त्रिकोणीय पिरामिड सूत्र की ऊंचाई. पिरामिड. पिरामिड के सूत्र और गुण

आपको चाहिये होगा

• स्थिति के आधार पर पिरामिड का आयतन, पिरामिड के पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल, किनारे की लंबाई, आधार पर बहुभुज के व्यास की लंबाई जानें।

निर्देश

खोजने का एक तरीका ऊंचाई, और न केवल सही है - इसे पिरामिड के आयतन के माध्यम से व्यक्त करना है। जिस सूत्र से आप इसका आयतन ज्ञात कर सकते हैं वह इस प्रकार है:
V = (S*h)/3, जहां S सभी पार्श्व पिरामिडों का कुल क्षेत्रफल है, h इस पिरामिड का क्षेत्रफल है।
फिर इस सूत्र से आप खोजने के लिए एक और सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:
एच = (3*वी)/एस
उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि पिरामिड के पार्श्व चेहरों का क्षेत्रफल 84 सेमी² है, और आयतन 336 घन सेमी है। फिर ढूंढो ऊंचाईआप ऐसा कर सकते हैं:
एच = (3*336)/84 = 12 सेमी
उत्तर: इस पिरामिड की ऊंचाई 12 सेमी है

एक नियमित पिरामिड पर विचार करते हुए, जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज स्थित है, हम इस निष्कर्ष पर पहुँच सकते हैं कि ऊँचाई, विकर्ण के आधे भाग और पिरामिड के एक फलक से बना यह एक समकोण त्रिभुज है (उदाहरण के लिए, यह) उपरोक्त चित्र में त्रिभुज AEG है)। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है (a² = b² + c²)। एक नियमित पिरामिड के मामले में, कर्ण पिरामिड का चेहरा है, एक पैर आधार पर विकर्ण का आधा है, और दूसरा पैर पिरामिड की ऊंचाई है। इस मामले में, किनारों और विकर्णों की गणना की जा सकती है और ऊंचाई. उदाहरण के तौर पर, त्रिभुज AEG पर विचार करें:
AE² = EG²+GA²
यहाँ से ऊंचाईजीए पिरामिड को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
GA = √(AE²-EG²).

इसे और अधिक स्पष्ट करने के लिए कि कैसे खोजें ऊंचाईएक नियमित पिरामिड का, हम एक उदाहरण पर विचार कर सकते हैं: एक नियमित पिरामिड में, चेहरे की लंबाई 12 सेमी है, आधार पर बहुभुज के विकर्ण की लंबाई 8 सेमी है। इन आंकड़ों के आधार पर, आपको खोजने की आवश्यकता है इस पिरामिड की लंबाई। समाधान: 12² = 4² + c², जहां c अज्ञात पैर (ऊंचाई) दिया गया पिरामिड (समकोण त्रिभुज) है।
144 = 16 + 128
इस प्रकार, इस पिरामिड की ऊंचाई √128 या लगभग 11.3 सेमी है

स्रोत:

• नियमित चतुर्भुज पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करें
• गणित में C2 एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों को हल करना

पिरामिड एक जटिल ज्यामितीय निकाय है। यह एक समतल बहुभुज (पिरामिड का आधार) से बनता है, एक बिंदु जो इस बहुभुज (पिरामिड के शीर्ष) के तल में नहीं है और वे सभी खंड जो पिरामिड के आधार के बिंदुओं को जोड़ते हैं शीर्ष। पिरामिड का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

आपको चाहिये होगा

• शासक, पेंसिल और कागज

निर्देश

पिरामिड का आधार एक बहुभुज है। यदि किसी दिए गए बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है, तो बहुभुज की गणना हमें पहले से ज्ञात सूत्र के अनुसार त्रिभुजों को विभाजित करने पर प्राप्त क्षेत्रफलों के योग के रूप में की जा सकती है।

यदि आधार का क्षेत्र समस्या की स्थितियों से अज्ञात है, और केवल आयतन (V) और किनारे की लंबाई (a) दी गई है, तो पिछले चरण के सूत्र में लुप्त चर को बदला जा सकता है इसके समतुल्य द्वारा, किनारे की लंबाई के संदर्भ में व्यक्त किया गया। क्षेत्रफल (जैसा कि आपको याद है, प्रश्न के प्रकार के पिरामिड के आधार पर स्थित है) भुजा की वर्ग लंबाई के तीन गुना के वर्गमूल के गुणनफल के एक चौथाई के बराबर है। पिछले चरण के सूत्र में आधार के क्षेत्रफल के स्थान पर इस अभिव्यक्ति को रखें, और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करें: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3) ).

