L'inégalité quadratique est inférieure à zéro. Inégalités carrées. Algorithme d'application de la méthode des intervalles

Inégalité carrée - "DE et VERS".Dans cet article, nous allons considérer la solution des inégalités quadratiques, qui est appelée aux subtilités. Je recommande d'étudier attentivement le contenu de l'article sans rien manquer. Vous ne pourrez pas maîtriser l'article tout de suite, je recommande de le faire en plusieurs approches, il y a beaucoup d'informations.

Teneur:

Introduction. Important!

Introduction. Important!

Une inégalité quadratique est une inégalité de la forme :

Si vous prenez une équation quadratique et remplacez le signe égal par l'un des éléments ci-dessus, vous obtenez une inégalité quadratique. Résoudre une inéquation signifie répondre à la question pour quelles valeurs de x l'inégalité donnée sera vraie. Exemples:

10 X 2 – 6 X+12 ≤ 0

2 X 2 + 5 X –500 > 0

– 15 X 2 – 2 X+13 > 0

8 X 2 – 15 X+45≠ 0

L'inégalité quadratique peut être spécifiée implicitement, par exemple :

10 X 2 – 6 X+14 X 2 –5 X +2≤ 56

2 X 2 > 36

8 X 2 <–15 X 2 – 2 X+13

0> – 15 X 2 – 2 X+13

Dans ce cas, il est nécessaire d'effectuer des transformations algébriques et de l'amener à la forme standard (1).

* Les coefficients peuvent être à la fois fractionnaires et irrationnels, mais de tels exemples sont rares dans le programme scolaire et on ne les trouve pas du tout dans les devoirs USE. Mais n'ayez pas peur si, par exemple, vous rencontrez :

C'est aussi une inégalité quadratique.

Tout d'abord, considérons un algorithme de solution simple qui ne nécessite pas de comprendre ce qu'est une fonction quadratique et à quoi ressemble son graphique sur le plan de coordonnées par rapport aux axes de coordonnées. Si vous êtes capable de vous souvenir des informations fermement et longtemps, tout en les renforçant régulièrement par la pratique, alors l'algorithme vous aidera. De plus, si, comme on dit, vous devez résoudre une telle inégalité «en une seule fois», l'algorithme vous aidera. En le suivant, vous implémenterez facilement la solution.

Si vous étudiez à l'école, je vous recommande fortement de commencer à étudier l'article de la deuxième partie, qui explique tout le sens de la solution (voir ci-dessous à partir du paragraphe -). S'il y a une compréhension de l'essence, alors il ne sera pas nécessaire de ne pas apprendre, de ne pas mémoriser l'algorithme spécifié, vous pouvez facilement résoudre rapidement toute inégalité quadratique.

Bien sûr, il faut immédiatement commencer l'explication avec le graphique de la fonction quadratique et expliquer le sens lui-même, mais j'ai décidé de "construire" l'article de cette manière.

Encore un moment théorique ! Regardez la formule pour factoriser un trinôme carré en facteurs :

où x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique ax 2+ boîte+c=0

*Afin de résoudre l'inégalité quadratique, il sera nécessaire de factoriser le trinôme carré.

L'algorithme présenté ci-dessous est également appelé la méthode des intervalles. Il convient à la résolution des inégalités de la forme F(X)>0, F(X)<0 , F(X)≥0 etF(X)≤0 . Veuillez noter qu'il peut y avoir plus de deux multiplicateurs, par exemple :

(x–10)(x+5)(x–1)(x+104)(x+6)(x–1)<0

Algorithme de solution. méthode d'intervalle. Exemples.

Étant donné l'inégalité hache 2 + boîte+ c > 0 (n'importe quel signe).

1. Écrire une équation quadratique hache 2 + boîte+ c = 0 et nous le résolvons. On a x1 et x2 sont les racines de l'équation quadratique.

