Teorema pentru rezolvarea inegalităților exponențiale. Rezolvarea inegalităților exponențiale: metode de bază

Decizie majoritara probleme matematice este oarecum legată de transformarea expresiilor numerice, algebrice sau funcționale. Cele de mai sus se aplică în special deciziei. În versiunile examenului de stat unificat la matematică, acest tip de problemă include, în special, sarcina C3. Învățarea rezolvării sarcinilor C3 este importantă nu numai în scopul promovării cu succes a examenului de stat unificat, ci și pentru motivul că această abilitate va fi utilă atunci când studiezi un curs de matematică în liceu.

Când finalizați sarcinile C3, trebuie să decideți tipuri diferite ecuații și inegalități. Printre acestea sunt raționale, iraționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice, care conțin module ( valori absolute), precum și cele combinate. Acest articol discută principalele tipuri de ecuații exponențiale și inegalități, precum și diferite metode de rezolvare a acestora. Citiți despre rezolvarea altor tipuri de ecuații și inegalități în secțiunea „” din articolele dedicate metodelor de rezolvare a problemelor C3 din Opțiuni pentru examenul de stat unificat matematică.

Înainte de a începe să analizăm specific ecuații exponențiale și inegalități, în calitate de tutore de matematică, vă sugerez să periați ceva material teoretic de care vom avea nevoie.

Functie exponentiala

Ce este o funcție exponențială?

Funcția formei y = un x, Unde A> 0 și A≠ 1 este numit functie exponentiala.

De bază proprietăți functie exponentiala y = un x:

Graficul unei funcții exponențiale

Graficul funcției exponențiale este exponent:

Grafice ale funcțiilor exponențiale (exponenți)

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale

Indicativ se numesc ecuatii in care variabila necunoscuta se gaseste numai in exponenti ai unor puteri.

Pentru solutii ecuații exponențiale trebuie să cunoașteți și să fiți capabil să utilizați următoarea teoremă simplă:

Teorema 1. Ecuație exponențială A f(X) = A g(X) (Unde A > 0, A≠ 1) este echivalentă cu ecuația f(X) = g(X).

În plus, este util să ne amintim formulele și operațiile de bază cu grade:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Exemplul 1. Rezolvați ecuația:

Soluţie: Folosim formulele de mai sus și înlocuirea:

Ecuația devine atunci:

Discriminantul ecuației patratice rezultate este pozitiv:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Aceasta înseamnă că această ecuație are două rădăcini. Le gasim:

Trecând la înlocuirea inversă, obținem:

A doua ecuație nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială este strict pozitivă în întregul domeniu de definiție. Să o rezolvăm pe a doua:

Ținând cont de cele spuse în teorema 1, trecem la ecuația echivalentă: X= 3. Acesta va fi răspunsul la sarcină.

Răspuns: X = 3.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația:

Soluţie: restricții asupra zonei valori acceptabile ecuația nu, deoarece expresia radicală are sens pentru orice valoare X(functie exponentiala y = 9 4 -X pozitiv și nu egal cu zero).

Rezolvăm ecuația prin transformări echivalente folosind regulile de înmulțire și împărțire a puterilor:

Ultima tranziție a fost efectuată în conformitate cu teorema 1.

Răspuns:X= 6.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația:

Soluţie: ambele părți ale ecuației inițiale pot fi împărțite la 0,2 X. Această tranziție va fi echivalentă, deoarece această expresie este mai mare decât zero pentru orice valoare X(funcția exponențială este strict pozitivă în domeniul său de definire). Atunci ecuația ia forma:

Răspuns: X = 0.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația:

Soluţie: simplificăm ecuația la una elementară prin transformări echivalente folosind regulile de împărțire și înmulțire a puterilor date la începutul articolului:

Împărțirea ambelor părți ale ecuației la 4 X, ca în exemplul anterior, este o transformare echivalentă, deoarece această expresie nu este egală cu zero pentru nicio valoare X.

