एक बिंदु पर सीमा की अवधारणा. अनुक्रम और कार्य की सीमा. प्रमेयों को सीमित करें

किसी फ़ंक्शन की सीमा के गुणों को साबित करके, हम आश्वस्त थे कि पिछले पैराग्राफ के परिचय में संकेतित गुणों को छोड़कर, उन छिद्रित पड़ोसों से वास्तव में कुछ भी आवश्यक नहीं था जिसमें हमारे कार्यों को परिभाषित किया गया था और जो प्रमाण की प्रक्रिया में उत्पन्न हुए थे। 2. यह परिस्थिति निम्नलिखित गणितीय वस्तु की पहचान के लिए औचित्य के रूप में कार्य करती है।

एक। आधार; परिभाषा और बुनियादी उदाहरण

परिभाषा 11. यदि दो शर्तें पूरी होती हैं तो सेट X के उपसमुच्चय के संग्रह B को सेट X में आधार कहा जाएगा:

दूसरे शब्दों में, संग्रह बी के तत्व गैर-रिक्त सेट हैं, और उनमें से किन्हीं दो के प्रतिच्छेदन में एक ही संग्रह से कुछ तत्व शामिल होते हैं।

आइए हम विश्लेषण में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कुछ आधारों को इंगित करें।

यदि तब इसके बजाय वे लिखते हैं और कहते हैं कि x दाईं ओर से या बड़े मानों की ओर से (क्रमशः बाईं ओर से या छोटे मानों की ओर से) प्रवृत्त होता है। जब इसके स्थान पर एक संक्षिप्त रिकॉर्ड स्वीकार किया जाता है

प्रविष्टि का उपयोग शी के स्थान पर किया जाएगा जिसका अर्थ है कि ए; समुच्चय E से a की ओर बढ़ता है, a से बड़ा (छोटा) रहता है।

फिर इसके बजाय वे लिखते हैं और कहते हैं कि x प्लस इनफिनिटी (क्रमशः, माइनस इनफिनिटी) की ओर जाता है।

इसके स्थान पर प्रविष्टि का उपयोग किया जाएगा

जब इसके बजाय (यदि इससे कोई गलतफहमी नहीं होती है) हम, जैसा कि अनुक्रम की सीमा के सिद्धांत में प्रथागत है, लिखेंगे

ध्यान दें कि सूचीबद्ध सभी आधारों में यह विशेषता है कि आधार के किन्हीं दो तत्वों का प्रतिच्छेदन स्वयं इस आधार का एक तत्व है, न कि केवल आधार के कुछ तत्वों को सम्मिलित करता है। उन कार्यों का अध्ययन करते समय हमें अन्य आधारों का सामना करना पड़ेगा जो संख्या अक्ष पर निर्दिष्ट नहीं हैं।

यह भी ध्यान दें कि यहां इस्तेमाल किया गया शब्द "आधार" गणित में "फ़िल्टर आधार" कहे जाने वाले शब्द का एक संक्षिप्त पदनाम है, और नीचे दी गई आधार सीमा आधुनिक फ्रांसीसी गणितज्ञ द्वारा बनाई गई फ़िल्टर सीमा की अवधारणा के विश्लेषण के लिए सबसे आवश्यक हिस्सा है। ए कार्टन

बी। आधार द्वारा कार्य सीमा

परिभाषा 12. मान लीजिए कि समुच्चय X पर एक फलन है; B, X में एक आधार है। किसी संख्या को आधार B के संबंध में किसी फ़ंक्शन की सीमा कहा जाता है यदि बिंदु A के किसी भी पड़ोस के लिए आधार का एक तत्व होता है जिसकी छवि पड़ोस में समाहित होती है

यदि आधार B के सन्दर्भ में A किसी फलन की सीमा है, तो लिखिए

आइए तार्किक प्रतीकवाद में आधार द्वारा सीमा की परिभाषा को दोहराएं:

चूँकि अब हम संख्यात्मक मानों वाले फ़ंक्शंस को देख रहे हैं, इसलिए इस मूल परिभाषा के निम्नलिखित रूप को ध्यान में रखना उपयोगी है:

इस सूत्रीकरण में, एक मनमाना पड़ोस वी (ए) के बजाय, एक सममित (बिंदु ए के संबंध में) पड़ोस (ई-पड़ोस) लिया जाता है। वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए इन परिभाषाओं की समानता इस तथ्य से होती है कि, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी बिंदु के किसी भी पड़ोस में उसी बिंदु के कुछ सममित पड़ोस होते हैं (प्रमाण को पूर्ण रूप से निष्पादित करें!)।

हमने आधार पर किसी फ़ंक्शन की सीमा की एक सामान्य परिभाषा दी है। ऊपर हमने विश्लेषण में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले डेटाबेस के उदाहरणों पर चर्चा की। किसी विशिष्ट समस्या में जहां इनमें से एक या दूसरा आधार प्रकट होता है, सामान्य परिभाषा को समझने और इसे एक विशिष्ट आधार के लिए लिखने में सक्षम होना आवश्यक है।

आधारों के उदाहरणों पर विचार करते हुए, हमने, विशेष रूप से, अनंत के पड़ोस की अवधारणा पेश की। यदि हम इस अवधारणा का उपयोग करते हैं, तो सीमा की सामान्य परिभाषा के अनुसार निम्नलिखित सम्मेलनों को स्वीकार करना उचित है:

या, वही क्या है,

आमतौर पर हमारा मतलब छोटे मूल्य से होता है। निस्संदेह, उपरोक्त परिभाषाओं में ऐसा नहीं है। उदाहरण के लिए, स्वीकृत परंपराओं के अनुसार, हम लिख सकते हैं

एक विशेष आधार के लिए सीमा पर सभी प्रमेयों को, जिन्हें हमने अनुच्छेद 2 में सिद्ध किया है, एक मनमाना आधार पर एक सीमा के सामान्य मामले में सिद्ध माने जाने के लिए, उचित परिभाषाएँ देना आवश्यक है: अंततः स्थिर, अंततः परिबद्ध और अतिसूक्ष्म कार्यों के किसी दिए गए आधार के लिए।

परिभाषा 13. एक फ़ंक्शन को अंततः आधार बी के साथ स्थिर कहा जाता है यदि आधार में एक संख्या और एक तत्व मौजूद होता है जैसे कि किसी भी बिंदु पर

फिलहाल, किए गए अवलोकन और इसके संबंध में पेश की गई आधार की अवधारणा का मुख्य लाभ यह है कि वे हमें प्रत्येक विशिष्ट प्रकार के सीमा मार्ग के लिए या हमारी वर्तमान शब्दावली में, सीमा प्रमेय के परीक्षण और औपचारिक प्रमाण से बचाते हैं। प्रत्येक विशिष्ट प्रकार के आधार

अंतत: एक मनमाने आधार पर सीमा की अवधारणा से परिचित होने के लिए, हम किसी फ़ंक्शन की सीमा के आगे के गुणों को सामान्य रूप में प्रमाणित करेंगे।

कार्य सीमा- संख्या एकिसी परिवर्तनशील मात्रा की सीमा होगी यदि, परिवर्तन की प्रक्रिया में, यह परिवर्तनीय मात्रा अनिश्चित काल तक पहुंचती है ए.

या दूसरे शब्दों में, संख्या एफ़ंक्शन की सीमा है वाई = एफ(एक्स)बिंदु पर एक्स 0, यदि फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से बिंदुओं के किसी भी अनुक्रम के लिए, बराबर नहीं है एक्स 0, और जो बिंदु पर एकत्रित होता है x 0 (लिम x n = x0), संबंधित फ़ंक्शन मानों का क्रम संख्या में परिवर्तित हो जाता है ए.