2. Substitut dans la formule (2) coefficient un et racines. :

hache – X 1 )(X – x2)>0

3. Déterminez les intervalles sur la droite numérique (les racines de l'équation divisent l'axe des nombres en intervalles) :

4. Nous déterminons les "signes" sur les intervalles (+ ou -) en substituant une valeur arbitraire de "x" de chaque intervalle reçu dans l'expression :

hache – X 1 )(X – x2)

et les célébrer.

5. Il ne reste plus qu'à écrire les intervalles qui nous intéressent, ils sont marqués :

- signe "+" si l'inégalité était ">0" ou "≥0".

- signe "-", si l'inégalité était "<0» или «≤0».

REMARQUE!!! Les signes eux-mêmes dans l'inégalité peuvent être :

strict est ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Comment cela affecte-t-il le résultat de la décision ?

Avec des signes stricts d'inégalité, les limites de l'intervalle ne sont PAS INCLUSES dans la solution, tandis que dans la réponse, l'intervalle lui-même est écrit comme ( X 1 ; X 2 ) sont des parenthèses.

Pour les signes d'inégalité non stricts, les limites de l'intervalle ENTRENT la solution et la réponse s'écrit [ X 1 ; X 2 ] - crochets.

*Cela ne s'applique pas seulement aux inégalités carrées. Le crochet signifie que la limite de l'intervalle elle-même est incluse dans la solution.

Vous le verrez dans les exemples. Jetons un coup d'œil à quelques-uns pour supprimer toutes les questions à ce sujet. En théorie, l'algorithme peut sembler un peu compliqué, en fait, tout est simple.

EXEMPLE 1 : Décider X 2 – 60 X+500 ≤ 0

On résout une équation quadratique X 2 –60 X+500=0

ré = b 2 –4 courant alternatif = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Trouver des racines :

On substitue le coefficient un

X 2 –60 X+500 = (x-50)(x-10)

On écrit l'inégalité sous la forme (х–50)(х–10) ≤ 0

Les racines de l'équation divisent la droite numérique en intervalles. Montrons-les sur la droite numérique :

Nous avons obtenu trois intervalles (–∞;10), (10;50) et (50;+∞).

Nous déterminons les "signes" sur les intervalles, faisons cela en substituant des valeurs arbitraires ​​​​de chaque intervalle reçu dans l'expression (x–50) (x–10) et regardons la correspondance du "signe" obtenu avec le signe dans l'inégalité (х–50)(х–10) ≤ 0:

à x=2 (x–50)(x–10) = 384 > 0 est faux

à x=20 (x–50)(x–10) = –300 < 0 верно

à x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 est faux

La solution sera l'intervalle.

Pour toutes les valeurs de x de cet intervalle, l'inégalité sera vraie.

*Veuillez noter que nous avons inclus des crochets.

Pour x = 10 et x = 50, l'inégalité sera également vraie, c'est-à-dire que les frontières sont incluses dans la solution.

Réponse : x∊

De nouveau:

- Les bornes de l'intervalle SONT INCLUSES dans la solution de l'inégalité lorsque la condition contient le signe ≤ ou ≥ (inégalité non stricte). Dans le même temps, il est d'usage d'afficher les racines obtenues dans l'esquisse avec un cercle HASHED.

- Les bornes de l'intervalle NE SONT PAS INCLUSES dans la solution de l'inégalité lorsque la condition contient le signe< или >(inégalité stricte). Dans le même temps, il est d'usage d'afficher la racine dans l'esquisse avec un cercle UNSHATCHED.

EXEMPLE 2 : Résoudre X 2 + 4 X–21 > 0

On résout une équation quadratique X 2 + 4 X–21 = 0

ré = b 2 –4 courant alternatif = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Trouver des racines :

On substitue le coefficient un et racines dans la formule (2), on obtient :

X 2 + 4 X–21 = (x–3)(x+7)

On écrit l'inégalité sous la forme (х–3)(х+7) > 0.

Les racines de l'équation divisent la droite numérique en intervalles. Marquons-les sur la droite numérique :

*L'inégalité n'est pas stricte, donc la notation des racines n'est PAS ombrée. Nous avons obtenu trois intervalles (–∞;–7), (–7;3) et (3;+∞).