Răspuns: X = 0.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația:

Soluţie: funcţie y = 3X, aflat în partea stângă a ecuației, este în creștere. Funcţie y = —X-2/3 din partea dreaptă a ecuației este în scădere. Aceasta înseamnă că dacă graficele acestor funcții se intersectează, atunci cel mult un punct. ÎN în acest caz, nu este greu de ghicit că graficele se intersectează în punct X= -1. Nu vor exista alte rădăcini.

Răspuns: X = -1.

Exemplul 6. Rezolvați ecuația:

Soluţie: simplificăm ecuația prin transformări echivalente, ținând cont peste tot că funcția exponențială este strict mai mare decât zero pentru orice valoare Xși folosind regulile de calcul a produsului și a coeficientului de puteri date la începutul articolului:

Răspuns: X = 2.

Rezolvarea inegalităților exponențiale

Indicativ se numesc inegalităţi în care variabila necunoscută este cuprinsă numai în exponenţii unor puteri.

Pentru solutii inegalități exponențiale este necesară cunoașterea următoarei teoreme:

Teorema 2. Dacă A> 1, apoi inegalitatea A f(X) > A g(X) este echivalentă cu o inegalitate de același sens: f(X) > g(X). Daca 0< A < 1, то показательное неравенство A f(X) > A g(X) este echivalentă cu o inegalitate cu sens invers: f(X) < g(X).

Exemplul 7. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie: Să prezentăm inegalitatea inițială sub forma:

Să împărțim ambele părți ale acestei inegalități la 3 2 X, în acest caz (datorită pozitivității funcției y= 3 2X) semnul inegalității nu se va schimba:

Să folosim înlocuirea:

Atunci inegalitatea va lua forma:

Deci, soluția inegalității este intervalul:

Trecând la substituția inversă, obținem:

Datorită pozitivității funcției exponențiale, inegalitatea din stânga este satisfăcută automat. A profita proprietate cunoscută logaritm, trecem la inegalitatea echivalentă:

Deoarece baza gradului este un număr mai mare decât unu, echivalentul (prin teorema 2) este trecerea la următoarea inegalitate:

Deci, în sfârșit, obținem Răspuns:

Exemplul 8. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie: Folosind proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor, rescriem inegalitatea sub forma:

Să introducem o nouă variabilă:

Ținând cont de această substituție, inegalitatea ia forma:

Înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu 7, obținem următoarea inegalitate echivalentă:

Deci, următoarele valori ale variabilei satisfac inegalitatea t:

Apoi, trecând la substituția inversă, obținem:

Deoarece baza gradului aici este mai mare decât unu, trecerea la inegalitate va fi echivalentă (prin teorema 2):

În sfârșit, obținem Răspuns:

Exemplul 9. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie:

Împărțim ambele părți ale inegalității prin expresia:

Este întotdeauna mai mare decât zero (datorită pozitivității funcției exponențiale), deci nu este nevoie să schimbați semnul inegalității. Primim:

t situat în intervalul:

Trecând la substituția inversă, aflăm că inegalitatea inițială se împarte în două cazuri:

Prima inegalitate nu are soluții datorită pozitivității funcției exponențiale. Să o rezolvăm pe a doua:

Exemplul 10. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie:

Ramuri de parabolă y = 2X+2-X 2 sunt îndreptate în jos, de aceea este limitată de sus de valoarea pe care o atinge la vârful său:

Ramuri de parabolă y = X 2 -2X+2 din indicator sunt îndreptați în sus, ceea ce înseamnă că este limitat de jos de valoarea pe care o atinge la vârful său:

În același timp, funcția se dovedește a fi mărginită de jos y = 3 X 2 -2X+2, care se află în partea dreaptă a ecuației. Ea își atinge scopul cea mai mică valoareîn același punct cu parabola din exponent, iar această valoare este egală cu 3 1 = 3. Deci, inegalitatea inițială poate fi adevărată numai dacă funcția din stânga și funcția din dreapta iau o valoare egală cu 3 în același punct (prin intersecție Gama de valori ale acestor funcții este doar acest număr). Această condiție este îndeplinită într-un singur punct X = 1.

Răspuns: X= 1.