चूँकि टेट्राहेड्रोन का आयतन किनारे की लंबाई के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, किसी आकृति की ऊंचाई की गणना के लिए सूत्र से सभी चर को हटाया जा सकता है, केवल उसके चेहरे के किनारे को छोड़कर। इस पिरामिड के आयतन की गणना चेहरे की घन लंबाई से दो के वर्गमूल के गुणनफल को 12 से विभाजित करके की जाती है। इस अभिव्यक्ति को पिछले चरण के सूत्र में रखें, और परिणाम प्राप्त करें: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = ए* √⅔ = ⅓*ए*√6.

एक नियमित पिरामिड में, सभी किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी चेहरे समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। ऊंचाई पिरामिडशीर्ष से उसके आधार पर डाला गया लंब है।

ऊंचाई ढूँढना पिरामिडसमस्या विवरण में जो दिया गया है उस पर निर्भर करता है। किसी भी पैरामीटर को खोजने के लिए सूत्रों का उपयोग करें पिरामिडइसकी ऊँचाई का प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, दिया गया: V - आयतन पिरामिड; एस - आधार क्षेत्र. वॉल्यूम फॉर्मूला का प्रयोग करें पिरामिडवी=एसएच/3, जहां एच-ऊंचाई पिरामिड. यह इस प्रकार है: H=3V/S.

उसी दिशा में आगे बढ़ते हुए, यह इस प्रकार है कि यदि आधार का क्षेत्रफल नहीं दिया गया है, तो कुछ मामलों में इसे नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है। अंकन दर्ज करें: पी - आधार का अर्ध-परिधि (यदि भुजाओं की संख्या और एक पक्ष का आकार ज्ञात हो तो अर्ध-परिधि को ढूंढना आसान है); एच - बहुभुज का एपोथेम (एपोथेम से गिराया गया एक लंबवत है) बहुभुज का केंद्र उसकी किसी भी भुजा पर); a बहुभुज की भुजा है; n भुजाओं की संख्या है। इस प्रकार, p=an/2, और S=ph= (an/2)h। यहाँ से यह इस प्रकार है: H=3V/ (an/2) h.

पिरामिड में एपोटेम उसके शीर्ष से किसी एक पार्श्व फलक के आधार तक खींचा गया एक खंड है, यदि खंड इस आधार पर लंबवत है। ऐसी त्रि-आयामी आकृति के पार्श्व चेहरे का आकार हमेशा त्रिकोणीय होता है। इसलिए, यदि एपोथेम की लंबाई की गणना करना आवश्यक है, तो पॉलीहेड्रॉन (पिरामिड) और बहुभुज (त्रिकोण) दोनों के गुणों का उपयोग करने की अनुमति है।

आपको चाहिये होगा

• - पिरामिड के ज्यामितीय पैरामीटर।

निर्देश

पार्श्व फलक के एक त्रिभुज में, एपोथेम (एफ) ऊंचाई है, इसलिए, साइड किनारे (बी) की ज्ञात लंबाई और उसके और उस किनारे के बीच के कोण (γ) के साथ, जिस पर एपोथेम उतारा गया है, आप यह कर सकते हैं त्रिभुज की ऊंचाई की गणना के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करें। दिए गए किनारे की लंबाई को ज्ञात कोण की ज्या से गुणा करें: f = b*sin(γ)। यह किसी भी (या अनियमित) आकार के पिरामिडों पर लागू होता है।

तीनों एपोटेम्स (एफ) में से प्रत्येक की सही गणना करने के लिए, केवल एक पैरामीटर - किनारे की लंबाई (ए) जानना पर्याप्त है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि ऐसे पिरामिड के चेहरों पर समान समबाहु त्रिभुज होते हैं। उनमें से प्रत्येक की ऊंचाई जानने के लिए, किनारे की लंबाई के आधे उत्पाद और तीन के वर्गमूल की गणना करें: f = a*√3/2।

