एक अक्ष पर एक वेक्टर के प्रक्षेपण का उपयोग करके दूरी खोजने के लिए मूल सूत्र। वेक्टर प्रक्षेपण। समायोजन ध्रुव। बिंदु प्रक्षेपण। बिंदु अक्ष पर निर्देशांक करता है कि अक्ष पर प्रक्षेपण के चिन्ह का निर्धारण कैसे करें

एक। अक्ष PQ (चित्र 4) पर बिंदु A का प्रक्षेपण एक दिए गए बिंदु से दिए गए अक्ष पर गिराए गए लंब का आधार है। जिस अक्ष पर हम प्रोजेक्ट करते हैं उसे प्रक्षेपण अक्ष कहा जाता है।

बी। मान लीजिए दो अक्ष और एक सदिश A B दिया हुआ है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 5.

जिस सदिश की शुरुआत शुरुआत और अंत का प्रक्षेपण है - इस वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण, पीक्यू अक्ष पर वेक्टर ए बी का प्रक्षेपण कहा जाता है, इसे इस तरह लिखा जाता है;

कभी-कभी पीक्यू संकेतक नीचे नहीं लिखा जाता है, यह उन मामलों में किया जाता है जहां पीक्यू के अलावा कोई अन्य धुरी नहीं होती है जिसे प्रक्षेपित किया जा सकता है।

साथ। प्रमेय I. एक ही अक्ष पर स्थित सदिशों के मान किसी अक्ष पर उनके अनुमानों के मान के रूप में संबंधित होते हैं।

चित्र 6 में दिखाए गए अक्षों और सदिशों को दें। त्रिभुजों की समानता से, यह देखा जा सकता है कि सदिशों की लंबाई उनके अनुमानों की लंबाई के रूप में संबंधित हैं, अर्थात

चूंकि ड्राइंग में वैक्टर अलग-अलग दिशाओं में निर्देशित होते हैं, इसलिए उनके परिमाण के अलग-अलग मान होते हैं, इसलिए,

जाहिर है, प्रक्षेपण मूल्यों का भी एक अलग संकेत है:

(2) को (3) से (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

संकेतों को उलट कर, हम प्राप्त करते हैं

यदि वैक्टर समान रूप से निर्देशित हैं, तो एक दिशा और उनके अनुमान होंगे; सूत्र (2) और (3) में कोई ऋण चिह्न नहीं होगा। समानता (1) में (2) और (3) को प्रतिस्थापित करने पर, हम तुरंत समानता (4) प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, प्रमेय सभी मामलों के लिए सिद्ध होता है।

डी। प्रमेय द्वितीय। किसी अक्ष पर एक सदिश के प्रक्षेपण का मान, प्रक्षेपणों के अक्ष और सदिश के अक्ष के बीच के कोण के कोज्या से गुणा किए गए सदिश के मान के बराबर होता है। चित्र में दिखाए अनुसार सदिश को अक्ष को दिया जाए . 7. आइए अपनी धुरी के साथ समान रूप से निर्देशित एक वेक्टर का निर्माण करें और स्थगित करें, उदाहरण के लिए, अक्षों के चौराहे के बिंदु से। इसकी लंबाई एक के बराबर होने दें। फिर उसका मूल्य

§ 3. समन्वय अक्षों पर वेक्टर अनुमान

1. ज्यामितीय रूप से अनुमानों का पता लगाना।

वेक्टर
- अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण बैल
- अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण ओए

परिभाषा 1. वेक्टर प्रक्षेपण किसी भी समन्वय अक्ष पर "प्लस" या "माइनस" चिन्ह के साथ ली गई संख्या को कहा जाता है, जो लंबवत के आधारों के बीच स्थित खंड की लंबाई के अनुरूप होती है, जो वेक्टर की शुरुआत और अंत से समन्वय अक्ष तक कम होती है।

प्रक्षेपण चिह्न को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। यदि, समन्वय अक्ष के साथ चलते समय, वेक्टर की शुरुआत के प्रक्षेपण बिंदु से अक्ष की सकारात्मक दिशा में वेक्टर के अंत के प्रक्षेपण बिंदु तक एक गति होती है, तो वेक्टर का प्रक्षेपण सकारात्मक माना जाता है . यदि - अक्ष के विपरीत है, तो प्रक्षेपण को ऋणात्मक माना जाता है।

