अभिसरण श्रृंखला के उदाहरण. संख्या शृंखला के अभिसरण के लक्षण

इस विषय पर काम शुरू करने से पहले, मैं आपको संख्या श्रृंखला के लिए शब्दावली वाले अनुभाग को देखने की सलाह देता हूं। यह विशेष रूप से किसी श्रृंखला के सामान्य सदस्य की अवधारणा और संख्या श्रृंखला के गुणों पर ध्यान देने योग्य है (विशेष रूप से, हमें गुण संख्या 3 और संख्या 4 की आवश्यकता होगी)। यदि आपको अभिसरण मानदंड की सही पसंद के बारे में संदेह है, तो मैं आपको "संख्या श्रृंखला के लिए अभिसरण मानदंड चुनना" विषय को देखने की सलाह देता हूं।

तुलना मानदंड का उपयोग संख्या श्रृंखला का अध्ययन करने के लिए किया जाता है जिसके पद गैर-नकारात्मक होते हैं, अर्थात। शून्य से अधिक या उसके बराबर। ऐसी श्रृंखला कहलाती है सकारात्मक(साहित्य में - गैर-नकारात्मक या सकारात्मक)। यह ठीक यही शृंखला है जिस पर हम इस विषय पर विचार करेंगे।

पहला तुलना मानदंड (या पहला तुलना प्रमेय) इस प्रकार तैयार किया गया है:

तुलना का पहला संकेत

मान लीजिए कि दो सकारात्मक श्रृंखलाएं $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ और $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$ दी गई हैं। यदि किसी संख्या $n_0$ से शुरू करने पर असमानता $u_n≤ v_n$ कायम रहती है, तो:

1. यदि श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ भिन्न है, तो श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$ भिन्न होगी।
2. यदि श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$ अभिसरण करती है, तो श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ अभिसरण होगी।

सीधे शब्दों में कहें तो, यदि छोटे पदों वाली श्रृंखला में योग (अपसरण) नहीं है, तो बड़े पदों वाली श्रृंखला में भी योग भिन्न होगा। और यह तर्कसंगत है, क्योंकि यदि मूल राशि असीम रूप से बड़ी थी, तो शर्तें बढ़ाने के बाद भी वह वैसी ही रहेगी।

ठीक है, यदि बड़े पदों वाली श्रृंखला में योग (अभिसरण) होता है, तो छोटे पदों वाली श्रृंखला भी अभिसरण करेगी।

तुलना का चिह्न दूसरे रूप में भी निरूपित किया जा सकता है। आमतौर पर वे कहते हैं कि यह दूसरा तुलना मानदंड (या दूसरा तुलना प्रमेय) है। कभी-कभी इसे तुलना का सीमित चिह्न या सीमित रूप में तुलना का चिह्न भी कहा जाता है। इसका शब्दांकन इस प्रकार है:

तुलना का दूसरा संकेत

मान लीजिए कि दो सकारात्मक श्रृंखलाएं $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ और $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$ दी गई हैं। यदि, शर्त $v_n\neq 0$ के तहत, एक सीमा है $$\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)=K,$$ जहां $0< K < \infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ сходятся либо расходятся одновременно.

ध्यान दें कि तुलना मानदंड लागू करने के लिए हमारे पास एक निश्चित श्रृंखला होनी चाहिए जिसका अभिसरण पहले से ज्ञात हो। अक्सर, तुलना के लिए एक श्रृंखला की भूमिका सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला होती है

\begin(समीकरण)\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\alpha)\end(समीकरण)

यदि $\alpha > 1$, तो श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\alpha)$ अभिसरित होती है, और यदि $\alpha ≤ 1$, तो श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\alpha)$ विचलन करती है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^5)$ अभिसरण करती है, क्योंकि $5 > 1$, और श्रृंखला $\sum\limits_(n= 1) ^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n^4))=\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4) (7) )))$ $\frac(4)(7)≤ 1$ से भिन्न होता है।

यह विशेष रूप से $\alpha=1$ मामले पर ध्यान देने योग्य है, अर्थात। श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^1)=\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ . श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ को हार्मोनिक श्रृंखला कहा जाता है। हार्मोनिक श्रृंखला अलग हो जाती है।

इसके अलावा, तुलना के लिए अक्सर इस प्रकार की एक श्रृंखला का उपयोग किया जाता है:

\begin(समीकरण)\sum\limits_(n=1)^(\infty)aq^n\end(समीकरण)

यह श्रृंखला पहले पद $b_1=a$ और हर $q$ के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के पदों का योग है। यदि $|q| हो तो यह श्रृंखला अभिसरित हो जाती है< 1$ и расходится если $|q|≥ 1$. Например, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4\cdot 3^n}{5^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^n\right)$ подпадает под вид ряда (2). Этот ряд сходится, так как $\left| \frac{3}{5}\right|=\frac{3}{5} < 1$.

अक्सर, मानक उदाहरणों में, तुलना मानदंड का उपयोग किया जाता है यदि किसी श्रृंखला के सामान्य पद को एक अंश द्वारा दर्शाया जाता है, जिसके अंश और हर कुछ प्रकार के बहुपद होते हैं। उदाहरण के लिए, $u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ (उदाहरण संख्या 1 देखें)। या, बहुपदों के स्थान पर (या उनके साथ मिलकर), बहुपदों की जड़ें मौजूद हो सकती हैं (उदाहरण संख्या 3 देखें)। इस प्रकार की श्रृंखला के लिए, किसी को अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड और तुलना के मानदंड के बीच चयन करना होगा। कभी-कभी किसी श्रृंखला के एक सामान्य पद में न केवल एक बहुपद हो सकता है, बल्कि कुछ "विचलित करने वाला तत्व" भी हो सकता है जो अभिसरण को प्रभावित नहीं करता है (इस विषय का दूसरा भाग देखें)। कभी-कभी, तुलना के लिए किसी श्रृंखला को देखने के लिए, आपको समतुल्य अतिसूक्ष्म फलनों का उपयोग करना पड़ता है (भाग तीन में उदाहरण देखें)।

उदाहरण क्रमांक 1

श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ के अभिसरण की जांच करें।

चूँकि योग की निचली सीमा 1 है, श्रृंखला का सामान्य पद योग चिह्न के नीचे लिखा जाता है: $u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$. चूँकि $n≥ 1$ के लिए हमारे पास $9n+7 > 0$ और $2n^3+5n^2-4 > 0$ है, तो $u_n > 0$। इसलिए हमारी सीरीज सकारात्मक है.' वैसे, एक सकारात्मक श्रृंखला के लिए यह शर्त $u_n≥ 0$ को पूरा करने के लिए पर्याप्त है। हालाँकि, हमारी श्रृंखला के लिए हम अधिक सटीक रूप से लिख सकते हैं: $u_n > 0$।

आरंभ करने के लिए, निष्पादन की जांच करना अच्छा होगा, अर्थात। $\lim_(n\to\infty)u_n$ ढूंढें। क्या होगा यदि हम भाग्यशाली हों और यह पता चले कि $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$? फिर शृंखला अलग हो जाएगी और समाधान वहीं समाप्त हो जाएगा। सीमा ज्ञात करते समय, हम विषय में वर्णित विधि का उपयोग करेंगे। हल करने की प्रक्रिया में, हम अंश और हर को $n^3$ से विभाजित करते हैं:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)=\left|\frac(\infty) (\infty) \right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9)(n^2)+\frac(7)(n^3))(2+\frac(5) (n)-\frac(4)(n^3))=\frac(0+0)(2+0-0)=0. $$

इन संकेतों का उपयोग करने के लिए, हमें एक श्रृंखला की आवश्यकता है जिसके साथ हम तुलना करेंगे। तुलना के लिए एक श्रृंखला का चयन करने के लिए, आइए $n\to\infty$ के लिए दी गई श्रृंखला के सामान्य पद के व्यवहार की जांच करें। यह कुछ हद तक अनौपचारिक तर्क का उपयोग करके किया जा सकता है। चूँकि ये चर्चाएँ सभी पाठकों के लिए रुचिकर नहीं हो सकतीं, इसलिए मैं इन्हें एक नोट के नीचे छिपा दूँगा।

तुलना के लिए पंक्ति कैसे चुनें? छिपा हुया दिखाओ

मैं विकास के क्रम जैसे विषय पर बात नहीं करूंगा, मैं बस कुछ सामान्य विचार दूंगा। आइए श्रृंखला के सामान्य पद को अधिक बारीकी से देखें। उदाहरण के लिए, सबसे पहले, आइए हर को देखें। श्रृंखला के सामान्य पद के हर में घात $n^3$, $n^2$ और संख्या -4 शामिल है। संख्या $n$ बढ़ती रहती है, अनंत की ओर प्रवृत्त होती है। प्रश्न: संख्या $n$ बढ़ने पर कौन सा तत्व ($n^3$ या $n^2$) दूसरों की तुलना में तेजी से बढ़ेगा?

यहां उत्तर सरल है: $n^3$ अपने मूल्यों को सबसे तेजी से बढ़ाएगा। उदाहरण के लिए, जब $n=100$, तब $n^2=10\,000$, और $n^3=1\,000\,000$. और $n^2$ और $n^3$ के मूल्यों के बीच का यह अंतर और बड़ा होता जाएगा। इसलिए, हम $n^3$ वाले हर को छोड़कर, हर के सभी पदों को मानसिक रूप से त्याग देते हैं। अंश-गणक में भी हम इसी तरह की "त्यागने" की प्रक्रिया अपनाएंगे, केवल $9n$ छोड़ेंगे (अंश-गणक में संख्या 7 स्पष्ट रूप से $9n$ की तुलना में कोई भूमिका नहीं निभाएगी)। इस प्रकार, सभी त्यागने के बाद भिन्न $\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ बन जाएगा: $\frac(9n)(2n^3)=\frac(9)(2) \ cdot\frac(1)(n^2)$. दूसरे शब्दों में, यदि $n\to\infty$, तो श्रृंखला का सामान्य पद अभिव्यक्ति $\frac(9)(2)\cdot\frac(1)(n^2)$ से बहुत कम भिन्न होगा।

कारक $\frac(9)(2)$ को भी खारिज किया जा सकता है, क्योंकि यह अभिसरण को प्रभावित नहीं करता है। और ऐसी "सफाई" के बाद केवल $\frac(1)(n^2)$ ही बचेगा। हम एक सामान्य पद $v_n=\frac(1)(n^2)$ वाली श्रृंखला के बारे में क्या कह सकते हैं? यह । इस श्रृंखला के सामान्य पद के हर में, घात $n$ 2 के बराबर है, इसलिए, $2 > 1$ के बाद से, श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1) )(n^2)$ अभिसरित होता है।

यह इस अभिसरण श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ के साथ है कि हम हमें दी गई श्रृंखला की तुलना करना शुरू करेंगे $\sum\limits_(n =1)^( \infty)\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$. वास्तव में, हमने पहले ही समस्या को अनौपचारिक रूप से हल कर लिया है: हमारी श्रृंखला जुटेगी। इसे कठोर तर्क द्वारा दर्शाना ही शेष है।

आइए विचार करें कि पहले और दूसरे दोनों तुलना मानदंडों का उपयोग करके अपनी समस्या को कैसे हल किया जाए।

तो, श्रृंखला का सामान्य पद है: $u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$. अनौपचारिक तर्क (ऊपर एक नोट के नीचे छिपा हुआ) द्वारा, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि हमारी श्रृंखला अभिसरण करती है। इस मामले के लिए, दूसरा पैराग्राफ लागू होता है. हमें यह दिखाने की ज़रूरत है कि हमारी श्रृंखला का सामान्य पद असमानता $\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)≤ v_n$ को संतुष्ट करता है, जबकि श्रृंखला $\sum\limits_(n=1) ^(\ infty)v_n$ अभिसरित होता है। फिर हमें दी गई शृंखला जुट जाएगी।

आइए भिन्न $\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ को बढ़ाएं। हमारा लक्ष्य: इस भिन्न को $\frac(1)(n^2)$ के रूप में कम करना। यह विशेष प्रकार क्यों? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कृपया ऊपर दिया गया नोट खोलें।

एक निश्चित भिन्न को बढ़ाने के दो तरीके हैं: अंश को बढ़ाएँ या हर को घटाएँ। सहमत हूँ कि चूँकि $n≥ 1$, तो $9n+7 ≥ 9n+7n=16n$। इसलिए, यदि हम $9n+7$ के बजाय अंश में अभिव्यक्ति $16n$ रखते हैं, तो हम प्रश्न में भिन्न को बढ़ा देंगे:

$$ \frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)≤\frac(16n)(2n^3+5n^2-4). $$

आइए आगे बढ़ें और हर के साथ काम करें। भिन्न को बढ़ाने के लिए हर को कम करना होगा। उदाहरण के लिए, हम इस तरह तर्क कर सकते हैं: हम जानते हैं कि $n≥ 1$। फिर $5n^2-4 > 0$. इसका मतलब यह है कि यदि हम हर में अभिव्यक्ति $5n^2-4$ को हटा दें, तो हर कम हो जाएगा। अत: हमारा अंश बढ़ जायेगा। आइए पिछली असमानता को जारी रखें:

$$ \frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)≤\frac(16n)(2n^3+5n^2-4)< \frac{16n}{2n^3}=8\cdot\frac{1}{n^2}. $$

चूँकि श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ अभिसरण करती है, श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty )\left (8\cdot\frac(1)(n^2)\right)$ (संख्या श्रृंखला के गुणों के बारे में अनुभाग में बिंदु संख्या 4 देखें)। चूँकि श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(8\cdot\frac(1)(n^2)\right)$ अभिसरण करती है और $\frac(9n+7)(2n ^3+5एन^2-4)< 8\cdot\frac{1}{n^2}$, то согласно (пункт №2) ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$ сходится.

