестрогое. При и наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

Эти точки разбивают ось на промежутков.

Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным - либо "плюс", либо "минус".

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
. Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из "скобок" отрицательная. Левая часть имеет знак .

Следующий промежуток: . Проверим знак при . Получаем, что левая часть поменяла знак на .

Возьмем . При выражение положительно - следовательно, оно положительно на всем промежутке от до .

При левая часть неравенства отрицательна.

И, наконец, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .

Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:

Ответ: .

Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным .

Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:

Или class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left(x \right)}{\displaystyle Q\left(x \right)} > 0"> , или , или .

(в левой части - дробно-рациональная функция, в правой - нуль).

Затем - отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого - записываем ответ. Вот и всё.

Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.

2. Рассмотрим еще одно неравенство.

Class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left(x-2 \right)^2}{\displaystyle \left(x-1 \right)\left(x-3 \right)}>0">

Снова расставляем точки на оси . Точки и - выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка - тоже выколота, поскольку неравенство строгое.

При числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, . Левая часть имеет знак :

При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак :

При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак :

Наконец, при class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :

Ответ: .

Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку "ответственный" за неё множитель не изменил знак . Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.

Вывод: если линейный множитель стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку знак выражения в левой части не меняется . В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.

3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:

Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:

Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение Это происходит потому, что при и левая, и правая части неравенства равны нулю - следовательно, эта точка является решением.

Ответ: .

В задаче на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!

4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:

Квадратный трехчлен на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения при всех одинаков, а конкретно - положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции .

И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех . Придём к равносильному неравенству:

Которое легко решается методом интервалов.

Обратите внимание - мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.

5 . Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:

Так и хочется умножить его на . Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину - знак неравенства меняется.

Мы поступим по другому - соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:

Class="tex" alt="\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x-2}{\displaystyle x}>0">

И после этого - применим метод интервалов .

Метод интервалов (или как его еще иногда называют метод промежутков) – это универсальный метод решения неравенств. Он подходит для решения разнообразных неравенств, однако наиболее удобен в решении рациональных неравенств с одной переменной. Поэтому в школьном курсе алгебры метод интервалов вплотную привязывают именно к рациональным неравенствам, а решению других неравенств с его помощью практически не уделяют внимания.

В этой статье мы детально разберем метод интервалов и затронем все тонкости решения неравенств с одной переменной с его помощью. Начнем с того, что приведем алгоритм решения неравенств методом интервалов. Дальше поясним, на каких теоретических аспектах он базируется, и разберем шаги алгоритма, в частности, подробно остановимся на определении знаков на интервалах. После этого перейдем к практике и покажем решения нескольких типовых примеров. А в заключение рассмотрим метод интервалов в общем виде (то есть, без привязки к рациональным неравенствам), другими словами, обобщенный метод интервалов.

Навигация по странице.

Алгоритм

Знакомство с методом интервалов в школе начинается при решении неравенств вида f(x)<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, > или ≥), где f(x) – это либо , представленный в виде произведения линейных двучленов с 1 при переменной x и/или квадратных трехчленов со старшим коэффициентом 1 и с отрицательным дискриминантом и их степеней, либо отношение таких многочленов. Для наглядности приведем примеры подобных неравенств: (x−5)·(x+5)≤0 , (x+3)·(x 2 −x+1)·(x+2) 3 ≥0 , .