Pentru a învăța să decidă ecuații exponențiale și inegalități, este necesar să ne antrenăm constant în rezolvarea lor. Diverse lucruri vă pot ajuta în această sarcină dificilă. manuale metodologice, cărți de probleme la matematică elementară, culegeri de probleme competitive, ore de matematică la școală, precum și lecții individuale cu un tutore profesionist. Vă doresc din suflet succes în pregătirea dumneavoastră și rezultate excelente la examen.

Serghei Valerievici

P.S. Dragi oaspeți! Vă rugăm să nu scrieți solicitări pentru a vă rezolva ecuațiile în comentarii. Din păcate, nu am absolut timp pentru asta. Astfel de mesaje vor fi șterse. Vă rugăm să citiți articolul. Poate că în el veți găsi răspunsuri la întrebări care nu v-au permis să vă rezolvați singur sarcina.

Universitatea de Stat din Belgorod

DEPARTAMENT algebră, teoria numerelor și geometrie

Tema de lucru: Ecuații și inegalități exponențiale ale puterii.

Munca de absolvent student al Facultății de Fizică și Matematică

Consilier stiintific:

______________________________

Revizor: ________________________________

________________________

Belgorod. 2006

Introducere			3
Subiect eu.	Analiza literaturii pe tema de cercetare.
Subiect II.	Funcțiile și proprietățile lor utilizate în rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.
	I.1.	Funcția de putere și proprietățile acesteia.
	I.2.	Funcția exponențială și proprietățile acesteia.
Subiect III.	Rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială, algoritm și exemple.
Subiect IV.	Rezolvarea inegalităților exponențiale, plan de soluții și exemple.
Subiect V.	Experiență în conducerea cursurilor cu școlari pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților exponențiale”.
V. 1.	Material educativ.
V. 2.	Probleme pentru rezolvare independentă.
Concluzie.	Concluzii si oferte.
Bibliografie.
Aplicații

Introducere.

„...bucuria de a vedea și înțelege...”

A. Einstein.

În această lucrare, am încercat să transmit experiența mea de profesor de matematică, să transmit cel puțin într-o oarecare măsură atitudinea mea față de predarea ei - un efort uman în care știința matematică, pedagogia, didactica, psihologia și chiar filozofia se împletesc în mod surprinzător.

Am avut ocazia să lucrez cu copii și absolvenți, cu copii la extremele dezvoltării intelectuale: cei care erau înscriși la psihiatru și care erau cu adevărat interesați de matematică

Am avut ocazia să rezolv multe probleme metodologice. Voi încerca să vorbesc despre cele pe care am reușit să le rezolv. Dar și mai eșuate, și chiar și în cele care par a fi rezolvate, apar noi întrebări.

Dar și mai importante decât experiența în sine sunt reflecțiile și îndoielile profesorului: de ce este exact așa, această experiență?

Și vara este diferită acum, iar dezvoltarea educației a devenit mai interesantă. „Sub Jupiters” astăzi nu este o căutare a unui sistem optim mitic de predare a „toată lumea și totul”, ci copilul însuși. Dar apoi – de necesitate – profesorul.

ÎN curs şcolar algebră și început de analiză, clasele 10 - 11, cu promovarea examenului de stat unificat Pe parcursul liceului și la examenele de admitere la universități se întâlnesc ecuații și inegalități care conțin o necunoscută în bază și exponenți - acestea sunt ecuații și inegalități exponențiale.

Ei primesc puțină atenție la școală; practic nu există teme pe această temă în manuale. Totuși, stăpânirea tehnicii de rezolvare a acestora, mi se pare, este foarte utilă: crește mentalul și Abilități creative studenților, în fața noastră se deschid orizonturi complet noi. La rezolvarea problemelor, elevii dobândesc primele abilități muncă de cercetare, cultura lor matematică este îmbogățită, abilitățile lor de a gandire logica. Elevii dezvoltă calități de personalitate precum determinarea, stabilirea de obiective și independența, care le vor fi utile în viața ulterioară. Și, de asemenea, există repetarea, extinderea și asimilarea profundă a materialului educațional.

Am început să lucrez la acest subiect pentru teza mea scriindu-mi lucrările de curs. În cursul căreia am studiat și analizat în profunzime literatura matematică pe această temă, am identificat cele mai metoda potrivita rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială și a inegalităților.