Nous déterminons les "signes" sur les intervalles, nous le faisons en substituant des valeurs arbitraires ​​​​de ces intervalles dans l'expression (x–3) (x + 7) et regardons la correspondance avec l'inégalité (х–3)(х+7)> 0:

à x= -10 (-10-3)(-10 +7) = 39 > 0 vrai

à x \u003d 0 (0–3) (0 + 7) \u003d -21< 0 неверно

à x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 vrai

La solution sera deux intervalles (–∞;–7) et (3;+∞). Pour toutes les valeurs de x de ces intervalles, l'inégalité sera vraie.

*Veuillez noter que nous avons inclus des parenthèses. Pour x = 3 et x = -7, l'inégalité sera fausse - les frontières ne sont pas incluses dans la solution.

Réponse : x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

EXEMPLE 3 : Résoudre – X 2 –9 X–20 > 0

On résout une équation quadratique – X 2 –9 X–20 = 0.

un = –1 b = –9 c = –20

ré = b 2 –4 courant alternatif = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Trouver des racines :

On substitue le coefficient un et racines dans la formule (2), on obtient :

– X 2 –9 X–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

On écrit l'inégalité sous la forme –(x+5)(x+4) > 0.

Les racines de l'équation divisent la droite numérique en intervalles. Remarque sur la droite numérique :

*L'inégalité est stricte, donc les symboles des racines ne sont pas grisés. Nous avons obtenu trois intervalles (–∞;–5), (–5; –4) et (–4;+∞).

On détermine les "signes" sur les intervalles, on le fait en substituant dans l'expression –(x+5)(x+4) valeurs arbitraires de ces intervalles et regardons la correspondance avec l'inégalité –(x+5)(x+4)>0:

à x= -10 - (-10+5)(-10 +4) = -30< 0 неверно

à x= -4,5 - (-4,5+5)(-4,5+4) = 0,25 > 0 vrai

à x \u003d 0 - (0 + 5) (0 + 4) \u003d -20< 0 неверно

La solution sera l'intervalle (-5 ; -4). Pour toutes les valeurs de "x" lui appartenant, l'inégalité sera vraie.

*Veuillez noter que les limites ne sont pas incluses dans la solution. Pour x = -5 et x = -4, l'inégalité ne sera pas vraie.

COMMENTER!

Lors de la résolution d'une équation quadratique, nous pouvons obtenir une racine ou il n'y aura pas de racines du tout, puis en utilisant cette méthode aveuglément, il peut être difficile de déterminer la solution.

Petit résumé ! La méthode est bonne et pratique à utiliser, surtout si vous êtes familier avec la fonction quadratique et connaissez les propriétés de son graphique. Si ce n'est pas le cas, veuillez le lire, passez à la section suivante.

Utilisation d'un graphique d'une fonction quadratique. Recommander!

Quadratique est une fonction de la forme :

Son graphe est une parabole, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut ou vers le bas :

Le graphique peut être localisé comme suit : il peut croiser l'axe des abscisses en deux points, il peut le toucher en un point (en haut), il ne peut pas le croiser. Plus à ce sujet plus tard.

Examinons maintenant cette approche avec un exemple. L'ensemble du processus de décision comprend trois étapes. Résolvons l'inégalité X 2 +2 X –8 >0.

Première étape

Résous l'équation X 2 +2 X–8=0.

ré = b 2 –4 courant alternatif = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Trouver des racines :

Nous avons x 1 \u003d 2 et x 2 \u003d - 4.

Seconde phase

Construire une parabole y=X 2 +2 X–8 par points :

Les points - 4 et 2 sont les points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses. Tout est simple ! Qu'ont-ils fait? Nous avons résolu l'équation quadratique X 2 +2 X–8=0. Découvrez son post comme ceci:

0 = x2+2x-8

Zéro pour nous est la valeur de "y". Lorsque y = 0, on obtient les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. Nous pouvons dire que la valeur zéro de "y" est l'axe des abscisses.

