Împărțirea cu o fracție. Întocmirea unui sistem de ecuații

Ultima dată am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cel mai moment dificilîn acele acţiuni s-a produs reducerea fracţiilor la numitor comun.

Acum este timpul să ne ocupăm de înmulțire și împărțire. Vestea bună este că aceste operații sunt chiar mai simple decât adunarea și scăderea. Mai întâi, să ne uităm la cel mai simplu caz, când există două fracții pozitive fără o parte întreagă separată.

Pentru a înmulți două fracții, trebuie să le înmulțiți separat numărătorii și numitorii. Primul număr va fi numărătorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.

Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua fracție „inversată”.

Desemnare:

Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire. Pentru a „întoarce” o fracție, trebuie doar să schimbați numărătorul și numitorul. Prin urmare, pe parcursul lecției vom lua în considerare în principal înmulțirea.

Ca rezultat al înmulțirii, poate apărea (și adesea apare) o fracție reductibilă -, desigur, trebuie redusă. Dacă după toate reducerile fracțiunea se dovedește a fi incorectă, întreaga parte ar trebui evidențiată. Dar ceea ce cu siguranță nu se va întâmpla cu înmulțirea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, cei mai mari factori și cei mai puțini multipli comuni.

Prin definiție avem:

Înmulțirea fracțiilor cu părți întregi și fracții negative

Dacă fracțiile conțin o parte întreagă, acestea trebuie convertite în unele necorespunzătoare - și abia apoi multiplicate conform schemelor prezentate mai sus.

Dacă există un minus la numărătorul unei fracții, la numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din înmulțire sau îndepărtat cu totul conform următoarelor reguli:

1. Plus cu minus dă minus;
2. Două negative fac o afirmație.

Până acum, aceste reguli au fost întâlnite doar la adunarea și scăderea fracțiilor negative, când era necesar să scăpăm de întreaga parte. Pentru o lucrare, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe dezavantaje simultan:

1. Trimitem negativele în perechi până când dispar complet. În cazuri extreme, poate supraviețui un minus - cel pentru care nu a existat pereche;
2. Dacă nu mai există minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe să înmulțiți. Dacă ultimul minus nu este tăiat pentru că nu a existat o pereche pentru el, îl scoatem în afara limitelor înmulțirii. Rezultatul este o fracție negativă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Convertim toate fracțiile în fracții improprii și apoi scoatem minusurile din înmulțire. Înmulțim ceea ce a rămas reguli normale. Primim:

Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că semnul minus care apare înaintea fracției cu evidențiat întreaga parte, se referă în mod specific la întreaga fracție, și nu doar la întreaga sa parte (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).

De asemenea, rețineți numere negative: La înmulțire, acestea sunt incluse în paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de înmulțire și pentru a face întreaga notație mai precisă.

Reducerea fracțiilor din mers

Înmulțirea este o operație care necesită multă muncă. Numerele de aici se dovedesc a fi destul de mari și, pentru a simplifica problema, puteți încerca să reduceți și mai mult fracția. înainte de înmulțire. Într-adevăr, în esență, numărătorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, ei pot fi redusi folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncă o privire la exemple:

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Prin definiție avem:

În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ceea ce rămâne din ele sunt marcate cu roșu.

Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii s-au redus complet. În locul lor rămân unități care, în general, nu trebuie scrise. În al doilea exemplu, nu a fost posibil să se realizeze o reducere completă, dar suma totală a calculelor a scăzut în continuare.

Cu toate acestea, nu utilizați niciodată această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare pe care doriți doar să le reduceți. Aici, uite:

Nu poți face asta!

Eroarea apare deoarece la adunare, numărătorul unei fracții produce o sumă, nu un produs de numere. Prin urmare, este imposibil să se aplice proprietatea principală a unei fracții, deoarece în această proprietate despre care vorbimîn special despre înmulțirea numerelor.

Pur și simplu nu există alte motive pentru reducerea fracțiilor, deci solutie corecta sarcina anterioară arată astfel:

Solutia corecta:

După cum puteți vedea, răspunsul corect s-a dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.

Pentru a rezolva diverse probleme de la cursurile de matematică și fizică, trebuie să împărțiți fracții. Acest lucru este foarte ușor de făcut dacă cunoașteți anumite reguli pentru efectuarea acestei operații matematice.

Înainte de a trece la formularea regulii de împărțire a fracțiilor, să ne amintim câțiva termeni matematici:

1. Partea superioară a fracției se numește numărător, iar partea de jos este numită numitor.
2. La împărțire, numerele se numesc astfel: dividend: divizor = cât

Cum se împarte fracții: fracții simple

Pentru a împărți două fracții simple, înmulțiți dividendul cu reciproca divizorului. Această fracție se mai numește și inversată deoarece se obține prin schimbarea numărătorului și numitorului. De exemplu:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Cum se împarte fracțiile: fracții mixte

Dacă trebuie să împărțim fracții mixte, atunci totul aici este, de asemenea, destul de simplu și clar. În primul rând, convertim fracția mixtă într-o fracție improprie obișnuită. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numitorul unei astfel de fracții cu un număr întreg și adăugați numărătorul la produsul rezultat. Ca urmare, am primit un nou numărător al fracției mixte, dar numitorul acesteia va rămâne neschimbat. În plus, împărțirea fracțiilor se va efectua exact în același mod ca și împărțirea fracțiilor simple. De exemplu:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Cum se împarte o fracție la un număr

Pentru a împărți o fracție simplă la un număr, acesta din urmă trebuie scris ca o fracție (neregulată). Acest lucru este foarte ușor de făcut: acest număr este scris în locul numărătorului, iar numitorul unei astfel de fracții este egal cu unu. Se efectuează o împărțire ulterioară în mod obișnuit. Să ne uităm la asta cu un exemplu:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Cum să împărțim zecimale

Adesea, un adult are dificultăți în împărțirea unui număr întreg sau a unei fracțiuni zecimale la o fracție zecimală fără ajutorul unui calculator.

Deci, pentru a împărți zecimale, trebuie doar să tăiați virgula din divizor și să nu mai acordați atenție acesteia. În dividend, virgula trebuie mutată la dreapta exact în câte locuri a fost în partea fracționară a divizorului, adăugând zerouri dacă este necesar. Și apoi efectuează împărțirea obișnuită cu un număr întreg. Pentru a face acest lucru mai clar, luați în considerare următorul exemplu.

§ 87. Adunarea fracţiilor.

Adunarea fracțiilor are multe asemănări cu adunarea numerelor întregi. Adunarea fracțiilor este o acțiune constând în faptul că mai multe numere (termeni) date sunt combinate într-un singur număr (suma), care conține toate unitățile și fracțiile unităților termenilor.

Vom lua în considerare trei cazuri secvenţial:

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori.
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiti.
3. Adunarea numerelor mixte.

1. Adunarea fracțiilor cu numitori similari.

Luați în considerare un exemplu: 1/5 + 2/5.

Să luăm segmentul AB (Fig. 17), să-l luăm ca unul și să împărțim la 5 părti egale, atunci partea AC a acestui segment va fi egală cu 1/5 din segmentul AB, iar o parte a aceluiași segment CD va fi egală cu 2/5 AB.

Din desen este clar că dacă luăm segmentul AD, acesta va fi egal cu 3/5 AB; dar segmentul AD este tocmai suma segmentelor AC și CD. Deci putem scrie:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Având în vedere acești termeni și suma rezultată, vedem că numărătorul sumei s-a obținut prin adunarea numărătorilor termenilor, iar numitorul a rămas neschimbat.