यदि पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल (क्षेत्रों) इसके अतिरिक्त है, तो आयतन आकृति के आधार के साथ इस फलक के उभयनिष्ठ किनारे की लंबाई (ए) जानना पर्याप्त है। इस मामले में, क्षेत्रफल और किनारे की लंबाई के बीच के अनुपात को दोगुना करके एपोटेम (एफ) की लंबाई ज्ञात करें: एफ = 2*एस/ए।

पिरामिड (S) के आधार (p) का कुल सतह क्षेत्रफल जानकर भी हम गणना कर सकते हैं एपोटेम(एफ), लेकिन केवल सही फॉर्म के लिए। सतह क्षेत्र को दोगुना करें और परिणाम को परिधि से विभाजित करें: f = 2*S/p। इस मामले में आधार का आकार कोई मायने नहीं रखता।

यदि स्थितियाँ पार्श्व फलक के किनारों (बी) और दो आसन्न पार्श्व किनारों द्वारा निर्मित कोण (α) का मान देती हैं, तो आधार (एन) के शीर्षों या भुजाओं की संख्या ज्ञात करने की आवश्यकता है। इन प्रारंभिक स्थितियों के तहत, गणना करें एपोटेम(एफ) आधार की भुजाओं की संख्या को ज्ञात कोण की ज्या और पार्श्व किनारे की वर्ग लंबाई से गुणा करना, इसके बाद परिणामी मान को आधे में विभाजित करना: f = n*sin(α)*b²/2।

पिरामिड एक बहुफलक है जिसके आधार पर एक बहुभुज होता है। सभी फलक, बदले में, त्रिभुज बनाते हैं जो एक शीर्ष पर एकत्रित होते हैं। पिरामिड त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय इत्यादि होते हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि आपके सामने कौन सा पिरामिड है, इसके आधार पर कोणों की संख्या गिनना पर्याप्त है। "पिरामिड की ऊंचाई" की परिभाषा अक्सर स्कूली पाठ्यक्रम में ज्यामिति समस्याओं में पाई जाती है। इस लेख में हम इसे खोजने के विभिन्न तरीकों पर गौर करने का प्रयास करेंगे।

पिरामिड के भाग

प्रत्येक पिरामिड में निम्नलिखित तत्व होते हैं:

• पार्श्व फलक, जिसके तीन कोने होते हैं और शीर्ष पर एकत्रित होते हैं;
• एपोथेम उस ऊंचाई का प्रतिनिधित्व करता है जो इसके शीर्ष से उतरती है;
• पिरामिड का शीर्ष एक बिंदु है जो पार्श्व पसलियों को जोड़ता है, लेकिन आधार के तल में स्थित नहीं है;
• आधार एक बहुभुज है जिस पर शीर्ष स्थित नहीं है;
• पिरामिड की ऊंचाई एक खंड है जो पिरामिड के शीर्ष को काटता है और उसके आधार के साथ समकोण बनाता है।

यदि किसी पिरामिड का आयतन ज्ञात है तो उसकी ऊँचाई कैसे ज्ञात करें

पिरामिड के आयतन के सूत्र के माध्यम से V = (S*h)/3 (सूत्र में V आयतन है, S आधार का क्षेत्रफल है, h पिरामिड की ऊंचाई है) हम पाते हैं कि h = (3*वी)/एस. सामग्री को समेकित करने के लिए, आइए समस्या का तुरंत समाधान करें। एक त्रिकोणीय पिरामिड में, आधार का क्षेत्रफल 50 सेमी 2 है, जबकि इसका आयतन 125 सेमी 3 है। त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई अज्ञात है, जिसे हमें खोजने की आवश्यकता है। यहां सब कुछ सरल है: हम डेटा को अपने सूत्र में सम्मिलित करते हैं। हमें h = (3*125)/50 = 7.5 सेमी मिलता है।

यदि विकर्ण और उसके किनारों की लंबाई ज्ञात हो तो पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

जैसा कि हमें याद है, पिरामिड की ऊंचाई उसके आधार के साथ एक समकोण बनाती है। इसका मतलब यह है कि ऊंचाई, किनारा और विकर्ण का आधा भाग मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। बेशक, कई लोग पाइथागोरस प्रमेय को याद करते हैं। दो आयामों को जानने के बाद तीसरी मात्रा ज्ञात करना कठिन नहीं होगा। आइए हम प्रसिद्ध प्रमेय a² = b² + c² को याद करें, जहां a कर्ण है, और हमारे मामले में पिरामिड का किनारा है; बी - विकर्ण का पहला पैर या आधा और सी - क्रमशः, दूसरा पैर, या पिरामिड की ऊंचाई। इस सूत्र से c² = a² - b².