आंकड़ा दिखाता है कि यदि वेक्टर किसी तरह समन्वय अक्ष के विपरीत उन्मुख है, तो इस अक्ष पर इसका प्रक्षेपण नकारात्मक है। यदि वेक्टर समन्वय अक्ष की सकारात्मक दिशा में किसी तरह उन्मुख है, तो इस अक्ष पर इसका प्रक्षेपण सकारात्मक है।

यदि वेक्टर समन्वय अक्ष के लंबवत है, तो इस अक्ष पर इसका प्रक्षेपण शून्य के बराबर है।
यदि एक सदिश एक अक्ष के साथ सह-निर्देशित है, तो इस अक्ष पर इसका प्रक्षेपण सदिश के मॉड्यूल के बराबर है।
यदि वेक्टर समन्वय अक्ष के विपरीत है, तो इस अक्ष पर इसका प्रक्षेपण वेक्टर मापांक के निरपेक्ष मान के बराबर है, जिसे माइनस साइन के साथ लिया गया है।

2. प्रक्षेपण की सबसे सामान्य परिभाषा।

एक समकोण त्रिभुज से अब्द: .

परिभाषा 2। वेक्टर प्रक्षेपण किसी भी समन्वय अक्ष पर वेक्टर के मॉड्यूलस के उत्पाद के बराबर संख्या और समन्वय अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ वेक्टर द्वारा गठित कोण के कोसाइन कहा जाता है।

प्रक्षेपण का संकेत वेक्टर द्वारा अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ गठित कोण के कोसाइन के संकेत द्वारा निर्धारित किया जाता है।
यदि कोण तीव्र है, तो कोसाइन का सकारात्मक संकेत है, और अनुमान सकारात्मक हैं। अधिक कोणों के लिए, कोज्या का ऋणात्मक चिह्न होता है, इसलिए ऐसे मामलों में अक्ष पर प्रक्षेपण ऋणात्मक होते हैं।
- इसलिए अक्ष के लंबवत वैक्टर के लिए, प्रक्षेपण शून्य है।

अक्ष दिशा है। इसलिए, एक अक्ष या एक निर्देशित रेखा पर प्रक्षेपण को समान माना जाता है। प्रक्षेपण बीजगणितीय या ज्यामितीय हो सकता है। ज्यामितीय शब्दों में, एक अक्ष पर एक सदिश के प्रक्षेपण को एक सदिश के रूप में समझा जाता है, और बीजगणितीय शब्दों में, यह एक संख्या है। यही है, एक अक्ष पर एक सदिश के प्रक्षेपण की अवधारणाओं और एक अक्ष पर एक सदिश के संख्यात्मक प्रक्षेपण का उपयोग किया जाता है।

यदि हमारे पास एक अक्ष L और एक गैर-शून्य सदिश A B → है, तो हम एक सदिश A 1 B 1 ⇀ का निर्माण कर सकते हैं, जो इसके बिंदुओं A 1 और B 1 के अनुमानों को दर्शाता है।

A 1 B → 1 सदिश A B → का L पर प्रक्षेपण होगा।

परिभाषा 1

अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपणएक वेक्टर कहा जाता है, जिसकी शुरुआत और अंत दिए गए वेक्टर की शुरुआत और अंत के अनुमान हैं। n p L A B → → यह L पर A B → के प्रक्षेपण को निरूपित करने के लिए प्रथागत है। L पर प्रक्षेपण बनाने के लिए, L पर लंब डालें।

उदाहरण 1

एक अक्ष पर एक सदिश के प्रक्षेपण का एक उदाहरण।

निर्देशांक तल O x y पर, एक बिंदु M 1 (x 1, y 1) निर्दिष्ट है। बिंदु M 1 के त्रिज्या वेक्टर की छवि के लिए O x और O y पर अनुमानों का निर्माण करना आवश्यक है। आइए सदिशों (x 1 , 0) और (0 , y 1) के निर्देशांक प्राप्त करें।

