सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मूल्य। सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और छोटा मूल्य

प्रिय मित्रों! व्युत्पन्न के साथ जुड़े कार्य समूह में कार्य शामिल हैं - इस शर्त को एक फ़ंक्शन का ग्राफ दिया जाता है, इस शेड्यूल पर कई बिंदु और प्रश्न यह है:

सबसे बड़ा व्युत्पन्न (सबसे छोटा) का मूल्य किस बिंदु पर है?

संक्षेप में दोहराएं:

बिंदु पर व्युत्पन्न टेंगेंट के माध्यम से गुजरने के कोणीय गुणांक के बराबर हैअनुसूची का यह बिंदु।

डब्ल्यूमोड़ में टेंगेंशियल का मिट्टी गुणांक इस स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के बराबर है।

* Abscissa के स्पर्शक और धुरी के बीच कोण का मतलब है।

1. बढ़ते समारोह के अंतराल पर, व्युत्पन्न एक सकारात्मक मूल्य है।

2. इसकी कमी के अंतराल पर, व्युत्पन्न का नकारात्मक मूल्य होता है।

निम्नलिखित स्केच पर विचार करें:

अंक 1,2,4 पर, व्युत्पन्न कार्य का नकारात्मक मूल्य होता है, क्योंकि ये बिंदु अंतराल के अंतराल से संबंधित हैं।

अंक 3,5,6 पर, व्युत्पन्न कार्य का सकारात्मक मूल्य होता है, क्योंकि ये बिंदु वृद्धि अंतराल से संबंधित हैं।

जैसा कि हम देखते हैं, सब कुछ व्युत्पन्न के मूल्य के साथ स्पष्ट है, यानी, यह निर्धारित करने के लिए कि ग्राफ के एक निश्चित बिंदु पर इसका संकेत (सकारात्मक या नकारात्मक) क्या है, पूरी तरह से सरल है।

क्या होगा यदि हम इन बिंदुओं पर मानसिक रूप से टैंगेंट का निर्माण करते हैं, तो हम देखेंगे कि 0 से 9 0 डिग्री से झूठ बोलने वाले कोणों की धुरी के साथ अंक 3, 5 और 6 फॉर्म के माध्यम से प्रत्यक्ष रूप से गुजर रहा है, और सीधे अंक 1, 2 और 4 फॉर्म के माध्यम से सीधे गुजर रहा है एक्सिस ओह, 90 डिग्री से 180 ओ तक के कोण।

* संबंध स्पष्ट है: अक्षरों के माध्यम से गुजरने वाले बिंदुओं के माध्यम से गुजरने वाले टेंग्स ओह, तेज कोनों के माध्यम से गुजरने वाले बिंदुओं के माध्यम से गुजरने वाले बिंदुओं के माध्यम से गुजरने वाले बिंदुओं को धुरी के साथ गठित किया जाता है ओह, बेवकूफ कोण ।

अब एक महत्वपूर्ण सवाल!

और व्युत्पन्न परिवर्तन का मूल्य कैसे होता है? आखिरकार, निरंतर कार्य के अनुसूची के विभिन्न बिंदुओं में टच-टेंगेंट विभिन्न कोणों को बनाता है, इस पर निर्भर करता है कि यह किस बिंदु से गुजरता है।

* या, सरल भाषा में, टेंगेंट "क्षैतिज" या "लंबवत" के रूप में स्थित है। देखो:

0 से 90 बजे तक अक्ष कोण के साथ प्रत्यक्ष रूप

एक्सिस ओएच कोण के साथ प्रत्यक्ष रूप 90 डिग्री से 180 तक के कोण

इसलिए, यदि कोई प्रश्न हैं:

- ग्राफिक्स के इनमें से कौन सा बिंदु, व्युत्पन्न मूल्य सबसे छोटा मूल्य है?

- ग्राफ के डेटा बिंदुओं में से किस, व्युत्पन्न का मूल्य सबसे बड़ा मूल्य है?

इसका उत्तर यह समझना आवश्यक है कि 0 से 180 बजे तक स्पर्शशील स्पर्शरेखा मूल्य का मूल्य कैसा है।

* जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, बिंदु पर व्युत्पन्न कार्य का मूल्य धुरी के लिए स्पर्शशील झुकाव कोण के बराबर है ओह।

टेंगेंट का मूल्य निम्नानुसार भिन्न होता है:

जब झुकाव का कोण स्पर्शक के मूल्य के 0 ° से 9 0 तक बदल जाता है, और इसलिए व्युत्पन्न, यह क्रमशः 0 से + ∞ से बदलता है;

जब झुकाव का कोण 90 डिग्री से 180 तक बदल जाता है, तो स्पर्शक का मूल्य, जिसका अर्थ है व्युत्पन्न, क्रमशः परिवर्तन-0 तक।

यह स्पर्शरेखा समारोह के अनुसूची पर स्पष्ट रूप से दिखाई देता है:

सरल भाषा में:

0 ° से 90 o के जीभ टेंगेंट के कोण पर

वह 0 o के करीब क्या है, व्युत्पन्न का मूल्य जितना अधिक होगा, शून्य के करीब होगा (सकारात्मक पक्ष से)।

