1 kvadratinė lygtis. Kvadratinių lygčių sprendimas: šaknies formulė, pavyzdžiai

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 arba x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Išmokus spręsti pirmojo laipsnio lygtis, žinoma, norisi dirbti su kitais, ypač su antrojo laipsnio lygtimis, kurios kitaip vadinamos kvadratinėmis.

Kvadratinės lygtys- tai ax² + bx + c = 0 tipo lygtys, kur kintamasis yra x, skaičiai yra a, b, c, kur a nėra lygus nuliui.

Jei kvadratinėje lygtyje vienas ar kitas koeficientas (c arba b) yra lygus nuliui, tada ši lygtis bus klasifikuojama kaip nepilna kvadratinė lygtis.

Kaip išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, jei studentai iki šiol sugebėjo išspręsti tik pirmojo laipsnio lygtis? Apsvarstykite nepilnas kvadratines lygtis skirtingi tipai ir paprastų būdų juos išspręsti.

a) Jei koeficientas c lygus 0, o koeficientas b nelygus nuliui, tada ax ² + bx + 0 = 0 redukuojama į lygtį, kurios forma yra ax ² + bx = 0.

Norint išspręsti tokią lygtį, reikia žinoti nepilnos kvadratinės lygties sprendimo formulę, kurią sudaro kairiosios jos pusės faktorinavimas ir vėliau sąlyga, kad sandauga yra lygi nuliui.

Pavyzdžiui, 5x² - 20x = 0. Kairiąją lygties pusę koeficientuojame, atlikdami įprastą matematinį veiksmą: bendrąjį koeficientą išimame iš skliaustų

5x (x - 4) = 0

Mes naudojame sąlygą, kad produktai yra lygūs nuliui.

5 x = 0 arba x - 4 = 0

Atsakymas bus toks: pirmoji šaknis yra 0; antroji šaknis yra 4.

b) Jei b = 0, o laisvasis narys nėra lygus nuliui, tai lygtis ax ² + 0x + c = 0 redukuojama į lygtį, kurios formos ax ² + c = 0. Lygtys sprendžiamos dviem būdais. : a) skaičiuojant kairėje pusėje esančios lygties daugianarį ; b) naudojant aritmetikos savybes kvadratinė šaknis. Tokią lygtį galima išspręsti vienu iš būdų, pavyzdžiui:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Atsakymas bus toks: pirmoji šaknis yra 5/2; antroji šaknis lygi - 5/2.

c) Jei b lygus 0, o c lygus 0, tai ax ² + 0 + 0 = 0 redukuojama į lygtį, kurios forma yra ax ² = 0. Tokioje lygtyje x bus lygus 0.

Kaip matote, nepilnos kvadratinės lygtys gali turėti ne daugiau kaip dvi šaknis.

Daugiau paprastu būdu. Norėdami tai padaryti, įdėkite z iš skliaustų. Gausite: z(аz + b) = 0. Veiksnius galima užrašyti: z=0 ir аz + b = 0, nes abu gali baigtis nuliu. Žymėjime az + b = 0 antrąjį perkeliame į dešinę su kitu ženklu. Iš čia gauname z1 = 0 ir z2 = -b/a. Tai yra originalo šaknys.

Jei yra nepilna lygtis, kurios formos аz² + с = 0, in tokiu atveju randami tiesiog perkeliant laisvą terminą į dešinioji pusė lygtys Taip pat pakeiskite jo ženklą. Rezultatas bus az² = -с. Išreikškite z² = -c/a. Paimkite šaknį ir užrašykite du sprendinius – teigiamą ir neigiamą kvadratinę šaknį.

pastaba

Jei lygtyje yra trupmeninių koeficientų, padauginkite visą lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad pašalintumėte trupmenas.

Žinios, kaip spręsti kvadratines lygtis, reikalingos ir moksleiviams, ir studentams, kartais tai gali padėti ir suaugusiajam kasdieniame gyvenime. Yra keletas specifinių sprendimo būdų.

Kvadratinių lygčių sprendimas

A*x^2+b*x+c=0 formos kvadratinė lygtis. Koeficientas x – norimas kintamasis, a, b, c – skaitiniai koeficientai. Atminkite, kad „+“ ženklas gali pasikeisti į „-“.

Norint išspręsti šią lygtį, reikia panaudoti Vietos teoremą arba rasti diskriminantą. Labiausiai paplitęs metodas yra rasti diskriminantą, nes kai kurioms a, b, c reikšmėms negalima naudoti Vietos teoremos.

Norint rasti diskriminantą (D), reikia parašyti formulę D=b^2 - 4*a*c. D reikšmė gali būti didesnė už, mažesnė už nulį arba lygi nuliui. Jei D yra didesnis arba mažesnis už nulį, tada bus dvi šaknys, jei D = 0, tada lieka tik viena šaknis, tiksliau galime pasakyti, kad D šiuo atveju yra dvi lygiavertės šaknys. Į formulę pakeiskite žinomus koeficientus a, b, c ir apskaičiuokite reikšmę.

Suradę diskriminantą, naudokite formules, kad surastumėte x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, kur sqrt yra funkcija, reiškianti paimti kvadratinę šaknį duotas numeris. Apskaičiavę šias išraiškas, rasite dvi savo lygties šaknis, po kurių lygtis laikoma išspręsta.

Jei D yra mažesnis už nulį, jis vis tiek turi šaknis. Šis skyrius mokykloje praktiškai nesimokomas. Universiteto studentai turėtų žinoti, kad po šaknimi yra neigiamas skaičius. Jie jo atsikrato paryškindami įsivaizduojamą dalį, tai yra, -1 po šaknimi visada yra lygus įsivaizduojamam elementui „i“, kuris padauginamas iš šaknies su tuo pačiu teigiamu skaičiumi. Pavyzdžiui, jei D=sqrt(-20), po transformacijos gauname D=sqrt(20)*i. Po šios transformacijos lygties sprendimas sumažinamas iki to paties šaknų radimo, kaip aprašyta aukščiau.

Vietos teorema susideda iš x(1) ir x(2) reikšmių pasirinkimo. Naudojamos dvi identiškos lygtys: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Ir labai svarbus punktas yra ženklas prieš koeficientą b, atminkite, kad šis ženklas yra priešingas lygties ženklui. Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad apskaičiuoti x(1) ir x(2) yra labai paprasta, tačiau sprendžiant susidursite su tuo, kad teks atsirinkti skaičius.

