Care este cel mai mare număr de pe pământ. Numerele mari au nume mari

Răspunzând la o întrebare atât de dificilă despre ce este, cel mai mare număr din lume, trebuie remarcat mai întâi că astăzi există 2 moduri acceptate de a numi numerele - engleză și americană. Conform sistem englezesc, la fiecare număr mare se adaugă în ordine sufixele – miliard sau – milion, rezultând numerele milion, miliard, trilion, trilion și așa mai departe. Dacă pornim de la sistemul american, atunci conform acestuia, la fiecare număr mare trebuie adăugat sufixul -milion, rezultând formarea numerelor trilion, cvadrilion și mari. De asemenea, trebuie remarcat aici că sistemul de numere englezesc este mai frecvent în lumea modernă, iar numerele din acesta sunt destul de suficiente pentru funcționarea normală a tuturor sistemelor lumii noastre.

Desigur, răspunsul la întrebarea despre cel mai mare număr din punct de vedere logic nu poate fi lipsit de ambiguitate, deoarece dacă adăugați doar câte una la fiecare cifră ulterioară, obțineți un nou număr mai mare, prin urmare, acest proces nu are limită. Cu toate acestea, în mod ciudat, există încă cel mai mare număr din lume și este listat în Cartea Recordurilor Guinness.

Numărul lui Graham este cel mai mare număr din lume

Acest număr este recunoscut în lume drept cel mai mare din Cartea Recordurilor, dar este foarte greu de explicat ce este și cât de mare este. În sens general, acestea sunt tripleți înmulțiți împreună, rezultând un număr care este cu 64 de ordine de mărime mai mare decât punctul de înțelegere al fiecărei persoane. Ca rezultat, putem da doar ultimele 50 de cifre ale numărului lui Graham – 0322234872396701848518 64390591045756272 62464195387.

Numărul de golol

Istoria acestui număr nu este la fel de complexă ca cea menționată mai sus. Astfel, matematicianul american Edward Kasner, vorbind cu nepoții săi despre numerele mari, nu a putut răspunde la întrebarea cum să denumească numerele care au 100 de zerouri sau mai mult. Un nepot plin de resurse și-a sugerat propriul nume pentru astfel de numere - googol. Trebuie remarcat faptul că acest număr nu are o semnificație practică prea mare, totuși, uneori este folosit în matematică pentru a exprima infinitul.

Googleplex

Acest număr a fost inventat și de matematicianul Edward Kasner și nepotul său Milton Sirotta. Într-un sens general, reprezintă un număr până la a zecea putere a unui googol. Răspunzând la întrebarea multor oameni curioși, câte zerouri sunt în Googleplex, este de remarcat faptul că în versiunea clasică nu există nicio modalitate de a reprezenta acest număr, chiar dacă acoperiți toată hârtia de pe planetă cu zerouri clasice.

Număr înclinat

Un alt candidat la titlul de cel mai mare număr este numărul Skewes, dovedit de John Littwood în 1914. Conform dovezilor date, acest număr este de aproximativ 8.185 10370.

numărul Moser

Această metodă de nume este foarte numere mari a fost inventat de Hugo Steinhaus, care a propus să le desemnăm prin poligoane. În urma a trei operații matematice efectuate, numărul 2 se naște într-un megagon (un poligon cu mega laturi).

După cum puteți observa deja, o cantitate mare matematicienii au făcut eforturi pentru a-l găsi – cel mai mare număr din lume. Măsura în care aceste încercări au avut succes, desigur, nu este de competența noastră să judecăm, totuși, trebuie remarcat că aplicabilitatea reală a unor astfel de numere este îndoielnică, deoarece ele nici măcar nu sunt susceptibile de înțelegerea umană. În plus, va exista întotdeauna un număr care va fi mai mare dacă efectuați o operație matematică foarte simplă +1.

Există numere care sunt atât de incredibil, incredibil de mari încât ar fi nevoie de întregul univers chiar și pentru a le scrie. Dar iată ce este cu adevărat nebunesc... unele dintre aceste numere nespus de mari sunt cruciale pentru înțelegerea lumii.

Când spun „cel mai mare număr din univers”, mă refer cu adevărat la cel mai mare semnificativ număr, numărul maxim posibil care este util într-un fel. Sunt mulți concurenți pentru acest titlu, dar vă avertizez imediat: există într-adevăr riscul ca încercarea de a înțelege totul să vă explodeze mintea. Și în plus, cu prea multă matematică, nu te vei distra prea mult.

Googol și googolplex

Edward Kasner

Am putea începe cu cele care sunt, probabil, cele mai mari două numere despre care ai auzit vreodată, iar acestea sunt într-adevăr cele mai mari două numere care au definiții general acceptate în Limba engleză. (Există o nomenclatură destul de precisă folosită pentru a desemna numere atât de mari pe cât ați dori, dar aceste două numere nu le veți găsi în dicționare în zilele noastre.) Googol, de când a devenit celebru în lume (deși cu erori, rețineți. de fapt este googol). ) sub forma Google, născut în 1920 ca o modalitate de a-i face pe copii interesați de numerele mari.

În acest scop, Edward Kasner (foto) și-a luat pe cei doi nepoți, Milton și Edwin Sirott, la o plimbare prin New Jersey Palisades. I-a invitat să vină cu orice idee, iar apoi Milton, în vârstă de nouă ani, le-a sugerat „googol”. Nu se știe de unde a primit acest cuvânt, dar Kasner a decis asta sau un număr în care o sută de zerouri urmează unității se va numi de acum înainte googol.

Dar tânărul Milton nu s-a oprit aici; a propus un număr și mai mare, googolplex. Acesta este un număr, potrivit lui Milton, în care primul loc este 1 și apoi câte zerouri ai putea scrie înainte să te obosești. Deși ideea este fascinantă, Kasner a decis că este nevoie de o definiție mai formală. După cum a explicat în cartea sa din 1940, Mathematics and the Imagination, definiția lui Milton lasă deschisă posibilitatea riscantă ca un bufon accidental să devină un matematician superior lui Albert Einstein pur și simplu pentru că are o rezistență mai mare.

Așa că Kasner a decis că un googolplex ar fi , sau 1, și apoi un googol de zerouri. În caz contrar, și în notație similară cu cea cu care ne vom ocupa pentru alte numere, vom spune că un googolplex este . Pentru a arăta cât de fascinant este acest lucru, Carl Sagan a remarcat odată că este imposibil din punct de vedere fizic să notezi toate zerourile unui googolplex, deoarece pur și simplu nu există suficient spațiu în univers. Dacă umplem întregul volum al Universului observabil cu particule mici de praf de aproximativ 1,5 microni, atunci numărul în diverse moduri locația acestor particule va fi aproximativ egală cu un googolplex.

