Ako faktorizovať kvadratický trinom: vzorec. Štvorcový trojčlen. Rozdelenie kvadratického trinomu

Rozšírenie polynómov na získanie produktu sa niekedy môže zdať mätúce. Ale nie je to také ťažké, ak pochopíte proces krok za krokom. Článok podrobne popisuje, ako faktorizovať kvadratický trinom.

Mnoho ľudí nerozumie tomu, ako vypočítať štvorcovú trojčlenku a prečo sa to robí. Spočiatku sa to môže zdať ako zbytočné cvičenie. Ale v matematike sa nič nerobí pre nič za nič. Transformácia je potrebná na zjednodušenie vyjadrenia a zjednodušenia výpočtu.

Polynóm v tvare – ax²+bx+c, nazývaný kvadratický trinom. Výraz „a“ musí byť záporný alebo kladný. V praxi sa tento výraz nazýva kvadratická rovnica. Preto to niekedy hovoria inak: ako sa rozložiť kvadratická rovnica.

Zaujímavé! Polynóm sa nazýva štvorec kvôli jeho najväčšiemu stupňu, štvorcu. A trojčlenka - kvôli 3 komponentom.

Niektoré ďalšie typy polynómov:

• lineárny binomický (6x+8);
• kubický kvadrinom (x³+4x²-2x+9).

Rozdelenie kvadratického trinomu

Po prvé, výraz sa rovná nule, potom musíte nájsť hodnoty koreňov x1 a x2. Nemusí tam byť žiadne korene, môže existovať jeden alebo dva korene. Prítomnosť koreňov je určená diskriminantom. Musíte poznať jeho vzorec naspamäť: D=b²-4ac.

Ak je výsledok D negatívny, neexistujú žiadne korene. Ak je kladný, existujú dva korene. Ak je výsledok nula, koreň je jedna. Korene sa tiež vypočítajú pomocou vzorca.

Ak je pri výpočte diskriminantu výsledok nula, môžete použiť ktorýkoľvek zo vzorcov. V praxi sa vzorec jednoducho skráti: -b / 2a.

Vzorce pre rôzne významy diskriminátory sa líšia.

Ak je D kladné:

Ak je D nula:

Online kalkulačky

Na internete existuje online kalkulačka. Môže sa použiť na vykonanie faktorizácie. Niektoré zdroje poskytujú možnosť prezrieť si riešenie krok za krokom. Takéto služby pomáhajú lepšie porozumieť téme, no treba sa ju snažiť dobre pochopiť.

Užitočné video: Faktorizácia kvadratického trinomu

Príklady

Pozývame vás pozrieť jednoduché príklady, ako faktorizovať kvadratickú rovnicu.

Príklad 1

To jasne ukazuje, že výsledkom sú dve x, pretože D je kladné. Je potrebné ich nahradiť do vzorca. Ak sa ukáže, že korene sú negatívne, znamienko vo vzorci sa zmení na opak.

Poznáme vzorec na rozklad kvadratického trinómu: a(x-x1)(x-x2). Hodnoty vložíme do zátvoriek: (x+3)(x+2/3). V mocnine nie je žiadne číslo pred pojmom. To znamená, že tam je jeden, ide dole.

Príklad 2

Tento príklad jasne ukazuje, ako vyriešiť rovnicu, ktorá má jeden koreň.

Výslednú hodnotu dosadíme:

Príklad 3

Dané: 5x²+3x+7

Najprv si vypočítajme diskriminant, ako v predchádzajúcich prípadoch.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminant je záporný, čo znamená, že neexistujú žiadne korene.

Po obdržaní výsledku by ste mali otvoriť zátvorky a skontrolovať výsledok. Mal by sa objaviť pôvodný trojčlen.

Alternatívne riešenie

Niektorí ľudia sa nikdy nedokázali spriateliť s diskriminátorom. Existuje ďalší spôsob rozkladu kvadratického trinomu. Pre pohodlie je metóda znázornená na príklade.

