Ali je mogoče deliti z nič? Matematik odgovori. Zakaj ne moreš deliti z nič? Nazorni primer Deljenje z decimalko

Ta lekcija bo preučila, kako izvesti množenje in deljenje s števili v obliki 10, 100, 0,1, 0,001. Rešeni bodo tudi različni primeri na to temo.

telovadba. Kako pomnožiti število 25,78 z 10?

Decimalni zapis danega števila je stenografski zapis zneska. Treba ga je podrobneje opisati:

Zato morate znesek pomnožiti. Če želite to narediti, lahko preprosto pomnožite vsak izraz:

Izkazalo se je, da ...

Sklepamo lahko, da je pomnožiti decimalni ulomek z 10 zelo preprosto: decimalno vejico morate premakniti za en položaj v desno.

telovadba. Pomnožite 25,486 s 100.

Množenje s 100 je enako dvakratnemu množenju z 10. Z drugimi besedami, decimalno vejico morate dvakrat premakniti v desno:

telovadba. 25,78 delite z 10.

Kot v prejšnjem primeru morate število 25,78 predstaviti kot vsoto:

Ker morate vsoto razdeliti, je to enakovredno delitvi vsakega člena:

Izkazalo se je, da morate za delitev z 10 premakniti decimalno vejico za en položaj v levo. Na primer:

telovadba. 124,478 delite s 100.

Deljenje s 100 je enako kot dvakratno deljenje z 10, tako da se decimalna vejica premakne za 2 mesti levo:

Če je treba decimalni ulomek pomnožiti z 10, 100, 1000 in tako naprej, morate premakniti decimalno vejico v desno za toliko mest, kolikor je ničel v množitelju.

Nasprotno, če je treba decimalni ulomek deliti z 10, 100, 1000 in tako naprej, morate premakniti decimalno vejico v levo za toliko mest, kolikor je ničel v množitelju.

Primer 1

Množenje s 100 pomeni premik decimalke za dve mesti v desno.

Po premiku lahko ugotovite, da za decimalno vejico ni več števk, kar pomeni, da manjka ulomek. Potem vejica ni več potrebna, število je celo število.

Primer 2

Premakniti se morate za 4 položaje v desno. Toda za decimalno vejico sta le dve števki. Ne smemo pozabiti, da obstaja enakovreden zapis za ulomek 56,14.

Zdaj je množenje z 10.000 enostavno:

Če ni povsem jasno, zakaj lahko ulomku v prejšnjem primeru dodate dve ničli, vam lahko pri tem pomaga dodatni video na povezavi.

Enakovredni decimalni zapisi

Vnos 52 pomeni naslednje:

Če spredaj postavimo 0, dobimo vnos 052. Ti vnosi so enakovredni.

Ali je mogoče postaviti dve ničli spredaj? Da, ti vnosi so enakovredni.

Zdaj pa poglejmo decimalni ulomek:

Če dodelite nič, dobite:

Ti vnosi so enakovredni. Podobno lahko dodelite več ničel.

Tako ima lahko vsako število več ničel za ulomkom in več ničel pred celim delom. To bodo enakovredni vnosi iste številke.

Primer 3

Ker pride do deljenja s 100, je treba decimalno vejico premakniti za 2 položaja v levo. Levo od decimalne vejice ni nobenih številk. Cel del manjka. Ta zapis pogosto uporabljajo programerji. Če v matematiki ni celega dela, potem na njegovo mesto postavijo ničlo.

Primer 4

Morate ga premakniti v levo za tri položaje, vendar sta samo dva položaja. Če pred številko napišete več ničel, bo to enakovreden zapis.

To pomeni, da pri premiku v levo, če zmanjka številk, jih morate napolniti z ničlami.

Primer 5

V tem primeru si velja zapomniti, da za celim delom vedno stoji vejica. Nato:

Množenje in deljenje s števili 10, 100, 1000 je zelo preprost postopek. Popolnoma enaka je situacija s številkami 0,1, 0,01, 0,001.

Primer. Pomnožite 25,34 z 0,1.

Zapišimo decimalni ulomek 0,1 kot navadni ulomek. Toda množenje z je enako kot deljenje z 10. Zato morate premakniti decimalno vejico za 1 mesto v levo:

Podobno je množenje z 0,01 deljenje s 100:

Primer. 5,235 deljeno z 0,1.

Rešitev tega primera je sestavljena na podoben način: 0,1 je izraženo kot navadni ulomek, deljenje z je enako množenju z 10:

Če želite deliti z 0,1, morate premakniti decimalno vejico za eno mesto v desno, kar je enako množenju z 10.

Množenje z 10 in deljenje z 0,1 je isto. Vejico je treba premakniti v desno za 1 mesto.

Deljenje z 10 in množenje z 0,1 sta ista stvar. Vejico je treba premakniti v desno za 1 mesto:

Število 0 si lahko predstavljamo kot neko mejo, ki ločuje svet realnih števil od imaginarnih ali negativnih. Zaradi dvoumnega položaja veliko operacij s to številsko vrednostjo ne sledi matematični logiki. Nezmožnost deljenja z ničlo je odličen primer tega. In dovoljene aritmetične operacije z ničlo se lahko izvajajo z uporabo splošno sprejetih definicij.

Zgodovina ničle

Ničla je referenčna točka v vseh standardnih številskih sistemih. Evropejci so to številko začeli uporabljati relativno nedavno, vendar so modreci starodavne Indije uporabljali ničlo tisoč let, preden so prazno številko redno uporabljali evropski matematiki. Že pred Indijanci je bila ničla obvezna vrednost v majevskem številskem sistemu. Ti Američani so uporabljali dvanajstiški številski sistem in prvi dan v mesecu se je začel z ničlo. Zanimivo je, da je pri Majih znak, ki označuje ničlo, popolnoma sovpadal z znakom, ki označuje neskončnost. Tako so stari Maji ugotovili, da so te količine enake in nespoznavne.

Matematične operacije z ničlo

Standardne matematične operacije z ničlo je mogoče zmanjšati na nekaj pravil.