90 o के करीब कोण, व्युत्पन्न का मूल्य जितना अधिक होगा + ∞ में वृद्धि होगी।

90 o से 180 के झुकाव के कोण पर

वह 90 o के करीब क्या है, व्युत्पन्न का मूल्य जितना अधिक होगा-∞ में कमी आएगी।

कोण 180 o के करीब होगा, व्युत्पन्न का मूल्य जितना अधिक होगा, शून्य (नकारात्मक पक्ष से) के करीब होगा।

317543. यह आंकड़ा वाई \u003d फ़ंक्शन का एक ग्राफ दिखाता है। एफ(एक्स।) और अंक नोट किए गए हैं-2, -1, 1, 2. इनमें से किस बिंदु में, व्युत्पन्न का मूल्य सबसे बड़ा है? प्रतिक्रिया में, इस बिंदु को निर्दिष्ट करें।

हमारे पास चार अंक हैं: उनमें से दो अंतराल से संबंधित हैं जिन पर फ़ंक्शन कम हो जाता है (ये अंक -1 और 1) और दो अंतराल हैं जिन पर फ़ंक्शन बढ़ता है (ये अंक -2 और 2) हैं।

हम तुरंत निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अंक -1 और 1 पर व्युत्पन्न के पास नकारात्मक मूल्य है, अंक -2 और 2 पर इसका सकारात्मक मूल्य है। नतीजतन, इस मामले में, अंक -2 और 2 का विश्लेषण करना आवश्यक है और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि किसमें से किसमें मूल्य सबसे बड़ा होगा। हम निर्दिष्ट बिंदुओं के माध्यम से गुजरने वाले टैंगेंट का निर्माण करते हैं:

सीधे ए और एब्सिसा अक्ष के बीच कोण स्पर्शक का मूल्य सीधी रेखा बी और इस धुरी के बीच कोण के स्पर्शक के मूल्य से अधिक होगा। इसका मतलब है कि बिंदु -2 पर व्युत्पन्न का मूल्य सबसे बड़ा होगा।

निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर दें: कौन से अंक -2, -1, 1 या 2, व्युत्पन्न का मूल्य सबसे बड़ा नकारात्मक है? प्रतिक्रिया में, इस बिंदु को निर्दिष्ट करें।

व्युत्पन्न समतल अंतराल से संबंधित बिंदुओं पर नकारात्मक मूल्य होगा, इसलिए हम अंक -2 और 1 पर विचार करते हैं। हम उनके माध्यम से गुजरने वाले टैंगेंट का निर्माण करेंगे:

हम देखते हैं कि सीधी रेखा बी और एक्सिस ओएच के बीच बेवकूफ कोण 180 से "करीब" है के बारे में , इसलिए, उसका टेंगेंट डायरेक्ट ए और एक्सिस ओह द्वारा गठित अधिक स्पर्शरेखा कोण होगा।

इस प्रकार, बिंदु x \u003d 1 पर, व्युत्पन्न का मूल्य सबसे बड़ा नकारात्मक होगा।

317544. यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d का ग्राफ दिखाता है एफ(एक्स।) और अंक नोट किए गए हैं-2, -1, 1, 4. इनमें से कौन सा बिंदु सबसे छोटा के व्युत्पन्न का मूल्य है? प्रतिक्रिया में, इस बिंदु को निर्दिष्ट करें।

हमारे पास चार अंक हैं: उनमें से दो अंतराल से संबंधित हैं जिन पर फ़ंक्शन घटता है (यह अंक -1 और 4) और दो अंतराल हैं जिन पर फ़ंक्शन बढ़ता है (ये अंक -2 और 1 हैं)।

हम तुरंत निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अंक -1 और 4 व्युत्पन्न पर नकारात्मक मूल्य है, अंक -2 और 1 पर इसका सकारात्मक मूल्य है। नतीजतन, इस मामले में, अंक -1 और 4 का विश्लेषण करना आवश्यक है और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि किसमें से किसमें से मूल्य सबसे छोटा होगा। हम निर्दिष्ट बिंदुओं के माध्यम से गुजरने वाले टैंगेंट का निर्माण करते हैं:

सीधे ए और एब्सिसा अक्ष के बीच कोण स्पर्शक का मूल्य सीधी रेखा बी और इस धुरी के बीच कोण के स्पर्शक के मूल्य से अधिक होगा। इसका मतलब है कि बिंदु x \u003d 4 पर व्युत्पन्न का मूल्य सबसे छोटा होगा।

उत्तर - 4।

मुझे उम्मीद है कि लिखित की संख्या के साथ आपको "अधिभारित नहीं किया गया"। वास्तव में, सबकुछ बहुत आसान है, यह केवल व्युत्पन्न, इसके ज्यामितीय अर्थ के गुणों को समझने के लिए मूल्यवान है और 0 से 180 o तक कोण के स्पर्शक का मूल्य कैसे बदल दिया गया है।

1. सबसे पहले, इन बिंदुओं (+ या -) में डेटा व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें और आवश्यक बिंदुओं का चयन करें (उठाए गए प्रश्न के आधार पर)।

2. इन बिंदुओं पर टैंगेंट बनाएं।

3. tangenesoids के अनुसूची का उपयोग करके, स्केमेटिक रूप से कोनों और प्रदर्शन को चिह्नित करेंअलेक्जेंडर।

पीएस: यदि आप सोशल नेटवर्क्स पर साइट के बारे में बताते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।