Din punct de vedere lingvistic, googol și googolplex sunt probabil cele mai mari două numere semnificative (cel puțin în limba engleză), dar, așa cum vom stabili acum, există infinite moduri de a defini „semnificația”.

Lumea reala

Dacă vorbim despre cel mai mare număr semnificativ, există un argument rezonabil că asta înseamnă cu adevărat că trebuie să găsim cel mai mare număr cu o valoare care există de fapt în lume. Putem începe cu populația umană actuală, care este în prezent în jur de 6920 de milioane. PIB-ul mondial în 2010 a fost estimat la aproximativ 61.960 de miliarde de dolari, dar ambele aceste cifre sunt nesemnificative în comparație cu cele aproximativ 100 de trilioane de celule care alcătuiesc corpul uman. Desigur, niciunul dintre aceste numere nu se poate compara cu numărul total de particule din Univers, care este în general considerat a fi aproximativ , iar acest număr este atât de mare încât limba noastră nu are un cuvânt pentru el.

Ne putem juca puțin cu sistemele de măsuri, făcând numerele din ce în ce mai mari. Astfel, masa Soarelui în tone va fi mai mică decât în ​​lire sterline. O modalitate excelentă de a face acest lucru este să utilizați sistemul de unități Planck, care sunt cele mai mici măsuri posibile pentru care încă se aplică legile fizicii. De exemplu, vârsta Universului în timpul Planck este de aproximativ . Dacă ne întoarcem la prima unitate de timp Planck după Big Bang, vom vedea că densitatea Universului era atunci. Primim din ce în ce mai mult, dar nici măcar nu am ajuns la googol.

Cel mai mare număr cu orice aplicație din lumea reală - sau, în în acest caz, aplicație realăîn lumi - probabil , - una dintre cele mai recente estimări ale numărului de universuri din multivers. Acest număr este atât de mare încât creier uman literalmente nu va putea percepe toate aceste universuri diferite, deoarece creierul este capabil doar de configurații aproximative. De fapt, acest număr este probabil cel mai mare număr care are sens practic, cu excepția cazului în care țineți cont de ideea multiversului în ansamblu. Cu toate acestea, există încă un număr mult mai mare care pândește acolo. Dar pentru a le găsi trebuie să mergem pe tărâmul matematicii pure, și nu mai bine incepe, Cum numere prime.

numere prime de Mersenne

O parte din dificultate vine cu buna definitie ce este un număr „semnificativ”. O modalitate este de a gândi în termeni de numere prime și compuse. Un număr prim, după cum probabil vă amintiți de la matematica școlii, este orice număr natural (notă nu este egal cu unu) care este divizibil doar prin el însuși. Deci, și sunt numere prime și și sunt numere compuse. Aceasta înseamnă că orice număr compus poate fi reprezentat în cele din urmă de factorii săi primi. În anumite privințe, numărul este mai important decât, să zicem, , deoarece nu există nicio modalitate de a-l exprima în termeni de produs al unor numere mai mici.

Evident că putem merge puțin mai departe. , de exemplu, este de fapt doar , ceea ce înseamnă că într-o lume ipotetică în care cunoștințele noastre despre numere sunt limitate la , un matematician poate încă exprima numărul . Dar următorul număr este prim, ceea ce înseamnă că singura modalitate de a-l exprima este să știi direct despre existența lui. Aceasta înseamnă că cele mai mari numere prime cunoscute joacă rol important, dar, să zicem, un googol - care în cele din urmă este doar un set de numere și , înmulțit împreună - de fapt nu. Și deoarece numerele prime sunt practic aleatoare, nu există nicio modalitate cunoscută de a prezice că un număr incredibil de mare va fi de fapt prim. Până astăzi, descoperirea de noi numere prime este o întreprindere dificilă.

Matematicieni Grecia antică avea un concept de numere prime cel puțin încă din 500 î.Hr., iar 2000 de ani mai târziu oamenii încă știau care numere erau prime doar până la aproximativ 750. Gânditorii din vremea lui Euclid vedeau posibilitatea simplificării, dar până la Renaștere, matematicienii nu puteau pune cu adevărat. ea în practică. Aceste numere sunt cunoscute ca numere Mersenne, numite după omul de știință francez Marin Mersenne din secolul al XVII-lea. Ideea este destul de simplă: un număr Mersenne este orice număr de forma . Deci, de exemplu, , și acest număr este prim, același lucru este valabil și pentru .

Este mult mai rapid și mai ușor să determinați numerele prime Mersenne decât orice alt tip de număr prim, iar computerele au lucrat din greu în căutarea lor în ultimele șase decenii. Până în 1952, cel mai mare număr prim cunoscut a fost un număr – un număr cu cifre. În același an, computerul a calculat că numărul este prim, iar acest număr este format din cifre, ceea ce îl face mult mai mare decât un googol.

Calculatoarele au fost la vânătoare de atunci, iar în prezent numărul Mersenne este cel mai mare număr prim cunoscut de omenire. Descoperit în 2008, se ridică la un număr cu aproape milioane de cifre. Este cel mai mare număr cunoscut care nu poate fi exprimat în termeni de numere mai mici, iar dacă doriți ajutor pentru a găsi un număr Mersenne și mai mare, dvs. (și computerul dvs.) vă puteți conecta oricând la căutare la http://www.mersenne.org. /.

Număr înclinat

Stanley Skewes

Să ne uităm din nou la numerele prime. După cum am spus, ei se comportă fundamental greșit, ceea ce înseamnă că nu există nicio modalitate de a prezice care va fi următorul număr prim. Matematicienii au fost forțați să recurgă la unele măsurători destul de fantastice pentru a găsi o modalitate de a prezice numere prime viitoare, chiar și într-un mod nebulos. Cea mai reușită dintre aceste încercări este probabil funcția de numărare a numerelor prime, care a fost inventată la sfârșitul secolului al XVIII-lea de legendarul matematician Carl Friedrich Gauss.

Vă scutesc de matematica mai complicată - mai avem mult mai multe de făcut oricum - dar esenta funcției este aceasta: pentru orice număr întreg, puteți estima câte numere prime există care sunt mai mici decât . De exemplu, dacă , funcția prezice că ar trebui să existe numere prime, dacă ar trebui să existe numere prime mai mici decât , și dacă , atunci ar trebui să existe numere mai mici care sunt prime.

Dispunerea numerelor prime este într-adevăr neregulată și este doar o aproximare a numărului real de numere prime. De fapt, știm că există numere prime mai mici decât , numere prime mai mici decât , și numere prime mai mici decât . Aceasta este o estimare excelentă, cu siguranță, dar este întotdeauna doar o estimare... și, mai precis, o estimare de sus.