Seštevanje: če poljubnemu številu dodate ničlo, to ne spremeni njegove vrednosti (0+x=x).

Odštevanje: Ko od poljubnega števila odštejemo nič, ostane vrednost odštevanca nespremenjena (x-0=x).

Množenje: vsako število, pomnoženo z 0, daje 0 (a*0=0).

Deljenje: Ničlo lahko delimo s poljubnim številom, ki ni enako nič. V tem primeru bo vrednost takega ulomka 0. In deljenje z ničlo je prepovedano.

Potenciranje. To dejanje je mogoče izvesti s katero koli številko. Poljubno število, dvignjeno na ničelno potenco, bo dalo 1 (x 0 =1).

Nič na katero koli potenco je enako 0 (0 a = 0).

V tem primeru se takoj pojavi protislovje: izraz 0 0 nima smisla.

Paradoksi matematike

Mnogi ljudje iz šole vedo, da je deljenje z ničlo nemogoče. Toda iz nekega razloga je nemogoče razložiti razlog za takšno prepoved. Pravzaprav, zakaj formula za deljenje z ničlo ne obstaja, vendar so druga dejanja s to številko povsem razumna in mogoča? Odgovor na to vprašanje dajejo matematiki.

Gre za to, da običajne računske operacije, ki se jih šolarji učijo v osnovni šoli, pravzaprav niso niti približno tako enakovredne, kot se nam zdi. Vse preproste številske operacije lahko skrčimo na dve: seštevanje in množenje. Ta dejanja predstavljajo bistvo samega koncepta števila, druge operacije pa temeljijo na uporabi teh dveh.

Seštevanje in množenje

Vzemimo standardni primer odštevanja: 10-2=8. V šoli menijo preprosto: če od desetih predmetov odšteješ dva, ostane osem. Matematiki pa na to operacijo gledajo povsem drugače. Navsezadnje takšna operacija, kot je odštevanje, zanje ne obstaja. Ta primer lahko zapišemo tudi drugače: x+2=10. Za matematike je neznana razlika preprosto število, ki ga je treba dodati dve, da dobimo osem. In tukaj ni potrebno odštevanje, le najti morate ustrezno številsko vrednost.

Množenje in deljenje se obravnavata enako. V primeru 12:4=3 lahko razumete, da govorimo o razdelitvi osmih predmetov na dva enaka kupa. Toda v resnici je to le obrnjena formula za pisanje 3x4 = 12. Takšne primere delitve je mogoče dati neskončno.

Primeri deljenja z 0

Tukaj postane nekoliko jasno, zakaj ne morete deliti z nič. Množenje in deljenje z nič sledita svojim pravilom. Vse primere delitve te količine lahko formuliramo kot 6:0 = x. Toda to je obrnjen zapis izraza 6 * x=0. Toda, kot veste, vsako število, pomnoženo z 0, daje v produktu samo 0. Ta lastnost je neločljivo povezana s samim konceptom ničelne vrednosti.

Izkazalo se je, da ni takega števila, ki bi pomnoženo z 0 dalo kakršno koli oprijemljivo vrednost, to pomeni, da ta problem nima rešitve. Tega odgovora se ne smete bati, saj je naraven odgovor za tovrstne težave. Samo rezultat 6:0 nima nobenega smisla in ne more ničesar pojasniti. Na kratko, ta izraz je mogoče razložiti z nesmrtnim "deljenje z ničlo je nemogoče."

Ali obstaja operacija 0:0? Dejansko, če je operacija množenja z 0 zakonita, ali se lahko nič deli z nič? Navsezadnje je enačba oblike 0x 5=0 povsem zakonita. Namesto številke 5 lahko postavite 0, izdelek se ne bo spremenil.

Dejansko je 0x0=0. Ampak še vedno ne moreš deliti z 0. Kot rečeno, je deljenje preprosto obratno od množenja. Če je torej v primeru 0x5=0, morate določiti drugi faktor, dobimo 0x0=5. Ali 10. Ali neskončnost. Deljenje neskončnosti z ničlo - kako vam je všeč?

Če pa se v izraz ujame katera koli številka, potem nima smisla, ne moremo izbrati le enega izmed neskončnega števila števil. In če je tako, to pomeni, da izraz 0:0 nima smisla. Izkazalo se je, da niti same ničle ni mogoče deliti z ničlo.

Višja matematika

Deljenje z ničlo je glavobol za šolsko matematiko. Matematična analiza, ki se preučuje na tehničnih univerzah, nekoliko razširi koncept problemov, ki nimajo rešitve. Na primer, že znanemu izrazu 0:0 se dodajo novi, ki nimajo rešitev v šolskih tečajih matematike:

• neskončnost deljeno z neskončnostjo: ?:?;
• neskončnost minus neskončnost: ???;
• enota dvignjena na neskončno potenco: 1 ? ;
• neskončnost pomnožena z 0: ?*0;
• nekateri drugi.

Takih izrazov je nemogoče rešiti z osnovnimi metodami. Toda višja matematika, zahvaljujoč dodatnim možnostim za vrsto podobnih primerov, daje končne rešitve. To je še posebej očitno pri obravnavi problemov iz teorije limitov.

Odklepanje negotovosti

V teoriji limitov se vrednost 0 nadomesti s pogojno infinitezimalno spremenljivko. In izrazi, v katerih se pri zamenjavi želene vrednosti dobi deljenje z ničlo, se preoblikujejo. Spodaj je standardni primer razširitve meje z navadnimi algebrskimi transformacijami:

Kot lahko vidite v primeru, preprosto zmanjševanje ulomka vodi njegovo vrednost do popolnoma racionalnega odgovora.

Ko upoštevamo meje trigonometričnih funkcij, se njihovi izrazi ponavadi reducirajo na prvo opazno mejo. Pri obravnavi omejitev, pri katerih imenovalec postane 0, ko je omejitev zamenjana, se uporablja druga izjemna omejitev.

