Príklady vlastností logaritmov. Prirodzený logaritmus, funkcia ln x

Uvádzajú sa základné vlastnosti prirodzeného logaritmu, graf, definičný obor, množina hodnôt, základné vzorce, derivácia, integrál, rozšírenie mocninného radu a reprezentácia funkcie ln x pomocou komplexných čísel.

Definícia

Prirodzený logaritmus je funkcia y = ln x, inverzná hodnota exponenciály, x = e y, a je logaritmus k základu čísla e: ln x = log e x.

Prirodzený logaritmus je široko používaný v matematike, pretože jeho derivát má najjednoduchšiu formu: (ln x)' = 1/ x.

Na základe definície, základom prirodzeného logaritmu je číslo e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf funkcie y = ln x.

Graf prirodzeného logaritmu (funkcie y = ln x) sa získa z exponenciálneho grafu zrkadlovým odrazom vzhľadom na priamku y = x.

Prirodzený logaritmus je definovaný pri kladné hodnoty premenná x. Vo svojej doméne definície sa zvyšuje monotónne.

Pri x → 0 limita prirodzeného logaritmu je mínus nekonečno (-∞).

Ako x → + ∞ je limita prirodzeného logaritmu plus nekonečno (+ ∞). Pre veľké x sa logaritmus zvyšuje pomerne pomaly. Akákoľvek mocninná funkcia x a s kladným exponentom a rastie rýchlejšie ako logaritmus.

Vlastnosti prirodzeného logaritmu

Doména definície, množina hodnôt, extrémy, nárast, pokles

Prirodzený logaritmus je monotónne rastúca funkcia, takže nemá žiadne extrémy. Hlavné vlastnosti prirodzeného logaritmu sú uvedené v tabuľke.

ln x hodnoty

ln 1 = 0

Základné vzorce pre prirodzené logaritmy

Vzorce vyplývajúce z definície inverznej funkcie:

Hlavná vlastnosť logaritmov a jej dôsledky

Vzorec na nahradenie bázy

Akýkoľvek logaritmus možno vyjadriť prirodzenými logaritmami pomocou základného substitučného vzorca:

Dôkazy týchto vzorcov sú uvedené v časti "Logaritmus".

Inverzná funkcia

Inverzná k prirodzenému logaritmu je exponent.

Ak potom

Ak potom.

Derivát ln x

Derivácia prirodzeného logaritmu:
.
Derivácia prirodzeného logaritmu modulu x:
.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodenie vzorcov >> >

Integrálne

Integrál sa vypočíta integráciou po častiach:
.
takže,

Výrazy využívajúce komplexné čísla

Zvážte funkciu komplexnej premennej z:
.
Vyjadrime komplexnú premennú z cez modul r a argument φ :
.
Pomocou vlastností logaritmu máme:
.
Alebo
.
Argument φ nie je jednoznačne definovaný. Ak dáte
, kde n je celé číslo,
bude to rovnaké číslo pre rôzne n.

Preto prirodzený logaritmus ako funkcia komplexnej premennej nie je funkciou s jednou hodnotou.

Rozšírenie výkonového radu

Keď dôjde k expanzii:

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.

hlavné vlastnosti.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

rovnaké dôvody

Log6 4 + Log6 9.

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme.

Príklady riešenia logaritmov

Čo ak je základom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x >

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Prechod na nový základ

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Pozri tiež:

Základné vlastnosti logaritmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent sa rovná 2,7 a dvojnásobku roku narodenia Leva Nikolajeviča Tolstého.

Základné vlastnosti logaritmov

Keď poznáte toto pravidlo, budete poznať presnú hodnotu exponenta aj dátum narodenia Leva Tolstého.

Príklady pre logaritmy

Logaritmické výrazy

Príklad 1
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Pomocou vlastností 3.5 vypočítame

2.

3.

4. Kde .

Príklad 2. Nájdite x ak

Príklad 3. Nech je uvedená hodnota logaritmov

Vypočítajte log(x), ak

Základné vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako všetky čísla, sa dajú sčítať, odčítať a transformovať všetkými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.