अगर हम एक → के गैर-शून्य b → पर प्रक्षेपण के बारे में बात कर रहे हैं या दिशा b → पर एक → के प्रक्षेपण के बारे में बात कर रहे हैं, तो हमारा मतलब उस अक्ष पर एक → के प्रक्षेपण से है जिसके साथ दिशा b → मेल खाती है। प्रक्षेपण a → b → द्वारा परिभाषित रेखा पर n p b → a → → निरूपित किया जाता है। यह ज्ञात है कि जब कोण a → और b → के बीच होता है, तो हम n p b → a → → और b → कोडायरेक्शनल मान सकते हैं। इस मामले में जब कोण कुंठित होता है, n p b → a → → और b → विपरीत दिशा में होते हैं। लंबवतता की स्थिति में a → और b → , और a → शून्य है, a → का प्रक्षेपण दिशा b → के साथ एक शून्य वेक्टर है।

किसी अक्ष पर सदिश के प्रक्षेपण की संख्यात्मक विशेषता किसी दिए गए अक्ष पर सदिश का संख्यात्मक प्रक्षेपण है।

परिभाषा 2

अक्ष पर वेक्टर का संख्यात्मक प्रक्षेपणएक संख्या को कॉल करें जो किसी दिए गए वेक्टर की लंबाई के उत्पाद के बराबर है और दिए गए वेक्टर और वेक्टर के बीच के कोण के कोसाइन जो अक्ष की दिशा निर्धारित करता है।

A B → का L पर संख्यात्मक प्रक्षेपण को n p L A B → और a → पर b → - n p b → a → के रूप में दर्शाया गया है।

सूत्र के आधार पर, हमें n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ मिलता है, जहाँ a → सदिश a → की लंबाई है, a ⇀ , b → ^ सदिशों a → और के बीच का कोण है बी → .

हमें संख्यात्मक प्रक्षेपण की गणना के लिए सूत्र मिलता है: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ । यह ज्ञात लंबाई a → और b → और उनके बीच के कोण के लिए लागू होता है। ज्ञात निर्देशांक a → और b → के लिए सूत्र लागू होता है, लेकिन इसका एक सरलीकृत संस्करण है।

उदाहरण 2

संख्यात्मक प्रक्षेपण का पता लगाएं a → दिशा में एक सीधी रेखा पर → → जिसकी लंबाई a → 8 के बराबर है और उनके बीच का कोण 60 डिग्री है। शर्त के अनुसार हमारे पास a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° है। इसलिए, हम संख्यात्मक मानों को सूत्र n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 में प्रतिस्थापित करते हैं।

उत्तर: 4.

ज्ञात cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → के साथ, हमारे पास a → , b → a → और b → का अदिश गुणनफल है। सूत्र n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ से अनुसरण करते हुए, हम संख्यात्मक प्रक्षेपण a → सदिश b → के साथ निर्देशित पा सकते हैं और n p b → a → = a → , b → b → प्राप्त कर सकते हैं। सूत्र खंड की शुरुआत में दी गई परिभाषा के बराबर है।

परिभाषा 3

b → के साथ दिशा में संयोग करने वाले अक्ष पर सदिश a → का संख्यात्मक प्रक्षेपण सदिशों a → और b → की लंबाई b → के अदिश गुणनफल का अनुपात है। सूत्र n p b → a → = a → , b → b → a → के संख्यात्मक प्रक्षेपण को ज्ञात a → और b → निर्देशांक के साथ b → के साथ एक सीधी रेखा पर संयोग करने के लिए लागू होता है।

उदाहरण 3

दिया हुआ b → = (- 3 , 4) । L पर संख्यात्मक प्रक्षेपण a → = (1 , 7) ज्ञात कीजिए।

समाधान

निर्देशांक समतल पर n p b → a → = a → , b → b → का रूप n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 है, जिसमें a → = (a x, a y ) और बी → = बी एक्स, बी वाई। L अक्ष पर वेक्टर a → का संख्यात्मक प्रक्षेपण खोजने के लिए, आपको चाहिए: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5।

उत्तर: 5.