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ जिसकी सीमा, एक तर्क दिया गया है जो अनंत की ओर जाता है, के बराबर है एल:

अर्थ एहै फ़ंक्शन की सीमा (सीमा मान)। एफ(एक्स)बिंदु पर एक्स 0अंकों के किसी भी क्रम के मामले में , जो अभिसरण करता है एक्स 0, लेकिन जिसमें शामिल नहीं है एक्स 0इसके तत्वों में से एक के रूप में (अर्थात् छिद्रित क्षेत्र में)। एक्स 0), फ़ंक्शन मानों का अनुक्रम में एकत्रित हो जाता है ए.

कॉची फ़ंक्शन की सीमा.

अर्थ एहोगा फ़ंक्शन की सीमा एफ(एक्स)बिंदु पर एक्स 0यदि किसी गैर-नकारात्मक संख्या के लिए पहले से लिया गया हो ε संगत गैर-ऋणात्मक संख्या मिल जाएगी δ = δ(ε) ऐसा कि प्रत्येक तर्क के लिए एक्स, शर्त को संतुष्ट करना 0 < | x - x0 | < δ , असमानता संतुष्ट हो जाएगी | एफ(एक्स)ए |< ε .

यदि आप सीमा का सार और इसे खोजने के बुनियादी नियमों को समझ लें तो यह बहुत आसान हो जाएगा। फ़ंक्शन की सीमा क्या है एफ (एक्स)पर एक्सके लिए प्रयासरत एके बराबर होती है ए, इस प्रकार लिखा गया है:

इसके अलावा, वह मान जिस ओर चर की प्रवृत्ति होती है एक्स, न केवल एक संख्या हो सकती है, बल्कि अनंत (∞) भी हो सकती है, कभी-कभी +∞ या -∞, या कोई सीमा ही नहीं हो सकती है।

कैसे समझें किसी फ़ंक्शन की सीमाएँ ज्ञात करें, समाधानों के उदाहरणों को देखना सबसे अच्छा है।

फलन की सीमा ज्ञात करना आवश्यक है एफ (एक्स) = 1/एक्सपर:

एक्स→ 2, एक्स→ 0, एक्स→ ∞.

आइए पहली सीमा का समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, आप बस स्थानापन्न कर सकते हैं एक्सवह संख्या जिसकी ओर इसकी प्रवृत्ति होती है, अर्थात 2, हमें मिलता है:

आइए फ़ंक्शन की दूसरी सीमा ज्ञात करें. यहां इसके स्थान पर शुद्ध 0 रखें एक्सयह असंभव है, क्योंकि आप 0 से विभाजित नहीं कर सकते. लेकिन हम मानों को शून्य के करीब ले सकते हैं, उदाहरण के लिए, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 वगैरह, और फ़ंक्शन का मान एफ (एक्स)वृद्धि होगी: 100; 1000; 10000; 100,000 इत्यादि। इस प्रकार यह समझा जा सकता है कि कब एक्स→ 0 फ़ंक्शन का मान जो सीमा चिह्न के अंतर्गत है, बिना किसी सीमा के बढ़ेगा, अर्थात। अनंत की ओर प्रयास करें. मतलब:

तीसरी सीमा के संबंध में. पिछले मामले की तरह ही स्थिति, इसे प्रतिस्थापित करना असंभव है ∞ अपने शुद्धतम रूप में. हमें असीमित वृद्धि के मामले पर विचार करने की जरूरत है एक्स. हम एक-एक करके 1000 प्रतिस्थापित करते हैं; 10000; 100000 और इसी तरह, हमारे पास फ़ंक्शन का मान है एफ (एक्स) = 1/एक्सघटेगा: 0.001; 0.0001; 0.00001; और इसी तरह, शून्य की ओर रुझान। इसीलिए:

फ़ंक्शन की सीमा की गणना करना आवश्यक है

दूसरे उदाहरण को हल करना शुरू करने पर, हमें अनिश्चितता दिखाई देती है। यहां से हमें अंश और हर की उच्चतम डिग्री मिलती है - यह है एक्स 3, हम इसे अंश और हर के कोष्ठक से निकालते हैं और फिर इसे कम करते हैं:

उत्तर

में पहला कदम इस सीमा का पता लगाना, इसके स्थान पर मान 1 रखें एक्स, जिसके परिणामस्वरूप अनिश्चितता उत्पन्न हुई। इसे हल करने के लिए, आइए अंश का गुणनखंड करें और द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने की विधि का उपयोग करके ऐसा करें एक्स 2 + 2एक्स - 3:

डी = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ डी=√16 = 4

x 1.2 = (-2±4)/2→ एक्स 1 = -3;एक्स 2= 1.

तो अंश होगा:

उत्तर

यह इसके विशिष्ट मूल्य या एक निश्चित क्षेत्र की परिभाषा है जहां फ़ंक्शन गिरता है, जो सीमा द्वारा सीमित है।

सीमाएँ हल करने के लिए, नियमों का पालन करें:

सार और मुख्य को समझकर सीमा को हल करने के नियम, आपको उन्हें हल करने की बुनियादी समझ मिल जाएगी।

आज कक्षा में हम देखेंगे सख्त अनुक्रमणऔर किसी फ़ंक्शन की सीमा की सख्त परिभाषा, और सैद्धांतिक प्रकृति की प्रासंगिक समस्याओं को हल करना भी सीखें। यह लेख मुख्य रूप से प्राकृतिक विज्ञान और इंजीनियरिंग विशिष्टताओं के प्रथम वर्ष के छात्रों के लिए है, जिन्होंने गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत का अध्ययन करना शुरू किया और उच्च गणित के इस खंड को समझने में कठिनाइयों का सामना किया। इसके अलावा, सामग्री हाई स्कूल के छात्रों के लिए काफी सुलभ है।

साइट के अस्तित्व के वर्षों में, मुझे लगभग निम्नलिखित सामग्री के साथ एक दर्जन पत्र प्राप्त हुए हैं: "मैं गणितीय विश्लेषण को अच्छी तरह से नहीं समझता, मुझे क्या करना चाहिए?", "मुझे गणित बिल्कुल भी समझ में नहीं आता है, मैं अपनी पढ़ाई छोड़ने के बारे में सोच रहा हूँ,” आदि। और वास्तव में, यह मटन ही है जो अक्सर पहले सत्र के बाद छात्र समूह को पतला कर देता है। यह एक केस क्यों है? क्योंकि विषय अकल्पनीय रूप से जटिल है? बिल्कुल नहीं! गणितीय विश्लेषण का सिद्धांत उतना कठिन नहीं है जितना कि यह अनोखा है. और आपको उसे वैसे ही स्वीकार करना और प्यार करना होगा जैसे वह है =)

आइए सबसे कठिन मामले से शुरुआत करें। सबसे पहली और महत्वपूर्ण बात यह है कि आपको अपनी पढ़ाई नहीं छोड़नी है। सही ढंग से समझें, आप हमेशा छोड़ सकते हैं;-) बेशक, अगर एक या दो साल के बाद आप अपनी चुनी हुई विशेषता से बीमार महसूस करते हैं, तो हाँ, आपको इसके बारे में सोचना चाहिए (और नाराज़ मत होइए!)गतिविधि में बदलाव के बारे में. लेकिन अभी के लिए यह जारी रखने लायक है। और कृपया वाक्यांश "मुझे कुछ समझ नहीं आता" को भूल जाइए - ऐसा नहीं होता है कि आप कुछ भी नहीं समझते हैं।

थ्योरी ख़राब हो तो क्या करें? वैसे, यह न केवल गणितीय विश्लेषण पर लागू होता है। यदि सिद्धांत खराब है, तो सबसे पहले आपको अभ्यास पर गंभीरता से ध्यान देने की आवश्यकता है। इस मामले में, दो रणनीतिक कार्य एक साथ हल हो जाते हैं:

- सबसे पहले, सैद्धांतिक ज्ञान का एक महत्वपूर्ण हिस्सा अभ्यास के माध्यम से उभरा। और इसीलिए बहुत से लोग इस सिद्धांत को समझते हैं... - यह सही है! नहीं, नहीं, आप उसके बारे में नहीं सोच रहे हैं =)

- और, दूसरी बात, व्यावहारिक कौशल संभवतः आपको परीक्षा में "खींच" लेंगे, भले ही... लेकिन आइए इतने उत्साहित न हों! हर चीज़ वास्तविक है और हर चीज़ को काफी कम समय में "उठाया" जा सकता है। गणितीय विश्लेषण उच्च गणित का मेरा पसंदीदा अनुभाग है, और इसलिए मैं आपकी मदद करने से खुद को नहीं रोक सका:

पहले सेमेस्टर की शुरुआत में, अनुक्रम सीमाएँ और कार्य सीमाएँ आमतौर पर कवर की जाती हैं। समझ में नहीं आता कि ये क्या हैं और नहीं जानते कि इन्हें कैसे हल किया जाए? लेख से शुरुआत करें कार्य सीमाएँ, जिसमें अवधारणा की जांच "उंगलियों पर" की जाती है और सबसे सरल उदाहरणों का विश्लेषण किया जाता है। इसके बाद, विषय पर एक पाठ सहित अन्य पाठों पर काम करें अनुक्रमों के भीतर, जिस पर मैंने वास्तव में पहले ही एक सख्त परिभाषा तैयार कर ली है।

असमानता चिन्हों और मापांक के अलावा आप कौन से प्रतीकों को जानते हैं?

- एक लंबी खड़ी छड़ी इस तरह पढ़ती है: “ऐसा वैसा”, “ऐसा वैसा”, “ऐसा वैसा” या “ऐसा वैसा”, हमारे मामले में, जाहिर है, हम एक संख्या के बारे में बात कर रहे हैं - इसलिए "ऐसा वह";

- सभी "एन" से अधिक के लिए;

– मापांक चिह्न का अर्थ दूरी है, अर्थात। यह प्रविष्टि हमें बताती है कि मानों के बीच की दूरी ईपीएसलॉन से कम है।

खैर, क्या यह बेहद कठिन है? =)

अभ्यास में महारत हासिल करने के बाद, मैं आपको अगले पैराग्राफ में देखने के लिए उत्सुक हूं:

और वास्तव में, आइए थोड़ा सोचें - अनुक्रम की सख्त परिभाषा कैसे तैयार करें? ...दुनिया में सबसे पहली बात जो दिमाग में आती है व्यावहारिक पाठ: "किसी अनुक्रम की सीमा वह संख्या है जिसके अनुक्रम के सदस्य असीम रूप से करीब पहुंचते हैं।"

ठीक है, चलो इसे लिख लें परिणाम को :

इसे समझना मुश्किल नहीं है परिणाम को संख्या -1 और सम-संख्या वाले पदों के असीम रूप से करीब पहुंचें - एक को"।

या शायद दो सीमाएँ हैं? लेकिन फिर किसी अनुक्रम में उनमें से दस या बीस क्यों नहीं हो सकते? आप इस तरह बहुत दूर तक जा सकते हैं. इस संबंध में यह मानना ​​तर्कसंगत है यदि किसी अनुक्रम की कोई सीमा है, तो वह अद्वितीय है.

टिप्पणी : अनुक्रम की कोई सीमा नहीं है, लेकिन दो अनुवर्ती अनुक्रमों को इससे अलग किया जा सकता है (ऊपर देखें), जिनमें से प्रत्येक की अपनी सीमा है।

इस प्रकार, उपरोक्त परिभाषा अस्थिर हो जाती है। हाँ, यह जैसे मामलों के लिए काम करता है (जिसे मैंने व्यावहारिक उदाहरणों की सरलीकृत व्याख्याओं में बिल्कुल सही ढंग से उपयोग नहीं किया), लेकिन अब हमें एक सख्त परिभाषा खोजने की जरूरत है।

प्रयास दो: “किसी अनुक्रम की सीमा वह संख्या है जिस तक अनुक्रम के सभी सदस्य पहुंचते हैं, सिवाय शायद उनके अंतिममात्राएँ।" यह सच्चाई के करीब है, लेकिन फिर भी पूरी तरह सटीक नहीं है। तो, उदाहरण के लिए, अनुक्रम आधे पद बिल्कुल भी शून्य के करीब नहीं पहुंचते - वे बस इसके बराबर हैं =) वैसे, "चमकती रोशनी" आम तौर पर दो निश्चित मान लेती है।

सूत्रीकरण को स्पष्ट करना कठिन नहीं है, लेकिन फिर एक और प्रश्न उठता है: गणितीय प्रतीकों में परिभाषा कैसे लिखें? स्थिति का समाधान होने तक वैज्ञानिक जगत लंबे समय तक इस समस्या से जूझता रहा प्रसिद्ध उस्ताद, जिसने, संक्षेप में, शास्त्रीय गणितीय विश्लेषण को उसकी संपूर्ण कठोरता में औपचारिक रूप दिया। कॉची ने सर्जरी का सुझाव दिया परिवेश , जिसने सिद्धांत को महत्वपूर्ण रूप से आगे बढ़ाया।

कुछ बिंदु और उसके बारे में विचार करें मनमाना-परिवेश:

"एप्सिलॉन" का मान हमेशा सकारात्मक होता है, और, इसके अलावा, हमें इसे स्वयं चुनने का अधिकार है. आइए मान लें कि इस पड़ोस में कई सदस्य हैं (जरूरी नहीं कि सभी)कुछ क्रम. इस तथ्य को कैसे लिखें कि, उदाहरण के लिए, दसवां पद पड़ोस में है? इसे इसके दाहिनी ओर रहने दें। तब बिंदुओं के बीच की दूरी "एप्सिलॉन" से कम होनी चाहिए:। हालाँकि, यदि "x दसवां" बिंदु "ए" के बाईं ओर स्थित है, तो अंतर नकारात्मक होगा, और इसलिए इसमें चिह्न जोड़ा जाना चाहिए मापांक: .

परिभाषा: किसी संख्या को अनुक्रम की सीमा कहा जाता है यदि किसी के लिएइसका परिवेश (पूर्व-चयनित)ऐसी एक प्राकृतिक संख्या है सभीअधिक संख्या वाले अनुक्रम के सदस्य पड़ोस के अंदर होंगे:

या संक्षेप में: यदि

दूसरे शब्दों में, चाहे हम "एप्सिलॉन" का मान कितना भी छोटा क्यों न लें, देर-सबेर अनुक्रम की "अनंत पूंछ" पूरी तरह से इसी पड़ोस में होगी।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम की "अनंत पूंछ"। बिंदु के किसी भी मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस में पूरी तरह से प्रवेश करेगा। तो यह मान परिभाषा के अनुसार अनुक्रम की सीमा है। मैं आपको याद दिला दूं कि एक अनुक्रम जिसकी सीमा शून्य है, कहलाता है बहुत छोता.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी अनुक्रम के लिए "अंतहीन पूंछ" कहना अब संभव नहीं है अंदर आ जाएगा"-विषम संख्या वाले सदस्य वास्तव में शून्य के बराबर होते हैं और "कहीं नहीं जाते"=) इसीलिए परिभाषा में क्रिया "प्रकट होगी" का प्रयोग किया जाता है। और, निःसंदेह, इस तरह के अनुक्रम के सदस्य भी "कहीं नहीं जाते।" वैसे, जांचें कि क्या संख्या इसकी सीमा है।

