Pirminiai skaičiai. Sudėtiniai skaičiai. Ką reiškia "pirminis skaičius"?

pirminiai skaičiai yra vienas įdomiausių matematinių reiškinių, kuris daugiau nei du tūkstančius metų traukia mokslininkų ir paprastų piliečių dėmesį. Nepaisant to, kad dabar gyvename kompiuterių ir moderniausių informacinių programų amžiuje, daugelis pirminių skaičių mįslių dar neįmintos, yra net tokių, kurių mokslininkai nežino, kaip įminti.

Pirminiai skaičiai, kaip žinoma iš elementariosios aritmetikos, yra tie, kurie be liekanos dalijasi tik iš vieneto ir savęs. Beje, jei natūralusis skaičius, be aukščiau išvardytų, dalijasi iš bet kurio kito skaičiaus, tada jis vadinamas sudėtiniu. Viena žinomiausių teoremų teigia, kad bet kurį sudėtinį skaičių galima pavaizduoti kaip unikalų pirminių skaičių sandaugą.

Keletas įdomių faktų. Pirma, vienetas yra unikalus ta prasme, kad iš tikrųjų jis nepriklauso nei pirminiams, nei sudėtiniams skaičiams. Tuo pačiu metu mokslo bendruomenėje vis dar įprasta jį priskirti konkrečiai pirmai grupei, nes formaliai ji visiškai atitinka jos reikalavimus.

Antra, vienintelis lyginis skaičius, įspaustas į „pirminių skaičių“ grupę, žinoma, yra du. Bet koks kitas lyginis skaičius čia tiesiog negali patekti, nes pagal apibrėžimą, be savęs ir vieno, jis taip pat dalijasi iš dviejų.

Pirminiai skaičiai, kurių sąrašas, kaip minėta pirmiau, gali prasidėti vienetu, reiškia begalinę seriją, tokią pat begalinę kaip ir natūraliųjų skaičių serija. Remdamiesi pagrindine aritmetikos teorema, galime prieiti prie išvados, kad pirminiai skaičiai niekada nenutrūksta ir nesibaigia, nes priešingu atveju natūraliųjų skaičių serija neišvengiamai nutrūktų.

Pirminiai skaičiai natūraliose eilutėse neatsiranda atsitiktinai, kaip gali atrodyti iš pirmo žvilgsnio. Atidžiai juos išanalizavę, iškart galite pastebėti keletą savybių, iš kurių įdomiausios yra susijusios su vadinamaisiais „dvynių“ skaičiais. Taip jie vadinami, nes kažkokiu nesuprantamu būdu atsidūrė vienas šalia kito, atskirti tik lygiu skyrikliu (penki ir septyni, septyniolika ir devyniolika).

Jei atidžiai juos pažvelgsite, pastebėsite, kad šių skaičių suma visada yra trijų kartotinė. Be to, dalijant kairę iš trijų, likutis visada lieka du, o dešinysis visada lieka vienas. Be to, patį šių skaičių pasiskirstymą natūralioje eilutėje galima nuspėti, jei įsivaizduosime visą šią eilutę virpesių sinusoidų pavidalu, kurių pagrindiniai taškai susidaro padalijus skaičius iš trijų ir dviejų.

Pirminiai skaičiai yra ne tik viso pasaulio matematikų dėmesio objektas, bet ir jau seniai sėkmingai naudojami kuriant įvairias skaičių serijas, kurios, be kita ko, yra kriptografijos pagrindas. Kartu reikia pripažinti, kad puiki suma Paslaptys, susijusios su šiais nuostabiais elementais, vis dar laukia, kol bus išspręstos, daugelis klausimų turi ne tik filosofinę, bet ir praktinę reikšmę.

pirminis skaičius yra natūralusis (teigiamas sveikasis skaičius), kuris be liekanos dalijasi tik iš dviejų natūraliųjų skaičių: iš savęs ir iš savęs. Kitaip tariant, pirminis skaičius turi lygiai du natūraliuosius daliklius: ir patį skaičių.

Pagal apibrėžimą pirminio skaičiaus visų daliklių aibė yra dviejų elementų, t.y. reprezentuoja rinkinį.

Visų pirminių skaičių aibė žymima simboliu. Taigi dėl pirminių skaičių aibės apibrėžimo galime rašyti: .