उदाहरण 4

प्रक्षेपण a → L पर खोजें, दिशा b → के साथ मेल खाता है, जहां a → = - 2 , 3 , 1 और b → = (3 , - 2 , 6) हैं। एक त्रि-आयामी स्थान दिया गया है।

समाधान

a → = a x , a y , a z और b → = b x , b y , b z अदिश गुणनफल की गणना करें: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z । सूत्र b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 से हम लंबाई b → ज्ञात करते हैं। यह इस प्रकार है कि संख्यात्मक प्रक्षेपण a → निर्धारित करने का सूत्र होगा: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 ।

हम संख्यात्मक मान प्रतिस्थापित करते हैं: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 ।

उत्तर :- 67 .

आइए L पर a → और L पर a → के प्रक्षेपण की लंबाई के बीच के संबंध को देखें। एक बिंदु से एल तक एक → और बी → जोड़कर एक अक्ष एल बनाएं, जिसके बाद हम एल के अंत से एक लंबवत रेखा खींचते हैं और एल पर प्रोजेक्ट करते हैं। छवि के 5 रूपांतर हैं:

पहलामामला जब a → = n p b → a → → का अर्थ है a → = n p b → a → → , इसलिए n p b → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → एक → → .

दूसरामामला n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , इसलिए n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → का उपयोग करता है।

तीसरामामला बताता है कि जब n p b → a → → = 0 → हमें n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0 मिलता है, तो n p b → a → → = 0 और n p b → ए → = 0 = एन पी बी → ए → →।

चौथीमामला दिखाता है n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , अनुसरण करता है n p b → a → = a → cos (a → , b → ^) = - एन पी बी → ए → →।

पांचवांमामला a → = n p b → a → → दिखाता है, जिसका अर्थ है a → = n p b → a → → , इसलिए हमारे पास n p b → a → = a → cos a → , b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = है - एन पी बी → ए →।

परिभाषा 4

सदिश का संख्यात्मक प्रक्षेपण a → अक्ष L पर, जो b → की तरह निर्देशित है, का अर्थ है:

• सदिश a → L पर प्रक्षेपण की लंबाई बशर्ते कि a → और b → के बीच का कोण 90 डिग्री से कम या 0 के बराबर हो: n p b → a → = n p b → a → → स्थिति 0 ≤ (a →) के साथ , बी →) ^< 90 ° ;
• लंब की स्थिति के तहत शून्य a → और b → : n p b → a → = 0 जब (a → , b → ^) = 90 °;
• प्रक्षेपण की लंबाई a → L पर, बार -1 जब वैक्टर a → और b → का एक अधिक या चपटा कोण होता है: n p b → a → = - n p b → a → → 90 ° स्थिति के साथ< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

उदाहरण 5

प्रक्षेपण की लंबाई को देखते हुए a → L पर, 2 के बराबर। दिया गया कोण 5 π 6 रेडियन का संख्यात्मक प्रक्षेपण ज्ञात कीजिए।

समाधान

यह स्थिति से देखा जा सकता है कि यह कोण अधिक कोण है: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

उत्तर :- 2.

उदाहरण 6

30 डिग्री के कोण के साथ वेक्टर a → बराबर 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) की लंबाई के साथ एक विमान O x y z दिया। L अक्ष पर प्रक्षेपण a → के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान

सबसे पहले, हम सदिश a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 के संख्यात्मक प्रक्षेपण की गणना करते हैं।

स्थिति के अनुसार, कोण तीव्र है, फिर संख्यात्मक प्रक्षेपण a → = सदिश a → : n p L a → = n p L a → → = 9 के प्रक्षेपण की लंबाई है। यह मामला दर्शाता है कि सदिश n p L a → → और b → सह-निर्देशित हैं, जिसका अर्थ है कि एक संख्या t है जिसके लिए समानता सत्य है: n p L a → → = t · b → । यहाँ से हम देखते हैं कि n p L a → → = t b → , इसलिए हम पैरामीटर t का मान ज्ञात कर सकते हैं: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3।

फिर एन पी एल ए → → = 3 बी → एल अक्ष पर वेक्टर ए → के प्रक्षेपण के निर्देशांक के साथ बी → = (- 2, 1, 2) हैं, जहां मूल्यों को 3 से गुणा करना आवश्यक है हमारे पास n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) है। उत्तर: (- 6 , 3 , 6 ) .