De aici ajungem următoarea regulă: Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați același numitor.

Să ne uităm la un exemplu:

2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.

Să adunăm fracțiile: 3 / 4 + 3 / 8 Mai întâi trebuie reduse la cel mai mic numitor comun:

Legătura intermediară 6/8 + 3/8 nu a putut fi scrisă; am scris-o aici pentru claritate.

Astfel, pentru a adăuga fracții cu numitori diferiți, trebuie mai întâi să le reduceți la cel mai mic numitor comun, să adăugați numărătorii lor și să etichetați numitorul comun.

Să luăm în considerare un exemplu (vom scrie factori suplimentari deasupra fracțiilor corespunzătoare):

3. Adunarea numerelor mixte.

Să adunăm numerele: 2 3/8 + 3 5/6.

Să aducem mai întâi părțile fracționale ale numerelor noastre la un numitor comun și să le rescriem din nou:

Acum adăugăm secvențial părțile întregi și fracționale:

§ 88. Scăderea fracțiilor.

Scăderea fracțiilor este definită în același mod ca și scăderea numerelor întregi. Aceasta este o acțiune cu ajutorul căreia, dată fiind suma a doi termeni și unul dintre ei, se găsește un alt termen. Să luăm în considerare trei cazuri succesive:

1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari.
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Scăderea numerelor mixte.

1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari.

Să ne uităm la un exemplu:

13 / 15 - 4 / 15

Să luăm segmentul AB (Fig. 18), să-l luăm ca unitate și să-l împărțim în 15 părți egale; atunci partea AC a acestui segment va reprezenta 1/15 din AB, iar o parte AD a aceluiași segment va corespunde cu 13/15 AB. Să lăsăm deoparte un alt segment ED egal cu 4/15 AB.

Trebuie să scădem fracția 4/15 din 13/15. În desen, aceasta înseamnă că segmentul ED trebuie scăzut din segmentul AD. Ca urmare, va rămâne segmentul AE, care este 9/15 din segmentul AB. Deci putem scrie:

Exemplul pe care l-am făcut arată că numărătorul diferenței a fost obținut prin scăderea numărătorilor, dar numitorul a rămas același.

Prin urmare, pentru a scădea fracții cu numitori similari, trebuie să scădeți numărătorul subtraendului de la numărătorul minuendului și să lăsați același numitor.

2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.

Exemplu. 3/4 - 5/8

Mai întâi, să reducem aceste fracții la cel mai mic numitor comun:

Intermediarul 6 / 8 - 5 / 8 este scris aici pentru claritate, dar poate fi omis mai târziu.

Astfel, pentru a scădea o fracție dintr-o fracție, trebuie mai întâi să le reduceți la cel mai mic numitor comun, apoi să scădeți numărătorul minuendului de la numărătorul minuendului și să semnați numitorul comun sub diferența lor.

Să ne uităm la un exemplu:

3. Scăderea numerelor mixte.

Exemplu. 10 3/4 - 7 2/3.

Să reducem părțile fracționale ale minuendului și subtraendului la cel mai mic numitor comun:

Am scăzut un întreg dintr-un întreg și o fracțiune dintr-o fracție. Dar există cazuri când partea fracționară a subtraendului este mai mare decât partea fracționară a minuendului. În astfel de cazuri, trebuie să luați o unitate din întreaga parte a minuendului, să o împărțiți în acele părți în care este exprimată partea fracțională și să o adăugați la partea fracțională a minuendului. Și apoi scăderea va fi efectuată în același mod ca în exemplul anterior:

§ 89. Înmulțirea fracțiilor.

Când studiem înmulțirea fracțiilor vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.
2. Aflarea fracției dintr-un număr dat.
3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.
4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.
5. Înmulțirea numerelor mixte.
6. Conceptul de interes.
7. Aflarea procentului unui număr dat. Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.

Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg are același sens ca și înmulțirea unui număr întreg cu un număr întreg. A înmulți o fracție (multiplicand) cu un întreg (factor) înseamnă a crea o sumă de termeni identici, în care fiecare termen este egal cu multiplicandul, iar numărul de termeni este egal cu multiplicatorul.

Aceasta înseamnă că, dacă trebuie să înmulțiți 1/9 cu 7, atunci se poate face astfel:

Am obținut cu ușurință rezultatul, deoarece acțiunea s-a redus la adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Prin urmare,

Luarea în considerare a acestei acțiuni arată că înmulțirea unei fracții cu un număr întreg echivalează cu creșterea acestei fracții de câte ori există unități în întregul număr. Și întrucât creșterea unei fracții se realizează fie prin creșterea numărătorului acesteia

sau prin reducerea numitorului acestuia , atunci putem fie să înmulțim numărătorul cu un număr întreg, fie să împărțim numitorul cu acesta, dacă o astfel de împărțire este posibilă.

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți o fracție cu un număr întreg, înmulțiți numărătorul cu acel număr întreg și lăsați numitorul același sau, dacă este posibil, împărțiți numitorul la acel număr, lăsând numărătorul neschimbat.

La înmulțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

2. Aflarea fracției dintr-un număr dat. Există multe probleme în care trebuie să găsiți sau să calculați o parte dintr-un anumit număr. Diferența dintre aceste probleme și altele este că ele dau numărul unor obiecte sau unități de măsură și trebuie să găsiți o parte din acest număr, care este indicat și aici printr-o anumită fracție. Pentru a facilita înțelegerea, vom da mai întâi exemple de astfel de probleme, apoi vom introduce o metodă de rezolvare a acestora.

Sarcina 1. Am avut 60 de ruble; Am cheltuit 1/3 din acești bani pentru a cumpăra cărți. Cât au costat cărțile?

Sarcina 2. Trenul trebuie să parcurgă o distanță între orașele A și B egală cu 300 km. A parcurs deja 2/3 din această distanță. Cati kilometri este asta?

Sarcina 3.În sat sunt 400 de case, 3/4 din cărămidă, restul sunt din lemn. Câte case din cărămidă sunt în total?

Acestea sunt câteva dintre numeroasele probleme pe care le întâlnim pentru a găsi o parte dintr-un anumit număr. Ele sunt de obicei numite probleme pentru a găsi fracția dintr-un număr dat.

Rezolvarea problemei 1. De la 60 de ruble. Am cheltuit 1/3 pe cărți; Aceasta înseamnă că pentru a găsi costul cărților trebuie să împărțiți numărul 60 la 3:

Rezolvarea problemei 2. Ideea problemei este că trebuie să găsiți 2/3 din 300 km. Să calculăm mai întâi 1/3 din 300; acest lucru se realizează prin împărțirea a 300 km la 3:

300: 3 = 100 (adică 1/3 din 300).

Pentru a găsi două treimi din 300, trebuie să dublați coeficientul rezultat, adică să înmulțiți cu 2:

100 x 2 = 200 (adică 2/3 din 300).

Rezolvarea problemei 3. Aici trebuie să determinați numărul de case din cărămidă care alcătuiesc 3/4 din 400. Să găsim mai întâi 1/4 din 400,

400: 4 = 100 (adică 1/4 din 400).

Pentru a calcula trei sferturi din 400, coeficientul rezultat trebuie triplat, adică înmulțit cu 3:

100 x 3 = 300 (adică 3/4 din 400).

