Ako riešiť nerovnice logaritmov s rôznymi základňami. Komplexné logaritmické nerovnosti

Často pri rozhodovaní logaritmické nerovnosti, sú problémy s premenlivým logaritmickým základom. Teda nerovnosť formy

je štandardná školská nerovnosť. Na jeho vyriešenie sa spravidla používa prechod na ekvivalentnú sadu systémov:

Nevýhoda túto metódu je potreba vyriešiť sedem nerovností, nepočítajúc dva systémy a jeden agregát. Už pri týchto kvadratických funkciách môže riešenie populácie zabrať veľa času.

Je možné navrhnúť alternatívny, časovo menej náročný spôsob riešenia tejto štandardnej nerovnosti. Aby sme to dosiahli, berieme do úvahy nasledujúcu vetu.

Veta 1. Nech je spojitá rastúca funkcia na množine X. Potom na tejto množine bude znamienko prírastku funkcie zhodné so znamienkom prírastku argumentu, t.j. , Kde .

Poznámka: ak na množine X funguje súvislé klesanie, potom .

Vráťme sa k nerovnosti. Prejdime k desiatkovému logaritmu (môžete prejsť na ľubovoľný s konštantným základom väčším ako jedna).

Teraz môžete použiť vetu a všímať si prírastok funkcií v čitateli a v menovateli. Takže je to pravda

Výsledkom je, že počet výpočtov vedúcich k odpovedi je približne polovičný, čo šetrí nielen čas, ale umožňuje aj potenciálne menej aritmetických a neopatrných chýb.

Príklad 1

Porovnaním s (1) zistíme , , .

Prejdeme na (2) budeme mať:

Príklad 2

Porovnaním s (1) nájdeme , , .

Prejdeme na (2) budeme mať:

Príklad 3

Pretože ľavá strana nerovnosti – zvyšovanie funkcie pri a , potom bude odpovedí veľa.

Množstvo príkladov, v ktorých je možné použiť tému 1, možno jednoducho rozšíriť zohľadnením témy 2.

Pustite na scénu X sú definované funkcie , , , a na tejto množine sa znamienka a zhodujú, t.j. , potom to bude spravodlivé.

Príklad 4.

Príklad 5.

Pri štandardnom prístupe je príklad riešený podľa nasledujúcej schémy: súčin je menší ako nula, keď faktory majú rôzne znamienka. Tie. uvažuje sa o množine dvoch systémov nerovností, v ktorých, ako už bolo naznačené na začiatku, sa každá nerovnosť rozpadá na ďalších sedem.

Ak vezmeme do úvahy vetu 2, potom každý z faktorov, berúc do úvahy (2), môže byť nahradený inou funkciou, ktorá má v tomto príklade rovnaké znamienko O.D.Z.

Metóda nahradenia prírastku funkcie prírastkom argumentu, berúc do úvahy vetu 2, sa ukazuje ako veľmi vhodná pri riešení typických problémov C3 Unified State Examination.

Príklad 6.

Príklad 7.

. Označme . Dostaneme

. Všimnite si, že nahradenie znamená: . Keď sa vrátime k rovnici, dostaneme .

Príklad 8.

V teorémoch, ktoré používame, neexistujú žiadne obmedzenia na triedy funkcií. V tomto článku boli ako príklad použité vety na riešenie logaritmických nerovností. Nasledujúcich niekoľko príkladov demonštruje prísľub metódy na riešenie iných typov nerovností.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

  • Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromaždiť rôzne informácie, vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

  • Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
  • Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
  • Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je audit, analýza údajov a rôzne štúdie s cieľom zlepšiť služby, ktoré poskytujeme a poskytnúť vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
  • Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

  • V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym konaním, súdnym konaním a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
  • V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

LOGARITMICKÉ NEROVNOSTI V POUŽÍVANÍ

Sečin Michail Alexandrovič

Malá akadémia vied pre študentov Kazašskej republiky „Iskatel“

MBOU "Sovetskaya Stredná škola č. 1", 11. ročník, mesto. Sovetsky Sovetsky okres

Gunko Lyudmila Dmitrievna, učiteľka Mestskej rozpočtovej vzdelávacej inštitúcie „Sovetskaja stredná škola č. 1“

Sovetský okres

Cieľ práce:štúdium mechanizmu riešenia logaritmických nerovností C3 pomocou neštandardných metód, identifikácia zaujímavosti logaritmus

Predmet štúdia:

3) Naučte sa riešiť špecifické logaritmické nerovnosti C3 pomocou neštandardných metód.