Constă în faptul că, pe lângă abordarea general acceptată la rezolvarea ecuațiilor exponențiale (baza este luată mai mare decât 0) și la rezolvarea acelorași inegalități (baza este luată mai mare de 1 sau mai mare de 0, dar mai mică de 1) , sunt luate în considerare și cazurile când bazele sunt negative, egale cu 0 și 1.

O analiză a lucrărilor de examen scrise ale elevilor arată că lipsa de acoperire a întrebării valorii negative a argumentului unei funcții exponențiale din manualele școlare le provoacă o serie de dificultăți și duce la erori. Și au probleme și la etapa de sistematizare a rezultatelor obținute, unde, din cauza trecerii la o ecuație - o consecință sau o inegalitate - o consecință, pot apărea rădăcini străine. Pentru a elimina erorile, folosim un test folosind ecuația sau inegalitatea originală și un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale sau un plan pentru rezolvarea inegalităților exponențiale.

Pentru a se asigura că studenții sunt capabili să-și promoveze cu succes absolvirea și examen de admitere, cred că este necesar să se acorde mai multă atenție rezolvării ecuațiilor exponențiale și inegalităților la cursuri, sau suplimentar la opțiuni și cluburi.

Prin urmare subiect , Ale mele teza este definită după cum urmează: „Ecuații și inegalități exponențiale ale puterii”.

Goluri din această lucrare sunt:

1. Analizați literatura pe această temă.

2. Dă analiză completă rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială și a inegalităților.

3. Furnizați un număr suficient de exemple de diferite tipuri pe această temă.

4. Verificați la orele de clasă, opționale și de club cum vor fi percepute metodele propuse pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților. Oferiți recomandări adecvate pentru studierea acestui subiect.

Subiect Cercetarea noastră este de a dezvolta o metodologie pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.

Scopul și subiectul studiului au necesitat rezolvarea următoarelor probleme:

1. Studiați literatura pe tema: „Ecuații și inegalități exponențiale ale puterii.”

2. Stăpânește tehnicile de rezolvare a ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.

3. Selectați materialul de antrenament și dezvoltați un sistem de exerciții diferite niveluri pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților exponențiale”.

Pe parcursul cercetării tezei, peste 20 de lucrări dedicate utilizării diverse metode rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială și a inegalităților. De aici ajungem.

Planul tezei:

Introducere.

Capitolul I. Analiza literaturii pe tema de cercetare.

Capitolul II. Funcțiile și proprietățile lor utilizate în rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.

II.1. Funcția de putere și proprietățile acesteia.

II.2. Funcția exponențială și proprietățile acesteia.

Capitolul III. Rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială, algoritm și exemple.

Capitolul IV. Rezolvarea inegalităților exponențiale, plan de soluții și exemple.

Capitolul V. Experiența de a conduce cursuri cu școlari pe această temă.

1.Material de instruire.

2. Sarcini pentru soluție independentă.

Concluzie. Concluzii si oferte.

Lista literaturii folosite.

Capitolul I analizează literatura de specialitate

În această lecție ne vom uita la diverse inegalități exponențiale și vom învăța cum să le rezolvăm, pe baza tehnicii de rezolvare a celor mai simple inegalități exponențiale

1. Definiția și proprietățile unei funcții exponențiale

Să ne amintim definiția și proprietățile de bază ale funcției exponențiale. Rezolvarea tuturor ecuațiilor și inegalităților exponențiale se bazează pe aceste proprietăți.

Functie exponentiala este o funcție de forma , unde baza este gradul și Aici x este variabila independentă, argument; y este variabila dependentă, funcție.

Orez. 1. Graficul funcției exponențiale

Graficul prezintă exponenți crescători și descrescători, ilustrând funcția exponențială cu o bază mai mare de unu și mai mică de unu, dar mai mare de zero, respectiv.

Ambele curbe trec prin punctul (0;1)

Proprietățile funcției exponențiale:

Domeniu: ;

Interval de valori: ;

Funcția este monotonă, crește cu, scade cu.