L'Hopitalova metoda

V nekaterih primerih lahko meje izrazov nadomestimo z mejami njihovih izpeljank. Guillaume L'Hopital je francoski matematik, ustanovitelj francoske šole matematične analize. Dokazal je, da so limese izrazov enake mejam odvodov teh izrazov. V matematičnem zapisu je njegovo pravilo videti takole.

Trenutno se L'Hopitalova metoda uspešno uporablja za reševanje negotovosti tipa 0:0 ali?:?.

Kako deliti in pomnožiti z 0,1; 0,01; 0,001 itd.?

Napišite pravila za deljenje in množenje.

Če želite število pomnožiti z 0,1, morate premakniti decimalno vejico.

Tako je bilo na primer 56 , je postalo 5,6 .

Če želite deliti z istim številom, morate vejico premakniti v nasprotno smer:

Tako je bilo na primer 56 , je postalo 560 .

S številko 0,01 je vse enako, vendar jo morate premakniti na 2 števki, ne na eno.

Na splošno prenesite toliko ničel, kot jih potrebujete.

Na primer, obstaja številka 123456789.

Pomnožiti ga morate z 0,000000001

V številu 0,000000001 je devet ničel (štejemo tudi ničlo levo od decimalne vejice), kar pomeni, da število 123456789 premaknemo za 9 mest:

Bilo je 123456789, zdaj pa je 0,123456789.

Da ne bi množili, ampak delili z istim številom, premaknemo v drugo smer:

Bilo je 123456789, zdaj pa je 123456789000000000.

Če želite na ta način premakniti celo število, mu preprosto dodamo ničlo. In v ulomku premaknemo vejico.

Deljenje števila z 0,1 ustreza množenju tega števila z 10

Deljenje števila z 0,01 ustreza množenju tega števila s 100

Deljenje z 0,001 pomeni množenje s 1000.

Da bi si lažje zapomnili, preberemo številko, s katero moramo deliti od desne proti levi, ne da bi bili pozorni na vejico, in pomnožimo z dobljeno številko.

Primer: 50: 0,0001. To je enako kot 50 pomnoženo z (beri od desne proti levi brez vejice - 10000) 10000. Izkaže se 500000.

Enako z množenjem, le obratno:

400 x 0,01 je enako, kot če bi 400 delili s (beremo od desne proti levi brez vejice - 100) 100 : 400 : 100 = 4.

Za tiste, ki se jim zdi pri množenju in deljenju s takšnimi številkami bolj priročno premikati vejice v desno pri deljenju in v levo pri množenju, lahko to storite.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Deljenje z decimalko

JAZ. Če želite število deliti z decimalnim ulomkom, morate vejice v delitelju in delitelju premakniti za toliko števk v desno, kolikor jih je za decimalno vejico v delitelju, nato pa deliti z naravnim številom.

Primary.

Izvedite deljenje: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

rešitev.

Primer 1) 16,38: 0,7.

V razdelilniku 0,7 za decimalno vejico je ena števka, zato premaknimo vejice v deljeniku in delitelju za eno števko v desno.

Potem se bomo morali razdeliti 163,8 na 7 .

Izvedimo deljenje po pravilu za deljenje decimalnega ulomka z naravnim številom.

Delimo, kot se delijo naravna števila. Kako odstraniti številko 8 - prvo števko za decimalno vejico (tj. števko na desetinki), torej takoj v količniku postavi vejico in nadaljujte z delitvijo.

Odgovor: 23.4.

Primer 2) 15,6: 0,15.

V razdelku premaknemo vejice ( 15,6 ) in delitelj ( 0,15 ) dve števki na desno, saj je v delitelju 0,15 za decimalno vejico sta dve števki.

Spomnimo se, da lahko desetiškemu ulomku na desni dodate poljubno število ničel, to pa ne bo spremenilo decimalnega ulomka.

15,6:0,15=1560:15.

Izvajamo deljenje naravnih števil.

Odgovor: 104.

Primer 3) 3,114: 4,5.

Premakni vejice v deljeniku in delitelju za eno števko v desno in deli 31,14 na 45 po pravilu deljenja decimalnega ulomka z naravnim številom.

3,114:4,5=31,14:45.

V količniku postavimo vejico takoj, ko odstranimo število 1 na desetem mestu. Nato nadaljujemo z delitvijo.

Za dokončanje razdelitve smo morali dodeliti nič na številko 9 - razlike med številkami 414 in 405 . (vemo, da lahko na desno stran decimalnega ulomka dodamo ničle)

Odgovor: 0,692.

Primer 4) 53,84: 0,1.

Premakni vejice v deljeniku in delitelju na 1 številko na desni.

Dobimo: 538,4:1=538,4.

Analizirajmo enakost: 53,84:0,1=538,4. Bodite pozorni na vejico v dividendi v tem primeru in na vejico v nastalem količniku. Opazimo, da je vejica v dividendi premaknjena na 1 število na desno, kot da bi množili 53,84 na 10. (Oglejte si video »Množenje decimalke z 10, 100, 1000 itd.«) Od tod pravilo za deljenje decimalke z 0,1; 0,01; 0,001 itd.

II. Za deljenje decimalke z 0,1; 0,01; 0,001 itd., morate premakniti decimalno vejico v desno za 1, 2, 3 itd. (Deljenje decimalke z 0,1, 0,01, 0,001 itd. je enako kot množenje te decimalke z 10, 100, 1000 itd.)

Primeri.

Izvedite deljenje: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

rešitev.

Primer 1) 617,35: 0,1.

Po pravilu II deljenje z 0,1 je enakovredno množenju z 10 , in premaknite vejico v razdelku 1 številka na desno:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Primer 2) 0,235: 0,01.

Delitev po 0,01 je enakovredno množenju z 100 , kar pomeni, da premaknemo vejico v dividendi na 2 števki na desno:

2) 0,235:0,01=23,5.

Primer 3) 2,7845: 0,001.

Ker deljenje z 0,001 je enakovredno množenju z 1000 , nato premaknite vejico 3 števke na desno:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Primer 4) 26,397: 0,0001.