Pe baza soluției la aceste probleme, putem deriva următoarea regulă:

Pentru a găsi valoarea unei fracții dintr-un număr dat, trebuie să împărțiți acest număr la numitorul fracției și să înmulțiți câtul rezultat cu numărătorul său.

3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.

Anterior (§ 26) s-a stabilit că înmulțirea numerelor întregi trebuie înțeleasă ca adunarea unor termeni identici (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). În acest paragraf (punctul 1) s-a stabilit că înmulțirea unei fracții cu un întreg înseamnă găsirea sumei termenilor identici egală cu această fracție.

În ambele cazuri, înmulțirea a constat în găsirea sumei termenilor identici.

Acum trecem la înmulțirea unui număr întreg cu o fracție. Aici vom întâlni, de exemplu, înmulțirea: 9 2 / 3. Este clar că definiția anterioară a înmulțirii nu se aplică în acest caz. Acest lucru este evident din faptul că nu putem înlocui o astfel de înmulțire prin adăugarea de numere egale.

Din această cauză, va trebui să dăm o nouă definiție a înmulțirii, adică, cu alte cuvinte, să răspundem la întrebarea ce ar trebui înțeles prin înmulțire cu o fracție, cum trebuie înțeleasă această acțiune.

Sensul înmulțirii unui număr întreg cu o fracție este clar din următoarea definiție: înmulțirea unui număr întreg (multiplicand) cu o fracție (multiplicand) înseamnă găsirea acestei fracțiuni a multiplicandului.

Și anume, înmulțirea a 9 cu 2/3 înseamnă a găsi 2/3 din nouă unități. În paragraful anterior au fost rezolvate astfel de probleme; deci este ușor să ne dăm seama că vom ajunge cu 6.

Dar acum există un interesant și întrebare importantă: de ce sunt așa la prima vedere? diverse actiuni Cum este găsirea sumei numerelor egale și găsirea fracției dintr-un număr numită prin același cuvânt „înmulțire” în aritmetică?

Acest lucru se întâmplă deoarece acțiunea anterioară (repetarea unui număr cu termeni de mai multe ori) și acțiunea nouă (găsirea fracțiunii unui număr) dau răspunsuri la întrebări omogene. Aceasta înseamnă că pornim aici de la considerentele că întrebări sau sarcini omogene sunt rezolvate prin aceeași acțiune.

Pentru a înțelege acest lucru, luați în considerare următoarea problemă: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 4 m dintr-o astfel de pânză?

Această problemă se rezolvă prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (4), adică 50 x 4 = 200 (ruble).

Să luăm aceeași problemă, dar în ea cantitatea de pânză va fi exprimată ca o fracție: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 3/4 m dintr-o astfel de pânză?”

Această problemă trebuie rezolvată și prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (3/4).

Puteți schimba numerele din el de mai multe ori, fără a schimba sensul problemei, de exemplu, luați 9/10 m sau 2 3/10 m etc.

Întrucât aceste probleme au același conținut și diferă doar în cifre, numim acțiunile folosite în rezolvarea lor același cuvânt - înmulțire.

Cum se înmulțește un număr întreg cu o fracție?

Să luăm numerele întâlnite în ultima problemă:

Conform definiției, trebuie să găsim 3/4 din 50. Să găsim mai întâi 1/4 din 50 și apoi 3/4.

1/4 din 50 este 50/4;

3/4 din numărul 50 este .

Prin urmare.

Să luăm în considerare un alt exemplu: 12 5 / 8 =?

1/8 din numărul 12 este 12/8,

5/8 din numărul 12 este .

Prin urmare,

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărul întreg cu numărătorul fracției și să faceți din acest produs numărătorul și să semnați numitorul acestei fracții ca numitor.

Să scriem această regulă folosind litere:

Pentru a face această regulă complet clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparați regula găsită cu regula pentru înmulțirea unui număr cu un coeficient, care a fost stabilită în § 38

Este important să rețineți că înainte de a efectua înmulțirea, ar trebui să faceți (dacă este posibil) reduceri, De exemplu:

4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.Înmulțirea unei fracții cu o fracție are aceeași semnificație ca și înmulțirea unui număr întreg cu o fracție, adică atunci când înmulțiți o fracție cu o fracție, trebuie să găsiți fracția care se află în factorul din prima fracție (multiplicand).

Și anume, înmulțirea a 3/4 cu 1/2 (jumătate) înseamnă a găsi jumătate din 3/4.

Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?

Să luăm un exemplu: 3/4 înmulțit cu 5/7. Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți 5/7 din 3/4. Să găsim mai întâi 1/7 din 3/4 și apoi 5/7

1/7 din numărul 3/4 va fi exprimat astfel:

5/7 numere 3/4 vor fi exprimate astfel:

Prin urmare,

Un alt exemplu: 5/8 înmulțit cu 4/9.

1/9 din 5/8 este ,

4/9 din numărul 5/8 este .

Prin urmare,

Din aceste exemple se poate deduce următoarea regulă:

Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul și faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea produs numitorul produsului.

Aceasta este regula în vedere generala se poate scrie asa:

La înmulțire, este necesar să se facă (dacă este posibil) reduceri. Să ne uităm la exemple:

5. Înmulțirea numerelor mixte. Deoarece numerele mixte pot fi înlocuite cu ușurință cu fracții improprii, această circumstanță este de obicei folosită la înmulțirea numerelor mixte. Aceasta înseamnă că, în cazurile în care multiplicatorul sau multiplicatorul sau ambii factori sunt exprimați ca numere mixte, aceștia sunt înlocuiți cu fracții improprii. Să înmulțim, de exemplu, numere mixte: 2 1/2 și 3 1/5. Să transformăm fiecare dintre ele într-o fracție improprie și apoi să înmulțim fracțiile rezultate conform regulii de înmulțire a unei fracții cu o fracție:

Regulă. Pentru a înmulți numere mixte, trebuie mai întâi să le convertiți în fracții improprii și apoi să le înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor cu fracții.

Notă. Dacă unul dintre factori este un număr întreg, atunci înmulțirea poate fi efectuată pe baza legii distribuției după cum urmează:

6. Conceptul de interes. Când rezolvăm probleme și efectuăm diverse calcule practice, folosim tot felul de fracții. Dar trebuie avut în vedere faptul că multe cantități permit nu orice, ci diviziuni naturale pentru ele. De exemplu, puteți lua o sutime (1/100) dintr-o rublă, va fi o copecă, două sutimi sunt 2 copeici, trei sutimi sunt 3 copeici. Puteți lua 1/10 de rublă, va fi „10 copeici, sau o bucată de zece copeici. Puteți lua un sfert de rublă, adică 25 de copeici, jumătate de rublă, adică 50 de copeici (cincizeci de copeici). Dar practic nu o iau, de exemplu, 2/7 dintr-o rublă pentru că rubla nu este împărțită în șapte.

Unitatea de greutate, adică kilogramul, permite în primul rând diviziuni zecimale, de exemplu 1/10 kg sau 100 g. Și astfel de fracții de kilogram precum 1/6, 1/11, 1/13 nu sunt comune.

În general, măsurile noastre (metrice) sunt zecimale și permit diviziuni zecimale.