वेक्टर संरेखता की स्थिति के बारे में पहले से अध्ययन की गई जानकारी को दोहराना आवश्यक है।

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दो वैक्टर और अंतरिक्ष में दिए जाने दें। एक मनमाना बिंदु से अलग सेट करें हेवैक्टर और। कोनासदिशों के बीच और सबसे छोटा कोण कहलाता है। लक्षित .

अक्ष पर विचार करें एलऔर उस पर एक यूनिट वेक्टर प्लॉट करें (यानी, एक वेक्टर जिसकी लंबाई एक के बराबर है)।

सदिश और अक्ष के बीच का कोण एलसदिशों और के बीच के कोण को समझें।

तो चलो एलकुछ अक्ष है और एक वेक्टर है।

द्वारा निरूपित करें ए 1और बी 1अक्ष पर प्रक्षेपण एलअंक एऔर बी. चलो बहाना करते हैं ए 1एक समन्वय है एक्स 1, ए बी 1- समन्वय x2एक्सल पर एल.

तब अनुमानवेक्टर प्रति अक्ष एलअंतर कहा जाता है एक्स 1 – x2इस अक्ष पर वेक्टर के अंत और शुरुआत के प्रक्षेपणों के निर्देशांक के बीच।

एक अक्ष पर एक सदिश का प्रक्षेपण एलहम निरूपित करेंगे।

यह स्पष्ट है कि यदि वेक्टर और अक्ष के बीच का कोण एलतेज तो x2> एक्स 1, और प्रक्षेपण x2 – एक्स 1> 0; यदि यह कोण अधिक कोण है, तो x2< एक्स 1और प्रक्षेपण x2 – एक्स 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси एल, वह x2= एक्स 1और x2– एक्स 1=0.

इस प्रकार, अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण एलखंड की लंबाई है ए 1 बी 1एक निश्चित संकेत के साथ लिया गया। इसलिए, एक अक्ष पर सदिश का प्रक्षेपण एक संख्या या एक अदिश राशि है।

एक वेक्टर का दूसरे पर प्रक्षेपण इसी तरह परिभाषित किया गया है। इस स्थिति में, इस सदिश के सिरों के प्रक्षेपण उस रेखा पर पाए जाते हैं जिस पर दूसरा सदिश स्थित है।

आइए कुछ मुख्य देखें प्रक्षेपण गुण.

वेक्टर के रैखिक रूप से निर्भर और रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली

आइए कई वैक्टरों पर विचार करें।

रैखिक संयोजनइन सदिशों में से कोई भी सदिश के रूप में है, जहाँ कुछ संख्याएँ हैं। संख्याओं को रैखिक संयोजन का गुणांक कहा जाता है। यह भी कहा जाता है कि इस मामले में रैखिक रूप से दिए गए वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त किया गया है, अर्थात रैखिक संचालन द्वारा उनसे प्राप्त किया गया।

उदाहरण के लिए, यदि तीन सदिश दिए गए हैं, तो सदिशों को उनके रैखिक संयोजन के रूप में माना जा सकता है:

यदि एक सदिश को कुछ सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है, तो इसे कहा जाता है विघटितइन वैक्टरों के साथ।

वैक्टर कहलाते हैं रैखिक रूप से निर्भर, यदि ऐसी संख्याएँ हैं, जो सभी शून्य के बराबर नहीं हैं, कि . यह स्पष्ट है कि दिए गए वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर होंगे यदि इनमें से कोई भी वेक्टर अन्य के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया गया हो।

अन्यथा, अर्थात् जब अनुपात केवल जब प्रदर्शन किया , ये वेक्टर कहलाते हैं रैखिक रूप से स्वतंत्र.

प्रमेय 1।कोई भी दो सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं यदि और केवल यदि वे संरेखी हों।

सबूत:

निम्नलिखित प्रमेय को इसी तरह सिद्ध किया जा सकता है।

प्रमेय 2।तीन सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं यदि और केवल यदि वे समतलीय हों।

सबूत.