Maintenant, regardez quelles valeurs de x l'expression X 2 +2 X – 8 supérieur (ou inférieur) à zéro ? Selon le graphique parabolique, ce n'est pas difficile à déterminer, comme on dit, tout est bien en vue:

1. À x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен X 2 +2 X –8 sera positif.

2. À -4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен X 2 +2 X –8 sera négatif.

3. Pour x > 2, la branche de la parabole se situe au-dessus de l'axe des x. Pour le x donné, le trinôme X 2 +2 X –8 sera positif.

Troisième étape

A partir de la parabole, on voit immédiatement pour quel x l'expression X 2 +2 X–8 supérieur à zéro, égal à zéro, inférieur à zéro. C'est l'essence de la troisième étape de la solution, à savoir, voir et déterminer les zones positives et négatives de la figure. Nous comparons le résultat avec l'inégalité d'origine et écrivons la réponse. Dans notre exemple, il faut déterminer toutes les valeurs de x pour lesquelles l'expression X 2 +2 X–8 Au dessus de zéro. Nous l'avons fait dans la deuxième étape.

Il reste à écrire la réponse.

Réponse : x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Pour résumer: après avoir calculé les racines de l'équation dans la première étape, nous pouvons marquer les points obtenus sur l'axe des abscisses (ce sont les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses). Ensuite, nous construisons schématiquement une parabole et nous pouvons déjà voir la solution. Pourquoi sommaire? Nous n'avons pas besoin d'un calendrier mathématiquement précis. Oui, et imaginez, par exemple, si les racines s'avèrent être 10 et 1500, essayez de construire un graphique précis sur une feuille dans une cellule avec une telle plage de valeurs. La question se pose! Eh bien, nous avons obtenu les racines, eh bien, nous les avons marquées sur l'axe des x et esquissé l'emplacement de la parabole elle-même - avec les branches vers le haut ou vers le bas ? Tout est simple ici ! Le coefficient à x 2 vous dira :

- s'il est supérieur à zéro, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.

- si inférieur à zéro, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.

Dans notre exemple, il est égal à un, c'est-à-dire qu'il est positif.

*Noter! S'il y a un signe non strict dans l'inégalité, c'est-à-dire ≤ ou ≥, alors les racines sur la droite numérique doivent être ombrées, cela indique conditionnellement que la limite de l'intervalle lui-même est incluse dans la solution de l'inégalité. Dans ce cas, les racines ne sont pas ombrées (poinçonnées), puisque notre inégalité est stricte (il y a un signe ">"). Qu'est-ce que la réponse, dans ce cas, mettre entre parenthèses, pas entre crochets (les limites ne sont pas incluses dans la solution).

Écrit beaucoup, quelqu'un confus, probablement. Mais si vous résolvez au moins 5 inégalités à l'aide de paraboles, alors il n'y aura plus de limite à votre admiration. Tout est simple !

Alors, brièvement :

1. Nous écrivons l'inégalité, nous l'amenons à la norme.

2. Nous écrivons l'équation quadratique et la résolvons.

3. Dessinez l'axe des abscisses, marquez les racines obtenues, dessinez schématiquement une parabole, branche vers le haut si le coefficient en x 2 est positif, ou branche vers le bas s'il est négatif.

4. Nous déterminons visuellement les zones positives ou négatives et écrivons la réponse en fonction de l'inégalité d'origine.

Prenons des exemples.

EXEMPLE 1 : Décider X 2 –15 X+50 > 0

Première étape.

On résout une équation quadratique X 2 –15 X+50=0

ré = b 2 –4 courant alternatif = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Trouver des racines :

Seconde phase.

Nous construisons un axe oh. Marquons les racines obtenues. Puisque notre inégalité est stricte, nous ne les nuancerons pas. On construit schématiquement une parabole, elle est située avec les branches vers le haut, puisque le coefficient en x 2 est positif :

Troisième étape.

Nous définissons visuellement les zones positives et négatives, ici nous les avons marquées avec différentes couleurs pour plus de clarté, vous ne pouvez pas le faire.

