Vzorce na expanziu sínusov a kosínusov. Kúpte si diplom vysokoškolského vzdelania lacno

Pokračujeme v rozhovore o najpoužívanejších vzorcoch v trigonometrii. Najdôležitejšie z nich sú sčítacie vzorce.

Definícia 1

Sčítacie vzorce umožňujú vyjadriť funkcie rozdielu alebo súčtu dvoch uhlov pomocou goniometrických funkcií týchto uhlov.

Na začiatok predstavíme úplný zoznam sčítacie vzorce, potom ich dokážeme a rozoberieme niekoľko názorných príkladov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Základné sčítacie vzorce v trigonometrii

Existuje osem základných vzorcov: sínus súčtu a sínus rozdielu dvoch uhlov, kosínus súčtu a rozdielu, dotyčnice a kotangens súčtu a rozdielu. Nižšie sú uvedené ich štandardné formulácie a výpočty.

1. Sínus súčtu dvoch uhlov možno získať takto:

Vypočítame súčin sínusu prvého uhla s kosínusom druhého;

Vynásobte kosínus prvého uhla sínusom prvého uhla;

Výsledné hodnoty spočítajte.

Grafický zápis vzorca vyzerá takto: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2. Sínus rozdielu sa vypočíta takmer rovnako, len výsledné produkty sa nesmú sčítavať, ale navzájom odčítavať. Vypočítame teda súčin sínusu prvého uhla kosínusom druhého a kosínusu prvého uhla sínusom druhého a nájdeme ich rozdiel. Vzorec je napísaný takto: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β

3. Kosínus súčtu. Pre ňu nájdeme súčin kosínusu prvého uhla kosínusom druhého a sínusu prvého uhla sínusom druhého a zistíme ich rozdiel: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4. Kosínusový rozdiel: vypočítame súčin sínusov a kosínusov daných uhlov ako predtým a sčítame ich. Vzorec: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangenta súčtu. Tento vzorec je vyjadrený ako zlomok, v čitateli ktorého je súčet dotyčníc požadovaných uhlov a v menovateli je jednotka, od ktorej sa odpočítava súčin dotyčníc požadovaných uhlov. Z jej grafického zápisu je všetko jasné: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β

6. Tangenta rozdielu. Vypočítame hodnoty rozdielu a súčin dotyčníc týchto uhlov a zaobchádzame s nimi podobným spôsobom. V menovateli pripočítavame k jednotke a nie naopak: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

7. Kotangens súčtu. Na výpočty pomocou tohto vzorca potrebujeme súčin a súčet kotangens týchto uhlov, s ktorými postupujeme nasledovne: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β

8. Kotangens rozdielu . Vzorec je podobný predchádzajúcemu, ale v čitateli a menovateli - mínus, a nie plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.

Pravdepodobne ste si všimli, že tieto vzorce sú párovo podobné. Pomocou znamienok ± (plus-mínus) a ∓ (mínus-plus) ich môžeme zoskupiť pre ľahšiu notáciu:

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β tg (α ± β) = tg α ± tg β 1 α t g t β 1 α t g t ctg (α ± β) = - 1 ± ctg α ctg β ctg α ± ctg β

V súlade s tým máme jeden záznamový vzorec pre súčet a rozdiel každej hodnoty, len v jednom prípade venujeme pozornosť hornému znamienku, v druhom - dolnému.

Definícia 2

Môžeme vziať ľubovoľné uhly α a β a sčítacie vzorce pre kosínus a sínus budú pre ne fungovať. Ak dokážeme správne určiť hodnoty dotyčníc a kotangens týchto uhlov, budú pre ne platné aj sčítacie vzorce pre dotyčnicu a kotangens.

Ako väčšina pojmov v algebre, aj sčítacie vzorce sa dajú dokázať. Prvý vzorec, ktorý dokážeme, je rozdiel kosínusového vzorca. Z toho potom ľahko vydedukujete zvyšok dôkazov.