व्यावहारिक दृष्टिकोण से, समारोह के सबसे बड़े और सबसे छोटे कार्य को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग सबसे बड़ा ब्याज है। यह किससे जुड़ा है? लाभ का अधिकतमकरण, लागतों को कम करने, इष्टतम उपकरण लोडिंग का निर्धारण करना ... दूसरे शब्दों में, जीवन के कई क्षेत्रों में आपको किसी भी पैरामीटर को अनुकूलित करने की समस्याओं को हल करना होगा। और यह फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा कार्य खोजने का कार्य है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और छोटा मूल्य आमतौर पर एक निश्चित अंतराल एक्स पर खोजा जाता है, जो या तो परिभाषा क्षेत्र के कार्य या भाग को निर्धारित करने का पूरा कार्य है। अंतराल एक्स स्वयं एक खंड, एक खुला अंतराल हो सकता है , अनंत अंतराल।

इस लेख में, हम एक चर y \u003d f (x) के स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन के सबसे बड़े और छोटे मूल्यों को खोजने के बारे में बात करेंगे।

नेविगेटिंग पेज।

समारोह का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य परिभाषा, चित्रण है।

बुनियादी परिभाषाओं पर संक्षेप में ध्यान केंद्रित करें।

सबसे बड़ा कार्य मूल्य किसी के लिए क्या निष्पक्ष असमानता।

समारोह का सबसे छोटा मूल्य y \u003d f (x) x के अंतराल पर इस तरह के एक मूल्य किसी के लिए क्या निष्पक्ष असमानता।

ये परिभाषाएं अंतर्ज्ञानी हैं: फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान Abscissa के दौरान विचार के तहत अंतराल पर सबसे बड़ा (छोटा) मूल्य है।

स्थिर अंक - ये तर्क के मूल्य हैं जिनमें व्युत्पन्न कार्य शून्य पर खींचा जाता है।

सबसे महान और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के दौरान हमारे पास स्थिर बिंदु क्यों हैं? इस सवाल का जवाब फार्म प्रमेय देता है। इस प्रमेय से यह इस प्रकार है कि यदि किसी बिंदु पर अंतर (स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम) एक चरम सीमा (स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम) है, तो यह बिंदु स्थिर है। इस प्रकार, फ़ंक्शन अक्सर इस अंतर से स्थिर बिंदुओं में से एक में अंतराल एक्स पर अपना सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान लेता है।

अक्सर सबसे बड़ा और सबसे छोटा कार्य उन बिंदुओं पर ले सकता है जिसमें इस फ़ंक्शन का कोई पहला व्युत्पन्न नहीं होता है, और फ़ंक्शन को परिभाषित किया जाता है।

तुरंत इस विषय पर सबसे आम प्रश्नों में से एक का उत्तर दें: "क्या आप हमेशा सबसे बड़ा (सबसे छोटा) फ़ंक्शन निर्धारित कर सकते हैं? नहीं हमेशा। कभी-कभी एक्स गैप की सीमाएं फ़ंक्शन या अंतराल एक्स को निर्धारित करने के कार्य की सीमाओं के साथ मेल खाती हैं जो अनंत हैं। और अनंत पर कुछ कार्य और परिभाषा क्षेत्र की सीमाओं पर असीम रूप से बड़े और असीम मूल्यों को ले सकते हैं। इन मामलों में, सबसे बड़े और सबसे छोटे कार्य मूल्य के बारे में कुछ भी नहीं कहा जा सकता है।

स्पष्टता के लिए, एक ग्राफिक चित्रण दें। चित्रों को देखो - और बहुत स्पष्ट हो जाएगा।

कटार

पहले ड्राइंग में, फ़ंक्शन सेगमेंट के अंदर स्थिर बिंदुओं में सबसे बड़ा (अधिकतम वाई) और सबसे छोटा (न्यूनतम वाई) मान लेता है [-6; 6]।

दूसरे ड्राइंग में चित्रित मामले पर विचार करें। सेगमेंट को बदलें। इस उदाहरण में, समारोह का सबसे छोटा कार्य एक स्थिर बिंदु में हासिल किया जाता है, और सबसे बड़ा - अंतराल की सही सीमा के अनुरूप एक अनुपस्थिति के साथ एक बिंदु पर।

चित्रा 2, सेगमेंट के सीमा बिंदु [-3; 2] फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य के अनुरूप बिंदुओं के अवशोषण हैं।

खुला अंतराल

चौथी ड्राइंग में, फ़ंक्शन ओपन इंटरवल (-6; 6) के अंदर स्थिर बिंदुओं में सबसे बड़ा (अधिकतम वाई) और सबसे छोटा (न्यूनतम वाई) मान लेता है।

अंतराल पर, आप सबसे बड़े मूल्य के बारे में कोई निष्कर्ष नहीं बना सकते हैं।

अनंत पर

सातवें पैटर्न में प्रस्तुत उदाहरण में, फ़ंक्शन उच्चतम मूल्य (अधिकतम y) को स्थिर बिंदु में Abscissa x \u003d 1 के साथ ले जाता है, और अंतराल की सही सीमा पर सबसे छोटा मूल्य (न्यूनतम वाई) हासिल किया जाता है। शून्य से अनंतता पर, फ़ंक्शन के मान y \u003d 3 के लिए असम्बद्ध रूप से आ रहे हैं।