अब हम दिखाएंगे कि अनुक्रम की कोई सीमा नहीं है। उदाहरण के लिए, बिंदु के पड़ोस पर विचार करें। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसके बाद सभी पद किसी दिए गए पड़ोस में समाप्त हो जाएंगे - विषम पद हमेशा "छलांग लगाकर" "शून्य से एक" पर आ जाएंगे। इसी कारण से, बिंदु पर कोई सीमा नहीं है।

आइए अभ्यास के साथ सामग्री को समेकित करें:

उदाहरण 1

सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम की सीमा शून्य है। वह संख्या निर्दिष्ट करें जिसके बाद अनुक्रम के सभी सदस्यों को बिंदु के किसी भी मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस के अंदर होने की गारंटी दी जाती है।

टिप्पणी : कई अनुक्रमों के लिए, आवश्यक प्राकृतिक संख्या मूल्य पर निर्भर करती है - इसलिए अंकन।

समाधान: विचार करना मनमाना क्या वहाँ कोईसंख्या - इस प्रकार कि अधिक संख्या वाले सभी सदस्य इस पड़ोस के अंदर होंगे:

आवश्यक संख्या के अस्तित्व को दर्शाने के लिए हम इसे के माध्यम से व्यक्त करते हैं।

चूंकि "एन" के किसी भी मूल्य के लिए, मापांक चिह्न को हटाया जा सकता है:

हम असमानताओं के साथ "स्कूल" क्रियाओं का उपयोग करते हैं जिन्हें मैंने कक्षा में दोहराया था रैखिक असमानताएँऔर फ़ंक्शन डोमेन. इस मामले में, एक महत्वपूर्ण परिस्थिति यह है कि "एप्सिलॉन" और "एन" सकारात्मक हैं:

चूँकि हम बाईं ओर प्राकृतिक संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, और दाहिनी ओर आम तौर पर भिन्नात्मक है, इसे पूर्णांकित करने की आवश्यकता है:

टिप्पणी : कभी-कभी सुरक्षित पक्ष में रहने के लिए दाईं ओर एक इकाई जोड़ दी जाती है, लेकिन वास्तव में यह अति है। तुलनात्मक रूप से कहें तो, यदि हम पूर्णांकन करके परिणाम को कमजोर करते हैं, तो निकटतम उपयुक्त संख्या ("तीन") अभी भी मूल असमानता को संतुष्ट करेगी।

अब हम असमानता को देखते हैं और याद करते हैं कि हमने शुरू में क्या विचार किया था मनमाना-पड़ोस, यानी "एप्सिलॉन" के बराबर हो सकता है कोई भीएक सकारात्मक संख्या.

निष्कर्ष: किसी बिंदु के किसी भी मनमाने ढंग से छोटे-पड़ोसी के लिए, मान पाया गया था . इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार एक संख्या एक अनुक्रम की सीमा है। क्यू.ई.डी.

वैसे, प्राप्त परिणाम से एक प्राकृतिक पैटर्न स्पष्ट रूप से दिखाई देता है: पड़ोस जितना छोटा होगा, संख्या उतनी ही बड़ी होगी, जिसके बाद अनुक्रम के सभी सदस्य इस पड़ोस में होंगे। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि "एप्सिलॉन" कितना छोटा है, अंदर और बाहर हमेशा एक "अनंत पूंछ" होगी - भले ही वह बड़ी हो, फिर भी अंतिमसदस्यों की संख्या.

आपके इंप्रेशन कैसे हैं? =) मैं मानता हूं कि यह थोड़ा अजीब है। लेकिन सख्ती से!कृपया दोबारा पढ़ें और हर चीज़ के बारे में दोबारा सोचें।

आइए एक समान उदाहरण देखें और अन्य तकनीकी तकनीकों से परिचित हों:

उदाहरण 2

समाधान: अनुक्रम की परिभाषा के अनुसार उसे सिद्ध करना आवश्यक है (इसे जोर से कहें!!!).

चलो गौर करते हैं मनमाना-प्वाइंट और चेक का पड़ोस, क्या इसका अस्तित्व है?प्राकृतिक संख्या - ऐसी कि सभी बड़ी संख्याओं के लिए निम्नलिखित असमानता बनी रहे:

ऐसे अस्तित्व को दिखाने के लिए, आपको "एन" को "एप्सिलॉन" के माध्यम से व्यक्त करना होगा। हम मापांक चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति को सरल बनाते हैं:

मॉड्यूल ऋण चिह्न को नष्ट कर देता है:

किसी भी "एन" के लिए हर सकारात्मक है, इसलिए, छड़ें हटाई जा सकती हैं:

फेरबदल:

अब हमें वर्गमूल निकालने की जरूरत है, लेकिन समस्या यह है कि कुछ "एप्सिलॉन" के लिए दाहिना पक्ष नकारात्मक होगा। इस परेशानी से बचने के लिए आइए मजबूत करेंमापांक द्वारा असमानता:

ऐसा क्यों किया जा सकता है? यदि, अपेक्षाकृत रूप से, यह पता चलता है कि, तो शर्त भी पूरी हो जाएगी। मॉड्यूल कर सकता है बस बढ़ाओनंबर चाहिए था, और वह हमारे लिए भी उपयुक्त होगा! मोटे तौर पर कहें तो, यदि सौवां उपयुक्त है, तो दो सौवां भी उपयुक्त है! परिभाषा के अनुसार आपको दिखाना होगा संख्या के अस्तित्व का वास्तविक तथ्य(कम से कम कुछ), जिसके बाद अनुक्रम के सभी सदस्य -पड़ोस में होंगे। वैसे, यही कारण है कि हम दाहिनी ओर के ऊपर की ओर अंतिम गोलाई से डरते नहीं हैं।

जड़ निकालना:

और परिणाम को गोल करें:

निष्कर्ष: क्योंकि मूल्य "एप्सिलॉन" मनमाने ढंग से चुना गया था, फिर बिंदु के किसी भी मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस के लिए मूल्य पाया गया था , जैसे कि सभी बड़ी संख्याओं के लिए असमानता कायम रहती है . इस प्रकार, एक-प्राथमिकता. क्यू.ई.डी.

मैं सलाह देता हूं विशेष रूप सेअसमानताओं के मजबूत होने और कमजोर होने को समझना गणितीय विश्लेषण में एक विशिष्ट और बहुत सामान्य तकनीक है। केवल एक चीज जिसकी आपको निगरानी करने की आवश्यकता है वह है इस या उस कार्रवाई की शुद्धता। तो, उदाहरण के लिए, असमानता यह किसी भी परिस्थिति में संभव नहीं है ढीला, घटाना, कहना, एक:

फिर से, सशर्त रूप से: यदि संख्या बिल्कुल फिट बैठती है, तो पिछला वाला अब फिट नहीं हो सकता है।

स्वतंत्र समाधान के लिए निम्नलिखित उदाहरण:

उदाहरण 3

अनुक्रम की परिभाषा का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए

पाठ के अंत में एक संक्षिप्त समाधान और उत्तर।

यदि क्रम असीम रूप से बड़ा, तो एक सीमा की परिभाषा इसी तरह तैयार की जाती है: एक बिंदु को अनुक्रम की सीमा कहा जाता है यदि किसी के लिए, जितना बड़ा आप चाहेंसंख्या, एक ऐसी संख्या है जो सभी बड़ी संख्याओं के लिए असमानता को संतुष्ट करेगी। नंबर पर कॉल किया जाता है बिंदु "प्लस अनंत" के आसपास:

दूसरे शब्दों में, चाहे हम कितना भी बड़ा मान लें, अनुक्रम की "अनंत पूंछ" आवश्यक रूप से बिंदु के पड़ोस में जाएगी, जिससे बाईं ओर केवल सीमित संख्या में शब्द रह जाएंगे।