यदि पिछले पैराग्राफ में हम शौकिया गतिविधियों में लगे हुए थे, श्रृंखला के सामान्य शब्द के सूत्र में कुछ "टुकड़ों" का चयन और त्याग कर रहे थे, तो सीमित तुलना मानदंड का उपयोग करने वाला समाधान पूरी तरह से एल्गोरिथम है। उपरोक्त नोट में, हमने पहले ही पता लगा लिया है कि हमें अपनी श्रृंखला की तुलना अभिसरण श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ से करने की आवश्यकता है। तो, हमारी श्रृंखला का सामान्य पद $u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ है। श्रृंखला का सामान्य पद जिससे हम तुलना करते हैं: $v_n=\frac(1)(n^2)$. $\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)$ सीमा के साथ काम करता है। वैसे, हमें इसकी बिल्कुल भी परवाह नहीं है कि कौन सा सामान्य पद अंश में है और कौन सा हर में। मुख्य बात यह है कि हर में व्यंजक शून्य के बराबर नहीं है। उदाहरण के लिए, चूँकि $v_n\neq 0$, तो इस सामान्य पद को हर में रखा जा सकता है:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4))(\frac(1)(n^2))=\lim_(n \to\infty)\frac(n^2\cdot(9n+7))(2n^3+5n^2-4)=\lim_(n\to\infty)\frac(9n^3+7n^2 )(2n^3+5n^2-4)=\left|\frac(\infty)(\infty) \right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9n^ 3)(n^3)+\frac(7n^2)(n^3))(\frac(2n^3)(n^3)+\frac(5n^2)(n^3)-\frac (4)(n^3))=\lim_(n\to\infty)\frac(9+\frac(7)(n))(2+\frac(5)(n)-\frac(4) (n^3))=\frac(9+0)(2+0-0)=\frac(9)(2). $$

$0 के बाद से<\frac{9}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$.

सामान्य मामले में, निश्चित रूप से, वे एक तुलना मानदंड चुनते हैं, और दोनों को एक साथ नहीं :) इस पृष्ठ पर उदाहरणों को हल करते समय, मैं स्पष्टता के लिए दोनों तरीकों का उपयोग करूंगा।

उत्तर: शृंखला अभिसरित होती है।

उदाहरण क्रमांक 2

श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ के अभिसरण की जांच करें।

चूँकि योग की निचली सीमा 1 है, श्रृंखला का सामान्य पद योग चिह्न के नीचे लिखा जाता है: $u_n=\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$. सामान्य शब्द $u_n > 0$ है, यानी। हमारी श्रृंखला सकारात्मक है.

पिछले उदाहरण की तरह, आइए आवश्यक अभिसरण शर्त की पूर्ति की जाँच करने का प्रयास करें, अर्थात। आइए $\lim_(n\to\infty)u_n$ खोजें। सीमा ज्ञात करते समय, हम "दो बहुपदों के अनुपात की सीमा" विषय में वर्णित विधि का उपयोग करेंगे। समाधान के दौरान, हम अंश और हर दोनों को $n^4$ से विभाजित करते हैं:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)=\left|\ frac(\infty)(\infty)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(4)(n)+\frac(2)(n^3)+\frac(9) (n^4))(\left(3+\frac(5)(n)\right)^2)=\frac(0+0+0)((3+0)^2)=0. $$

चूँकि $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, हम अपनी श्रृंखला के अभिसरण के बारे में कोई निष्कर्ष निकालने में असमर्थ हैं। एक श्रृंखला या तो अभिसरण या विचलन कर सकती है। आइए तुलना मानदंड लागू करने का प्रयास करें।

आइए जानें कि हमें शर्त में निर्दिष्ट श्रृंखला की तुलना किस श्रृंखला से करनी है। आइए अंश और हर के "अतिरिक्त" तत्वों को उसी तरह त्यागने का प्रयास करें जैसे उदाहरण संख्या 1 में किया गया था। हमारे पास निम्नलिखित अंश बचेगा: $\frac(4n^3)(n^2\cdot (3n)^2)=\frac(4)(9)\cdot\frac(1)(n)$. हम दी गई श्रृंखला की तुलना हार्मोनिक श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ से करेंगे। हार्मोनिक श्रृंखला अलग हो जाती है, इसलिए हमारी श्रृंखला भी अलग हो जाएगी। हमें बस इसे तुलनात्मक संकेतों का उपयोग करके औपचारिक रूप से दिखाना है।

पहले तुलना चिह्न का उपयोग करके समाधान

ऊपर दिए गए अनौपचारिक तर्क के आधार पर, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि हमारी श्रृंखला अलग-अलग है। इस मामले के लिए, पहला पैराग्राफ लागू होता है। हमें यह दिखाने की ज़रूरत है कि हमारी श्रृंखला का सामान्य पद असमानता $v_n≤ \frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ को संतुष्ट करता है, जबकि श्रृंखला $\sum\limits_ (n= 1)^(\infty)v_n$ विचलन करता है। तब हमें दी गई श्रृंखला अलग हो जाएगी।

आइए अंश $\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ को कम करना शुरू करें। हमारा लक्ष्य: इस भिन्न को $\frac(1)(n)$ के रूप में कम करना।

भिन्न को कम करने के दो तरीके हैं: अंश को कम करें या हर को बढ़ाएँ। चूँकि $n≥ 1$, तो $2n+9 > 0$। इसलिए, यदि हम अंश में $2n+9$ को हटा देते हैं, तो हम अंश को कम कर देंगे, जिससे प्रश्न में भिन्न कम हो जाएगा:

$$ \frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2) > \frac(4n^3)(n^2(3n+5)^2) $$

आइए हर के साथ काम करें। यदि हम इसे बढ़ाते हैं, तो अंश कम हो जाएगा। चूँकि $n≥ 1$, तो $3n+5≤ 3n+5n=8n$। इसलिए, यदि हम $3n+5$ के स्थान पर $8n$ लिखें, तो हर बढ़ जाएगा:

$$ \frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2) > \frac(4n^3)(n^2(3n+5)^2)≥ \frac(4n ^3)(n^2(8n)^2)=\frac(4n^3)(64n^4)=\frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n). $$

आगे का तर्क मानक है: चूँकि श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ विचलन करती है, तो श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^( \ infty)\left(\frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n)\right)$. चूँकि श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n)\right)$ विचलन करती है और $\frac(4n ^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2) > \frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n)$, फिर (बिंदु संख्या 1) के अनुसार श्रृंखला $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ अलग हो जाएगी।

दूसरे तुलना मानदंड का उपयोग करके समाधान

हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि हमें किसी दी गई श्रृंखला की तुलना भिन्न श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ से करने की आवश्यकता है। आइए दी गई श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ की तुलना श्रृंखला $\ से करें sum\limits_( n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$, का उपयोग करते हुए। यह सुविधा $\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)$ सीमा के साथ काम करती है। तुलना की जा रही श्रृंखला के दोनों सामान्य पद शून्य के बराबर नहीं हैं, इसलिए हम किसी भी श्रृंखला के सामान्य पद को हर में रख सकते हैं:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2))(\frac(1)(n))=\ lim_(n\to\infty)\frac(n\left(4n^3+2n+9\right))(n^2(3n+5)^2)=\lim_(n\to\infty)\frac (4n^3+2n+9)(n(3n+5)^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\ frac(\frac(4n^3)(n^3)+\frac(2n)(n^3)+\frac(9)(n^3))(\frac(n(3n+5)^2) (n^3))=\lim_(n\to\infty)\frac(4+\frac(2)(n^2)+\frac(9)(n^3))(\left(3+\ frac(5)(n)\right)^2)=\frac(4+0+0)((3+0)^2)=\frac(4)(9). $$

$0 के बाद से<\frac{4}{9}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$.

उत्तर: श्रृंखला अलग हो जाती है।

उदाहरण संख्या 3

अभिसरण के लिए श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))$ की जांच करें।

चूँकि योग की निचली सीमा 1 है, श्रृंखला का सामान्य पद योग चिह्न के नीचे लिखा जाता है: $u_n=\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4) )$. हम तुरंत नोट करते हैं कि $u_n > 0$, यानी। हमारी श्रृंखला सकारात्मक है. पिछले उदाहरणों की तरह ही, आप आवश्यक अभिसरण शर्त की पूर्ति की जाँच कर सकते हैं, लेकिन यह जाँच केवल यह दिखाएगी कि $\lim_(n\to\infty)u_n=0$. वे। श्रृंखला के अभिसरण के बारे में कुछ भी निश्चित नहीं कहा जा सकता है और अन्य मानदंडों का उपयोग किया जाना चाहिए।

तुलना मानदंड का उपयोग करके किसी दी गई श्रृंखला के अभिसरण की जांच करने के लिए, पहले हम एक श्रृंखला संकलित करेंगे जिसके साथ हम तुलना करेंगे। आइए अंश और हर के "अतिरिक्त" तत्वों को उसी तरह से त्यागने का प्रयास करें जैसे उदाहरण संख्या 1 और संख्या 2 में किया गया था। हमारे पास यह अंश बचा है:

$$\frac(5n^2)(\sqrt(7n^(10)))=\frac(5)(\sqrt(7))\cdot\frac(n^2)(n^(\frac(10) )(3)))=\frac(5)(\sqrt(7))\cdot\frac(1)(n^(\frac(10)(3)-2))= \frac(5)(\ sqrt(7))\cdot\frac(1)(n^(\frac(4)(3))).$$

श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$ के साथ हम दी गई श्रृंखला की तुलना करना शुरू करेंगे। चूँकि $\frac(4)(3) > 1$, तो श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)) )$ अभिसरित होता है। नतीजतन, हमारी श्रृंखला एकजुट होगी; हमें बस तुलना मानदंडों का उपयोग करके इसे औपचारिक रूप से दिखाना है।

पहले तुलना चिह्न का उपयोग करके समाधान

उपरोक्त अनौपचारिक तर्क का उपयोग करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि हमारी श्रृंखला अभिसरण करती है। इस मामले के लिए, दूसरा पैराग्राफ लागू होता है. हमें यह दिखाने की ज़रूरत है कि हमारी श्रृंखला का सामान्य पद असमानता $\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))≤ v_n$ और श्रृंखला $\sum को संतुष्ट करता है \limits_(n =1)^(\infty)v_n$ अभिसरित होता है। फिर हमें दी गई शृंखला जुट जाएगी।

आइए भिन्न $\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))$ को बढ़ाएं। हमारा लक्ष्य: इस भिन्न को $\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$ के रूप में कम करना।

इस भिन्न को बढ़ाने के लिए सबसे पहले अंश को बढ़ाएँ। यदि हम संख्या (-3) को हटा दें, तो अंश बड़ा हो जाता है। इसका मतलब यह है कि अंश अपने आप बढ़ जाएगा:

< \frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}} $$

आइए हर के साथ काम करें। यदि हम इसे घटा दें तो अंश बढ़ जाएगा। चूँकि $n≥ 1$, तो $7n^(10)-4≥ 7n^(10)-4n^(10)=3n^(10)$. इसलिए, यदि $7n^(10)-4$ के स्थान पर हम $3n^(10)$ लिखते हैं, तो हर घट जाएगा और भिन्न बढ़ जाएगा:

$$ \frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))< \frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}≤ \frac{5n^2}{\sqrt{3n^{10}+2n^3}} $$

अब ऐसा करें: हर से $2n^3$ शब्द हटा दें। इस प्रकार, हम हर को कम कर देंगे और भिन्न को बढ़ा देंगे:

$$ \frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))< \frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}≤ \frac{5n^2}{\sqrt{3n^{10}+2n^3}} < \frac{5n^2}{\sqrt{3n^{10}}}= \frac{5}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}. $$

चूँकि श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$ अभिसरित होती है, श्रृंखला $\sum\limits_ भी अभिसरित होगी (n=1)^(\infty)\left(\frac(5)(\sqrt(3))\cdot\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))\right)$ . चूँकि श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\frac(5)(\sqrt(3))\cdot\frac(1)(n^(\frac(4)( ) 3)))\right)$ अभिसरण करता है और $\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))<\frac{5}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$, то согласно (пункт №2) ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$ будет сходиться.