अंतराल पर, फ़ंक्शन सबसे छोटा या सबसे बड़ा मूल्य तक नहीं पहुंचता है। जब x \u003d 2 दाईं ओर प्रयास कर रहा है, तो फ़ंक्शन के मान शून्य से इन्फिनिटी (सीधे एक्स \u003d 2 वर्टिकल एसिम्प्टोटा) होते हैं, और जब एब्सिसा अनंतता के प्लस के लिए प्रयास कर रहा है, तो के मूल्यों समारोह Asymptotically y \u003d 3 से संपर्क करें। इस उदाहरण का ग्राफिक चित्रण चित्र संख्या 8 में दिखाया गया है।

सेगमेंट पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा निरंतर कार्य खोजने के लिए एल्गोरिदम।

हम एल्गोरिदम लिखते हैं जो आपको सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और छोटा मूल्य खोजने की अनुमति देता है।

1. फ़ंक्शन को निर्धारित करने का एक फ़ंक्शन ढूंढें और जांच करें कि इसमें पूरे सेगमेंट शामिल है या नहीं।
2. हमें उन सभी बिंदुओं को पाते हैं जिनमें कोई पहला व्युत्पन्न नहीं है और जो सेगमेंट में निहित हैं (आमतौर पर मॉड्यूल के संकेत के तहत और एक आंशिक तर्कसंगत संकेतक के साथ बिजली के कार्यों में तर्क के साथ कार्यों में उपयोग किए जाते हैं)। यदि ऐसे कोई बिंदु नहीं हैं, तो अगले आइटम पर जाएं।
3. हम एक सेगमेंट में गिरने वाले सभी स्थिर बिंदुओं को परिभाषित करते हैं। इसके लिए, हम इसे शून्य से बराबर करते हैं, प्राप्त समीकरण को हल करते हैं और सही जड़ें चुनते हैं। यदि कोई स्थिर बिंदु नहीं है या उनमें से कोई भी सेगमेंट में नहीं आता है, तो हम अगले आइटम में बदल जाते हैं।
4. चयनित स्थिर बिंदुओं (यदि कोई हो) में फ़ंक्शन के मानों की गणना करें, उन बिंदुओं पर जिनमें कोई पहला व्युत्पन्न (यदि कोई हो) नहीं है, साथ ही साथ x \u003d a और x \u003d b के साथ।
5. फ़ंक्शन के प्राप्त मूल्यों से, सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें - वे क्रमशः फ़ंक्शन का सबसे प्रसिद्ध और सबसे छोटा मान होंगे।

सेगमेंट पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे फ़ंक्शन को खोजने के लिए उदाहरण को हल करते समय हम एल्गोरिदम का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

सबसे बड़ा और सबसे छोटा कार्य खोजें

• खंड पर;
• सेगमेंट पर [-4; -1]।

फेसला।

क्षेत्र परिभाषा क्षेत्र शून्य को छोड़कर, सभी वैध संख्याएं हैं, अर्थात्। दोनों खंड परिभाषा क्षेत्र में आते हैं।

एक व्युत्पन्न कार्य खोजें:

जाहिर है, व्युत्पन्न कार्य खंडों के सभी बिंदुओं और [-4; -1] में मौजूद है।

स्थिर बिंदु हम समीकरण से परिभाषित करते हैं। एकमात्र वैध रूट x \u003d 2 है। यह स्थिर बिंदु पहले सेगमेंट में प्रवेश करता है।

पहले मामले के लिए, सेगमेंट के सिरों पर और स्थिर बिंदु पर समारोह के मानों की गणना करें, जो कि x \u003d 1, x \u003d 2 और x \u003d 4 पर है:

इसलिए, समारोह का सबसे बड़ा मूल्य x \u003d 1, और सबसे छोटा मान पर प्राप्त किया - x \u003d 2 पर।

दूसरे मामले के लिए, केवल सेगमेंट के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें [-4; -1] (जैसा कि इसमें एक स्थिर बिंदु नहीं है):

कभी-कभी बी 15 कार्य "खराब" कार्यों में आते हैं जिसके लिए व्युत्पन्न करना मुश्किल होता है। पहले, यह केवल जांच पर था, लेकिन अब ये कार्य इतने आम हैं कि इस ईजीई की तैयारी करते समय उन्हें अब अनदेखा नहीं किया जा सकता है।

इस मामले में, अन्य तकनीकें काम करती हैं, जिनमें से एक - एक लय.

फ़ंक्शन एफ (एक्स) को सेगमेंट पर मोनोटोनिक रूप से बढ़ रहा है, यदि इस सेगमेंट के किसी भी अंक 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित का पालन किया जाता है:

एक्स 1< x 2 ⇒ f (एक्स 1) < f (एक्स 2).

फ़ंक्शन एफ (एक्स) को खंड पर एकत्रित रूप से घट रहा है, यदि इस सेगमेंट के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित का पालन किया जाता है:

एक्स 1< x 2 ⇒ f (एक्स 1)\u003e एफ ( एक्स 2).

