Ako odčítať zlomky s rovnakým čitateľom. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Sčítanie a odčítanie bežných zlomkov

Táto lekcia bude zahŕňať sčítanie a odčítanie. algebraické zlomky s rôznych menovateľov. Už vieme, ako sčítať a odčítať bežné zlomky s rôznymi menovateľmi. Aby sa to dosiahlo, musia sa zlomky zredukovať na spoločný menovateľ. Ukazuje sa, že algebraické zlomky sa riadia rovnakými pravidlami. Zároveň už vieme, ako zredukovať algebraické zlomky na spoločného menovateľa. Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je jednou z najdôležitejších a najťažších tém v kurze 8. ročníka. Okrem toho sa táto téma objaví v mnohých témach v kurze algebry, ktorý budete v budúcnosti študovať. V rámci lekcie si preštudujeme pravidlá sčítania a odčítania algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi a tiež rozoberieme niekoľko typických príkladov.

Uvažujme najjednoduchší príklad Pre obyčajné zlomky.

Príklad 1 Pridajte zlomky: .

Riešenie:

Pripomeňme si pravidlo pre sčítanie zlomkov. Na začiatok treba zlomky zredukovať na spoločného menovateľa. Spoločným menovateľom obyčajných zlomkov je najmenší spoločný násobok(LCM) pôvodných menovateľov.

Definícia

Najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné číslami aj .

Ak chcete nájsť LCM, musíte rozdeliť menovateľov do hlavných faktorov a potom vybrať všetky hlavné faktory, ktoré sú zahrnuté v expanzii oboch menovateľov.

; . Potom LCM čísel musí obsahovať dve dvojky a dve trojky: .

Po nájdení spoločného menovateľa musíte nájsť ďalší faktor pre každý zlomok (v skutočnosti vydeľte spoločného menovateľa menovateľom zodpovedajúceho zlomku).

Každý zlomok sa potom vynásobí výsledným dodatočným faktorom. Získame zlomky s rovnakých menovateľov, sčítanie a odčítanie, ktoré sme sa naučili v predchádzajúcich lekciách.

Dostaneme: .

odpoveď:.

Uvažujme teraz o sčítaní algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv sa pozrime na zlomky, ktorých menovateľmi sú čísla.

Príklad 2 Pridajte zlomky: .

Riešenie:

Algoritmus riešenia je úplne podobný predchádzajúcemu príkladu. Je ľahké nájsť spoločného menovateľa týchto zlomkov: a ďalšie faktory pre každý z nich.

.

odpoveď:.

Takže poďme formulovať algoritmus na sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi:

1. Nájdite najmenšieho spoločného menovateľa zlomkov.

2. Nájdite ďalšie faktory pre každý zo zlomkov (vydelením spoločného menovateľa menovateľom daného zlomku).

3. Vynásobte čitateľov zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.

4. Sčítajte alebo odčítajte zlomky pomocou pravidiel na sčítanie a odčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi.

Uvažujme teraz o príklade so zlomkami, ktorých menovateľ obsahuje doslovné výrazy.

Príklad 3 Pridajte zlomky: .

Riešenie:

Keďže výrazy písmen v oboch menovateľoch sú rovnaké, mali by ste pre čísla nájsť spoločného menovateľa. Konečný spoločný menovateľ bude vyzerať takto: . Riešenie tohto príkladu teda vyzerá takto:.

odpoveď:.

Príklad 4. Odčítajte zlomky: .

Riešenie:

Ak nemôžete „podvádzať“ pri výbere spoločného menovateľa (nemôžete ho faktorizovať ani používať skrátené vzorce na násobenie), musíte ako spoločný menovateľ brať súčin menovateľov oboch zlomkov.

odpoveď:.

Vo všeobecnosti je pri riešení takýchto príkladov najťažšou úlohou nájsť spoločného menovateľa.

Pozrime sa na zložitejší príklad.

Príklad 5. Zjednodušiť: .

Riešenie:

Pri hľadaní spoločného menovateľa sa musíte najskôr pokúsiť rozdeliť menovateľov pôvodných zlomkov (pre zjednodušenie spoločného menovateľa).

V tomto konkrétnom prípade:

Potom je ľahké určiť spoločného menovateľa: .

Zisťujeme ďalšie faktory a riešime tento príklad:

odpoveď:.

Teraz stanovme pravidlá pre sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Príklad 6. Zjednodušiť: .

Riešenie:

odpoveď:.

Príklad 7. Zjednodušiť: .

Riešenie:

.

odpoveď:.

Uvažujme teraz o príklade, v ktorom sa nepridávajú dva, ale tri zlomky (napokon, pravidlá sčítania a odčítania pre viac zlomky zostávajú rovnaké).