अब समस्या: एक नियमित पिरामिड में विकर्ण 20 सेमी है, जब किनारे की लंबाई 30 सेमी है। आपको ऊंचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है। हम हल करते हैं: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500। इसलिए c = √ 500 = लगभग 22.4।

काटे गए पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

यह एक बहुभुज है जिसका क्रॉस सेक्शन इसके आधार के समानांतर है। एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई वह खंड है जो इसके दो आधारों को जोड़ता है। एक नियमित पिरामिड के लिए ऊँचाई ज्ञात की जा सकती है यदि दोनों आधारों के विकर्णों की लंबाई, साथ ही पिरामिड के किनारे, ज्ञात हों। मान लीजिए कि बड़े आधार का विकर्ण d1 है, जबकि छोटे आधार का विकर्ण d2 है, और किनारे की लंबाई l है। ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आप आरेख के दो ऊपरी विपरीत बिंदुओं से उसके आधार तक की ऊँचाई को कम कर सकते हैं। हम देखते हैं कि हमारे पास दो समकोण त्रिभुज हैं; जो कुछ बचा है वह उनके पैरों की लंबाई ज्ञात करना है। ऐसा करने के लिए, बड़े विकर्ण से छोटे को घटाएं और 2 से विभाजित करें। तो हमें एक पैर मिलेगा: a = (d1-d2)/2। जिसके बाद, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हमें बस दूसरा पैर ढूंढना है, जो पिरामिड की ऊंचाई है।

त्रिकोणीय पिरामिड एक ऐसा पिरामिड है जिसके आधार पर एक त्रिकोण होता है। इस पिरामिड की ऊँचाई वह लम्ब है जो पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक उतारा जाता है।

पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करना

पिरामिड की ऊंचाई कैसे पता करें? बहुत सरल! किसी भी त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, आप आयतन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: V = (1/3)Sh, जहां S आधार का क्षेत्रफल है, V पिरामिड का आयतन है, h इसकी ऊंचाई है। इस सूत्र से, ऊँचाई का सूत्र प्राप्त करें: त्रिकोणीय पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आपको पिरामिड के आयतन को 3 से गुणा करना होगा, और फिर परिणामी मान को आधार के क्षेत्रफल से विभाजित करना होगा, यह होगा: h = (3वी)/एस. चूँकि त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक त्रिभुज है, आप त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यदि हम जानते हैं: त्रिभुज S और उसकी भुजा z का क्षेत्रफल, तो क्षेत्रफल सूत्र S=(1/2)γh के अनुसार: h = (2S)/γ, जहां h पिरामिड की ऊंचाई है, γ त्रिभुज का किनारा है; त्रिभुज की भुजाओं और दोनों भुजाओं के बीच का कोण, फिर निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके: S = (1/2)γφsinQ, जहां γ, φ त्रिभुज की भुजाएं हैं, हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। कोण Q की ज्या का मान ज्या की तालिका में देखने की जरूरत है, जो इंटरनेट पर उपलब्ध है। इसके बाद, हम क्षेत्र मान को ऊंचाई सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: h = (2S)/γ। यदि कार्य में त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई की गणना करने की आवश्यकता है, तो पिरामिड का आयतन पहले से ही ज्ञात है।

नियमित त्रिकोणीय पिरामिड

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करें, अर्थात, एक पिरामिड जिसमें सभी चेहरे समबाहु त्रिकोण हैं, किनारे γ के आकार को जानते हुए। इस मामले में, पिरामिड के किनारे समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ हैं। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई होगी: h = γ√(2/3), जहां γ समबाहु त्रिभुज का किनारा है, h पिरामिड की ऊंचाई है। यदि आधार (एस) का क्षेत्र अज्ञात है, और केवल किनारे की लंबाई (γ) और पॉलीहेड्रॉन की मात्रा (वी) दी गई है, तो पिछले चरण से सूत्र में आवश्यक चर को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए इसके समतुल्य द्वारा, जिसे किनारे की लंबाई के रूप में व्यक्त किया जाता है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल (नियमित) 3 के वर्गमूल द्वारा वर्गित इस त्रिभुज की भुजा की लंबाई के गुणनफल के 1/4 के बराबर है। हम पिछले में आधार के क्षेत्रफल के बजाय इस सूत्र को प्रतिस्थापित करते हैं सूत्र, और हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3)। टेट्राहेड्रोन का आयतन उसके किनारे की लंबाई के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, फिर किसी आकृति की ऊंचाई की गणना करने के सूत्र से, आप सभी चर हटा सकते हैं और आकृति के त्रिकोणीय चेहरे के केवल किनारे को छोड़ सकते हैं। ऐसे पिरामिड के आयतन की गणना उसके फलक की घन लंबाई के गुणनफल को 2 के वर्गमूल से विभाजित करके 12 से विभाजित करके की जा सकती है।