दूसरे शब्दों में, एक बढ़ते कार्य के लिए, अधिक एक्स, अधिक एफ (एक्स)। घटते समारोह के लिए, दूसरा तरीका है: अधिक एक्स, द कम से f (x)।

उदाहरण के लिए, लॉगरिदम एकत्रित रूप से बढ़ता है यदि आधार एक\u003e 1 है, और एक हो सकता है यदि 0 हो< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) \u003d एक x लॉग (a\u003e 0; a ≠ 1; x\u003e 0)

अंकगणितीय वर्ग (और न केवल वर्ग) मूल परिभाषा क्षेत्र में एकान्त रूप से बढ़ता है:

संकेतक फ़ंक्शन समान रूप से लॉगरिदम के लिए व्यवहार करता है: एक\u003e 1 पर बढ़ता है और 0 पर घटता है< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) \u003d a x (a\u003e 0)

अंत में, एक नकारात्मक संकेतक के साथ डिग्री। आप उन्हें एक अंश के रूप में रिकॉर्ड कर सकते हैं। एक विराम बिंदु है जिसमें एकरसनी टूट गई है।

ये सभी कार्य कभी भी शुद्ध रूप में नहीं होते हैं। वे बहुपद, अंशों और अन्य बकवास जोड़ते हैं, जिसके कारण व्युत्पन्न विचार करना मुश्किल हो जाता है। क्या होता है - अब हम जांच करेंगे।

वर्टेक्स पैराबोला के निर्देशांक

अक्सर, फ़ंक्शन तर्क द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है स्क्वायर थ्रेकलेन वाई \u003d एक्स 2 + बीएक्स + सी देखें। उनका कार्यक्रम एक मानक पैराबोला है जिसमें हम रुचि रखते हैं:

1. पैराबोला शाखाएं - ऊपर जा सकती हैं (एक\u003e 0 पर) या नीचे (ए)< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. पैराबोला का शीर्ष एक वर्गबद्ध फ़ंक्शन का एक चरम बिंदु है, जिसमें यह समारोह इसकी सबसे छोटी (एक\u003e 0 के लिए) या सबसे महान (ए) लेता है< 0) значение.

सबसे बड़ी हित है शीर्ष पैराबोलिया।जिनमें से एबीएससीआईएसए की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

तो, हमें एक वर्गबद्ध समारोह के चरम का बिंदु मिला। लेकिन यदि मोनोटोन का प्रारंभिक कार्य, इसके लिए, बिंदु x 0 भी एक चरम बिंदु होगा। इस प्रकार, हम महत्वपूर्ण नियम तैयार करते हैं:

चौकोर तीन-कटा हुआ और जटिल समारोह के चरम के बिंदु जिसमें यह प्रवेश करता है, मेल खाता है। इसलिए, आप स्क्वायर तीन-शॉट्स के लिए एक्स 0 की तलाश कर सकते हैं, और फ़ंक्शन स्कोर कर सकते हैं।

उपर्युक्त तर्क से अविश्वसनीय रहता है, जो बिंदु हमें मिलता है: अधिकतम या न्यूनतम। हालांकि, कार्यों को विशेष रूप से संकलित किया जाता है ताकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। अपने लिए न्यायाधीश:

1. समस्या की स्थिति में सेगमेंट गायब है। इसलिए, एफ (ए) और एफ (बी) की गणना करने की आवश्यकता नहीं है। यह केवल चरम बिंदुओं पर विचार करना बाकी है;
2. लेकिन केवल एक बिंदु पैराबोला एक्स 0 के शीर्ष पर हैं, जिनके निर्देशांकों की गणना पूरी तरह से मौखिक रूप से और बिना किसी डेरिवेटिव की गणना की जाती है।

इस प्रकार, समस्या का समाधान तेजी से सरल है और दो चरणों में आता है:

1. पैराबोल्ला समीकरण वाई \u003d एएक्स 2 + बीएक्स + सी लिखें और फॉर्मूला द्वारा इसे वर्टेक्स खोजें: x 0 \u003d -b / 2a;
2. इस बिंदु पर स्रोत फ़ंक्शन का मान खोजें: एफ (x 0)। यदि कोई अतिरिक्त शर्तें नहीं हैं, तो यह जवाब होगा।

पहली नज़र में, यह एल्गोरिदम और उनके तर्क जटिल लग सकते हैं। मैं जानबूझकर निर्णय की "नग्न" योजना पोस्ट नहीं करता है, क्योंकि ऐसे नियमों के विचारहीन आवेदन त्रुटियों से भरे हुए हैं।

गणित में परीक्षण परीक्षा से वास्तविक कार्यों पर विचार करें - यह है कि यह तकनीक अक्सर मिलती है। साथ ही, हम देखेंगे कि इस तरह से कई कार्य बी 15 लगभग मौखिक हो जाते हैं।

रूट के तहत एक वर्गबद्ध फ़ंक्शन y \u003d x 2 + 6x + 13 है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ Parabola शाखाएं है, क्योंकि गुणांक ए \u003d 1\u003e 0 के बाद से।

शीर्ष पैराबोला:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 · 1) \u003d -6/2 \u003d -3

चूंकि पैराबोला की शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, बिंदु x 0 \u003d -3 पर, फ़ंक्शन y \u003d x 2 + 6x + 13 सबसे छोटा मान लेता है।

मूल रूप से बढ़ता है, जिसका अर्थ है x 0 - पूरे समारोह के न्यूनतम बिंदु। हमारे पास है:

एक कार्य। समारोह का सबसे छोटा कार्य खोजें:

y \u003d लॉग 2 (x 2 + 2x + 9)

लॉगरिदम के तहत, एक वर्गबद्ध फ़ंक्शन: y \u003d x 2 + 2x + 9. चार्ट - पैराबोला शाखाएं, क्योंकि A \u003d 1\u003e 0।

शीर्ष पैराबोला:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 · 1) \u003d -2/2 \u003d -1