मानक उदाहरण:

और संक्षिप्त संकेतन: , यदि

मामले के लिए, परिभाषा स्वयं लिखें। सही संस्करण पाठ के अंत में है।

एक बार जब आप व्यावहारिक उदाहरणों पर ध्यान केंद्रित कर लेते हैं और अनुक्रम की सीमा की परिभाषा समझ लेते हैं, तो आप कैलकुलस और/या अपनी व्याख्यान नोटबुक पर साहित्य की ओर रुख कर सकते हैं। मैं बोहन का खंड 1 डाउनलोड करने की अनुशंसा करता हूँ (सरल - पत्राचार छात्रों के लिए)और फिचटेनहोल्ट्ज़ (अधिक विस्तार से और विस्तार से). अन्य लेखकों में, मैं पिस्कुनोव की अनुशंसा करता हूं, जिनका पाठ्यक्रम तकनीकी विश्वविद्यालयों पर केंद्रित है।

उन प्रमेयों का कर्तव्यनिष्ठा से अध्ययन करने का प्रयास करें जो अनुक्रम की सीमा, उनके प्रमाणों, परिणामों से संबंधित हैं। सबसे पहले, सिद्धांत "अस्पष्ट" लग सकता है, लेकिन यह सामान्य है - आपको बस इसकी आदत डालने की आवश्यकता है। और बहुतों को इसका स्वाद भी मिलेगा!

किसी फ़ंक्शन की सीमा की कठोर परिभाषा

आइए एक ही चीज़ से शुरू करें - इस अवधारणा को कैसे तैयार करें? किसी फ़ंक्शन की सीमा की मौखिक परिभाषा बहुत सरल रूप से तैयार की गई है: "एक संख्या एक फ़ंक्शन की सीमा है यदि "x" की ओर रुझान है (बाएँ और दाएँ दोनों), संबंधित फ़ंक्शन मान होते हैं » (चित्र देखें). सब कुछ सामान्य प्रतीत होता है, लेकिन शब्द शब्द हैं, अर्थ अर्थ है, चिह्न चिह्न है, और पर्याप्त सख्त गणितीय संकेतन नहीं हैं। और दूसरे पैराग्राफ में हम इस मुद्दे को हल करने के दो दृष्टिकोणों से परिचित होंगे।

मान लें कि फ़ंक्शन को बिंदु के संभावित अपवाद के साथ, एक निश्चित अंतराल पर परिभाषित किया गया है। शैक्षिक साहित्य में यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि वहां कार्य होता है नहींपरिभाषित:

यह चुनाव जोर देता है किसी फ़ंक्शन की सीमा का सार: "एक्स" असीम रूप से करीबदृष्टिकोण, और फ़ंक्शन के संबंधित मान हैं असीम रूप से करीबको । दूसरे शब्दों में, एक सीमा की अवधारणा बिंदुओं के लिए "सटीक दृष्टिकोण" का अर्थ नहीं रखती है, बल्कि अर्थात् असीम रूप से निकट सन्निकटन, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि फ़ंक्शन बिंदु पर परिभाषित है या नहीं।

किसी फ़ंक्शन की सीमा की पहली परिभाषा, आश्चर्य की बात नहीं, दो अनुक्रमों का उपयोग करके तैयार की गई है। सबसे पहले, अवधारणाएं संबंधित हैं, और दूसरी बात, कार्यों की सीमाओं का अध्ययन आमतौर पर अनुक्रमों की सीमाओं के बाद किया जाता है।

क्रम पर विचार करें अंक (चित्र पर नहीं), अंतराल से संबंधित और से अलग, कौन अभिसरणको । फिर संबंधित फ़ंक्शन मान भी एक संख्यात्मक अनुक्रम बनाते हैं, जिसके सदस्य कोर्डिनेट अक्ष पर स्थित होते हैं।

हेइन के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा किसी के लिएबिंदुओं का क्रम (से संबंधित और भिन्न), जो बिंदु पर परिवर्तित होता है, फ़ंक्शन मानों का संगत अनुक्रम परिवर्तित होता है।

एडुअर्ड हेन एक जर्मन गणितज्ञ हैं। ...और ऐसा कुछ भी सोचने की ज़रूरत नहीं है, यूरोप में केवल एक ही समलैंगिक है - गे-लुसाक =)

सीमा की दूसरी परिभाषा बनाई गई... हाँ, हाँ, आप सही हैं। लेकिन पहले इसके डिज़ाइन को समझते हैं। बिंदु के एक मनमाने-पड़ोस पर विचार करें ("काला" पड़ोस). पिछले पैराग्राफ के आधार पर, प्रविष्टि का अर्थ यह है कुछ मूल्यफ़ंक्शन "एप्सिलॉन" पड़ोस के अंदर स्थित है।

अब हम उस -पड़ोस को ढूंढते हैं जो दिए गए -पड़ोस से मेल खाता है (मानसिक रूप से बाएं से दाएं और फिर ऊपर से नीचे तक काली बिंदीदार रेखाएं खींचें). ध्यान दें कि मान चयनित है छोटे खंड की लंबाई के साथ, इस मामले में - छोटे बाएँ खंड की लंबाई के साथ। इसके अलावा, "रास्पबेरी" - एक बिंदु के पड़ोस को भी कम किया जा सकता है, क्योंकि निम्नलिखित परिभाषा में अस्तित्व का तथ्य ही महत्वपूर्ण हैयह पड़ोस. और, इसी तरह, संकेतन का अर्थ है कि कुछ मूल्य "डेल्टा" पड़ोस के भीतर है।

कॉची फ़ंक्शन सीमा: किसी संख्या को किसी बिंदु पर फ़ंक्शन की सीमा कहा जाता है यदि किसी के लिए पूर्व-चयनितअड़ोस-पड़ोस (जितना आप चाहें उतना छोटा), मौजूद-बिंदु का पड़ोस, ऐसा, वह: केवल मूल्यों के रूप में (से संबंधित)इस क्षेत्र में शामिल: (रेड एरोज़)- इसलिए तुरंत संबंधित फ़ंक्शन मानों को -पड़ोस में प्रवेश करने की गारंटी दी जाती है: (नीला तीर).

मुझे आपको चेतावनी देनी चाहिए कि स्पष्टता के लिए, मैंने थोड़ा सुधार किया है, इसलिए अति प्रयोग न करें =)

संक्षिप्त प्रविष्टि: , यदि

परिभाषा का सार क्या है? लाक्षणिक रूप से बोलते हुए, -पड़ोस को असीम रूप से कम करके, हम फ़ंक्शन मानों को उनकी सीमा तक "साथ" देते हैं, जिससे उनके पास कहीं और जाने का कोई विकल्प नहीं बचता है। काफी असामान्य, लेकिन फिर से सख्त! विचार को पूरी तरह से समझने के लिए, शब्दों को दोबारा पढ़ें।

! ध्यान: यदि आपको केवल सूत्रीकरण करने की आवश्यकता है हेन की परिभाषाया केवल कॉची परिभाषाकृपया इसके बारे में मत भूलना महत्वपूर्णप्रारंभिक टिप्पणियाँ: "एक फ़ंक्शन पर विचार करें जो एक बिंदु के संभावित अपवाद के साथ, एक निश्चित अंतराल पर परिभाषित किया गया है". मैंने यह बात शुरुआत में ही एक बार कही थी और हर बार इसे नहीं दोहराया।

गणितीय विश्लेषण के संबंधित प्रमेय के अनुसार, हेइन और कॉची परिभाषाएँ समकक्ष हैं, लेकिन दूसरा विकल्प सबसे प्रसिद्ध है (अभी भी होगा!), जिसे "भाषा सीमा" भी कहा जाता है:

उदाहरण 4

सीमा की परिभाषा का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए

समाधान: फ़ंक्शन को बिंदु को छोड़कर संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित किया गया है। परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम किसी दिए गए बिंदु पर एक सीमा के अस्तित्व को साबित करते हैं।

टिप्पणी : "डेल्टा" पड़ोस का मूल्य "एप्सिलॉन" पर निर्भर करता है, इसलिए यह पदनाम है

चलो गौर करते हैं मनमाना-परिवेश. कार्य यह जांचने के लिए इस मान का उपयोग करना है कि क्या क्या इसका अस्तित्व है?-परिवेश, ऐसा, जो असमानता से असमानता आती है .