दूसरे तुलना मानदंड का उपयोग करके समाधान

हमने पहले ही पता लगा लिया है कि हमें किसी दी गई श्रृंखला की तुलना अभिसरण श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)) से करने की आवश्यकता है )$. आइए दी गई श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))$ की तुलना करें श्रृंखला $\sum \limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$ का उपयोग करके। यह सुविधा $\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)$ सीमा के साथ काम करती है। तुलना की जा रही श्रृंखला के दोनों सामान्य पद शून्य के बराबर नहीं हैं, इसलिए हम किसी भी श्रृंखला के सामान्य पद को हर में रख सकते हैं:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4)))(\frac(1)(n^ (\frac(4)(3))))=\lim_(n\to\infty)\frac(5n^(\frac(10)(3))-3n^(\frac(4)(3)) )(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=\left|\text(अंश और हर को )n से विभाजित करें ^ (\frac(10)(3))\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(5n^(\frac(10)(3)))(n^( \ frac(10)(3)))-\frac(3n^(\frac(4)(3)))(n^(\frac(10)(3))))(\sqrt(\frac(7n) ^ (10))(n^(10))+\frac(2n^3)(n^(10))-\frac(4)(n^(10))))=\lim_(n\to\ infty )\frac(5-\frac(3)(n^2))(\sqrt(7+\frac(2)(n^7)-\frac(4)(n^(10))))= \ frac(5-0)(\sqrt(7+0-0))=\frac(5)(\sqrt(7)). $$

सीमा की गणना करने के लिए, "अतार्किकताओं के साथ सीमाएँ" विषय में उल्लिखित विधि का उपयोग किया गया था। $0 के बाद से<\frac{5}{\sqrt{7}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$.

उत्तर: शृंखला अभिसरित होती है।

उदाहरण संख्या 4

श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)\right)$ के अभिसरण की जांच करें।

चूँकि योग की निचली सीमा 1 है, श्रृंखला का सामान्य पद योग चिह्न के नीचे लिखा जाता है: $u_n=\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)$. यहां आप तुरंत देख सकते हैं कि चूँकि $\sqrt(2n+3)> \sqrt(2n-1)$, तो $u_n > 0$, यानी। हमारी श्रृंखला सकारात्मक है. यदि आप चाहें, तो जांच कर सकते हैं कि आवश्यक अभिसरण शर्त पूरी हो गई है या नहीं, लेकिन इस जांच से कुछ भी नहीं मिलेगा (सीमा $\lim_(n\to\infty)u_n$ की गणना इस पृष्ठ पर उदाहरण संख्या 8 के अनुरूप की जाती है ), चूँकि $\lim_(n\to \infty)u_n=0$. आइए तुलना सुविधाओं का उपयोग करने के लिए आगे बढ़ें।

कुछ तुलनात्मक मानदंड लागू करने से पहले, श्रृंखला के सामान्य सदस्य की अभिव्यक्ति को थोड़ा बदलना बेहतर है। संयुग्मी अभिव्यक्ति द्वारा गुणा करने से यहां मदद मिलेगी, यानी। $\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)$ द्वारा। स्वाभाविक रूप से, यदि हम किसी निश्चित अभिव्यक्ति से गुणा करते हैं, तो हमें उससे भाग भी देना होगा। सरल बनाते समय, सूत्र $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ हमारी मदद करेगा। इसलिए:

$$ u_n=\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)=\frac(\left(\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)\right)\cdot \left(\ sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)\right))(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))=\\ =\frac(\left(\sqrt(2n+ 3) )\right)^2-\left(\sqrt(2n-1)\right)^2)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))=\frac(2n+3-( 2n -1))(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))= \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)). $$

अब हमारी श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$ जैसी दिखती है। पिछले उदाहरणों में दिए गए तर्कों के समान तर्कों को लागू करते हुए, हम पाते हैं कि हमें अपनी श्रृंखला की तुलना $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n)) श्रृंखला से करने की आवश्यकता है $. श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))=\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n ^(\frac(1)(2)))$ डिग्री $\frac(1)(2)≤ 1$ से भिन्न होता है। इसका मतलब है कि हमारी सीरीज़ भी अलग हो जाएगी, बस इसे औपचारिक रूप से दिखाना बाकी है।

पहले तुलना चिह्न का उपयोग करके समाधान

उपरोक्त अनौपचारिक तर्क से, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि हमारी श्रृंखला अलग-अलग है। आइए भिन्न $\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$ को कम करना शुरू करें। चूँकि $\sqrt(2n+3)> \sqrt(2n-1)$, तो $\sqrt(2n-1)$ के स्थान पर व्यंजक $\sqrt(2n+3)$ लिखकर हम हर को बढ़ा देंगे, जिससे अंश कम हो जाए:

$$ \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)) > \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n+3))=\frac (4)(2\sqrt(2n+3))=\frac(2)(\sqrt(2n+3)). $$

आइए हर को फिर से बढ़ाएं। चूँकि $2n+3< 2n+7n=9n$, то заменяя выражение в знаменателе на $\sqrt{9n}$ мы увеличим знаменатель, тем самым уменьшив дробь:

$$ \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)) >\frac(2)(\sqrt(2n+3)) > \frac(2)(\sqrt(9n) ))=\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n)). $$

चूँकि श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ विचलन करती है, श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^( \infty) \left(\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n))\right)$. चूँकि श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n))\right)$ विचलन करती है और $ \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)) >\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n))$, फिर के अनुसार (बिंदु संख्या 1) श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$ अलग हो जाएगी।

दूसरे तुलना मानदंड का उपयोग करके समाधान

हमने पहले ही पता लगा लिया है कि हमें किसी दी गई श्रृंखला की तुलना भिन्न श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ से करने की आवश्यकता है। आइए दी गई श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$ की तुलना श्रृंखला $\sum से करें \limits_(n =1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ का उपयोग करना। तुलना की जा रही श्रृंखला के दोनों सामान्य पद शून्य के बराबर नहीं हैं, इसलिए हम किसी भी श्रृंखला के सामान्य पद को हर में रख सकते हैं:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)))(\frac(1)(\sqrt(n)) )=\lim_(n\to\infty)\frac(4\sqrt(n))(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))=\left|\frac(\infty)(\ infty) \right|=\left|\text(अंश और हर को )\sqrt(n)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(4)(\sqrt(2) से विभाजित करें + \frac(3)(n))+\sqrt(2-\frac(1)(n)))=\frac(4)(\sqrt(2+0)+\sqrt(2-0))= \ frac(2)(\sqrt(2))=\sqrt(2). $$

$0 के बाद से<\sqrt{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}$.

उत्तर: श्रृंखला अलग हो जाती है।

हम दूसरे और तीसरे भाग में तुलना मानदंड का उपयोग करके श्रृंखला के अभिसरण का अध्ययन करने के विषय को जारी रखेंगे।

मान लीजिए कि एक धनात्मक संख्या श्रृंखला $ \sum_(n=1) ^\infty a_n $ दी गई है। आइए हम किसी श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड तैयार करें:

1. यदि श्रृंखला अभिसरण करती है, तो इसके सामान्य पद की सीमा शून्य है: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
2. यदि श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर नहीं है, तो श्रृंखला अलग हो जाती है: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$

सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला

यह श्रृंखला इस प्रकार लिखी गई है: $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $. इसके अलावा, $p$ के आधार पर, श्रृंखला अभिसरण या विचलन करती है:

1. यदि $ p = 1 $, तो श्रृंखला $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ का विचलन होता है और इसे हार्मोनिक कहा जाता है, इस तथ्य के बावजूद कि सामान्य शब्द $ a_n = \frac(1) )( n) \ से 0 $. ऐसा क्यों? टिप्पणी में कहा गया कि आवश्यक मानदंड अभिसरण के बारे में उत्तर नहीं देता है, बल्कि केवल श्रृंखला के विचलन के बारे में उत्तर देता है। इसलिए, यदि हम एक पर्याप्त मानदंड लागू करते हैं, जैसे कि अभिन्न कॉची मानदंड, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि श्रृंखला अलग हो जाती है!
2. यदि $ p \leqslant 1 $, तो श्रृंखला अलग हो जाती है। उदाहरण, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $, जिसमें $ p = \frac(1)(2) $
3. यदि $p > 1$, तो श्रृंखला अभिसरित हो जाती है। उदाहरण, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $, जिसमें $ p = \frac(3)(2) > 1 $

समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

श्रृंखला का विचलन सिद्ध करें $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(n)(6n+1) $

समाधान

श्रृंखला सकारात्मक है, हम सामान्य पद लिखते हैं: $$ a_n = \frac(n)(6n+1) $$ हम $ n \ से \ infty $ पर सीमा की गणना करते हैं: $$ \lim _(n \to \infty) \frac(n)(6n+1) = \frac(\infty)(\infty) = $$ हम हर में कोष्ठक से $ n $ निकालते हैं, और फिर उस पर कमी करते हैं: $$ = \lim_(n \to \infty) \frac(n)(n(6+\frac(1)(n))) = \lim_(n \to \infty) \frac(1)(6 + \frac(1)(n)) = \frac(1)(6) $$ चूँकि हमने पाया कि $ \lim_(n\to \infty) a_n = \frac(1)(6) \neq 0 $, तो आवश्यक कॉची परीक्षण संतुष्ट नहीं है और इसलिए श्रृंखला अलग हो जाती है। यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते तो हमें भेजें। हम विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे. आप गणना की प्रगति देख सकेंगे और जानकारी प्राप्त कर सकेंगे। इससे आपको समय पर अपने शिक्षक से अपना ग्रेड प्राप्त करने में मदद मिलेगी!

उत्तर

श्रृंखला अलग हो जाती है

इस विषय पर काम शुरू करने से पहले, मैं आपको संख्या श्रृंखला के लिए शब्दावली वाले अनुभाग को देखने की सलाह देता हूं। किसी श्रृंखला के सामान्य सदस्य की अवधारणा पर विशेष रूप से ध्यान देना उचित है। यदि आपको अभिसरण मानदंड की सही पसंद के बारे में संदेह है, तो मैं आपको "संख्या श्रृंखला के लिए अभिसरण मानदंड चुनना" विषय को देखने की सलाह देता हूं।

अभिसरण का आवश्यक संकेतसंख्या श्रृंखला का एक सरल सूत्रीकरण है: अभिसरण श्रृंखला का सामान्य पद शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। इस सुविधा को अधिक औपचारिक रूप से लिखा जा सकता है:

यदि श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ अभिसरित होती है, तो $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.