Kvadratinių lygčių sprendimo elementai

Pagal matematikos taisykles kai kurios gali būti suskirstytos į koeficientus: (a+x(1))*(b-x(2))=0, jei jums pavyko šią kvadratinę lygtį transformuoti panašiai naudojant matematines formules, tai drąsiai užrašykite atsakymą. x(1) ir x(2) bus lygūs gretimiems skliaustuose esantiems koeficientams, bet su priešingu ženklu.

Taip pat nepamirškite apie neišsamias kvadratines lygtis. Gali būti, kad trūksta kai kurių terminų; jei taip, tada visi jo koeficientai yra tiesiog lygūs nuliui. Jei prieš x^2 arba x nieko nėra, tada koeficientai a ir b yra lygūs 1.

Ši tema iš pradžių gali pasirodyti sudėtinga dėl daugybės ne tokių paprastų formulių. Ne tik pačios kvadratinės lygtys turi ilgus žymėjimus, bet ir šaknys randamos per diskriminantą. Iš viso gaunamos trys naujos formulės. Nelabai lengva prisiminti. Tai įmanoma tik dažnai sprendžiant tokias lygtis. Tada visos formulės įsimins pačios.

Bendras kvadratinės lygties vaizdas

Čia mes siūlome jų aiškų įrašymą, kai daugiausia aukštas laipsnis pirmiausia parašyta, o tada mažėjančia tvarka. Dažnai pasitaiko situacijų, kai sąlygos yra nesuderinamos. Tada geriau perrašyti lygtį kintamojo laipsnio mažėjimo tvarka.

Leiskite pristatyti kai kuriuos užrašus. Jie pateikiami toliau esančioje lentelėje.

Jei priimsime šiuos žymėjimus, visos kvadratinės lygtys bus sumažintos iki tokio žymėjimo.

Be to, koeficientas a ≠ 0. Ši formulė bus pažymėta numeriu vienas.

Kai pateikiama lygtis, neaišku, kiek šaknų bus atsakyme. Kadangi visada galimas vienas iš trijų variantų:

• tirpalas turės dvi šaknis;
• atsakymas bus vienas skaičius;
• lygtis iš viso neturės šaknų.

O kol sprendimas nėra galutinai priimtas, sunku suprasti, koks variantas atsiras konkrečiu atveju.

Kvadratinių lygčių įrašų tipai

Užduotyse gali būti skirtingų įrašų. Jie ne visada atrodys kaip bendrosios kvadratinės lygties formulė. Kartais trūksta kai kurių terminų. Tai, kas buvo parašyta aukščiau, yra visa lygtis. Jei pašalinsite antrą ar trečią terminą, gausite ką nors kita. Šie įrašai dar vadinami kvadratinėmis lygtimis, tik nepilnais.

Be to, gali išnykti tik terminai su koeficientais „b“ ir „c“. Skaičius „a“ jokiomis aplinkybėmis negali būti lygus nuliui. Nes šiuo atveju formulė tampa tiesinė lygtis. Neišsamios lygčių formos formulės bus tokios:

Taigi, yra tik du tipai; be pilnųjų, yra ir nepilnų kvadratinių lygčių. Tegul pirmoji formulė yra du, o antroji - trys.

Diskriminantas ir šaknų skaičiaus priklausomybė nuo jo vertės

Norėdami apskaičiuoti lygties šaknis, turite žinoti šį skaičių. Jį visada galima apskaičiuoti, nesvarbu, kokia būtų kvadratinės lygties formulė. Norėdami apskaičiuoti diskriminantą, turite naudoti žemiau parašytą lygybę, kurios skaičius bus ketvirtas.

Pakeitę koeficientų reikšmes į šią formulę, galite gauti skaičius skirtingi ženklai. Jei atsakymas yra teigiamas, atsakymas į lygtį bus dvi skirtingos šaknys. Jei skaičius neigiamas, kvadratinės lygties šaknų nebus. Jei jis lygus nuliui, bus tik vienas atsakymas.

Kaip išspręsti pilną kvadratinę lygtį?

Tiesą sakant, šis klausimas jau pradėtas svarstyti. Nes pirmiausia reikia rasti diskriminantą. Nustačius, kad yra kvadratinės lygties šaknys ir žinomas jų skaičius, reikia naudoti kintamųjų formules. Jei yra dvi šaknys, tuomet reikia taikyti šią formulę.

Kadangi jame yra ženklas „±“, bus dvi reikšmės. Po kvadratinės šaknies ženklu esanti išraiška yra diskriminantas. Todėl formulę galima perrašyti kitaip.

Penkta formulė. Iš to paties įrašo aišku, kad jei diskriminantas yra lygus nuliui, tada abi šaknys įgis tas pačias reikšmes.

Jei kvadratinių lygčių sprendimas dar neišspręstas, prieš taikant diskriminacines ir kintamąsias formules geriau užsirašyti visų koeficientų reikšmes. Vėliau šis momentas nesukels sunkumų. Tačiau pačioje pradžioje kyla painiava.

Kaip išspręsti nepilną kvadratinę lygtį?

Čia viskas daug paprasčiau. Papildomų formulių net nereikia. O tų, kurie jau buvo užrašyti diskriminantui ir nežinomam, neprireiks.

Pirma, pažvelkime į nepilną lygtį numeris du. Šioje lygybėje reikia iš skliaustų išimti nežinomą kiekį ir išspręsti tiesinę lygtį, kuri liks skliausteliuose. Atsakymas turės dvi šaknis. Pirmasis būtinai lygus nuliui, nes yra daugiklis, susidedantis iš paties kintamojo. Antrasis bus gautas sprendžiant tiesinę lygtį.

Neišsami lygtis numeris trys išsprendžiamas perkeliant skaičių iš kairės lygybės pusės į dešinę. Tada reikia padalyti iš koeficiento, nukreipto į nežinomybę. Belieka ištraukti kvadratinę šaknį ir nepamiršti du kartus užsirašyti priešingais ženklais.

Žemiau pateikiami keli žingsniai, kurie padės išmokti išspręsti visų rūšių lygybes, kurios virsta kvadratinėmis lygtimis. Jie padės mokiniui išvengti klaidų dėl neatidumo. Šie trūkumai gali lemti prastus pažymius studijuojant plačią temą „Kvadratinės lygtys (8 klasė). Vėliau šių veiksmų nereikės atlikti nuolat. Nes atsiras stabilus įgūdis.