Tieto pravidlá určite musíte poznať – bez nich sa nedá vyriešiť ani jeden vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakými základňami: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel sa rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: kľúčový moment Tu - rovnaké dôvody. Ak sú dôvody iné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz aj keď sa jeho jednotlivé časti nepočítajú (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Keďže logaritmy majú rovnaké základy, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Základy sú opäť rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré nie sú vypočítané samostatne. Ale po transformáciách sa ukážu celkom normálne čísla. Mnohé sú postavené na tejto skutočnosti testovacie papiere. Áno, na Jednotnej štátnej skúške sa so všetkou vážnosťou (niekedy prakticky bez zmien) ponúkajú výrazy podobné testom.

Extrahovanie exponentu z logaritmu

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje prvé dve. Je však lepšie si to zapamätať - v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak , t.j. Čísla pred znamienkom logaritmu môžete zadať do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme sa stupňa v argumente pomocou prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že menovateľ obsahuje logaritmus, ktorého základom a argumentom sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že posledný príklad si vyžaduje určité objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom.

Logaritmické vzorce. Logaritmické riešenia príkladov.

Základ a argument tam stojaceho logaritmu sme prezentovali vo forme mocnin a vyňali exponenty - dostali sme „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ aj menovateľ obsahujú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa aj stalo. Výsledkom bola odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú dôvody iné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na nový základ. Sformulujme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Konkrétne, ak nastavíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus sa objaví v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka vyskytujú v konvenčných číselné výrazy. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do novej nadácie. Pozrime sa na pár z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov obsahujú presné mocniny. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz „otočme“ druhý logaritmus:

Keďže sa súčin pri preskupovaní faktorov nemení, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu. V tomto prípade nám pomôžu nasledujúce vzorce:

V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Tak sa to volá: .

Čo sa vlastne stane, ak sa číslo b zvýši na takú mocninu, že číslo b s touto mocninou dáva číslo a? Správne: výsledkom je rovnaké číslo a. Ešte raz si pozorne prečítajte tento odsek – veľa ľudí sa na ňom zasekne.

Rovnako ako vzorce na prechod na novú základňu, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - jednoducho vzal druhú mocninu zo základu a argumentu logaritmu. Ak vezmeme do úvahy pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom, dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré možno len ťažko nazvať vlastnosťami – sú skôr dôsledkom definície logaritmu. Neustále sa objavujú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a tejto samotnej základne sa rovná jednej.
2. loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovná nule! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

Pozri tiež:

Logaritmus b na základ a označuje výraz. Vypočítať logaritmus znamená nájsť mocninu x (), pri ktorej je splnená rovnosť

Základné vlastnosti logaritmu

Je potrebné poznať vyššie uvedené vlastnosti, pretože takmer všetky problémy a príklady súvisiace s logaritmami sú riešené na ich základe. Oddych exotické vlastnosti možno odvodiť matematickou manipuláciou týchto vzorcov

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri výpočte vzorca pre súčet a rozdiel logaritmov (3.4) narazíte pomerne často. Ostatné sú trochu zložité, ale v mnohých úlohách sú nevyhnutné na zjednodušenie zložitých výrazov a výpočet ich hodnôt.

Bežné prípady logaritmov

Niektoré z bežných logaritmov sú tie, v ktorých je základ dokonca desať, exponenciálny alebo dva.
Logaritmus na základ desať sa zvyčajne nazýva desiatkový logaritmus a jednoducho sa označuje lg(x).

Z nahrávky je zrejmé, že základy nie sú napísané v nahrávke. Napríklad

Prirodzený logaritmus je logaritmus, ktorého základom je exponent (označený ln(x)).

Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent sa rovná 2,7 a dvojnásobku roku narodenia Leva Nikolajeviča Tolstého. Keď poznáte toto pravidlo, budete poznať presnú hodnotu exponenta aj dátum narodenia Leva Tolstého.

A ďalší dôležitý logaritmus k základu dva je označený

Derivácia logaritmu funkcie sa rovná jednej delenej premennou

Integrálny alebo primitívny logaritmus je určený vzťahom

Daný materiál vám postačí na riešenie širokej triedy problémov súvisiacich s logaritmami a logaritmami. Aby som vám pomohol pochopiť materiál, uvediem len niekoľko bežných príkladov z školské osnovy a univerzity.