Výsledky:

Obsah

Úvod ………………………………………………………………………………………………. 4

Kapitola 1. História problému………………………………………………………...5

Kapitola 2. Zbierka logaritmických nerovností ………………………… 7

2.1. Ekvivalentné a zovšeobecnené prechody intervalová metóda…………… 7

2.2. Spôsob racionalizácie ……………………………………………………………… 15

2.3. Neštandardná substitúcia ........................................................................ ............... 22

2.4. Úlohy s pascami…………………………………………………………27

Záver……………………………………………………………………………… 30

Literatúra …………………………………………………………………………. 31

Úvod

Som v 11. ročníku a plánujem vstúpiť na univerzitu, kde je hlavným predmetom matematika. Preto veľa pracujem s problémami v časti C. V úlohe C3 potrebujem vyriešiť neštandardnú nerovnosť alebo systém nerovníc, zvyčajne súvisiaci s logaritmami. Pri príprave na skúšku som sa stretol s problémom nedostatku metód a techník na riešenie logaritmických nerovností skúšky ponúkaných v C3. Metódy, ktoré sa študujú v školské osnovy k tejto téme neposkytujú podklady pre riešenie úloh C3. Učiteľka matematiky mi navrhla, aby som pod jej vedením pracovala na úlohách C3 samostatne. Okrem toho ma zaujala otázka: stretávame sa v živote s logaritmami?

S ohľadom na to bola zvolená téma:

„Logaritmické nerovnosti v jednotnej štátnej skúške“

Cieľ práce:štúdium mechanizmu riešenia problémov C3 pomocou neštandardných metód, zisťovanie zaujímavých faktov o logaritme.

Predmet štúdia:

1) Nájdite potrebné informácie o neštandardných metódach riešenia logaritmických nerovností.

2) Nájdite ďalšie informácie o logaritmoch.

3) Naučte sa riešiť špecifické problémy C3 pomocou neštandardných metód.

Výsledky:

Praktický význam spočíva v rozšírení aparátu na riešenie úloh C3. Tento materiál možno použiť na niektorých hodinách, v krúžkoch a na voliteľných hodinách matematiky.

Produktom projektu bude kolekcia „C3 Logaritmické nerovnosti s riešeniami“.

Kapitola 1. Pozadie

Počas 16. storočia sa počet približných výpočtov rýchlo zvýšil, predovšetkým v astronómii. Zdokonaľovanie prístrojov, štúdium pohybov planét a iné práce si vyžadovali kolosálne, niekedy aj viacročné výpočty. Astronómia bola ohrozená skutočné nebezpečenstvo utápať sa v nenaplnených výpočtoch. Ťažkosti nastali v iných oblastiach, napríklad v poisťovníctve boli potrebné zložené úrokové tabuľky rôzne významy percent. Hlavnou ťažkosťou bolo násobenie, delenie viacciferné čísla, najmä goniometrické veličiny.

Objav logaritmov bol založený na vlastnostiach priebehu, ktoré boli dobre známe koncom 16. storočia. O súvislosti medzi členmi geometrickej postupnosti q, q2, q3, ... a aritmetická progresia ich ukazovatele sú 1, 2, 3,... Archimedes hovoril vo svojom „Psalmitis“. Ďalším predpokladom bolo rozšírenie pojmu stupňa na záporné a zlomkové exponenty. Mnohí autori poukázali na to, že násobenie, delenie, umocňovanie a odmocňovanie v geometrickej postupnosti korešpondujú v aritmetických – v rovnakom poradí – sčítaní, odčítaní, násobení a delení.

Tu bola myšlienka logaritmu ako exponentu.

V histórii vývoja doktríny logaritmov prešlo niekoľko etáp.

1. fáza

Logaritmy vynašiel najneskôr v roku 1594 nezávisle škótsky barón Napier (1550-1617) a o desať rokov neskôr švajčiarsky mechanik Bürgi (1552-1632). Obaja chceli poskytnúť nový, pohodlný spôsob aritmetických výpočtov, hoci k tomuto problému pristupovali rôznymi spôsobmi. Napier kinematicky vyjadril logaritmickú funkciu a vstúpil tak do novej oblasti teórie funkcií. Bürgi zostal na základe zvažovania diskrétnych postupov. Definícia logaritmu pre obe však nie je podobná tej modernej. Termín "logaritmus" (logaritmus) patrí Napierovi. Vznikol z kombinácie gréckych slov: logos - „vzťah“ a ariqmo – „číslo“, čo znamenalo „počet vzťahov“. Spočiatku Napier používal iný termín: numeri artificiales – „umelé čísla“, na rozdiel od numeri naturalts – „prirodzené čísla“.