अक्सर साहित्य में, वाक्यांश "अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड" के बजाय, वे "अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त" लिखते हैं। हालाँकि, आइए मुद्दे पर आते हैं: इस चिन्ह का क्या अर्थ है? और इसका मतलब निम्नलिखित है: यदि $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, तो श्रृंखला शायदएकत्रित होना यदि $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (या सीमा बस मौजूद नहीं है), तो श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ अलग हो जाती है।

यह ध्यान देने योग्य है कि समानता $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ का अर्थ श्रृंखला का अभिसरण नहीं है। एक श्रृंखला या तो अभिसरण या विचलन कर सकती है। लेकिन यदि $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, तो श्रृंखला अलग होने की गारंटी है। यदि इन बारीकियों को विस्तृत स्पष्टीकरण की आवश्यकता है, तो कृपया नोट खोलें।

"आवश्यक शर्त" वाक्यांश का क्या अर्थ है? छिपा हुया दिखाओ

आइए एक आवश्यक शर्त की अवधारणा को एक उदाहरण के साथ समझाएं। एक छात्र के लिए कलम खरीदने के लिए ज़रूरी 10 रूबल हैं. इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: यदि कोई छात्र एक पेन खरीदता है, तो उसके पास 10 रूबल हैं। पेन खरीदने के लिए दस रूबल का होना एक आवश्यक शर्त है।

इस शर्त को पूरा होने दें, अर्थात्। छात्र के पास दस है. क्या इसका मतलब यह है कि वह एक पेन खरीदेगा? बिल्कुल नहीं। वह एक पेन खरीद सकता है, या बाद के लिए पैसे बचा सकता है। या कुछ और खरीदो. या उन्हें किसी को दे दें - बहुत सारे विकल्प हैं :) दूसरे शब्दों में, एक पेन खरीदने के लिए आवश्यक शर्त को पूरा करना (यानी पैसा होना) इस पेन की खरीद की बिल्कुल भी गारंटी नहीं देता है।

उसी प्रकार, संख्या श्रृंखला $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ के अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त इस श्रृंखला के अभिसरण की बिल्कुल भी गारंटी नहीं देती है। एक सरल सादृश्य: यदि पैसा है, तो एक छात्र पेन खरीद भी सकता है और नहीं भी। यदि $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, तो श्रृंखला या तो अभिसरण या विचलन कर सकती है।

हालाँकि, यदि पेन खरीदने के लिए आवश्यक शर्तें पूरी नहीं की जाती हैं, तो क्या होगा? कोई पैसा नहीं छोड़ा? तो विद्यार्थी निश्चित ही पेन नहीं खरीदेगा। श्रृंखला के साथ भी यही सच है: यदि अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त पूरी नहीं होती है, यानी। $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, तो श्रृंखला निश्चित रूप से अलग हो जाएगी।

संक्षेप में: यदि आवश्यक शर्त पूरी हो जाती है, तो परिणाम घटित हो भी सकता है और नहीं भी। हालाँकि, यदि आवश्यक शर्त पूरी नहीं की जाती है, तो परिणाम निश्चित रूप से नहीं होगा।

स्पष्टता के लिए, मैं दो श्रृंखलाओं का उदाहरण दूंगा: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ और $\sum\limits_(n=1)^(\ infty)\frac( 1)(n^2)$. पहली श्रृंखला का सामान्य पद $u_n=\frac(1)(n)$ और दूसरी श्रृंखला का सामान्य पद $v_n=\frac(1)(n^2)$ शून्य हो जाता है, अर्थात।

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$

हालाँकि, हार्मोनिक श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ विचलन करती है, और श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1 )(n^2)$ अभिसरित होता है। आवश्यक अभिसरण शर्त की पूर्ति श्रृंखला के अभिसरण की बिल्कुल भी गारंटी नहीं देती है।

श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त के आधार पर, हम सूत्रबद्ध कर सकते हैं मतभेद के पर्याप्त सबूतसंख्या श्रृंखला:

यदि $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, तो श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ अलग हो जाती है।

अक्सर, मानक उदाहरणों में, अभिसरण के आवश्यक चिह्न की जाँच की जाती है यदि श्रृंखला के सामान्य पद को एक अंश द्वारा दर्शाया जाता है, जिसके अंश और हर कुछ निश्चित बहुपद होते हैं। उदाहरण के लिए, $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (उदाहरण संख्या 1 देखें)। या बहुपदों से मूल हो सकते हैं (उदाहरण संख्या 2 देखें)। ऐसे उदाहरण हैं जो इस योजना से कुछ हद तक विचलित हैं, लेकिन मानक परीक्षणों के लिए यह दुर्लभ है (इस विषय के दूसरे भाग में उदाहरण देखें)। मैं मुख्य बात पर जोर देना चाहता हूं: आवश्यक मानदंड का उपयोग करके, किसी श्रृंखला के अभिसरण को साबित करना असंभव है। इस चिन्ह का उपयोग तब किया जाता है जब आपको यह साबित करने की आवश्यकता होती है कि कोई श्रृंखला विचलन करती है।

उदाहरण क्रमांक 1

श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ के अभिसरण की जांच करें।

चूँकि योग की निचली सीमा 1 है, श्रृंखला का सामान्य पद योग चिह्न के नीचे लिखा जाता है: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. आइए श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा ज्ञात करें:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (5). $$

"दो बहुपदों के अनुपात की सीमा"। चूँकि श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात। $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, तो अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड संतुष्ट नहीं है। इसलिए, श्रृंखला अलग हो जाती है।

समाधान पूरा हो गया है, हालाँकि, मेरा मानना ​​है कि पाठक के पास एक पूरी तरह से उचित प्रश्न होगा: हमने यह कैसे देखा कि अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त की पूर्ति की जाँच करना आवश्यक है? संख्या श्रृंखला के अभिसरण के कई संकेत हैं, तो आपने इसे क्यों चुना? यह प्रश्न बिलकुल भी बेकार नहीं है. लेकिन चूँकि इसका उत्तर सभी पाठकों के लिए रुचिकर नहीं हो सकता, इसलिए मैंने इसे एक नोट के नीचे छिपा दिया।

हमने अभिसरण के लिए बिल्कुल आवश्यक मानदंड का उपयोग क्यों शुरू किया? छिपा हुया दिखाओ

इसे हल्के ढंग से कहें तो, इस श्रृंखला के अभिसरण का मुद्दा औपचारिक अध्ययन से पहले ही हल हो गया है। मैं विकास के क्रम जैसे विषय पर बात नहीं करूंगा, मैं बस कुछ सामान्य तर्क दूंगा। आइए श्रृंखला के सामान्य पद $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ को अधिक बारीकी से देखें। आइए पहले अंश को देखें। अंश-गणक में स्थित संख्या (-1) को तुरंत त्याग दिया जा सकता है: यदि $n\to\infty$, तो यह संख्या अन्य पदों की तुलना में नगण्य रूप से छोटी होगी।

आइए अंश-गणक में मौजूद शक्तियों $n^2$ और $n$ को देखें। प्रश्न: कौन सा तत्व ($n^2$ या $n$) दूसरों की तुलना में तेजी से बढ़ेगा?

यहां उत्तर सरल है: $n^2$ अपने मूल्यों को सबसे तेजी से बढ़ाएगा। उदाहरण के लिए, जब $n=100$, तो $n^2=10\;000$. और $n$ और $n^2$ के बीच का यह अंतर और भी बड़ा होता जाएगा। इसलिए, हम मानसिक रूप से $n^2$ वाले शब्दों को छोड़कर सभी शब्दों को त्याग देते हैं। इस "त्याग" के बाद, $3n^2$ अंश में रहेगा। और हर के लिए एक समान प्रक्रिया करने के बाद, $5n^2$ रहेगा। और अंश $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ अब बन जाएगा: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . वे। अनंत पर सामान्य पद स्पष्ट रूप से शून्य की ओर प्रवृत्त नहीं होगा। बस इसे औपचारिक रूप से दिखाना बाकी है, जो ऊपर किया गया था।

अक्सर, किसी श्रृंखला के सामान्य शब्द को लिखने में, उदाहरण के लिए, $\sin\alpha$ या $\arctg\alpha$ और इसी तरह के तत्वों का उपयोग किया जाता है। आपको बस यह याद रखने की जरूरत है कि ऐसी मात्राओं का मान कुछ संख्यात्मक सीमाओं से आगे नहीं जा सकता। उदाहरण के लिए, $\alpha$ का मूल्य जो भी हो, $\sin\alpha$ का मूल्य $-1≤\sin\alpha≤ 1$ के भीतर ही रहेगा। यानी, उदाहरण के लिए, हम लिख सकते हैं कि $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. अब कल्पना करें कि श्रृंखला के सामान्य पद के अंकन में $5n+\sin(n!e^n)$ जैसा एक अभिव्यक्ति है। क्या साइन, जो केवल -1 से 1 तक "उतार-चढ़ाव" कर सकता है, कोई महत्वपूर्ण भूमिका निभाएगा? आख़िरकार, $n$ का मान अनंत तक जाता है, और साइन एक से अधिक भी नहीं हो सकता! इसलिए, अभिव्यक्ति $5n+\sin(n!e^n)$ पर प्रारंभिक विचार करने पर, साइन को आसानी से खारिज किया जा सकता है।

या, उदाहरण के लिए, आइए आर्कटेंजेंट लें। तर्क $\alpha$ का मूल्य जो भी हो, $\arctg\alpha$ का मान असमानता को संतुष्ट करेगा $-\frac(\pi)(2)<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

यह निर्धारित करने के लिए थोड़ा कौशल चाहिए कि कौन से तत्व "त्याग" किए जा सकते हैं और कौन से नहीं। अक्सर, किसी शृंखला के अभिसरण का मुद्दा औपचारिक अध्ययन से पहले भी हल किया जा सकता है। और मानक उदाहरणों में औपचारिक शोध केवल सहज रूप से प्राप्त परिणाम की पुष्टि के रूप में कार्य करता है।

उत्तर: श्रृंखला अलग हो जाती है।

उदाहरण क्रमांक 2

अभिसरण के लिए श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ की जांच करें।

चूँकि योग की निचली सीमा 1 है, श्रृंखला का सामान्य पद योग चिह्न के नीचे लिखा जाता है: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12 )$. आइए श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा ज्ञात करें:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ बाएँ|\frac(\infty)(\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3) )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+) \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$

यदि इस सीमा को हल करने की विधि प्रश्न उठाती है, तो मैं आपको "तर्कहीनता के साथ सीमाएं। तीसरा भाग" (उदाहरण संख्या 7) विषय पर जाने की सलाह देता हूं। चूँकि श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात। $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, तो अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड संतुष्ट नहीं है। इसलिए, श्रृंखला अलग हो जाती है।

आइए सहज तर्क की स्थिति से थोड़ी बात करें। सिद्धांत रूप में, उदाहरण संख्या 1 के समाधान के नोट में जो कुछ भी कहा गया था वह यहां सत्य है। यदि आप श्रृंखला के सामान्य पद के अंश और हर में सभी "महत्वहीन" शब्दों को मानसिक रूप से "त्याग" देते हैं, तो भिन्न $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2) -n+12)$ का रूप होगा: $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac( \sqrt(4n))(9)$ . वे। औपचारिक अध्ययन से पहले ही, यह स्पष्ट हो जाता है कि $n\to\infty$ के लिए श्रृंखला का सामान्य पद शून्य की ओर नहीं जाएगा। अनंत की ओर यह होगा, लेकिन शून्य की ओर यह नहीं होगा। इसलिए, जो कुछ बचा है वह इसे सख्ती से दिखाना है, जो ऊपर किया गया था।

उत्तर: श्रृंखला अलग हो जाती है।

उदाहरण संख्या 3

श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$ के अभिसरण की जांच करें।

चूँकि योग की निचली सीमा 1 है, श्रृंखला का सामान्य पद योग चिह्न के नीचे लिखा जाता है: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. आइए श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा ज्ञात करें:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)=\lim_(n\to \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(allined)&\frac(8)(3^n)\to 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(संरेखित)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\to\infty)\left(\frac(5)(3)\right)^n=+\infty. $$

चूँकि श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात। $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, तो अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड संतुष्ट नहीं है। इसलिए, श्रृंखला अलग हो जाती है।