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că este extrem de util și convenabil într-o mare varietate de cazuri să folosiți aceeași metodă (uniformă) de subdivizare a cantităților. Mulți ani de experiență au arătat că o astfel de diviziune bine justificată este „a suta” diviziune. Să luăm în considerare câteva exemple referitoare la cele mai diverse domenii ale practicii umane.

1. Prețul cărților a scăzut cu 12/100 din prețul anterior.

Exemplu. Prețul anterior al cărții era de 10 ruble. A scăzut cu 1 rublă. 20 de copeici

2. Băncile de economii plătesc deponenților 2/100 din suma depusă pentru economii în cursul anului.

Exemplu. În casa de marcat sunt depuse 500 de ruble, venitul din această sumă pentru anul este de 10 ruble.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5/100 din numărul total de elevi.

EXEMPLU La școală erau doar 1.200 de elevi, dintre care 60 au absolvit.

A sutimea parte a unui număr se numește procent.

Cuvântul „procent” este împrumutat de la limba latină iar rădăcina sa „cent” înseamnă o sută. Împreună cu prepoziția (pro centum), acest cuvânt înseamnă „pentru o sută”. Sensul unei astfel de expresii rezultă din faptul că inițial în Roma antică dobânda erau banii pe care debitorul îi plătea creditorului „pentru fiecare sută”. Cuvântul „cent” se aude în cuvinte atât de familiare: centner (o sută de kilograme), centimetru (să spunem centimetru).

De exemplu, în loc să spunem că în ultima lună fabrica a produs 1/100 din toate produsele produse de ea a fost defecte, vom spune așa: în ultima lună, fabrica a produs un procent din defecte. În loc să spunem: fabrica a produs cu 4/100 de produse mai multe decât planul stabilit, vom spune: uzina a depășit planul cu 4 la sută.

Exemplele de mai sus pot fi exprimate diferit:

1. Prețul cărților a scăzut cu 12 la sută față de prețul anterior.

2. Băncile de economii plătesc deponenților 2 la sută pe an din suma depusă în economii.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5 la sută din toți elevii școlii.

Pentru a scurta litera, se obișnuiește să scrieți simbolul % în loc de cuvântul „procent”.

Cu toate acestea, trebuie să rețineți că în calcule semnul % nu este de obicei scris; acesta poate fi scris în enunțul problemei și în rezultatul final. Când efectuați calcule, trebuie să scrieți o fracție cu numitorul 100 în loc de un număr întreg cu acest simbol.

Trebuie să puteți înlocui un număr întreg cu pictograma indicată cu o fracție cu numitorul 100:

Dimpotrivă, trebuie să vă obișnuiți să scrieți un număr întreg cu simbolul indicat în loc de o fracție cu numitorul 100:

7. Aflarea procentului unui număr dat.

Sarcina 1.Școala a primit 200 de metri cubi. m lemn de foc, cu lemn de foc de mesteacan 30%. Cât lemn de foc de mesteacăn era acolo?

Sensul acestei probleme este că lemnul de foc de mesteacăn constituia doar o parte din lemnul de foc care a fost livrat școlii, iar această parte este exprimată în fracția 30/100. Aceasta înseamnă că avem sarcina de a găsi o fracțiune dintr-un număr. Pentru a o rezolva, trebuie să înmulțim 200 cu 30/100 (problemele de găsire a fracției unui număr se rezolvă prin înmulțirea numărului cu fracția.).

Aceasta înseamnă că 30% din 200 este egal cu 60.

Fracția 30/100 întâlnită în această problemă poate fi redusă cu 10. Ar fi posibil să se facă această reducere de la bun început; soluția problemei nu s-ar fi schimbat.

Sarcina 2.În tabără erau 300 de copii de diferite vârste. Copiii de 11 ani au reprezentat 21%, copiii de 12 ani au reprezentat 61% și, în final, copiii de 13 ani au reprezentat 18%. Câți copii de fiecare vârstă erau în tabără?

În această problemă trebuie să efectuați trei calcule, adică să găsiți succesiv numărul de copii de 11 ani, apoi de 12 ani și în final de 13 ani.

Aceasta înseamnă că aici va trebui să găsiți fracțiunea numărului de trei ori. Hai să o facem:

1) Câți copii de 11 ani au fost?

2) Câți copii de 12 ani au fost?

3) Câți copii de 13 ani erau acolo?

După rezolvarea problemei, este util să adăugați numerele găsite; suma lor ar trebui să fie 300:

63 + 183 + 54 = 300

De asemenea, trebuie remarcat faptul că suma procentelor date în enunțul problemei este 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Acest lucru sugerează că numărul total copiii din tabără au fost luați ca 100%.

3 a d a h a 3. Muncitorul primea 1.200 de ruble pe lună. Din acestea, a cheltuit 65% pe alimente, 6% pe apartamente și încălzire, 4% pe gaz, electricitate și radio, 10% pe nevoi culturale și 15% a făcut economii. Câți bani s-au cheltuit pentru nevoile indicate în problemă?

Pentru a rezolva această problemă trebuie să găsiți de 5 ori fracția de 1200. Să facem asta.

1) Câți bani s-au cheltuit pe mâncare? Problema spune că această cheltuială reprezintă 65% din câștigurile totale, adică 65/100 din numărul 1.200. Să facem calculul:

2) Cati bani ati platit pentru un apartament cu incalzire? Raționând similar celui precedent, ajungem la următorul calcul:

3) Câți bani ați plătit pentru gaz, electricitate și radio?

4) Câți bani au fost cheltuiți pentru nevoi culturale?

5) Câți bani a economisit muncitorul?

Pentru a verifica, este util să adunăm numerele găsite în aceste 5 întrebări. Suma ar trebui să fie de 1.200 de ruble. Toate câștigurile sunt luate ca 100%, ceea ce este ușor de verificat prin adunarea numerelor procentuale indicate în declarația problemei.

Am rezolvat trei probleme. În ciuda faptului că aceste probleme s-au ocupat de lucruri diferite (livrarea lemnelor de foc pentru școală, numărul de copii de diferite vârste, cheltuielile muncitorului), acestea au fost rezolvate în același mod. Acest lucru s-a întâmplat deoarece în toate problemele a fost necesar să se găsească câteva procente din numerele date.

§ 90. Împărțirea fracțiilor.

Pe măsură ce studiem împărțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.
2. Împărțirea unei fracții la un număr întreg
3. Împărțirea unui număr întreg la o fracție.
4. Împărțirea unei fracții la o fracție.
5. Împărțirea numerelor mixte.
6. Găsirea unui număr din fracția lui dată.
7. Găsirea unui număr după procentajul său.

Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.

După cum s-a indicat în departamentul numerelor întregi, împărțirea este acțiunea care constă în faptul că, dat fiind produsul a doi factori (dividend) și unul dintre acești factori (divizor), se găsește un alt factor.

Ne-am uitat la împărțirea unui număr întreg la un număr întreg în secțiunea despre numere întregi. Am întâlnit două cazuri de împărțire acolo: împărțirea fără rest, sau „în întregime” (150: 10 = 15) și împărțirea cu rest (100: 9 = 11 și 1 rest). Putem spune deci că în domeniul numerelor întregi, împărțirea exactă nu este întotdeauna posibilă, deoarece dividendul nu este întotdeauna produsul divizorului cu întregul. După introducerea înmulțirii cu o fracție, putem considera posibil orice caz de împărțire a numerelor întregi (se exclude doar împărțirea cu zero).