În toate cazurile cunoscute până la , funcția care găsește numărul de numere prime supraestimează ușor numărul efectiv de numere prime mai mici decât . Matematicienii s-au gândit cândva că acesta va fi întotdeauna cazul, la infinit, și că acest lucru s-ar aplica cu siguranță unor numere neînchipuit de uriașe, dar în 1914 John Edensor Littlewood a demonstrat că pentru un număr necunoscut, neînchipuit de mare, această funcție va începe să producă mai puține numere prime. , iar apoi va comuta între estimarea de sus și estimarea de jos de un număr infinit de ori.

Vânătoarea a fost pentru punctul de plecare al curselor, iar apoi a apărut Stanley Skewes (vezi foto). În 1933, el a demonstrat că limita superioară atunci când o funcție care aproximează numărul de numere prime produce mai întâi o valoare mai mică este numărul . Este greu de înțeles cu adevărat chiar și în cel mai abstract sens ce reprezintă de fapt acest număr și din acest punct de vedere a fost cel mai mare număr folosit vreodată într-o demonstrație matematică serioasă. De atunci, matematicienii au reușit să reducă limita superioară la un număr relativ mic, dar numărul inițial rămâne cunoscut sub numele de numărul Skewes.

Deci, cât de mare este numărul care depășește chiar și puternicul googolplex? În Dicționarul Penguin al numerelor curioase și interesante, David Wells relatează un mod în care matematicianul Hardy a putut să conceptualizeze dimensiunea numărului Skuse:

„Hardy a crezut că este „cel mai mare număr servit vreodată pentru un anumit scop în matematică” și a sugerat că, dacă un joc de șah s-ar juca cu toate particulele universului ca piese, o mișcare ar consta în schimbarea a două particule și jocul s-ar opri când aceeași poziție s-ar repeta a treia oară, apoi numărul tuturor jocurilor posibile ar fi aproximativ egal cu numărul lui Skuse.'

Un ultim lucru înainte de a trece mai departe: am vorbit despre cel mai mic dintre cele două numere Skewes. Există un alt număr Skuse, pe care matematicianul l-a descoperit în 1955. Primul număr este derivat din faptul că așa-numita ipoteză Riemann este adevărată - aceasta este o ipoteză deosebit de dificilă în matematică care rămâne nedovedită, foarte utilă atunci când despre care vorbim despre numere prime. Totuși, dacă ipoteza Riemann este falsă, Skuse a constatat că punctul de plecare al salturilor crește la .

Problemă de amploare

Înainte de a ajunge la numărul care face chiar și numărul Skewes să pară mic, trebuie să vorbim puțin despre scară, pentru că altfel nu avem cum să evaluăm unde vom ajunge. Mai întâi să luăm un număr - este un număr mic, atât de mic încât oamenii pot înțelege în mod intuitiv ce înseamnă. Există foarte puține numere care se potrivesc acestei descrieri, deoarece numerele mai mari de șase încetează să mai fie numere separate și devin „mai multe”, „multe”, etc.

Acum să luăm , i.e. . Deși de fapt nu putem în mod intuitiv, așa cum am făcut pentru număr, să înțelegem ce este acesta, este foarte ușor să ne imaginăm ce este. Până acum, bine. Dar ce se întâmplă dacă ne mutăm la? Aceasta este egală cu , sau . Suntem foarte departe de a ne putea imagina această cantitate, ca orice alta foarte mare - pierdem capacitatea de a înțelege părți individuale undeva în jur de un milion. (Serios, este o nebunie un numar mare de Ar dura ceva timp pentru a număra de fapt până la un milion de orice, dar adevărul este că suntem încă capabili să percepem acel număr.)

Totuși, deși nu ne putem imagina, suntem cel puțin capabili să înțelegem schiță generală, ceea ce înseamnă 7600 de miliarde, poate comparându-l cu ceva de genul PIB-ului SUA. Am trecut de la intuiție la reprezentare la o simplă înțelegere, dar cel puțin mai avem o oarecare lacună în înțelegerea noastră a ceea ce este un număr. Asta e pe cale să se schimbe pe măsură ce urcăm o altă treaptă pe scară.

Pentru a face acest lucru, trebuie să trecem la o notație introdusă de Donald Knuth, cunoscută sub numele de notație cu săgeți. Această notație poate fi scrisă ca . Atunci când mergem la , numărul pe care îl obținem va fi . Acesta este egal cu unde este totalul de trei. Acum am depășit cu mult și cu adevărat toate celelalte cifre despre care am vorbit deja. La urma urmei, chiar și cel mai mare dintre ei avea doar trei sau patru termeni în seria de indicatori. De exemplu, chiar și numărul super-Skuse este „doar” - chiar și ținând cont de faptul că atât baza, cât și exponenții sunt mult mai mari decât , este încă absolut nimic în comparație cu dimensiunea unui turn de numere cu un miliard de membri .

Evident, nu există nicio modalitate de a înțelege numere atât de mari... și totuși, procesul prin care sunt create poate fi înțeles în continuare. Nu am putut înțelege cantitatea reală care este dată de un turn de puteri cu un miliard de tripleți, dar practic ne putem imagina un astfel de turn cu mulți termeni, iar un supercomputer cu adevărat decent ar fi capabil să stocheze astfel de turnuri în memorie chiar dacă ar fi nu a putut calcula valorile lor reale.

Acest lucru devine din ce în ce mai abstract, dar se va înrăutăți. Ai putea crede că un turn de grade a cărui lungime a exponentului este egală (într-adevăr, în versiunea anterioară a acestei postări am făcut exact această greșeală), dar este simplu. Cu alte cuvinte, imaginați-vă că puteți calcula valoarea exactă a unui turn de putere de tripleți care este alcătuit din elemente, apoi ați luat acea valoare și ați creat un nou turn cu tot atâtea câte... asta dă .

Repetați acest proces cu fiecare număr următor ( Notă incepand de la dreapta) pana cand o faci de ori, si apoi in cele din urma obtii . Acesta este un număr care este pur și simplu incredibil de mare, dar cel puțin pașii pentru a-l obține par de înțeles dacă faci totul foarte încet. Nu mai putem înțelege numerele și nici nu ne putem imagina procedura prin care sunt obținute, dar cel puțin putem înțelege algoritmul de bază, doar într-un timp suficient de lung.

Acum haideți să pregătim mintea să o sufle cu adevărat.