• Pirmiausia turite parašyti lygtį standartine forma. Tai yra, pirmiausia terminas su didžiausiu kintamojo laipsniu, o tada - be laipsnio, o paskutinis - tik skaičius.

• Jei prieš koeficientą „a“ atsiranda minusas, pradedančiajam, studijuojančiam kvadratines lygtis, tai gali apsunkinti darbą. Geriau jo atsikratyti. Šiuo tikslu visa lygybė turi būti padauginta iš „-1“. Tai reiškia, kad visi terminai pakeis ženklą į priešingą.

• Taip pat rekomenduojama atsikratyti frakcijų. Tiesiog padauginkite lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad vardikliai panaikintų.

Pavyzdžiai

Būtina išspręsti šias kvadratines lygtis:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmoji lygtis: x 2 − 7x = 0. Ji yra nepilna, todėl išspręsta taip, kaip aprašyta formulėje numeris antroji.

Išėmus jį iš skliaustų, paaiškėja: x (x - 7) = 0.

Pirmoji šaknis įgauna reikšmę: x 1 = 0. Antroji bus rasta iš tiesinės lygties: x - 7 = 0. Nesunku pastebėti, kad x 2 = 7.

Antroji lygtis: 5x 2 + 30 = 0. Vėlgi nepilna. Tik ji išspręsta taip, kaip aprašyta trečiojoje formulėje.

Perkėlus 30 į dešinę lygties pusę: 5x 2 = 30. Dabar reikia padalyti iš 5. Pasirodo: x 2 = 6. Atsakymai bus skaičiai: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Trečioji lygtis: 15 − 2x − x 2 = 0. Čia ir toliau kvadratinių lygčių sprendimas prasidės perrašant jas standartine forma: − x 2 − 2x + 15 = 0. Dabar atėjo laikas naudoti antrąją naudingų patarimų ir padauginkite viską iš minus vieno. Pasirodo x 2 + 2x - 15 = 0. Naudojant ketvirtąją formulę reikia apskaičiuoti diskriminantą: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Tai teigiamas skaičius. Iš to, kas pasakyta aukščiau, paaiškėja, kad lygtis turi dvi šaknis. Juos reikia apskaičiuoti naudojant penktąją formulę. Pasirodo, x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada x 1 = 3, x 2 = - 5.

Ketvirtoji lygtis x 2 + 8 + 3x = 0 paverčiama taip: x 2 + 3x + 8 = 0. Jos diskriminantas lygus šiai reikšmei: -23. Kadangi šis skaičius yra neigiamas, atsakymas į šią užduotį bus toks: „Šaknų nėra“.

Penktąją lygtį 12x + x 2 + 36 = 0 reikia perrašyti taip: x 2 + 12x + 36 = 0. Pritaikius diskriminanto formulę, gaunamas skaičius nulis. Tai reiškia, kad jis turės vieną šaknį, būtent: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Šeštoji lygtis (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) reikalauja transformacijų, kurios susideda iš to, kad reikia pateikti panašius terminus, pirmiausia atidarant skliaustus. Vietoj pirmosios bus tokia išraiška: x 2 + 2x + 1. Po lygybės pasirodys šis įrašas: x 2 + 3x + 2. Suskaičiavus panašius narius, lygtis bus tokia: x 2 - x = 0. Jis tapo nepilnas . Kažkas panašaus jau buvo aptarta šiek tiek aukščiau. To šaknys bus skaičiai 0 ir 1.

Tegu duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0.
Taikykime kvadratiniam trinariui ax 2 + bx + c tas pačias transformacijas, kurias atlikome § 13, kai įrodėme teoremą, kad funkcijos y = ax 2 + bx + c grafikas yra parabolė.
Mes turime

Paprastai išraiška b 2 - 4ac žymima raide D ir vadinama kvadratinės lygties ax 2 + bx + c = 0 diskriminantu (arba diskriminantu kvadratinis trinaris ax + bx + c).

Taigi

Tai reiškia, kad kvadratinė lygtis ax 2 + jie + c = O gali būti perrašyta forma

Bet kurią kvadratinę lygtį galima paversti forma (1), o tai patogu, kaip dabar matysime, norint nustatyti kvadratinės lygties šaknų skaičių ir rasti šias šaknis.

Įrodymas. Jeigu D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время kairė pusė(1) lygtis paima neneigiamas reikšmes bet kuriai x vertei. Tai reiškia, kad nėra vienos x reikšmės, kuri patenkintų (1) lygtį, todėl (1) lygtis neturi šaknų.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Sprendimas. Čia a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Kadangi D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Įrodymas. Jei D = 0, tada (1) lygtis įgauna formą

yra vienintelė lygties šaknis.

1 pastaba. Ar prisimenate, kad x = - yra parabolės viršūnės abscisė, kuri yra funkcijos y = ax 2 + jie + c grafikas? Kodėl tai
reikšmė pasirodė esanti vienintelė kvadratinės lygties šaknis ax 2 + jie + c - 0? „Karstas“ atsidaro paprastai: jei D yra 0, tada, kaip nustatėme anksčiau,

Tos pačios funkcijos grafikas yra parabolė, kurios viršūnė yra taške (žr., pavyzdžiui, 98 pav.). Tai reiškia, kad parabolės viršūnės abscisė ir vienintelė kvadratinės lygties šaknis, kai D = 0, yra tas pats skaičius.

2 pavyzdys. Išspręskite lygtį 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Sprendimas. Čia a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

Kadangi D = 0, tai pagal 2 teoremą ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. Ši šaknis randama pagal formulę

Atsakymas: 2.5.