Príklady pre logaritmy

Logaritmické výrazy

Príklad 1
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Pomocou vlastností 3.5 vypočítame

2.
Vlastnosťou rozdielu logaritmov máme

3.
Pomocou vlastností 3.5 nájdeme

4. Kde .

Zdanlivo zložitý výraz je zjednodušený na formu pomocou množstva pravidiel

Nájdenie hodnôt logaritmu

Príklad 2. Nájdite x ak

Riešenie. Pre výpočet použijeme na posledný termín 5 a 13 nehnuteľností

Dáme to na záznam a smútime

Keďže základy sú rovnaké, dávame rovnítko medzi výrazy

Logaritmy. Prvá úroveň.

Nech je uvedená hodnota logaritmov

Vypočítajte log(x), ak

Riešenie: Zoberme si logaritmus premennej na zápis logaritmu cez súčet jej členov

Toto je len začiatok nášho oboznámenia sa s logaritmami a ich vlastnosťami. Precvičte si výpočty, obohaťte svoje praktické zručnosti – vedomosti, ktoré získate, budete čoskoro potrebovať na riešenie logaritmických rovníc. Po preštudovaní základných metód riešenia takýchto rovníc rozšírime vaše vedomosti o ďalšiu rovnako dôležitú tému - logaritmické nerovnosti...

Základné vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako všetky čísla, sa dajú sčítať, odčítať a transformovať všetkými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.

Tieto pravidlá určite musíte poznať – bez nich sa nedá vyriešiť ani jeden vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakými základňami: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel sa rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: kľúčový bod je tu rovnaké dôvody. Ak sú dôvody iné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log6 4 + log6 9.

Keďže logaritmy majú rovnaké základy, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Základy sú opäť rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré nie sú vypočítané samostatne. Ale po transformáciách sa získajú úplne normálne čísla. Mnohé testy sú založené na tejto skutočnosti. Áno, na Jednotnej štátnej skúške sa so všetkou vážnosťou (niekedy prakticky bez zmien) ponúkajú výrazy podobné testom.

Extrahovanie exponentu z logaritmu

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak je základom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje prvé dve. Je však lepšie si to zapamätať - v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak , t.j. Čísla pred znamienkom logaritmu môžete zadať do samotného logaritmu.

Ako riešiť logaritmy

To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme sa stupňa v argumente pomocou prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že menovateľ obsahuje logaritmus, ktorého základom a argumentom sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že posledný príklad si vyžaduje určité objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Uviedli sme základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme mocničiek a vyňali sme exponenty - dostali sme „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ aj menovateľ obsahujú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa aj stalo. Výsledkom bola odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú dôvody iné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na nový základ. Sformulujme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Konkrétne, ak nastavíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus sa objaví v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do novej nadácie. Pozrime sa na pár z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov obsahujú presné mocniny. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz „otočme“ druhý logaritmus:

Keďže sa súčin pri preskupovaní faktorov nemení, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu. V tomto prípade nám pomôžu nasledujúce vzorce:

V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Tak sa to volá: .

Čo sa vlastne stane, ak sa číslo b zvýši na takú mocninu, že číslo b s touto mocninou dáva číslo a? Správne: výsledkom je rovnaké číslo a. Ešte raz si pozorne prečítajte tento odsek – veľa ľudí sa na ňom zasekne.

Rovnako ako vzorce na prechod na novú základňu, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - jednoducho vzal druhú mocninu zo základu a argumentu logaritmu. Ak vezmeme do úvahy pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom, dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré možno len ťažko nazvať vlastnosťami – sú skôr dôsledkom definície logaritmu. Neustále sa objavujú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a tejto samotnej základne sa rovná jednej.
2. loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovná nule! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

Jedným z prvkov algebry primitívnych úrovní je logaritmus. Názov pochádza z grécky jazyk od slova „číslo“ alebo „moc“ a znamená stupeň, o ktorý sa musí číslo v základe zvýšiť, aby sa zistilo konečné číslo.

Typy logaritmov

• log a b – logaritmus čísla b so základom a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – desiatkový logaritmus (logaritmus so základom 10, a = 10);
• ln b – prirodzený logaritmus (logaritmus k základu e, a = e).

Ako vyriešiť logaritmy?

Logaritmus b na základ a je exponent, ktorý vyžaduje, aby sa b zvýšilo na základ a. Získaný výsledok sa vyslovuje takto: „logaritmus b na základ a“. Riešením logaritmických problémov je, že musíte zo zadaných čísel určiť danú mocninu v číslach. Existuje niekoľko základných pravidiel na určenie alebo riešenie logaritmu, ako aj na prevod samotného zápisu. Pomocou nich sa riešia logaritmické rovnice, nachádzajú sa derivácie, riešia sa integrály a vykonáva sa mnoho ďalších operácií. V zásade je riešením samotného logaritmu jeho zjednodušený zápis. Nižšie sú uvedené základné vzorce a vlastnosti:

Pre akékoľvek a ; a > 0; a ≠ 1 a pre ľubovoľné x; y > 0.