O funcție monotonă ia fiecare dintre valorile sale având în vedere o singură valoare a argumentului.

Când , când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția crește de la zero inclusiv la plus infinit, adică pentru valori date ale argumentului avem o funcție crescătoare monotonă (). Dimpotrivă, atunci când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția scade de la infinit la zero inclusiv, adică pentru valori date ale argumentului avem o funcție monotonă descrescătoare ().

2. Cele mai simple inegalități exponențiale, metoda soluției, exemplu

Pe baza celor de mai sus, prezentăm o metodă de rezolvare a inegalităților exponențiale simple:

Tehnica de rezolvare a inegalităților:

Echivalează bazele gradelor;

Comparați indicatorii menținând sau schimbând semnul inegalității cu cel opus.

Soluția la inegalitățile exponențiale complexe constă de obicei în reducerea lor la cele mai simple inegalități exponențiale.

Baza gradului este mai mare decât unu, ceea ce înseamnă că semnul inegalității este păstrat:

Să ne transformăm partea dreaptaîn funcție de proprietățile gradului:

Baza gradului este mai mică de unu, semnul inegalității trebuie inversat:

Pentru solutii inegalitatea pătratică vom decide potrivit ecuație pătratică:

Folosind teorema lui Vieta găsim rădăcinile:

Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Astfel, avem o soluție la inegalitate:

Este ușor de ghicit că partea dreaptă poate fi reprezentată ca o putere cu un exponent de zero:

Baza gradului este mai mare decât unu, semnul inegalității nu se schimbă, obținem:

Să ne amintim tehnica de rezolvare a unor astfel de inegalități.

Luați în considerare funcția fracționară-rațională:

Găsim domeniul de definiție:

Găsirea rădăcinilor funcției:

Funcția are o singură rădăcină,

Selectăm intervale de semn constant și determinăm semnele funcției pe fiecare interval:

Orez. 2. Intervale de constanță a semnului

Astfel, am primit răspunsul.

Răspuns:

3. Rezolvarea inegalităților exponențiale standard

Să luăm în considerare inegalitățile cu aceiași indicatori, dar baze diferite.

Una dintre proprietățile funcției exponențiale este că pentru orice valoare a argumentului o ia strict valori pozitive, ceea ce înseamnă că poate fi împărțit într-o funcție exponențială. Să împărțim inegalitatea dată la partea sa dreaptă:

Baza gradului este mai mare decât unu, se păstrează semnul inegalității.

Să ilustrăm soluția:

Figura 6.3 prezintă grafice ale funcţiilor şi . Evident, când argumentul este mai mare decât zero, graficul funcției este mai mare, această funcție este mai mare. Când valorile argumentului sunt negative, funcția scade, este mai mică. Când argumentul este egal, funcțiile sunt egale, ceea ce înseamnă punct dat este, de asemenea, o soluție la inegalitatea dată.

Orez. 3. Ilustrație de exemplu 4

Să transformăm inegalitatea dată în funcție de proprietățile gradului:

Iată câțiva termeni similari:

Să împărțim ambele părți în:

Acum vom continua să rezolvăm în mod similar cu exemplul 4, împărțim ambele părți la:

Baza gradului este mai mare decât unu, semnul inegalității rămâne:

4. Rezolvarea grafică a inegalităților exponențiale

Exemplul 6 - Rezolvați grafic inegalitatea:

Să ne uităm la funcțiile din stânga și din dreapta și să construim un grafic pentru fiecare dintre ele.

Funcția este exponențială și crește pe întregul său domeniu de definiție, adică pentru toate valorile reale ale argumentului.

Funcția este liniară și scade pe întregul său domeniu de definiție, adică pentru toate valorile reale ale argumentului.

Dacă aceste funcții se intersectează, adică sistemul are o soluție, atunci o astfel de soluție este unică și poate fi ușor de ghicit. Pentru a face acest lucru, iterăm peste numere întregi ()

Este ușor de observat că rădăcina acestui sistem este:

Astfel, graficele funcțiilor se intersectează într-un punct cu un argument egal cu unu.