सीमा की गणना करते समय किए गए परिवर्तनों के बारे में कुछ शब्द। अंश और हर दोनों अभिव्यक्तियों को अनंत बनाने के लिए अभिव्यक्ति $5^n$ को अंश में रखा गया था। वे। $n\to\infty$ के लिए हमारे पास है: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ और $\frac(1)(5^n)\to 0$. और यदि हमारे पास इनफिनिटिमल का अनुपात है, तो हम दस्तावेज़ "समतुल्य इनफिनिटिमल फ़ंक्शंस" में बताए गए सूत्रों को सुरक्षित रूप से लागू कर सकते हैं (दस्तावेज़ के अंत में तालिका देखें)। इनमें से एक सूत्र के अनुसार, यदि $x\to 0$, तो $\sin x\sim x$. और हमारे पास ऐसा ही एक मामला है: चूँकि $\frac(8)(3^n)\to 0$, तो $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n )$. दूसरे शब्दों में, हम बस अभिव्यक्ति $\sin\frac(8)(3^n)$ को अभिव्यक्ति $\frac(8)(3^n)$ से बदल देते हैं।

मुझे लगता है कि यह सवाल उठ सकता है कि हमने अभिव्यक्ति $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ को भिन्न के रूप में क्यों परिवर्तित किया, क्योंकि प्रतिस्थापन ऐसे रूपांतरण के बिना किया जा सकता था। यहाँ उत्तर यह है: प्रतिस्थापन किया जा सकता है, लेकिन क्या यह कानूनी होगा? समतुल्य अतिसूक्ष्म कार्यों के बारे में प्रमेय एक स्पष्ट संकेत देता है कि ऐसे प्रतिस्थापन केवल $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ के रूप में अभिव्यक्तियों में संभव हैं (इस मामले में $\alpha(x)$ और $\बीटा (x)$ - इनफिनिटिमल), सीमा चिह्न के नीचे स्थित है। इसलिए हमने अपनी अभिव्यक्ति को प्रमेय की आवश्यकताओं के अनुसार समायोजित करते हुए भिन्न के रूप में परिवर्तित कर दिया।

उत्तर: श्रृंखला अलग हो जाती है।

उदाहरण संख्या 4

श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$ के अभिसरण की जांच करें।

चूँकि योग की निचली सीमा 1 है, श्रृंखला का सामान्य पद योग चिह्न के नीचे लिखा जाता है: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$. वास्तव में, इस श्रृंखला के अभिसरण के मुद्दे को डी'अलेम्बर्ट के परीक्षण का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है। हालाँकि, आवश्यक अभिसरण परीक्षण भी लागू किया जा सकता है।

आइए श्रृंखला के सामान्य पद पर करीब से नज़र डालें। अंश में अभिव्यक्ति $3^n$ शामिल है, जो, जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है, हर में स्थित $n^2$ की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है। अपने लिए तुलना करें: उदाहरण के लिए, यदि $n=10$, तो $3^n=59049$, और $n^2=100$। और जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है यह अंतर तेजी से बढ़ता जाता है।

यह मानना ​​काफी तर्कसंगत है कि यदि $n\to\infty$, तो $u_n$ शून्य की ओर प्रवृत्त नहीं होगा, अर्थात। अभिसरण के लिए आवश्यक शर्तें पूरी नहीं की जाएंगी। बस इस प्रशंसनीय परिकल्पना का परीक्षण करना और $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$ की गणना करना बाकी है। हालाँकि, इस सीमा की गणना करने से पहले, हम $x\to +\infty$ के लिए फ़ंक्शन $y=\frac(3^x)(x^2)$ की एक सहायक सीमा पाएंगे, यानी। आइए $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$ की गणना करें। हम ऐसा क्यों करते हैं: तथ्य यह है कि अभिव्यक्ति $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ में पैरामीटर $n$ केवल प्राकृतिक मान लेता है ($n=1,2,3, \ldots$) , और फ़ंक्शन $y=\frac(3^x)(x^2)$ का तर्क $x$ वास्तविक मान लेता है। $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ ढूंढते समय हम L'Hopital का नियम लागू कर सकते हैं:

$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text (L'Hopital's लागू करें नियम) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\right)")=\lim_(x\to +\infty )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ बाएँ|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(लागू करें L'Hopital का नियम)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\right)")(\left(x\right)")=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$

चूँकि $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, तो $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. चूँकि $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, तो श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त पूरी नहीं होती है, अर्थात। दी गई श्रृंखला अलग हो जाती है।

उत्तर: श्रृंखला अलग हो जाती है।

श्रृंखला के अन्य उदाहरण जिनके अभिसरण की जाँच आवश्यक अभिसरण परीक्षण का उपयोग करके की जाती है, इस विषय के दूसरे भाग में हैं।

बिना किसी कारण के हँसना डी'अलेम्बर्ट का लक्षण है

कार्यात्मक रैंकों का समय आ गया है। विषय में, और विशेष रूप से, इस पाठ में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, आपको सामान्य संख्या श्रृंखला की अच्छी समझ होनी चाहिए। आपको इस बात की अच्छी समझ होनी चाहिए कि एक श्रृंखला क्या है और अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करने के लिए तुलना मानदंड लागू करने में सक्षम होना चाहिए। इस प्रकार, यदि आपने अभी-अभी विषय का अध्ययन शुरू किया है या उच्च गणित में शुरुआती हैं, ज़रूरीक्रम से तीन पाठों पर काम करें: नौसिखियों के लिए पंक्तियाँ , और बारी-बारी से पंक्तियाँ। लीबनिज़ का परीक्षण . निश्चित रूप से तीनों! यदि आपके पास संख्या श्रृंखला के साथ समस्याओं को हल करने का बुनियादी ज्ञान और कौशल है, तो कार्यात्मक श्रृंखला से निपटना काफी सरल होगा, क्योंकि इसमें बहुत सारी नई सामग्री नहीं है।

इस पाठ में, हम एक कार्यात्मक श्रृंखला (यह क्या है) की अवधारणा को देखेंगे, शक्ति श्रृंखला से परिचित होंगे, जो 99% व्यावहारिक कार्यों में पाए जाते हैं, और सीखेंगे कि त्रिज्या खोजने की एक सामान्य विशिष्ट समस्या को कैसे हल किया जाए। अभिसरण का, अभिसरण का अंतराल और एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र। इसके बाद, हम एक घात श्रृंखला के योग पर सामग्री पर विचार कर सकते हैं शक्ति श्रृंखला में कार्यों का विस्तार .

कार्यात्मक श्रृंखला और शक्ति श्रृंखला की अवधारणा

याद रखें, सामान्य संख्या श्रृंखला में संख्याएँ शामिल होती हैं:

श्रृंखला के सभी सदस्य हैं संख्याएँ.

कार्यात्मक श्रृंखला में शामिल हैं कार्य:

बहुपद, भाज्य और अन्य उपहारों के अलावा एक श्रृंखला के सामान्य पद में निश्चित रूप सेइसमें "X" अक्षर शामिल है। उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिखता है: . संख्या श्रृंखला की तरह, किसी भी कार्यात्मक श्रृंखला को विस्तारित रूप में लिखा जा सकता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कार्यात्मक श्रृंखला के सभी सदस्य हैं कार्य.

कार्यात्मक श्रृंखला का सबसे लोकप्रिय प्रकार है बिजली की श्रृंखला.

परिभाषा:

बिजली की श्रृंखलाएक श्रृंखला है जिसके सामान्य पद में शामिल है सकारात्मक पूर्णांक शक्तियाँस्वतंत्र चर। कई पाठ्यपुस्तकों में, एक घात श्रृंखला को बस इस प्रकार लिखा जाता है: संख्या श्रृंखला (बहुपद, घात, भाज्य, आश्रित) की पुरानी परिचित "भराई" कहां है केवल "एन" से). सबसे सरल उदाहरण:

आइए इस विस्तार को देखें और परिभाषा पर पुनर्विचार करें: घात श्रृंखला के पदों में "x" शामिल है सकारात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक) डिग्री. बहुत बार, एक शक्ति श्रृंखला निम्नलिखित "संशोधनों" में पाई जा सकती है: या, एक स्थिरांक कहां है। उदाहरण के लिए:

कड़ाई से कहें तो, पावर श्रृंखला के लिए सरलीकृत नोटेशन पूरी तरह से सही नहीं हैं। घातांक में, अकेले अक्षर "एन" के बजाय एक अधिक जटिल अभिव्यक्ति हो सकती है, उदाहरण के लिए:

या यह शक्ति श्रृंखला:

यदि केवल "एक्सए" के लिए डिग्री सूचकांक प्राकृतिक होते.

शक्ति श्रृंखला का अभिसरण.अभिसरण अंतराल, अभिसरण त्रिज्या और अभिसरण क्षेत्र

शब्दों की इतनी अधिकता से भयभीत होने की कोई आवश्यकता नहीं है; वे "एक-दूसरे के बगल में" चलते हैं और समझने में कोई विशेष कठिनाई नहीं होती है। कुछ सरल प्रयोगात्मक श्रृंखला चुनना और तुरंत इसका पता लगाना शुरू करना बेहतर है।

कृपया पावर श्रृंखला को पसंद करें और उसका समर्थन करें।

वेरिएबल ले सकता है कोई वास्तविक मूल्य"माइनस इनफिनिटी" से "प्लस इनफिनिटी" तक। आइए श्रृंखला के सामान्य पद में कई मनमाने "x" मानों को प्रतिस्थापित करें: यदि , फिर यदि, फिर यदि, फिर यदि, तो और इसी तरह।

जाहिर है, "x" को एक या दूसरे मान में प्रतिस्थापित करने पर, हमें अलग-अलग संख्या श्रृंखला मिलती है। कुछ संख्या शृंखलाएँ अभिसरित होंगी और कुछ भिन्न होंगी। और हमारा काम "x" के कई मान खोजें, जिस पर बिजली श्रृंखला होगी एकाग्र. ऐसे समुच्चय को कहा जाता है श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र.

किसी भी शक्ति श्रृंखला के लिए (अस्थायी रूप से एक विशिष्ट उदाहरण से सार निकालते हुए), तीन मामले संभव हैं:

1) शक्ति श्रृंखला बिल्कुल एकाग्र हो जाता हैकुछ अंतराल पर. दूसरे शब्दों में, यदि हम अंतराल से "x" का कोई मान चुनते हैं और इसे घात श्रृंखला के सामान्य पद में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें मिलता है बिल्कुल अभिसरणसंख्या श्रृंखला. इस अंतराल को कहा जाता है शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल.

अभिसरण त्रिज्या, इसे काफी सरल शब्दों में कहें तो, यह आधी लंबाईअभिसरण अंतराल:

ज्यामितीय दृष्टि से स्थिति इस प्रकार दिखती है:

इस मामले में, श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल:, श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या:

एक व्यापक तुच्छ मामला तब होता है जब अभिसरण अंतराल शून्य के बारे में सममित होता है:

यहाँ श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल है:, श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या:

अंतराल के अंत में क्या होगा? बिंदुओं पर, शक्ति श्रृंखला यह या तो अभिसरण या विचलन कर सकता है, और इसे स्पष्ट करने के लिए और अधिक शोध की आवश्यकता है। ऐसे अध्ययन के बाद हम पहले से ही बात कर रहे हैं श्रृंखला के अभिसरण की सीमा:

- यदि यह स्थापित हो जाए कि विद्युत श्रृंखला अंतराल के दोनों सिरों पर विचलन करती है, तो श्रृंखला अभिसरण क्षेत्रअभिसरण अंतराल के साथ मेल खाता है:

- यदि यह स्थापित हो जाए कि एक शक्ति श्रृंखला अंतराल के एक छोर पर अभिसरित होती है और दूसरे छोर पर विसरित होती है, तो श्रृंखला अभिसरण क्षेत्रआधे-अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है: या।

- यदि यह स्थापित हो जाए कि विद्युत श्रृंखला अंतराल के दोनों सिरों पर अभिसरण करती है, तो श्रृंखला अभिसरण क्षेत्रएक खंड है:

शर्तें बहुत समान हैं श्रृंखला अभिसरण क्षेत्र- यह थोड़ा अधिक विस्तृत है श्रृंखला अभिसरण अंतराल.