यह मानते हुए, हम अंतिम असमानता को बदलते हैं:
(द्विघात त्रिपद का विस्तार किया)

समारोहवाई = एफ (एक्स)एक नियम (नियम) है जिसके अनुसार समुच्चय X का प्रत्येक अवयव x समुच्चय Y के एक और केवल एक अवयव y से संबद्ध है।

तत्व एक्स ∈ एक्सबुलाया फ़ंक्शन तर्कया स्वतंत्र चर.
तत्व वाई ∈ वाईबुलाया फ़ंक्शन मानया निर्भर चर.

समुच्चय X को कहा जाता है फ़ंक्शन का डोमेन.
तत्वों का सेट y ∈ वाई, जिसमें सेट एक्स में प्रीइमेज हैं, कहा जाता है फ़ंक्शन मानों का क्षेत्र या सेट.

वास्तविक फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है ऊपर से सीमित (नीचे से), यदि कोई संख्या M ऐसी है कि असमानता सभी के लिए है:
.
संख्या फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है सीमित, यदि कोई संख्या M ऐसी है जो सभी के लिए है:
.

शीर्ष बढ़तया सटीक ऊपरी सीमाएक वास्तविक फ़ंक्शन सबसे छोटी संख्या कहलाती है जो ऊपर से इसके मानों की सीमा को सीमित करती है। अर्थात्, यह एक संख्या s है जिसके लिए, सभी के लिए और किसी के लिए, एक तर्क है जिसका फ़ंक्शन मान s' से अधिक है:।
किसी फ़ंक्शन की ऊपरी सीमा को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
.

क्रमश नीचे का किनाराया बिल्कुल निचली सीमाएक वास्तविक फ़ंक्शन को सबसे बड़ी संख्या कहा जाता है जो नीचे से इसके मानों की सीमा को सीमित करती है। अर्थात्, यह एक संख्या है i जिसके लिए, सभी के लिए और किसी के लिए, एक तर्क है जिसका फ़ंक्शन मान i' से कम है:।
किसी फ़ंक्शन के न्यूनतम को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
.

किसी फ़ंक्शन की सीमा निर्धारित करना

कॉची के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा का निर्धारण

अंतिम बिंदुओं पर कार्य की सीमित सीमाएँ

मान लें कि फ़ंक्शन को बिंदु के संभावित अपवाद के साथ, अंतिम बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है। किसी बिंदु पर यदि किसी के लिए ऐसी कोई चीज़ है, तो उस पर निर्भर करता है, कि सभी x के लिए, जिसके लिए असमानता कायम है
.
किसी फ़ंक्शन की सीमा को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.
या कि ।

अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा इस प्रकार लिखी जा सकती है:
.

एकतरफ़ा सीमा.
एक बिंदु पर बाईं ओर की सीमा (बाएं तरफ की सीमा):
.
एक बिंदु पर दाहिनी सीमा (दाहिनी ओर की सीमा):
.
बाएँ और दाएँ सीमा को अक्सर इस प्रकार दर्शाया जाता है:
; .

अनंत बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन की परिमित सीमाएँ

अनंत पर बिंदुओं की सीमाएं इसी तरह निर्धारित की जाती हैं।
.
.
.
इन्हें अक्सर कहा जाता है:
; ; .

एक बिंदु के पड़ोस की अवधारणा का उपयोग करना

यदि हम किसी बिंदु के छिद्रित पड़ोस की अवधारणा का परिचय देते हैं, तो हम परिमित और असीम रूप से दूर के बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन की परिमित सीमा की एकीकृत परिभाषा दे सकते हैं:
.
यहां समापन बिंदुओं के लिए
; ;
.
अनंत पर बिंदुओं का कोई भी पड़ोस छिद्रित है:
; ; .

अनंत कार्य सीमाएँ

परिभाषा
मान लीजिए कि फ़ंक्शन को किसी बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस (परिमित या अनंत पर) में परिभाषित किया गया है। फ़ंक्शन की सीमा एफ (एक्स) x → x के रूप में 0 अनंत के बराबर है, यदि किसी मनमाने ढंग से बड़ी संख्या के लिए एम > 0 , एक संख्या है δ M > 0 , एम पर निर्भर करते हुए, कि छिद्रित δ एम - बिंदु के पड़ोस से संबंधित सभी एक्स के लिए, निम्नलिखित असमानता कायम है:
.
अनंत सीमा को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.
या कि ।

अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन की अनंत सीमा की परिभाषा इस प्रकार लिखी जा सकती है:
.

आप इसके बराबर कुछ चिह्नों की अनंत सीमाओं की परिभाषाएँ भी प्रस्तुत कर सकते हैं:
.
.

किसी फ़ंक्शन की सीमा की सार्वभौमिक परिभाषा

किसी बिंदु के पड़ोस की अवधारणा का उपयोग करके, हम किसी फ़ंक्शन की परिमित और अनंत सीमा की एक सार्वभौमिक परिभाषा दे सकते हैं, जो परिमित (दो तरफा और एक तरफा) और असीम रूप से दूर के बिंदुओं दोनों के लिए लागू होती है:
.

हेइन के अनुसार किसी फलन की सीमा का निर्धारण

मान लीजिए कि फ़ंक्शन को किसी सेट X: पर परिभाषित किया गया है।
संख्या a को फलन की सीमा कहा जाता हैबिंदु पर:
,
यदि x में परिवर्तित होने वाले किसी अनुक्रम के लिए 0 :
,
जिनके तत्व समुच्चय X से संबंधित हैं: ,
.

आइए हम अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करके इस परिभाषा को लिखें:
.

यदि हम बिंदु x के बाईं ओर के पड़ोस को एक समुच्चय X के रूप में लेते हैं 0 , तो हमें बाईं सीमा की परिभाषा प्राप्त होती है। यदि यह दाएं हाथ का है तो हमें सही सीमा की परिभाषा मिलती है। यदि हम अनंत पर एक बिंदु के पड़ोस को एक सेट एक्स के रूप में लेते हैं, तो हमें अनंत पर एक फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा प्राप्त होती है।

प्रमेय
किसी फ़ंक्शन की सीमा की कॉची और हेइन परिभाषाएँ समतुल्य हैं।
सबूत

किसी फ़ंक्शन की सीमा के गुण और प्रमेय

इसके अलावा, हम मानते हैं कि विचाराधीन कार्यों को बिंदु के संबंधित पड़ोस में परिभाषित किया गया है, जो एक सीमित संख्या या प्रतीकों में से एक है:। यह एक तरफा सीमा बिंदु भी हो सकता है, यानी इसका रूप या हो सकता है। पड़ोस दोतरफा सीमा के लिए दोतरफा है और एकतरफा सीमा के लिए एकतरफा है।

बुनियादी गुण

यदि फ़ंक्शन के मान f (एक्स) x बिंदुओं की एक सीमित संख्या को बदलें (या अपरिभाषित करें)। 1, एक्स 2, एक्स 3, ... एक्स एन, तो यह परिवर्तन किसी मनमाने बिंदु x पर फ़ंक्शन की सीमा के अस्तित्व और मूल्य को प्रभावित नहीं करेगा 0 .