Užrašas 2. Atminkite, kad 4x 2 - 20x +25 yra tobulas kvadratas: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Jei būtume tai pastebėję iš karto, lygtį būtume išsprendę taip: (2x - 5) 2 = 0, vadinasi, 2x - 5 = 0, iš kurios gauname x = 2,5. Apskritai, jei D = 0, tada

ax 2 + bx + c = – tai pažymėjome anksčiau 1 pastaboje.
Jei D > 0, tai kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0 turi dvi šaknis, kurios randamos pagal formules

Įrodymas. Perrašykime kvadratinę lygtį ax 2 + b x + c = 0 į formą (1)

Padėkime
Pagal sąlygą D > 0, o tai reiškia, kad dešinioji lygties pusė yra teigiamas skaičius. Tada iš (2) lygties gauname tai

Taigi duota kvadratinė lygtis turi dvi šaknis:

3 pastaba. Matematikoje retai pasitaiko, kad įvestas terminas neturi, vaizdžiai tariant, kasdieninio fono. Imkimės kažko naujo
sąvoka – diskriminuojanti. Prisiminkite žodį „diskriminacija“. Ką tai reiškia? Tai reiškia vienų pažeminimą, o kitų – išaukštinimą, t.y. kitoks požiūris
įvairiems žmonėms. Abu žodžiai (diskriminuojantis ir diskriminuojantis) kilę iš lotyniško žodžio discriminan – „diskriminuojantis“. Diskriminantas išskiria kvadratines lygtis pagal šaknų skaičių.

3 pavyzdys. Išspręskite lygtį 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Sprendimas. Čia a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Kadangi D > 0, tai pagal 3 teoremą ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Šios šaknys randamos pagal (3) formules.

Tiesą sakant, mes sukūrėme tokią taisyklę:

Lygties sprendimo taisyklė
ax 2 + bx + c = 0

Ši taisyklė yra universali, ji taikoma tiek pilnoms, tiek nepilnoms kvadratinėms lygtims. Tačiau nepilnos kvadratinės lygtys paprastai nėra išsprendžiamos naudojant šią taisyklę, patogiau jas išspręsti, kaip darėme ankstesnėje pastraipoje.

4 pavyzdys. Išspręskite lygtis:

a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Sprendimas. a) Čia a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Kadangi D > 0, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Šias šaknis randame naudodami formules (3)

B) Kaip rodo patirtis, patogiau nagrinėti kvadratines lygtis, kuriose pirmaujantis koeficientas yra teigiamas. Todėl pirmiausia abi lygties puses padauginame iš -1, gauname

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Čia a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Kadangi D = 0, ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. Ši šaknis randama pagal formulę x = -. Reiškia,

Šią lygtį būtų galima išspręsti kitaip: kadangi
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, tada gauname lygtį (Зх - I) 2 = 0, iš kur randame Зх - 1 = 0, t.y. x = .

c) Čia a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5 = 1 - 28 = - 27. Kadangi D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematikai – praktiški, ekonomiški žmonės. Kodėl, sakoma, kvadratinei lygčiai išspręsti naudojama tokia ilga taisyklė, geriau iš karto parašyti bendrą formulę:

Jei paaiškėja, kad diskriminantas D = b 2 - 4ac yra neigiamas skaičius, tai parašyta formulė neturi prasmės (po kvadratinės šaknies ženklu yra neigiamas skaičius), vadinasi, nėra šaknų. Jei paaiškėja, kad diskriminantas yra lygus nuliui, tada gauname

Tai yra, viena šaknis (jie taip pat sako, kad kvadratinė lygtis šiuo atveju turi dvi identiškas šaknis:

Galiausiai, jei paaiškėja, kad b 2 - 4ac > 0, tada gauname dvi šaknis x 1 ir x 2, kurios apskaičiuojamos naudojant tas pačias formules (3), kaip nurodyta aukščiau.

Pats skaičius šiuo atveju yra teigiamas (kaip ir bet kuri kvadratinė šaknis iš teigiamo skaičiaus), o prieš jį esantis dvigubas ženklas reiškia, kad vienu atveju (kai randama x 1) šis teigiamas skaičius pridedamas prie skaičiaus - b, ir kitu atveju (kai randama x 2) tai yra teigiamas skaičius
skaityti iš skaičiaus - b.

Jūs turite pasirinkimo laisvę. Ar norite išsamiai išspręsti kvadratinę lygtį naudodami aukščiau suformuluotą taisyklę; Jei norite, iš karto užsirašykite (4) formulę ir naudokite ją, kad padarytumėte reikiamas išvadas.

5 pavyzdys. Išspręskite lygtis:

Sprendimas, a) Žinoma, galite naudoti (4) arba (3) formules, atsižvelgiant į tai, kad šiuo atveju Bet kam daryti dalykus su trupmenomis, kai lengviau ir, svarbiausia, maloniau tvarkyti sveikuosius skaičius? Atsikratykime vardiklių. Norėdami tai padaryti, turite padauginti abi lygties puses iš 12, tai yra, iš mažiausio bendrųjų trupmenų, kurie naudojami kaip lygties koeficientai, vardiklio. Mes gauname

iš kur 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Dabar naudokime formulę (4)

B) Vėl turime lygtį su trupmeniniais koeficientais: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Padauginkime abi lygties puses iš 100, tada gausime lygtį su sveikųjų skaičių koeficientais:
300 x 2 – 20 x + 277 = 0.
Tada naudojame formulę (4):

Paprastas skaičiavimas rodo, kad diskriminantas (radikalioji išraiška) yra neigiamas skaičius. Tai reiškia, kad lygtis neturi šaknų.

6 pavyzdys. Išspręskite lygtį
Sprendimas. Čia, skirtingai nei ankstesniame pavyzdyje, geriau veikti pagal taisyklę, o ne pagal sutrumpintą formulę (4).

Turime a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Kadangi D > 0, kvadratinė lygtis turi dvi šaknis, kurių ieškosime naudodami formules (3)

7 pavyzdys. Išspręskite lygtį
x 2 – (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

Sprendimas. Ši kvadratinė lygtis skiriasi nuo visų iki šiol nagrinėtų kvadratinių lygčių tuo, kad koeficientai nėra konkretūs skaičiai, o pažodiniai posakiai. Tokios lygtys vadinamos lygtimis su raidžių koeficientais arba lygtimis su parametrais. Šiuo atveju parametras (raidė) p įtraukiamas į antrąjį koeficientą ir laisvąjį lygties narį.
Raskime diskriminantą:

8 pavyzdys. Išspręskite lygtį px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Sprendimas. Tai taip pat lygtis su parametru p, tačiau, skirtingai nei ankstesniame pavyzdyje, jos negalima iš karto išspręsti naudojant (4) arba (3) formules. Faktas yra tas, kad nurodytos formulės yra taikomos kvadratinėms lygtims, tačiau mes dar negalime to pasakyti apie pateiktą lygtį. Iš tiesų, kas, jei p = 0? Tada
lygtis bus 0 formos. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, t.y. x - 1 = 0, iš kurio gauname x = 1. Dabar, jei tikrai žinote, kad , tuomet galite pritaikyti kvadrato šaknų formules lygtis:

Mes ir toliau studijuojame temą " sprendžiant lygtis“ Mes jau susipažinome su tiesinėmis lygtimis ir pereiname prie pažinties kvadratines lygtis.