Pirminių skaičių seka atrodo taip:

Pagrindinė aritmetikos teorema

Pagrindinė aritmetikos teorema teigia, kad kiekvienas natūralusis skaičius, didesnis už vieną, gali būti pavaizduotas kaip pirminių skaičių sandauga ir unikaliu būdu, atsižvelgiant į veiksnių eilę. Taigi pirminiai skaičiai yra elementarieji natūraliųjų skaičių aibės „statybiniai blokai“.

Natūralaus skaičiaus išplėtimas title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanoninis:

kur yra pirminis skaičius ir . Pavyzdžiui, natūraliojo skaičiaus kanoninis išplėtimas atrodo taip: .

Taip pat vadinamas natūraliojo skaičiaus vaizdavimas pirminių skaičių sandauga skaičiaus faktorizavimas.

Pirminių skaičių savybės

Eratosteno sietelis

Vienas žinomiausių pirminių skaičių paieškos ir atpažinimo algoritmų yra Eratosteno sietas. Taigi šis algoritmas buvo pavadintas graikų matematiko Eratosteno Kirėniečio vardu, kuris laikomas algoritmo autoriumi.

Norėdami rasti visus pirminius skaičius, mažesnius už nurodytą skaičių, vadovaudamiesi Eratosteno metodu, turite atlikti šiuos veiksmus:

1 žingsnis. Užrašykite visus natūraliuosius skaičius nuo dviejų iki , t.y. .
2 žingsnis. Kintamajam priskirkite reikšmę , ty reikšmę, lygią mažiausiam pirminiam skaičiui.
3 veiksmas. Išbraukite sąraše visus skaičius nuo iki, kurie yra kartotiniai, tai yra skaičiai: .
4 veiksmas. Suraskite pirmąjį neperbrauktą skaičių sąraše, didesnį už , ir priskirkite šio skaičiaus reikšmę kintamajam.
5 veiksmas. Kartokite 3 ir 4 veiksmus, kol pasieksite skaičių.

Algoritmo taikymo procesas atrodys taip:

Visi likę neperbraukti skaičiai sąraše algoritmo taikymo proceso pabaigoje bus pirminių skaičių rinkinys nuo iki .

Goldbacho spėjimas

Knygos „Dėdė Petrosas ir Goldbacho hipotezė“ viršelis

Nepaisant to, kad pirminius skaičius matematikai tyrinėjo gana ilgą laiką, daugelis susijusių problemų šiandien lieka neišspręstos. Viena žinomiausių neišspręstų problemų yra Goldbacho hipotezė, kuris suformuluotas taip:

• Ar tiesa, kad kiekvienas lyginis skaičius, didesnis už du, gali būti pavaizduotas kaip dviejų pirminių skaičių suma (Goldbacho dvejetainė hipotezė)?
• Ar tiesa, kad kiekvienas nelyginis skaičius, didesnis nei 5, gali būti pavaizduotas kaip suma? trys paprasti skaičiai (trinarė Goldbacho hipotezė)?

Reikėtų pasakyti, kad trinarė Goldbacho hipotezė yra ypatingas dvejetainės Goldbacho hipotezės atvejis, arba, kaip sako matematikai, trinarė Goldbacho hipotezė yra silpnesnė už dvejetainę Goldbacho hipotezę.

Goldbacho spėjimas tapo plačiai žinomas už matematikos bendruomenės ribų 2000 m. dėl leidybos įmonių Bloomsbury JAV (JAV) ir Faber and Faber (JK) reklaminės rinkodaros triuko. Šios leidyklos, išleidusios knygą „Dėdė Petros ir Goldbacho spėjimas“, pažadėjo per 2 metus nuo knygos išleidimo datos sumokėti 1 milijono JAV dolerių premiją kiekvienam, kuris įrodys Goldbacho hipotezę. Kartais minėtas leidėjų prizas painiojamas su prizais už Tūkstantmečio premijos problemų sprendimą. Nesuklyskite, Goldbacho hipotezės Molio institutas nepriskiria „tūkstantmečio iššūkiui“, nors ji yra glaudžiai susijusi su Riemann hipotezė– vienas iš „tūkstantmečio iššūkių“.

Knyga „Pirminiai skaičiai. Ilgas kelias į begalybę"

Knygos „Matematikos pasaulis. Pirminiai skaičiai. Ilgas kelias iki begalybės"

Be to, rekomenduoju perskaityti įdomią mokslo populiarinimo knygą, kurios anotacijoje rašoma: „Pirminių skaičių paieška yra viena paradoksaliausių matematikos problemų. Mokslininkai bandė ją išspręsti kelis tūkstantmečius, tačiau, augant naujoms versijoms ir hipotezėms, ši paslaptis vis dar lieka neįminta. Pirminių skaičių išvaizda nepavaldi jokiai sistemai: natūraliųjų skaičių serijoje jie atsiranda spontaniškai, ignoruojant visus matematikų bandymus identifikuoti jų sekos modelius. Ši knyga leis skaitytojui atsekti mokslo sampratų raidą nuo seniausių laikų iki šių dienų ir supažindinti su įdomiausiomis pirminių skaičių paieškos teorijomis.