Ujasnime si základné pojmy. Potrebujeme jednotkový kruh. Ukáže sa to, ak vezmeme určitý bod A a otočíme okolo stredu (bod O) uhly α a β. Potom sa uhol medzi vektormi O A 1 → a O A → 2 bude rovnať (α - β) + 2 π z alebo 2 π - (α - β) + 2 π z (z je ľubovoľné celé číslo). Výsledné vektory zvierajú uhol, ktorý sa rovná α - β alebo 2 π - (α - β), alebo sa môže od týchto hodnôt líšiť o celý počet úplných otáčok. Pozrite sa na obrázok:

Použili sme redukčné vzorce a získali sme nasledujúce výsledky:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Zrátané a podčiarknuté: kosínus uhla medzi vektormi O A 1 → a O A 2 → sa rovná kosínusu uhla α - β, teda cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .

Pripomeňme si definície sínusu a kosínusu: sínus je funkciou uhla, ktorý sa rovná pomeru ramena opačného uhla k prepone, kosínus je sínus dodatočného uhla. Preto tie body A 1 A A2 majú súradnice (cos α , sin α) a (cos β , sin β) .

Získame nasledovné:

O A 1 → = (cos α , sin α) a O A 2 → = (cos β , sin β)

Ak to nie je jasné, pozrite sa na súradnice bodov umiestnených na začiatku a konci vektorov.

Dĺžky vektorov sú rovné 1, pretože máme jeden kruh.

Analyzujme teraz skalárny súčin vektorov O A 1 → a O A 2 → . V súradniciach to vyzerá takto:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β

Z toho môžeme odvodiť rovnosť:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Takto je dokázaný vzorec pre kosínus rozdielu.

Teraz dokážeme nasledujúci vzorec - kosínus súčtu. Je to jednoduchšie, pretože môžeme použiť predchádzajúce výpočty. Vezmite reprezentáciu α + β = α - (- β) . Máme:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Toto je dôkaz vzorca pre kosínus súčtu. Posledný riadok využíva vlastnosť sínusu a kosínusu opačných uhlov.

Vzorec pre sínus súčtu možno odvodiť zo vzorca pre kosínus rozdielu. Zoberme si na to redukčný vzorec:

tvaru sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Takže
sin (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

A tu je dôkaz vzorca pre sínus rozdielu:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Všimnite si použitie sínusových a kosínusových vlastností opačných uhlov v poslednom výpočte.

Ďalej potrebujeme dôkazy sčítacích vzorcov pre dotyčnicu a kotangens. Pripomeňme si základné definície (tangens je pomer sínusu ku kosínusu a kotangens je naopak) a zoberme si už vopred odvodené vzorce. Dokázali sme to:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Máme to komplexná frakcia. Ďalej musíme rozdeliť jeho čitateľa a menovateľa cos α cos β , keďže cos α ≠ 0 a cos β ≠ 0 , dostaneme:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cosα cosα cos β cos β - sin α sin β cos α cos β

Teraz znížime zlomky a získame vzorec nasledujúceho druhu: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β .
Dostali sme t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Toto je dôkaz vzorca sčítania dotyčníc.

Ďalší vzorec, ktorý dokážeme, je vzorec rozdielovej tangenty. Všetko je jasne uvedené vo výpočtoch:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Vzorce pre kotangens sú dokázané podobným spôsobom:
ctg (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin 1 β = = - α ctg β ctg α + ctg β
ďalej:
c t g (α - β) = c t g   (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g

Referenčné údaje pre tangens (tg x) a kotangens (ctg x). Geometrická definícia, vlastnosti, grafy, vzorce. Tabuľka dotyčníc a kotangens, derivácie, integrály, radové expanzie. Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných. Spojenie s hyperbolickými funkciami.

Geometrická definícia

|BD| - dĺžka oblúka kružnice so stredom v bode A.
α je uhol vyjadrený v radiánoch.

Tangenta ( tgα) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku susednej nohy |AB| .

Kotangens ( ctgα) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku opačnej nohy |BC| .

Tangenta

Kde n- celý.

V západnej literatúre sa dotyčnica označuje takto:
.
;
;
.