तो, बिंदु x 0 \u003d -1 पर, वर्गिक समारोह सबसे छोटा मूल्य लेता है। लेकिन फ़ंक्शन y \u003d लॉग 2 x एकान्त है, तो:

y min \u003d y (-1) \u003d लॉग 2 ((-1) 2 + 2 · (-1) + 9) \u003d ... \u003d 2 8 \u003d 3 लॉग करें

संकेतक क्वाड्रैटिक फ़ंक्शन y \u003d 1 - 4x - x 2 है। इसे सामान्य रूप में फिर से लिखें: y \u003d -x 2 - 4x + 1।

जाहिर है, इस समारोह का कार्यक्रम पैराबोला, शाखाओं नीचे (ए \u003d -1) है< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d - (- 4) / (2 · (-1)) \u003d 4 / (- 2) \u003d -2

स्रोत फ़ंक्शन संकेतक है, यह मोनोटोन है, इसलिए सबसे बड़ा मूल्य पाया बिंदु x 0 \u003d -2 में होगा:

चौकस पाठक शायद देखेंगे कि हमने रूट और लॉगरिदम के अनुमत मानों के क्षेत्र को नहीं लिखा है। लेकिन इसकी आवश्यकता नहीं थी: जिनके कार्यों के अंदर हमेशा सकारात्मक होते हैं।

समारोह निर्धारित करने के कार्य से परिणाम

कभी-कभी समस्या को हल करने के लिए बी 15 पैराबोला के शीर्ष को खोजने के लिए पर्याप्त नहीं है। वांछित मूल्य झूठ हो सकता है कट के अंत में, और चरम के बिंदु पर बिल्कुल नहीं। यदि कार्य एक सेगमेंट को बिल्कुल निर्दिष्ट नहीं करता है, तो हम देखते हैं अनुमेय मूल्यों का क्षेत्र स्रोत समारोह। अर्थात्:

फिर से ध्यान दें: शून्य रूट के नीचे हो सकता है, लेकिन एक लॉगरिदम या denomoter में, कभी नहीं। आइए देखें कि यह विशिष्ट उदाहरणों पर कैसे काम करता है:

एक कार्य। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य खोजें:

रूट के तहत, वर्गिक समारोह: y \u003d 3 - 2x - x 2। इसका ग्राफ - पैराबोला, लेकिन शाखाओं को नीचे, क्योंकि ए \u003d -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

हम अनुमत मानों (ओटीजेड) के क्षेत्र को लिखते हैं:

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [-3; एक]

अब हम पैराबोला के शीर्ष पाते हैं:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d - (- 2) / (2 · (-1)) \u003d 2 / (- 2) \u003d -1

बिंदु x 0 \u003d -1 ओटीजेड के खंड से संबंधित है - और यह अच्छा है। अब हम बिंदु x 0 पर कार्य के मूल्य के साथ-साथ ओटीजेड के सिरों पर भी विचार करते हैं:

y (-3) \u003d y (1) \u003d 0

इसलिए, उन्हें संख्या 2 और 0. मिली, हमें सबसे बड़ा खोजने के लिए कहा जाता है - यह संख्या 2 है।

एक कार्य। समारोह का सबसे छोटा कार्य खोजें:

y \u003d लॉग 0.5 (6x - x 2 - 5)

लॉगरिदम के अंदर क्वाड्रैटिक फ़ंक्शन y \u003d 6x - x 2 - 5. यह एक पैराबोला शाखाएं नीचे है, लेकिन लॉगरिदम में कोई नकारात्मक संख्या नहीं हो सकती है, इसलिए हम लिखते हैं ...

6x - x 2 - 5\u003e 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

कृपया ध्यान दें: असमानता सख्त है, इसलिए सिरों ओटीजेड से संबंधित नहीं हैं। यह लॉगरिदम रूट से अलग है, जहां सेगमेंट के सिरों काफी उपयुक्त हैं।

हम पैराबोला के शीर्ष की तलाश में हैं:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 · 1)) \u003d -6 / (- 2) \u003d 3

पराबोला का शीर्ष ओडीजेड के लिए उपयुक्त है: x 0 \u003d 3 ∈ (1; 5)। लेकिन चूंकि सेगमेंट के अंत में हमें रूचि नहीं है, केवल बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन के मान पर विचार करें:

y min \u003d y (3) \u003d लॉग 0.5 (6 · 3 - 3 2 - 5) \u003d लॉग 0.5 (18 - 9 - 5) \u003d लॉग 0.5 4 \u003d -2

सेगमेंट पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और छोटे मूल्यों को कैसे खोजें?

इसके लिए हम प्रसिद्ध एल्गोरिदम का पालन करते हैं:

1 । हमें ओटीजेड कार्य मिलते हैं।

2 । एक व्युत्पन्न कार्य खोजें

3 । शून्य के लिए व्युत्पन्न बराबर

4 । हमें अंतराल मिलता है जिन पर व्युत्पन्न एक संकेत बचाता है, और यह समारोह में वृद्धि और कमी के अंतराल को निर्धारित करता है:

यदि अंतराल में मैंने फ़ंक्शन 0 "TITLE \u003d" (LANG: F ^ (प्राइम) (x)\u003e 0">, то функция !} इस अंतराल पर बढ़ता है।

यदि अंतराल पर मैंने फ़ंक्शन व्युत्पन्न किया, तो फ़ंक्शन इस अंतराल पर घटता है।

5 । खोज अधिकतम बिंदु और न्यूनतम कार्य.