Be to, pacituosiu antrojo šios knygos skyriaus pradžią: „Pirminiai skaičiai yra vienas iš svarbiomis temomis, kurie sugrąžina mus į pačias matematikos pradžią, o paskui vis sudėtingesniu keliu veda į priešakį šiuolaikinis mokslas. Taigi būtų labai naudinga atsekti žavią ir sudėtingą pirminių skaičių teorijos istoriją: kaip tiksliai ji vystėsi, kaip buvo renkami dabar visuotinai pripažinti faktai ir tiesos. Šiame skyriuje pamatysime, kaip matematikų kartos atidžiai tyrinėjo natūraliuosius skaičius, ieškodamos taisyklės, numatančios pirminių skaičių atsiradimą – taisyklę, kuri paieškoje tapo vis sunkiau suvokiama. Taip pat išsamiai panagrinėsime istorinį kontekstą: kokiomis sąlygomis dirbo matematikai ir kiek jų darbas apėmė mistines ir pusiau religines praktikas, kurios visiškai nepanašios į mokslinius metodus, naudojamas šiais laikais. Nepaisant to, lėtai ir sunkiai buvo paruošta dirva naujiems požiūriams, kurie įkvėpė Fermat ir Euler XVII ir XVIII a.

• Vertimas

Pirminių skaičių savybes pirmieji tyrė matematikai Senovės Graikija. Pitagoro mokyklos (500 – 300 m. pr. Kr.) matematikai pirmiausia domėjosi mistinėmis ir numerologinėmis pirminių skaičių savybėmis. Jie buvo pirmieji, kurie sugalvojo tobulus ir draugiškus skaičius.

Tobulas skaičius turi savo daliklių sumą, lygią jam pačiam. Pavyzdžiui, tinkami skaičiaus 6 dalikliai yra 1, 2 ir 3. 1 + 2 + 3 = 6. Skaičiaus 28 dalikliai yra 1, 2, 4, 7 ir 14. Be to, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Skaičiai vadinami draugiškaisiais, jei vieno skaičiaus tinkamųjų daliklių suma yra lygi kitam, ir atvirkščiai – pavyzdžiui, 220 ir 284. Galima sakyti, kad tobulas skaičius yra draugiškas sau.

Iki Euklido elementų 300 m. pr. Kr. kelios jau įrodytos svarbius faktus dėl pirminių skaičių. IX elementų knygoje Euklidas įrodė, kad pirminių skaičių yra be galo daug. Tai, beje, vienas iš pirmųjų įrodymų panaudojimo prieštaravimu pavyzdžių. Jis taip pat įrodo pagrindinę aritmetikos teoremą – kiekvienas sveikas skaičius gali būti pavaizduotas unikaliai kaip pirminių skaičių sandauga.

Jis taip pat parodė, kad jei skaičius 2n-1 yra pirminis, tada skaičius 2n-1 * (2n-1) bus tobulas. Kitas matematikas Euleris 1747 m. sugebėjo parodyti, kad visi net tobuli skaičiai gali būti užrašyti šia forma. Iki šiol nežinoma, ar egzistuoja nelyginiai tobuli skaičiai.

200 metais prieš Kristų. Graikas Eratostenas sugalvojo pirminių skaičių paieškos algoritmą, vadinamą Eratosteno sietu.

Ir tada įvyko didelis lūžis pirminių skaičių, siejamų su viduramžiais, tyrimo istorijoje.

Šiuos atradimus jau XVII amžiaus pradžioje padarė matematikas Fermatas. Jis įrodė Alberto Girardo spėjimą, kad bet kurį pirminį 4n+1 formos skaičių galima parašyti vienareikšmiškai kaip dviejų kvadratų sumą, taip pat suformulavo teoremą, kad bet kurį skaičių galima užrašyti kaip keturių kvadratų sumą.

Jis išsivystė naujas metodas faktorizavimas dideli skaičiai, ir pademonstravo jį skaičiumi 2027651281 = 44021 × 46061. Jis taip pat įrodė mažąją Ferma teoremą: jei p yra pirminis skaičius, tai bet kuriam sveikajam skaičiui a bus tiesa, kad a p = modulo p.