Dané: x²+3x-10

Vieme, že by sme mali dostať 2 zátvorky: (_)(_). Keď výraz vyzerá takto: x²+bx+c, na začiatok každej zátvorky vložíme x: (x_)(x_). Zvyšné dve čísla sú súčin, ktorý dáva „c“, t.j. v tomto prípade -10. Jediný spôsob, ako zistiť, o aké čísla ide, je výber. Nahradené čísla musia zodpovedať zvyšnému termínu.

Napríklad vynásobením nasledujúcich čísel získate -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nie
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nie
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nie
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Pasuje.

To znamená, že transformácia výrazu x2+3x-10 vyzerá takto: (x-2)(x+5).

Dôležité! Mali by ste byť opatrní, aby ste si nepomýlili znamenia.

Rozšírenie komplexného trinomu

Ak je „a“ väčšie ako jedna, začínajú ťažkosti. Ale všetko nie je také ťažké, ako sa zdá.

Ak chcete faktorizovať, musíte najprv zistiť, či sa dá niečo vypočítať.

Napríklad pri výraze: 3x²+9x-30. Tu je číslo 3 vyňaté zo zátvoriek:

3(x²+3x-10). Výsledkom je už dobre známa trojčlenka. Odpoveď vyzerá takto: 3(x-2)(x+5)

Ako rozložiť, ak je výraz, ktorý je v štvorci, záporný? IN v tomto prípadeČíslo -1 je vyňaté zo zátvoriek. Napríklad: -x²-10x-8. Výraz potom bude vyzerať takto:

Schéma sa len málo líši od predchádzajúcej. Je tu len pár nových vecí. Povedzme, že je daný výraz: 2x²+7x+3. Odpoveď je tiež napísaná v 2 zátvorkách, ktoré je potrebné vyplniť (_)(_). V 2. zátvorke je napísané x a v 1. čo ostalo. Vyzerá to takto: (2x_) (x_). V opačnom prípade sa zopakuje predchádzajúca schéma.

Číslo 3 je dané číslami:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Rovnice riešime dosadením týchto čísel. Posledná možnosť je vhodná. To znamená, že transformácia výrazu 2x²+7x+3 vyzerá takto: (2x+1)(x+3).

Iné prípady

Nie vždy je možné previesť výraz. Pri druhej metóde nie je potrebné riešiť rovnicu. Ale možnosť transformácie výrazov na produkt sa kontroluje iba cez diskriminant.

Oplatí sa precvičiť riešenie kvadratických rovníc, aby pri používaní vzorcov nevznikali žiadne ťažkosti.

Užitočné video: faktorizácia trojčlenky

Záver

Môžete ho použiť akýmkoľvek spôsobom. Ale je lepšie cvičiť oboje, kým sa nestanú automatickými. Naučiť sa dobre riešiť kvadratické rovnice a faktorové polynómy je tiež potrebné pre tých, ktorí plánujú spojiť svoj život s matematikou. Na tom sú postavené všetky nasledujúce matematické témy.

Typ lekcie: lekciu upevňovania a systematizácie vedomostí.

Typ lekcie: Kontrola, hodnotenie a oprava vedomostí a metód konania.

Ciele:

• Vzdelávacie:

– rozvíjať u žiakov schopnosť súčiniť kvadratickú trojčlenku;
– upevňovanie vedomostí v procese riešenia rôznych úloh na zadanú tému;
– formovanie matematického myslenia;
– zvýšiť záujem o predmet v procese opakovania preberanej látky.

Vzdelávacie:

– podpora organizácie a koncentrácie;
– podporovať pozitívny vzťah k učeniu;
- pestovanie zvedavosti.

Vzdelávacie:

– rozvíjať schopnosť vykonávať sebakontrolu;
- rozvíjať schopnosť racionálne plánovať prácu;
– rozvoj samostatnosti a pozornosti.