Decimalko delite s 0,0001 - to je enako, kot če bi ga pomnožili s 10000 (premaknite vejico s 4 številkami prav). Dobimo:

www.mathematics-repetition.com

Množenje in deljenje s števili oblike 10, 100, 0,1, 0,01

Ta video vadnica je na voljo z naročnino

Že imate naročnino? Priti noter

Ta lekcija bo preučila, kako izvesti množenje in deljenje s števili v obliki 10, 100, 0,1, 0,001. Rešeni bodo tudi različni primeri na to temo.

Množenje števil z 10, 100

telovadba. Kako pomnožiti število 25,78 z 10?

Decimalni zapis danega števila je stenografski zapis zneska. Treba ga je podrobneje opisati:

Zato morate znesek pomnožiti. Če želite to narediti, lahko preprosto pomnožite vsak izraz:

Izkazalo se je, da ...

Sklepamo lahko, da je pomnožiti decimalni ulomek z 10 zelo preprosto: decimalno vejico morate premakniti za en položaj v desno.

telovadba. Pomnožite 25,486 s 100.

Množenje s 100 je enako dvakratnemu množenju z 10. Z drugimi besedami, decimalno vejico morate dvakrat premakniti v desno:

Deljenje števil z 10, 100

telovadba. 25,78 delite z 10.

Kot v prejšnjem primeru morate število 25,78 predstaviti kot vsoto:

Ker morate vsoto razdeliti, je to enakovredno delitvi vsakega člena:

Izkazalo se je, da morate za delitev z 10 premakniti decimalno vejico za en položaj v levo. Na primer:

telovadba. 124,478 delite s 100.

Deljenje s 100 je enako kot dvakratno deljenje z 10, zato se decimalna vejica premakne v levo za 2 mesti:

Pravilo množenja in deljenja z 10, 100, 1000

Če je treba decimalni ulomek pomnožiti z 10, 100, 1000 in tako naprej, morate premakniti decimalno vejico v desno za toliko mest, kolikor je ničel v množitelju.

Nasprotno, če je treba decimalni ulomek deliti z 10, 100, 1000 in tako naprej, morate premakniti decimalno vejico v levo za toliko mest, kolikor je ničel v množitelju.

Primeri, ko je treba premakniti vejico, vendar ni več nobenih številk

Množenje s 100 pomeni premik decimalke za dve mesti v desno.

Po premiku lahko ugotovite, da za decimalno vejico ni več števk, kar pomeni, da manjka ulomek. Potem vejica ni več potrebna, število je celo število.

Premakniti se morate za 4 položaje v desno. Toda za decimalno vejico sta le dve števki. Ne smemo pozabiti, da obstaja enakovreden zapis za ulomek 56,14.

Zdaj je množenje z 10.000 enostavno:

Če ni povsem jasno, zakaj lahko ulomku v prejšnjem primeru dodate dve ničli, vam lahko pri tem pomaga dodatni video na povezavi.

Enakovredni decimalni zapisi

Vnos 52 pomeni naslednje:

Če spredaj postavimo 0, dobimo vnos 052. Ti vnosi so enakovredni.

Ali je mogoče postaviti dve ničli spredaj? Da, ti vnosi so enakovredni.

Zdaj pa poglejmo decimalni ulomek:

Če dodelite nič, dobite:

Ti vnosi so enakovredni. Podobno lahko dodelite več ničel.

Tako ima lahko vsako število več ničel za ulomkom in več ničel pred celim delom. To bodo enakovredni vnosi iste številke.

Ker pride do deljenja s 100, je treba decimalno vejico premakniti za 2 položaja v levo. Levo od decimalne vejice ni nobenih številk. Cel del manjka. Ta zapis pogosto uporabljajo programerji. Če v matematiki ni celega dela, potem na njegovo mesto postavijo ničlo.

Morate ga premakniti v levo za tri položaje, vendar sta samo dva položaja. Če pred številko napišete več ničel, bo to enakovreden zapis.

To pomeni, da pri premiku v levo, če zmanjka številk, jih morate napolniti z ničlami.

V tem primeru si velja zapomniti, da za celim delom vedno stoji vejica. Nato:

Množenje in deljenje z 0,1, 0,01, 0,001

Množenje in deljenje s števili 10, 100, 1000 je zelo preprost postopek. Popolnoma enaka je situacija s številkami 0,1, 0,01, 0,001.

Primer. Pomnožite 25,34 z 0,1.

Zapišimo decimalni ulomek 0,1 kot navadni ulomek. Toda množenje z je enako kot deljenje z 10. Zato morate premakniti decimalno vejico za 1 mesto v levo:

Podobno je množenje z 0,01 deljenje s 100:

Primer. 5,235 deljeno z 0,1.

Rešitev tega primera je sestavljena na podoben način: 0,1 je izraženo kot navadni ulomek, deljenje z je enako množenju z 10:

Če želite deliti z 0,1, morate premakniti decimalno vejico za eno mesto v desno, kar je enako množenju z 10.

Pravilo množenja in deljenja z 0,1, 0,01, 0,001

Množenje z 10 in deljenje z 0,1 je isto. Vejico je treba premakniti v desno za 1 mesto.

Deljenje z 10 in množenje z 0,1 sta ista stvar. Vejico je treba premakniti v desno za 1 mesto:

Reševanje primerov

Zaključek

V tej lekciji so bila preučena pravila deljenja in množenja z 10, 100 in 1000. Poleg tega so bila preučena pravila množenja in deljenja z 0,1, 0,01, 0,001.

Primeri uporabe teh pravil so bili pregledani in rešeni.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Y. Matematika: učbenik. za 5. razred. Splošna izobrazba uhr. 17. izd. – M.: Mnemosyne, 2005.

2. Ševkin A.V. Matematične besedilne naloge: 5–6. – M.: Ilexa, 2011.

3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Vsa šolska matematika pri samostojnem in preizkusnem delu. Matematika 5–6. – M.: Ilexa, 2006.