Príklad 8. Zjednodušiť: .

Akcie so zlomkami. V tomto článku sa pozrieme na príklady, všetko podrobne s vysvetleniami. Budeme brať do úvahy bežné zlomky. Na desatinné miesta sa pozrieme neskôr. Odporúčam si to celé pozrieť a preštudovať si to postupne.

1. Súčet zlomkov, rozdiel zlomkov.

Pravidlo: pri sčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi je výsledkom zlomok, ktorého menovateľ zostáva rovnaký a jeho čitateľ bude rovná súčtučitateľov zlomkov.

Pravidlo: pri výpočte rozdielu medzi zlomkami s rovnakými menovateľmi dostaneme zlomok - menovateľ zostáva rovnaký a čitateľ druhého sa odčíta od čitateľa prvého zlomku.

Formálny zápis súčtu a rozdielu zlomkov s rovnakými menovateľmi:

Príklady (1):

Je jasné, že keď sú uvedené bežné zlomky, potom je všetko jednoduché, ale čo keď sú zmiešané? Nič zložité...

možnosť 1– môžete ich previesť na obyčajné a potom ich vypočítať.

Možnosť 2– môžete „pracovať“ oddelene s celočíselnými a zlomkovými časťami.

Príklady (2):

Viac:

Čo ak je daný rozdiel dvoch zmiešaných zlomkov a čitateľ prvého zlomku je menší ako čitateľ druhého? Môžete tiež konať dvoma spôsobmi.

Príklady (3):

*Prevedené na bežné zlomky, vypočítaný rozdiel, prevedený výsledný nesprávny zlomok na zmiešaný zlomok.

*Rozdelili sme to na celé číslo a zlomkové časti, dostali sme trojku, potom sme prezentovali 3 ako súčet 2 a 1, pričom jedna bola reprezentovaná ako 11/11, potom sme našli rozdiel medzi 11/11 a 7/11 a vypočítali výsledok . Význam vyššie uvedených transformácií je vziať (vybrať) jednotku a prezentovať ju vo forme zlomku s menovateľom, ktorý potrebujeme, potom môžeme od tohto zlomku odpočítať ďalšiu.

Ďalší príklad:

Záver: existuje univerzálny prístup - na výpočet súčtu (rozdielu) zmiešaných zlomkov s rovnakými menovateľmi je možné ich vždy previesť na nesprávne a potom vykonať požadovaná akcia. Potom, ak je výsledkom nesprávny zlomok, prevedieme ho na zmiešaný zlomok.

Vyššie sme sa pozreli na príklady so zlomkami, ktoré majú rovnakých menovateľov. Čo ak sú menovatelia odlišní? V tomto prípade sa zlomky znížia na rovnaký menovateľ a vykoná sa zadaná akcia. Na zmenu (premenu) zlomku sa využíva základná vlastnosť zlomku.

Pozrime sa na jednoduché príklady:

V týchto príkladoch okamžite vidíme, ako možno jeden zo zlomkov premeniť, aby získal rovnakých menovateľov.

Ak určíme spôsoby redukcie zlomkov na rovnakého menovateľa, nazveme tento PRVÁ SPÔSOB.

To znamená, že ihneď pri „hodnotení“ zlomku musíte zistiť, či tento prístup bude fungovať - ​​skontrolujeme, či je väčší menovateľ deliteľný menším. A ak je deliteľné, tak vykonáme transformáciu – vynásobíme čitateľa a menovateľa tak, aby sa menovatelia oboch zlomkov vyrovnali.

Teraz sa pozrite na tieto príklady:

Tento prístup sa na nich nevzťahuje. Existujú aj spôsoby, ako zredukovať zlomky na spoločného menovateľa; zvážme ich.

Metóda DVA.

Čitateľ a menovateľ prvého zlomku vynásobíme menovateľom druhého a čitateľa a menovateľa druhého zlomku menovateľom prvého:

*V skutočnosti zlomky zmenšujeme tak, aby vznikli, keď sa menovatelia stanú rovnakými. Ďalej použijeme pravidlo na sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Príklad:

*Túto metódu možno nazvať univerzálnou a vždy funguje. Jedinou nevýhodou je, že po výpočtoch môžete skončiť so zlomkom, ktorý bude potrebné ďalej znížiť.

Pozrime sa na príklad:

Je vidieť, že čitateľ a menovateľ sú deliteľné 5:

Metóda TRETIA.

Musíte nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) menovateľov. Toto bude spoločný menovateľ. Čo je to za číslo? Toto je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné každým z čísel.