De exemplu, împărțirea lui 7 la 12 înseamnă găsirea unui număr al cărui produs cu 12 ar fi egal cu 7. Un astfel de număr este fracția 7 / 12 deoarece 7 / 12 12 = 7. Un alt exemplu: 14: 25 = 14 / 25, deoarece 14 / 25 25 = 14.

Astfel, pentru a împărți un număr întreg la un număr întreg, trebuie să creați o fracție al cărei numărător este egal cu dividendul și numitorul este egal cu divizorul.

2. Împărțirea unei fracții la un număr întreg.

Împărțiți fracția 6 / 7 la 3. Conform definiției împărțirii dată mai sus, avem aici produsul (6 / 7) și unul dintre factorii (3); este necesar să se găsească un al doilea factor care, înmulțit cu 3, ar da produsul dat 6/7. Evident, ar trebui să fie de trei ori mai mic decât acest produs. Aceasta înseamnă că sarcina stabilită în fața noastră a fost să reducem fracția de 6/7 de 3 ori.

Știm deja că reducerea unei fracții se poate face fie prin micșorarea numărătorului, fie prin creșterea numitorului. Prin urmare, puteți scrie:

ÎN în acest caz, Numătorul lui 6 este divizibil cu 3, deci numărătorul trebuie să fie înjumătățit.

Să luăm un alt exemplu: 5 / 8 împărțit la 2. Aici numărătorul 5 nu este divizibil cu 2, ceea ce înseamnă că numitorul va trebui înmulțit cu acest număr:

Pe baza acesteia, se poate face o regulă: Pentru a împărți o fracție la un număr întreg, trebuie să împărțiți numărătorul fracției la acel număr întreg.(dacă este posibil), lăsând același numitor, sau înmulțiți numitorul fracției cu acest număr, rămânând același numărător.

3. Împărțirea unui număr întreg la o fracție.

Să fie necesar să împărțim 5 la 1/2, adică să găsim un număr care, după înmulțirea cu 1/2, va da produsul 5. Evident, acest număr trebuie să fie mai mare decât 5, deoarece 1/2 este o fracție proprie. , iar la înmulțirea unui număr produsul unei fracții adecvate trebuie să fie mai mic decât produsul înmulțit. Pentru a face acest lucru mai clar, să scriem acțiunile noastre după cum urmează: 5: 1 / 2 = X , ceea ce înseamnă x 1 / 2 = 5.

Trebuie să găsim un astfel de număr X , care, înmulțit cu 1/2, ar da 5. Deoarece înmulțirea unui anumit număr cu 1/2 înseamnă găsirea a 1/2 din acest număr, atunci, prin urmare, 1/2 din numărul necunoscut X este egal cu 5 și numărul întreg X de două ori mai mult, adică 5 2 = 10.

Deci 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Sa verificam:

Să ne uităm la un alt exemplu. Să presupunem că trebuie să împărțim 6 la 2/3. Să încercăm mai întâi să găsim rezultatul dorit folosind desenul (Fig. 19).

Fig.19

Să desenăm un segment AB egal cu 6 unități și să împărțim fiecare unitate în 3 părți egale. În fiecare unitate, trei treimi (3/3) din întregul segment AB este de 6 ori mai mare, adică. e. 18/3. Folosind paranteze mici, conectăm cele 18 segmente rezultate, câte 2; Vor fi doar 9 segmente. Aceasta înseamnă că fracția 2/3 este conținută în 6 unități de 9 ori, sau, cu alte cuvinte, fracția 2/3 este de 9 ori mai mică decât 6 unități întregi. Prin urmare,

Cum să obțineți acest rezultat fără un desen folosind numai calcule? Să raționăm astfel: trebuie să împărțim 6 la 2/3, adică trebuie să răspundem la întrebarea de câte ori 2/3 este conținut în 6. Să aflăm mai întâi: de câte ori 1/3 este conținut în 6? Într-o unitate întreagă sunt 3 treimi, iar în 6 unități sunt de 6 ori mai multe, adică 18 treimi; pentru a găsi acest număr trebuie să înmulțim 6 cu 3. Aceasta înseamnă că 1/3 este conținut în b unități de 18 ori, iar 2/3 este conținut în b unități nu de 18 ori, ci jumătate din câte ori, adică 18: 2 = 9 Prin urmare, când împărțim 6 la 2/3 am făcut următoarele:

De aici obținem regula împărțirii unui număr întreg la o fracție. Pentru a împărți un număr întreg la o fracție, trebuie să înmulțiți acest număr întreg cu numitorul fracției date și, făcând din acest produs numărător, să îl împărțiți la numărătorul fracției date.

Să scriem regula folosind litere:

Pentru a face această regulă complet clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparați regula găsită cu regula împărțirii unui număr la un coeficient, care a fost stabilită în § 38. Vă rugăm să rețineți că aceeași formulă a fost obținută acolo.

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

4. Împărțirea unei fracții la o fracție.

Să presupunem că trebuie să împărțim 3/4 la 3/8. Ce va însemna numărul rezultat din împărțire? Va răspunde la întrebarea de câte ori este conținută fracția 3/8 în fracția 3/4. Pentru a înțelege această problemă, să facem un desen (Fig. 20).

Să luăm un segment AB, să-l luăm ca unul, să-l împărțim în 4 părți egale și să marchem 3 astfel de părți. Segmentul AC va fi egal cu 3/4 din segmentul AB. Să împărțim acum fiecare dintre cele patru segmente originale în jumătate, apoi segmentul AB va fi împărțit în 8 părți egale și fiecare astfel de părți va fi egală cu 1/8 din segmentul AB. Să conectăm 3 astfel de segmente cu arce, apoi fiecare dintre segmentele AD și DC va fi egal cu 3/8 din segmentul AB. Desenul arată că un segment egal cu 3/8 este cuprins într-un segment egal cu 3/4 exact de 2 ori; Aceasta înseamnă că rezultatul împărțirii poate fi scris după cum urmează:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Să ne uităm la un alt exemplu. Să presupunem că trebuie să împărțim 15/16 la 3/32:

Putem raționa astfel: trebuie să găsim un număr care, după înmulțirea cu 3/32, va da un produs egal cu 15/16. Să scriem calculele astfel:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 număr necunoscut X sunt 15/16

1/32 dintr-un număr necunoscut X este ,

32 / 32 de numere X inventa .

Prin urmare,

Astfel, pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și să înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua și să faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea numitorul.

Să scriem regula folosind litere:

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

5. Împărțirea numerelor mixte.

La împărțirea numerelor mixte, acestea trebuie mai întâi convertite în fracții improprii, iar apoi fracțiile rezultate trebuie împărțite conform regulilor de împărțire a fracțiilor. Să ne uităm la un exemplu:

Să transformăm numerele mixte în fracții improprii:

Acum să împărțim:

Astfel, pentru a împărți numerele mixte, trebuie să le convertiți în fracții improprii și apoi să împărțiți folosind regula de împărțire a fracțiilor.

6. Găsirea unui număr din fracția lui dată.

Printre diversele probleme cu fracțiile, uneori există acelea în care este dată valoarea unei fracții dintr-un număr necunoscut și trebuie să găsiți acest număr. Acest tip de problemă va fi inversul problemei găsirii fracției dintr-un număr dat; acolo a fost dat un număr și a fost necesar să se găsească o fracțiune din acest număr, aici a fost dat o fracțiune dintr-un număr și a fost necesar să se găsească acest număr în sine. Această idee va deveni și mai clară dacă ne întoarcem la rezolvarea acestui tip de problemă.