Pirmiausia pažiūrėsime, kas yra kvadratinė lygtis ir kaip ji parašyta bendras vaizdas, ir duosim susijusių apibrėžimų. Po to mes naudosime pavyzdžius, norėdami išsamiai išnagrinėti, kaip sprendžiamos neišsamios kvadratinės lygtys. Toliau pereisime prie pilnųjų lygčių sprendimo, gausime šaknies formulę, susipažinsime su kvadratinės lygties diskriminantu ir apsvarstysime tipinių pavyzdžių sprendimus. Galiausiai atsekime ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Puslapio naršymas.

Kas yra kvadratinė lygtis? Jų rūšys

Pirmiausia turite aiškiai suprasti, kas yra kvadratinė lygtis. Todėl logiška pradėti pokalbį apie kvadratines lygtis kvadratinės lygties apibrėžimu, taip pat su jais susijusiais apibrėžimais. Po to galite apsvarstyti pagrindinius kvadratinių lygčių tipus: redukuotas ir neredukuotas, taip pat pilnas ir nepilnas lygtis.

Kvadratinių lygčių apibrėžimas ir pavyzdžiai

Apibrėžimas.

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis a x 2 +b x+c=0, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai, o a yra ne nulis.

Iš karto pasakykime, kad kvadratinės lygtys dažnai vadinamos antrojo laipsnio lygtimis. Taip yra dėl to, kad kvadratinė lygtis yra algebrinė lygtis antrasis laipsnis.

Pateiktas apibrėžimas leidžia pateikti kvadratinių lygčių pavyzdžius. Taigi 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 ir t.t. Tai yra kvadratinės lygtys.

Apibrėžimas.

Skaičiai a, b ir c vadinami kvadratinės lygties koeficientai a·x 2 +b·x+c=0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba didžiausiu, arba koeficientu x 2, b yra antrasis koeficientas, arba koeficientas x, o c yra laisvasis narys .

Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį, kurios forma yra 5 x 2 −2 x −3=0, čia pirmaujantis koeficientas yra 5, antrasis koeficientas lygus −2, o laisvasis narys lygus −3. Atkreipkite dėmesį, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami, kaip ką tik pateiktame pavyzdyje, tada Trumpa forma užrašant kvadratinę lygtį, kurios forma yra 5 x 2 −2 x−3=0, o ne 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Verta pažymėti, kad kai koeficientai a ir (arba) b yra lygūs 1 arba -1, jie paprastai nėra aiškiai išreikšti kvadratinėje lygtyje, o tai yra dėl tokio rašymo ypatumų. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 −y+3=0 pirmaujantis koeficientas yra vienas, o y koeficientas lygus −1.

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Priklausomai nuo pirmaujančio koeficiento reikšmės, skiriamos redukuotos ir neredukuotos kvadratinės lygtys. Pateiksime atitinkamus apibrėžimus.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurios pirmaujantis koeficientas yra 1 duota kvadratinė lygtis. Priešingu atveju kvadratinė lygtis yra nepaliestas.

Pagal šis apibrėžimas, kvadratinės lygtys x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 ir kt. – duota, kiekviename iš jų pirmasis koeficientas lygus vienetui. A 5 x 2 −x−1=0 ir kt. - neredukuotos kvadratinės lygtys, kurių pirmaujantys koeficientai skiriasi nuo 1.

Iš bet kurios nesumažintos kvadratinės lygties, padalijus abi puses iš pirmaujančio koeficiento, galite pereiti prie redukuotos. Šis veiksmas yra lygiavertė transformacija, tai yra, tokiu būdu gauta sumažinta kvadratinė lygtis turi tas pačias šaknis kaip ir pradinė neredukuota kvadratinė lygtis, arba, kaip ji, neturi šaknų.

Pažiūrėkime į pavyzdį, kaip atliekamas perėjimas iš neredukuotos kvadratinės lygties į redukuotą.

Pavyzdys.

Iš lygties 3 x 2 +12 x−7=0 pereikite prie atitinkamos sumažintos kvadratinės lygties.

Sprendimas.

Mums tereikia padalyti abi pradinės lygties puses iš pirmaujančio koeficiento 3, jis yra ne nulis, kad galėtume atlikti šį veiksmą. Turime (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, kuris yra tas pats, (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0, o tada (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, iš kur . Taip gavome redukuotą kvadratinę lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei.

Atsakymas:

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Kvadratinės lygties apibrėžime yra sąlyga a≠0. Ši sąlyga būtina, kad lygtis a x 2 + b x + c = 0 būtų kvadratinė, nes kai a = 0 ji iš tikrųjų tampa b x + c = 0 formos tiesine lygtimi.

Kalbant apie koeficientus b ir c, jie gali būti lygūs nuliui tiek atskirai, tiek kartu. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratine lygtimi a x 2 +b x+c=0 Nebaigtas, jei bent vienas iš koeficientų b, c yra lygus nuliui.

Savo ruožtu

Apibrėžimas.

Pilna kvadratinė lygtis yra lygtis, kurioje visi koeficientai skiriasi nuo nulio.

Tokie vardai buvo suteikti neatsitiktinai. Tai paaiškės iš tolesnių diskusijų.

Jei koeficientas b lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis įgauna formą a·x 2 +0·x+c=0 ir yra lygiavertė lygčiai a·x 2 +c=0. Jei c=0, tai yra, kvadratinė lygtis turi formą a·x 2 +b·x+0=0, tada ją galima perrašyti kaip a·x 2 +b·x=0. O su b=0 ir c=0 gauname kvadratinę lygtį a·x 2 =0. Gautos lygtys skiriasi nuo pilnos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo nario, nei abiejų. Iš čia ir kilo jų pavadinimas – nepilnos kvadratinės lygtys.