Graf funkcie dotyčnice, y = tg x

Kotangens

Kde n- celý.

V západnej literatúre sa kotangens označuje takto:
.
Prijala sa aj nasledujúca notácia:
;
;
.

Graf funkcie kotangens, y = ctg x

Vlastnosti dotyčnice a kotangens

Periodicita

Funkcie y= tg x a y= ctg x sú periodické s periódou π.

Parita

Funkcie tangens a kotangens sú nepárne.

Domény definície a hodnôt, vzostupné, zostupné

Funkcie tangenta a kotangens sú spojité na svojom definičnom obore (pozri dôkaz spojitosti). Hlavné vlastnosti tangenty a kotangens sú uvedené v tabuľke ( n- celé číslo).

	y= tg x	y= ctg x
Rozsah a kontinuita
Rozsah hodnôt	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Vzostupne		-
Zostupne	-
Extrémy	-	-
Nuly, y= 0
Priesečníky s osou y, x = 0	y= 0	-

Vzorce

Výrazy v zmysle sínus a kosínus

; ;
; ;
;

Vzorce pre tangens a kotangens súčtu a rozdielu

Zvyšok vzorcov sa dá ľahko získať napr

Súčin dotyčníc

Vzorec pre súčet a rozdiel dotyčníc

Táto tabuľka zobrazuje hodnoty dotyčníc a kotangens pre niektoré hodnoty argumentu.

Výrazy v komplexných číslach

Výrazy z hľadiska hyperbolických funkcií

;
;

Deriváty

; .

.
Derivácia n-tého rádu vzhľadom na premennú x funkcie:
.
Odvodenie vzorcov pre dotyčnicu > > > ; pre kotangens >> >

Integrály

Rozšírenia do sérií

Ak chcete získať rozšírenie tangens v mocninách x, musíte použiť niekoľko členov rozšírenia v mocninnom rade pre funkcie hriech x A cos x a rozdeliť tieto polynómy na seba , . Výsledkom sú nasledujúce vzorce.

o .

v .
kde B n- Bernoulliho čísla. Určujú sa buď zo vzťahu opakovania:
;
;
kde .
Alebo podľa Laplaceovho vzorca:

Inverzné funkcie

Inverzné funkcie k dotyčnici a kotangensu sú arkustangens a arkustangens.

Arctangens, arctg

, kde n- celý.

Arc tangens, arcctg

, kde n- celý.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.
G. Korn, Príručka matematiky pre výskumníkov a inžinierov, 2012.

Pojmy sínus (), kosínus (), tangens (), kotangens () sú neoddeliteľne spojené s pojmom uhol. Aby sme dobre porozumeli týmto na prvý pohľad zložitým pojmom (ktoré u mnohých školákov vyvolávajú hrôzu) a presvedčili sa, že „čert nie je taký strašidelný, ako ho namaľovali“, začnime od začiatku a pochopme pojem uhla.

Pojem uhla: radián, stupeň

Pozrime sa na obrázok. Vektor sa "otočil" vzhľadom na bod o určitú hodnotu. Takže miera tejto rotácie vzhľadom na počiatočnú polohu bude injekciou.

Čo ešte potrebujete vedieť o koncepte uhla? No, jednotky uhla, samozrejme!

Uhol v geometrii aj trigonometrii možno merať v stupňoch a radiánoch.

Nazýva sa uhol (jeden stupeň). centrálny roh v kruhu na základe kruhového oblúka rovnajúceho sa časti kruhu. Celý kruh sa teda skladá z „kúskov“ kruhových oblúkov, alebo je uhol opísaný kruhom rovnaký.

To znamená, že obrázok vyššie ukazuje uhol, ktorý je rovnaký, to znamená, že tento uhol je založený na kruhovom oblúku s veľkosťou obvodu.

Uhol v radiánoch je stredový uhol v kruhu založený na kruhovom oblúku, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu. Dobre, pochopili ste? Ak nie, pozrime sa na obrázok.