4. Khlevnyuk N.N., Ivanova M.V. Oblikovanje računalniških veščin pri pouku matematike. 5.–9. – M.: Ilexa, 2011 .

1. Internetni portal “Festival pedagoških idej” (Vir)

2. Internetni portal “Matematika-na.ru” (Vir)

3. Internetni portal “School.xvatit.com” (Vir)

Domača naloga

3. Primerjaj pomene izrazov:

Dejanja z ničlo

Število v matematiki nič zavzema posebno mesto. Dejstvo je, da v bistvu pomeni "nič", "praznina", vendar je njegov pomen res težko preceniti. Če želite to narediti, je dovolj, da se spomnite vsaj, s čim natančno ničelna oznaka in začne se štetje koordinat položaja točke v poljubnem koordinatnem sistemu.

Ničširoko uporablja v decimalnih ulomkih za določanje vrednosti "praznih" mest pred in za decimalno vejico. Poleg tega je z njim povezano eno temeljnih pravil aritmetike, ki pravi, da nič ni mogoče razdeliti. Njegova logika, strogo gledano, izhaja iz samega bistva tega števila: res je nemogoče si predstavljati, da bi neko vrednost, ki je drugačna od nje (in tudi ona sama), razdelili na "nič".

Z nič izvajajo se vse aritmetične operacije, kot njegovi »partnerji« pa lahko uporabljajo cela števila, navadne in decimalne ulomke, vsi pa imajo lahko pozitivne in negativne vrednosti. Navedimo primere njihovega izvajanja in nekaj pojasnil zanje.

Pri dodajanju nič na določeno število (tako celo kot delno, tako pozitivno kot negativno), njegova vrednost ostane popolnoma nespremenjena.

štiriindvajset plus nič je enako štiriindvajset.

Sedemnajst pika tri osmine plus nič je enako sedemnajst pika tri osmine.

• Obrazci za davčne napovedi Predstavljamo vam obrazce za napovedi za vse vrste davkov in pristojbin: 1. Dohodnina. Pozor, od 10. februarja 2014 se poročila o dohodnini predložijo z uporabo novih vzorcev izjav, odobrenih z Odredbo Ministrstva za prihodke št. 872 z dne 30. decembra 2013.1. 1. Napoved davka za […]
• Pravila kvadratne vsote kvadratne razlike Namen: Izvedite formule za kvadriranje vsote in razlike izrazov. Načrtovani rezultati: naučijo se uporabljati formuli kvadrata vsote in kvadrata razlike. Vrsta lekcije: lekcija predstavitve problema. I. Sporočanje teme in namena učne ure II. Delo na temo lekcije Pri množenju [...]
• Kakšna je razlika med privatizacijo stanovanja z mladoletnimi otroki in privatizacijo brez otrok? Posebnosti njihove udeležbe, dokumenti Vse transakcije z nepremičninami zahtevajo veliko pozornost udeležencev. Še posebej, če nameravate privatizirati stanovanje z mladoletnimi otroki. Tako, da je priznana kot veljavna in [...]
• Znesek državne dajatve za mednarodni potni list starega vzorca za otroka, mlajšega od 14 let, in kje jo plačati Vložitev vloge pri državnih organih za prejem katere koli storitve vedno spremlja plačilo državne dajatve. Za pridobitev tujega potnega lista morate plačati tudi zvezno pristojbino. Koliko je velikost [...]
• Kako izpolniti obrazec za zamenjavo potnega lista pri 45 letih. Potne liste Rusov je treba zamenjati, ko dosežejo starost 20 ali 45 let. Če želite prejeti javno službo, morate oddati vlogo na predpisanem obrazcu, priložiti potrebne dokumente in državi plačati […]
• Kako in kje formalizirati darilno pogodbo za delež v stanovanju Mnogi državljani se soočajo s takim pravnim postopkom, kot je darovanje nepremičnine, ki je v skupni lasti. Informacij o tem, kako pravilno sestaviti darilno pogodbo za delež v stanovanju, je precej in niso vedno zanesljive. Preden začnete, [...]

Sama ničla je zelo zanimivo število. Sama po sebi pomeni praznino, pomanjkanje smisla, poleg druge številke pa svoj pomen poveča za 10-krat. Vsako število na ničelno potenco vedno daje 1. Ta znak je bil uporabljen v majevski civilizaciji in je označeval tudi koncept »začetek, vzrok«. Tudi koledar se je začel z dnevom nič. Ta številka je povezana tudi s strogo prepovedjo.

Že od osnovnošolskih let smo se vsi jasno naučili pravila "ne moreš deliti z ničlo". Toda če v otroštvu veliko stvari vzamete na vero in besede odraslega redko vzbujajo dvome, potem sčasoma včasih še vedno želite razumeti razloge, razumeti, zakaj so bila določena pravila.

Zakaj ne moreš deliti z nič? Za to vprašanje bi rad dobil jasno logično razlago. V prvem razredu učitelji tega niso mogli narediti, ker se pri matematiki pravila razlagajo z enačbami, pri tej starosti pa nismo imeli pojma, kaj to je. In zdaj je čas, da ugotovite in dobite jasno logično razlago, zakaj ne morete deliti z nič.

Dejstvo je, da sta v matematiki samo dve od štirih osnovnih operacij (+, -, x, /) s števili priznani kot neodvisni: množenje in seštevanje. Preostale operacije se štejejo za izvedene finančne instrumente. Poglejmo preprost primer.

Povej mi, koliko dobiš, če od 20 odšteješ 18? Seveda se nam v glavi takoj porodi odgovor: bo 2. Kako smo prišli do tega rezultata? To vprašanje se bo nekaterim zdelo čudno - navsezadnje je vse jasno, da bo rezultat 2, nekdo bo pojasnil, da je vzel 18 od 20 kopekov in dobil dve kopeke. Logično je, da vsi ti odgovori niso vprašljivi, z matematičnega vidika pa je treba ta problem rešiti drugače. Še enkrat spomnimo, da sta glavni operaciji v matematiki množenje in seštevanje, zato je v našem primeru odgovor v reševanju naslednje enačbe: x + 18 = 20. Iz tega sledi, da je x = 20 - 18, x = 2 . Zdi se, zakaj vse tako podrobno opisati? Navsezadnje je vse tako preprosto. Vendar pa je brez tega težko razložiti, zakaj ne morete deliti z nič.