Numărul Graham (Graham)

Ronald Graham

Așa obțineți numărul lui Graham, care deține un loc în Cartea Recordurilor Guinness ca cel mai mare număr folosit vreodată într-o demonstrație matematică. Este absolut imposibil de imaginat cât de mare este și la fel de dificil de explicat exact ce este. Practic, numărul lui Graham apare atunci când avem de-a face cu hipercuburi, care sunt teoretice forme geometrice cu mai mult de trei dimensiuni. Matematicianul Ronald Graham (vezi fotografia) a vrut să afle la ce cel mai mic numar măsurători, anumite proprietăți ale hipercubului vor rămâne stabile. (Îmi pare rău pentru o explicație atât de vagă, dar sunt sigur că toți trebuie să obținem cel puțin două grade în matematică pentru a o face mai exactă.)

În orice caz, numărul lui Graham este o estimare superioară a acestui număr minim de dimensiuni. Deci, cât de mare este această limită superioară? Să revenim la numărul, atât de mare încât nu putem înțelege decât vag algoritmul pentru obținerea lui. Acum, în loc să mai sărim un nivel până la , vom număra numărul care are săgeți între primele și ultimele trei. Acum depășim chiar și cea mai mică înțelegere a ceea ce este acest număr sau chiar ce trebuie să facem pentru a-l calcula.

Acum să repetăm ​​acest proces o dată ( Notă la fiecare pas următor scriem numărul de săgeţi egal cu numărul obţinut la pasul precedent).

Acesta, doamnelor și domnilor, este numărul lui Graham, care este cu un ordin de mărime mai mare decât punctul de înțelegere umană. Este un număr care este mult mai mare decât orice număr pe care ți-l poți imagina - este mult mai mare decât orice infinit pe care ai putea spera vreodată să-l imaginezi - sfidează pur și simplu chiar și cea mai abstractă descriere.

Dar iată un lucru ciudat. Deoarece numărul Graham este practic doar tripleți înmulțiți împreună, cunoaștem unele dintre proprietățile sale fără a-l calcula efectiv. Nu putem reprezenta numărul Graham folosind vreo notație familiară, chiar dacă am folosit întregul univers pentru a-l scrie, dar vă pot spune ultimele douăsprezece cifre ale numărului Graham chiar acum: . Și asta nu este tot: știm cel puțin ultimele cifre ale numărului lui Graham.

Desigur, merită să ne amintim că acest număr este doar o limită superioară în problema inițială a lui Graham. Este posibil ca numărul real de măsurători necesare pentru a efectua proprietatea dorită mult, mult mai putin. De fapt, se crede încă din anii 1980, conform celor mai mulți experți în domeniu, că există de fapt doar șase dimensiuni – un număr atât de mic încât îl putem înțelege intuitiv. Limita inferioară a fost ridicată de atunci la , dar există încă șanse foarte mari ca soluția la problema lui Graham să nu fie aproape de un număr la fel de mare ca numărul lui Graham.

Spre infinit

Deci, există numere mai mari decât numărul lui Graham? Există, desigur, pentru început există numărul Graham. Cu privire la număr semnificativ... bine, există câteva domenii diabolic de complexe ale matematicii (în special domeniul cunoscut sub numele de combinatorie) și informatică în care apar numere chiar mai mari decât numărul lui Graham. Dar aproape că am atins limita a ceea ce pot să sper că va fi vreodată explicat rațional. Pentru cei suficient de nesăbuiți pentru a merge și mai departe, lecturi suplimentare sunt sugerate pe propriul risc.

Ei bine, acum un citat uimitor care este atribuit lui Douglas Ray ( Notă Sincer, sună destul de amuzant:

„Văd grupuri de numere vagi care sunt ascunse acolo în întuneric, în spatele micului punct de lumină pe care îl dă lumânarea rațiunii. Ei șoptesc unul altuia; conspirând despre cine știe ce. Poate că nu ne plac foarte mult pentru că i-am capturat pe frații lor mai mici în mintea noastră. Sau poate pur și simplu duc o viață cu o singură cifră, acolo, dincolo de înțelegerea noastră.

Nenumărat numere diferite ne inconjoara in fiecare zi. Cu siguranță mulți oameni s-au întrebat măcar o dată ce număr este considerat cel mai mare. Puteți spune pur și simplu unui copil că acesta este un milion, dar adulții înțeleg perfect că alte numere urmează un milion. De exemplu, tot ce trebuie să faci este să adaugi câte unul la un număr de fiecare dată, iar acesta va deveni din ce în ce mai mare - acest lucru se întâmplă la infinit. Dar dacă te uiți la numerele care au nume, poți afla cum se numește cel mai mare număr din lume.

Apariția numelor numerelor: ce metode sunt folosite?

Astăzi există 2 sisteme conform cărora numerele sunt date numere - american și englez. Primul este destul de simplu, iar al doilea este cel mai comun în întreaga lume. Cel american vă permite să dați nume numerelor mari astfel: mai întâi este indicat numărul ordinal în latină, apoi se adaugă sufixul „milion” (excepția aici este milionul, adică o mie). Acest sistem este folosit de americani, francezi, canadieni și este folosit și la noi.

Engleza este folosită pe scară largă în Anglia și Spania. Potrivit acesteia, numerele sunt numite după cum urmează: numeralul în latină este „plus” cu sufixul „milion”, iar următorul număr (de o mie de ori mai mare) este „plus” „miliard”. De exemplu, trilionul vine primul, trilionul vine după el, cvadrilionul vine după cvadrilion etc.

Astfel, același număr în sisteme diferite poate însemna lucruri diferite; de ​​exemplu, un miliard american în sistemul englez se numește un miliard.

Numere extra-sistem

Pe lângă numerele care se scriu după sistemele cunoscute (date mai sus), există și cele nesistemice. Au nume proprii, care nu includ prefixe latine.

Puteți începe să le luați în considerare cu un număr numit o multitudine. Este definit ca o sută de sute (10000). Dar, conform scopului său, acest cuvânt nu este folosit, ci este folosit ca indicație a unei mulțimi nenumărate. Chiar și dicționarul lui Dahl va oferi cu amabilitate o definiție a unui astfel de număr.

Următorul după nenumărate este un googol, care indică 10 la puterea lui 100. Acest nume a fost folosit pentru prima dată în 1938 de matematicianul american E. Kasner, care a remarcat că acest nume a fost inventat de nepotul său.

Google și-a primit numele în onoarea lui googol ( sistem de căutare). Apoi 1 cu un googol de zerouri (1010100) reprezintă un googolplex - și Kasner a venit cu acest nume.

Chiar mai mare decât googolplexul este numărul Skuse (e la puterea lui e la puterea lui e79), propus de Skuse în demonstrarea conjecturii lui Rimmann despre numerele prime (1933). Există un alt număr Skuse, dar este folosit atunci când ipoteza Rimmann nu este validă. Care este mai mare este destul de greu de spus, mai ales când vine vorba de grade înalte. Cu toate acestea, acest număr, în ciuda „immensiunii sale”, nu poate fi considerat cel mai bun dintre toți cei care au propriile nume.