में व्युत्पन्न कार्य का अधिकतम बिंदु "+" से चिह्न "-" से चिह्नित करता है.

में न्यूनतम समारोह का बिंदु व्युत्पन्न "+" पर "-" से संकेत बदलता है.

6 । हमें सेगमेंट के सिरों पर फ़ंक्शन का मूल्य मिलता है,

• फिर सेगमेंट के सिरों और अधिकतम अंक पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करें, और यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य खोजने की आवश्यकता है, तो उनमें से सबसे महान चुनें
• या सेगमेंट के सिरों पर और न्यूनतम बिंदुओं पर कार्य के मूल्य की तुलना करें, और यदि आपको फ़ंक्शन के सबसे छोटे मान को खोजने की आवश्यकता है तो उनमें से सबसे छोटा चुनें

हालांकि, सेगमेंट पर फ़ंक्शन को बनाए रखने के तरीके के आधार पर, इस एल्गोरिदम को काफी कम किया जा सकता है।

एक समारोह पर विचार करें । इस सुविधा का अनुसूची इस तरह दिखती है:

के लिए एक खुले बैंक कार्यों से समस्याओं को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें

एक । कार्य B15 (№ 26695)

खंड पर।

1. फ़ंक्शन सभी मान्य मानों x पर निर्धारित किया जाता है

जाहिर है, इस समीकरणों में कोई समाधान नहीं है, और एक्स सकारात्मक के सभी मूल्यों के साथ व्युत्पन्न है। नतीजतन, फ़ंक्शन बढ़ता है और अंतर के दाईं ओर सबसे बड़ा मूल्य लेता है, जो कि x \u003d 0 पर है।

उत्तर: 5।

2 . कार्य B15 (№ 26702)

समारोह का सबसे बड़ा मूल्य खोजें खंड पर।

1. अपने कार्य शीर्षक \u003d "(लैंग: एक्स (पीआई) / 2 + (पीआई) के, के (इन) (बीबीजेड)">!}

व्युत्पन्न शून्य है, हालांकि, इन बिंदुओं पर यह संकेत नहीं बदलता है:

नतीजतन, शीर्षक \u003d "(लैंग: 3 / (कोस ^ 2 (एक्स))\u003e \u003d 3">, значит, title="3 / (कोस ^ 2 (x)) - 3\u003e \u003d 0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} अंतराल के दाहिने सिरे पर बढ़ता है और सबसे बड़ा मूल्य लेता है।

स्पष्ट होने के लिए व्युत्पन्न क्यों संकेत नहीं बदलता है, हम व्युत्पन्न के लिए अभिव्यक्ति को निम्नानुसार बदलते हैं:

शीर्षक \u003d "(लैंग: वाई ^ (प्राइम) \u003d 3 / (cos ^ 2 (x)) - 3 \u003d (3-3cos ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) \u003d (3sin ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) \u003d 3tg ^ 2 (x)\u003e \u003d 0">!}

उत्तर: 5।

3। कार्य B15 (№ 26708)

सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा कार्य खोजें।

1. अपने कार्यों: शीर्षक \u003d "(! लैंग: एक्स (पीआई) / 2 + (पीआई) के, के (इन) (बीबीजेड)">!}

त्रिकोणमितीय सर्कल पर इस समीकरण की जड़ों को रखें।

गैप दो संख्याओं से संबंधित है: और

हमने संकेत दिए। ऐसा करने के लिए, हम बिंदु x \u003d 0 पर व्युत्पन्न के संकेत को परिभाषित करते हैं: । अंक और व्युत्पन्न के माध्यम से आगे बढ़ते समय संकेत बदलते हैं।

मैं समन्वय प्रत्यक्ष पर व्युत्पन्न कार्य के संकेतों में परिवर्तन दिखाऊंगा:

यह स्पष्ट है कि बिंदु न्यूनतम का एक बिंदु है (इसमें व्युत्पन्न "-" से "+" से चिह्नित), और सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मूल्य खोजने के लिए, आपको मूल्यों की तुलना करने की आवश्यकता है न्यूनतम बिंदु पर और सेगमेंट के बाएं छोर पर फ़ंक्शन का।

समारोह y \u003d।एफ (एक्स) सेगमेंट पर निरंतर [ ए, बी।]। जैसा कि जाना जाता है, इस सेगमेंट पर यह फ़ंक्शन सबसे महान और सबसे छोटे मूल्यों तक पहुंचता है। ये मान सुविधा या तो सेगमेंट के आंतरिक बिंदु में ले सकती हैं [ ए, बी।], या तो सेगमेंट की सीमा पर।

सेगमेंट पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और छोटे मूल्यों को खोजने के लिए [ ए, बी।] ज़रूरी:

1) अंतराल में महत्वपूर्ण अंक फ़ंक्शन खोजें ( ए, बी।);

2) पाए गए महत्वपूर्ण बिंदुओं में समारोह के मूल्यों की गणना करें;

3) सेगमेंट के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें, यानी, जब एक्स।= लेकिन अ और x \u003d बी;

4) सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनने के लिए फ़ंक्शन के सभी गणना मूल्यों से।

उदाहरण। समारोह के सबसे महान और सबसे छोटे मूल्यों को खोजें

खंड पर।

हमें महत्वपूर्ण बिंदु मिलते हैं:

ये बिंदु खंड के अंदर स्थित हैं; वाई(1) = ‒ 3; वाई(2) = ‒ 4; वाई(0) = ‒ 8; वाई(3) = 1;

बिंदु पर एक्स।\u003d 3 और बिंदु पर एक्स।= 0.