V roku 1615, v rozhovore s Henrym Briggsom (1561-1631), profesorom matematiky na Gresh College v Londýne, Napier navrhol brať nulu ako logaritmus jednotky a 100 ako logaritmus desiatich, čiže to isté. vec, len 1. Takto boli vytlačené desiatkové logaritmy a prvé logaritmické tabuľky. Neskôr Briggsove tabuľky doplnil holandský kníhkupec a nadšenec matematiky Adrian Flaccus (1600-1667). Napier a Briggs, hoci prišli k logaritmom skôr ako všetci ostatní, publikovali svoje tabuľky neskôr ako ostatní - v roku 1620. Znaky log a Log zaviedol v roku 1624 I. Kepler. Termín „prirodzený logaritmus“ zaviedol Mengoli v roku 1659 a nasledoval ho N. Mercator v roku 1668 a londýnsky učiteľ John Speidel publikoval tabuľky prirodzených logaritmov čísel od 1 do 1000 pod názvom „New Logaritmy“.

Prvé logaritmické tabuľky boli publikované v ruštine v roku 1703. Ale vo všetkých logaritmických tabuľkách boli chyby vo výpočtoch. Prvé bezchybné tabuľky vyšli v roku 1857 v Berlíne, spracoval ich nemecký matematik K. Bremiker (1804-1877).

2. fáza

Ďalší rozvoj teórie logaritmov je spojený so širšou aplikáciou analytickej geometrie a infinitezimálneho počtu. V tom čase už spojenie medzi kvadratúrou rovnostrannej hyperboly a prirodzený logaritmus. Teória logaritmov tohto obdobia je spojená s menami mnohých matematikov.

Nemecký matematik, astronóm a inžinier Nikolaus Mercator v eseji

"Logarithmotechnics" (1668) uvádza sériu s expanziou ln(x+1) v

mocniny x:

Tento výraz presne zodpovedá jeho myšlienkovému pochodu, aj keď, samozrejme, nepoužil znaky d, ..., ale ťažkopádnejšiu symboliku. S objavom logaritmických radov sa zmenila technika výpočtu logaritmov: začali sa určovať pomocou nekonečných radov. Vo svojich prednáškach „Elementárna matematika s najvyšší bod videnie“, čítal v rokoch 1907-1908 F. Klein navrhol použiť vzorec ako východiskový bod pre konštrukciu teórie logaritmov.

3. fáza

Definícia logaritmickej funkcie ako inverznej funkcie

exponenciálny, logaritmus ako exponent daného základu

nebola formulovaná okamžite. Esej Leonharda Eulera (1707-1783)

"Úvod do analýzy infinitezimál" (1748) slúžil na ďalšie

vývoj teórie logaritmických funkcií. teda

Od prvého zavedenia logaritmov uplynulo 134 rokov

(počítajúc od roku 1614), než matematici dospeli k definícii

koncept logaritmu, ktorý je teraz základom školského kurzu.

Kapitola 2. Zbierka logaritmických nerovností

2.1. Ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov.

Ekvivalentné prechody

, ak a > 1

, ak 0 < а < 1

Zovšeobecnená intervalová metóda

Táto metóda je najuniverzálnejšia na riešenie nerovností takmer akéhokoľvek typu. Schéma riešenia vyzerá takto:

1. Preneste nerovnosť do tvaru, kde je funkcia na ľavej strane
a vpravo 0.

2. Nájdite doménu funkcie
.

3. Nájdite nuly funkcie
, teda vyriešiť rovnicu
(a riešenie rovnice je zvyčajne jednoduchšie ako riešenie nerovnice).

4. Nakreslite na číselnú os definičný obor a nuly funkcie.

5. Určte znamienka funkcie
na získaných intervaloch.

6. Vyberte intervaly, v ktorých funkcia nadobúda požadované hodnoty a zapíšte si odpoveď.

Príklad 1

Riešenie:

Aplikujme intervalovú metódu

kde

Pre tieto hodnoty sú všetky výrazy pod logaritmickými znamienkami kladné.

odpoveď:

Príklad 2

Riešenie:

1 spôsobom . ADL je určená nerovnosťou X> 3. Logaritmy X v základe 10 dostaneme

Posledná nerovnosť by sa dala vyriešiť aplikáciou pravidiel rozšírenia, t.j. porovnanie faktorov s nulou. Avšak v v tomto prípadeľahké určiť intervaly konštantného znamienka funkcie

preto je možné použiť intervalovú metódu.

Funkcia f(X) = 2X(X- 3,5) lgǀ X- 3ǀ je spojitá pri X> 3 a v bodoch mizne X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Určíme teda intervaly konštantného znamienka funkcie f(X):

odpoveď:

2. spôsob . Aplikujme myšlienky intervalovej metódy priamo na pôvodnú nerovnicu.