Pozri, tu sú dve čísla: 3 a 4, je nimi veľa čísel, ktoré sú deliteľné - sú to 12, 24, 36, ... Najmenšie z nich je 12. Alebo 6 a 15, sú deliteľné 30, 60, 90.... Najmenej je 30. Otázka znie – ako určiť tento najmenší spoločný násobok?

Existuje jasný algoritmus, ale často sa to dá urobiť okamžite bez výpočtov. Napríklad podľa vyššie uvedených príkladov (3 a 4, 6 a 15) nie je potrebný žiadny algoritmus, vzali sme veľké čísla (4 a 15), zdvojnásobili sme ich a videli sme, že sú deliteľné druhým číslom, ale dvojice čísel môžu byť iné, napríklad 51 a 119.

Algoritmus. Ak chcete určiť najmenší spoločný násobok niekoľkých čísel, musíte:

- rozložiť každé číslo na JEDNODUCHÉ faktory

— zapíšte si rozklad VÄČŠIEHO z nich

- vynásobte ho CHYBAJÚCImi faktormi iných čísel

Pozrime sa na príklady:

50 a 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

v rozklade viac jedna päťka chýba

=> LCM(50;60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 a 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

v rozšírení väčšie číslo dva a tri chýbajú

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Najmenší spoločný násobok dvoch základné čísla rovná ich produktu

Otázka! Prečo je užitočné nájsť najmenší spoločný násobok, keď môžete použiť druhú metódu a jednoducho znížiť výsledný zlomok? Áno, je to možné, ale nie vždy je to pohodlné. Pozrite sa na menovateľ čísel 48 a 72, ak ich jednoducho vynásobíte 48∙72 = 3456. Súhlasíte, že je príjemnejšie pracovať s menšími číslami.

Pozrime sa na príklady:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

rozšíreniu väčšieho počtu chýba trojka

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Teraz použijeme prvú metódu:

*Pozrite sa na rozdiel vo výpočtoch, v prvom prípade je ich minimum, ale v druhom musíte pracovať oddelene na papieri a dokonca aj zlomok, ktorý ste dostali, musíte znížiť. Nájdenie LOC výrazne zjednodušuje prácu.

Ďalšie príklady:

*V druhom príklade je jasné, že najmenšie číslo ktorý je deliteľný 40 a 60 sa rovná 120.

VÝSLEDOK! VŠEOBECNÝ VÝPOČTOVÝ ALGORITHM!

- zmenšiť zlomky na obyčajné zlomky, ak nejaké existujú celú časť.

- zlomky privedieme k spoločnému menovateľovi (najprv sa pozrieme na to, či je jeden menovateľ deliteľný druhým; ak je deliteľný, tak čitateľa a menovateľa tohto druhého zlomku vynásobíme; ak nie je deliteľný, postupujeme podľa iných metód uvedené vyššie).

- Po prijatí zlomkov s rovnakými menovateľmi vykonávame operácie (sčítanie, odčítanie).

- v prípade potreby znížime výsledok.

- ak je to potrebné, vyberte celú časť.

2. Súčin frakcií.

Pravidlo je jednoduché. Pri násobení zlomkov sa ich čitatelia a menovatelia násobia:

Príklady:

Úloha. Na základňu priviezli 13 ton zeleniny. Zemiaky tvoria ¾ zo všetkej dovážanej zeleniny. Koľko kilogramov zemiakov priviezli na základňu?

Skončíme s kúskom.

*V minulosti som sľúbil, že vám poskytnem formálne vysvetlenie hlavnej vlastnosti zlomku prostredníctvom produktu, prosím:

3. Delenie zlomkov.

Delením zlomkov dochádza k ich násobeniu. Tu je dôležité pamätať na to, že zlomok, ktorý je deliteľom (ten, ktorý je delený), sa otočí a akcia sa zmení na násobenie:

Túto akciu je možné zapísať vo forme takzvaného štvorposchodového zlomku, pretože samotné delenie „:“ možno zapísať aj ako zlomok:

Príklady:

To je všetko! Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

Obsah lekcie

Sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi

Existujú dva typy pridávania frakcií:

1. Sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Najprv sa naučme sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený. Sčítajme napríklad zlomky a . Pridajte čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Pridajte zlomky a .

Odpoveď sa ukázala ako nesprávny zlomok. Keď príde koniec úlohy, je zvykom zbaviť sa nesprávnych zlomkov. Aby ste sa zbavili nevhodnej frakcie, musíte vybrať celú jej časť. V našom prípade je celá časť ľahko izolovaná - dve delené dvoma sa rovnajú jednej:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na dve časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate jednu celú pizzu:

Príklad 3. Pridajte zlomky a .

Opäť spočítame čitateľov a menovateľa necháme nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate pizzu:

Príklad 4. Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Čitatelia sa musia pridať a menovateľ ponechať nezmenený:

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou kresby. Ak k pizze pridáte pizzu a pridáte ďalšie pizze, získate 1 celú pizzu a viac pízz.