Iar liderul printre cele mai mari numere din lume este numărul Graham (G64). A fost folosit pentru prima dată pentru a efectua dovezi în domeniul științei matematice (1977).

Când vine vorba de un astfel de număr, trebuie să știi că nu te poți descurca fără un sistem special de 64 de niveluri creat de Knuth - motivul pentru care este conexiunea numărului G cu hipercuburi bicromatice. Knuth a inventat supergradul și, pentru a facilita înregistrarea acestuia, a propus utilizarea săgeților în sus. Așa că am aflat cum se numește cel mai mare număr din lume. Este de remarcat faptul că acest număr G a fost inclus în paginile celebrei Cărți a Recordurilor.

Uneori, oamenii care nu sunt implicați în matematică se întreabă: care este cel mai mare număr? Pe de o parte, răspunsul este evident - infinit. Bores va clarifica chiar că „plus infinit” sau „+∞” este folosit de matematicieni. Dar acest răspuns nu îi va convinge pe cei mai corozivi, mai ales că acesta nu este un număr natural, ci o abstractizare matematică. Dar, după ce au înțeles bine problema, ei pot descoperi o problemă foarte interesantă.

Într-adevăr, nu există o limită de dimensiune în acest caz, dar există o limită a imaginației umane. Fiecare număr are un nume: zece, o sută, miliard, sextilion și așa mai departe. Dar unde se termină imaginația oamenilor?

A nu se confunda cu o marcă comercială a Google Corporation, deși au o origine comună. Acest număr este scris ca 10100, adică unul urmat de o sută de zerouri. Este greu de imaginat, dar a fost folosit activ în matematică.

E amuzant că a fost inventat de un copil - nepotul matematicianului Edward Kasner. În 1938, unchiul meu și-a întreținut rudele mai tinere cu discuții despre un număr foarte mare. Spre indignarea copilului, s-a dovedit că un număr atât de minunat nu avea nume și a dat propria sa versiune. Mai târziu, unchiul meu a introdus-o într-una dintre cărțile lui și termenul a rămas.

Teoretic, un googol este un număr natural, deoarece poate fi folosit pentru numărare. Dar este puțin probabil ca cineva să aibă răbdarea să numere până la capăt. Prin urmare, doar teoretic.

În ceea ce privește numele companiei Google, aici s-a strecurat o greșeală comună. Primul investitor și unul dintre co-fondatori s-a grăbit când a scris cecul și a ratat litera „O”, dar pentru a-l încasa, compania a trebuit să fie înregistrată cu această ortografie specială.

Googlelplex

Acest număr este un derivat al googol, dar este semnificativ mai mare decât acesta. Prefixul „plex” înseamnă creșterea a zece la o putere egală cu numărul de bază, deci guloplex este 10 la puterea lui 10 la puterea lui 100 sau 101000.

Numărul rezultat depășește numărul de particule din Universul observabil, care este estimat la aproximativ 1080 de grade. Dar acest lucru nu i-a împiedicat pe oamenii de știință să crească numărul prin simpla adăugare a prefixului „plex”: googolplexplex, googolplexplexplex și așa mai departe. Și pentru matematicienii deosebit de pervertiți, au inventat o variantă de mărire fără repetarea nesfârșită a prefixului „plex” - au pus pur și simplu numere grecești în față: tetra (patru), penta (cinci) și așa mai departe, până la deca ( zece). Ultima opțiune sună ca un googoldecaplex și înseamnă o repetare cumulativă de zece ori a procedurii de ridicare a numărului 10 la puterea bazei sale. Principalul lucru este să nu vă imaginați rezultatul. Încă nu vei putea să-ți dai seama, dar este ușor să te rănești psihic.

Al 48-lea număr Mersen

Personajele principale: Cooper, computerul lui și un nou număr prim

Relativ recent, acum aproximativ un an, am reușit să descoperim următorul, al 48-lea număr Mersen. În prezent este cel mai mare număr prim din lume. Să ne amintim că numerele prime sunt acelea care sunt divizibile fără rest doar cu unul și cu ele însele. Cele mai simple exemple sunt 3, 5, 7, 11, 13, 17 și așa mai departe. Problema este că, cu cât sunt mai departe în sălbăticie, cu atât sunt mai puțin frecvente astfel de numere. Dar cu atât mai valoroasă este descoperirea fiecăruia următor. De exemplu, noul număr prim este format din 17.425.170 de cifre dacă este reprezentat sub forma unui sistem de numere zecimal cunoscut nouă. Cel precedent avea aproximativ 12 milioane de caractere.

A fost descoperit de matematicianul american Curtis Cooper, care a încântat comunitatea matematică cu un record similar pentru a treia oară. A fost nevoie de 39 de zile de rulare a computerului său personal doar pentru a-și verifica rezultatul și a dovedi că acest număr era într-adevăr prim.

Așa arată numărul Graham în notația săgeată Knuth. Este dificil să spui cum să descifrezi asta fără a avea un complet educatie inaltaîn matematică teoretică. De asemenea, este imposibil să-l notăm în forma noastră zecimală obișnuită: Universul observabil pur și simplu nu este capabil să-l găzduiască. Construirea câte un grad la un moment dat, așa cum este cazul googolplex-urilor, nu este, de asemenea, o soluție.

Formula buna, pur si simplu neclara

Deci, de ce avem nevoie de acest număr aparent inutil? În primul rând, pentru curioși, a fost plasat în Cartea Recordurilor Guinness, iar asta este deja mult. În al doilea rând, a fost folosit pentru a rezolva o problemă inclusă în problema Ramsey, care este, de asemenea, neclară, dar sună gravă. În al treilea rând, acest număr este recunoscut ca fiind cel mai mare folosit vreodată în matematică, și nu în dovezi comice sau jocuri intelectuale, ci pentru a rezolva o problemă matematică foarte specifică.

Atenţie! Următoarele informații sunt periculoase pentru dvs sănătate mentală! Citindu-l, acceptați responsabilitatea pentru toate consecințele!

Pentru cei care doresc să-și testeze mintea și să mediteze asupra numărului Graham, putem încerca să-l explicăm (dar doar să încercăm).

Imaginează-ți 33. Este destul de ușor - se dovedește 3*3*3=27. Ce se întâmplă dacă acum ridicăm trei la acest număr? Rezultatul este 3 3 la a 3-a putere sau 3 27. În notație zecimală, aceasta este egală cu 7 625 597 484 987. Multe, dar deocamdată se poate realiza.