Zdaj pa poglejmo, kaj se zgodi, če želimo 18 deliti z nič. Ponovno sestavimo enačbo: 18: 0 = x. Ker je operacija deljenja izpeljanka postopka množenja, s transformacijo naše enačbe dobimo x * 0 = 18. Tu se začne slepa ulica. Vsako število namesto X, če ga pomnožimo z nič, bo dalo 0 in ne bomo mogli dobiti 18. Zdaj postane zelo jasno, zakaj ne morete deliti z nič. Sama ničla se lahko deli s poljubnim številom, vendar obratno - žal, to je nemogoče.

Kaj se zgodi, če ničlo delite samo s seboj? To lahko zapišemo na naslednji način: 0: 0 = x ali x * 0 = 0. Ta enačba ima neskončno število rešitev. Zato je končni rezultat neskončnost. Zato tudi operacija v tem primeru ni smiselna.

Deljenje z 0 je temelj številnih namišljenih matematičnih šal, s katerimi lahko po želji zmedete vsako nevedno osebo. Na primer, razmislite o enačbi: 4*x - 20 = 7*x - 35. Vzemimo 4 iz oklepaja na levi strani in 7 na desni. Dobimo: 4*(x - 5) = 7*(x - 5). Zdaj pa pomnožimo levo in desno stran enačbe z ulomkom 1 / (x - 5). Enačba bo imela naslednjo obliko: 4*(x - 5)/(x - 5) = 7*(x - 5)/ (x - 5). Zmanjšajmo ulomke za (x - 5) in izkaže se, da je 4 = 7. Iz tega lahko sklepamo, da je 2*2 = 7! Seveda je ulov v tem, da je enako 5 in da je bilo nemogoče črtati ulomke, saj je to privedlo do deljenja z nič. Zato morate pri krajšanju ulomkov vedno preveriti, da se v imenovalcu slučajno ne znajde ničla, sicer bo rezultat povsem nepredvidljiv.

Število v matematiki nič zavzema posebno mesto. Dejstvo je, da v bistvu pomeni "nič", "praznina", vendar je njegov pomen res težko preceniti. Če želite to narediti, je dovolj, da se spomnite vsaj, s čim natančno ničelna oznaka in začne se štetje koordinat položaja točke v poljubnem koordinatnem sistemu.

Ničširoko uporablja v decimalnih ulomkih za določanje vrednosti "praznih" mest pred in za decimalno vejico. Poleg tega je z njim povezano eno temeljnih pravil aritmetike, ki pravi, da nič ni mogoče razdeliti. Njegova logika, strogo gledano, izhaja iz samega bistva tega števila: res je nemogoče si predstavljati, da bi neko vrednost, ki je drugačna od nje (in tudi ona sama), razdelili na "nič".

Primeri izračunov

Z nič izvajajo se vse aritmetične operacije, kot njegovi »partnerji« pa lahko uporabljajo cela števila, navadne in decimalne ulomke, vsi pa imajo lahko pozitivne in negativne vrednosti. Navedimo primere njihovega izvajanja in nekaj pojasnil zanje.

DODATEK

Pri dodajanju nič na določeno število (tako celo kot delno, tako pozitivno kot negativno), njegova vrednost ostane popolnoma nespremenjena.

Primer 1

štiriindvajset plus nič je enako štiriindvajset.

Primer 2

Sedemnajst pika tri osmine plus nič je enako sedemnajst pika tri osmine.

MNOŽENJE

Pri množenju poljubnega števila (celo število, ulomek, pozitivno ali negativno) s nič Izkazalo se je nič.

Primer 1

Petsto osemdeset šestkrat nič enako nič.

Primer 2

Nič pomnoženo s sto petintrideset pika šest sedem enako nič.

Primer 3

Nič pomnožite z nič enako nič.

DELITEV

Pravila za medsebojno deljenje števil v primerih, ko je eno od njih ničla, se razlikujejo glede na to, kakšno vlogo igra sama ničla: dividendo ali delitelj?

V primerih, ko nič predstavlja dividendo, ji je rezultat vedno enak, ne glede na vrednost delitelja.

Primer 1

Nič deljeno z dvesto petinšestdeset enakih nič.

Primer 2

Nič deljeno s sedemnajst petsto šestindevetdeset enakih nič.

0:

= 0

Razdeli od nič do nič Po pravilih matematike je to nemogoče. To pomeni, da je pri izvedbi takega postopka količnik negotov. Tako lahko v teoriji predstavlja popolnoma poljubno število.

0: 0 = 8, ker je 8 × 0 = 0

V matematiki obstaja problem, kot je deljenje ničle z ničlo, nima smisla, saj je njegov rezultat neskončna množica. Ta trditev pa velja, če niso navedeni dodatni podatki, ki bi lahko vplivali na končni rezultat.

Te, če so prisotne, bi morale vsebovati navedbo stopnje spremembe v velikosti tako dividende kot delitelja in še pred trenutkom, ko sta se spremenila v nič. Če je to definirano, potem izraz, kot je npr nič deli z nič, je v veliki večini primerov mogoče pripisati nek pomen.

Deljenje z ničlo v matematiki deljenje, pri katerem je delitelj nič. Tako delitev lahko formalno zapišemo ⁄ 0, kjer je dividenda.

V navadni aritmetiki (z realnimi števili) ta izraz nima smisla, saj:

• za ≠ 0 ni števila, ki bi ga pomnožili z 0, zato nobenega števila ne moremo vzeti kot količnik ⁄ 0;
• pri = 0 je tudi deljenje z ničlo nedefinirano, saj vsako število, pomnoženo z 0, da 0 in ga lahko vzamemo kot količnik 0 ⁄ 0.

Zgodovinsko gledano je ena prvih omemb matematične nezmožnosti dodelitve vrednosti ⁄ 0 v kritiki infinitezimalnega računa Georgea Berkeleyja.