Taigi lygtys x 2 +x+1=0 ir −2 x 2 −5 x+0.2=0 yra pilnų kvadratinių lygčių pavyzdžiai, o x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 yra nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Iš ankstesnėje pastraipoje pateiktos informacijos matyti, kad yra trijų tipų nepilnos kvadratinės lygtys:

• a·x 2 =0, jį atitinka koeficientai b=0 ir c=0;
• ax2 +c=0, kai b=0;
• ir a·x 2 +b·x=0, kai c=0.

Panagrinėkime eilės tvarka, kaip sprendžiamos kiekvieno iš šių tipų nepilnos kvadratinės lygtys.

a x 2 =0

Pradėkime nuo nepilnų kvadratinių lygčių, kuriose koeficientai b ir c lygūs nuliui, tai yra a x 2 =0 formos lygtimis. Lygtis a·x 2 =0 yra lygiavertė lygčiai x 2 =0, kuri gaunama iš originalo, padalijus abi dalis iš nulinio skaičiaus a. Akivaizdu, kad lygties x 2 =0 šaknis yra lygi nuliui, nes 0 2 =0. Ši lygtis neturi kitų šaknų, o tai paaiškinama tuo, kad bet kuriam nuliniam skaičiui p galioja nelygybė p 2 >0, o tai reiškia, kad esant p≠0 lygybė p 2 =0 niekada nepasiekiama.

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a·x 2 =0 turi vieną šaknį x=0.

Kaip pavyzdį pateikiame nepilnos kvadratinės lygties −4 x 2 =0 sprendinį. Ji atitinka lygtį x 2 =0, jos vienintelė šaknis yra x=0, todėl pradinė lygtis turi vieną šaknies nulį.

Trumpas sprendimas šiuo atveju gali būti parašytas taip:
−4 x 2 =0,
x 2 = 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, kuriose koeficientas b lygus nuliui ir c≠0, tai yra a x 2 +c=0 formos lygtys. Žinome, kad perkėlus terminą iš vienos lygties pusės į kitą su priešingu ženklu, taip pat padalijus abi lygties puses ne nuliu skaičiumi, gaunama lygiavertė lygtis. Todėl galime atlikti tokias lygiavertes nepilnos kvadratinės lygties a x 2 +c=0 transformacijas:

• perkelkite c į dešinę pusę, taip gaunama lygtis a x 2 =-c,
• ir padalinti abi puses iš a, gauname .

Gauta lygtis leidžia daryti išvadas apie jos šaknis. Priklausomai nuo a ir c reikšmių, išraiškos reikšmė gali būti neigiama (pavyzdžiui, jei a=1 ir c=2, tada ) arba teigiama (pavyzdžiui, jei a=–2 ir c=6, tada ), jis nėra nulis , nes pagal sąlygą c≠0. Pažvelkime į atvejus atskirai.

Jei , tai lygtis neturi šaknų. Šis teiginys išplaukia iš to, kad bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas skaičius. Iš to išplaukia, kad kai , tada bet kuriam skaičiui p lygybė negali būti teisinga.

Jei , tada situacija su lygties šaknimis yra kitokia. Šiuo atveju, jei prisiminsime apie , tada lygties šaknis iš karto tampa akivaizdi; tai yra skaičius, nes . Nesunku atspėti, kad skaičius taip pat yra lygties šaknis, iš tikrųjų . Ši lygtis neturi kitų šaknų, kurias galima parodyti, pavyzdžiui, prieštaravimu. Padarykime tai.

Ką tik paskelbtos lygties šaknis pažymėkime x 1 ir −x 1 . Tarkime, kad lygtis turi dar vieną šaknį x 2, kuri skiriasi nuo nurodytų šaknų x 1 ir −x 1. Yra žinoma, kad jos šaknis pakeitus lygtimi, o ne x, lygtis paverčiama teisinga skaitine lygybe. Jei x 1 ir −x 1 turime , o x 2 turime . Skaičių lygybių savybės leidžia atlikti teisingų skaitinių lygčių etapo atėmimą, todėl atėmus atitinkamas lygybių dalis gaunama x 1 2 −x 2 2 =0. Veiksmų su skaičiais savybės leidžia gautą lygybę perrašyti į (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Žinome, kad dviejų skaičių sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš jų yra lygus nuliui. Todėl iš gautos lygybės išplaukia, kad x 1 −x 2 =0 ir (arba) x 1 +x 2 =0, kuris yra tas pats, x 2 =x 1 ir (arba) x 2 = −x 1. Taigi mes priėjome prie prieštaravimo, nes pradžioje sakėme, kad lygties x 2 šaknis skiriasi nuo x 1 ir −x 1. Tai įrodo, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus ir .

Apibendrinkime šioje pastraipoje pateiktą informaciją. Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 +c=0 yra lygiavertė lygčiai, kuri

• neturi šaknų, jei
• turi dvi šaknis ir , jei .

Panagrinėkime a·x 2 +c=0 formos nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

Pradėkime nuo kvadratinės lygties 9 x 2 +7=0. Perkėlus laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę, jis įgis formą 9 x 2 =−7. Padalinę abi gautos lygties puses iš 9, gauname . Kadangi dešinėje pusėje yra neigiamas skaičius, ši lygtis neturi šaknų, todėl pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 +7 = 0 neturi šaknų.

Išspręskime dar vieną nepilną kvadratinę lygtį −x 2 +9=0. Devynetuką perkeliame į dešinę pusę: −x 2 =−9. Dabar padalijame abi puses iš −1, gauname x 2 =9. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio darome išvadą, kad arba . Tada užrašome galutinį atsakymą: nepilna kvadratinė lygtis −x 2 +9=0 turi dvi šaknis x=3 arba x=−3.

a x 2 +b x=0

Belieka išspręsti paskutinio tipo nepilnų kvadratinių lygčių, kai c=0, sprendimą. Neišsamios kvadratinės lygtys, kurių forma yra a x 2 + b x = 0, leidžia išspręsti faktorizavimo metodas. Akivaizdu, kad galime, esantys kairėje lygties pusėje, kuriai pakanka iš skliaustų išimti bendrą koeficientą x. Tai leidžia pereiti nuo pradinės nepilnos kvadratinės lygties prie lygiavertės x·(a·x+b)=0 formos lygties. Ir ši lygtis yra lygiavertė aibei dviejų lygčių x=0 ir a·x+b=0, iš kurių pastaroji yra tiesinė ir turi šaknį x=-b/a.