Vybavenie: didaktický materiál na ústnu prácu, samostatná práca, testové úlohy na preverenie vedomostí, kartičky s domácou úlohou, učebnica algebry Yu.N. Makarycheva.

Plán lekcie.

Kroky lekcie	Čas, min	Techniky a metódy
I. Etapa aktualizácie vedomostí. Motivácia pre problém s učením	2	Rozhovor učiteľa
II. Hlavný obsah lekcie. Formovanie a upevňovanie študentského chápania vzorca na rozklad kvadratického trinomu.	10	Vysvetlenie učiteľa. Heuristický rozhovor
III. Formovanie zručností a schopností. Posilnenie naučeného materiálu	25	Riešenie problémov. Odpovede na otázky študentov
IV. Testovanie získavania vedomostí. Reflexia	5	Správa učiteľa. Študentská správa
V. Domáca úloha	3	Úloha na kartách

Počas vyučovania

I. Etapa aktualizácie vedomostí. Motivácia výchovného problému.

Organizovanie času.

Dnes v lekcii zovšeobecníme a systematizujeme poznatky na tému: „Faktorizácia kvadratického trinomu“. Pri vykonávaní rôznych cvičení by ste si mali všimnúť body, ktorým musíte venovať osobitnú pozornosť pri riešení rovníc a praktických úloh. To je veľmi dôležité pri príprave na skúšku.
Zapíšte si tému hodiny: „Faktoring kvadratického trinomu. Riešenie príkladov."

II. Hlavný obsah lekcie. Formovanie a upevňovanie študentského chápania vzorca na rozklad kvadratického trinomu.

Ústna práca.

– Pre úspešné vynásobenie kvadratického trinomu si musíte zapamätať vzorec na hľadanie diskriminantu aj vzorec na hľadanie koreňov kvadratickej rovnice, vzorec na faktorizáciu kvadratického trinomu a aplikovať ich v praxi.

1. Pozrite si karty „Pokračovať alebo rozbaliť výpis“.

2. Pozrite sa na tabuľu.

1. Ktorý z navrhnutých polynómov nie je kvadratický?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Uveďte definíciu kvadratického trinomu. Definujte odmocninu štvorcového trojčlenu.

2. Ktorý vzorec nie je vzorcom na výpočet koreňov kvadratickej rovnice?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – b+ ;
3) X 1,2 = .

3. Nájdite koeficienty a, b, c kvadratického trinomu – 2 X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Ktorý zo vzorcov je vzorcom na výpočet koreňov kvadratickej rovnice

x 2 +px+q= 0 podľa Vietovej vety?

1) X 1 +x 2 = p,
X 1 · X 2 = q.

2) X 1 +x 2 = –p,
X 1 · X 2 = q.

3)X 1 +x 2 = –p,
X 1 · X 2 = – q.

5. Rozviňte kvadratický trinom X 2 – 11x + 18 pre multiplikátory.

odpoveď: ( X – 2)(X – 9)

6. Rozviňte kvadratický trinom pri 2 – 9y + 20 pre multiplikátory

odpoveď: ( X – 4)(X – 5)

III. Formovanie zručností a schopností. Konsolidácia študovaného materiálu.

1. Faktor kvadratického trinomu:
a) 3 X 2 – 8X + 2;
b) 6 X 2 – 5X + 1;
o 3 X 2 + 5X – 2;
d) -5 X 2 + 6X – 1.

2. Faktoring nám pomáha pri redukcii zlomkov.

3. Bez použitia koreňového vzorca nájdite korene kvadratického trinomu:
A) X 2 + 3X + 2 = 0;
b) X 2 – 9X + 20 = 0.

4. Zostavte kvadratickú trojčlenku, ktorej koreňmi sú čísla:
A) X 1 = 4; X 2 = 2;
b) X 1 = 3; X 2 = -6;

Samostatná práca.