Logične napake

Ker ko poljubno število pomnožimo z nič, dobimo kot rezultat vedno nič, ko oba dela izraza delimo × 0 = × 0, kar velja ne glede na vrednost in z 0 dobimo izraz =, kar ni pravilna v primeru poljubno določenih spremenljivk. Ker ničle ni mogoče določiti eksplicitno, ampak v obliki precej zapletenega matematičnega izraza, na primer v obliki razlike dveh vrednosti, reduciranih druga na drugo z algebrskimi transformacijami, je lahko takšna delitev precej neočitna napaka. Neopazna uvedba takšne delitve v dokazni proces, da bi pokazali istovetnost očitno različnih količin in s tem dokazali katero koli absurdno trditev, je ena od vrst matematičnega sofizma.

V računalništvu

Pri programiranju ima lahko poskus deljenja z ničlo različne posledice, odvisno od programskega jezika, vrste podatkov in vrednosti dividende. Posledice deljenja z ničlo v celem številu in realne aritmetike so bistveno drugačne:

• Poskus celo število deljenje z ničlo je vedno kritična napaka, ki onemogoča nadaljnje izvajanje programa. Bodisi vrže izjemo (ki jo lahko program obravnava sam, s čimer se izogne ​​zrušitvi) bodisi povzroči takojšnjo zaustavitev programa in prikaže sporočilo o napaki, ki ga ni mogoče popraviti, in morda vsebino sklada klicev. V nekaterih programskih jezikih, kot je Go, se celoštevilsko deljenje s konstanto nič šteje za napako v sintaksi in povzroči nenormalno prevajanje programa.
• IN resnično aritmetične posledice so lahko različne v različnih jezikih:

• vračanje izjeme ali zaustavitev programa, kot pri celoštevilskem deljenju;
• pridobitev posebne neštevilske vrednosti kot rezultat operacije. V tem primeru se izračuni ne prekinejo, njihov rezultat pa lahko program sam ali uporabnik naknadno interpretira kot smiselno vrednost ali kot dokaz napačnih izračunov. Pogosto uporabljeno načelo je, da je pri deljenju, kot je ⁄ 0, kjer je ≠ 0 število s plavajočo vejico, rezultat enak pozitivni ali negativni (odvisno od predznaka dividende) neskončnosti - ali, in ko je = 0, je rezultat a posebna vrednost NaN (okrajšava . iz angleščine "ni številka" - "ni številka"). Ta pristop je sprejet v standardu IEEE 754, ki ga podpirajo številni sodobni programski jeziki.

Nenamerno deljenje z ničlo v računalniškem programu lahko včasih povzroči drage ali nevarne okvare v strojni opremi, ki jo nadzoruje program. Na primer, 21. septembra 1997 se je zaradi delitve z ničlo v računalniško podprtem nadzornem sistemu križarke ameriške mornarice USS Yorktown (CG-48) izklopila vsa elektronska oprema v sistemu, kar je povzročilo, da je ladijski pogonski sistem preneha delovati.

Poglej tudi

Opombe

Funkcija = 1 ⁄ . Ko se z desne nagiba k ničli, se nagiba v neskončnost; ko se nagiba k ničli od leve, se nagiba k minus neskončnosti

Če poljubno število na običajnem kalkulatorju delite z nič, vam bo dala črko E ali besedo Error, to je »napaka«.

V podobnem primeru računalniški kalkulator piše (v Windows XP): "Deljenje z ničlo je prepovedano."

Vse je v skladu s šolskim pravilom, da ne moreš deliti z nič.

Ugotovimo zakaj.

Deljenje je matematična operacija, inverzna množenju. Deljenje se določi z množenjem.

Deli število a(deljivo, na primer 8) s številom b(delitelj, npr. število 2) - pomeni iskanje takega števila x(količnik), če ga pomnožimo z deliteljem b izkaže se dividenda a(4 2 = 8), to je a deli z b pomeni reševanje enačbe x · b = a.

Enačba a: b = x je enakovredna enačbi x · b = a.

Deljenje zamenjamo z množenjem: namesto 8: 2 = x zapišemo x · 2 = 8.

8: 2 = 4 je enakovredno 4 2 = 8

18: 3 = 6 je enakovredno 6 3 = 18

20: 2 = 10 je enakovredno 10 2 = 20

Rezultat deljenja lahko vedno preverimo z množenjem. Rezultat množenja delitelja s količnikom mora biti dividenda.

Poskusimo na enak način deliti z nič.

Na primer, 6: 0 = ... Moramo najti število, ki bo, če ga pomnožimo z 0, dalo 6. Vendar vemo, da ko ga pomnožimo z nič, vedno dobimo nič. Ni števila, ki bi pomnoženo z ničlo dalo kaj drugega kot nič.

Ko pravijo, da je deljenje z ničlo nemogoče ali prepovedano, mislijo na to, da ne obstaja število, ki bi ustrezalo rezultatu takšnega deljenja (deljenje z ničlo je možno, deljenje pa ne :)).

Zakaj v šoli pravijo, da ne moreš deliti z nič?

Zato v definicija operacija deljenja a z b takoj poudari, da je b ≠ 0.

Če se vam zdi vse zgoraj napisano preveč zapleteno, potem le poskusite: deliti 8 z 2 pomeni ugotoviti, koliko dvojk morate vzeti, da dobite 8 (odgovor: 4). Če 18 delite s 3, ugotovite, koliko trojk morate vzeti, da dobite 18 (odgovor: 6).

Deliti 6 z nič pomeni ugotoviti, koliko ničel morate vzeti, da dobite 6. Ne glede na to, koliko ničel vzamete, boste še vedno dobili ničlo, nikoli pa ne boste dobili 6, tj. deljenje z ničlo je nedefinirano.

Zanimiv rezultat dobimo, če poskušamo število deliti z nič na kalkulatorju Android. Na zaslonu se prikaže ∞ (neskončnost) (ali - ∞ pri deljenju z negativnim številom). Ta rezultat ni pravilen, ker število ∞ ne obstaja. Očitno so programerji zamešali popolnoma drugačne operacije - deljenje števil in iskanje meje številskega zaporedja n/x, kjer je x → 0. Pri deljenju nič z nič bo zapisano NaN (Not a Number).