În notația săgeată a lui Knuth, acest număr poate fi afișat ceva mai simplu - 33. Dar dacă adăugați o singură săgeată, devine mai complicat: 33, ceea ce înseamnă 33 la puterea lui 33 sau în notația de putere. Dacă extindem la notație zecimală, obținem 7.625.597.484.987 7.625.597.484.987. Mai poți să-ți urmezi gândurile?

Etapa următoare: 33= 33 33 . Adică, trebuie să calculați acest număr sălbatic din acțiunea anterioară și să îl ridicați la aceeași putere.

Și 33 este doar primul dintre cei 64 de termeni ai numărului lui Graham. Pentru a obține al doilea, trebuie să calculați rezultatul acestei formule uimitoare și să înlocuiți numărul corespunzător de săgeți în diagrama 3(...)3. Și așa mai departe, încă de 63 de ori.

Mă întreb dacă altcineva în afară de el și alți o duzină de supermatematicieni va putea ajunge măcar la mijlocul secvenței fără să înnebunească?

ai inteles ceva? Nu suntem. Dar ce fior!

De ce avem nevoie de cele mai mari numere? Acest lucru este dificil de înțeles și de înțeles pentru o persoană obișnuită. Dar cu ajutorul lor, câțiva specialiști sunt capabili să introducă jucării tehnologice noi oamenilor obișnuiți: telefoane, computere, tablete. Oamenii obișnuiți sunt, de asemenea, incapabili să înțeleagă cum lucrează, dar sunt bucuroși să le folosească pentru distracția lor. Și toată lumea este fericită: oamenii obișnuiți își primesc jucăriile, „supertocilarii” au posibilitatea de a continua să-și joace jocurile minții.

Este imposibil să răspunzi corect la această întrebare, deoarece serie de numere nu are limită superioară. Deci, la orice număr trebuie doar să adăugați unul pentru a obține un număr și mai mare. Deși numerele în sine sunt infinite, ele nu au multe nume proprii, deoarece majoritatea se mulțumesc cu nume formate din numere mai mici. Deci, de exemplu, numerele au propriile nume „unu” și „o sută”, iar numele numărului este deja compus („o sută unu”). Este clar că în setul finit de numere pe care umanitatea l-a acordat propriul nume, trebuie să existe un număr cel mai mare. Dar cum se numește și cu ce echivalează? Să încercăm să ne dăm seama și, în același timp, să aflăm cu ce numere mari au venit matematicienii.

Scară „scurtă” și „lungă”.

Poveste sistem modern Numele numerelor mari datează de la mijlocul secolului al XV-lea, când în Italia au început să folosească cuvintele „milion” (literal - o mie mare) pentru o mie pătrată, „bimilion” pentru un milion pătrat și „trimilion” pentru un milion de cuburi. Cunoaștem acest sistem datorită matematicianului francez Nicolas Chuquet (ca. 1450 - ca. 1500): în tratatul său „The Science of Numbers” (Triparty en la science des nombres, 1484) el a dezvoltat această idee, propunând să se folosească în continuare. numerele cardinale latine (vezi tabel), adăugându-le la terminația „-milion”. Deci, „bimilionul” pentru Schuke s-a transformat într-un miliard, „trimilionul” a devenit un trilion, iar un milion la a patra putere a devenit „cadrilion”.

În sistemul Chuquet, un număr între un milion și un miliard nu avea propriul nume și era numit pur și simplu „o mie de milioane”, numit în mod similar „o mie de miliarde”, „o mie de trilioane”, etc. Acest lucru nu a fost foarte convenabil, iar în 1549 scriitorul și omul de știință francez Jacques Peletier du Mans (1517–1582) a propus denumirea acestor numere „intermediare” folosind aceleași prefixe latine, dar cu terminația „-miliard”. Deci, a început să fie numit „miliard”, - „biliard”, - „trilion”, etc.

Sistemul Chuquet-Peletier a devenit treptat popular și a fost folosit în toată Europa. Cu toate acestea, în secolul al XVII-lea a apărut o problemă neașteptată. S-a dovedit că, din anumite motive, unii oameni de știință au început să se încurce și să numească numărul nu „miliard” sau „mii de milioane”, ci „miliard”. Curând, această eroare s-a răspândit rapid și a apărut o situație paradoxală - „miliardul” a devenit simultan sinonim cu „miliardul” () și „milionul de milioane” ().

Această confuzie a continuat destul de mult timp și a dus la faptul că Statele Unite și-au creat propriul sistem de denumire a numerelor mari. Conform sistemului american, numele numerelor sunt construite în același mod ca în sistemul Schuquet - prefixul latin și terminația „milion”. Cu toate acestea, mărimile acestor numere sunt diferite. Dacă în sistemul Schuquet, numele cu sfârșitul „illion” au primit numere care erau puteri de un milion, atunci în sistemul american terminația „-illion” a primit puteri de o mie. Adică, o mie de milioane () au început să fie numite „miliard”, () - „trilion”, () - „cadrilion”, etc.

Vechiul sistem de denumire a numerelor mari a continuat să fie folosit în Marea Britanie conservatoare și a început să fie numit „britanic” în întreaga lume, în ciuda faptului că a fost inventat de francezii Chuquet și Peletier. Cu toate acestea, în anii 1970, Marea Britanie a trecut oficial la „sistemul american”, ceea ce a dus la faptul că a devenit oarecum ciudat să numim un sistem american și altul britanic. Drept urmare, sistemul american este acum denumit „scurtă scară”, iar sistemul britanic sau Chuquet-Peletier ca „scara lungă”.

Pentru a evita confuzia, să rezumam:

Nume număr	Valoare la scară scurtă	Valoare la scară lungă
Milion
Miliard
Miliard
Biliard	-
Trilion
trilion	-
Cvadrilion
Cvadrilion	-
Quintillion
Quintilliard	-
Sextilion
Sextilion	-
Septillion
Septilliard	-
Octillion
Octilliard	-
Quintillion
Nonilliard	-
Decilion
Decilliard	-
Vigintillion
Wigintilliard	-
Centillion
Centilliard	-
Milion
Miliard	-

Scala scurtă de denumire este utilizată în prezent în SUA, Marea Britanie, Canada, Irlanda, Australia, Brazilia și Puerto Rico. Rusia, Danemarca, Turcia și Bulgaria folosesc, de asemenea, o scară scurtă, cu excepția faptului că numărul se numește „miliard” mai degrabă decât „miliard”. Scara lungă continuă să fie utilizată în majoritatea celorlalte țări.

Este curios că la noi trecerea definitivă la scară scurtă s-a produs abia în a doua jumătate a secolului XX. De exemplu, Yakov Isidorovici Perelman (1882–1942) în „Aritmetica distractivă” menționează existența paralelă a două scale în URSS. Scara scurtă, potrivit lui Perelman, a fost folosită în viața de zi cu zi și în calculele financiare, iar scara lungă a fost folosită în cărțile științifice despre astronomie și fizică. Cu toate acestea, acum este greșit să folosiți o scară lungă în Rusia, deși cifrele acolo sunt mari.