Dokončite úlohu nezávisle pomocou možností a potom skontrolujte. Prvé dve úlohy vyžadujú odpoveď „Áno“ alebo „Nie“. Z každej možnosti je vyvolaný jeden žiak (pracujú na chlopniach tabule). Po dokončení nezávislej práce na doske sa vykoná spoločná kontrola riešenia. Študenti hodnotia svoju prácu.

1. možnosť:

1. D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Číslo 2 je koreňom rovnice x 2 + 3x – 10 = 0.

3. Faktor kvadratického trinomu 6 X 2 – 5X + 1;

2. možnosť:

1. D>0. Rovnica má 2 korene.

2.Číslo 3 je koreňom kvadratickej rovnice x 2 – x – 12 = 0.

3. Faktor kvadratického trinomu 2 X 2 – 5x + 3

IV. Testovanie získavania vedomostí. Reflexia.

– Hodina ukázala, že poznáte základný teoretický materiál tejto témy. Zhrnuli sme poznatky

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromaždiť rôzne informácie, vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je audit, analýza údajov a rôzne štúdie s cieľom zlepšiť služby, ktoré poskytujeme a poskytnúť vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym konaním, súdnym konaním a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Štvorcový trojčlen sekera 2 + bx + c možno rozdeliť na lineárne faktory pomocou vzorca:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1) (x-x 2), Kde x 1, x 2- korene kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0.

Rozložte kvadratický trinom na lineárne faktory:

Príklad 1). 2x 2-7x-15.

Riešenie. 2x 2-7x-15=0.

a=2; b=-7; c= -15. Toto je všeobecný prípad pre úplnú kvadratickú rovnicu. Nájdenie diskriminujúceho D.

D=b2-4ac=(-7)2-4∙2∙(-15)=49+120=169=132 >0; 2 skutočné korene.

Aplikujme vzorec: ax 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2).

2x 2 -7x-15=2 (x+1,5)(x-5)=(2x+3)(x-5). Predstavili sme túto trojčlenku 2x 2-7x-15 2x+3 A x-5.

odpoveď: 2x 2-7x-15= (2x+3)(x-5).

Príklad 2). 3x 2 + 2x-8.

Riešenie. Poďme nájsť korene kvadratickej rovnice:

a=3; b=2;c= -8. Toto je špeciálny prípad pre úplnú kvadratickú rovnicu s párnym druhým koeficientom ( b=2). Nájdenie diskriminujúceho D 1.

Aplikujme vzorec: ax 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2).

Zaviedli sme trojčlenku 3x 2 + 2x-8 ako súčin dvojčlenov x+2 A 3x-4.

odpoveď: 3x 2 + 2x-8 =(x+2)(3x-4).

Príklad 3). 5x 2-3x-2.

Riešenie. Poďme nájsť korene kvadratickej rovnice:

a=5; b=-3; c=-2. Toto je špeciálny prípad pre úplnú kvadratickú rovnicu s nasledujúcou podmienkou: a+b+c=0(5-3-2=0). V takých prípadoch prvý koreň sa vždy rovná jednej a druhý koreň rovná sa podielu voľného termínu deleného prvým koeficientom:

Aplikujme vzorec: ax 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2).

5x 2 -3x-2=5 (x-1)(x+0,4)=(x-1)(5x+2). Zaviedli sme trojčlenku 5x 2-3x-2 ako súčin dvojčlenov x-1 A 5x+2.

odpoveď: 5x 2-3x-2= (x-1)(5x+2).

Príklad 4). 6x 2 +x-5.

Riešenie. Poďme nájsť korene kvadratickej rovnice:

a=6; b=1; c= -5. Toto je špeciálny prípad pre úplnú kvadratickú rovnicu s nasledujúcou podmienkou: a-b+c=0(6-1-5=0). V takých prípadoch prvý koreň sa vždy rovná mínus jednej a druhý koreň sa rovná mínus podielu delenia voľného termínu prvým koeficientom:

Aplikujme vzorec: ax 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2).