Nous écrivons la réponse.

Réponse : x∊(–∞;5) U (10;∞).

*Le signe U indique une solution syndicale. Au sens figuré, la solution est "ceci" ET "cet" intervalle.

EXEMPLE 2 : Résoudre – X 2 + X+20 ≤ 0

Première étape.

On résout une équation quadratique – X 2 + X+20=0

ré = b 2 –4 courant alternatif = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Trouver des racines :

Seconde phase.

Nous construisons un axe oh. Marquons les racines obtenues. Puisque notre inégalité n'est pas stricte, nous ombrageons la notation des racines. Nous construisons schématiquement une parabole, elle est située avec les branches vers le bas, puisque le coefficient en x 2 est négatif (il est égal à -1) :

Troisième étape.

Nous définissons les zones visuellement positives et négatives. Comparez avec l'inégalité d'origine (notre signe ≤ 0). L'inégalité sera vraie pour x ≤ - 4 et x ≥ 5.

Nous écrivons la réponse.

Réponse : x∊(–∞;–4] U ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) ou x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .

Exemple 3

Résolvez l'inégalité quadratique - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

Décision

Trouvons d'abord les racines du trinôme carré du côté gauche de l'inégalité:

D " \u003d 1 2 - - 1 7 - 7 \u003d 0 x 0 \u003d - 1 - 1 7 x 0 \u003d 7

Il s'agit d'une inégalité stricte, nous utilisons donc un point "vide" sur le graphique. Avec la coordonnée 7 .

Il faut maintenant déterminer les signes sur les intervalles obtenus (− ∞ , 7) et (7 , + ∞) . Comme le discriminant du trinôme carré est égal à zéro, et que le coefficient dominant est négatif, on pose les signes − , − :

Puisque nous résolvons une inéquation signée< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

Dans ce cas, les solutions sont toutes deux des intervalles (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .

Répondre:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) ou dans une autre notation x ≠ 7 .

Exemple 4

L'inégalité quadratique x 2 + x + 7< 0 решения?

Décision

Trouvons les racines du trinôme carré du côté gauche de l'inégalité. Pour ce faire, on trouve le discriminant : D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . Le discriminant est inférieur à zéro, il n'y a donc pas de racines réelles.

L'image graphique ressemblera à une droite numérique sans points marqués dessus.

Déterminons le signe des valeurs du trinôme carré. À D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

Dans ce cas, nous pourrions appliquer des hachures sur les espaces avec le signe "-". Mais nous n'avons pas de telles lacunes. Donc le dessin ressemble à ça :

À la suite de calculs, nous avons obtenu un ensemble vide. Cela signifie que cette inégalité quadratique n'a pas de solutions.

Répondre: Non.

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Dans cette section, nous avons collecté des informations sur les inégalités quadratiques et les principales approches de leur solution. Nous allons consolider le matériel avec une analyse d'exemples.

Qu'est-ce qu'une inégalité quadratique

Voyons comment distinguer les différents types d'inégalités selon le type d'enregistrement et sélectionner les carrés parmi eux.

Définition 1

Inégalité carrée est une inégalité qui ressemble à une x 2 + b x + c< 0 , où a , b et c sont des nombres, et un non égal à zéro. x est une variable, et à la place du signe < peut être n'importe quel autre signe d'inégalité.

Le deuxième nom des équations quadratiques est le nom d'"inégalité du second degré". L'existence du deuxième nom peut être expliquée comme suit. Sur le côté gauche de l'inégalité se trouve un polynôme du second degré - un trinôme carré. L'application du terme "inégalités quadratiques" aux inégalités quadratiques est incorrecte, car les quadratiques sont des fonctions données par des équations de la forme y = une x 2 + b x + c.

Voici un exemple d'inégalité quadratique :

Exemple 1

Prenons 5 x 2 - 3 x + 1 > 0. Dans ce cas a = 5 , b = − 3 et c = 1.

