ई का व्युत्पन्न. ई से एक्स पावर और एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न
दिनांक: 05/10/2015
व्युत्पन्न कैसे खोजें?
विभेदीकरण के नियम.
किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको केवल तीन अवधारणाओं में महारत हासिल करने की आवश्यकता है:
2. विभेदीकरण के नियम.
3. एक जटिल फलन का व्युत्पन्न।
बिल्कुल उसी क्रम में. यह एक संकेत है.)
बेशक, सामान्य रूप से डेरिवेटिव के बारे में एक विचार रखना अच्छा होगा)। डेरिवेटिव क्या है और डेरिवेटिव की तालिका के साथ कैसे काम करना है, यह पिछले पाठ में स्पष्ट रूप से समझाया गया है। यहां हम विभेदीकरण के नियमों से निपटेंगे।
विभेदन व्युत्पन्न खोजने की क्रिया है। इस शब्द के पीछे और कुछ छिपा नहीं है. वे। अभिव्यक्ति "किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें"और "एक फ़ंक्शन को अलग करें"- यह एक ही है।
अभिव्यक्ति "भेदभाव के नियम"व्युत्पन्न खोजने को संदर्भित करता है अंकगणितीय संक्रियाओं से.यह समझ आपके दिमाग में भ्रम से बचने में बहुत मदद करती है।
आइए सभी, सभी, सभी अंकगणितीय परिचालनों पर ध्यान केंद्रित करें और याद रखें। उनमें से चार हैं)। जोड़ (योग), घटाव (अंतर), गुणा (उत्पाद), और भाग (भागफल)। यहाँ वे हैं, भेदभाव के नियम:
प्लेट से पता चलता है पाँचपर नियम चारअंकगणितीय आपरेशनस। मुझे कोई कमी नहीं आई।) यह सिर्फ इतना है कि नियम 4, नियम 3 का एक प्रारंभिक परिणाम है। लेकिन यह इतना लोकप्रिय है कि इसे एक स्वतंत्र सूत्र के रूप में लिखना (और याद रखना!) समझ में आता है।
पदनामों के अंतर्गत यूऔर वीकुछ (बिल्कुल कोई भी!) कार्य निहित हैं यू(एक्स)और वी(एक्स).
आइए कुछ उदाहरण देखें. पहला - सबसे सरल वाले.
फलन y=sinx - x 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए
हम यहाँ है अंतरदो प्राथमिक कार्य. हम नियम 2 लागू करते हैं। हम मान लेंगे कि synx एक फलन है यू, और x 2 फ़ंक्शन है वीहमें लिखने का पूरा अधिकार है:
y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"
यह बेहतर है, है ना?) जो कुछ बचा है वह साइन और एक्स के वर्ग के डेरिवेटिव को ढूंढना है। इस प्रयोजन के लिए डेरिवेटिव की एक तालिका है। हम केवल तालिका में उन कार्यों की तलाश करते हैं जिनकी हमें आवश्यकता है ( सिनक्सऔर एक्स 2), देखें कि उनके पास कौन से व्युत्पन्न हैं और उत्तर लिखें:
y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x
इतना ही। योग विभेदन का नियम 1 बिल्कुल वैसा ही काम करता है।
यदि हमारे पास अनेक शर्तें हों तो क्या होगा? कोई समस्या नहीं।) हम फ़ंक्शन को पदों में तोड़ते हैं और प्रत्येक पद के व्युत्पन्न को दूसरों से स्वतंत्र रूप से खोजते हैं। उदाहरण के लिए:
फलन y=sinx - x 2 +cosx - x +3 का अवकलज ज्ञात कीजिए
हम साहसपूर्वक लिखते हैं:
y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"
पाठ के अंत में मैं अंतर करते समय जीवन को आसान बनाने के लिए युक्तियाँ दूँगा।)
व्यावहारिक सुझाव:
1. विभेदीकरण से पहले, देखें कि क्या मूल कार्य को सरल बनाना संभव है।
2. जटिल उदाहरणों में, हम सभी कोष्ठकों और डैश के साथ समाधान का विस्तार से वर्णन करते हैं।
3. हर में एक स्थिर संख्या के साथ भिन्नों को अलग करते समय, हम विभाजन को गुणन में बदल देते हैं और नियम 4 का उपयोग करते हैं।
गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना व्युत्पन्न और इसकी गणना करने की विधियों के ज्ञान के बिना पूरी तरह से असंभव है। गणितीय विश्लेषण में व्युत्पन्न सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। हमने आज का लेख इस मूलभूत विषय पर समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक और ज्यामितीय अर्थ क्या है, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?