Ak to chcete urobiť, nezabudnite, že výrazy a b- a c a ( a - 1)(b- 1) mať jedno znamenie. Potom naša nerovnosť pri X> 3 sa rovná nerovnosti

alebo

Posledná nerovnosť sa rieši pomocou intervalovej metódy

odpoveď:

Príklad 3

Riešenie:

Aplikujme intervalovú metódu

odpoveď:

Príklad 4.

Riešenie:

Od 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pre všetky skutočné X, To

Na vyriešenie druhej nerovnice použijeme intervalovú metódu

V prvej nerovnosti vykonáme náhradu

potom sa dostaneme k nerovnosti 2y 2 - r - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те r, ktoré spĺňajú nerovnosť -0,5< r < 1.

Odkiaľ, pretože

dostaneme nerovnosť

ktorá sa vykonáva, keď X, za čo 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Teraz, keď vezmeme do úvahy riešenie druhej nerovnosti systému, konečne získame

odpoveď:

Príklad 5.

Riešenie:

Nerovnosť je ekvivalentom súboru systémov

alebo

Využime intervalovú metódu resp

Odpoveď:

Príklad 6.

Riešenie:

Nerovnosť rovná sa systém

Nechaj

Potom r > 0,

a prvá nerovnosť

systém má formu

alebo, odvíjanie

kvadratická trojčlenka podľa faktorov,

Aplikácia intervalovej metódy na poslednú nerovnosť,

vidíme, že jeho riešenia spĺňajú podmienku r> 0 bude všetko r > 4.

Pôvodná nerovnosť je teda ekvivalentná systému:

Takže riešenia nerovnosti sú všetky

2.2. Racionalizačná metóda.

Predtým metóda racionalizácia nerovnosti sa neriešila, nevedela. Toto je "nová moderna" efektívna metóda riešenia exponenciálnych a logaritmických nerovností“ (citát z knihy S.I. Kolesnikovej)
A aj keby ho učiteľ poznal, bol tu strach - pozná ho odborník na jednotnú štátnu skúšku a prečo ho nedávajú v škole? Boli situácie, keď učiteľ povedal študentovi: "Kde to máš? Sadni si - 2."
Teraz sa metóda všade propaguje. A pre odborníkov existuje usmernenia, priradený k tejto metóde a v riešení "Najkompletnejšie edície možností modelu..." C3 používa túto metódu.
NÁDHERNÁ METÓDA!

"Magický stôl"


V iných zdrojoch

Ak a >1 a b >1, potom log ab >0 a (a-1)(b-1)>0;

Ak a >1 a 0

ak 0<a<1 и b >1, potom log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

ak 0<a<1 и 00 a (a-1)(b-1)>0.

Prevedená úvaha je jednoduchá, ale výrazne zjednodušuje riešenie logaritmických nerovností.

Príklad 4.

log x (x 2 -3)<0

Riešenie:

Príklad 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤ log 2x (x 2 +x )

Riešenie:

Odpoveď. (0; 0,5) U.

Príklad 6.

Aby sme túto nerovnosť vyriešili, namiesto menovateľa napíšeme (x-1-1)(x-1) a namiesto čitateľa napíšeme súčin (x-1)(x-3-9 + x).


Odpoveď : (3;6)

Príklad 7.

Príklad 8.

2.3. Neštandardná substitúcia.

Príklad 1

Príklad 2

Príklad 3

Príklad 4.

Príklad 5.

Príklad 6.

Príklad 7.

log 4 (3 x -1) log 0,25

Urobme náhradu y=3 x -1; potom táto nerovnosť nadobudne podobu

Log 4 log 0,25
.

Pretože log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , potom poslednú nerovnosť prepíšeme ako 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Urobme náhradu t =log 4 y a získajme nerovnosť t 2 -2t +≥0, ktorej riešením sú intervaly - .

Aby sme teda našli hodnoty y, máme množinu dvoch jednoduchých nerovností
Riešením tejto množiny sú intervaly 0<у≤2 и 8≤у<+.

Pôvodná nerovnosť je teda ekvivalentná množine dvoch exponenciálnych nerovností,
teda agregáty

Riešením prvej nerovnosti tejto množiny je interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Pôvodná nerovnosť je teda splnená pre všetky hodnoty x z intervalov 0<х≤1 и 2≤х<+.

Príklad 8.

Riešenie:

Nerovnosť rovná sa systém

Riešením druhej nerovnosti definujúcej ODZ bude množina tých X,

pre ktoré X > 0.