Soit cette inégalité :

Exemple 2

− 2 , 2 z 2 − 0 , 5 z − 11 ≤ 0, où a = − 2 , 2 , b = − 0 , 5 et c = − 11.

Montrons quelques exemples d'inégalités quadratiques :

Exemple 3

Une attention particulière doit être portée au fait que le coefficient x2 considéré comme nul. Ceci s'explique par le fait que sinon on obtient une inégalité linéaire de la forme bx + c > 0, puisque la variable quadratique, multipliée par zéro, deviendra elle-même égale à zéro. Parallèlement, les coefficients b et c peut être égal à zéro à la fois ensemble et séparément.

Exemple 4

Un exemple d'une telle inégalité x 2 − 5 ≥ 0.

Façons de résoudre les inégalités quadratiques

Il existe trois méthodes principales :

Définition 2

• graphique;
• méthode d'intervalle ;
• par la sélection du carré du binôme du côté gauche.

Méthode graphique

La méthode implique la construction et l'analyse d'un graphique d'une fonction quadratique y = une x 2 + b x + c pour les inégalités carrées a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) . La solution d'une inégalité quadratique est le ou les intervalles sur lesquels la fonction spécifiée prend des valeurs positives et négatives.

Méthode d'espacement

Vous pouvez résoudre une inégalité quadratique avec une variable en utilisant la méthode de l'intervalle. La méthode est applicable pour résoudre tout type d'inégalités, pas seulement les inégalités carrées. L'essence de la méthode est de déterminer les signes des intervalles dans lesquels l'axe des coordonnées est divisé par les zéros du trinôme une x 2 + b x + c si disponible.

Pour l'inégalité une x 2 + b x + c< 0 les solutions sont des intervalles avec un signe moins, pour l'inégalité une x 2 + b x + c > 0, intervalles avec un signe plus. S'il s'agit d'inégalités non strictes, alors la solution devient un intervalle qui comprend des points qui correspondent aux zéros du trinôme.

Sélection du carré du binôme

Le principe de sélection du carré du binôme du côté gauche de l'inégalité quadratique est d'effectuer des transformations équivalentes qui permettent d'aller à la solution d'une inégalité équivalente de la forme (x − p) 2< q (≤ , >, ≥) , où p et q- quelques chiffres.

Il est possible d'arriver à des inégalités quadratiques à l'aide de transformations équivalentes à partir d'inégalités d'autres types. Cela peut se faire de différentes façons. Par exemple, en réorganisant les termes d'une inégalité donnée ou en transférant des termes d'une partie à une autre.

Prenons un exemple. Considérons une transformation équivalente de l'inégalité 5 ≤ 2x − 3x2. Si nous transférons tous les termes du côté droit vers le côté gauche, nous obtenons une inégalité quadratique de la forme 3 x 2 − 2 x + 5 ≤ 0.

Exemple 5

Il faut trouver un ensemble de solutions à l'inégalité 3 (x − 1) (x + 1)< (x − 2) 2 + x 2 + 5 .

Décision

Pour résoudre le problème, nous utilisons les formules de multiplication abrégée. Pour ce faire, on collecte tous les termes du côté gauche de l'inégalité, on ouvre les parenthèses et on donne des termes similaires :

3 (x - 1) (x + 1) - (x - 2) 2 - x 2 - 5< 0 , 3 · (x 2 − 1) − (x 2 − 4 · x + 4) − x 2 − 5 < 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 < 0 , x 2 + 4 · x − 12 < 0 .

Nous avons obtenu une inégalité quadratique équivalente, qui peut être résolue graphiquement en déterminant les points discriminants et d'intersection.

ré ’ = 2 2 − 1 (− 12) = 16 , X 1 = − 6 , X 2 = 2

Après avoir construit un graphe, nous pouvons voir que l'ensemble des solutions est l'intervalle (− 6 , 2) .

Répondre: (− 6 , 2) .