• a log a b = b – základná logaritmická identita
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, pre k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – vzorec pre prechod na nový základ
• log a x = 1/log x a

Ako riešiť logaritmy - pokyny na riešenie krok za krokom

• Najprv si zapíšte požadovanú rovnicu.

Poznámka: ak je základný logaritmus 10, potom sa záznam skráti, čo vedie k desiatkovému logaritmu. Ak existuje prirodzené číslo e, zapíšeme ho a zredukujeme ho na prirodzený logaritmus. To znamená, že výsledkom všetkých logaritmov je mocnina, na ktorú sa základné číslo zvýši, aby sa získalo číslo b.

Priamo riešenie spočíva vo výpočte tohto stupňa. Pred riešením výrazu s logaritmom je potrebné ho zjednodušiť podľa pravidla, teda pomocou vzorcov. Hlavné identity nájdete tak, že sa v článku vrátite trochu späť.

Sčítanie a odčítanie logaritmov s dvoma rôzne čísla, ale s rovnakými základmi nahraďte jedným logaritmom súčin alebo delenie čísel b a c. V tomto prípade môžete použiť vzorec na prechod na inú základňu (pozri vyššie).

Ak používate výrazy na zjednodušenie logaritmu, je potrebné zvážiť určité obmedzenia. A to je: základ logaritmu a je iba kladné číslo, ale nie je rovné jednej. Číslo b, podobne ako a, musí byť väčšie ako nula.

Existujú prípady, keď zjednodušením výrazu nebudete môcť vypočítať logaritmus numericky. Stáva sa, že takýto výraz nedáva zmysel, pretože mnohé mocniny sú iracionálne čísla. Za tejto podmienky ponechajte mocninu čísla ako logaritmus.

Vo vzťahu k

možno nastaviť úlohu nájsť ľubovoľné z troch čísel z ďalších dvoch daných. Ak je dané a a potom N, zistíme ich umocnením. Ak N a potom a sú dané prevzatím odmocniny zo stupňa x (alebo jeho umocnením). Teraz zvážte prípad, keď za predpokladu a a N potrebujeme nájsť x.

Nech je číslo N kladné: číslo a je kladné a nerovná sa jednej: .

Definícia. Logaritmus čísla N k základu a je exponent, na ktorý musí byť a umocnené, aby sa získalo číslo N; logaritmus je označený

V rovnosti (26.1) teda nájdeme exponent ako logaritmus N k základu a. Príspevky

majú rovnaký význam. Rovnosť (26.1) sa niekedy nazýva hlavnou identitou teórie logaritmov; v skutočnosti vyjadruje definíciu pojmu logaritmus. Autor: túto definíciu Základ logaritmu a je vždy kladný a odlišný od jednoty; logaritmické číslo N je kladné. Záporné čísla a nula nemajú logaritmy. Dá sa dokázať, že každé číslo s daným základom má dobre definovaný logaritmus. Preto rovnosť znamená . Všimnite si, že podmienka je tu nevyhnutná; inak by záver nebol opodstatnený, pretože rovnosť platí pre všetky hodnoty x a y.

Príklad 1. Nájdite

Riešenie. Ak chcete získať číslo, musíte zvýšiť základnú 2 na silu Preto.

Pri riešení takýchto príkladov si môžete robiť poznámky v nasledujúcom tvare:

Príklad 2. Nájdite .

Riešenie. Máme

V príkladoch 1 a 2 sme ľahko našli požadovaný logaritmus reprezentovaním logaritmického čísla ako mocniny základu s racionálnym exponentom. Vo všeobecnom prípade, napríklad pre atď., to nemožno urobiť, pretože logaritmus má iracionálnu hodnotu. Venujme pozornosť jednej otázke súvisiacej s týmto tvrdením. V odseku 12 sme uviedli koncept možnosti určenia akejkoľvek skutočnej mocniny daného kladného čísla. Bolo to potrebné na zavedenie logaritmov, ktoré vo všeobecnosti môžu byť iracionálne čísla.