इस अभिव्यक्ति को पिछले सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. इसके अलावा, एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म को एक गोले में अंकित किया जा सकता है, और केवल गोले की त्रिज्या (आर) को जानकर ही टेट्राहेड्रोन की ऊंचाई का पता लगाया जा सकता है। टेट्राहेड्रोन किनारे की लंबाई है: γ = 4R/√6। हम पिछले सूत्र में इस अभिव्यक्ति के साथ चर γ को प्रतिस्थापित करते हैं और सूत्र प्राप्त करते हैं: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3। चतुष्फलक में अंकित वृत्त की त्रिज्या (R) जानकर वही सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। इस स्थिति में, त्रिभुज के किनारे की लंबाई 6 के वर्गमूल और त्रिज्या के बीच 12 अनुपात के बराबर होगी। हम इस अभिव्यक्ति को पिछले सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और हमारे पास है: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

पिरामिड की ऊंचाई की लंबाई कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको यह जानना होगा कि एक नियमित पिरामिड क्या है। चतुर्भुज पिरामिड एक ऐसा पिरामिड है जिसके आधार पर एक चतुर्भुज होता है। यदि समस्या की स्थितियों में हमारे पास है: आयतन (V) और पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल (S), तो बहुफलक की ऊंचाई (h) की गणना करने का सूत्र इस प्रकार होगा - आयतन को गुणा से विभाजित करें क्षेत्र S द्वारा 3 से: h = (3V)/S। दिए गए आयतन (V) और भुजा की लंबाई γ के साथ पिरामिड के वर्गाकार आधार को देखते हुए, पिछले सूत्र में क्षेत्रफल (S) को भुजा की लंबाई के वर्ग से बदलें: S = γ 2; एच = 3V/γ2. एक नियमित पिरामिड की ऊँचाई h = SO आधार के निकट परिचालित वृत्त के ठीक केंद्र से होकर गुजरती है। चूँकि इस पिरामिड का आधार एक वर्ग है, बिंदु O विकर्ण AD और BC का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हमारे पास है: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6। इसके बाद, समकोण त्रिभुज SOC में हम पाते हैं (पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके): SO = √(SC 2 -OC 2)। अब आप जानते हैं कि एक नियमित पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें।

पिरामिड एक बहुफलक है जिसके आधार पर एक बहुभुज होता है। सभी फलक, बदले में, त्रिभुज बनाते हैं जो एक शीर्ष पर एकत्रित होते हैं। पिरामिड त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय इत्यादि होते हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि आपके सामने कौन सा पिरामिड है, इसके आधार पर कोणों की संख्या गिनना पर्याप्त है। "पिरामिड की ऊंचाई" की परिभाषा अक्सर स्कूली पाठ्यक्रम में ज्यामिति समस्याओं में पाई जाती है। इस लेख में हम इसे खोजने के विभिन्न तरीकों पर गौर करने का प्रयास करेंगे।

पिरामिड के भाग

प्रत्येक पिरामिड में निम्नलिखित तत्व होते हैं:

• पार्श्व फलक, जिसके तीन कोने होते हैं और शीर्ष पर एकत्रित होते हैं;
• एपोथेम उस ऊंचाई का प्रतिनिधित्व करता है जो इसके शीर्ष से उतरती है;
• पिरामिड का शीर्ष एक बिंदु है जो पार्श्व पसलियों को जोड़ता है, लेकिन आधार के तल में स्थित नहीं है;
• आधार एक बहुभुज है जिस पर शीर्ष स्थित नहीं है;
• पिरामिड की ऊंचाई एक खंड है जो पिरामिड के शीर्ष को काटता है और उसके आधार के साथ समकोण बनाता है।