आधार

आधारगैर-शून्य रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर का संग्रह है। आधार के तत्वों द्वारा निरूपित किया जाएगा।

पिछले उपभाग में, हमने देखा कि समतल में दो असंरेखीय सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, पिछले पैराग्राफ से प्रमेय 1 के अनुसार, एक तल पर एक आधार इस तल पर दो असंरेखीय सदिश होते हैं।

इसी प्रकार, कोई भी तीन गैर समतलीय सदिश अंतरिक्ष में रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं। इसलिए, तीन गैर समतलीय सदिशों को अंतरिक्ष में एक आधार कहा जाता है।

निम्नलिखित कथन सत्य है।

प्रमेय।अंतरिक्ष में एक आधार दिया जाए। तब किसी भी सदिश को एक रेखीय संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है , कहाँ एक्स, वाई, जेड- कुछ नंबर। ऐसा अपघटन अद्वितीय है।

सबूत.

इस प्रकार, आधार आपको प्रत्येक वेक्टर को विशिष्ट रूप से संख्याओं के ट्रिपल के साथ जोड़ने की अनुमति देता है - आधार के वैक्टर के संदर्भ में इस वेक्टर के विस्तार के गुणांक:। विलोम भी सत्य है, संख्याओं का प्रत्येक त्रिक एक्स, वाई, जेडआधार का उपयोग करके, यदि आप एक रैखिक संयोजन बनाते हैं, तो आप सदिश का मिलान कर सकते हैं .

यदि आधार और , फिर संख्याएँ एक्स, वाई, जेडबुलाया COORDINATESदिए गए आधार पर वैक्टर। वेक्टर निर्देशांक निरूपित करते हैं।

कार्तीय समन्वय प्रणाली

अंतरिक्ष में एक बिंदु दिया जाए हेऔर तीन गैर समतलीय सदिश।

कार्तीय समन्वय प्रणालीअंतरिक्ष में (एक विमान पर) एक बिंदु और एक आधार का सेट कहा जाता है, अर्थात। एक बिंदु का सेट और इस बिंदु से जाने वाले तीन गैर-समतलीय वैक्टर (2 गैर-समरेख वैक्टर)।

डॉट हेमूल कहा जाता है; मूल सदिशों की दिशा में मूल से होकर गुजरने वाली सीधी रेखाओं को निर्देशांक अक्ष - भुज, कोटि और अनुप्रयुक्त अक्ष कहा जाता है। निर्देशांक अक्षों से गुजरने वाले तलों को निर्देशांक तल कहते हैं।

चयनित समन्वय प्रणाली में एक मनमाना बिंदु पर विचार करें एम. आइए हम एक बिंदु निर्देशांक की अवधारणा का परिचय दें एम. वेक्टर जो मूल बिंदु को बिंदु से जोड़ता है एम. बुलाया त्रिज्या वेक्टरअंक एम.

चयनित आधार पर एक सदिश को संख्याओं के तिगुने से जोड़ा जा सकता है - इसके निर्देशांक: .

बिंदु त्रिज्या वेक्टर निर्देशांक एम. बुलाया बिंदु एम के निर्देशांक. माना समन्वय प्रणाली में। एम (एक्स, वाई, जेड). पहले कोर्डिनेट को भुज कहा जाता है, दूसरे कोर्डिनेट और तीसरे को एप्लिकेट कहा जाता है।

समतल पर कार्तीय निर्देशांक इसी प्रकार परिभाषित किए गए हैं। यहाँ बिंदु के केवल दो निर्देशांक हैं - भुज और कोटि।

यह देखना आसान है कि किसी दिए गए समन्वय प्रणाली के लिए, प्रत्येक बिंदु के कुछ निर्देशांक होते हैं। दूसरी ओर, संख्याओं के प्रत्येक त्रिक के लिए, एक बिंदु होता है जिसके निर्देशांक के रूप में ये संख्याएँ होती हैं।

यदि चयनित निर्देशांक प्रणाली में आधार के रूप में लिए गए सदिशों की लंबाई इकाई है और जोडों में लंबवत हैं, तो समन्वय प्रणाली कहलाती है कार्टेशियन आयताकार।

इसे दिखाना आसान है।

सदिश की दिक् कोसाइन पूरी तरह से इसकी दिशा निर्धारित करती है, लेकिन इसकी लंबाई के बारे में कुछ नहीं कहा जाता है।