Чтобы сделать дальнейший разговор предметным, сразу запишем алгоритм решения неравенств указанного выше вида методом интервалов, а потом разберемся, что да как да почему. Итак, по методу интервалов:

• Сначала находятся нули числителя и нули знаменателя. Для этого числитель и знаменатель выражения в левой части неравенства приравниваются к нулю, и решаются полученные уравнения.
• После этого точки, соответствующие найденным нулям, отмечаются черточками на . Достаточно схематического чертежа, на котором не обязательно соблюдать масштаб, главное придерживаться расположения точек относительно друг друга: точка с меньшей координатой находится левее точки с большей координатой. После этого выясняется, какими следует их изобразить: обычными или выколотыми (с пустым центром). При решении строгого неравенства (со знаком < или >) все точки изображаются выколотыми. При решении нестрогого неравенства (со знаком ≤ или ≥) точки, отвечающие нулям знаменателя, делаются выколотыми, а оставшиеся отмеченные черточками точки – обычными. Эти точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков .
• Дальше определяются знаки выражения f(x) из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке (как это делается, подробно расскажем в одном из следующих пунктов), и над ними проставляются + или − в соответствии с определенными на них знаками.
• Наконец, при решении неравенства со знаком < или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком > или ≥ - над промежутками, отмеченными знаком +. В результате получается , которое и является искомым решением неравенства.

Заметим, что приведенный алгоритм согласован с описанием метода интервалов в школьных учебниках .

На чем базируется метод?

Подход, лежащий в основе метода интервалов, имеет место в силу следующего свойства непрерывной функции : если на интервале (a, b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак (от себя добавим, что аналогичное свойство справедливо и для числовых лучей (−∞, a) и (a, +∞) ). А это свойство в свою очередь следует из теоремы Больцано-Коши (ее рассмотрение выходит за рамки школьной программы), формулировку и доказательство которой при необходимости можно найти, например, в книге .

Для выражений f(x) , имеющих указанный в предыдущем пункте вид, постоянство знака на промежутках можно обосновать и иначе, отталкиваясь от свойств числовых неравенств и учитывая правила умножения и деления чисел с одинаковыми знаками и разными знаками.

В качестве примера рассмотрим неравенство . Нули его числителя и знаменателя разбивают числовую прямую на три промежутка (−∞, −1) , (−1, 5) и (5, +∞) . Покажем, что на промежутке (−∞, −1) выражение из левой части неравенства имеет постоянный знак (можно взять и другой промежуток, рассуждения будут аналогичными). Возьмем любое число t из этого промежутка. Оно, очевидно, будет удовлетворять неравенству t<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

Так мы плавно подошли к вопросу определения знаков на промежутках, но не будем перескакивать через первый шаг метода интервалов, подразумевающий нахождение нулей числителя и знаменателя.

Как находить нули числителя и знаменателя?

С нахождением нулей числителя и знаменателя дроби указанного в первом пункте вида обычно не возникает никаких проблем. Для этого выражения из числителя и знаменателя приравниваются к нулю, и решаются полученные уравнения. Принцип решения уравнений такого вида подробно изложен в статье решение уравнений методом разложения на множители . Здесь лишь ограничимся примером.

Рассмотрим дробь и найдем нули ее числителя и знаменателя. Начнем с нулей числителя. Приравниваем числитель к нулю, получаем уравнение x·(x−0,6)=0 , от которого переходим к совокупности двух уравнений x=0 и x−0,6=0 , откуда находим два корня 0 и 0,6 . Это искомые нули числителя. Теперь находим нули знаменателя. Составляем уравнение x 7 ·(x 2 +2·x+7) 2 ·(x+5) 3 =0 , оно равносильно совокупности трех уравнений x 7 =0 , (x 2 +2·x+7) 2 =0 , (x+5) 3 =0 , и дальше x=0 , x 2 +2·x+7=0 , x+5=0 . Корень первого из этих уравнений очевиден, это 0 , второе уравнение корней не имеет, так как его дискриминант отрицательный, а корень третьего уравнения есть −5 . Итак, мы нашли нули знаменателя, их оказалось два: 0 и −5 . Заметим, что 0 оказался как нулем числителя, так и нулем знаменателя.

Для нахождения нулей числителя и знаменателя в общем случае, когда в левой части неравенства дробь, но не обязательно рациональная, также числитель и знаменатель приравниваются к нулю, и решаются соответствующие уравнения.