शेष दो मामलों के साथ सब कुछ छोटा और सरल है:

2) शक्ति श्रृंखला बिल्कुल एकाग्र हो जाता हैपर कोईअर्थ अर्थात्, चाहे हम घात श्रृंखला के सामान्य पद में "x" का कोई भी मान रखें, किसी भी स्थिति में हम सफल होंगे बिल्कुल अभिसरणसंख्या श्रृंखला. इस मामले में अभिसरण का अंतराल और अभिसरण का क्षेत्र मेल खाता है:। अभिसरण त्रिज्या:. मैं कोई चित्र नहीं दूँगा; मुझे नहीं लगता कि यह आवश्यक है।

3) शक्ति श्रृंखला एक बिंदु पर एकत्रित होती है। यदि श्रृंखला का स्वरूप है, तो यह एक बिंदु पर एकत्रित हो जाएगी। इस मामले में, अभिसरण का अंतराल और श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र भी मेल खाता है और एक ही संख्या के बराबर है - शून्य:। यदि श्रृंखला का स्वरूप है, तो यह एक बिंदु पर एकत्रित हो जाएगी; यदि श्रृंखला का स्वरूप है, तो, निश्चित रूप से, बिंदु "माइनस ए" पर। सभी मामलों में श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या, स्वाभाविक रूप से, शून्य है:।

यहां कोई दूसरे विकल्प नहीं। किसी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र हमेशा या तो एक बिंदु, या कोई "एक्स", या एक अंतराल (संभवतः आधा-अंतराल, एक खंड) होता है। मैं उस पर जोर देता हूं यह वर्गीकरण पावर श्रृंखला के लिए मान्य है. एक मनमानी कार्यात्मक श्रृंखला के लिए यह आम तौर पर गलत है।

अभिसरण के लिए शक्ति श्रृंखला का अध्ययन

सैद्धांतिक सामग्री के एक छोटे से हिस्से के बाद, हम एक विशिष्ट कार्य पर विचार करने के लिए आगे बढ़ते हैं, जो लगभग हमेशा उच्च गणित में परीक्षणों और परीक्षाओं में पाया जाता है।

उदाहरण 1

कार्य को अक्सर समान रूप से तैयार किया जाता है: एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण अंतराल का पता लगाएं और पाए गए अंतराल के अंत में इसके अभिसरण की जांच करें।

समाधान एल्गोरिथ्म काफी पारदर्शी और पारंपरिक है।

पहले चरण में, हम श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल पाते हैं। डी'एलेम्बर्ट के परीक्षण का उपयोग करना और सीमा ज्ञात करना लगभग हमेशा आवश्यक होता है। डी'एलेम्बर्ट परीक्षण का उपयोग करने की तकनीक बिल्कुल संख्या श्रृंखला के समान ही है; आप पाठ में इससे परिचित हो सकते हैं डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह. कॉची के लक्षण . फर्क सिर्फ इतना है कि हमारे सभी मामले एक मॉड्यूल के संकेत के तहत होते हैं।

तो, आइए अपनी सीमा हल करें:

(3) अंश में, शक्तियों के साथ संचालन के नियम के अनुसार, हम एक "एक्स" को "चुटकी" देते हैं। हम हर में द्विपद का वर्ग करते हैं।

(4) हम शेष "x" को सीमा चिह्न से आगे ले जाते हैं, और हम इसे मापांक चिह्न के साथ बाहर निकालते हैं। मापांक चिह्न के साथ क्यों? तथ्य यह है कि हमारी सीमा पहले से ही गैर-नकारात्मक होगी, लेकिन "x" नकारात्मक मान ले सकता है। इसलिए, मॉड्यूल विशेष रूप से इसे संदर्भित करता है।

वैसे, आप इसे सीमा चिन्ह से परे क्यों ले जा सकते हैं? क्योंकि हमारी सीमा में "गतिशील" चर "एन" है, और यह हमारे "एक्स" को न तो गर्म और न ही ठंडा बनाता है।

(5) हम मानक तरीके से अनिश्चितता को खत्म करते हैं।

सीमा मिल जाने के बाद, हमें विश्लेषण करना होगा कि हमें क्या मिला।

मैं फ़िन सीमा में यह शून्य हो जाता है, फिर समाधान एल्गोरिथ्म अपना काम पूरा करता है, और हम कार्य का अंतिम उत्तर देते हैं: "शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र:" (कोई भी वास्तविक संख्या - पिछले पैराग्राफ का केस नंबर 2)। अर्थात्, घात श्रृंखला "x" के किसी भी मान के लिए अभिसरित होती है। उत्तर को समान रूप से लिखा जा सकता है: "श्रृंखला अभिसरण करती है" (गणित में प्रतीक सदस्यता को इंगित करता है)।

मैं फ़िन सीमा अनंत हो जाती है, फिर समाधान एल्गोरिथ्म भी अपना काम पूरा करता है, और हम कार्य का अंतिम उत्तर देते हैं: "श्रृंखला परिवर्तित होती है" (या लगभग)। पिछले पैराग्राफ का केस नंबर 3 देखें।

यदि सीमा में परिणाम न तो शून्य है और न ही अनंत है, तो हमारे पास अभ्यास संख्या 1 में सबसे आम मामला है - श्रृंखला एक निश्चित अंतराल पर परिवर्तित होती है।

इस मामले में, सीमा है. किसी श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल कैसे ज्ञात करें? हम असमानता बनाते हैं:

में इस प्रकार का कोई भी कार्यअसमानता के बायीं ओर होना चाहिए सीमा गणना का परिणाम, और असमानता के दाईं ओर - कठोरता से इकाई. मैं ठीक-ठीक यह नहीं बताऊंगा कि ऐसी असमानता क्यों है और दाईं ओर कोई क्यों है। पाठ व्यावहारिक रूप से उन्मुख हैं, और यह पहले से ही बहुत अच्छा है कि मेरी कहानियों ने शिक्षण स्टाफ को परेशान नहीं किया और कुछ प्रमेय स्पष्ट हो गए।

लेख में पहले वर्ष में एक मॉड्यूल के साथ काम करने और दोहरी असमानताओं को हल करने की तकनीक पर विस्तार से चर्चा की गई थी फ़ंक्शन डोमेन , लेकिन सुविधा के लिए, मैं सभी कार्यों पर यथासंभव विस्तार से टिप्पणी करने का प्रयास करूंगा। खुलासा मापांक के साथ असमानता स्कूल के नियमों के अनुसार. इस मामले में:

आधा रास्ता ख़त्म हो चुका है.

दूसरे चरण में, पाए गए अंतराल के अंत में श्रृंखला के अभिसरण की जांच करना आवश्यक है।

सबसे पहले, हम अंतराल के बाएँ छोर को लेते हैं और इसे अपनी शक्ति श्रृंखला में प्रतिस्थापित करते हैं:

पर

हमने एक संख्या श्रृंखला प्राप्त की है, और हमें अभिसरण के लिए इसकी जांच करने की आवश्यकता है (एक कार्य जो पिछले पाठों से पहले से ही परिचित है)।

हम लीबनिज़ के मानदंड का उपयोग करते हैं: 1) श्रृंखला संकेत में वैकल्पिक है। 2) - श्रृंखला के पद मापांक में घटते हैं। श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य पिछले एक की तुलना में पूर्ण मूल्य में कम है, जिसका अर्थ है कि कमी नीरस है।

निष्कर्ष: श्रृंखला अभिसरित होती है।

आइए पूर्ण अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें: - अभिसरण (सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला का मामला)।

इस प्रकार, परिणामी संख्या श्रृंखला बिल्कुल परिवर्तित हो जाती है।

पर - अभिसरण।

इस प्रकार, शक्ति श्रृंखला पाए गए अंतराल के दोनों सिरों पर एकत्रित होती है।

उत्तर:अध्ययनाधीन विद्युत श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र:

उत्तर के दूसरे रूप में जीवन का अधिकार है: एक श्रृंखला अभिसरण करती है यदि

कभी-कभी समस्या कथन के लिए आपको अभिसरण की त्रिज्या इंगित करने की आवश्यकता होती है। यह स्पष्ट है कि विचारित उदाहरण में।

उदाहरण 2

शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात कीजिए

समाधान:आइए इस श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल ज्ञात करें। हम डी'अलेम्बर्ट चिह्न का उपयोग करते हैं:

हम मानक असमानता की रचना करते हैं: श्रृंखला अभिसरण करती है

बाएंहमें जाना होगा केवल, इसलिए हम असमानता के दोनों पक्षों को 3 से गुणा करते हैं:

और हम खुलासा करते हैं मापांक के साथ असमानता नियम के अनुसार:- अध्ययनाधीन विद्युत शृंखला का अभिसरण अंतराल।

आइए हम पाए गए अंतराल के अंत में शक्ति श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें। 1) कब

टिप्पणी, कि जब किसी शक्ति श्रृंखला में कोई मान प्रतिस्थापित किया जाता है, तो शक्ति कम हो जाती है। यह एक निश्चित संकेत है कि हमने श्रृंखला का अभिसरण अंतराल सही ढंग से पाया है।

हम अभिसरण के लिए परिणामी संख्या श्रृंखला की जांच करते हैं।

हम लीबनिज़ की कसौटी का उपयोग करते हैं। -श्रृंखला बारी-बारी से चल रही है। – - श्रृंखला के पद मापांक में घटते हैं। श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य पिछले एक की तुलना में पूर्ण मूल्य में कम है, जिसका अर्थ है कि कमी नीरस है। निष्कर्ष: श्रृंखला अभिसरित होती है।

हम पूर्ण अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करते हैं: आइए इस श्रृंखला की तुलना एक भिन्न श्रृंखला से करें। हम सीमित तुलना मानदंड का उपयोग करते हैं: एक परिमित संख्या प्राप्त होती है जो शून्य से भिन्न होती है, जिसका अर्थ है कि श्रृंखला श्रृंखला से भिन्न होती है।

इस प्रकार, श्रृंखला केवल सशर्त रूप से अभिसरण करती है।

2) कब

उत्तर:अध्ययनाधीन विद्युत शृंखला के अभिसरण का क्षेत्र: . आदेश केवल सशर्त रूप से परिवर्तित होता है।

विचारित उदाहरण में, शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र अर्ध-अंतराल है, और अंतराल के सभी बिंदुओं पर शक्ति श्रृंखला बिल्कुल एकाग्र हो जाता है(पिछला पैराग्राफ देखें), और बिंदु पर, जैसा कि यह निकला - अभिसरण केवल सशर्त.

उदाहरण 3

शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल ज्ञात करें और पाए गए अंतराल के सिरों पर इसके अभिसरण की जांच करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है।

आइए कुछ ऐसे उदाहरण देखें जो दुर्लभ हैं, लेकिन घटित होते हैं।

उदाहरण 4

श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात कीजिए:

समाधान:

(1) हम श्रृंखला के अगले सदस्य का पिछले सदस्य से अनुपात बनाते हैं।

(2) हमें चार मंजिला अंश से छुटकारा मिलता है।

(3) डिग्री के साथ संक्रिया के नियम के अनुसार हम घनों को एक डिग्री के अंतर्गत लाते हैं। अंश में हम चतुराई से डिग्री को विघटित करते हैं, अर्थात। हम इसे इस तरह व्यवस्थित करते हैं कि अगले चरण में हम भिन्न को कम कर सकें। हम फैक्टोरियल का विस्तार से वर्णन करते हैं।

(4) घन के नीचे, हम अंश को हर से विभाजित करते हैं, यह दर्शाते हुए कि। एक अंश में हम वह सब कुछ कम कर देते हैं जिसे कम किया जा सकता है। हम कारक को सीमा चिह्न से परे ले जाते हैं; इसे बाहर निकाला जा सकता है, क्योंकि इसमें ऐसा कुछ भी नहीं है जो "गतिशील" चर "एन" पर निर्भर करता हो। कृपया ध्यान दें कि मापांक चिह्न नहीं खींचा गया है - इस कारण से कि यह किसी भी "x" के लिए गैर-नकारात्मक मान लेता है।

सीमा में शून्य प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि हम अंतिम उत्तर दे सकते हैं:

उत्तर:शृंखला पर एकत्रित होती है

लेकिन पहले तो ऐसा लगा कि "भयानक भराव" वाली इस पंक्ति को हल करना मुश्किल होगा। सीमा में शून्य या अनंत लगभग एक उपहार है, क्योंकि समाधान काफ़ी कम हो गया है!