Aby sme vyriešili prvú nerovnosť, vykonáme substitúciu

Potom dostaneme nerovnosť

alebo

Množina riešení poslednej nerovnosti sa nájde metódou

intervaly: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, dostaneme

alebo

Tých je veľa X, ktoré vyhovujú poslednej nerovnosti

patrí ODZ ( X> 0), preto je riešením systému,

a teda pôvodná nerovnosť.

odpoveď:

2.4. Úlohy s pascami.

Príklad 1

.

Riešenie. ODZ nerovnosti je všetky x spĺňajúce podmienku 0 . Preto všetky x sú z intervalu 0

Príklad 2

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Ide o to, že druhé číslo je zjavne väčšie ako

Záver

Nebolo ľahké nájsť konkrétne metódy na riešenie úloh C3 z veľkého množstva rôznych vzdelávacích zdrojov. V priebehu práce som mal možnosť študovať neštandardné metódy riešenia zložitých logaritmických nerovníc. Sú to: ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov, metóda racionalizácie , neštandardná substitúcia , úlohy s pascami na ODZ. Tieto metódy nie sú zahrnuté v školských osnovách.

Pomocou rôznych metód som vyriešil 27 nerovností navrhnutých na Jednotnej štátnej skúške v časti C, konkrétne C3. Tieto nerovnosti s riešeniami metódami tvorili základ zbierky „C3 Logaritmické nerovnosti s riešeniami“, ktorá sa stala projektovým produktom mojej činnosti. Potvrdila sa hypotéza, ktorú som si stanovil na začiatku projektu: Problémy C3 sa dajú efektívne vyriešiť, ak poznáte tieto metódy.

Okrem toho som objavil zaujímavé fakty o logaritmoch. Bolo pre mňa zaujímavé to urobiť. Moje projektové produkty budú užitočné pre študentov aj učiteľov.

Závery:

Cieľ projektu bol teda dosiahnutý a problém vyriešený. A získal som najkompletnejšie a najrozmanitejšie skúsenosti s projektovými aktivitami vo všetkých fázach práce. Pri práci na projekte som mal hlavný vývojový vplyv na mentálnu kompetenciu, činnosti súvisiace s logickými mentálnymi operáciami, rozvoj tvorivej kompetencie, osobnej iniciatívy, zodpovednosti, vytrvalosti a aktivity.

Záruka úspechu pri tvorbe výskumného projektu pre Získal som: významné školské skúsenosti, schopnosť získavať informácie z rôznych zdrojov, kontrolovať ich spoľahlivosť, zoraďovať ich podľa dôležitosti.

Okrem priamych predmetových vedomostí z matematiky som si rozšírila praktické zručnosti v oblasti informatiky, získala nové poznatky a skúsenosti z oblasti psychológie, nadviazala kontakty so spolužiakmi, naučila sa spolupracovať s dospelými. Počas aktivít projektu sa rozvíjali organizačné, intelektuálne a komunikatívne všeobecnovzdelávacie schopnosti.

Literatúra

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Systémy nerovností s jednou premennou (štandardné úlohy C3).

2. Malkova A. G. Príprava na jednotnú štátnu skúšku z matematiky.

3. Samarova S. S. Riešenie logaritmických nerovností.

4. Matematika. Zbierka tréningových prác spracovaná A.L. Semenov a I.V. Jaščenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-

Myslíte si, že do Jednotnej štátnej skúšky je ešte čas a stihnete sa pripraviť? Možno je to tak. Ale v každom prípade, čím skôr študent začne s prípravou, tým úspešnejšie skúšky zloží. Dnes sme sa rozhodli venovať článok logaritmickým nerovnostiam. Toto je jedna z úloh, ktorá znamená možnosť získať kredit navyše.

Už viete, čo je logaritmus? Naozaj dúfame. Ale aj keď na túto otázku nemáte odpoveď, nie je to problém. Pochopenie toho, čo je logaritmus, je veľmi jednoduché.

Prečo 4? Musíte zvýšiť číslo 3 na túto moc, aby ste dostali 81. Keď pochopíte princíp, môžete pristúpiť k zložitejším výpočtom.

Pred pár rokmi ste prešli nerovnosťami. A odvtedy sa s nimi v matematike neustále stretávate. Ak máte problémy s riešením nerovností, pozrite si príslušnú sekciu.
Teraz, keď sme sa zoznámili s pojmami jednotlivo, prejdime k ich všeobecnému zváženiu.

Najjednoduchšia logaritmická nerovnosť.

Najjednoduchšie logaritmické nerovnosti sa neobmedzujú len na tento príklad, existujú tri ďalšie, len s rôznymi znamienkami. Prečo je to potrebné? Aby sme lepšie pochopili, ako riešiť nerovnosti pomocou logaritmov. Teraz uveďme použiteľnejší príklad, stále celkom jednoduchý, zložité logaritmické nerovnosti si necháme na neskôr.