Obrázok teda ukazuje uhol rovný radiánu, to znamená, že tento uhol je založený na kruhovom oblúku, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu (dĺžka sa rovná dĺžke alebo polomer sa rovná dĺžka oblúka). Dĺžka oblúka sa teda vypočíta podľa vzorca:

Kde je stredový uhol v radiánoch.

Keď to viete, viete odpovedať, koľko radiánov obsahuje uhol opísaný kruhom? Áno, na to si musíte zapamätať vzorec pre obvod kruhu. Tu je:

Teraz poďme dať do korelácie tieto dva vzorce a zistíme, že uhol opísaný kruhom je rovnaký. To znamená, že koreláciou hodnoty v stupňoch a radiánoch dostaneme to. Respektíve, . Ako vidíte, na rozdiel od „stupňov“ je slovo „radián“ vynechané, pretože merná jednotka je zvyčajne jasná z kontextu.

Koľko je radiánov? To je správne!

Mám to? Potom upevnite dopredu:

Nejaké ťažkosti? Potom sa pozrite odpovede:

Pravý trojuholník: sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla

Takže, s konceptom uhla prišiel na to. Aký je však sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla? Poďme na to. K tomu nám pomôže pravouhlý trojuholník.

Ako sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka? Správne, prepona a nohy: prepona je strana, ktorá leží oproti pravému uhlu (v našom príklade je to strana); nohy sú dve zostávajúce strany a (tie susediace s pravý uhol), navyše, ak vezmeme do úvahy nohy vzhľadom na uhol, potom noha je susedná noha, a noha je opačná. Takže teraz odpovedzme na otázku: aký je sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla?

Sínus uhla je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.

v našom trojuholníku.

Kosínus uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k prepone.

v našom trojuholníku.

Tangenta uhla- to je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k susednej (blízkej).

v našom trojuholníku.

Kotangens uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k opačnej (ďalekej).

v našom trojuholníku.

Tieto definície sú potrebné zapamätaj si! Aby ste si ľahšie zapamätali, ktorú nohu čím rozdeliť, musíte tomu jasne rozumieť dotyčnica A kotangens sedia len nohy a prepona sa objavuje len v sínus A kosínus. A potom môžete prísť s reťazcom asociácií. Napríklad tento:

kosínus→dotyk→dotyk→priľahlý;

Kotangens→dotyk→dotyk→priľahlý.

V prvom rade je potrebné si uvedomiť, že sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens ako pomery strán trojuholníka nezávisia od dĺžok týchto strán (pod jedným uhlom). Nedôveruj? Potom sa presvedčte na obrázku:

Zoberme si napríklad kosínus uhla. Podľa definície z trojuholníka: , ale môžeme vypočítať kosínus uhla z trojuholníka: . Vidíte, dĺžky strán sú rôzne, ale hodnota kosínusu jedného uhla je rovnaká. Hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens teda závisia výlučne od veľkosti uhla.

Ak rozumiete definíciám, pokračujte a opravte ich!

Pre trojuholník zobrazený na obrázku nižšie nájdeme.

Dobre, pochopili ste to? Potom to skúste sami: vypočítajte to isté pre roh.

Jednotkový (trigonometrický) kruh

Pochopením pojmov stupňov a radiánov sme uvažovali o kružnici s polomerom rovným. Takýto kruh sa nazýva slobodný. Je veľmi užitočný pri štúdiu trigonometrie. Preto sa mu budeme venovať trochu podrobnejšie.

Ako vidíte, tento kruh je postavený v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu je rovný jednej, zatiaľ čo stred kruhu leží v počiatku, počiatočná poloha vektora polomeru je pevná pozdĺž kladného smeru osi (v našom príklade je to polomer).

Každý bod kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnici pozdĺž osi a súradnici pozdĺž osi. Aké sú tieto súradnicové čísla? A vôbec, čo majú spoločné s danou témou? Aby ste to dosiahli, nezabudnite na uvažovaný pravouhlý trojuholník. Na obrázku vyššie môžete vidieť dva celé pravouhlé trojuholníky. Zvážte trojuholník. Je obdĺžnikový, pretože je kolmý na os.