यदि किसी पिरामिड का आयतन ज्ञात है तो उसकी ऊँचाई कैसे ज्ञात करें

सूत्र V = (S*h)/3 (सूत्र में V आयतन है, S आधार का क्षेत्रफल है, h पिरामिड की ऊंचाई है) के माध्यम से हम पाते हैं कि h = (3*V)/ एस। सामग्री को समेकित करने के लिए, आइए समस्या का तुरंत समाधान करें। त्रिकोणीय आधार 50 सेमी 2 है, जबकि इसका आयतन 125 सेमी 3 है। त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई अज्ञात है, जिसे हमें खोजने की आवश्यकता है। यहां सब कुछ सरल है: हम डेटा को अपने सूत्र में सम्मिलित करते हैं। हमें h = (3*125)/50 = 7.5 सेमी मिलता है।

यदि विकर्ण और उसके किनारों की लंबाई ज्ञात हो तो पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

जैसा कि हमें याद है, पिरामिड की ऊंचाई उसके आधार के साथ एक समकोण बनाती है। इसका मतलब यह है कि ऊंचाई, किनारा और विकर्ण का आधा हिस्सा मिलकर बनता है कई, बेशक, पाइथागोरस प्रमेय को याद करते हैं। दो आयामों को जानने के बाद तीसरी मात्रा ज्ञात करना कठिन नहीं होगा। आइए हम प्रसिद्ध प्रमेय a² = b² + c² को याद करें, जहां a कर्ण है, और हमारे मामले में पिरामिड का किनारा है; बी - विकर्ण का पहला पैर या आधा और सी - क्रमशः, दूसरा पैर, या पिरामिड की ऊंचाई। इस सूत्र से c² = a² - b².

अब समस्या: एक नियमित पिरामिड में विकर्ण 20 सेमी है, जब किनारे की लंबाई 30 सेमी है। आपको ऊंचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है। हम हल करते हैं: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500। इसलिए c = √ 500 = लगभग 22.4।

काटे गए पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

यह एक बहुभुज है जिसका क्रॉस सेक्शन इसके आधार के समानांतर है। एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई वह खंड है जो इसके दो आधारों को जोड़ता है। एक नियमित पिरामिड के लिए ऊँचाई ज्ञात की जा सकती है यदि दोनों आधारों के विकर्णों की लंबाई, साथ ही पिरामिड के किनारे, ज्ञात हों। मान लीजिए कि बड़े आधार का विकर्ण d1 है, जबकि छोटे आधार का विकर्ण d2 है, और किनारे की लंबाई l है। ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आप आरेख के दो ऊपरी विपरीत बिंदुओं से उसके आधार तक की ऊँचाई को कम कर सकते हैं। हम देखते हैं कि हमारे पास दो समकोण त्रिभुज हैं; जो कुछ बचा है वह उनके पैरों की लंबाई ज्ञात करना है। ऐसा करने के लिए, बड़े विकर्ण से छोटे को घटाएं और 2 से विभाजित करें। तो हमें एक पैर मिलेगा: a = (d1-d2)/2। जिसके बाद, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हमें बस दूसरा पैर ढूंढना है, जो पिरामिड की ऊंचाई है।

आइए अब इस पूरी चीज़ को व्यवहार में देखें। हमारे सामने एक कार्य है। एक काटे गए पिरामिड के आधार पर एक वर्ग है, बड़े आधार की विकर्ण लंबाई 10 सेमी है, जबकि छोटे आधार की विकर्ण लंबाई 6 सेमी है, और किनारा 4 सेमी है। आपको ऊंचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, हम एक पैर पाते हैं: ए = (10-6)/2 = 2 सेमी। एक पैर 2 सेमी के बराबर है, और कर्ण 4 सेमी है। यह पता चला है कि दूसरा पैर या ऊंचाई 16- के बराबर होगी 4 = 12, अर्थात h = √12 = लगभग 3.5 सेमी.