Les inégalités irrationnelles et logarithmiques sont un exemple d'inégalités qui se réduisent souvent aux carrés. Ainsi, par exemple, l'inégalité 2 x 2 + 5< x 2 + 6 · x + 14

est équivalente à l'inégalité quadratique x 2 - 6 x - 9< 0 , et l'inégalité logarithmique log 3 (x 2 + x + 7) ≥ 2 à l'inégalité X 2 + X − 2 ≥ 0.

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Cet article contient du matériel couvrant le sujet " solution des inégalités carrées". Tout d'abord, on montre ce que sont les inégalités quadratiques à une variable, leur forme générale est donnée. Et puis il est analysé en détail comment résoudre les inégalités quadratiques. Les principales approches de la solution sont présentées : une méthode graphique, une méthode des intervalles, et en mettant en évidence le carré du binôme du côté gauche de l'inégalité. Des solutions d'exemples typiques sont données.

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Qu'est-ce qu'une inégalité quadratique ?

Naturellement, avant de parler de résolution d'inégalités quadratiques, il faut bien comprendre ce qu'est une inégalité quadratique. En d'autres termes, vous devez pouvoir distinguer les inégalités carrées des inégalités d'autres types par le type d'enregistrement.

Définition.

Inégalité carrée est une inégalité de la forme a x 2 +b x+c<0 (вместо знака >il peut y avoir n'importe quel autre signe d'inégalité ≤, >, ≥), où a, b et c sont des nombres, et a≠0, et x est une variable (la variable peut être désignée par n'importe quelle autre lettre).

Donnons immédiatement un autre nom aux inégalités quadratiques - inégalité du second degré. Ce nom s'explique par le fait que du côté gauche des inégalités a x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Vous pouvez aussi parfois entendre que les inégalités quadratiques sont appelées inégalités quadratiques. Ce n'est pas tout à fait correct : la définition de "quadratique" fait référence à des fonctions données par des équations de la forme y=a x 2 +b x+c . Il existe donc des inégalités quadratiques et fonctions quadratiques, mais pas les inégalités quadratiques.

Montrons quelques exemples d'inégalités carrées : 5 x 2 −3 x+1>0 , ici a=5 , b=−3 et c=1 ; −2,2 z 2 −0,5 z−11≤0, les coefficients de cette inégalité quadratique sont a=−2.2 , b=−0.5 et c=−11 ; , dans ce cas .

Notez que dans la définition de l'inégalité quadratique, le coefficient a en x 2 est considéré comme non nul. C'est compréhensible, l'égalité du coefficient a à zéro va en fait "supprimer" le carré, et on aura affaire à une inégalité linéaire de la forme b x + c>0 sans le carré de la variable. Mais les coefficients b et c peuvent être égaux à zéro, à la fois séparément et simultanément. Voici des exemples de telles inégalités carrées : x 2 −5≥0 , ici le coefficient b pour la variable x est égal à zéro ; −3 × 2 −0,6 ×<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 et b et c sont nuls.

Comment résoudre les inégalités quadratiques ?

Maintenant, vous pouvez être déconcerté par la question de savoir comment résoudre les inégalités quadratiques. Fondamentalement, trois méthodes principales sont utilisées pour résoudre:

• méthode graphique (ou, comme dans A.G. Mordkovich, fonctionnelle-graphique),
• méthode d'intervalle,
• et résoudre les inégalités quadratiques en mettant en évidence le carré du binôme sur le côté gauche.

Graphiquement

Faisons d'emblée une réserve que la méthode de résolution des inégalités quadratiques, que nous commençons à considérer, n'est pas dite graphique dans les manuels scolaires d'algèbre. Cependant, en substance, c'est ce qu'il est. De plus, la première rencontre avec manière graphique de résoudre les inégalités commence généralement lorsque la question se pose de savoir comment résoudre les inégalités quadratiques.