समारोह और विभक्ति बिंदु के लिए समारोह की जांच।

समारोह वाई = एफ (एक्स।) बुला हुआ इमारत अंतराल पर (ए।, बी) यदि इसका अनुसूची टेंगेंट के नीचे है, तो इस अंतर के किसी भी बिंदु पर खर्च किया जाता है, और कहा जाता है उत्तल नीचे (अवतल)यदि इसका शेड्यूल एक स्पर्शरेखा पर है।

जिस बिंदु पर स्विचिंग करते हैं, उसमें मजबूती या इसके विपरीत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिसे बुलाया जाता है विभक्ति का बिंदु.

बल्ज और इन्फ्लिक्शन प्वाइंट पर शोध के लिए एक एल्गोरिदम:

1. दूसरी तरह के महत्वपूर्ण बिंदुओं को ढूंढें, यानी, जिन बिंदुओं में दूसरा व्युत्पन्न शून्य है या अस्तित्व में नहीं है।

2. महत्वपूर्ण बिंदुओं को संख्यात्मक सीधे लागू करें, इसे अंतराल में तोड़ दें। प्रत्येक अंतराल पर दूसरे व्युत्पन्न का संकेत खोजें; यदि, फ़ंक्शन उत्तल है, यदि, फ़ंक्शन को उत्तल है।

3. यदि दूसरी तरह के महत्वपूर्ण बिंदु के माध्यम से स्विच करने पर हस्ताक्षर बदल जाएगा और इस बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न शून्य है, तो यह बिंदु इन्फ्लिक्शन के बिंदु का फर्सीसा है। उसे समन्वयित करें।

Asymptotes ग्राफ ग्राफिक्स। Asimptotes पर अनुसंधान समारोह।

परिभाषा।Asimptota ग्राफिक फ़ंक्शन कहा जाता है सीधे, संपत्ति होने के नाते कि इस समय तक की किसी भी समय से दूरी मूल से अनुसूची के बिंदु को असीमित हटाने के साथ शून्य के लिए प्रयास कर रही है।

तीन प्रकार के Asymptotes हैं: लंबवत, क्षैतिज और झुकाव।

परिभाषा। प्रत्यक्ष कहा जाता है लंबवत असिमोटाफ़ंक्शन ग्राफिक्स y \u003d f (x)यदि इस बिंदु पर समारोह की एकतरफा सीमा में से कम से कम एक अनंत है, तो वह है

समारोह को तोड़ने का मुद्दा कहां है, यह परिभाषा क्षेत्र से संबंधित है।

उदाहरण।

डी ( वाई) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

एक्स।\u003d 2 - एक अंतर बिंदु।

परिभाषा।सीधे y \u003d।ए। बुला हुआ क्षैतिज Asymptota फ़ंक्शन ग्राफिक्स y \u003d f (x) कभि अगर

उदाहरण।

एक्स।
वाई

परिभाषा।सीधे y \u003d।क।x +।बी (क।≠ 0) कहा जाता है इच्छुक asymptoto फ़ंक्शन ग्राफिक्स y \u003d f (x) कहा पर

शोध कार्यों और ग्राफ बनाने के लिए सामान्य योजना।

समारोह अनुसंधान एल्गोरिथ्मy \u003d f (x) :

1. फील्ड परिभाषा क्षेत्र का पता लगाएं डी (वाई).

2. समन्वय की अक्षों के साथ ग्राफ के चौराहे का बिंदु (यदि संभव हो) खोजें (जब एक्स। \u003d 0 और वाई = 0).

3. समारोह की समता और विषमता का अन्वेषण करें ( वाई (‒ एक्स।) = वाई (एक्स।) ‒ समानता; वाई(‒ एक्स।) = ‒ वाई (एक्स।) ‒ शुद्धता)।

4. फ़ंक्शन ग्राफिक्स के AsMyptotes खोजें।

5. समारोह के एकागोनी अंतराल खोजें।

6. चरम कार्यों का पता लगाएं।

7. उत्तलता (अवधारणा) के अंतराल और फ़ंक्शन के ग्राफिक्स के प्रतिबिंब के बिंदुओं को ढूंढें।

8. एक फ़ंक्शन शेड्यूल बनाने के लिए किए गए अध्ययनों के आधार पर।

उदाहरण।फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और अपना शेड्यूल बनाएं।

1) डी (वाई) =

एक्स। \u003d 4 - गैप पॉइंट।

2) के लिए एक्स। = 0,

(0; - 5) - चौराहे बिंदु के साथ ओवाई।.

के लिये वाई = 0,

3) वाई(‒ एक्स।)= सामान्य रूप (न तो भी या विषम) का कार्य।

4) Asimptotes की खोज।

ए) लंबवत

b) क्षैतिज

ग) हम इच्छुक asymptotes कहाँ पाते हैं

इच्छुक asymptotes का संकलन

5) इस समीकरण को एक समारोह एकाग्रता अंतराल की आवश्यकता नहीं है।

6)

ये महत्वपूर्ण बिंदु अंतराल (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) और (10; + ∞) पर कार्य को निर्धारित करने के पूरे क्षेत्र को विभाजित करते हैं। प्राप्त परिणाम आसानी से निम्न तालिका के रूप में सबमिट किए जाते हैं।