Pozrime sa na niektoré vlastnosti logaritmov.

Vlastnosť 1. Ak sa číslo a základ rovnajú, potom sa logaritmus rovná jednej, a naopak, ak sa logaritmus rovná jednej, potom sa číslo a základ rovnajú.

Dôkaz. Nech Podľa definície logaritmu máme a odkiaľ

Naopak, nech Potom podľa definície

Vlastnosť 2. Logaritmus jedna k ľubovoľnému základu sa rovná nule.

Dôkaz. Podľa definície logaritmu (nulová mocnina akejkoľvek kladnej bázy sa rovná jednej, pozri (10.1)). Odtiaľ

Q.E.D.

Platí aj opačné tvrdenie: ak , potom N = 1. V skutočnosti máme .

Pred formulovaním ďalšej vlastnosti logaritmov sa dohodneme, že dve čísla a a b ležia na rovnakej strane od tretieho čísla c, ak sú obe väčšie ako c alebo menšie ako c. Ak je jedno z týchto čísel väčšie ako c a druhé menšie ako c, potom povieme, že ležia spolu rôzne strany z dediny

Vlastnosť 3. Ak číslo a základ ležia na tej istej strane jednotky, potom je logaritmus kladný; Ak číslo a základ ležia na opačných stranách jednej, potom je logaritmus záporný.

Dôkaz vlastnosti 3 je založený na skutočnosti, že mocnina a je väčšia ako jedna, ak je základ väčší ako jeden a exponent je kladný alebo základ je menší ako jeden a exponent je záporný. Mocnina je menšia ako jedna, ak je základ väčší ako jedna a exponent je záporný alebo ak je základ menší ako jedna a exponent je kladný.

Je potrebné zvážiť štyri prípady:

Obmedzíme sa na analýzu prvého z nich, zvyšok si čitateľ zváži sám.

Nech potom v rovnosti exponent nemôže byť ani záporný, ani rovný nule, preto je kladný, t.

Príklad 3. Zistite, ktoré z nižšie uvedených logaritmov sú kladné a ktoré záporné:

Riešenie, a) keďže číslo 15 a základňa 12 sú umiestnené na rovnakej strane jednej;

b) keďže 1000 a 2 sú umiestnené na jednej strane jednotky; v tomto prípade nie je dôležité, aby bol základ väčší ako logaritmické číslo;

c) keďže 3,1 a 0,8 ležia na opačných stranách jednoty;

G); prečo?

d) ; prečo?

Nasledujúce vlastnosti 4-6 sa často nazývajú pravidlá logaritmácie: umožňujú, poznajúc logaritmy niektorých čísel, nájsť logaritmy ich súčinu, kvocient a stupeň každého z nich.

Vlastnosť 4 (pravidlo logaritmu súčinu). Logaritmus súčinu niekoľkých kladných čísel k danému základu rovná súčtu logaritmy týchto čísel na rovnaký základ.

Dôkaz. Nech sú dané čísla kladné.

Pre logaritmus ich súčinu napíšeme rovnosť (26.1), ktorá definuje logaritmus:

Odtiaľto nájdeme

Porovnaním exponentov prvého a posledného výrazu získame požadovanú rovnosť:

Všimnite si, že podmienka je nevyhnutná; logaritmus súčinu dvoch záporné čísla dáva zmysel, ale v tomto prípade dostaneme

Vo všeobecnosti, ak je súčin viacerých faktorov kladný, potom sa jeho logaritmus rovná súčtu logaritmov absolútnych hodnôt týchto faktorov.

Vlastnosť 5 (pravidlo pre logaritmy kvocientov). Logaritmus kvocientu kladných čísel sa rovná rozdielu medzi logaritmami dividendy a deliteľa, berúc do úvahy rovnaký základ. Dôkaz. Dôsledne nachádzame

Q.E.D.

Vlastnosť 6 (pravidlo mocninového logaritmu). Logaritmus mocniny ľubovoľného kladného čísla sa rovná logaritmu tohto čísla vynásobenému exponentom.

Dôkaz. Napíšme znova hlavnú identitu (26.1) pre číslo:

Q.E.D.

Dôsledok. Logaritmus odmocniny kladného čísla sa rovná logaritmu radikálu deleného exponentom odmocniny:

Platnosť tohto následku možno preukázať predstavou, ako a použitím vlastnosti 6.