व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ
एक समारोह हो जाये एफ(एक्स) , एक निश्चित अंतराल में निर्दिष्ट (ए, बी) . बिंदु x और x0 इस अंतराल से संबंधित हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क बदलना - उसके मूल्यों में अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा गया है डेल्टा एक्स और इसे तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न की परिभाषा:
किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है, जब तर्क शून्य हो जाता है।
अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? और यहाँ यह है:
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न OX अक्ष और किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।
व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ: समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न सरलरेखीय गति की गति के बराबर है।
दरअसल, स्कूल के दिनों से ही हर कोई जानता है कि गति एक विशेष मार्ग है x=f(t) और समय टी . एक निश्चित अवधि में औसत गति:
किसी समय में गति की गति का पता लगाना टी0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:
नियम एक: एक स्थिरांक निर्धारित करें
स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, यह किया जाना चाहिए. गणित में उदाहरण हल करते समय इसे एक नियम के रूप में लें - यदि आप किसी अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं, तो उसे सरल बनाना सुनिश्चित करें .
उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:
नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न
दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के योग के बराबर होता है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।
हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।
फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न
दो भिन्न कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
समाधान: 
यहां जटिल फलनों के व्युत्पन्नों की गणना के बारे में बात करना महत्वपूर्ण है। एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है और स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न है।
उपरोक्त उदाहरण में हमें यह अभिव्यक्ति मिलती है:
इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पाँचवीं घात से 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।
नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न
दो फलनों के भागफल का अवकलज ज्ञात करने का सूत्र:
हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर खामियां होती हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।
इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। थोड़े समय में, हम आपको सबसे कठिन परीक्षा को हल करने और कार्यों को समझने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी व्युत्पन्न गणना नहीं की हो।
दिनांक: 11/20/2014
व्युत्पन्न क्या है?
डेरिवेटिव की तालिका.
व्युत्पन्न उच्च गणित की मुख्य अवधारणाओं में से एक है। इस पाठ में हम इस अवधारणा का परिचय देंगे। आइए सख्त गणितीय सूत्रों और प्रमाणों के बिना, एक-दूसरे को जानें।
यह परिचित आपको इसकी अनुमति देगा:
डेरिवेटिव के साथ सरल कार्यों का सार समझें;
इन सरलतम कार्यों को सफलतापूर्वक हल करें;
डेरिवेटिव पर अधिक गंभीर पाठों की तैयारी करें।
पहला - एक सुखद आश्चर्य।)
व्युत्पन्न की सख्त परिभाषा सीमा के सिद्धांत पर आधारित है और बात काफी जटिल है। यह परेशान करने वाला है. लेकिन डेरिवेटिव के व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए, एक नियम के रूप में, इतने व्यापक और गहन ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है!
स्कूल और विश्वविद्यालय में अधिकांश कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, यह जानना ही पर्याप्त है बस कुछ शर्तें- कार्य को समझने के लिए, और बस कुछ नियम- इसे हल करने के लिए. बस इतना ही। यह मुझे आनंद देता है।
आइए परिचित होना शुरू करें?)
शर्तें और पदनाम.