Ako vidíte, na sčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

1. Ak chcete pridať zlomky s rovnakým menovateľom, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený;

Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Teraz sa naučíme, ako sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi. Pri sčítavaní zlomkov musia byť menovatelia zlomkov rovnaké. Ale nie sú vždy rovnaké.

Napríklad zlomky možno sčítať, pretože majú rovnakých menovateľov.

Zlomky však nemožno sčítať hneď, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Existuje niekoľko spôsobov, ako znížiť zlomky na rovnakého menovateľa. Dnes sa pozrieme len na jeden z nich, keďže ostatné spôsoby sa môžu začiatočníkovi zdať komplikované.

Podstatou tejto metódy je, že najprv sa hľadá LCM menovateľov oboch zlomkov. LCM sa potom vydelí menovateľom prvej frakcie, čím sa získa prvý dodatočný faktor. To isté urobia s druhou frakciou - LCM sa vydelí menovateľom druhej frakcie a získa sa druhý dodatočný faktor.

Čitatelia a menovatelia zlomkov sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto akcií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať.

Príklad 1. Pridajme zlomky a

V prvom rade nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 6

LCM (2 a 3) = 6

Teraz sa vráťme k zlomkom a . Najprv vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku a získajte prvý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 6 3, dostaneme 2.

Výsledné číslo 2 je prvým dodatočným násobiteľom. Zapisujeme to na prvý zlomok. Za týmto účelom urobte malú šikmú čiaru nad zlomkom a zapíšte ďalší faktor, ktorý sa nachádza nad ním:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM vydelíme menovateľom druhého zlomku a dostaneme druhý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Ak vydelíme 6 2, dostaneme 3.

Výsledné číslo 3 je druhým dodatočným multiplikátorom. Zapíšeme to na druhý zlomok. Opäť urobíme malú šikmú čiaru cez druhý zlomok a zapíšeme ďalší faktor, ktorý sa nachádza nad ním:

Teraz máme všetko pripravené na doplnenie. Zostáva vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov ich dodatočnými faktormi:

Pozrite sa pozorne, k čomu sme dospeli. Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať. Vezmime si tento príklad do konca:

Týmto je príklad dokončený. Ukazuje sa pridať .

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou kresby. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate jednu celú pizzu a ďalšiu šestinu pizze:

Redukovanie zlomkov na rovnaký (spoločný) menovateľ možno znázorniť aj pomocou obrázka. Redukovaním zlomkov a na spoločného menovateľa sme dostali zlomky a . Tieto dve frakcie budú reprezentované rovnakými kúskami pizze. Jediný rozdiel bude v tom, že tentoraz budú rozdelené na rovnaké podiely (redukované na rovnakého menovateľa).

Prvý výkres predstavuje zlomok (štyri kusy zo šiestich) a druhý výkres predstavuje zlomok (tri kusy zo šiestich). Pridaním týchto kusov dostaneme (sedem kusov zo šiestich). Tento zlomok je nesprávny, preto sme zvýraznili jeho celú časť. V dôsledku toho sme dostali (jedna celá pizza a ďalšia šiesta pizza).

Upozorňujeme, že tento príklad sme opísali príliš podrobne. Vo vzdelávacích inštitúciách nie je zvykom písať tak podrobne. Musíte byť schopní rýchlo nájsť LCM oboch menovateľov a ďalších faktorov k nim, ako aj rýchlo vynásobiť nájdené dodatočné faktory vašimi čitateľmi a menovateľmi. Keby sme boli v škole, museli by sme tento príklad napísať takto:

Ale je tu aj druhá strana mince. Ak si v prvých fázach štúdia matematiky nerobíte podrobné poznámky, začnú sa objavovať otázky tohto druhu. "Odkiaľ pochádza to číslo?", "Prečo sa zlomky zrazu zmenia na úplne iné zlomky? «.

Na uľahčenie pridávania zlomkov s rôznymi menovateľmi môžete použiť nasledujúce podrobné pokyny:

1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov;
2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte dodatočný faktor pre každý zlomok;
3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi;
4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov;
5. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť;

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu .

Využime pokyny uvedené vyššie.