Sarcina 1.În prima zi, geamurile au vitrat 50 de ferestre, adică 1/3 din toate ferestrele casei construite. Câte ferestre sunt în casa asta?

Soluţie. Problema spune că 50 de ferestre cu geam alcătuiesc 1/3 din toate ferestrele casei, ceea ce înseamnă că sunt de 3 ori mai multe ferestre în total, adică.

Casa avea 150 de ferestre.

Sarcina 2. Magazinul a vândut 1.500 kg de făină, adică 3/8 din stocul total de făină pe care îl avea magazinul. Care a fost rezerva inițială de făină a magazinului?

Soluţie. Din condițiile problemei reiese clar că 1.500 kg de făină vândute constituie 3/8 din stocul total; Aceasta înseamnă că 1/8 din această rezervă va fi de 3 ori mai mică, adică pentru a o calcula trebuie să reduceți 1500 de 3 ori:

1.500: 3 = 500 (aceasta este 1/8 din rezervă).

Evident, întreaga aprovizionare va fi de 8 ori mai mare. Prin urmare,

500 8 = 4.000 (kg).

Stocul inițial de făină din magazin a fost de 4.000 kg.

Luând în considerare această problemă, se poate deduce următoarea regulă.

Pentru a găsi un număr dintr-o valoare dată a fracției sale, este suficient să împărțiți această valoare la numărătorul fracției și să înmulțiți rezultatul cu numitorul fracției.

Am rezolvat două probleme la găsirea unui număr dat fiind fracția sa. Astfel de probleme, așa cum se vede în mod deosebit din ultima, sunt rezolvate prin două acțiuni: împărțirea (când se găsește o parte) și înmulțire (când se găsește întregul număr).

Totuși, după ce am învățat împărțirea fracțiilor, problemele de mai sus pot fi rezolvate cu o singură acțiune și anume: împărțirea cu o fracție.

De exemplu, ultima sarcină poate fi rezolvată într-o singură acțiune ca aceasta:

În viitor, vom rezolva problemele de a găsi un număr din fracția sa cu o singură acțiune - împărțire.

7. Găsirea unui număr după procentajul său.

În aceste probleme, va trebui să găsiți un număr cunoscând câteva procente din acel număr.

Sarcina 1. La începutul acestui an am primit 60 de ruble de la banca de economii. venit din suma pe care am pus-o în economii acum un an. Câți bani am băgat în banca de economii? (Casierele oferă deponenților o rentabilitate de 2% pe an.)

Ideea problemei este că am pus o anumită sumă de bani într-o casă de economii și am stat acolo un an. După un an, am primit 60 de ruble de la ea. venit, care este 2/100 din banii pe care i-am depus. Câți bani am băgat?

În consecință, cunoscând o parte din acești bani, exprimați în două moduri (în ruble și fracții), trebuie să găsim întreaga sumă, încă necunoscută. Aceasta este o problemă obișnuită de a găsi un număr având în vedere fracția sa. Următoarele probleme sunt rezolvate prin diviziune:

Aceasta înseamnă că 3.000 de ruble au fost depuse la banca de economii.

Sarcina 2. Pescarii au îndeplinit planul lunar cu 64% în două săptămâni, recoltând 512 tone de pește. Care era planul lor?

Din condițiile problemei se știe că pescarii au finalizat o parte din plan. Această parte este egală cu 512 tone, ceea ce reprezintă 64% din plan. Nu știm câte tone de pește trebuie pregătite conform planului. Găsirea acestui număr va fi soluția problemei.

Astfel de probleme sunt rezolvate prin diviziune:

Aceasta înseamnă că, conform planului, trebuie pregătite 800 de tone de pește.

Sarcina 3. Trenul a mers de la Riga la Moscova. Când a depășit cel de-al 276-lea kilometru, unul dintre pasageri a întrebat un conductor care trecea cât de mult au parcurs deja călătoria. La aceasta dirijorul a răspuns: „Am acoperit deja 30% din întreaga călătorie”. Care este distanța de la Riga la Moscova?

Din condițiile de problemă este clar că 30% din traseul de la Riga la Moscova este de 276 km. Trebuie să găsim întreaga distanță dintre aceste orașe, adică, pentru această parte, găsim întregul:

§ 91. Numerele reciproce. Înlocuirea împărțirii cu înmulțirea.

Să luăm fracția 2/3 și să înlocuim numărătorul în locul numitorului, obținem 3/2. Am obținut inversul acestei fracții.

Pentru a obține inversul unei fracții date, trebuie să puneți numărătorul acesteia în locul numitorului și numitorul în locul numărătorului. În acest fel putem obține reciproca oricărei fracții. De exemplu:

3/4, invers 4/3; 5/6, invers 6/5

Două fracții care au proprietatea că numărătorul primei este numitorul celei de-a doua, iar numitorul primei este numărătorul celei de-a doua, se numesc reciproc invers.

Acum să ne gândim la ce fracție va fi reciproca lui 1/2. Evident, va fi 2 / 1, sau doar 2. Căutând fracția inversă a celei date, am obținut un număr întreg. Și acest caz nu este izolat; dimpotrivă, pentru toate fracțiile cu numărător de 1 (un), reciprocele vor fi numere întregi, de exemplu:

1/3, invers 3; 1/5, reversul 5

Întrucât în ​​găsirea fracțiilor reciproce am întâlnit și numere întregi, în cele ce urmează vom vorbi nu despre fracții reciproce, ci despre numere reciproce.

Să ne dăm seama cum să scriem inversul unui număr întreg. Pentru fracții, acest lucru poate fi rezolvat simplu: trebuie să puneți numitorul în locul numărătorului. În același mod, puteți obține inversul unui număr întreg, deoarece orice număr întreg poate avea un numitor de 1. Aceasta înseamnă că inversul lui 7 va fi 1/7, deoarece 7 = 7/1; pentru numărul 10 inversul va fi 1/10, deoarece 10 = 10/1

Această idee poate fi exprimată diferit: reciproca unui număr dat se obține prin împărțirea unu la număr dat . Această afirmație este valabilă nu numai pentru numere întregi, ci și pentru fracții. De fapt, dacă trebuie să scriem inversul fracției 5/9, atunci putem lua 1 și îl împărțim la 5/9, adică.

Acum să subliniem un lucru proprietate numere reciproce, care ne vor fi utile: produsul numerelor reciproce este egal cu unu.Într-adevăr:

Folosind această proprietate, putem găsi numere reciproce în felul următor. Să presupunem că trebuie să găsim inversul lui 8.

Să o notăm prin literă X , apoi 8 X = 1, prin urmare X = 1/8. Să găsim un alt număr care este inversul lui 7/12 și să îl notăm cu literă X , apoi 7/12 X = 1, prin urmare X = 1: 7 / 12 sau X = 12 / 7 .

Am introdus aici conceptul de numere reciproce pentru a completa puțin informațiile despre împărțirea fracțiilor.

Când împărțim numărul 6 la 3/5, facem următoarele:

Acordați o atenție deosebită expresiei și comparați-o cu cea dată: .

Dacă luăm expresia separat, fără legătură cu cea anterioară, atunci este imposibil să rezolvăm problema de unde provine: de la împărțirea a 6 la 3/5 sau de la înmulțirea a 6 cu 5/3. În ambele cazuri se întâmplă același lucru. Prin urmare putem spune că împărțirea unui număr la altul poate fi înlocuită prin înmulțirea dividendului cu inversul divizorului.