प्रारंभिक गणित में कई अलग-अलग गणितीय संक्रियाएँ होती हैं। जोड़, घटाव, गुणा, घातांक, लघुगणक, आदि। यदि आप इन संक्रियाओं में एक और संक्रिया जोड़ दें, तो प्रारंभिक गणित उच्चतर हो जाता है। इस नए ऑपरेशन को कहा जाता है भेदभावइस ऑपरेशन की परिभाषा और अर्थ पर अलग-अलग पाठों में चर्चा की जाएगी।
यहां यह समझना महत्वपूर्ण है कि विभेदन किसी फ़ंक्शन पर केवल एक गणितीय संक्रिया है। हम कोई भी कार्य लेते हैं और कुछ नियमों के अनुसार उसे रूपांतरित करते हैं। परिणाम एक नया कार्य होगा. इस नए फ़ंक्शन को कहा जाता है: व्युत्पन्न.
भेदभाव- किसी फ़ंक्शन पर कार्रवाई.
यौगिक- इस क्रिया का परिणाम.
जैसे, उदाहरण के लिए, जोड़- जोड़ का परिणाम. या निजी-विभाजन का परिणाम.
शर्तों को जानकर, आप कम से कम कार्यों को समझ सकते हैं।) सूत्रीकरण इस प्रकार हैं: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें; व्युत्पन्न ले लो; फ़ंक्शन को अलग करें; व्युत्पन्न की गणना करेंऔर इसी तरह। यह सब है वही।बेशक, अधिक जटिल कार्य भी हैं, जहां व्युत्पन्न (विभेदीकरण) खोजना समस्या को हल करने के चरणों में से एक होगा।
व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के शीर्ष दाईं ओर एक डैश द्वारा दर्शाया गया है। इस कदर: य"या च"(x)या अनुसूचित जनजाति)और इसी तरह।
पढ़ना इग्रेक स्ट्रोक, एक्स से ईएफ स्ट्रोक, टी से ईएस स्ट्रोक,ठीक है, आप समझते हैं...)
एक अभाज्य किसी विशेष फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भी इंगित कर सकता है, उदाहरण के लिए: (2x+3)", (एक्स 3 )" , (सिनक्स)"वगैरह। अक्सर व्युत्पन्नों को विभेदकों का उपयोग करके दर्शाया जाता है, लेकिन हम इस पाठ में ऐसे अंकन पर विचार नहीं करेंगे।
चलिए मान लेते हैं कि हमने कार्यों को समझना सीख लिया है। जो कुछ बचा है वह सीखना है कि उन्हें कैसे हल किया जाए।) मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं: व्युत्पन्न खोजना है कुछ नियमों के अनुसार किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन।हैरानी की बात यह है कि इनमें से बहुत कम नियम हैं।
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको केवल तीन चीज़ें जानने की आवश्यकता है। तीन स्तंभ जिन पर सभी भेदभाव खड़े हैं। यहाँ वे तीन स्तंभ हैं:
1. डेरिवेटिव की तालिका (विभेदीकरण सूत्र)।
3. एक जटिल फलन का व्युत्पन्न।
आइए क्रम से शुरू करें। इस पाठ में हम डेरिवेटिव की तालिका देखेंगे।
डेरिवेटिव की तालिका.