Dar să revenim la căutarea celui mai mare număr. După decilion, numele numerelor se obțin prin combinarea prefixelor. Aceasta produce numere precum undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion etc. Cu toate acestea, aceste nume nu mai sunt interesante pentru noi, deoarece am convenit să găsim cel mai mare număr cu propriul nume non-compozit.

Dacă ne întoarcem la gramatica latină, vom descoperi că romanii aveau doar trei nume necompuse pentru numere mai mari de zece: viginti - „douăzeci”, centum - „o sută” și mille - „mii”. Romanii nu aveau nume proprii pentru numere mai mari de o mie. De exemplu, un milion () Romanii o numeau „decies centena milia”, adică „de zece ori o sută de mii”. Conform regulii lui Chuquet, aceste trei numere latine rămase ne dau nume pentru numere precum „vigintillion”, „centillion” și „milion”.

Așadar, am aflat că pe „scurtă scară” numărul maxim care are propriul nume și nu este un compus de numere mai mici este „milionul” (). Dacă Rusia ar adopta o „scara lungă” pentru denumirea numerelor, atunci cel mai mare număr cu propriul nume ar fi „miliard” ().

Cu toate acestea, există nume pentru numere și mai mari.

Numerele din afara sistemului

Unele numere au propriul nume, fără nicio legătură cu sistemul de numire folosind prefixe latine. Și există multe astfel de numere. Puteți, de exemplu, să vă amintiți numărul e, numărul „pi”, duzina, numărul fiarei etc. Cu toate acestea, deoarece acum suntem interesați de numere mari, vom lua în considerare numai acele numere cu propriile lor non-compozite. nume care sunt mai mari de un milion.

Până în secolul al XVII-lea în Rus' a fost folosit propriul sistem nume de numere. Zeci de mii au fost numite „întuneric”, sute de mii au fost numite „legiuni”, milioane au fost numite „leodri”, zeci de milioane au fost numite „corbi”, iar sute de milioane au fost numite „punți”. Acest număr de până la sute de milioane a fost numit „număr mic”, iar în unele manuscrise autorii au considerat și „număr mare”, în care aceleași nume erau folosite pentru numere mari, dar cu o semnificație diferită. Deci, „întunericul” nu mai însemna zece mii, ci o mie de mii () , „legiune” - întunericul celor () ; „leodr” – legiune de legiuni () , „corb” - leodr leodrov (). Din anumite motive, „punte” în marea numărătoare slavă nu a fost numită „corbul corbilor” () , ci doar zece „corbi”, adică (vezi tabel).

Nume număr	Înțeles în „număr mic”	Semnificația în „număr mare”	Desemnare
Întuneric
Legiune
Leodre
Corb (corvid)
Punte
Întunericul subiectelor

Numărul are și propriul nume și a fost inventat de un băiețel de nouă ani. Și a fost așa. În 1938, matematicianul american Edward Kasner (1878–1955) se plimba prin parc cu cei doi nepoți ai săi și discuta cu ei un număr mare. În timpul conversației, am vorbit despre un număr cu o sută de zerouri, care nu avea nume propriu. Unul dintre nepoți, Milton Sirott, în vârstă de nouă ani, a sugerat să numească acest număr „googol”. În 1940, Edward Kasner, împreună cu James Newman, a scris cartea de știință populară „Mathematics and the Imagination”, unde le-a spus iubitorilor de matematică despre numărul googol. Googol a devenit și mai cunoscut la sfârșitul anilor 1990, datorită motorului de căutare Google care poartă numele acestuia.

Numele pentru un număr chiar mai mare decât googol a apărut în 1950 datorită părintelui informaticii, Claude Elwood Shannon (1916–2001). În articolul său „Programming a Computer to Play Ches” el a încercat să estimeze numărul opțiuni posibile joc de sah. Potrivit acestuia, fiecare joc durează în medie de mișcări și la fiecare mișcare jucătorul face o alegere în medie dintre opțiuni, care corespunde (aproximativ egală cu) opțiunilor de joc. Această lucrare a devenit cunoscută pe scară largă și număr dat a devenit cunoscut sub numele de numărul Shannon.

În celebrul tratat budist Jaina Sutra, datând din anul 100 î.Hr., numărul „asankheya” este găsit egal cu . Se crede că acest număr este egal cu numărul de cicluri cosmice necesare pentru a atinge nirvana.

Milton Sirotta, în vârstă de nouă ani, a intrat în istoria matematicii nu numai pentru că a venit cu numărul googol, ci și pentru că, în același timp, a propus un alt număr - „googolplexul”, care este egal cu puterea lui „ googol”, adică unul cu un googol de zerouri.

Încă două numere mai mari decât googolplexul au fost propuse de matematicianul sud-african Stanley Skewes (1899–1988) în demonstrarea sa a ipotezei Riemann. Primul număr, care mai târziu a devenit cunoscut sub numele de „numărul Skuse”, este egal cu puterea puterii puterii lui , adică . Cu toate acestea, „al doilea număr Skewes” este și mai mare și se ridică la .

Evident, cu cât sunt mai multe puteri în puteri, cu atât este mai dificil să scrii numerele și să le înțelegi sensul când citești. Mai mult, este posibil să se vină cu astfel de numere (și, apropo, au fost deja inventate) atunci când gradele de grade pur și simplu nu se potrivesc pe pagină. Da, asta e pe pagina! Nici măcar nu vor încadra într-o carte de dimensiunea întregului Univers! În acest caz, se pune întrebarea cum să scrieți astfel de numere. Problema, din fericire, este rezolvabilă, iar matematicienii au dezvoltat mai multe principii pentru scrierea unor astfel de numere. Adevărat, fiecare matematician care s-a întrebat despre această problemă a venit cu propriul său mod de a scrie, ceea ce a dus la existența mai multor metode independente de scriere a numerelor mari - acestea sunt notațiile lui Knuth, Conway, Steinhaus etc. Acum trebuie să ne ocupăm cu unii dintre ei.

Alte notații

În 1938, același an în care Milton Sirotta, în vârstă de nouă ani, a inventat numerele googol și googolplex, o carte despre matematică distractivă, A Mathematical Caleidoscope, scrisă de Hugo Dionizy Steinhaus (1887–1972), a fost publicată în Polonia. Această carte a devenit foarte populară, a trecut prin multe ediții și a fost tradusă în multe limbi, inclusiv engleză și rusă. În ea, Steinhaus, discutând numerele mari, oferă o modalitate simplă de a le scrie folosind trei figuri geometrice- triunghi, pătrat și cerc:

„într-un triunghi” înseamnă „”,
„pătrat” înseamnă „în triunghiuri”
„în cerc” înseamnă „în pătrate”.