Ako to vyriešiť? Všetko to začína ODZ. Stojí za to vedieť o tom viac, ak chcete vždy ľahko vyriešiť akúkoľvek nerovnosť.

čo je ODZ? ODZ pre logaritmické nerovnosti

Skratka znamená rozsah prijateľných hodnôt. Táto formulácia sa často objavuje v úlohách jednotnej štátnej skúšky. ODZ sa vám bude hodiť nielen v prípade logaritmických nerovností.

Pozrite sa znova na vyššie uvedený príklad. Na základe toho zvážime ODZ, aby ste pochopili princíp a riešenie logaritmických nerovností nevyvoláva otázky. Z definície logaritmu vyplýva, že 2x+4 musí byť väčšie ako nula. V našom prípade to znamená nasledovné.

Toto číslo musí byť podľa definície kladné. Vyriešte vyššie uvedenú nerovnosť. Dá sa to urobiť aj ústne, tu je jasné, že X nemôže byť menšie ako 2. Riešením nerovnosti bude definovanie rozsahu prijateľných hodnôt.
Teraz prejdime k riešeniu najjednoduchšej logaritmickej nerovnosti.

Samotné logaritmy zahodíme z oboch strán nerovnosti. Čo nám vo výsledku ostáva? Jednoduchá nerovnosť.

Nie je ťažké to vyriešiť. X musí byť väčšie ako -0,5. Teraz skombinujeme dve získané hodnoty do systému. teda

Toto bude rozsah prijateľných hodnôt pre uvažovanú logaritmickú nerovnosť.

Prečo vôbec potrebujeme ODZ? Toto je príležitosť vyradiť nesprávne a nemožné odpovede. Ak odpoveď nie je v rozmedzí prijateľných hodnôt, potom odpoveď jednoducho nedáva zmysel. Toto stojí za to pamätať na dlhú dobu, pretože v jednotnej štátnej skúške je často potrebné hľadať ODZ, a to nielen logaritmických nerovností.

Algoritmus na riešenie logaritmickej nerovnosti

Riešenie pozostáva z niekoľkých etáp. Najprv musíte nájsť rozsah prijateľných hodnôt. V ODZ budú dva významy, o tom sme hovorili vyššie. Ďalej musíte vyriešiť samotnú nerovnosť. Metódy riešenia sú nasledovné:

  • metóda náhrady multiplikátora;
  • rozklad;
  • racionalizačná metóda.

V závislosti od situácie sa oplatí použiť jednu z vyššie uvedených metód. Prejdime priamo k riešeniu. Prezradíme najobľúbenejšiu metódu, ktorá je vhodná na riešenie úloh Jednotnej štátnej skúšky takmer vo všetkých prípadoch. Ďalej sa pozrieme na metódu rozkladu. Môže vám pomôcť, ak narazíte na obzvlášť zákernú nerovnosť. Takže algoritmus na riešenie logaritmickej nerovnosti.

Príklady riešení :

Nie nadarmo sme zobrali presne túto nerovnosť! Venujte pozornosť základni. Pamätajte: ak je väčšie ako jedna, znamienko zostáva rovnaké pri hľadaní rozsahu prijateľných hodnôt; v opačnom prípade musíte zmeniť znamienko nerovnosti.

V dôsledku toho dostaneme nerovnosť:

Teraz zredukujeme ľavú stranu do tvaru rovnice rovnej nule. Namiesto znamienka „menej ako“ dáme „rovná sa“ a rovnicu vyriešime. Nájdeme teda ODZ. Dúfame, že s riešením takejto jednoduchej rovnice nebudete mať problémy. Odpovede sú -4 a -2. To nie je všetko. Tieto body musíte zobraziť na grafe umiestnením „+“ a „-“. Čo je pre to potrebné urobiť? Do výrazu dosaďte čísla z intervalov. Ak sú hodnoty kladné, dáme tam „+“.

Odpoveď: x nemôže byť väčšie ako -4 a menšie ako -2.

Našli sme rozsah prijateľných hodnôt iba pre ľavú stranu, teraz musíme nájsť rozsah prijateľných hodnôt pre pravú stranu. Toto je oveľa jednoduchšie. odpoveď: -2. Pretíname obe výsledné oblasti.

A až teraz sa začíname zaoberať samotnou nerovnosťou.

Zjednodušme si to čo najviac, aby sa to ľahšie riešilo.

Pri riešení opäť používame intervalovú metódu. Preskočme výpočty; všetko je už jasné z predchádzajúceho príkladu. Odpoveď.

Táto metóda je však vhodná, ak má logaritmická nerovnosť rovnaké základy.