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a·x 2 +b·x=0 turi dvi šaknis x=0 ir x=−b/a.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, išanalizuosime konkretaus pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį.

Sprendimas.

Išėmus x iš skliaustų gaunama lygtis . Tai lygi dviem lygtims x=0 ir . Išsprendžiame gautą tiesinę lygtį: , ir mišrų skaičių padaliname iš bendroji trupmena, mes randame . Todėl pradinės lygties šaknys yra x=0 ir .

Įgijus reikiamą praktiką, galima trumpai parašyti tokių lygčių sprendinius:

Atsakymas:

x=0 , .

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Norėdami išspręsti kvadratines lygtis, yra šaknies formulė. Užsirašykime kvadratinės lygties šaknų formulė:, kur D=b 2 −4 a c- vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas. Įrašas iš esmės reiškia, kad .

Naudinga žinoti, kaip buvo gauta šaknies formulė ir kaip ji naudojama ieškant kvadratinių lygčių šaknų. Išsiaiškinkime tai.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Išspręskime kvadratinę lygtį a·x 2 +b·x+c=0. Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

• Abi šios lygties puses galime padalyti iš ne nulinio skaičiaus a, todėl gaunama tokia kvadratinė lygtis.
• Dabar pasirinkite visą kvadratą jo kairėje pusėje: . Po to lygtis įgis formą .
• Šiame etape paskutinius du terminus galima perkelti į dešinę su priešingu ženklu, turime .
• Taip pat pakeiskime išraišką dešinėje pusėje: .

Dėl to gauname lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei kvadratinei lygčiai a·x 2 +b·x+c=0.

Analogiškos formos lygtis jau išsprendėme ankstesnėse pastraipose, kai nagrinėjome. Tai leidžia padaryti tokias išvadas apie lygties šaknis:

• jei , tai lygtis neturi realių sprendinių;
• jei , tada lygtis turi formą , todėl , Iš kurios matoma tik jos šaknis;
• jei , tada arba , kuris yra tas pats kaip arba , Tai yra, lygtis turi dvi šaknis.

Taigi lygties šaknų buvimas ar nebuvimas, taigi ir pradinė kvadratinė lygtis, priklauso nuo išraiškos ženklo dešinėje. Savo ruožtu šios išraiškos ženklą lemia skaitiklio ženklas, nes vardiklis 4·a 2 visada yra teigiamas, tai yra išraiškos b 2 −4·a·c ženklas. Ši išraiška b 2 −4 a c buvo vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ir nurodytas laišku D. Iš čia aiški diskriminanto esmė – pagal jo reikšmę ir ženklą jie daro išvadą, ar kvadratinė lygtis turi realias šaknis, o jei taip, koks jų skaičius – vienas ar du.

Grįžkime prie lygties ir perrašykime ją diskriminaciniu žymėjimu: . Ir mes darome išvadas:

• jei D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jei D=0, tai ši lygtis turi vieną šaknį;
• galiausiai, jei D>0, tai lygtis turi dvi šaknis arba, kurią galima perrašyti į formą arba, o išplėtus ir sumažinus trupmenas iki Bendras vardiklis mes gauname .

Taigi išvedėme kvadratinės lygties šaknų formules, jos atrodo kaip , kur diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D=b 2 −4·a·c.

Su jų pagalba, naudodami teigiamą diskriminantą, galite apskaičiuoti abi realiąsias kvadratinės lygties šaknis. Kai diskriminantas yra lygus nuliui, abi formulės suteikia tą pačią šaknies reikšmę, atitinkančią vienintelis sprendimas kvadratinė lygtis. O naudojant neigiamą diskriminantą, bandydami panaudoti kvadratinės lygties šaknų formulę, susiduriame su kvadratinės šaknies ištraukimu neigiamas skaičius, kuri nukelia mus už ir mokyklos mokymo programa. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturi tikrų šaknų, bet turi porą kompleksinis konjugatasšaknis, kurias galima rasti naudojant tas pačias šaknų formules, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo naudojant šaknies formules algoritmas

Praktiškai spręsdami kvadratines lygtis galite iš karto naudoti šaknies formulę, kad apskaičiuotumėte jų reikšmes. Bet tai labiau susiję su sudėtingų šaknų paieška.

Tačiau į mokyklos kursas algebra paprastai mes kalbame apie ne apie sudėtingas, o apie tikras kvadratinės lygties šaknis. Tokiu atveju, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, patartina pirmiausia rasti diskriminantą, įsitikinti, kad jis yra neneigiamas (kitaip galime daryti išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), ir tik tada apskaičiuokite šaknų reikšmes.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia mums rašyti kvadratinės lygties sprendimo algoritmas. Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 +b x+c=0, turite:

• naudodamiesi diskriminantinės formulės D=b 2 −4·a·c, apskaičiuokite jos reikšmę;
• padaryti išvadą, kad kvadratinė lygtis neturi realių šaknų, jei diskriminantas yra neigiamas;
• apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį naudodami formulę, jei D=0;
• Raskite dvi realias kvadratinės lygties šaknis naudodami šaknies formulę, jei diskriminantas yra teigiamas.

Čia tik pažymime, kad jei diskriminantas yra lygus nuliui, taip pat galite naudoti formulę; ji duos tokią pačią reikšmę kaip .

Galite pereiti prie kvadratinių lygčių sprendimo algoritmo naudojimo pavyzdžių.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Panagrinėkime trijų kvadratinių lygčių sprendinius su teigiamu, neigiamu ir nuliniu diskriminantu. Išnagrinėjus jų sprendimą, pagal analogiją bus galima išspręsti bet kurią kitą kvadratinę lygtį. Pradėkime.

Pavyzdys.

Raskite lygties x 2 šaknis +2·x−6=0.

Sprendimas.

Šiuo atveju turime tokius kvadratinės lygties koeficientus: a=1, b=2 ir c=−6. Pagal algoritmą pirmiausia reikia apskaičiuoti diskriminantą, tam pakeičiame nurodytus a, b ir c į diskriminanto formulę, turime D=b 2 –4·a·c=2 2 –4·1·(–6)=4+24=28. Kadangi 28>0, tai yra, diskriminantas yra didesnis už nulį, kvadratinė lygtis turi dvi realias šaknis. Raskime juos naudodami šaknies formulę, gauname , čia galite supaprastinti gautas išraiškas darydami perkeliant daugiklį už šaknies ženklo po to sumažinama frakcija:

Atsakymas:

Pereikime prie kito tipinio pavyzdžio.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį −4 x 2 +28 x−49=0 .