Krok 1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov

Nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľmi zlomkov sú čísla 2, 3 a 4

Krok 2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší faktor pre každý zlomok

Vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 2. Vydelíme 12 2, dostaneme 6. Získame prvý dodatočný faktor 6. Napíšeme ho nad prvý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Dostaneme druhý dodatočný faktor 4. Napíšeme ho nad druhý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Dostaneme tretí dodatočný faktor 3. Napíšeme ho nad tretí zlomok:

Krok 3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi

Čitateľov a menovateľov vynásobíme ich ďalšími faktormi:

Krok 4. Pridajte zlomky s rovnakými menovateľmi

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých (spoločných) menovateľov. Zostáva len sčítať tieto zlomky. Pridajte to:

Doplnenie sa nezmestilo na jeden riadok, preto sme zvyšný výraz presunuli na ďalší riadok. V matematike je to dovolené. Keď sa výraz nezmestí na jeden riadok, presunie sa na ďalší riadok a na koniec prvého riadku a na začiatok nového riadku je potrebné vložiť znamienko rovnosti (=). Znamienko rovnosti v druhom riadku znamená, že ide o pokračovanie výrazu, ktorý bol v prvom riadku.

Krok 5. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť

Naša odpoveď sa ukázala ako nesprávny zlomok. Musíme vyzdvihnúť celú jeho časť. Zdôrazňujeme:

Dostali sme odpoveď

Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Existujú dva typy odčítania zlomkov:

1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Najprv sa naučme, ako odčítať zlomky s podobnými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku, no menovateľ ponechajte rovnaký.

Napríklad nájdime hodnotu výrazu . Ak chcete vyriešiť tento príklad, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený. Poďme to spraviť:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu.

Opäť, od čitateľa prvého zlomku, odčítajte čitateľa druhého zlomku a menovateľ ponechajte nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Od čitateľa prvého zlomku musíte odpočítať čitateľa zostávajúcich zlomkov:

Ako vidíte, na odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

1. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený;
2. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte zvýrazniť celú jeho časť.

Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Môžete napríklad odčítať zlomok od zlomku, pretože zlomky majú rovnakých menovateľov. Nemôžete však odčítať zlomok od zlomku, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Spoločný menovateľ sa nachádza pomocou rovnakého princípu, ktorý sme použili pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor, ktorý je napísaný nad prvým zlomkom. Podobne sa LCM vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor, ktorý je napísaný nad druhým zlomkom.

Zlomky sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto operácií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, premenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať.

Príklad 1 Nájdite význam výrazu:

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, preto ich musíte zredukovať na rovnakého (spoločného) menovateľa.

Najprv nájdeme LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 12

LCM (3 a 4) = 12

Teraz sa vráťme k zlomkom a

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. Za týmto účelom vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Napíšte štvorku nad prvý zlomok:

To isté robíme s druhým zlomkom. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Napíšte trojku nad druhý zlomok:

Teraz sme pripravení na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Vezmime si tento príklad do konca:

Dostali sme odpoveď

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou kresby. Ak odkrojíte pizzu z pizze, dostanete pizzu

Toto podrobná verzia riešenia. Keby sme boli v škole, museli by sme tento príklad riešiť kratšie. Takéto riešenie by vyzeralo takto:

Redukciu zlomkov na spoločného menovateľa možno znázorniť aj pomocou obrázka. Redukovaním týchto zlomkov na spoločného menovateľa sme dostali zlomky a . Tieto zlomky budú reprezentované rovnakými plátkami pizze, ale tentoraz budú rozdelené na rovnaké časti (redukované na rovnakého menovateľa):

Na prvom obrázku je zlomok (osem dielikov z dvanástich) a na druhom obrázku je zlomok (tri dieliky z dvanástich). Vyrezaním troch kusov z ôsmich kusov dostaneme päť kusov z dvanástich. Zlomok popisuje týchto päť kusov.

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, preto ich najprv musíte zredukovať na rovnakého (spoločného) menovateľa.

Nájdite LCM menovateľov týchto zlomkov.

Menovateľmi zlomkov sú čísla 10, 3 a 5. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 30

LCM(10,3,5) = 30

Teraz nájdeme ďalšie faktory pre každý zlomok. Ak to chcete urobiť, vydeľte LCM menovateľom každého zlomku.

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. LCM je číslo 30 a menovateľom prvého zlomku je číslo 10. Vydelením 30 10 dostaneme prvý dodatočný faktor 3. Napíšeme ho nad prvý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre druhý zlomok. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelením 30 3 dostaneme druhý dodatočný faktor 10. Napíšeme ho nad druhý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre tretí zlomok. Vydeľte LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 5. Ak vydelíme 30 číslom 5, dostaneme tretí dodatočný faktor 6. Napíšeme ho nad tretí zlomok:

Teraz je všetko pripravené na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých (spoločných) menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončime tento príklad.

Pokračovanie príkladu sa nezmestí na jeden riadok, preto posunieme pokračovanie na ďalší riadok. Nezabudnite na znamienko rovnosti (=) v novom riadku:

Odpoveď sa ukázala ako obyčajný zlomok a zdá sa, že všetko nám vyhovuje, ale je príliš ťažkopádne a škaredé. Mali by sme to zjednodušiť. Čo sa dá robiť? Tento zlomok môžete skrátiť.