Zaviedli sme trojčlenku 6x 2 +x-5 ako súčin dvojčlenov x+1 A 6x-5.

odpoveď: 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).

Príklad 5). x 2 -13x+12.

Riešenie. Poďme nájsť korene danej kvadratickej rovnice:

x 2 -13x+12=0. Skontrolujeme, či sa dá aplikovať. Aby sme to urobili, nájdime diskriminant a uistite sa, že ide o dokonalú druhú mocninu celého čísla.

a=1; b=-13; c=12. Hľadanie diskriminujúceho D.

D=b2-4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

Aplikujme Vietovu vetu: súčet koreňov sa musí rovnať druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa musí rovnať voľnému členu:

xi + x2 = 13; x 1 ∙ x 2 = 12. Je zrejmé, že x 1 = 1; x 2 = 12.

Aplikujme vzorec: ax 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2).

x 2-13x+12=(x-1)(x-12).

odpoveď: x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).

Príklad 6). x 2-4x-6.

Riešenie. Poďme nájsť korene danej kvadratickej rovnice:

a=1; b=-4; c= -6. Druhý koeficient je párne číslo. Nájdite diskriminant D 1.

Diskriminant nie je dokonalá druhá mocnina celého čísla, preto nám Vietova veta nepomôže a korene nájdeme pomocou vzorcov pre párny druhý koeficient:

Aplikujme vzorec: ax 2 +bx+c=a (x-x 1) (x-x 2) a napíšte odpoveď.

Nájdite súčet a súčin koreňov kvadratickej rovnice. Pomocou vzorcov (59.8) pre korene vyššie uvedenej rovnice získame

(prvá rovnosť je zrejmá, druhá sa získa po jednoduchom výpočte, ktorý čitateľ vykoná samostatne; vhodné je použiť vzorec na vynásobenie súčtu dvoch čísel ich rozdielom).

Dokázalo sa nasledovné

Vietov teorém. Súčet koreňov vyššie uvedenej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a ich súčin sa rovná voľnému členu.

V prípade neredukovanej kvadratickej rovnice by sa mali výrazy vzorca (60.1) nahradiť vzorcami (60.1) a mať tvar

Príklad 1. Zostavte kvadratickú rovnicu pomocou jej koreňov:

Riešenie a) Zistíme, že rovnica má tvar

Príklad 2. Nájdite súčet druhých mocnín koreňov rovnice bez riešenia samotnej rovnice.

Riešenie. Súčet a súčin koreňov sú známe. Predstavme súčet druhých mocnín vo forme

a dostaneme

Zo vzorcov Vieta je ľahké získať vzorec

vyjadrujúce pravidlo pre rozklad kvadratického trinomu.

Vskutku, napíšme do formulára vzorce (60.2).

Teraz máme

čo sme potrebovali získať.

Vyššie uvedené odvodenie Vietových vzorcov pozná čitateľ z kurzu algebry na strednej škole. Ďalší záver možno urobiť pomocou Bezoutovej vety a faktorizácie polynómu (odseky 51, 52).

Nech sú potom korene rovnice všeobecné pravidlo(52.2) trojčlenka na ľavej strane rovnice je rozložená na faktor:

Otvorením zátvoriek na pravej strane získame túto identickú rovnosť

a porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninoch dostaneme vzorec Vieta (60.1).

Výhodou tohto odvodenia je, že sa dá použiť aj na rovnice vyššie stupne s cieľom získať výrazy pre koeficienty rovnice cez jej korene (bez toho, aby sme našli samotné korene!). Napríklad, ak korene danej kubickej rovnice

podstatou je, že podľa rovnosti (52.2) nájdeme

(v našom prípade otvorenie zátvoriek na pravej strane rovnosti a zber koeficientov pre rôzne stupne dostaneme