संसार में अनगिनत प्रकार के कार्य हैं। इस सेट में ऐसे कार्य हैं जो व्यावहारिक उपयोग के लिए सबसे महत्वपूर्ण हैं। ये कार्य प्रकृति के सभी नियमों में पाए जाते हैं। इन कार्यों से, जैसे ईंटों से, आप अन्य सभी का निर्माण कर सकते हैं। कार्यों के इस वर्ग को कहा जाता है प्राथमिक कार्य.स्कूल में इन कार्यों का अध्ययन किया जाता है - रैखिक, द्विघात, अतिपरवलय, आदि।
कार्यों का विभेदन "शुरुआत से", अर्थात्। व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमा के सिद्धांत के आधार पर, यह काफी श्रम-गहन बात है। और गणितज्ञ भी लोग हैं, हाँ, हाँ!) इसलिए उन्होंने अपना (और हमारा) जीवन सरल बना दिया। उन्होंने हमसे पहले प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न की गणना की। परिणाम डेरिवेटिव की एक तालिका है, जहां सब कुछ तैयार है।)
यहाँ यह है, सबसे लोकप्रिय कार्यों के लिए यह प्लेट। बाईं ओर एक प्राथमिक कार्य है, दाईं ओर इसका व्युत्पन्न है।
| समारोह य |
फ़ंक्शन y का व्युत्पन्न य" |
|
| 1 | सी (निरंतर मूल्य) | सी" = 0 |
| 2 | एक्स | एक्स" = 1 |
| 3 | x n (n - कोई भी संख्या) | (x n)" = nx n-1 |
| एक्स 2 (एन = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | पाप एक्स | (पाप x)" = cosx |
| क्योंकि x | (क्योंकि x)" = - पाप x | |
| टीजी एक्स |  |
|
| सीटीजी एक्स |  |
|
| 5 | आर्कसिन एक्स |  |
| आर्ककोस एक्स |  |
|
| आर्कटान एक्स |  |
|
| आर्कसीटीजी एक्स |  |
|
| 4 | एएक्स |  |
| इएक्स | ||
| 5 | लकड़ी का लट्ठा एएक्स |  |
| एलएन एक्स ( ए = ई) |
मैं डेरिवेटिव की इस तालिका में कार्यों के तीसरे समूह पर ध्यान देने की सलाह देता हूं। पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सबसे आम सूत्रों में से एक है, यदि सबसे आम नहीं है! क्या आप संकेत समझ गए?) हां, डेरिवेटिव की तालिका को दिल से जानने की सलाह दी जाती है। वैसे, यह उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है। अधिक उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें, तालिका स्वयं याद हो जाएगी!)
जैसा कि आप समझते हैं, व्युत्पन्न का तालिका मान ज्ञात करना सबसे कठिन कार्य नहीं है। इसलिए, अक्सर ऐसे कार्यों में अतिरिक्त चिप्स होते हैं। या तो कार्य के शब्दों में, या मूल फ़ंक्शन में, जो तालिका में प्रतीत नहीं होता है...
आइए कुछ उदाहरण देखें:
1. फलन y = x का अवकलज ज्ञात कीजिए 3
तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है. लेकिन सामान्य रूप (तीसरे समूह) में पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होता है। हमारे मामले में n=3. इसलिए हम n के स्थान पर तीन प्रतिस्थापित करते हैं और परिणाम को ध्यानपूर्वक लिखते हैं:
(एक्स 3) " = 3 एक्स 3-1 = 3x 2
इतना ही।
उत्तर: y" = 3x 2
2. बिंदु x = 0 पर फलन y = synx के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।
इस कार्य का अर्थ है कि आपको पहले साइन का व्युत्पन्न खोजना होगा, और फिर मान को प्रतिस्थापित करना होगा एक्स = 0इसी व्युत्पन्न में. बिल्कुल उसी क्रम में!अन्यथा, ऐसा होता है कि वे मूल फ़ंक्शन में तुरंत शून्य डाल देते हैं... हमें मूल फ़ंक्शन का मान नहीं, बल्कि मान ज्ञात करने के लिए कहा जाता है इसका व्युत्पन्न.व्युत्पन्न, मैं आपको याद दिला दूं, एक नया फ़ंक्शन है।
टैबलेट का उपयोग करके हम साइन और संबंधित व्युत्पन्न पाते हैं:
y" = (sin x)" = cosx
हम व्युत्पन्न में शून्य प्रतिस्थापित करते हैं:
y"(0) = cos 0 = 1
यही उत्तर होगा.
3. फ़ंक्शन को अलग करें:
यह क्या प्रेरित करता है?) डेरिवेटिव की तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है।
मैं आपको याद दिला दूं कि किसी फ़ंक्शन को अलग करने का मतलब केवल इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना है। यदि आप प्राथमिक त्रिकोणमिति को भूल जाते हैं, तो हमारे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करना काफी परेशानी भरा है। तालिका मदद नहीं करती...