Как определять знаки на интервалах?

Самый надежный способ определения знака выражения из левой части неравенства на каждом промежутке состоит в вычислении значения этого выражения в какой-либо одной точке из каждого промежутка. При этом искомый знак на промежутке совпадает со знаком значения выражения в любой точке этого промежутка. Поясним это на примере.

Возьмем неравенство . Выражение из его левой части не имеет нулей числителя, а нулем знаменателя является число −3. Оно делит числовую прямую на два промежутка (−∞, −3) и (−3, +∞) . Определим знаки на них. Для этого возьмем по одной точке из этих промежутков, и вычислим значения выражения в них. Сразу заметим, что целесообразно брать такие точки, чтобы проводить вычисления было легко. Например, из первого промежутка (−∞, −3) можно взять −4 . При x=−4 имеем , получили значение со знаком минус (отрицательное), поэтому, на этом интервале будет знак минус. Переходим к определению знака на втором промежутке (−3, +∞) . Из него удобно взять 0 (если 0 входит в промежуток, то целесообразно всегда брать его, так как при x=0 вычисления оказываются наиболее простыми). При x=0 имеем . Это значение со знаком плюс (положительное), поэтому, на этом интервале будет знак плюс.

Существует и другой подход к определению знаков, состоящий в нахождении знака на одном из интервалов и его сохранении или изменении при переходе к соседнему интервалу через нуль. Нужно придерживаться следующего правила. При переходе через нуль числителя, но не знаменателя, или через нуль знаменателя, но не числителя, знак изменяется, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная. А при переходе через точку, являющуюся одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя, знак изменяется, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная.

Кстати, если выражение в правой части неравенства имеет вид, указанный в начале первого пункта этой статьи, то на крайнем правом промежутке будет знак плюс.

Чтобы все стало понятно, рассмотрим пример.

Пусть перед нами неравенство , и мы его решаем методом интервалов. Для этого находим нули числителя 2 , 3 , 4 и нули знаменателя 1 , 3 , 4 , отмечаем их на координатной прямой сначала черточками

затем нули знаменателя заменяем изображениями выколотых точек

и так как решаем нестрогое неравенство, то оставшиеся черточки заменяем обыкновенными точками

А дальше наступает момент определения знаков на промежутках. Как мы заметили перед этим примером, на крайнем правом промежутке (4, +∞) будет знак +:

Определим остальные знаки, при этом будем продвигаться от промежутка к промежутку справа налево. Переходя к следующему интервалу (3, 4) , мы переходим через точку с координатой 4 . Это нуль как числителя, так и знаменателя, эти нули дают выражения (x−4) 2 и x−4 , сумма их степеней равна 2+1=3 , а это нечетное число, значит, при переходе через эту точку нужно изменить знак. Поэтому, на интервале (3, 4) будет знак минус:

Идем дальше к интервалу (2, 3) , при этом переходим через точку с координатой 3 . Это нуль также как числителя, так и знаменателя, его дают выражения (x−3) 3 и (x−3) 5 , сумма их степеней равна 3+5=8 , а это четное число, поэтому, знак останется неизменным:

Продвигаемся дальше к интервалу (1, 2) . Путь к нему нам преграждает точка с координатой 2 . Это нуль числителя, его дает выражение x−2 , его степень равна 1 , то есть она нечетная, следовательно, при переходе через эту точку знак изменится:

Наконец, осталось определить знак на последнем интервале (−∞, 1) . Чтобы попасть на него, нам необходимо преодолеть точку с координатой 1 . Это нуль знаменателя, его дает выражение (x−1) 4 , его степень равна 4 , то есть, она четная, следовательно, знак при переходе через эту точку изменяться не будет. Так мы определили все знаки, и рисунок приобретает такой вид:

Понятно, что применение рассмотренного метода особенно оправдано, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы. К примеру, вычислите-ка значение выражения в любой точке интервала .