यहां हम आयतन की अवधारणा से संबंधित उदाहरण देखेंगे। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, आपको पिरामिड के आयतन का सूत्र जानना चाहिए:

एस

एच - पिरामिड की ऊंचाई

आधार कोई भी बहुभुज हो सकता है. लेकिन यूनिफ़ाइड स्टेट परीक्षा की अधिकांश समस्याओं में, स्थिति आमतौर पर नियमित पिरामिड के बारे में होती है। मैं आपको इसके एक गुण की याद दिलाना चाहता हूँ:

एक नियमित पिरामिड का शीर्ष उसके आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है

नियमित त्रिकोणीय, चतुर्भुज और षट्कोणीय पिरामिडों के प्रक्षेपण को देखें (शीर्ष दृश्य):

आप ब्लॉग पर जा सकते हैं, जहां पिरामिड का आयतन ज्ञात करने से संबंधित समस्याओं पर चर्चा की गई थी।आइए कार्यों पर विचार करें:

27087. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजाएँ 1 के बराबर हैं और जिसकी ऊँचाई तीन के मूल के बराबर है।

एस– पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच-पिरामिड की ऊंचाई

आइए पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें, यह एक नियमित त्रिभुज है। आइए सूत्र का उपयोग करें - एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है, जिसका अर्थ है:

उत्तर: 0.25

27088. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजाएँ 2 के बराबर हैं और जिसका आयतन तीन के मूल के बराबर है।

पिरामिड की ऊँचाई और उसके आधार की विशेषताएँ जैसी अवधारणाएँ आयतन सूत्र से संबंधित हैं:

एस– पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच-पिरामिड की ऊंचाई

हम स्वयं आयतन जानते हैं, हम आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, क्योंकि हम त्रिभुज की भुजाओं को जानते हैं, जो कि आधार है। संकेतित मानों को जानकर हम आसानी से ऊंचाई ज्ञात कर सकते हैं।

आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं - एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है, जिसका अर्थ है:

इस प्रकार, इन मानों को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करके, हम पिरामिड की ऊंचाई की गणना कर सकते हैं:

ऊंचाई तीन है.

उत्तर: 3

27109. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में ऊँचाई 6 और पार्श्व किनारा 10 है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

पिरामिड के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस– पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच-पिरामिड की ऊंचाई

हम ऊंचाई जानते हैं. आपको आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा। मैं आपको याद दिला दूं कि एक नियमित पिरामिड का शीर्ष उसके आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आधार एक वर्ग है। हम इसका विकर्ण ज्ञात कर सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें (नीले रंग में हाइलाइट किया गया):

वर्ग के केंद्र को बिंदु B से जोड़ने वाला खंड एक पैर है जो वर्ग के आधे विकर्ण के बराबर है। हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इस चरण की गणना कर सकते हैं:

इसका मतलब है BD = 16. आइए चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करें:

इस तरह:

इस प्रकार, पिरामिड का आयतन है:

उत्तर: 256

27178. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में ऊँचाई 12 और आयतन 200 है। इस पिरामिड का पार्श्व किनारा ज्ञात कीजिए।

पिरामिड की ऊंचाई और उसका आयतन ज्ञात है, जिसका अर्थ है कि हम वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, जो आधार है। किसी वर्ग का क्षेत्रफल जानकर हम उसका विकर्ण ज्ञात कर सकते हैं। इसके बाद, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज पर विचार करते हुए, हम पार्श्व किनारे की गणना करते हैं:

आइए वर्ग का क्षेत्रफल (पिरामिड का आधार) ज्ञात करें:

आइए वर्ग के विकर्ण की गणना करें। चूँकि इसका क्षेत्रफल 50 है, भुजा पचास के मूल के बराबर होगी और पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

बिंदु O विकर्ण BD को आधे में विभाजित करता है, जिसका अर्थ है कि समकोण त्रिभुज का पैर OB = 5 है।

इस प्रकार, हम गणना कर सकते हैं कि पिरामिड का पार्श्व किनारा किसके बराबर है:

उत्तर: 13

245353. चित्र में दिखाए गए पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए। इसका आधार एक बहुभुज है, जिसकी आसन्न भुजाएँ लंबवत हैं, और पार्श्व किनारों में से एक आधार के तल के लंबवत है और 3 के बराबर है।

जैसा कि कई बार कहा गया है, पिरामिड के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस– पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल

एच-पिरामिड की ऊंचाई

आधार से लंबवत पार्श्व किनारा तीन के बराबर है, जिसका अर्थ है कि पिरामिड की ऊंचाई तीन है। पिरामिड का आधार एक बहुभुज है जिसका क्षेत्रफल बराबर है:

इस प्रकार:

उत्तर: 27

27086. पिरामिड का आधार एक आयत है जिसकी भुजाएँ 3 और 4 हैं। इसका आयतन 16 है। इस पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।