बंद बल बहुभुजों का निर्माण करके अभिसारी बलों के संतुलन पर समस्याओं को हल करना बोझिल निर्माणों से जुड़ा है। ऐसी समस्याओं को हल करने का एक सार्वभौमिक तरीका समन्वय अक्षों पर दिए गए बलों के अनुमानों को निर्धारित करने और इन अनुमानों के साथ काम करने के लिए संक्रमण है। अक्ष को एक सीधी रेखा कहा जाता है, जिसे एक निश्चित दिशा दी जाती है।

एक अक्ष पर एक सदिश का प्रक्षेपण एक अदिश मान है, जो कि सदिश के आरंभ और अंत से उस पर गिराए गए लंबों द्वारा काटे गए अक्ष के खंड द्वारा निर्धारित किया जाता है।

एक सदिश के प्रक्षेपण को सकारात्मक माना जाता है यदि प्रक्षेपण की शुरुआत से उसके अंत तक की दिशा अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ मेल खाती है। एक सदिश के प्रक्षेपण को नकारात्मक माना जाता है यदि प्रक्षेपण की शुरुआत से उसके अंत तक की दिशा अक्ष की सकारात्मक दिशा के विपरीत है।

इस प्रकार, समन्वय अक्ष पर बल का प्रक्षेपण बल के मापांक के गुणनफल और बल वेक्टर और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच के कोण के कोसाइन के बराबर होता है।

अक्ष पर प्रोजेक्टिंग बलों के कई मामलों पर विचार करें:

बल वेक्टर एफ(चित्र 15) x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ न्यून कोण बनाता है।

प्रक्षेपण का पता लगाने के लिए, बल सदिश के आरंभ और अंत से हम अक्ष के लंब को कम करते हैं ओह; हम पाते हैं

1. एफ एक्स = एफ cosα

इस मामले में वेक्टर का प्रक्षेपण सकारात्मक है

ताकत एफ(चित्र 16) अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ है एक्सअधिक कोण α.

तब एफएक्स = एफ cos α, लेकिन चूँकि α = 180 0 - φ,

एफएक्स = एफ cosα = एफ cos180 0 - φ = - एफकॉस फाई।

बल प्रक्षेपण एफप्रति एक्सल ओहइस मामले में नकारात्मक है।

ताकत एफ(अंजीर। 17) अक्ष के लंबवत ओह.

अक्ष पर बल F का प्रक्षेपण एक्सशून्य

एफएक्स = एफ cos 90° = 0.

एक विमान पर स्थित बल कैसे(चित्र 18), दो समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपित किया जा सकता है ओहऔर कहां.

ताकत एफघटकों में विभाजित किया जा सकता है: एफएक्स और एफवाई। वेक्टर मापांक एफ x सदिश प्रक्षेपण के बराबर है एफप्रति एक्सल बैल, और सदिश का मापांक एफ y सदिश के प्रक्षेपण के बराबर है एफप्रति एक्सल ओए.

डी से ओएबी: एफएक्स = एफ cosα, एफएक्स = एफ sinα।

डी से एसएलए: एफएक्स = एफकॉस फाई, एफएक्स = एफपाप फी।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके बल का मापांक पाया जा सकता है:

सदिश योग या परिणामी का किसी भी अक्ष पर प्रक्षेपण उसी अक्ष पर सदिशों की शर्तों के अनुमानों के बीजगणितीय योग के बराबर है।

अभिसारी बलों पर विचार करें एफ 1 , एफ 2 , एफ 3, और एफ 4, (चित्र 19, ए)। इन बलों का ज्यामितीय योग, या परिणामी एफबल बहुभुज के समापन पक्ष द्वारा निर्धारित

बल बहुभुज के शीर्ष से अक्ष पर गिराएँ एक्सलंबवत।

पूर्ण निर्माण से सीधे बलों के प्राप्त अनुमानों को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है

एफ= एफ 1x+ एफ 2x+ एफ 3x+ एफ 4 एक्स

जहाँ n सदिशों के पदों की संख्या है। उनके अनुमान उपयुक्त चिह्न के साथ उपरोक्त समीकरण में प्रवेश करते हैं।

एक विमान में, बलों के ज्यामितीय योग को दो समन्वय अक्षों पर और अंतरिक्ष में क्रमशः तीन पर प्रक्षेपित किया जा सकता है।