उदाहरण 5

श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात कीजिए

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। सावधान रहें;-) संपूर्ण समाधान पाठ के अंत में है।

आइए कुछ और उदाहरण देखें जिनमें तकनीकी तकनीकों के उपयोग के संदर्भ में नवीनता का तत्व शामिल है।

उदाहरण 6

श्रृंखला के अभिसरण अंतराल का पता लगाएं और पाए गए अंतराल के अंत में इसके अभिसरण की जांच करें

समाधान:पावर श्रृंखला के सामान्य शब्द में एक कारक शामिल होता है जो संकेत विकल्प सुनिश्चित करता है। समाधान एल्गोरिदम पूरी तरह से संरक्षित है, लेकिन सीमाओं को संकलित करते समय हम इस गुणक को अनदेखा करते हैं (लिखते नहीं हैं), क्योंकि मॉड्यूल सभी "नुकसान" को नष्ट कर देता है।

आइए इस श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल ज्ञात करें। हम डी'अलेम्बर्ट चिह्न का उपयोग करते हैं:

हम मानक असमानता की रचना करते हैं: श्रृंखला अभिसरण करती है बाएंहमें जाना होगा केवल मॉड्यूल, इसलिए हम असमानता के दोनों पक्षों को 5 से गुणा करते हैं: अब हम मॉड्यूल को परिचित तरीके से विस्तारित करते हैं:

दोहरी असमानता के बीच में, आपको केवल "X" छोड़ना होगा; इस उद्देश्य के लिए, हम असमानता के प्रत्येक भाग से 2 घटाते हैं:

- अध्ययन के तहत शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल।

हम पाए गए अंतराल के अंत में श्रृंखला के अभिसरण की जांच करते हैं:

1) मान को हमारी पावर श्रृंखला में प्रतिस्थापित करें :

अत्यंत सावधान रहें, गुणक किसी भी प्राकृतिक "एन" के लिए संकेत विकल्प प्रदान नहीं करता है। हम परिणामी ऋण को श्रृंखला से बाहर ले जाते हैं और इसके बारे में भूल जाते हैं, क्योंकि यह (किसी भी कारक स्थिरांक की तरह) किसी भी तरह से संख्या श्रृंखला के अभिसरण या विचलन को प्रभावित नहीं करता है।

कृपया पुनः ध्यान दें, कि शक्ति श्रृंखला के सामान्य पद में मूल्य के प्रतिस्थापन के दौरान, हमारा कारक कम हो गया था। यदि ऐसा नहीं हुआ, तो इसका मतलब यह होगा कि हमने या तो सीमा की गलत गणना की या मॉड्यूल का गलत विस्तार किया।

इसलिए, हमें अभिसरण के लिए संख्या श्रृंखला की जांच करने की आवश्यकता है। यहां सबसे आसान तरीका सीमित तुलना मानदंड का उपयोग करना और इस श्रृंखला की तुलना एक अपसारी हार्मोनिक श्रृंखला से करना है। लेकिन, ईमानदारी से कहूं तो, मैं तुलना के सीमित संकेत से बहुत थक गया हूं, इसलिए मैं समाधान में कुछ विविधता जोड़ूंगा।

हम अभिन्न चिह्न का उपयोग करते हैं। इंटीग्रैंड निरंतर चालू है। इस प्रकार, परिणामी संख्या श्रृंखला संबंधित अनुचित इंटीग्रल के साथ अलग हो जाती है।

2) आइए हम अभिसरण अंतराल के दूसरे छोर की जांच करें। पर

हम लीबनिज की कसौटी का उपयोग करते हैं: - श्रृंखला संकेत में वैकल्पिक है। – - श्रृंखला के पद मापांक में घटते हैं। श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य पिछले एक की तुलना में पूर्ण मूल्य में कम है, जिसका अर्थ है कि कमी नीरस है। निष्कर्ष: श्रृंखला अभिसरित होती है

विचाराधीन संख्या श्रृंखला पूर्णतः अभिसारी नहीं है क्योंकि – विचलन (जो सिद्ध हो चुका है उसके अनुसार)।

उत्तर:- अध्ययन के तहत शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र; क्रम केवल सशर्त रूप से अभिसरण करता है।