Acum trebuie să obținem un răspuns. Semnificația inegalității date este că exponentul trebuie să fie mai mare sau egal cu funcție liniară, adică să fie mai înalt sau să coincidă cu ea. Răspunsul este evident: (Figura 6.4)

Orez. 4. Ilustrație de exemplu 6

Deci, ne-am uitat la rezolvarea diferitelor inegalități exponențiale standard. În continuare trecem la considerarea inegalităților exponențiale mai complexe.

Bibliografie

Mordkovich A. G. Algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Gutarda. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. și colab. Algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Iluminismul.

Matematică. md. Matematică-repetiție. com. Diffur. kemsu. ru.

Teme pentru acasă

1. Algebra și începuturile analizei, clasele 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nr. 472, 473;

2. Rezolvați inegalitatea:

3. Rezolvați inegalitatea.

iar x = b este cea mai simplă ecuație exponențială. În el A mai mare decât zero și A nu este egal cu unul.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale

Din proprietățile funcției exponențiale știm că gama sa de valori este limitată la numere reale pozitive. Atunci dacă b = 0, ecuația nu are soluții. Aceeași situație se întâmplă în ecuația în care b

Acum să presupunem că b>0. Dacă în funcţia exponenţială baza A este mai mare decât unitatea, atunci funcția va crește pe întregul domeniu de definiție. Dacă în funcţia exponenţială pentru bază A Terminat următoarea condiție 0

Pe baza acestui lucru și aplicând teorema rădăcinii, constatăm că ecuația a x = b are o singură rădăcină, pentru b>0 și pozitivă A nu egal cu unu. Pentru a-l găsi, trebuie să reprezentați b ca b = a c.
Atunci este evident că Cu va fi o soluție a ecuației a x = a c .

Luați în considerare următorul exemplu: rezolvați ecuația 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25.

Să ne imaginăm 25 ca 5 2, obținem:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

Sau ce este echivalent:

x 2 - 2*x - 1 = 2.

Rezolvăm ecuația pătratică rezultată folosind oricare dintre metodele cunoscute. Obținem două rădăcini x = 3 și x = -1.

Răspuns: 3;-1.

Să rezolvăm ecuația 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Să facem înlocuirea: t=2 x și să obținem următoarea ecuație pătratică:

t 2 - 5*t + 4 = 0.
Rezolvăm această ecuație folosind oricare dintre metodele cunoscute. Obținem rădăcinile t1 = 1 t2 = 4

Acum rezolvăm ecuațiile 2 x = 1 și 2 x = 4.

Răspuns: 0;2.

Rezolvarea inegalităților exponențiale

Soluția celor mai simple inegalități exponențiale se bazează și pe proprietățile funcțiilor crescătoare și descrescătoare. Dacă într-o funcție exponențială baza a este mai mare decât unu, atunci funcția va crește pe întregul domeniu de definiție. Dacă în funcţia exponenţială pentru bază A este îndeplinită următoarea condiție 0, atunci această funcție va fi în scădere pe întregul set de numere reale.

Luați în considerare un exemplu: rezolvați inegalitatea (0,5) (7 - 3*x)< 4.

Rețineți că 4 = (0,5) 2 . Atunci inegalitatea va lua forma (0,5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Se obține: 7 - 3*x>-2.

Prin urmare: x<3.

Raspuns: x<3.

Dacă baza inegalității a fost mai mare decât unu, atunci când scăpați de bază, nu ar fi nevoie să schimbați semnul inegalității.

Lecție și prezentare pe tema: „Ecuații exponențiale și inegalități exponențiale”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”

Definiția ecuațiilor exponențiale

Băieți, am studiat funcțiile exponențiale, le-am învățat proprietățile și am construit grafice, am analizat exemple de ecuații în care s-au găsit funcții exponențiale. Astăzi vom studia ecuațiile exponențiale și inegalitățile.

Definiție. Ecuațiile de forma: $a^(f(x))=a^(g(x))$, unde $a>0$, $a≠1$ se numesc ecuații exponențiale.

Reamintind teoremele pe care le-am studiat la tema „Funcția exponențială”, putem introduce o nouă teoremă:
Teorema. Ecuația exponențială $a^(f(x))=a^(g(x))$, unde $a>0$, $a≠1$ este echivalentă cu ecuația $f(x)=g(x) $.