Riešenie logaritmických rovníc a nerovníc s rôznymi základňami vyžaduje počiatočnú redukciu na rovnakú základňu. Ďalej použite metódu opísanú vyššie. Existuje však komplikovanejší prípad. Zoberme si jeden z najkomplexnejších typov logaritmických nerovností.

Logaritmické nerovnosti s premenlivou základňou

Ako vyriešiť nerovnosti s takýmito charakteristikami? Áno, a takýchto ľudí možno nájsť v Jednotnej štátnej skúške. Riešenie nerovností nasledujúcim spôsobom priaznivo ovplyvní aj váš vzdelávací proces. Pozrime sa na problematiku podrobne. Zahoďme teóriu a prejdime rovno k praxi. Na vyriešenie logaritmických nerovností sa stačí zoznámiť s príkladom raz.

Na vyriešenie logaritmickej nerovnosti prezentovaného tvaru je potrebné zredukovať pravú stranu na logaritmus s rovnakým základom. Princíp pripomína ekvivalentné prechody. V dôsledku toho bude nerovnosť vyzerať takto.

V skutočnosti zostáva len vytvoriť systém nerovností bez logaritmov. Pomocou racionalizačnej metódy sa dostávame k ekvivalentnému systému nerovností. Samotnému pravidlu porozumiete, keď nahradíte príslušné hodnoty a budete sledovať ich zmeny. Systém bude mať nasledujúce nerovnosti.

Pri používaní racionalizačnej metódy pri riešení nerovností si musíte zapamätať nasledovné: jeden musí byť odčítaný od základne, x sa podľa definície logaritmu odčíta od oboch strán nerovnosti (sprava zľava), dva výrazy sa násobia a nastavte pod pôvodným znamienkom vo vzťahu k nule.

Ďalšie riešenie sa vykonáva pomocou intervalovej metódy, tu je všetko jednoduché. Je dôležité, aby ste pochopili rozdiely v metódach riešenia, potom všetko začne ľahko fungovať.

V logaritmických nerovnostiach je veľa nuancií. Najjednoduchšie z nich sa dajú celkom ľahko vyriešiť. Ako môžete vyriešiť každý z nich bez problémov? Všetky odpovede ste už dostali v tomto článku. Teraz máte pred sebou dlhú prax. Neustále trénujte riešenie rôznych problémov na skúške a budete môcť získať najvyššie skóre. Veľa šťastia vo vašej náročnej úlohe!

Logaritmické nerovnosti

V predchádzajúcich lekciách sme sa zoznámili s logaritmickými rovnicami a teraz vieme, čo sú a ako ich riešiť. Dnešná lekcia bude venovaná štúdiu logaritmických nerovností. Aké sú tieto nerovnosti a aký je rozdiel medzi riešením logaritmickej rovnice a nerovnicou?

Logaritmické nerovnosti sú nerovnosti, ktoré majú premennú vystupujúcu pod logaritmickým znamienkom alebo na jeho základni.

Alebo môžeme tiež povedať, že logaritmická nerovnosť je nerovnosť, v ktorej sa jej neznáma hodnota, ako v logaritmickej rovnici, objaví pod znamienkom logaritmu.

Najjednoduchšie logaritmické nerovnosti majú nasledujúci tvar:

kde f(x) a g(x) sú nejaké výrazy, ktoré závisia od x.

Pozrime sa na to pomocou tohto príkladu: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Riešenie logaritmických nerovností

Pred riešením logaritmických nerovností stojí za zmienku, že po vyriešení sú podobné exponenciálnym nerovnostiam, konkrétne:

Po prvé, keď prechádzame od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znamienkom, musíme tiež porovnať základ logaritmu s jedným;

Po druhé, pri riešení logaritmickej nerovnosti pomocou zmeny premenných musíme riešiť nerovnosti vzhľadom na zmenu, kým nedostaneme najjednoduchšiu nerovnosť.

Ale vy a ja sme zvažovali podobné aspekty riešenia logaritmických nerovností. Teraz sa pozrime na pomerne významný rozdiel. Vy a ja vieme, že logaritmická funkcia má obmedzenú oblasť definície, preto pri prechode od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znakom musíme vziať do úvahy rozsah povolených hodnôt (ADV).

To znamená, že by sa malo vziať do úvahy, že pri riešení logaritmickej rovnice môžeme vy a ja najprv nájsť korene rovnice a potom toto riešenie skontrolovať. Riešenie logaritmickej nerovnosti však nebude fungovať týmto spôsobom, pretože pri prechode od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znamienkom bude potrebné zapísať ODZ nerovnosti.

Okrem toho je potrebné pripomenúť, že teória nerovností pozostáva z reálnych čísel, čo sú kladné a záporné čísla, ako aj číslo 0.