Čo sa rovná z trojuholníka? To je správne. Okrem toho vieme, že ide o polomer jednotkovej kružnice, a preto . Dosaďte túto hodnotu do nášho kosínusového vzorca. Čo sa stane:

A čo sa rovná z trojuholníka? No, samozrejme,! Dosaďte hodnotu polomeru do tohto vzorca a získajte:

Môžete mi teda povedať, aké sú súradnice bodu, ktorý patrí do kruhu? No v žiadnom prípade? A ak si to uvedomujete a sú to len čísla? Akej súradnici to zodpovedá? No, samozrejme, súradnice! Akej súradnici to zodpovedá? Správne, koordinovať! Teda pointa.

A čo sú si potom rovné a? Správne, použime príslušné definície tangens a kotangens a získajme to, a.

Čo ak je uhol väčší? Tu, napríklad, ako na tomto obrázku:

Čo sa zmenilo v tomto príklade? Poďme na to. Aby sme to urobili, opäť sa otočíme do pravouhlého trojuholníka. Uvažujme pravouhlý trojuholník: uhol (ako susediaci s uhlom). Aká je hodnota sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla? Správne, dodržiavame zodpovedajúce definície goniometrických funkcií:

No, ako vidíte, hodnota sínusu uhla stále zodpovedá súradnici; hodnota kosínusu uhla - súradnica; a hodnoty tangens a kotangens k zodpovedajúcim pomerom. Tieto vzťahy sú teda použiteľné pre akékoľvek rotácie vektora polomeru.

Už bolo spomenuté, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi. Doteraz sme tento vektor otáčali proti smeru hodinových ručičiek, ale čo sa stane, ak ho otočíme v smere hodinových ručičiek? Nič mimoriadne, získate aj uhol určitej veľkosti, ale iba negatívny. Pri otáčaní vektora polomeru proti smeru hodinových ručičiek teda dostaneme kladné uhly a pri otáčaní v smere hodinových ručičiek - negatívne.

Vieme teda, že celá otáčka vektora polomeru okolo kruhu je alebo. Je možné otočiť vektor polomeru o alebo o? No, samozrejme, môžete! V prvom prípade teda vektor polomeru urobí jednu úplnú otáčku a zastaví sa v polohe resp.

V druhom prípade, to znamená, že vektor polomeru vykoná tri úplné otáčky a zastaví sa v polohe resp.

Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme vyvodiť záver, že uhly, ktoré sa líšia o alebo (kde je akékoľvek celé číslo), zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.

Obrázok nižšie ukazuje uhol. Rovnaký obrázok zodpovedá rohu atď. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto uhly možno zapísať všeobecným vzorcom alebo (kde je akékoľvek celé číslo)

Teraz, keď poznáte definície základných goniometrických funkcií a pomocou jednotkového kruhu, skúste odpovedať na to, čomu sa hodnoty rovnajú:

Tu je kruh jednotiek, ktorý vám pomôže:

Nejaké ťažkosti? Potom poďme na to prísť. Takže vieme, že:

Odtiaľ určíme súradnice bodov zodpovedajúcich určitým mieram uhla. No, začnime po poriadku: roh v zodpovedá bodu so súradnicami, teda:

Neexistuje;

Ďalej, pri dodržaní rovnakej logiky, zistíme, že rohy v zodpovedajú bodom so súradnicami, resp. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty goniometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najprv si to vyskúšajte a potom skontrolujte odpovede.

odpovede:

Neexistuje

Neexistuje

Neexistuje

Neexistuje

Môžeme teda zostaviť nasledujúcu tabuľku:

Nie je potrebné si pamätať všetky tieto hodnoty. Stačí si zapamätať zhodu medzi súradnicami bodov na jednotkovej kružnici a hodnotami trigonometrických funkcií:

Ale hodnoty goniometrických funkcií uhlov v a uvedené v tabuľke nižšie, treba pamätať:

Nebojte sa, teraz si ukážeme jeden z príkladov pomerne jednoduché zapamätanie zodpovedajúcich hodnôt:

Ak chcete použiť túto metódu, je dôležité zapamätať si hodnoty sínusu pre všetky tri miery uhla (), ako aj hodnotu tangenty uhla v. Keď poznáte tieto hodnoty, je celkom ľahké obnoviť celú tabuľku - hodnoty kosínusu sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:

Keď to viete, môžete obnoviť hodnoty pre. Čitateľ „ “ sa bude zhodovať a menovateľ „ “ sa bude zhodovať. Hodnoty kotangens sa prenášajú v súlade so šípkami znázornenými na obrázku. Ak tomu rozumiete a pamätáte si diagram so šípkami, bude stačiť zapamätať si celú hodnotu z tabuľky.

Súradnice bodu na kružnici

Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kružnici, poznať súradnice stredu kružnice, jej polomer a uhol natočenia?

No, samozrejme, že môžete! Poďme vyviesť všeobecný vzorec na zistenie súradníc bodu.

Tu máme napríklad taký kruh:

Je nám dané, že bod je stredom kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením bodu o stupne.

Ako je zrejmé z obrázku, súradnica bodu zodpovedá dĺžke segmentu. Dĺžka segmentu zodpovedá súradnici stredu kruhu, to znamená, že sa rovná. Dĺžka segmentu môže byť vyjadrená pomocou definície kosínusu:

Potom to máme pre bod súradnice.

Podľa rovnakej logiky nájdeme hodnotu súradnice y pre bod. Touto cestou,

Takže v všeobecný pohľad súradnice bodov sú určené vzorcami:

Súradnice stredu kruhu,

polomer kruhu,

Uhol natočenia vektora polomeru.

Ako vidíte, pre jednotkový kruh, ktorý uvažujeme, sú tieto vzorce výrazne znížené, pretože súradnice stredu sú nulové a polomer sa rovná jednej:

Nuž, skúsme si ochutnať tieto vzorce, precvičiť si hľadanie bodov na kruhu?

1. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu.

2. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej rotáciou bodu.

3. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu.

4. Bod - stred kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.

5. Bod - stred kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.

Máte problém nájsť súradnice bodu na kruhu?

Vyriešte týchto päť príkladov (alebo riešeniu dobre pochopte) a naučíte sa ich nájsť!

1.

Je to vidieť. A vieme, čo zodpovedá úplnému otočeniu východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:

2. Kruh je jednotka so stredom v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:

Je to vidieť. Vieme, čo zodpovedá dvom úplným rotáciám počiatočného bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:

Sínus a kosínus sú tabuľkové hodnoty. Pamätáme si ich hodnoty a dostávame:

Požadovaný bod má teda súradnice.

3. Kruh je jednotka so stredom v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:

Je to vidieť. Znázornime uvažovaný príklad na obrázku:

Polomer zviera s osou uhly rovné a. Keď vieme, že tabuľkové hodnoty kosínusu a sínusu sú rovnaké, a keď sme určili, že kosínus tu má zápornú hodnotu a sínus je kladný, máme:

Podobné príklady sú podrobnejšie analyzované pri štúdiu vzorcov na zníženie goniometrických funkcií v téme.

Požadovaný bod má teda súradnice.

4.

Uhol natočenia vektora polomeru (podľa podmienky)

Na určenie zodpovedajúcich znamienok sínusu a kosínusu zostrojíme jednotkový kruh a uhol:

Ako vidíte, hodnota, to jest, je kladná a hodnota, teda záporná. Keď poznáme tabuľkové hodnoty zodpovedajúcich goniometrických funkcií, získame, že:

Nahraďte získané hodnoty do nášho vzorca a nájdime súradnice:

Požadovaný bod má teda súradnice.

5. Na vyriešenie tohto problému používame vzorce vo všeobecnom tvare, kde

Súradnice stredu kruhu (v našom príklade

Polomer kruhu (podľa podmienky)

Uhol natočenia vektora polomeru (podľa podmienky).

Nahraďte všetky hodnoty do vzorca a získajte:

a - tabuľkové hodnoty. Zapamätáme si ich a dosadíme do vzorca:

Požadovaný bod má teda súradnice.