आवेदन

ऑनलाइन सेवा साइट आपको संख्यात्मक अनुक्रम और कार्यात्मक श्रृंखला दोनों, ऑनलाइन श्रृंखला का योग खोजने में मदद करेगी। गणितज्ञों के लिए एक श्रृंखला का योग संख्यात्मक मात्राओं के विश्लेषण और सीमा तक के मार्ग को समझने में कुछ विशेष है। पिछली कुछ शताब्दियों में श्रृंखला के सामान्य समाधान के बारे में बहुत सारे उपयोगी कार्य कहे और लिखे गए हैं। व्यक्तिगत रूप से, प्रत्येक शिक्षक के लिए यह एक महत्वपूर्ण कर्तव्य है कि वह गणित में अपने संचित ज्ञान को अंतिम श्रोता, यानी छात्र तक पहुँचाए। श्रृंखला 1/n का ऐसा योग ज्ञात करना नाशपाती के छिलके जितना आसान है। श्रृंखला का योग 1/n^2 एक संक्षिप्त नोटेशन में प्रस्तुत किया जाएगा। संख्यात्मक अनुक्रम में श्रृंखला का योग ऑनलाइन निर्धारित करने के साथ-साथ, साइट श्रृंखला का तथाकथित आंशिक योग ऑनलाइन पा सकती है। यह निश्चित रूप से विश्लेषणात्मक अभ्यावेदन के लिए मदद करेगा, जब किसी ऑनलाइन श्रृंखला के योग को किसी श्रृंखला के आंशिक योगों के संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा के समाधान के रूप में व्यक्त करने और खोजने की आवश्यकता होती है। इसके मूल में, किसी श्रृंखला का योग किसी फ़ंक्शन को श्रृंखला में विस्तारित करने के व्युत्क्रम संचालन से अधिक कुछ नहीं है। लेन-देन लगभग पारस्परिक प्रकृति के होते हैं। ऐसा ही होता है कि सीमाओं के बाद गणितीय विश्लेषण में एक व्याख्यान पाठ्यक्रम पूरा करने के बाद एक श्रृंखला के अभिसरण का अध्ययन किया जाता है। श्रृंखला के पाए गए समाधान का अर्थ अभिसरण या विचलन के लिए इसका अध्ययन करने का परिणाम है। यह परिणाम स्पष्ट रूप से निर्धारित होता है। एनालॉग्स की तुलना में, साइट के अपने निर्विवाद फायदे हैं, क्योंकि यह संख्यात्मक और कार्यात्मक दोनों श्रृंखलाओं का योग ऑनलाइन पा सकता है, जो आपको प्रारंभिक प्रारंभिक श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देता है। विज्ञान को ज्ञात लगभग सभी पद्धतियाँ। श्रृंखला के सिद्धांत के आधार पर, संख्यात्मक अनुक्रम के अभिसरण के लिए हर समय एक आवश्यक शर्त अनंत पर संख्यात्मक श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा के शून्य के बराबर होगी। लेकिन यह स्थिति किसी संख्या श्रृंखला के अभिसरण को ऑनलाइन स्थापित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। आइए इस गंभीर समस्या से थोड़ा हटकर गणित में श्रृंखला के बारे में एक अलग दार्शनिक स्थिति से सोचें। आपके लिए, ऑनलाइन श्रृंखला का यह समाधान आपको हर दिन के लिए सर्वश्रेष्ठ कैलकुलेटर और सहायक बनने की अनुमति देगा। सर्दियों के खूबसूरत दिनों में बैठकर पढ़ाई करने की कोई इच्छा नहीं होती जब श्रृंखला का सारांश कुछ ही समय में आपकी आंखों के सामने हो। यदि किसी को किसी श्रृंखला का सर्कुलेशन निर्धारित करने की आवश्यकता है, तो पहले सही डेटा दर्ज करने में कुछ सेकंड लगेंगे। जबकि समान साइटों को उनकी सेवाओं के लिए मुआवजे की आवश्यकता होती है, हम उन सभी के लिए उपयोगी होने का प्रयास करते हैं जो यह सीखना चाहते हैं कि हमारी सरल सेवा का उपयोग करके उदाहरणों को स्वयं कैसे हल किया जाए। आपके विवेक पर, हम श्रृंखला का समाधान किसी भी आधुनिक उपकरण, यानी किसी भी ब्राउज़र में ऑनलाइन प्रस्तुत कर सकते हैं। इसलिए, यह खोजना और साबित करना कि श्रृंखला का योग 1/n अनंत पर भिन्न होता है, एक सरल कार्य होगा। हमेशा याद रखें कि श्रृंखला 1/n^2 का योग कैसे परिवर्तित होता है और गणित में इसका बहुत बड़ा अर्थ अर्थ होता है। लेकिन एक परिमित श्रृंखला का योग आमतौर पर उपयोग करने के बाद निर्धारित किया जाता है, उदाहरण के लिए, अभिन्न परीक्षण या राबे परीक्षण, जिसके बारे में सामान्य विश्वविद्यालयों में बहुत कम लोग जानते हैं। ऑनलाइन श्रृंखला के अभिसरण का निर्धारण करके, वैज्ञानिकों ने एक श्रृंखला के अभिसरण या विचलन के लिए विभिन्न पर्याप्त मानदंड निकाले हैं। इन विधियों में से सबसे प्रसिद्ध और अक्सर उपयोग की जाने वाली विधियाँ डी'अलेम्बर्ट परीक्षण, कॉची अभिसरण परीक्षण, राबे अभिसरण परीक्षण, संख्या श्रृंखला के लिए तुलना परीक्षण, साथ ही संख्या श्रृंखला के अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण हैं। संख्या श्रृंखला जिसमें पदों के चिह्न आवश्यक रूप से सख्ती से वैकल्पिक होते हैं, एक के बाद एक माइनस से प्लस और बैक तक विशेष ध्यान देने योग्य होते हैं, और इन संख्या श्रृंखलाओं के निरपेक्ष मान एकरस रूप से, यानी समान रूप से घटते हैं। श्रृंखला का अध्ययन करने के अभ्यास में, यह पता चला कि ऐसी संख्या श्रृंखला के लिए एक वैकल्पिक श्रृंखला के ऑनलाइन अभिसरण का आवश्यक संकेत पर्याप्त है, अर्थात, सामान्य पद की सीमा अनंत पर शून्य संख्या श्रृंखला के बराबर है। इस तरह से पाई गई श्रृंखला का योग निकलता है उपयोग की जाने वाली अन्य विधियों के समतुल्य होना। किसी श्रृंखला के अभिसरण में समय की भारी बर्बादी होती है, क्योंकि इस प्रक्रिया में फ़ंक्शन का पूरा अध्ययन शामिल होता है।. कई अलग-अलग साइटें हैं जो ऑनलाइन श्रृंखला के योग की गणना करने के लिए सेवाएं प्रदान करती हैं, जैसे साथ ही अध्ययन के तहत फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से किसी भी बिंदु पर ऑनलाइन श्रृंखला में फ़ंक्शंस का विस्तार। आप इन सेवाओं में किसी फ़ंक्शन को ऑनलाइन श्रृंखला में आसानी से विस्तारित कर सकते हैं, क्योंकि व्युत्पन्न गणना कार्यक्षमता का उपयोग किया जाता है, लेकिन व्युत्क्रम ऑपरेशन - एक ऑनलाइन कार्यात्मक श्रृंखला का योग खोजना, जिसके सदस्य संख्याएं नहीं, बल्कि फ़ंक्शन हैं, अक्सर असंभव होता है व्यवहार में आवश्यक कंप्यूटिंग संसाधनों की कमी के कारण उत्पन्न होने वाली कठिनाइयों के कारण.. श्रृंखला के योग की ऑनलाइन गणना करने, जांचने और अपने ज्ञान को समेकित करने के लिए हमारे संसाधन का उपयोग करें। यदि श्रृंखला का योग अलग हो जाता है, तो हमें किसी सामान्य कार्य में आगे की कार्रवाई के लिए अपेक्षित परिणाम नहीं मिलेगा। एक विशेषज्ञ के रूप में अपने ज्ञान का उपयोग करके पहले से ही इससे बचा जा सकता है। अंत में, कोई यह उल्लेख करने में असफल नहीं हो सकता कि श्रृंखला 1/n का योग अभिव्यक्ति में सबसे सरल कैसे है और इसे अक्सर एक उदाहरण के रूप में उद्धृत किया जाता है। यहां तक ​​कि जब वे किसी मामले में अभिसरण का कोई संकेत दिखाना चाहते हैं, तो वे इसे श्रृंखला 1/n^2 के योग के लिए साबित करते हैं, क्योंकि ऐसा प्रतिनिधित्व छात्रों के लिए पारदर्शी होता है और छात्र भ्रमित नहीं होते हैं। चूँकि हमारे पास श्रृंखला के जटिल सामान्य पद के लिए एक अभिव्यक्ति है, परिमित श्रृंखला का योग उपयोगी होगा यदि इसका अभिसरण प्रमुख श्रृंखला (मूल के सापेक्ष) के लिए सिद्ध हो। दूसरी ओर, समस्या की प्रारंभिक स्थितियों की परवाह किए बिना श्रृंखला का अभिसरण होगा। श्रृंखला का सबसे अच्छा समाधान केवल हमारी सेवा वेबसाइट द्वारा ही पेश किया जा सकता है, क्योंकि केवल हम गणना की लागत को परिणाम की उपयोगिता और सटीकता के साथ सहसंबंधित करके आपका समय बचाने की गारंटी देते हैं। चूँकि किसी श्रृंखला के आवश्यक योग को अधिकांश मामलों में एक प्रमुख श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है, इसलिए इसका अध्ययन करना अधिक उपयुक्त है। इसलिए, प्रमुख सामान्य पद से श्रृंखला का अभिसरण स्पष्ट रूप से मुख्य अभिव्यक्ति के अभिसरण का संकेत देगा, और समस्या तुरंत ही हल हो जाएगी। उच्च शिक्षण संस्थानों के शिक्षक भी ऑनलाइन श्रृंखला के हमारे समाधान का उपयोग कर सकते हैं और के काम की जांच कर सकते हैं उनके कैडेट. कुछ मामलों में, किसी श्रृंखला के योग की गणना भौतिकी, रसायन विज्ञान या किसी व्यावहारिक अनुशासन की समस्या में की जा सकती है, नियमित गणना में फंसे बिना, ताकि कुछ प्राकृतिक प्रक्रिया का अध्ययन करते समय मुख्य दिशा से न भटकें। आरंभ करने के लिए, वे आमतौर पर श्रृंखला 1/n के योग के रूप में सबसे सरल अभिव्यक्ति लिखते हैं और यह दृष्टिकोण उचित है। संख्या Pi कई कम्प्यूटेशनल परिचालनों में मौजूद है, लेकिन श्रृंखला 1/n^2 का योग अनंत पर एक हार्मोनिक श्रृंखला के अभिसरण का एक उत्कृष्ट उदाहरण कहा जा सकता है। अभिव्यक्ति "एक परिमित श्रृंखला का योग" का क्या अर्थ है? और इसका सटीक अर्थ यह है कि यह अभिसरण करता है और इसके आंशिक योग की सीमा का एक विशिष्ट संख्यात्मक मान होता है। यदि श्रृंखला के अभिसरण की पुष्टि हो जाती है और यह सिस्टम की अंतिम स्थिरता को प्रभावित करता है, तो समस्या के इनपुट मापदंडों को बदलना और पुनः प्रयास करना संभव है। अंत में, हम आपको वह सलाह देना चाहेंगे जो पहली नज़र में अस्पष्ट है, लेकिन व्यवहार में बहुत उपयोगी है। भले ही आपके पास श्रृंखला को हल करने का पर्याप्त अनुभव है और आपको श्रृंखला को ऑनलाइन हल करने के लिए ऐसी सेवाओं की आवश्यकता नहीं है, हमारा सुझाव है कि आप श्रृंखला के अभिसरण का निर्धारण करके श्रृंखला का योग ज्ञात करना शुरू करें। साइट का उपयोग करते हुए, इस क्रिया पर केवल एक मिनट बिताएं, ताकि श्रृंखला के योग की गणना के दौरान, बस इस तथ्य को ध्यान में रखें। यह बहुत ज़्यादा नहीं होगा! गणित पर ऑनलाइन वेबसाइटों पर श्रृंखला के योग के बारे में बहुत कुछ लिखा गया है; पिछली शताब्दी में वैज्ञानिकों ने श्रृंखला के योग के लिए भावों को निर्दिष्ट करने के लिए प्रतीकों का उपयोग कैसे किया, इसके कई उदाहरण संलग्न किए गए हैं। कुल मिलाकर, थोड़ा बदलाव आया है, लेकिन कुछ दिलचस्प बिंदु भी हैं। यदि किसी श्रृंखला का ऑनलाइन अभिसरण असंभव लगता है, तो बस दर्ज किए गए डेटा की जांच करें और शांति से अनुरोध दोहराएं। पहले श्रृंखला के सामान्य पद की दोबारा जांच करना बेहतर है। और ऑनलाइन श्रृंखला का प्रत्येक समाधान तुरंत साइट पर दिखाई देगा; समस्या का उत्तर पाने के लिए आपको अतिरिक्त लिंक पर क्लिक करने की आवश्यकता नहीं है। विशेषज्ञों के अनुसार, सर्वश्रेष्ठ, श्रृंखला को हल करने के लिए कैलकुलेटर चुनते समय छात्रों को अधिक मांग वाला बनाता है। एक ऑनलाइन सेवा के रूप में एक श्रृंखला के योग में श्रृंखला अभिसरण की अवधारणा शामिल है, अर्थात, एक सीमित योग का अस्तित्व। इस खंड के साथ इंटीग्रल और डेरिवेटिव जैसे बुनियादी विषयों को पेश किया गया है, क्योंकि वे सभी बारीकी से संबंधित हैं। आइए हमारे साथ इस बारे में बात करें कि जैसे-जैसे चर अनंत की ओर बढ़ता है, श्रृंखला 1/n का योग कैसे अलग हो जाता है। हालाँकि, 1/n^2 जैसी श्रृंखला का एक और योग, इसके विपरीत, एकत्रित होगा और एक सीमित संख्यात्मक अभिव्यक्ति लेगा। ऐसे मामलों का अध्ययन करना दिलचस्प है जब एक परिमित श्रृंखला का योग धीरे-धीरे श्रृंखला के मध्यवर्ती आंशिक योगों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसमें चरण-दर-चरण चर में एक या शायद कई इकाइयों की वृद्धि होती है। हम अनुशंसा करते हैं कि समस्याओं को स्वयं हल करने के बाद श्रृंखला के अभिसरण की ऑनलाइन जाँच करें। इससे आप विषय को विस्तार से समझ सकेंगे और अपने ज्ञान के स्तर को बढ़ा सकेंगे। इस बारे में कभी न भूलें, हम आपके लिए ही प्रयास कर रहे हैं। एक बार एक पाठ के दौरान, शिक्षक ने दिखाया कि कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करके श्रृंखला को ऑनलाइन कैसे हल किया जाए। मुझे कहना होगा कि सभी को यह काफी पसंद आया। इस घटना के बाद पूरे गणित पाठ्यक्रम में कैलकुलेटर की मांग बनी रही। यह जांचना अतिश्योक्ति नहीं होगी कि आपके द्वारा परिणाम दिखाने का अनुरोध करने के बाद कुछ ही सेकंड में ऑनलाइन कैलकुलेटर द्वारा श्रृंखला के योग की गणना कैसे की जाती है। यह तुरंत स्पष्ट हो जाएगा कि समस्या के समाधान में किस दिशा में प्रगति की जानी चाहिए। चूंकि कुछ महंगी पाठ्यपुस्तकों में श्रृंखला के अभिसरण के बारे में बहुत कुछ नहीं लिखा गया है, इसलिए इंटरनेट से उत्कृष्ट वैज्ञानिकों की कई अच्छी रिपोर्ट डाउनलोड करना और उनकी विधियों का उपयोग करके प्रशिक्षण पाठ्यक्रम लेना बेहतर है। परिणाम अच्छा होगा. श्रृंखला को हल करते समय, कोई भी अभिसरण के पहले संकेत को बाहर नहीं कर सकता है, अर्थात्, इसके सामान्य पद की सीमा शून्य तक की प्रवृत्ति। यद्यपि यह स्थिति पर्याप्त नहीं है, फिर भी यह सदैव आवश्यक है। हल किए गए उदाहरण की अखंडता छात्र में एक सुखद अनुभूति पैदा करती है जब वह समझता है कि श्रृंखला के योग की गणना संकेतों का सहारा लिए बिना की गई थी। पाठ्यपुस्तकों का उद्देश्य अभ्यास में आपके कौशल का उपयोग करने के लिए एक मार्गदर्शक के रूप में है। जैसा कि आप अपने द्वारा कवर की गई सामग्री को भूल जाते हैं, आपको प्रत्येक गुरुवार को व्याख्यान को सरसरी तौर पर पढ़ने के लिए कम से कम पांच मिनट का समय देना होगा, अन्यथा सत्र की शुरुआत तक आप सब कुछ भूल जाएंगे, और इससे भी अधिक, आप भूल जाएंगे कि गणना कैसे करें एक श्रृंखला का अभिसरण. एक बार से शुरुआत करें और फिर अपने आलस्य पर काबू पाएं। यह अकारण नहीं है कि शिक्षक आपको यह साबित करने के लिए बाध्य करते हैं कि श्रृंखला 1/n का योग कैसे अलग होगा। लेकिन अगर, आखिरकार, श्रृंखला 1/n^2 का योग एक वैकल्पिक श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो कुछ भी भयानक नहीं होगा - आखिरकार, पूर्ण श्रृंखला अभिसरण करती है! और निःसंदेह, जब आप स्वयं इस अनुशासन का अध्ययन करते हैं तो एक सीमित श्रृंखला का योग आपके लिए विशेष रुचि का हो सकता है। अधिकांश उदाहरणों को डी'एलेम्बर्ट की विधि का उपयोग करके हल किया जाता है, और श्रृंखला के समाधान को उसके पड़ोसी शब्दों के अनुपात के रूप में सीमा की गणना करने के लिए कम किया जाता है, अर्थात् पिछले एक के बाद वाला। इसलिए, हम आपको गणित हल करने में शुभकामनाएँ देते हैं और आशा करते हैं कि आप कभी गलतियाँ न करें! आइए हम मौलिक सिद्धांतों और वैज्ञानिक अंतःविषय दिशाओं की भागीदारी के संबंध में अनुसंधान असहमति की दिशा में ऑनलाइन श्रृंखला के तथाकथित समाधान को मूल आधार के रूप में लें। आइए हम आपके लिए उत्तर खोजें और आपको सकारात्मक रूप से बताएं कि किसी श्रृंखला का योग कई मूलभूत भिन्न तरीकों से हल किया जाता है, लेकिन अंत में परिणाम एक ही होता है। किसी शृंखला के अभिसरण के बारे में संकेत हमेशा छात्रों के लिए स्पष्ट नहीं होता है, भले ही उन्हें उत्तर पहले ही बता दिया गया हो, हालाँकि निश्चित रूप से यह उन्हें सही समाधान की ओर धकेलता है। गणित में अमूर्तन, यद्यपि पहले स्थान पर आता है, सिद्धांत द्वारा समर्थित है और कुछ ही समय में कुछ निर्विवाद तथ्यों को सिद्ध कर देता है। श्रृंखला को ऑनलाइन हल करते समय कोई भी ऐसे पहलू को नहीं भूल सकता है जैसे संख्या श्रृंखला के अभिसरण के बुनियादी सैद्धांतिक सिद्धांतों की प्रयोज्यता या अनुपयुक्तता और अधिक सुखद उपस्थिति के लिए कुछ सरलीकृत संस्करण में श्रृंखला के एक जटिल योग की प्रस्तुति। लेकिन ऐसे मामले भी हैं जब श्रृंखला का योग 1/n अभिसरण हो जाएगा और हम आपको इस घटना से परेशान नहीं करेंगे, क्योंकि आपको बस अनंत प्रतीक के स्थान पर कुछ पूर्णांक प्रतिस्थापित करना है और फिर पूरा योग कम हो जाएगा एक साधारण अंकगणित श्रृंखला. एक सामंजस्यपूर्ण श्रृंखला श्रृंखला 1/n^2 का योग है, फिर किसी भी बढ़ी हुई शक्ति का नेटवर्क।