Примеры решения неравенств методом интервалов

Теперь можно собрать воедино всю представленную информацию, достаточную для решения неравенств методом интервалов, и разобрать решения нескольких примеров.

Пример.

Решите неравенство .

Решение.

Проведем решение этого неравенства методом интервалов. Очевидно, нули числителя это 1 и −5 , а нули знаменателя и 1 . Отмечаем их на числовой прямой, при этом точки с координатами и 1 выколотые как нули знаменателя, а оставшийся нуль числителя −5 изобразим обычной точкой, так как решаем нестрогое неравенство:

Теперь проставляем знаки на промежутках, придерживаясь правила сохранения или изменения знака при переходе через нули. Над крайним справа промежутком будет знак + (это можно проверить, вычислив значение выражения в левой части неравенства в какой-либо точке этого промежутка, например, при x=3 ). При переходе через знак изменяем, при переходе через 1 – оставляем таким же, и при переходе через −5 опять оставляем знак без изменения:

Так как мы решаем неравенство со знаком ≤, то осталось изобразить штриховку над промежутками, отмеченными знаком −, и по полученному изображению записать ответ.

Итак, искомое решение таково: .

Ответ:

.

Справедливости ради обратим внимание на то, что в подавляющем большинстве случаев при решении рациональных неравенств их предварительно приходится преобразовывать к нужному виду, чтобы стало возможным их решение методом интервалов. Как проводить такие преобразования мы подробно обсудим в статье решение рациональных неравенств , а сейчас приведем пример, иллюстрирующий один важный момент, касающийся квадратных трехчленов в записи неравенств.

Пример.

Найдите решение неравенства .

Решение.

С первого взгляда на данное неравенство кажется, что его вид подходит для применения метода интервалов. Но не помешает проверить, действительно ли дискриминанты квадратных трехчленов в его записи отрицательны. Вычислим их для успокоения совести. Для трехчлена x 2 +3·x+3 имеем D=3 2 −4·1·3=−3<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0 . Это означает, что для придания этому неравенству нужного вида требуются преобразования. В данном случае достаточно трехчлен x 2 +2·x−8 представить как (x+4)·(x−2) , и дальше решать методом интервалов неравенство .

Ответ:

.

Обобщенный метод интервалов

Обобщенный метод интервалов позволяет решать неравенства вида f(x)<0 (≤, >, ≥), где f(x) – произвольное с одной переменной x . Запишем алгоритм решения неравенств обобщенным методом интервалов :

• Сначала надо f и нули этой функции.
• На числовой прямой отмечаются граничные, в том числе и отдельные точки области определения. Например, если областью определения функции служит множество (−5, 1]∪{3}∪ (на интервале (−6, 4) знак не определяем, так как он не является частью области определения функции). Для этого возьмем по одной точке из каждого промежутка, например, 16 , 8 , 6 и −8 , и вычислим в них значение функции f :
  
  

  Если возникли вопросы как было выяснено, какими являются вычисленные значения функции, положительными или отрицательными, то изучите материал статьи сравнение чисел .

  Расставляем только что определенные знаки, и наносим штриховку над промежутками со знаком минус:
  

  В ответ записываем объединение двух промежутков со знаком −, имеем (−∞, −6]∪(7, 12) . Обратите внимание, что −6 включено в ответ (соответствующая точка сплошная, а не выколотая). Дело в том, что это не нуль функции (который при решении строгого неравенства мы бы не включили в ответ), а граничная точка области определения (она цветная, а не черная), при этом входящая в область определения. Значение функции в этой точке отрицательно (о чем свидетельствует знак минус над соответствующим промежутком), то есть, она удовлетворяет неравенству. А вот 4 включать в ответ не нужно (как и весь промежуток ∪(7, 12) .

  Список литературы.

  1. Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  2. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
  3. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  4. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. – М.: Высш. школа, 1981, т. 1. – 687 с., ил.