यदि कोई परिमित सीमा है, तो बिंदु x का एक छिद्रित पड़ोस है 0 , जिस पर फ़ंक्शन एफ (एक्स)सीमित:
.

मान लीजिए कि फ़ंक्शन बिंदु x पर है 0 परिमित गैर-शून्य सीमा:
.
फिर, अंतराल से किसी भी संख्या c के लिए, बिंदु x का ऐसा छिद्रित पड़ोस होता है 0 , किस लिए ,
, अगर ;
, अगर ।

यदि, बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर, एक स्थिरांक है, तो।

यदि बिंदु x के कुछ छिद्रित पड़ोस पर सीमित सीमाएं हैं 0
,
वह ।

यदि , और बिंदु के कुछ पड़ोस पर
,
वह ।
विशेष रूप से, यदि किसी बिंदु के किसी पड़ोस में
,
तब यदि , तब और ;
यदि , तब और .

यदि किसी बिंदु x के कुछ छिद्रित पड़ोस पर 0 :
,
और समान सीमाएँ परिमित (या किसी निश्चित चिन्ह की अनंत) होती हैं:
, वह
.

मुख्य गुणों के प्रमाण पृष्ठ पर दिये गये हैं
"किसी फ़ंक्शन की सीमाओं के मूल गुण।"

किसी फ़ंक्शन की सीमा के अंकगणितीय गुण

आइए कार्यों को बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस में परिभाषित करें। और सीमित सीमाएँ होने दें:
और ।
और मान लीजिए कि C एक स्थिरांक है, अर्थात एक दी गई संख्या है। तब
;
;
;
, अगर ।

तो अगर।

पृष्ठ पर अंकगणितीय गुणों के प्रमाण दिये गये हैं
"किसी फ़ंक्शन की सीमाओं के अंकगणितीय गुण"।

किसी फ़ंक्शन की सीमा के अस्तित्व के लिए कॉची मानदंड

प्रमेय
किसी परिमित के कुछ छिद्रित पड़ोस या अनंत बिंदु x पर परिभाषित फ़ंक्शन के लिए 0 , इस बिंदु पर एक सीमित सीमा थी, यह किसी भी ε के लिए आवश्यक और पर्याप्त है > 0 बिंदु x का एक ऐसा छिद्रित पड़ोस था 0 , कि किसी भी बिंदु और इस पड़ोस से, निम्नलिखित असमानता कायम है:
.

एक जटिल कार्य की सीमा

एक जटिल फलन की सीमा पर प्रमेय
फ़ंक्शन की एक सीमा होने दें और एक बिंदु के छिद्रित पड़ोस को एक बिंदु के छिद्रित पड़ोस पर मैप करें। मान लीजिए कि फ़ंक्शन को इस पड़ोस पर परिभाषित किया गया है और इसकी एक सीमा है।
यहां अंतिम या असीम रूप से दूर के बिंदु हैं:। पड़ोस और उनकी संगत सीमाएँ दो-तरफ़ा या एक-तरफ़ा हो सकती हैं।
फिर एक जटिल फ़ंक्शन की एक सीमा होती है और यह इसके बराबर होती है:
.

किसी जटिल फ़ंक्शन की सीमा प्रमेय तब लागू होती है जब फ़ंक्शन किसी बिंदु पर परिभाषित नहीं होता है या उसका मान सीमा से भिन्न होता है। इस प्रमेय को लागू करने के लिए, उस बिंदु का एक छिद्रित पड़ोस होना चाहिए जहां फ़ंक्शन के मानों के सेट में बिंदु शामिल नहीं है:
.

यदि फ़ंक्शन बिंदु पर निरंतर है, तो सीमा चिह्न को निरंतर फ़ंक्शन के तर्क पर लागू किया जा सकता है:
.
निम्नलिखित इस मामले से संबंधित एक प्रमेय है।

किसी फलन के सतत फलन की सीमा पर प्रमेय
मान लीजिए कि फलन g की एक सीमा है (टी)जैसे t → t 0 , और यह x के बराबर है 0 :
.
यहाँ बिंदु t है 0 परिमित या असीम रूप से दूर हो सकता है: .
और फ़ंक्शन को f दें (एक्स)बिंदु x पर सतत है 0 .
फिर सम्मिश्र फलन f की एक सीमा होती है (जी(टी)), और यह f के बराबर है (x0):
.

प्रमेयों के प्रमाण पृष्ठ पर दिये गये हैं
"एक जटिल कार्य की सीमा और निरंतरता"।

अनंत और अनंत रूप से बड़े कार्य

अनन्तिमल कार्य

परिभाषा
एक फलन को अतिसूक्ष्म कहा जाता है यदि
.

योग, अंतर और उत्पादपर अपरिमित फलनों की एक सीमित संख्या का एक अपरिमित फलन है।

किसी फ़ंक्शन का उत्पाद परिबद्धबिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर, एक अतिसूक्ष्म पर एक अतिसूक्ष्म कार्य है।

किसी फ़ंक्शन की एक सीमित सीमा होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है
,
जहां पर एक अतिसूक्ष्म फलन है।

"अतिसूक्ष्म कार्यों के गुण"।

असीम रूप से बड़े कार्य

परिभाषा
किसी फलन को अपरिमित रूप से बड़ा कहा जाता है यदि
.

बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर एक बंधे हुए फ़ंक्शन का योग या अंतर, और एक असीम रूप से बड़े फ़ंक्शन पर एक असीम रूप से बड़ा फ़ंक्शन है।

यदि फ़ंक्शन अनंत रूप से बड़ा है, और फ़ंक्शन बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर घिरा हुआ है, तो
.

यदि फ़ंक्शन, बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर, असमानता को संतुष्ट करता है:
,
और फ़ंक्शन यहां अपरिमित है:
, और (बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर), फिर
.

संपत्तियों के प्रमाण अनुभाग में प्रस्तुत किये गये हैं
"असीम रूप से बड़े कार्यों के गुण"।

अपरिमित रूप से बड़े और अतिसूक्ष्म कार्यों के बीच संबंध

पिछले दो गुणों से असीम रूप से बड़े और अनंत छोटे कार्यों के बीच संबंध का पता चलता है।

यदि कोई फलन पर अपरिमित रूप से बड़ा है, तो वह फलन पर अपरिमित रूप से छोटा है।

यदि कोई फलन , और , के लिए अपरिमित रूप से छोटा है तो फलन , और के लिए अपरिमित रूप से बड़ा है।

एक अतिसूक्ष्म और एक अपरिमित रूप से बड़े फलन के बीच संबंध को प्रतीकात्मक रूप से व्यक्त किया जा सकता है:
, .

यदि किसी अतिसूक्ष्म फलन का एक निश्चित चिह्न है, अर्थात वह बिंदु के कुछ छिद्रित पड़ोस पर धनात्मक (या ऋणात्मक) है, तो इस तथ्य को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
.
उसी प्रकार, यदि किसी अपरिमित रूप से बड़े फ़ंक्शन पर एक निश्चित चिह्न है, तो वे लिखते हैं:
.

फिर असीम रूप से छोटे और असीम रूप से बड़े कार्यों के बीच प्रतीकात्मक संबंध को निम्नलिखित संबंधों के साथ पूरक किया जा सकता है:
, ,
, .