लेकिन अगर हम देखें तो हमारा कार्य है द्विकोण कोज्या, तो सब कुछ तुरंत बेहतर हो जाता है!
हां हां! याद रखें कि मूल फ़ंक्शन को बदलना भेदभाव से पहलेबिल्कुल स्वीकार्य! और ऐसा होने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। दोहरे कोण कोज्या सूत्र का उपयोग करना:
वे। हमारा पेचीदा कार्य इससे अधिक कुछ नहीं है y = cosx. और यह एक टेबल फ़ंक्शन है. हमें तुरंत मिलता है:
उत्तर: y" = - पाप x.
उन्नत स्नातकों और छात्रों के लिए उदाहरण:
4. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
निस्संदेह, डेरिवेटिव तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है। लेकिन अगर आपको प्रारंभिक गणित, शक्तियों के साथ संचालन याद है... तो इस फ़ंक्शन को सरल बनाना काफी संभव है। इस कदर:
और x से दसवें की घात पहले से ही एक सारणीबद्ध फलन है! तीसरा समूह, n=1/10. हम सीधे सूत्र के अनुसार लिखते हैं:
बस इतना ही। यही उत्तर होगा.
मुझे आशा है कि विभेदीकरण के पहले स्तंभ - डेरिवेटिव की तालिका - के साथ सब कुछ स्पष्ट है। शेष दो व्हेलों से निपटना बाकी है। अगले पाठ में हम विभेदन के नियम सीखेंगे।
यदि आप परिभाषा का पालन करते हैं, तो किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है Δ यतर्क वृद्धि के लिए Δ एक्स:
सब कुछ साफ नजर आ रहा है. लेकिन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए इस सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करें एफ(एक्स) = एक्स 2 + (2एक्स+3) · इ एक्सपाप एक्स. यदि आप सब कुछ परिभाषा के अनुसार करते हैं, तो गणना के कुछ पृष्ठों के बाद आप बस सो जाएंगे। इसलिए, सरल और अधिक प्रभावी तरीके हैं।
आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि कार्यों की संपूर्ण विविधता से हम तथाकथित प्राथमिक कार्यों को अलग कर सकते हैं। ये अपेक्षाकृत सरल अभिव्यक्तियाँ हैं, जिनके व्युत्पन्नों की गणना और सारणीबद्धता लंबे समय से की गई है। ऐसे कार्यों को याद रखना काफी आसान है - उनके डेरिवेटिव के साथ।
प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न
प्राथमिक कार्य वे सभी नीचे सूचीबद्ध हैं। इन कार्यों के व्युत्पन्नों को हृदय से जानना चाहिए। इसके अलावा, उन्हें याद रखना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है - यही कारण है कि वे प्राथमिक हैं।
तो, प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न:
| नाम | समारोह | यौगिक |
| स्थिर | एफ(एक्स) = सी, सी ∈ आर | 0 (हाँ, शून्य!) |
| तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति | एफ(एक्स) = एक्स एन | एन · एक्स एन − 1 |
| साइनस | एफ(एक्स) = पाप एक्स | ओल एक्स |
| कोज्या | एफ(एक्स) = क्योंकि एक्स | −पाप एक्स(शून्य से साइन) |
| स्पर्शरेखा | एफ(एक्स) = टीजी एक्स | 1/cos 2 एक्स |
| कोटैंजेंट | एफ(एक्स) = सीटीजी एक्स | − 1/पाप 2 एक्स |
| प्राकृतिक | एफ(एक्स) = लॉग एक्स | 1/एक्स |
| मनमाना लघुगणक | एफ(एक्स) = लॉग ए एक्स | 1/(एक्सएल.एन ए) |
| घातांक प्रकार्य | एफ(एक्स) = इ एक्स | इ एक्स(कुछ भी नहीं बदला) |
यदि किसी प्राथमिक फ़ंक्शन को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा किया जाता है, तो नए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना भी आसानी से की जाती है:
(सी · एफ)’ = सी · एफ ’.