Exemple de ecuații exponențiale

Exemplu.
Rezolvarea ecuațiilor:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Soluţie.
a) Știm bine că $27=3^3$.
Să ne rescriem ecuația: $3^(3x-3)=3^3$.
Folosind teorema de mai sus, aflăm că ecuația noastră se reduce la ecuația $3x-3=3$; rezolvând această ecuație, obținem $x=2$.
Răspuns: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Atunci ecuația noastră poate fi rescrisă: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Răspuns: $x=0$.

C) Ecuația inițială este echivalentă cu ecuația: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ și $x_2=-3$.
Răspuns: $x_1=6$ și $x_2=-3$.

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Soluţie:
Să efectuăm o serie de acțiuni secvențial și să aducem ambele părți ale ecuației noastre la aceleași baze.
Să efectuăm o serie de operații în partea stângă:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Să trecem la partea dreaptă:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Ecuația inițială este echivalentă cu ecuația:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Răspuns: $x=0$.

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Soluţie:
Să ne rescriem ecuația: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Să facem o schimbare de variabile, fie $a=3^x$.
În noile variabile, ecuația va lua forma: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ și $a_2=3$.
Să efectuăm schimbarea inversă a variabilelor: $3^x=-12$ și $3^x=3$.
În ultima lecție am învățat că expresiile exponențiale pot lua doar valori pozitive, amintiți-vă graficul. Aceasta înseamnă că prima ecuație nu are soluții, a doua ecuație are o singură soluție: $x=1$.
Răspuns: $x=1$.

Să ne amintim cum să rezolvăm ecuațiile exponențiale:
1. Metoda grafică. Reprezentăm ambele părți ale ecuației sub formă de funcții și construim graficele acestora, găsim punctele de intersecție ale graficelor. (Am folosit această metodă în ultima lecție).
2. Principiul egalității indicatorilor. Principiul se bazează pe faptul că două expresii cu aceleași baze sunt egale dacă și numai dacă gradele (exponenții) acestor baze sunt egale. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metoda de înlocuire variabilă. Această metodă ar trebui folosită dacă ecuația, la înlocuirea variabilelor, își simplifică forma și este mult mai ușor de rezolvat.

Exemplu.
Rezolvați sistemul de ecuații: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (cazuri)$.
Soluţie.
Să luăm în considerare ambele ecuații ale sistemului separat:
27$^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Luați în considerare a doua ecuație:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Să folosim metoda schimbării variabilelor, fie $y=2^(x+y)$.
Atunci ecuația va lua forma:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ și $y_2=-3$.
Să trecem la variabilele inițiale, din prima ecuație obținem $x+y=2$. A doua ecuație nu are soluții. Atunci sistemul nostru inițial de ecuații este echivalent cu sistemul: $\begin (cazuri) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (cazuri)$.
Scăderea a doua din prima ecuație, obținem: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (cazuri)$.
$\begin (cazuri) y=-1, \\ x=3. \end (cazuri)$.
Răspuns: $(3;-1)$.

Inegalități exponențiale

Să trecem la inegalități. Când rezolvați inegalitățile, este necesar să acordați atenție bazei gradului. Există două scenarii posibile pentru dezvoltarea evenimentelor la rezolvarea inegalităților.

Teorema. Dacă $a>1$, atunci inegalitatea exponențială $a^(f(x))>a^(g(x))$ este echivalentă cu inegalitatea $f(x)>g(x)$.
Dacă 0 USD a^(g(x))$ este echivalent cu inegalitatea $f(x)

Exemplu.
Rezolvarea inegalităților:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Soluţie.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Inegalitatea noastră este echivalentă cu inegalitatea:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) În ecuația noastră, baza este atunci când gradul este mai mic decât 1, atunci Când înlocuiți o inegalitate cu una echivalentă, este necesar să schimbați semnul.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Inegalitatea noastră este echivalentă cu inegalitatea:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Să folosim metoda soluției pe intervale:
Răspuns: $(-∞;-5]U)