Ak chcete zlomok zmenšiť, musíte vydeliť jeho čitateľa a menovateľa (GCD) čísel 20 a 30.

Nájdeme teda gcd čísel 20 a 30:

Teraz sa vrátime k nášmu príkladu a vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku nájdeným gcd, to znamená 10

Dostali sme odpoveď

Násobenie zlomku číslom

Ak chcete vynásobiť zlomok číslom, musíte vynásobiť čitateľa daného zlomku týmto číslom a ponechať menovateľa rovnakého.

Príklad 1. Vynásobte zlomok číslom 1.

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 1

Nahrávku možno chápať tak, že zaberie polovičný 1 čas. Napríklad, ak si dáte pizzu raz, dostanete pizzu

Zo zákonov násobenia vieme, že ak dôjde k zámene multiplikandu a faktora, súčin sa nezmení. Ak je výraz napísaný ako , potom sa súčin bude stále rovnať . Opäť platí pravidlo pre násobenie celého čísla a zlomku:

Tento zápis možno chápať ako prevzatie polovice jednotky. Napríklad, ak je 1 celá pizza a vezmeme si polovicu z nej, potom budeme mať pizzu:

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 4

Odpoveď bol nesprávny zlomok. Vyzdvihnime celú jeho časť:

Výraz možno chápať ako brať dve štvrtiny 4 krát. Napríklad, ak si vezmete 4 pizze, dostanete dve celé pizze

A ak zameníme multiplikand a multiplikátor, dostaneme výraz . Bude sa rovnať aj 2. Tento výraz možno chápať ako odoberanie dvoch pizze zo štyroch celých pízz:

Násobenie zlomkov

Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte zvýrazniť celú jeho časť.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu.

Dostali sme odpoveď. Je vhodné tento podiel znížiť. Zlomok môže byť znížený o 2. Potom bude mať konečné riešenie nasledujúcu formu:

Výraz možno chápať tak, že si vezmete pizzu z polovice pizze. Povedzme, že máme polovicu pizze:

Ako ubrať dve tretiny z tejto polovice? Najprv musíte rozdeliť túto polovicu na tri rovnaké časti:

A vezmite si dva z týchto troch kusov:

Urobíme pizzu. Pamätajte si, ako pizza vyzerá, keď je rozdelená na tri časti:

Jeden kus tejto pizze a dva kusy, ktoré sme si vzali, budú mať rovnaké rozmery:

Inými slovami, hovoríme o približne rovnako veľká pizza. Preto hodnota výrazu je

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď bol nesprávny zlomok. Vyzdvihnime celú jeho časť:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď sa ukázala ako obyčajný zlomok, ale bolo by dobré, keby sa skrátil. Ak chcete tento zlomok zmenšiť, musíte vydeliť čitateľa a menovateľa tohto zlomku najväčším spoločným deliteľom (GCD) čísel 105 a 450.

Takže nájdime gcd čísel 105 a 450:

Teraz vydelíme čitateľa a menovateľa našej odpovede hodnotou gcd, ktorú sme teraz našli, teda 15

Predstavuje celé číslo ako zlomok

Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Napríklad číslo 5 môže byť reprezentované ako . To nezmení význam päť, pretože výraz znamená „číslo päť delené jedným“ a toto, ako vieme, sa rovná piatim:

Recipročné čísla

Teraz sa zoznámime s veľmi zaujímavá téma v matematike. Hovorí sa tomu „obrátené čísla“.

Definícia. Obráťte sa na čísloa je číslo, ktoré po vynásobenía dáva jeden.

Namiesto premennej dosadíme v tejto definícii ačíslo 5 a skúste si prečítať definíciu:

Obráťte sa na číslo 5 je číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jeden.

Je možné nájsť číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku? Ukazuje sa, že je to možné. Predstavme si päťku ako zlomok:

Potom tento zlomok vynásobte sám, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Inými slovami, vynásobme zlomok sám o sebe, iba hore nohami:

Čo sa stane v dôsledku toho? Ak budeme pokračovať v riešení tohto príkladu, dostaneme jeden:

To znamená, že inverzná hodnota k číslu 5 je číslo , pretože keď vynásobíte 5 číslom, dostanete jednotku.

Prevrátenú hodnotu čísla možno nájsť aj pre akékoľvek iné celé číslo.

Môžete tiež nájsť prevrátenú hodnotu akéhokoľvek iného zlomku. Ak to chcete urobiť, jednoducho ho otočte.