सामान्य तौर पर, स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है। उदाहरण के लिए:
(2एक्स 3)' = 2 · ( एक्स 3)' = 2 3 एक्स 2 = 6एक्स 2 .
जाहिर है, प्राथमिक कार्यों को एक-दूसरे से जोड़ा जा सकता है, गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है - और भी बहुत कुछ। इस प्रकार नए कार्य प्रकट होंगे, जो अब विशेष रूप से प्राथमिक नहीं होंगे, बल्कि कुछ नियमों के अनुसार विभेदित भी होंगे। इन नियमों पर नीचे चर्चा की गई है।
योग और अंतर का व्युत्पन्न
फ़ंक्शंस दिए जाएं एफ(एक्स) और जी(एक्स), जिसके व्युत्पन्न हमें ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, आप ऊपर चर्चा किए गए प्राथमिक कार्यों को ले सकते हैं। फिर आप इन कार्यों के योग और अंतर का व्युत्पन्न पा सकते हैं:
- (एफ + जी)’ = एफ ’ + जी ’
- (एफ − जी)’ = एफ ’ − जी ’
तो, दो कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग (अंतर) के बराबर है। और भी शर्तें हो सकती हैं. उदाहरण के लिए, ( एफ + जी + एच)’ = एफ ’ + जी ’ + एच ’.
कड़ाई से कहें तो, बीजगणित में "घटाव" की कोई अवधारणा नहीं है। "नकारात्मक तत्व" की एक अवधारणा है। इसलिए अंतर है एफ − जीयोग के रूप में पुनः लिखा जा सकता है एफ+ (−1) जी, और तब केवल एक सूत्र बचता है - योग का व्युत्पन्न।
एफ(एक्स) = एक्स 2 + पाप एक्स; जी(एक्स) = एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3.
समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का योग है, इसलिए:
एफ ’(एक्स) = (एक्स 2 + पाप एक्स)’ = (एक्स 2)' + (पाप) एक्स)’ = 2एक्स+ क्योंकि x;
हम फ़ंक्शन के लिए इसी तरह तर्क करते हैं जी(एक्स). केवल पहले से ही तीन पद हैं (बीजगणित के दृष्टिकोण से):
जी ’(एक्स) = (एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3)’ = (एक्स 4 + 2एक्स 2 + (−3))’ = (एक्स 4)’ + (2एक्स 2)’ + (−3)’ = 4एक्स 3 + 4एक्स + 0 = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).
उत्तर:
एफ ’(एक्स) = 2एक्स+ क्योंकि x;
जी ’(एक्स) = 4एक्स · ( एक्स
2 + 1).
उत्पाद का व्युत्पन्न
गणित एक तार्किक विज्ञान है, इसलिए बहुत से लोग मानते हैं कि यदि किसी योग का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग के बराबर है, तो उत्पाद का व्युत्पन्न हड़ताल">डेरिवेटिव के उत्पाद के बराबर। लेकिन भाड़ में जाओ! किसी उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना पूरी तरह से अलग सूत्र का उपयोग करके की जाती है। अर्थात्:
(एफ · जी) ’ = एफ ’ · जी + एफ · जी ’
सूत्र सरल है, लेकिन इसे अक्सर भुला दिया जाता है। और न केवल स्कूली बच्चे, बल्कि छात्र भी। परिणाम गलत तरीके से हल की गई समस्याएं हैं।
काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = एक्स 3 क्योंकि x; जी(एक्स) = (एक्स 2 + 7एक्स− 7) · इ एक्स .
समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का उत्पाद है, इसलिए सब कुछ सरल है:
एफ ’(एक्स) = (एक्स 3 कोस एक्स)’ = (एक्स 3)' क्योंकि एक्स + एक्स 3 (को एक्स)’ = 3एक्स 2 कोस एक्स + एक्स 3 (- पाप एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स)
समारोह जी(एक्स) पहला गुणक थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन सामान्य योजना नहीं बदलती है। जाहिर है, फ़ंक्शन का पहला कारक जी(एक्स) एक बहुपद है और इसका व्युत्पन्न योग का व्युत्पन्न है। हमारे पास है:
जी ’(एक्स) = ((एक्स 2 + 7एक्स− 7) · इ एक्स)’ = (एक्स 2 + 7एक्स− 7)' · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स− 7) · ( इ एक्स)’ = (2एक्स+7) · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स− 7) · इ एक्स = इ एक्स· (2 एक्स + 7 + एक्स 2 + 7एक्स −7) = (एक्स 2 + 9एक्स) · इ एक्स = एक्स(एक्स+9) · इ एक्स .
उत्तर:
एफ ’(एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स);
जी ’(एक्स) = एक्स(एक्स+9) · इ
एक्स
.
कृपया ध्यान दें कि अंतिम चरण में व्युत्पन्न को गुणनखंडित किया जाता है। औपचारिक रूप से, ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन अधिकांश डेरिवेटिव की गणना स्वयं नहीं की जाती है, बल्कि फ़ंक्शन की जांच करने के लिए की जाती है। इसका मतलब यह है कि आगे व्युत्पन्न को शून्य के बराबर किया जाएगा, इसके संकेत निर्धारित किए जाएंगे, इत्यादि। ऐसे मामले के लिए, अभिव्यक्ति को गुणनखंडित करना बेहतर है।
यदि दो कार्य हैं एफ(एक्स) और जी(एक्स), और जी(एक्स) ≠ 0 जिस सेट में हमारी रुचि है, हम एक नया फ़ंक्शन परिभाषित कर सकते हैं एच(एक्स) = एफ(एक्स)/जी(एक्स). ऐसे फ़ंक्शन के लिए आप व्युत्पन्न भी पा सकते हैं:
कमज़ोर नहीं, हुह? माइनस कहां से आया? क्यों जी 2? और इस तरह! यह सबसे जटिल फ़ार्मुलों में से एक है - आप इसे बोतल के बिना नहीं समझ सकते। इसलिए, विशिष्ट उदाहरणों के साथ इसका अध्ययन करना बेहतर है।
काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:
प्रत्येक भिन्न के अंश और हर में प्रारंभिक कार्य होते हैं, इसलिए हमें भागफल के व्युत्पन्न के लिए केवल सूत्र की आवश्यकता होती है:
परंपरा के अनुसार, आइए अंश का गुणनखंड करें - इससे उत्तर बहुत सरल हो जाएगा:
एक जटिल फ़ंक्शन आवश्यक रूप से आधा किलोमीटर लंबा सूत्र नहीं है। उदाहरण के लिए, यह फ़ंक्शन लेने के लिए पर्याप्त है एफ(एक्स) = पाप एक्सऔर वेरिएबल को बदलें एक्स, कहो, पर एक्स 2 + एल.एन एक्स. हो जाएगा एफ(एक्स) = पाप ( एक्स 2 + एल.एन एक्स) - यह एक जटिल कार्य है। इसका एक व्युत्पन्न भी है, लेकिन ऊपर चर्चा किए गए नियमों का उपयोग करके इसे ढूंढना संभव नहीं होगा।
मुझे क्या करना चाहिए? ऐसे मामलों में, किसी जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए एक चर और सूत्र को बदलने से मदद मिलती है:
एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी', अगर एक्सद्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है टी(एक्स).