"Ne moreš deliti z nič!" - Večina šolarjev se tega pravila nauči na pamet, brez vprašanj. Vsi otroci vedo, kaj je "ne smeš" in kaj se bo zgodilo, če na to vprašate: "Zakaj?" A v resnici je zelo zanimivo in pomembno vedeti, zakaj to ni mogoče.

Dejstvo je, da so štiri aritmetične operacije - seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje - pravzaprav neenake. Matematiki priznavajo le dve kot veljavni: seštevanje in množenje. Te operacije in njihove lastnosti so vključene v samo definicijo pojma števila. Vsa druga dejanja so tako ali drugače zgrajena iz teh dveh.

Razmislite na primer o odštevanju. Kaj pomeni 5 - 3 ? Študent bo na to odgovoril preprosto: vzeti morate pet predmetov, odnesti (odstraniti) tri od njih in videti, koliko jih je ostalo. Matematiki pa na ta problem gledajo povsem drugače. Ni odštevanja, je samo seštevanje. Zato vstop 5 - 3 pomeni številko, ki jo prištejemo številu 3 bo dal številko 5 . To je 5 - 3 je preprosto skrajšana različica enačbe: x + 3 = 5. V tej enačbi ni odštevanja.

Deljenje z ničlo

Obstaja le naloga - najti primerno številko.

Enako je z množenjem in deljenjem. Zapis 8: 4 lahko razumemo kot rezultat razdelitve osmih predmetov na štiri enake kupe. Toda v resnici je to le skrajšana oblika enačbe 4 x = 8.

Tu postane jasno, zakaj je nemogoče (ali bolje rečeno nemogoče) deliti z nič. Zapis 5: 0 je okrajšava za 0 x = 5. To pomeni, da je ta naloga najti število, ki je pomnoženo s 0 bo dal 5 . Vemo pa, da ko pomnožimo s 0 vedno se izide 0 . To je inherentna lastnost ničle, strogo gledano, del njene definicije.

Takšno število, ki pomnoženo z 0 bo dal nekaj drugega kot nič, preprosto ne obstaja. To pomeni, da naš problem nima rešitve. (Da, to se zgodi; vsak problem nima rešitve.) Kar pomeni zapise 5: 0 ne ustreza nobeni določeni številki in preprosto ne pomeni ničesar in zato nima pomena. Nesmiselnost tega vnosa je na kratko izražena z besedami, da ne morete deliti z ničlo.

Najbolj pozorni bralci na tem mestu se bodo zagotovo vprašali: ali je mogoče deliti nič z nič?

Dejansko enačba 0 x = 0 uspešno rešeno. Na primer, lahko vzamete x = 0, in potem dobimo 0 0 = 0. Izkazalo se je 0: 0=0 ? Ampak ne hitimo. Poskusimo vzeti x = 1. Dobimo 0 1 = 0. Prav? pomeni, 0: 0 = 1 ? Lahko pa vzameš katero koli številko in dobiš 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 itd.

Če pa je katera koli številka primerna, potem nimamo razloga izbrati katero koli izmed njih. To pomeni, da ne moremo reči, kateri številki ustreza vnos 0: 0 . In če je tako, potem smo prisiljeni priznati, da tudi ta zapis nima smisla. Izkazalo se je, da niti ničle ni mogoče deliti z ničlo. (V matematični analizi obstajajo primeri, ko lahko zaradi dodatnih pogojev problema damo prednost eni od možnih rešitev enačbe 0 x = 0; V takšnih primerih matematiki govorijo o »razvijajoči se negotovosti«, vendar se takšni primeri v aritmetiki ne pojavljajo.)

To je posebnost operacije delitve. Natančneje, operacija množenja in z njo povezano število imata nič.

No, tisti najbolj natančni, ki so prebrali tole, se lahko vprašajo: zakaj se zgodi, da ne moreš deliti z nič, lahko pa odšteješ nič? V nekem smislu se tukaj začne prava matematika. Nanj lahko odgovorite le, če se seznanite s formalnimi matematičnimi definicijami številskih množic in operacij na njih. Ni tako težko, vendar se iz neznanega razloga tega ne učijo v šoli. Toda na predavanjih matematike na univerzi vas bodo najprej naučili tega.

Funkcija deljenja ni definirana za obseg, kjer je delitelj nič. Lahko delite, vendar rezultat ni gotov

Ne moreš deliti z ničlo. Matematika 2. razred srednje šole.

Če me spomin ne vara, potem lahko ničlo predstavimo kot neskončno majhno vrednost, torej bo neskončnost. In šolski "nič - nič" je samo poenostavitev, toliko jih je v šolski matematiki). A brez njih ne gre, vse se bo zgodilo ob svojem času.

Prijavite se za pisanje odgovora

Deljenje z ničlo

Količnik od deljenje z ničlo ni drugega števila kot nič.

Razlaga tukaj je naslednja: ker v tem primeru nobeno število ne more zadostiti definiciji količnika.

Zapišimo npr.

Ne glede na število, ki ga poskusite (recimo 2, 3, 7), ni primerno, ker:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

Kaj se zgodi, če delite z 0?

itd., vendar morate v izdelku dobiti 2,3,7.

Lahko rečemo, da problem deljenja neničelnega števila z ničlo nima rešitve. Vendar pa lahko število, ki ni nič, delimo s številom, ki je tako blizu nič, kolikor želimo, in čim bližje je delitelj ničli, večji je količnik. Torej, če 7 delimo s

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

potem dobimo količnike 70, 700, 7000, 70.000 itd., ki neomejeno naraščajo.

Zato pogosto pravijo, da je količnik 7 deljen z 0 »neskončno velik« ali »enak neskončnosti« in pišejo

\[ 7: 0 = \infin \]

Pomen tega izraza je, da če se delitelj približa ničli in dividenda ostane enaka 7 (ali se približa 7), se količnik neomejeno poveča.