Explicând această metodă de notare, Steinhaus vine cu numărul „mega”, care este egal într-un cerc și arată că este egal într-un „pătrat” sau în triunghiuri. Pentru a-l calcula, trebuie să îl ridicați la puterea lui , să ridicați numărul rezultat la puterea lui , apoi să ridicați numărul rezultat la puterea numărului rezultat și așa mai departe, să-l ridicați la puterea timpilor. De exemplu, un calculator din MS Windows nu poate calcula din cauza depășirii chiar și în două triunghiuri. Acest număr mare este de aproximativ .

După ce a determinat numărul „mega”, Steinhaus invită cititorii să estimeze independent un alt număr - „medzon”, egal într-un cerc. Într-o altă ediție a cărții, Steinhaus, în loc de medzone, sugerează estimarea unui număr și mai mare - „megiston”, egal într-un cerc. În urma lui Steinhaus, recomand cititorilor să se desprindă pentru o vreme de acest text și să încerce să scrie ei înșiși aceste numere folosind puteri obișnuite pentru a simți magnitudinea lor gigantică.

Cu toate acestea, există nume pentru numere mari. Astfel, matematicianul canadian Leo Moser (Leo Moser, 1921–1970) a modificat notația Steinhaus, care era limitată de faptul că, dacă ar fi necesar să se scrie numere mult mai mari decât megistonul, atunci ar apărea dificultăți și inconveniente, deoarece ar fi este necesar să desenați mai multe cercuri unul în altul. Moser a sugerat ca după pătrate să desenați nu cercuri, ci pentagoane, apoi hexagoane și așa mai departe. El a propus, de asemenea, o notație formală pentru aceste poligoane, astfel încât numerele să poată fi scrise fără a face imagini complexe. Notația Moser arată astfel:

"triunghi" = = ;
"pătrat" ​​= = "triunghiuri" = ;
„într-un pentagon” = = „în pătrate” = ;
"în -gon" = = "în -gon" = .

Astfel, conform notației lui Moser, „mega” lui Steinhaus este scris ca , „medzone” ca și „megston” ca . În plus, Leo Moser a propus numirea unui poligon cu numărul de laturi egal cu mega - „megagon”. Și a sugerat un număr « în megagon”, adică. Acest număr a devenit cunoscut sub numele de numărul Moser sau pur și simplu „Moser”.

Dar nici „Moser” nu este cel mai mare număr. Deci, cel mai mare număr folosit vreodată în demonstrația matematică este „numărul Graham”. Acest număr a fost folosit pentru prima dată de matematicianul american Ronald Graham în 1977 când a demonstrat o estimare în teoria Ramsey, și anume la calcularea dimensiunii anumitor -dimensională hipercuburi bicromatice. Numărul lui Graham a devenit celebru numai după ce a fost descris în cartea lui Martin Gardner din 1989, From Penrose Mosaics to Reliable Ciphers.

Pentru a explica cât de mare este numărul lui Graham, trebuie să explicăm un alt mod de a scrie numere mari, introdus de Donald Knuth în 1976. Profesorul american Donald Knuth a venit cu conceptul de superputere, pe care și-a propus să îl scrie cu săgețile îndreptate în sus.

Operațiile aritmetice obișnuite - adunarea, înmulțirea și exponențiarea - pot fi extinse în mod natural într-o secvență de hiperoperatori, după cum urmează.

Înmulțirea numerelor naturale poate fi definită prin operația repetată de adunare („adăugați copii ale unui număr”):

De exemplu,

Ridicarea unui număr la o putere poate fi definită ca o operație de înmulțire repetată („înmulțirea copiilor unui număr”), iar în notația lui Knuth această notație arată ca o singură săgeată îndreptată în sus:

De exemplu,

Această săgeată unică în sus a fost folosită ca pictogramă de grad în limbajul de programare Algol.

De exemplu,

Aici și mai jos, expresia este întotdeauna evaluată de la dreapta la stânga, iar operatorii de săgeți ai lui Knuth (precum și operația de exponențiere) au prin definiție asociativitate la dreapta (ordine de la dreapta la stânga). Conform acestei definitii,

Acest lucru duce deja la numere destul de mari, dar sistemul de notație nu se termină aici. Operatorul săgeată triplă este folosit pentru a scrie exponențiarea repetată a operatorului săgeată dublă (cunoscut și sub numele de pentație):

Apoi operatorul „quad arrow”:

etc. Regula generala operator "-Eu săgeată”, în conformitate cu asociativitatea la dreapta, continuă spre dreapta într-o serie secvențială de operatori « săgeată." Simbolic, aceasta poate fi scrisă după cum urmează:

De exemplu:

Forma de notație este de obicei folosită pentru notarea cu săgeți.

Unele numere sunt atât de mari încât chiar și scrierea cu săgețile lui Knuth devine prea greoaie; în acest caz, utilizarea operatorului -săgeată este de preferat (și, de asemenea, pentru descrierile cu un număr variabil de săgeți), sau este echivalentă cu hiperoperatorii. Dar unele numere sunt atât de mari încât chiar și o astfel de notație este insuficientă. De exemplu, numărul lui Graham.

Folosind notația săgeată a lui Knuth, numărul Graham poate fi scris ca

Unde numărul de săgeți din fiecare strat, începând de sus, este determinat de numărul din stratul următor, adică unde , unde superscriptul săgeții indică numărul total de săgeți. Cu alte cuvinte, se calculează în trepte: în primul pas calculăm cu patru săgeți între trei, în al doilea - cu săgeți între trei, în al treilea - cu săgeți între trei și așa mai departe; la final calculăm cu săgețile dintre tripleți.

Aceasta poate fi scrisă ca , unde , unde superscriptul y denotă iterații de funcție.

Dacă alte numere cu „nume” pot fi asociate cu numărul corespunzător de obiecte (de exemplu, numărul de stele din partea vizibilă a Universului este estimat la sextilioane - , iar numărul de atomi care alcătuiesc Pământ are ordinea dodecaliilor), atunci googolul este deja „virtual”, ca să nu mai vorbim de numărul Graham. Doar scara primului termen este atât de mare încât este aproape imposibil de înțeles, deși notația de mai sus este relativ ușor de înțeles. Deși acesta este doar numărul de turnuri din această formulă pentru , acest număr este deja mult mai multa cantitate Volumele Planck (cel mai mic volum fizic posibil) conținute în universul observabil (aproximativ ). După primul membru, așteptăm un alt membru al secvenței în creștere rapidă.