SÚHRN A ZÁKLADNÝ VZOREC

Sínus uhla je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.

Kosínus uhla je pomer priľahlého (blízkeho) ramena k prepone.

Tangenta uhla je pomer protiľahlej (vzdialenej) nohy k susednej (blízkej).

Kotangens uhla je pomer susednej (blízkej) nohy k opačnej (ďalekej).

Najčastejšie otázky

Je možné urobiť pečať na doklad podľa poskytnutého vzoru? Odpoveď Áno, je to možné. Odoslať nášmu emailová adresa naskenovanú kópiu alebo fotografiu dobrá kvalita a vyrobíme potrebný duplikát.

Aké typy platieb akceptujete? Odpoveď Za dokument môžete zaplatiť pri prevzatí kuriérom, po kontrole správnosti vyplnenia a kvality diplomu. Dá sa tak urobiť aj na pobočkách poštových spoločností, ktoré ponúkajú služby na dobierku.
Všetky podmienky dodania a platby dokladov sú popísané v časti „Platba a dodanie“. Sme tiež pripravení vypočuť si vaše návrhy týkajúce sa podmienok dodania a platby za dokument.

Môžem si byť istý, že po zadaní objednávky nezmiznete s mojimi peniazmi? Odpoveď V oblasti tvorby diplomov máme pomerne dlhoročné skúsenosti. Máme niekoľko stránok, ktoré sú neustále aktualizované. Naši špecialisti pracujú v rôzne rohy v krajinách, ktoré vytvoria viac ako 10 dokumentov denne. V priebehu rokov naše dokumenty pomohli mnohým ľuďom vyriešiť problémy so zamestnaním alebo prejsť na lepšie platenú prácu. Medzi zákazníkmi sme si získali dôveru a uznanie, takže nie je absolútne žiadny dôvod, aby sme to robili. Navyše je to jednoducho nemožné urobiť fyzicky: za objednávku zaplatíte v čase prijatia do vašich rúk, neplatíte žiadnu platbu vopred.

Môžem si objednať diplom z ktorejkoľvek univerzity? Odpoveď Vo všeobecnosti áno. V tejto oblasti pôsobíme už takmer 12 rokov. Za tento čas sa vytvorila takmer kompletná databáza dokumentov vydaných takmer všetkými vysokými školami v krajine aj v zahraničí. rôzne roky vydanie. Všetko, čo potrebujete, je vybrať si univerzitu, odbor, dokument a vyplniť objednávkový formulár.

Čo mám robiť, ak v dokumente nájdem preklepy a chyby? Odpoveď Pri preberaní dokladu od našej kuriérskej alebo poštovej spoločnosti odporúčame dôkladne si skontrolovať všetky údaje. V prípade zistenia preklepu, chyby alebo nepresnosti máte právo diplom neprevziať a zistené nedostatky musíte oznámiť osobne kuriérovi alebo písomne ​​zaslaním e-mailu.
IN čo najskôr Dokument opravíme a znova odošleme na uvedenú adresu. Poštovné samozrejme hradí naša spoločnosť.
Aby sa predišlo takýmto nedorozumeniam, pred vyplnením originálneho formulára pošleme zákazníkovi na poštu rozloženie budúceho dokumentu na overenie a schválenie finálnej verzie. Pred odoslaním dokumentu kuriérom alebo poštou urobíme aj dodatočnú fotografiu a video (aj v ultrafialovom svetle), aby ste mali vizuálnu predstavu o tom, čo nakoniec dostanete.

Čo musíte urobiť, aby ste si u vašej spoločnosti mohli objednať diplom? Odpoveď Pre objednanie dokumentu (certifikát, diplom, akademické vysvedčenie a pod.) je potrebné vyplniť online objednávkový formulár na našej stránke alebo uviesť svoj e-mail, aby sme Vám zaslali dotazník, ktorý je potrebné vyplniť a odoslať späť k nám.
Ak neviete, čo uviesť v niektorom poli objednávkového formulára/dotazníka, nechajte ho prázdne. Všetky chýbajúce informácie si preto vyjasníme telefonicky.