Šis teiginys įrodo pusę to, kas buvo žinoma kaip „kinų spėjimas“ ir yra 2000 metų senumo: sveikasis skaičius n yra pirminis tada ir tik tada, kai 2 n -2 dalijasi iš n. Antroji hipotezės dalis pasirodė klaidinga - pavyzdžiui, 2 341 - 2 dalijasi iš 341, nors skaičius 341 yra sudėtinis: 341 = 31 × 11.

Mažoji Ferma teorema buvo daugelio kitų skaičių teorijos rezultatų ir metodų, skirtų patikrinti, ar skaičiai yra pirminiai skaičiai, pagrindas – daugelis jų vis dar naudojami ir šiandien.

Fermatas daug susirašinėjo su savo amžininkais, ypač su vienuoliu, vardu Maren Mersenne. Viename iš savo laiškų jis iškėlė hipotezę, kad 2 n +1 formos skaičiai visada bus pirminiai, jei n yra dviejų laipsnis. Jis išbandė tai, kai n = 1, 2, 4, 8 ir 16, ir buvo įsitikinęs, kad tuo atveju, kai n nėra dviejų laipsnis, skaičius nebūtinai yra pirminis. Šie skaičiai vadinami Ferma skaičiais ir tik po 100 metų Euleris parodė, kad kitas skaičius 2 32 + 1 = 4294967297 dalijasi iš 641, todėl nėra pirminis.

2 formos n - 1 skaičiai taip pat buvo tiriami, nes nesunku parodyti, kad jei n yra sudėtinis, tai ir pats skaičius yra sudėtinis. Šie skaičiai vadinami Merseno skaičiais, nes jis juos daug tyrinėjo.

Tačiau ne visi 2 formos n - 1 skaičiai, kur n yra pirminis, yra pirminiai. Pavyzdžiui, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Pirmą kartą tai buvo atrasta 1536 m.

Daugelį metų tokio pobūdžio skaičiai matematikams suteikdavo didžiausius žinomus pirminius skaičius. Kad M 19 įrodė Cataldi 1588 m., ir 200 metų buvo didžiausias žinomas pirminis skaičius, kol Euleris įrodė, kad M 31 taip pat yra pirminis. Šis rekordas išliko dar šimtą metų, o tada Lucas parodė, kad M 127 yra pirminis (ir tai jau yra 39 skaitmenų skaičius), o po to tyrimai tęsėsi atsiradus kompiuteriams.

1952 m. buvo įrodytas skaičių M 521, M 607, M 1279, M 2203 ir M 2281 pirmumas.

Iki 2005 m. buvo rasti 42 Mersenne pirminiai laipsniai. Didžiausias iš jų, M 25964951, susideda iš 7816230 skaitmenų.

Eulerio darbas turėjo didžiulę įtaką skaičių teorijai, įskaitant pirminius skaičius. Jis išplėtė Ferma mažąją teoremą ir įvedė φ funkciją. Faktorizuotas 5-asis Fermato skaičius 2 32 +1, surasta 60 porų draugiškų skaičių ir suformuluotas (bet negalėjo įrodyti) kvadratinio abipusiškumo dėsnis.

Jis pirmasis pristatė matematinės analizės metodus ir sukūrė analitinę skaičių teoriją. Jis įrodė, kad ne tik harmonikų serija ∑ (1/n), bet ir formos eilutė

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Pirminių skaičių atvirkštinių dydžių suma gautas rezultatas taip pat skiriasi. Harmonikos eilutės n narių suma auga maždaug kaip log(n), o antroji eilutė skiriasi lėčiau kaip log[ log(n) ]. Tai reiškia, kad, pavyzdžiui, visų iki šiol rastų pirminių skaičių atvirkštinių dydžių suma duos tik 4, nors eilutės vis tiek skiriasi.

Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad pirminiai skaičiai tarp sveikųjų skaičių pasiskirsto gana atsitiktinai. Pavyzdžiui, tarp 100 skaičių prieš pat 10000000 yra 9 pirminiai skaičiai, o tarp 100 skaičių iškart po šios reikšmės yra tik 2. Tačiau dideliuose segmentuose pirminiai skaičiai pasiskirsto gana tolygiai. Legendre ir Gaussas sprendė jų platinimo klausimus. Gaussas kartą pasakė draugui, kad per bet kurias laisvas 15 minučių jis visada skaičiuoja pirminių skaičių kituose 1000 skaičių. Iki savo gyvenimo pabaigos jis buvo suskaičiavęs visus pirminius skaičius iki 3 mln. Legendre ir Gaussas vienodai apskaičiavo, kad dideliems n pirminis tankis yra 1/log(n). Legendre apskaičiavo pirminių skaičių diapazone nuo 1 iki n as

π(n) = n/(log(n) – 1,08366)

O Gausas yra tarsi logaritminis integralas

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Su integravimo intervalu nuo 2 iki n.