Manière graphique de résoudre les inégalités quadratiques a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥) consiste à analyser le graphique de la fonction quadratique y=a x 2 +b x+c pour trouver les intervalles dans lesquels la fonction spécifiée prend des valeurs négatives, positives, non positives ou non négatives. Ces intervalles constituent les solutions des inégalités quadratiques a x 2 +b x+c<0 , a·x 2 +b·x+c>0 , a x 2 +b x+c≤0 et a x 2 +b x+c≥0 respectivement.

méthode d'intervalle

Pour résoudre des inégalités carrées avec une variable, en plus de la méthode graphique, la méthode des intervalles est assez pratique, elle-même très polyvalente et adaptée à la résolution de diverses inégalités, pas seulement des inégalités carrées. Son aspect théorique se situe en dehors du cours d'algèbre des classes 8, 9, lorsqu'ils apprennent à résoudre des inégalités quadratiques. Par conséquent, nous n'entrerons pas ici dans la justification théorique de la méthode des intervalles, mais nous nous concentrerons sur la façon dont les inégalités quadratiques sont résolues avec son aide.

L'essence de la méthode des intervalles, par rapport à la solution des inégalités carrées a x 2 +b x + c<0 (≤, >, ≥), consiste à déterminer les signes qui ont les valeurs du trinôme carré a x 2 + b x + c sur les intervalles dans lesquels l'axe des coordonnées est divisé par les zéros de ce trinôme (le cas échéant). Les écarts avec des signes moins constituent les solutions de l'inégalité quadratique a x 2 +b x+c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , et lors de la résolution d'inéquations non strictes, les points correspondant aux zéros du trinôme sont ajoutés aux intervalles indiqués.

Vous pouvez vous familiariser avec tous les détails de cette méthode, son algorithme, les règles de placement des signes sur les intervalles et envisager des solutions toutes faites pour des exemples typiques avec les illustrations données en vous référant au matériel de l'article résolution des inégalités quadratiques par l'intervalle méthode.

En isolant le carré du binôme

En plus de la méthode graphique et de la méthode des intervalles, il existe d'autres approches qui permettent de résoudre les inégalités quadratiques. Et nous arrivons à l'un d'eux, qui est basé sur élever au carré un binôme du côté gauche de l'inégalité quadratique.

Le principe de cette méthode de résolution des inégalités quadratiques est d'effectuer des transformations équivalentes de l'inégalité , permettant d'aller à la solution d'une inégalité équivalente de la forme (x−p) 2 , ≥), où p et q sont des nombres.

Et comment se fait le passage à l'inégalité (x−p) 2 , ≥) et comment le résoudre, le matériel de l'article explique la solution des inégalités quadratiques en mettant en évidence le carré du binôme. Il existe également des exemples de résolution d'inégalités quadratiques de cette manière et les illustrations graphiques nécessaires sont données.

Inégalités quadratiques

En pratique, on a très souvent affaire à des inégalités que l'on peut réduire à l'aide de transformations équivalentes en inégalités quadratiques de la forme a x 2 +b x + c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Commençons par des exemples des inégalités les plus simples qui peuvent être réduites au carré. Parfois, pour passer à une inégalité quadratique, il suffit de réarranger les termes de cette inégalité ou de les transférer d'une partie à l'autre. Par exemple, si nous transférons tous les termes du côté droit de l'inégalité 5≤2 x−3 x 2 vers le côté gauche, alors nous obtenons une inégalité quadratique sous la forme spécifiée ci-dessus 3 x 2 −2 x+5≤0 . Autre exemple : réarranger l'inégalité 5+0,6 x 2 −x sur le côté gauche<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

A l'école, dans les cours d'algèbre, lorsqu'ils apprennent à résoudre des inégalités quadratiques, ils traitent simultanément de solution des inégalités rationnelles, se réduisant au carré. Leur solution implique le transfert de tous les termes vers le côté gauche avec la transformation subséquente de l'expression qui y est formée sous la forme a x 2 +b x + c en exécutant . Prenons un exemple.

Exemple.

Trouver un ensemble de solutions à l'inégalité 3 (x−1) (x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .inégalité irrationnelle est équivalente à l'inégalité quadratique x 2 −6 x−9<0 , а inégalité logarithmique – inégalité x 2 +x−2≥0 .

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