अनंत प्रतीकों से संबंधित अतिरिक्त सूत्र पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं
"अनंत और उनके गुणों की ओर इशारा करता है।"

मोनोटोनिक कार्यों की सीमाएँ

परिभाषा
वास्तविक संख्याओं के कुछ सेट पर परिभाषित फ़ंक्शन X को कहा जाता है सख्ती से बढ़ रहा है, यदि ऐसे सभी के लिए निम्नलिखित असमानता कायम है:
.
तदनुसार, के लिए सख्ती से घट रही हैकार्य निम्नलिखित असमानता रखता है:
.
के लिए गैर घटते:
.
के लिए गैर बढ़ती:
.

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सख्ती से बढ़ने वाला फलन भी घटता नहीं है। सख्ती से घटने वाला फलन भी गैर-बढ़ने वाला होता है।

फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है नीरस, यदि यह घटता नहीं है या बढ़ता नहीं है।

प्रमेय
मान लीजिए अंतराल पर फलन कम नहीं होता।
यदि यह ऊपर संख्या M से घिरा है: तो इसकी एक सीमित सीमा है। यदि ऊपर से सीमित न हो तो .
यदि यह नीचे से संख्या m द्वारा सीमित है: तो एक सीमित सीमा है। यदि नीचे से सीमित न हो तो।

यदि बिंदु ए और बी अनंत पर हैं, तो अभिव्यक्ति में सीमा चिह्न का मतलब है कि।
इस प्रमेय को अधिक संक्षिप्त रूप से तैयार किया जा सकता है।

मान लीजिए अंतराल पर फलन कम नहीं होता। फिर बिंदु ए और बी पर एकतरफा सीमाएं हैं:
;
.

गैर-बढ़ते फ़ंक्शन के लिए एक समान प्रमेय।

जिस अंतराल पर फलन न बढ़े। फिर एकतरफ़ा सीमाएँ हैं:
;
.

प्रमेय का प्रमाण पृष्ठ पर प्रस्तुत किया गया है
"मोनोटोनिक कार्यों की सीमाएँ"।

सन्दर्भ:
एल.डी. Kudryavtsev। गणितीय विश्लेषण का कोर्स. खंड 1. मॉस्को, 2003।
सेमी। निकोल्स्की। गणितीय विश्लेषण का कोर्स. खंड 1. मॉस्को, 1983।

कम से कम कुछ छिद्रित पड़ोस %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% बिंदु %%a \in \overline( \) में परिभाषित फ़ंक्शन %%f(x)%% पर विचार करें गणितबीबी(आर))%% विस्तारित संख्या रेखा।

कॉची सीमा की अवधारणा

संख्या %%A \in \mathbb(R)%% कहा जाता है फ़ंक्शन की सीमा%%f(x)%% बिंदु %%a \in \mathbb(R)%% पर (या %%x%% पर %%a \in \mathbb(R)%%) की ओर रुझान, यदि, क्या सकारात्मक संख्या %%\varepsilon%% जो भी हो, एक सकारात्मक संख्या %%\delta%% होती है, जैसे कि बिंदु %%a%% के छिद्रित %%\delta%% पड़ोस में सभी बिंदुओं के लिए फ़ंक्शन मान %%\varepsilon %%-बिंदु %%A%% के पड़ोस से संबंधित हैं, या

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (यू))_\डेल्टा(ए) \राइटएरो एफ(x) \in \text(U)_\varepsilon (ए) \बड़ा) $$

इस परिभाषा को %%\varepsilon%% और %%\delta%% परिभाषा कहा जाता है, जो फ्रांसीसी गणितज्ञ ऑगस्टिन कॉची द्वारा प्रस्तावित है और 19वीं शताब्दी की शुरुआत से आज तक उपयोग की जाती है क्योंकि इसमें आवश्यक गणितीय कठोरता और सटीकता है।

बिंदु %%a%% के विभिन्न पड़ोसों को %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \ के रूप में संयोजित करना text(U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^ - (ए) %% परिवेश के साथ %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \ text(U) _\varepsilon (-\infty)%%, हमें कॉची सीमा की 24 परिभाषाएँ मिलती हैं।

ज्यामितीय अर्थ

किसी फ़ंक्शन की सीमा का ज्यामितीय अर्थ

आइए जानें कि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा का ज्यामितीय अर्थ क्या है। आइए फ़ंक्शन %%y = f(x)%% का एक ग्राफ़ बनाएं और उस पर बिंदु %%x = a%% और %%y = A%% अंकित करें।

फ़ंक्शन की सीमा %%y = f(x)%% बिंदु %%x \to a%% पर मौजूद है और A के बराबर है यदि बिंदु %%A%% के किसी भी %%\varepsilon%% पड़ोस के लिए कोई %%a%% बिंदु का ऐसा %%\ delta%%-पड़ोस निर्दिष्ट कर सकता है, जैसे कि इस %%\delta%%-पड़ोस से किसी भी %%x%% के लिए मान %%f(x)% हो % %%\varepsilon%%-पड़ोसी अंक %%A%% में होगा।

ध्यान दें कि कॉची के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा के अनुसार, %%x \to a%% पर एक सीमा के अस्तित्व के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि फ़ंक्शन बिंदु %%a%% पर क्या मान लेता है। ऐसे उदाहरण दिए जा सकते हैं जहां %%x = a%% होने पर फ़ंक्शन परिभाषित नहीं होता है या %%A%% के अलावा कोई अन्य मान लेता है। हालाँकि, सीमा %%A%% हो सकती है।

हाइन सीमा का निर्धारण

तत्व %%A \in \overline(\mathbb(R))%% को %% x \to a, a \in \overline(\mathbb() पर फ़ंक्शन %%f(x)%% की सीमा कहा जाता है आर))%%, यदि परिभाषा के डोमेन से किसी भी अनुक्रम %%\(x_n\) \to a%% के लिए, संबंधित मानों का अनुक्रम %%\big\(f(x_n)\big\)% % %%A%% की ओर प्रवृत्त होता है।

हेन के अनुसार सीमा की परिभाषा का उपयोग तब सुविधाजनक होता है जब किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा के अस्तित्व के बारे में संदेह उत्पन्न होता है। यदि बिंदु %%a%% पर एक सीमा के साथ कम से कम एक अनुक्रम %%\(x_n\)%% का निर्माण करना संभव है, तो अनुक्रम %%\big\(f(x_n)\big\)%% इसकी कोई सीमा नहीं है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि फ़ंक्शन %%f(x)%% की इस बिंदु पर कोई सीमा नहीं है। यदि दो के लिए विभिन्नअनुक्रम %%\(x"_n\)%% और %%\(x""_n\)%% वाले वहीसीमा %%a%%, अनुक्रम %%\big\(f(x"_n)\big\)%% और %%\big\(f(x""_n)\big\)%% है विभिन्नसीमाएँ, तो इस मामले में फ़ंक्शन %%f(x)%% की भी कोई सीमा नहीं है।

उदाहरण

मान लीजिए %%f(x) = \sin(1/x)%%। आइए जांचें कि क्या इस फ़ंक्शन की सीमा %%a = 0%% बिंदु पर मौजूद है।

आइए सबसे पहले इस बिंदु पर अभिसरण करने वाला एक क्रम $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) चुनें। $$

यह स्पष्ट है कि %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% और %%\lim (x_n) = 0%%। फिर %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% और %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%

फिर एक ही बिंदु पर अभिसरण करते हुए एक क्रम लें $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

जिसके लिए %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% और %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%। इसी प्रकार अनुक्रम के लिए $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) ) \pi) \दाएं\), $$

बिंदु %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%% पर भी परिवर्तित हो रहा है।

सभी तीन अनुक्रमों ने अलग-अलग परिणाम दिए, जो हेइन परिभाषा की स्थिति का खंडन करता है, अर्थात। इस फ़ंक्शन की बिंदु %%x = 0%% पर कोई सीमा नहीं है।

प्रमेय

सीमा की कॉची और हेइन परिभाषाएँ समतुल्य हैं।