Exemplele pe care le oferim mai jos confirmă pe deplin această concluzie.

O fracție este una sau mai multe părți ale unui întreg, de obicei considerată una (1). Ca și în cazul numerelor naturale, puteți efectua toate operațiile aritmetice de bază (adunare, scădere, împărțire, înmulțire) cu fracții; pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți caracteristicile lucrului cu fracții și să distingeți între tipurile acestora. Există mai multe tipuri de fracții: zecimală și ordinară sau simple. Fiecare tip de fracție are propriile sale specificități, dar odată ce înțelegeți bine cum să le gestionați, veți putea rezolva orice exemple cu fracții, deoarece veți cunoaște principiile de bază ale efectuării calculelor aritmetice cu fracții. Să ne uităm la exemple despre cum să împărțim o fracție la un număr întreg folosind tipuri diferite fractii.

Cum se împarte o fracție simplă la un număr natural?
Fracțiile obișnuite sau simple sunt fracții care sunt scrise sub forma unui raport de numere în care dividendul (numărătorul) este indicat în partea de sus a fracției, iar în partea de jos este indicat divizorul (numitorul) fracției. Cum se împarte o astfel de fracție la un număr întreg? Să ne uităm la un exemplu! Să presupunem că trebuie să împărțim 8/12 la 2.

Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuăm o serie de acțiuni:
Astfel, dacă ne confruntăm cu sarcina de a împărți o fracție la un număr întreg, diagrama soluției va arăta cam așa:

Într-un mod similar, puteți împărți orice fracție obișnuită (simple) la un număr întreg.

Cum se împarte o zecimală la un număr întreg?
O zecimală este o fracție care se obține prin împărțirea unei unități în zece, o mie și așa mai departe. Operațiile aritmetice cu zecimale sunt destul de simple.

Să ne uităm la un exemplu despre cum să împărțim o fracție la un număr întreg. Să presupunem că trebuie să împărțim fracția zecimală 0,925 la numărul natural 5.

Pentru a rezuma, să ne oprim asupra a două puncte principale care sunt importante atunci când se efectuează operația de împărțire a fracțiilor zecimale la un număr întreg:

• pentru separare zecimalÎmpărțirea pe coloane este folosită pentru un număr natural;
  
• O virgulă este plasată într-un coeficient atunci când împărțirea întregii părți a dividendului este finalizată.
  

Aplicând acestea reguli simple, puteți împărți întotdeauna cu ușurință orice fracție zecimală sau simplă la un număr întreg.

T tip de lecție: ONZ (descoperirea de noi cunoștințe - folosind tehnologia metodei de predare bazată pe activități).

Obiective de bază:

1. Deduceți metode de împărțire a unei fracții la un număr natural;
2. Dezvoltați capacitatea de a împărți o fracție la un număr natural;
3. Repetați și consolidați împărțirea fracțiilor;
4. Antrenați capacitatea de a reduce fracții, de a analiza și de a rezolva probleme.

Material demonstrativ echipament:

1. Sarcini pentru actualizarea cunoștințelor:

Comparați expresiile:

Referinţă:

2. Sarcină de probă (individuală).

1. Efectuați împărțirea:

2. Efectuați împărțirea fără a efectua întregul lanț de calcule: .

Standarde:

• Când împărțiți o fracție la un număr natural, puteți înmulți numitorul cu acel număr, dar numitorul rămâne același.

• Dacă numărătorul este divizibil cu un număr natural, atunci când împărțiți o fracție la acest număr, puteți împărți numărătorul la număr și lăsați numitorul același.

În timpul orelor

I. Motivarea (autodeterminarea) pentru activități educaționale.

Scopul etapei:

1. Organizează actualizarea cerințelor pentru student în ceea ce privește activitățile educaționale („trebuie”);
2. Organizarea activităților studenților pentru a stabili cadre tematice („Eu pot”);
3. Creați condiții pentru ca elevul să dezvolte o nevoie internă de includere în activități educaționale („Vreau”).

Organizarea procesului de învățământ în etapa I.

Buna ziua! Mă bucur să vă văd pe toți la lecția de matematică. Sper sa fie reciproc.

Băieți, ce cunoștințe noi ați dobândit în ultima lecție? (Împărțirea fracțiilor).

Dreapta. Ce te ajută să faci împărțirea fracțiilor? (Regulă, proprietăți).

Unde avem nevoie de aceste cunoștințe? (În exemple, ecuații, probleme).

Bine făcut! Te-ai descurcat bine la temele din ultima lecție. Vrei să descoperi tu însuți noi cunoștințe astăzi? (Da).

Atunci să mergem! Și motto-ul lecției va fi afirmația „Nu poți învăța matematica privindu-ți vecinul făcând asta!”

II. Actualizarea cunoștințelor și remedierea dificultăților individuale într-o acțiune de încercare.

Scopul etapei:

1. Organizați actualizarea metodelor de acțiune învățate suficiente pentru a construi noi cunoștințe. Înregistrați aceste metode verbal (în vorbire) și simbolic (standard) și generalizați-le;
2. Organizează actualizarea operațiilor mentale și a proceselor cognitive suficiente pentru a construi noi cunoștințe;
3. Motivați pentru o acțiune de probă și implementarea și justificarea independentă a acesteia;
4. Prezentați o sarcină individuală pentru o acțiune de probă și analizați-o pentru a identifica conținut educațional nou;
5. Organizați fixarea scopului educațional și a temei lecției;
6. Organizați implementarea unei acțiuni de probă și remediați dificultatea;
7. Organizați o analiză a răspunsurilor primite și înregistrați dificultățile individuale în efectuarea unei acțiuni de încercare sau justificarea acesteia.

Organizarea procesului de învățământ la etapa II.

Frontal, folosind tablete (plăci individuale).

1. Comparați expresiile:

(Aceste expresii sunt egale)

Ce lucruri interesante ai observat? (Numărătorul și numitorul dividendului, numărătorul și numitorul divizorului în fiecare expresie au crescut de același număr de ori. Astfel, dividendele și divizorii din expresii sunt reprezentate prin fracții care sunt egale între ele).

Găsiți semnificația expresiei și scrieți-o pe tabletă. (2)

Cum pot scrie acest număr ca o fracție?

Cum ați efectuat acțiunea de împărțire? (Copiii pronunță regula, profesorul afișează simboluri cu litere pe tablă)

2. Calculați și înregistrați numai rezultatele:

3. Adaugă rezultatele și notează răspunsul. (2)

Cum se numește numărul obținut în sarcina 3? (Natural)

Crezi că poți împărți o fracție la un număr natural? (Da, vom încerca)

Incearca asta.

4. Sarcină individuală (de probă).

Efectuați împărțirea: (numai exemplul a)

Ce regulă ai folosit pentru a împărți? (Conform regulii împărțirii fracțiilor la fracții)

Acum împărțiți fracția la un număr natural mai mare decât într-un mod simplu, fără a efectua întregul lanț de calcule: (exemplu b). Îți dau 3 secunde pentru asta.

Cine nu a putut finaliza sarcina în 3 secunde?