Delenie zlomku číslom

Povedzme, že máme polovicu pizze:

Rozdeľme to rovným dielom medzi dvoch. Koľko pizze dostane každý?

Je vidieť, že po rozdelení polovice pizze sa získali dva rovnaké kusy, z ktorých každý tvorí pizzu. Takže každý dostane pizzu.

Delenie zlomkov sa robí pomocou reciprokých. Recipročné čísla umožňujú nahradiť delenie násobením.

Ak chcete zlomok vydeliť číslom, musíte zlomok vynásobiť inverznou hodnotou k deliteľovi.

Pomocou tohto pravidla si zapíšeme rozdelenie našej polovice pizze na dve časti.

Preto musíte zlomok vydeliť číslom 2. Tu je dividenda zlomkom a deliteľom je číslo 2.

Ak chcete rozdeliť zlomok číslom 2, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa 2. Prevrátená hodnota deliteľa 2 je zlomok. Takže musíte násobiť

Inštrukcie

Je zvykom oddeľovať obyčajné a desatinné zlomky, s ktorým sa zoznamovanie začína už na strednej škole. V súčasnosti neexistuje oblasť vedomostí, kde by sa to neuplatňovalo. Dokonca v povedzme prvé 17. storočie a to všetko naraz, čiže 1600-1625. Často sa tiež musíte vysporiadať so základnými akciami, ako aj s ich premenou z jedného typu na druhý.

Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa je možno najdôležitejšou operáciou. Toto je základ pre absolútne všetky výpočty. Povedzme teda, že sú dve zlomky a/b a c/d. Potom, aby ste ich priviedli k spoločnému menovateľovi, musíte nájsť najmenší spoločný násobok (M) čísel b a d a potom vynásobiť čitateľa prvého zlomky podľa (M/b) a druhý čitateľ podľa (M/d).

Porovnávanie zlomkov je ďalšou dôležitou úlohou. Aby ste to urobili, dajte daný jednoduchý zlomky k spoločnému menovateľovi a potom porovnajte čitateľov, ktorých čitateľ je väčší, ten zlomok a väčší.

Ak chcete vykonať sčítanie alebo odčítanie obyčajných zlomkov, musíte ich uviesť do spoločného menovateľa a potom z týchto zlomkov vykonať potrebné matematické výpočty. Menovateľ zostáva nezmenený. Povedzme, že potrebujete odpočítať c/d od a/b. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť najmenší spoločný násobok M čísel b a d a potom odpočítať druhý od jedného čitateľa bez zmeny menovateľa: (a*(M/b)-(c*(M/d)) /M

Stačí jednoducho vynásobiť jeden zlomok druhým; na to stačí vynásobiť ich čitateľov a menovateľov:
(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, musíte vynásobiť zlomok dividendy recipročným zlomkom deliteľa. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
Je potrebné pripomenúť, že ak chcete získať recipročný zlomok, musíte vymeniť čitateľa a menovateľa.

Táto lekcia bude zahŕňať sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s podobnými menovateľmi. Už vieme, ako sčítať a odčítať bežné zlomky s podobnými menovateľmi. Ukazuje sa, že algebraické zlomky sa riadia rovnakými pravidlami. Naučiť sa pracovať so zlomkami s podobnými menovateľmi je jedným zo základných kameňov učenia sa, ako pracovať s algebraickými zlomkami. Najmä pochopenie tejto témy uľahčí zvládnutie ďalších ťažká téma- sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznym menovateľom. V rámci lekcie si preštudujeme pravidlá sčítania a odčítania algebraických zlomkov s podobnými menovateľmi a tiež analyzujeme niekoľko typických príkladov

Pravidlo na sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s rovnakými menovateľmi

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih zlomky z jedného na vás -mi know-me-na-te-la-mi (to sa zhoduje s analogickým pravidlom pre bežné údery): To je na sčítanie alebo výpočet zlomkov al-geb-ra-i-che-skih s jedna k vám know-me-on-te-la-mi nutné -ho-di-mo-zostavte zodpovedajúci al-geb-ra-i-che-súčet čísel a znak-me-na-tel nechajte bez akýchkoľvek.

Toto pravidlo chápeme ako na príklade obyčajných ven-draws, tak aj na príklade al-geb-ra-i-che-draws. hit.

Príklady použitia pravidla pre obyčajné zlomky

Príklad 1. Sčítajte zlomky: .

Riešenie

Pridajme počet zlomkov a znamienko necháme rovnaké. Potom číslo rozložíme a podpíšeme na jednoduché násobnosti a kombinácie. Poďme na to: .

Poznámka: štandardná chyba, ktorá je povolená pri riešení podobných typov príkladov, pre -klu-cha-et-sya v nasledujúcom možnom riešení: . Toto je hrubá chyba, pretože znamienko zostáva rovnaké ako v pôvodných zlomkoch.