Sprendimas.

Pradedame rasdami diskriminantą: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Todėl ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį, kurią randame kaip , tai yra,

Atsakymas:

x=3,5.

Belieka apsvarstyti galimybę išspręsti kvadratines lygtis su neigiamu diskriminantu.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį 5·y 2 +6·y+2=0.

Sprendimas.

Štai kvadratinės lygties koeficientai: a=5, b=6 ir c=2. Mes pakeičiame šias reikšmes į diskriminacinę formulę, kurią turime D=b 2 –4·a·c=6 2 –4·5·2=36–40=–4. Diskriminantas yra neigiamas, todėl ši kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Jei reikia nurodyti sudėtingas šaknis, taikome gerai žinomą kvadratinės lygties šaknų formulę ir atliekame operacijos su kompleksiniais skaičiais:

Atsakymas:

nėra tikrų šaknų, sudėtingos šaknys yra: .

Dar kartą atkreipkime dėmesį, kad jei kvadratinės lygties diskriminantas yra neigiamas, tada mokykloje jie paprastai iš karto užrašo atsakymą, kuriame nurodo, kad nėra tikrų šaknų, o sudėtingų šaknų nerandama.

Net antrojo koeficiento šakninė formulė

Kvadratinės lygties šaknų formulė, kur D=b 2 −4·a·c, leidžia gauti kompaktiškesnės formos formulę, leidžiančią išspręsti kvadratines lygtis su lyginiu x koeficientu (arba tiesiog su a koeficientas, kurio forma, pavyzdžiui, 2·n, arba 14· ln5=2·7·ln5 ). Išveskime ją.

Tarkime, reikia išspręsti kvadratinę lygtį, kurios formos a x 2 +2 n x+c=0. Raskime jo šaknis pagal mums žinomą formulę. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame diskriminantą D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), tada naudojame šaknies formulę:

Išraišką n 2 −a c pažymėkime kaip D 1 (kartais ji žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties šaknų formulė su antruoju koeficientu 2 n įgis tokią formą , kur D 1 =n 2 −a·c.

Nesunku pastebėti, kad D=4·D 1 arba D 1 =D/4. Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtoji diskriminanto dalis. Aišku, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas. Tai yra, ženklas D 1 taip pat yra kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

Taigi, norint išspręsti kvadratinę lygtį su antruoju koeficientu 2 · n, jums reikia

• Apskaičiuokite D 1 =n 2 −a·c ;
• Jei D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jei D 1 =0, tada formule apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį;
• Jei D 1 >0, tada pagal formulę raskite dvi realias šaknis.

Apsvarstykite galimybę išspręsti pavyzdį naudodami šioje pastraipoje gautą šaknies formulę.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį 5 x 2 −6 x −32=0 .

Sprendimas.

Antrasis šios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2·(−3) . Tai yra, galite perrašyti pradinę kvadratinę lygtį į formą 5 x 2 +2 (-3) x-32=0, čia a=5, n=-3 ir c=-32, ir apskaičiuoti ketvirtąją kvadratinės lygties dalį. diskriminuojantis: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Kadangi jos reikšmė yra teigiama, lygtis turi dvi realias šaknis. Raskime juos naudodami atitinkamą šaknies formulę:

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės lygties šaknims buvo galima naudoti įprastą formulę, tačiau šiuo atveju tektų atlikti daugiau skaičiavimo darbų.

Atsakymas:

Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas

Kartais prieš pradedant skaičiuoti kvadratinės lygties šaknis naudojant formules, nepakenks užduoti klausimą: „Ar galima supaprastinti šios lygties formą? Sutikite, kad skaičiavimų požiūriu kvadratinę lygtį 11 x 2 −4 x−6=0 išspręsti bus lengviau nei 1100 x 2 −400 x−600=0.

Paprastai kvadratinės lygties formos supaprastinimas pasiekiamas padauginus arba padalijus abi puses iš tam tikro skaičiaus. Pavyzdžiui, ankstesnėje pastraipoje buvo galima supaprastinti lygtį 1100 x 2 −400 x −600=0, padalijus abi puses iš 100.

Panaši transformacija atliekama su kvadratinėmis lygtimis, kurių koeficientai nėra . Šiuo atveju mes paprastai dalijame abi lygties puses iš absoliučios vertės jo koeficientai. Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 12 x 2 −42 x+48=0. absoliučios jo koeficientų reikšmės: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Abi pradinės kvadratinės lygties puses padalijus iš 6, gauname lygiavertę kvadratinę lygtį 2 x 2 −7 x+8=0.

Ir padauginus abi kvadratinės lygties puses paprastai atsisakoma trupmeninių koeficientų. Šiuo atveju dauginimas atliekamas pagal jo koeficientų vardiklius. Pavyzdžiui, jei abi kvadratinės lygties pusės yra padaugintos iš LCM(6, 3, 1)=6, tada ji įgis paprastesnę formą x 2 +4·x−18=0.

Baigdami šį punktą pažymime, kad jie beveik visada atsikrato minuso esant didžiausiam kvadratinės lygties koeficientui, pakeisdami visų narių ženklus, o tai atitinka abiejų pusių padauginimą (arba padalijimą) iš −1. Pavyzdžiui, paprastai nuo kvadratinės lygties −2 x 2 −3 x+7=0 pereinama prie sprendinio 2 x 2 +3 x−7=0 .

Kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšys

Kvadratinės lygties šaknų formulė išreiškia lygties šaknis per jos koeficientus. Remdamiesi šaknies formule, galite gauti kitus ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Labiausiai žinomos ir taikomos formulės iš Vietos teoremos yra formos ir . Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Pavyzdžiui, pažvelgę ​​į kvadratinės lygties 3 x 2 −7 x + 22 = 0 formą, iš karto galime pasakyti, kad jos šaknų suma lygi 7/3, o šaknų sandauga lygi 22 /3.

Naudodami jau parašytas formules, galite gauti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų jungčių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų sumą galite išreikšti jos koeficientais: .

Bibliografija.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. Per 2 val.1 dalis.Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.