Príklad 4. Zoberte logaritmus na základ a:

a) (predpokladá sa, že všetky hodnoty b, c, d, e sú kladné);

b) (predpokladá sa, že ).

Riešenie, a) V tomto výraze je vhodné prejsť na zlomkové mocniny:

Na základe rovnosti (26,5)-(26,7) môžeme teraz napísať:

Všimli sme si, že s logaritmami čísel sa vykonávajú jednoduchšie operácie ako so samotnými číslami: pri násobení čísel sa ich logaritmy sčítajú, pri delení sa odčítajú atď.

Preto sa vo výpočtovej praxi používajú logaritmy (pozri odsek 29).

Inverzná akcia logaritmu sa nazýva potenciácia, konkrétne: potenciácia je akcia, pri ktorej sa z daného logaritmu čísla zistí samotné číslo. Potenciácia v podstate nie je žiadna špeciálna akcia: ide o zvýšenie základne na mocninu (rovnajúcu sa logaritmu čísla). Pojem "potenciácia" možno považovať za synonymum pojmu "umocnenie".

Pri potenciácii treba použiť pravidlá inverzné k pravidlám logaritmácie: nahradiť súčet logaritmov logaritmom súčinu, rozdiel logaritmov logaritmom kvocientu atď. Najmä ak je v popredí faktor znamienka logaritmu, potom sa musí pri potenciácii preniesť na stupne exponentov pod znamienko logaritmu.

Príklad 5. Nájdite N, ak je to známe

Riešenie. V súvislosti s práve uvedeným pravidlom potenciácie prenesieme faktory 2/3 a 1/3 stojace pred znamienkami logaritmov na pravej strane tejto rovnosti do exponentov pod znamienkami týchto logaritmov; dostaneme

Teraz nahradíme rozdiel logaritmov logaritmom kvocientu:

aby sme získali posledný zlomok v tomto reťazci rovnosti, oslobodili sme predchádzajúci zlomok od iracionality v menovateli (klauzula 25).

Vlastnosť 7. Ak je základňa väčšia ako jedna, tak väčšie číslo má väčší logaritmus (a menšie číslo má menší), ak je základ menší ako jedna, potom väčšie číslo má menší logaritmus (a menšie číslo má väčší).

Táto vlastnosť je tiež formulovaná ako pravidlo pre logaritmy nerovností, ktorých obe strany sú kladné:

Pri logaritmovaní nerovností so základom väčším ako jedna sa znamienko nerovnosti zachová a pri logaritmovaní so základom menším ako jedna sa znamienko nerovnosti zmení na opačné (pozri aj odsek 80).

Dôkaz je založený na vlastnostiach 5 a 3. Uvažujme prípad, keď If , then a logaritmovaním dostaneme

(a a N/M ležia na rovnakej strane jednoty). Odtiaľ

V nasledujúcom prípade na to čitateľ príde sám.

Vyplýva to z jeho definície. A teda logaritmus čísla b založené na A je definovaný ako exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť a získať číslo b(logaritmus existuje len pre kladné čísla).

Z tejto formulácie vyplýva, že výpočet x=log a b, je ekvivalentné riešeniu rovnice a x = b. Napríklad, log 2 8 = 3 pretože 8 = 2 3 . Formulácia logaritmu umožňuje zdôvodniť, že ak b = a c, potom logaritmus čísla b založené na a rovná sa s. Je tiež zrejmé, že téma logaritmov úzko súvisí s témou mocniny čísla.

S logaritmami, ako s akýmikoľvek číslami, môžete operácie sčítania, odčítania a transformovať všetkými možnými spôsobmi. Ale vzhľadom na to, že logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, platia tu ich vlastné špeciálne pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.

Sčítanie a odčítanie logaritmov.

Zoberme si dva logaritmy s rovnakými základňami: prihlásiť sa x A prihlásiť sa y. Potom je možné vykonávať operácie sčítania a odčítania:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = prihlásiť sa x 1 + prihlásiť sa x 2 + prihlásiť sa x 3 + ... + log a x k.

Od logaritmická kvocientová veta Je možné získať ešte jednu vlastnosť logaritmu. Je všeobecne známe, že log a 1 = 0 teda

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

To znamená, že existuje rovnosť:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmy dvoch recipročných čísel z rovnakého dôvodu sa budú navzájom líšiť výlučne znakom. Takže:

Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1/125 = -log 5 125.