Príklad 2. Sčítajte zlomky: .

Riešenie

Tento sa v ničom nelíši od predchádzajúceho: .

Príklady aplikácie pravidla pre algebraické zlomky

Od obyčajných dro-beatov prejdeme k al-geb-ra-i-che-skim.

Príklad 3. Sčítajte zlomky: .

Riešenie: ako už bolo spomenuté vyššie, zloženie al-geb-ra-i-che-fractions sa nijako nelíši od slova rovnaké ako bežné súboje. Preto je spôsob riešenia rovnaký: .

Príklad 4. Ste zlomok: .

Riešenie

You-chi-ta-nie al-geb-ra-i-che-skih zlomkov od sčítania len tým, že v počte pi-sy-va-et-sya rozdiel v počte použitých zlomkov. Preto .

Príklad 5. Ste zlomok: .

Riešenie: .

Príklad 6. Zjednodušte: .

Riešenie: .

Príklady použitia pravidla nasledovaného znížením

V zlomku, ktorý má vo výsledku skladania alebo výpočtu rovnaký význam, sú možné kombinácie nia. Okrem toho by ste nemali zabudnúť na ODZ zlomkov al-geb-ra-i-che-skih.

Príklad 7. Zjednodušte: .

Riešenie: .

V čom . Vo všeobecnosti, ak sa ODZ počiatočných zlomkov zhoduje s ODZ súčtu, možno ho vynechať (napokon zlomok, ktorý je v odpovedi, nebude existovať so zodpovedajúcimi významnými zmenami). Ak sa však ODZ použitých zlomkov a odpoveď nezhodujú, potom je potrebné uviesť ODZ.

Príklad 8. Zjednodušte: .

Riešenie: . Zároveň y (ODZ počiatočných zlomkov sa nezhoduje s ODZ výsledku).

Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Ak chcete pridať a prečítať al-geb-ra-i-che-zlomky s rôznymi známymi-me-on-the-la-mi, urobíme ana-lo-giyu s obyčajnými-ven-ny zlomkami a prenesieme to do al-geb -ra-i-che-zlomky.

Pozrime sa na najjednoduchší príklad obyčajných zlomkov.

Príklad 1 Pridajte zlomky: .

Riešenie:

Pripomeňme si pravidlá sčítania zlomkov. Na začiatok zlomkom je potrebné priviesť ho k spoločnému znameniu. V úlohe všeobecného znaku pre obyčajné zlomky vystupujete najmenší spoločný násobok(NOK) počiatočné znaky.

Definícia

Najmenšie číslo, ktoré sa delí súčasne na čísla a.

Ak chcete nájsť NOC, musíte rozdeliť znalosti do jednoduchých súborov a potom vybrať všetko, čo je veľa, čo je zahrnuté v rozdelení oboch znamení.

; . Potom LCM čísel musí obsahovať dve dvojky a dve trojky: .

Po zistení všeobecných vedomostí je potrebné, aby každý zo zlomkov našiel úplného rezidenta násobnosti (v skutočnosti nalial spoločné znamienko na znamienko zodpovedajúceho zlomku).

Potom sa každý zlomok vynásobí poloplným faktorom. Zoberme si niekoľko zlomkov z tých istých, ktoré poznáte, spočítajte ich a prečítajte si ich. - študovali ste v predchádzajúcich lekciách.

Poďme jesť: .

odpoveď:.

Pozrime sa teraz na zloženie al-geb-ra-i-che-zlomkov s rôznymi znakmi. Teraz sa pozrime na zlomky a uvidíme, či existujú nejaké čísla.

Sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi

Príklad 2 Pridajte zlomky: .

Riešenie:

Al-go-rytmus rozhodnutia ab-so-lyut-ale ana-lo-gi-chen k predchádzajúcemu príkladu. Je ľahké zobrať spoločné znamienko daných zlomkov: a ďalšie násobiče pre každý z nich.

.

odpoveď:.

Takže poďme formovať al-go-rytmus sčítania a výpočtu al-geb-ra-i-che-skih zlomkov s rôznymi znamienkami:

1. Nájdite najmenšie spoločné znamienko zlomku.

2. Nájdite ďalšie násobiče pre každý zo zlomkov (skutočne, spoločné znamienko je dané -tým zlomkom).

3. Až veľa čísel na zodpovedajúcich až úplných násobkoch.

4. Sčítajte alebo vypočítajte zlomky pomocou sčítania vpravo od malých a vypočítajte zlomky s rovnakými znalosťami -me-na-te-la-mi.

Teraz sa pozrime na príklad so zlomkami, v znamení ktorých sú písmená ty -nia.