एक नियम के रूप में, इस सूत्र को समझने की स्थिति भागफल के व्युत्पन्न से भी अधिक दुखद है। इसलिए, प्रत्येक चरण के विस्तृत विवरण के साथ, विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके इसे समझाना भी बेहतर है।
काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = इ 2एक्स + 3 ; जी(एक्स) = पाप ( एक्स 2 + एल.एन एक्स)
ध्यान दें कि यदि फ़ंक्शन में एफ(एक्स) अभिव्यक्ति 2 के स्थान पर एक्स+3 आसान होगा एक्स, तो हमें एक प्राथमिक कार्य मिलता है एफ(एक्स) = इ एक्स. इसलिए, हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: चलो 2 एक्स + 3 = टी, एफ(एक्स) = एफ(टी) = इ टी. हम सूत्र का उपयोग करके एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं:
एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (इ टी)’ · टी ’ = इ टी · टी ’
और अब - ध्यान! हम उलटा प्रतिस्थापन करते हैं: टी = 2एक्स+3. हमें मिलता है:
एफ ’(एक्स) = इ टी · टी ’ = इ 2एक्स+3(2 एक्स + 3)’ = इ 2एक्स+ 3 2 = 2 इ 2एक्स + 3
अब आइए फ़ंक्शन पर नजर डालें जी(एक्स). जाहिर है इसे बदलने की जरूरत है एक्स 2 + एल.एन एक्स = टी. हमारे पास है:
जी ’(एक्स) = जी ’(टी) · टी' = (पाप टी)’ · टी' = क्योंकि टी · टी ’
उलटा प्रतिस्थापन: टी = एक्स 2 + एल.एन एक्स. तब:
जी ’(एक्स) = क्योंकि ( एक्स 2 + एल.एन एक्स) · ( एक्स 2 + एल.एन एक्स)' = क्योंकि ( एक्स 2 + एल.एन एक्स) · (2 एक्स + 1/एक्स).
बस इतना ही! जैसा कि अंतिम अभिव्यक्ति से देखा जा सकता है, पूरी समस्या व्युत्पन्न योग की गणना करने के लिए कम हो गई है।
उत्तर:
एफ ’(एक्स) = 2· इ
2एक्स + 3 ;
जी ’(एक्स) = (2एक्स + 1/एक्स) क्योंकि ( एक्स 2 + एल.एन एक्स).
मैं अक्सर अपने पाठों में "व्युत्पन्न" शब्द के बजाय "प्राइम" शब्द का उपयोग करता हूँ। उदाहरण के लिए, योग का स्ट्रोक स्ट्रोक के योग के बराबर होता है। क्या यह अधिक स्पष्ट है? अच्छा, यह तो अच्छी बात है।
इस प्रकार, ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार व्युत्पन्न की गणना इन्हीं स्ट्रोक से छुटकारा पाने के लिए आती है। अंतिम उदाहरण के रूप में, आइए एक तर्कसंगत घातांक के साथ व्युत्पन्न शक्ति पर वापस लौटें:
(एक्स एन)’ = एन · एक्स एन − 1
इस भूमिका के बारे में कम ही लोग जानते हैं एनयह एक भिन्नात्मक संख्या भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, जड़ है एक्स 0.5. अगर जड़ के नीचे कुछ फैंसी हो तो क्या होगा? फिर, परिणाम एक जटिल कार्य होगा - वे परीक्षणों और परीक्षाओं में ऐसे निर्माण देना पसंद करते हैं।
काम। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
सबसे पहले, आइए मूल को एक तर्कसंगत घातांक के साथ घात के रूप में फिर से लिखें:
एफ(एक्स) = (एक्स 2 + 8एक्स − 7) 0,5 .
अब हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: चलो एक्स 2 + 8एक्स − 7 = टी. हम सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न पाते हैं:
एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (टी 0.5)' · टी' = 0.5 · टी−0.5 · टी ’.
आइए उलटा प्रतिस्थापन करें: टी = एक्स 2 + 8एक्स− 7. हमारे पास है:
एफ ’(एक्स) = 0.5 · ( एक्स 2 + 8एक्स− 7) −0.5 · ( एक्स 2 + 8एक्स− 7)' = 0.5 · (2 एक्स+8)( एक्स 2 + 8एक्स − 7) −0,5 .
अंत में, जड़ों की ओर वापस जाएँ:
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