Teiginys apie pirminių skaičių 1/log(n) tankį yra žinomas kaip pirminio skirstinio teorema. Jie bandė tai įrodyti visą XIX amžių, o pažangą pasiekė Čebyševas ir Riemannas. Jie susiejo tai su Riemann hipoteze, vis dar neįrodyta hipoteze apie Riemann zeta funkcijos nulių pasiskirstymą. Pirminių skaičių tankį vienu metu įrodė Hadamardas ir Vallée-Poussin 1896 m.

Pirminių skaičių teorijoje vis dar yra daug neišspręstų klausimų, kai kuriems iš jų yra šimtai metų:

• Dvynių pirminių skaičių hipotezė yra apie begalinį skaičių porų pirminių skaičių, kurios viena nuo kitos skiriasi 2
• Goldbacho spėjimas: bet koks lyginis skaičius, prasidedantis 4, gali būti pavaizduotas kaip dviejų pirminių skaičių suma
• Ar yra begalinis skaičius pirminių skaičių formos n 2 + 1?
• Ar visada galima rasti pirminį skaičių tarp n 2 ir (n + 1) 2? (faktą, kad visada yra pirminis skaičius tarp n ir 2n, įrodė Čebyševas)
• Ar Ferma pirminių skaičių skaičius yra begalinis? Ar po 4 yra Fermat pirminių skaičių?
• ar jis egzistuoja aritmetinė progresija iš eilės einančių pirminių skaičių bet kuriam tam tikram ilgiui? pavyzdžiui, 4 ilgiui: 251, 257, 263, 269. Didžiausias rastas ilgis yra 26.
• Ar aritmetinėje progresijoje yra begalinis trijų iš eilės pirminių skaičių aibių skaičius?
• n 2 – n + 41 yra pirminis skaičius, kai 0 ≤ n ≤ 40. Ar yra begalinis tokių pirminių skaičių skaičius? Tas pats klausimas formulei n 2 - 79 n + 1601. Šie skaičiai yra pirminiai, kai 0 ≤ n ≤ 79.
• Ar yra begalinis skaičius pirminių skaičių formos n# + 1? (n# yra visų pirminių skaičių, mažesnių už n, padauginimo rezultatas)
• Ar yra begalinis skaičius pirminių skaičių formos n# -1 ?
• Ar yra begalinis skaičius n formos pirminių skaičių? + 1?
• Ar yra begalinis skaičius n formos pirminių skaičių? - 1?
• jei p yra pirminis, ar 2 p -1 tarp jo veiksnių visada neturi pirminių kvadratų?
• ar Fibonačio sekoje yra begalinis pirminių skaičių skaičius?

Didžiausi dvyniai pirminiai skaičiai yra 2003663613 × 2 195000 ± 1. Jie susideda iš 58711 skaitmenų ir buvo atrasti 2007 m.

Didžiausias pirminis faktorinis skaičius (n! ± 1 tipo) yra 147855! - 1. Jį sudaro 142891 skaitmuo ir rastas 2002 m.

Didžiausias pirminis skaičius (n# ± 1 formos skaičius) yra 1098133# + 1.

Straipsnyje aptariamos pirminių ir sudėtinių skaičių sąvokos. Tokių skaičių apibrėžimai pateikiami su pavyzdžiais. Pateikiame įrodymą, kad pirminių skaičių skaičius neribojamas ir jį įrašysime į pirminių skaičių lentelę Eratosteno metodu. Bus pateikti įrodymai, leidžiantys nustatyti, ar skaičius yra pirminis, ar sudėtinis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai – apibrėžimai ir pavyzdžiai

Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai klasifikuojami kaip teigiami sveikieji skaičiai. Jie turi būti didesni nei vienas. Dalikliai taip pat skirstomi į paprastus ir sudėtinius. Norėdami suprasti sudėtinių skaičių sąvoką, pirmiausia turite išstudijuoti daliklių ir kartotinių sąvokas.

1 apibrėžimas

Pirminiai skaičiai yra sveikieji skaičiai, didesni už vieną ir turintys du teigiamus daliklius, ty save ir 1.