Napríklad, keď je číslo „a“ kladné, musíte použiť nasledujúci zápis: a >0. V tomto prípade bude súčet aj súčin týchto čísel kladné.

Hlavným princípom riešenia nerovnosti je nahradiť ju jednoduchšou nerovnicou, ale hlavné je, že je ekvivalentná danej. Ďalej sme tiež získali nerovnosť a opäť sme ju nahradili nerovnosťou, ktorá má jednoduchší tvar atď.

Pri riešení nerovností s premennou je potrebné nájsť všetky jej riešenia. Ak majú dve nerovnosti rovnakú premennú x, potom sú takéto nerovnosti ekvivalentné za predpokladu, že sa ich riešenia zhodujú.

Pri vykonávaní úloh na riešenie logaritmických nerovností si musíte pamätať, že keď a > 1, potom sa logaritmická funkcia zvýši a keď 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metódy riešenia logaritmických nerovností

Teraz sa pozrime na niektoré metódy, ktoré sa používajú pri riešení logaritmických nerovností. Pre lepšie pochopenie a asimiláciu sa ich pokúsime pochopiť na konkrétnych príkladoch.

Všetci vieme, že najjednoduchšia logaritmická nerovnosť má nasledujúci tvar:

V tejto nerovnosti je V – jedným z nasledujúcich znakov nerovnosti:<,>, ≤ alebo ≥.

Keď je základ daného logaritmu väčší ako jedna (a>1), pri prechode z logaritmov na výrazy pod znamienkom logaritmu sa v tejto verzii znamienko nerovnosti zachová a nerovnosť bude mať nasledujúci tvar:

ktorý je ekvivalentný tomuto systému:


V prípade, že základ logaritmu je väčší ako nula a menší ako jedna (0

Toto je ekvivalentné tomuto systému:


Pozrime sa na ďalšie príklady riešenia najjednoduchších logaritmických nerovností znázornených na obrázku nižšie:



Príklady riešenia

Cvičenie. Skúsme vyriešiť túto nerovnosť:


Riešenie rozsahu prijateľných hodnôt.


Teraz skúsme vynásobiť jeho pravú stranu:

Pozrime sa, čo môžeme vymyslieť:



Teraz prejdime ku konverzii sublogaritmických výrazov. Vzhľadom k tomu, že základ logaritmu je 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

A z toho vyplýva, že interval, ktorý sme získali úplne patrí do ODZ a je riešením takejto nerovnosti.

Tu je odpoveď, ktorú sme dostali:


Čo je potrebné na riešenie logaritmických nerovností?

Teraz sa pokúsme analyzovať, čo potrebujeme na úspešné vyriešenie logaritmických nerovností?

Najprv sústreďte všetku svoju pozornosť a snažte sa nerobiť chyby pri vykonávaní transformácií, ktoré sú dané v tejto nerovnosti. Treba tiež pamätať na to, že pri riešení takýchto nerovností je potrebné vyhnúť sa rozširovaniu a zmršťovaniu nerovností, čo môže viesť k strate alebo získaniu cudzích riešení.

Po druhé, pri riešení logaritmických nerovností sa musíte naučiť myslieť logicky a pochopiť rozdiel medzi pojmami, ako je systém nerovností a množina nerovností, aby ste mohli ľahko vyberať riešenia nerovnosti, pričom sa riadite jej DL.

Po tretie, na úspešné vyriešenie takýchto nerovností musí každý z vás dokonale poznať všetky vlastnosti elementárnych funkcií a jasne pochopiť ich význam. Medzi takéto funkcie patria nielen logaritmické, ale aj racionálne, mocenské, trigonometrické atď., jedným slovom všetky tie, ktoré ste študovali počas školskej algebry.

Ako vidíte, po preštudovaní témy logaritmických nerovností nie je pri riešení týchto nerovností nič ťažké, za predpokladu, že ste opatrní a vytrvalí pri dosahovaní svojich cieľov. Aby ste sa vyhli akýmkoľvek problémom pri riešení nerovností, musíte sa čo najviac precvičiť, riešiť rôzne úlohy a zároveň si zapamätať základné metódy riešenia takýchto nerovností a ich sústavy. Ak sa vám nepodarí vyriešiť logaritmické nerovnosti, mali by ste svoje chyby dôkladne analyzovať, aby ste sa k nim v budúcnosti nevrátili.

Domáca úloha

Ak chcete lepšie porozumieť téme a konsolidovať preberaný materiál, vyriešte nasledujúce nerovnosti:


2024 nowonline.ru
O lekároch, nemocniciach, ambulanciách, pôrodniciach