Najnovšie recenzie

Alexey:

Potreboval som získať diplom, aby som sa mohol zamestnať ako manažér. A čo je najdôležitejšie, mám skúsenosti aj zručnosti, ale bez dokladu nemôžem, nájdem prácu kdekoľvek. Keď som sa dostal na vašu stránku, stále som sa rozhodol kúpiť diplom. Diplom bol hotový za 2 dni! Teraz mám prácu, o ktorej sa mi predtým ani nesnívalo!! Vďaka!

Trigonometrické identity sú rovnosti, ktoré vytvárajú vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangensom a kotangensom jedného uhla, čo vám umožňuje nájsť ktorúkoľvek z týchto funkcií za predpokladu, že je známa akákoľvek iná.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Táto identita hovorí, že súčet druhej mocniny sínusu jedného uhla a druhej mocniny kosínusu jedného uhla sa rovná jednej, čo v praxi umožňuje vypočítať sínus jedného uhla, keď je známy jeho kosínus a naopak. .

Pri prevode goniometrických výrazov sa veľmi často používa táto identita, ktorá umožňuje nahradiť súčet druhých mocnín kosínusu a sínusu jedného uhla jednotkou a tiež vykonať operáciu nahradenia v opačnom poradí.

Hľadanie tangens a kotangens cez sínus a kosínus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Tieto identity sú tvorené definíciami sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. Koniec koncov, ak sa pozriete, potom podľa definície je ordináta y sínus a osa x je kosínus. Potom sa dotyčnica bude rovnať pomeru \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) a pomer \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bude kotangens.

Dodávame, že iba pre také uhly \alpha, pre ktoré dávajú zmysel goniometrické funkcie v nich zahrnuté, sa identity uskutočnia , ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Napríklad: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) platí pre \alpha uhly, ktoré sa líšia od \frac(\pi)(2)+\pi z, ale ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pre uhol \alpha iný ako \pi z je z celé číslo.

Vzťah medzi tangentom a kotangensom

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Táto identita je platná len pre uhly \alpha, ktoré sú odlišné od \frac(\pi)(2) z. V opačnom prípade sa kotangens alebo tangenta neurčia.

Na základe vyššie uvedených bodov sme to dostali tg \alpha = \frac(y)(x), ale ctg\alpha=\frac(x)(y). Z toho teda vyplýva tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tangenta a kotangens jedného uhla, pod ktorým dávajú zmysel, sú teda vzájomne recipročné čísla.

Vzťahy medzi tangensom a kosínusom, kotangensom a sínusom

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- súčet druhej mocniny tangens uhla \alpha a 1 sa rovná prevrátenej druhej mocnine kosínusu tohto uhla. Táto identita je platná pre všetky \alpha okrem \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- súčet 1 a druhej mocniny kotangensu uhla \alpha sa rovná prevrátenej druhej mocnine sínusu daného uhla. Táto identita je platná pre všetky \alpha iné ako \pi z .

Príklady s riešením problémov pomocou goniometrických identít

Príklad 1

Nájdite \sin \alpha a tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 A \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Zobraziť riešenie

Riešenie

Funkcie \sin \alpha a \cos \alpha sú spojené vzorcom \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Nahradenie do tohto vzorca \cos \alpha = -\frac12, dostaneme:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Táto rovnica má 2 riešenia:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Podľa podmienok \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V druhom štvrťroku je sínus kladný, takže \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Na nájdenie tg \alpha použijeme vzorec tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Príklad 2

Nájdite \cos \alpha a ctg \alpha, ak a \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Zobraziť riešenie

Riešenie

Dosadzovanie do vzorca \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 podmienené číslo \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dostaneme \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Táto rovnica má dve riešenia \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Podľa podmienok \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V druhom štvrťroku je kosínus záporný, takže \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Aby sme našli ctg \alpha , použijeme vzorec ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Zodpovedajúce hodnoty poznáme.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).