Cine a făcut? (Nu există așa ceva)

De ce? (Nu știm calea)

Ce ai primit? (Dificultate)

Ce crezi că vom face în clasă? (Împărțirea fracțiilor la numere naturale)

Așa este, deschide-ți caietele și notează subiectul lecției: „Împărțirea unei fracții la un număr natural”.

De ce sună nou acest subiect când știți deja să împărțiți fracții? (Am nevoie de un mod nou)

Dreapta. Astăzi vom stabili o tehnică care simplifică împărțirea unei fracții cu un număr natural.

III. Identificarea locației și a cauzei problemei.

Scopul etapei:

1. Organizează refacerea operațiilor finalizate și înregistrează (verbal și simbolic) locul - pas, operație - unde a apărut dificultatea;
2. Organizați corelarea acțiunilor elevilor cu metoda (algoritmul) utilizat și fixarea în vorbirea externă a cauzei dificultății - acele cunoștințe, aptitudini sau abilități specifice care lipsesc pentru a rezolva problema inițială de acest tip.

Organizarea procesului de învățământ la etapa III.

Ce sarcină a trebuit să îndeplinești? (Împărțiți o fracție la un număr natural fără a parcurge întregul lanț de calcule)

Ce ți-a cauzat dificultăți? (Nu m-am putut decide pentru un timp scurt drumul rapid)

Ce obiectiv ne propunem în lecție? (Găsi cale rapidăîmpărțirea unei fracții la un număr natural)

Ce te va ajuta? (Regulă deja cunoscută pentru împărțirea fracțiilor)

IV. Construirea unui proiect pentru a ieși dintr-o problemă.

Scopul etapei:

1. Clarificarea scopului proiectului;
2. Alegerea metodei (clarificare);
3. Determinarea mijloacelor (algoritm);
4. Construirea unui plan pentru atingerea scopului.

Organizarea procesului de învățământ în etapa IV.

Să revenim la sarcina de testare. Ai spus că ai împărțit după regula împărțirii fracțiilor? (Da)

Pentru a face acest lucru, înlocuiți numărul natural cu o fracție? (Da)

Ce pas (sau pași) crezi că poate fi sărit?

(Lanțul de soluții este deschis pe placă:

Analizați și trageți o concluzie. (Pasul 1)

Dacă nu există răspuns, atunci vă ghidăm prin întrebări:

Unde s-a dus divizorul natural? (În numitor)

Numătorul s-a schimbat? (Nu)

Deci, ce pas poți „omite”? (Pasul 1)

Plan de acțiune:

• Înmulțiți numitorul unei fracții cu un număr natural.
• Nu schimbam numaratorul.
• Obținem o nouă fracție.

V. Implementarea proiectului construit.

Scopul etapei:

1. Organizarea interactiunii comunicative in vederea implementarii proiectului construit care vizeaza dobandirea cunostintelor lipsa;
2. Organizați înregistrarea metodei de acțiune construite în vorbire și semne (folosind un standard);
3. Organizați soluția la problema inițială și înregistrați cum să depășiți dificultatea;
4. Organizați clarificarea general cunoștințe noi.

Organizarea procesului de învățământ la etapa V.

Acum rulați rapid cazul de testare într-un mod nou.

Acum ați reușit să finalizați sarcina rapid? (Da)

Explicați cum ați făcut asta? (Copiii vorbesc)

Aceasta înseamnă că am dobândit noi cunoștințe: regula împărțirii unei fracții la un număr natural.

Bine făcut! Spune-o în perechi.

Apoi un elev vorbește cu clasa. Fixăm regula-algoritm verbal și sub forma unui standard pe tablă.

Acum introduceți denumirea literelor și scrieți formula pentru regula noastră.

Elevul scrie pe tablă, spunând regula: la împărțirea unei fracții la un număr natural, puteți înmulți numitorul cu acest număr, dar lasă numărătorul același.

(Toată lumea scrie formula în caiete).

Acum analizați din nou lanțul de rezolvare a sarcinii de testare, acordând o atenție deosebită răspunsului. Ce-ai făcut? (Numărătorul fracției 15 a fost împărțit (redus) la numărul 3)

Ce este acest numar? (natural, divizor)

Deci, cum altfel poți împărți o fracție la un număr natural? (Verificați: dacă numărătorul unei fracții este divizibil cu acest număr natural, atunci puteți împărți numărătorul la acest număr, scrieți rezultatul în numărătorul noii fracții și lăsați numitorul același)

Scrieți această metodă ca o formulă. (Elevul scrie regula pe tablă în timp ce o pronunță. Fiecare scrie formula în caiete.)

Să revenim la prima metodă. Îl poți folosi dacă a:n? (Da metoda generala)

Și când este convenabil să folosești a doua metodă? (Când numărătorul unei fracții este împărțit la un număr natural fără rest)

VI. Consolidare primară cu pronunția în vorbirea externă.

Scopul etapei:

1. Organizați asimilarea de către copii a unei noi metode de acțiune atunci când rezolvă probleme standard cu pronunția lor în vorbire externă (frontal, în perechi sau în grup).

Organizarea procesului de învățământ la etapa VI.

Calculați într-un mod nou:

• Nr. 363 (a; d) - efectuat la consiliu, pronunţând regula.
• Nr 363 (e; f) - în perechi cu verificare conform probei.

VII. Lucru independent cu autotestare conform standardului.

Scopul etapei:

1. Organizați îndeplinirea independentă de către elevi a sarcinilor pentru un nou mod de acțiune;
2. Organizați autotestarea pe baza comparației cu standardul;
3. Pe baza rezultatelor execuției muncă independentă organiza reflecţia asupra asimilarii unui nou mod de acţiune.

Organizarea procesului de învățământ la etapa VII.

Calculați într-un mod nou:

• nr. 363 (b; c)

Elevii verifică în raport cu standardul și marchează corectitudinea execuției. Cauzele erorilor sunt analizate și erorile sunt corectate.

Profesorul îi întreabă pe acei elevi care au greșit, care este motivul?

În această etapă, este important ca fiecare elev să își verifice în mod independent munca.

VIII. Includerea în sistemul de cunoștințe și repetarea.

Scopul etapei:

1. Organizează identificarea limitelor de aplicare a noilor cunoștințe;
2. Organizați repetarea conținutului educațional necesar pentru a asigura o continuitate semnificativă.

Organizarea procesului de învățământ la etapa a VIII-a.

Organizează înregistrarea dificultăților nerezolvate din lecție ca direcție pentru activitățile educaționale viitoare;

Organizați o discuție și înregistrarea temelor pentru acasă.

Organizarea procesului de învățământ în etapa a IX-a.

1. Dialog:

Băieți, ce cunoștințe noi ați descoperit astăzi? (Ați învățat cum să împărțiți o fracție la un număr natural într-un mod simplu)

Formulați o metodă generală. (Ei spun)

În ce mod și în ce cazuri îl puteți folosi? (Ei spun)

Care este avantajul noii metode?

Ne-am atins obiectivul lecției? (Da)

Ce cunoștințe ai folosit pentru a-ți atinge scopul? (Ei spun)

Ți-a mers totul?

Care au fost dificultățile?

2. Teme pentru acasă: clauza 3.2.4.; Nr. 365 (l, n, o, p); nr. 370.

3. Profesor: Mă bucur că toată lumea a fost activă astăzi și a reușit să găsească o cale de a ieși din dificultate. Și cel mai important, nu erau vecini atunci când deschideau unul nou și îl înființau. Mulțumesc pentru lecție, copii!