2 apibrėžimas

Sudėtiniai skaičiai yra sveikieji skaičiai, didesni už vieną ir turintys bent tris teigiamus daliklius.

Vienas nėra nei pirminis, nei sudėtinis skaičius. Jis turi tik vieną teigiamą daliklį, todėl skiriasi nuo visų kitų teigiamų skaičių. Visi teigiami sveikieji skaičiai vadinami natūraliaisiais skaičiais, tai yra, naudojami skaičiuojant.

3 apibrėžimas

pirminiai skaičiai yra natūralūs skaičiai, turintys tik du teigiamus daliklius.

4 apibrėžimas

Sudėtinis skaičius yra natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du teigiamus daliklius.

Bet kuris skaičius, didesnis nei 1, yra pirminis arba sudėtinis. Iš dalomumo savybės gauname, kad 1 ir skaičius a visada bus bet kurio skaičiaus a dalikliai, tai yra, jis dalijasi iš savęs ir iš 1. Pateiksime sveikųjų skaičių apibrėžimą.

5 apibrėžimas

Natūralūs skaičiai, kurie nėra pirminiai, vadinami sudėtiniais skaičiais.

Pirminiai skaičiai: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Jie dalijasi tik iš savęs ir 1. Sudėtiniai skaičiai: 6, 63, 121, 6697. Tai reiškia, kad skaičius 6 gali būti išskaidytas į 2 ir 3, o 63 - į 1, 3, 7, 9, 21, 63 ir 121 į 11, 11, tai yra, jo dalikliai bus 1, 11, 121. Skaičius 6697 suskaidomas į 37 ir 181. Atkreipkite dėmesį, kad pirminių ir pirminių skaičių sąvokos yra skirtingos sąvokos.

Kad būtų lengviau naudoti pirminius skaičius, turite naudoti lentelę:

Visų esamų natūraliųjų skaičių lentelė yra nereali, nes jų yra begalinis skaičius. Kai skaičiai pasiekia 10000 arba 1000000000 dydį, turėtumėte apsvarstyti galimybę naudoti Eratosteno sietą.

Panagrinėkime teoremą, kuri paaiškina paskutinį teiginį.

1 teorema

Mažiausias teigiamas natūraliojo skaičiaus, didesnio už vienetą, daliklis, išskyrus 1, yra pirminis skaičius.

1 įrodymas

Tarkime, kad a yra natūralusis skaičius, didesnis už 1, o b yra mažiausias nevienas a daliklis. Prieštaravimo metodu būtina įrodyti, kad b yra pirminis skaičius.

Tarkime, kad b yra sudėtinis skaičius. Iš čia matome, kad yra b daliklis, kuris skiriasi nuo 1 ir nuo b. Toks daliklis žymimas b 1. Būtina, kad 1 sąlyga< b 1 < b buvo baigtas.

Iš sąlygos aišku, kad a dalijamas iš b, b dalijasi iš b 1, o tai reiškia, kad dalijamumo sąvoka išreiškiama taip: a = b q ir b = b 1 · q 1 , iš kur a = b 1 · (q 1 · q) , kur q ir q 1 yra sveikieji skaičiai. Pagal sveikųjų skaičių daugybos taisyklę gauname, kad sveikųjų skaičių sandauga yra sveikasis skaičius, kurio lygybė yra a = b 1 · (q 1 · q) . Matyti, kad b1 yra skaičiaus a daliklis. 1 nelygybė< b 1 < b Ne atitinka, nes nustatome, kad b yra mažiausias teigiamas ir ne 1 daliklis a.

2 teorema

Pirminių skaičių yra begalinis skaičius.

2 įrodymas

Tikriausiai imame baigtinį skaičių natūraliųjų skaičių n ir pažymime juos kaip p 1, p 2, …, p n. Apsvarstykime galimybę rasti pirminį skaičių, kuris skiriasi nuo nurodytųjų.

Atsižvelkime į skaičių p, kuris lygus p 1, p 2, ..., p n + 1. Jis nėra lygus kiekvienam iš skaičių, atitinkančių pirminius skaičius formos p 1, p 2, ..., p n. Skaičius p yra pirminis. Tada teorema laikoma įrodyta. Jei jis yra sudėtinis, tada reikia pažymėti p n + 1 ir parodykite, kad daliklis nesutampa su nė vienu iš p 1, p 2, ..., p n.

Jei taip nebūtų, tada, remiantis sandaugos p 1, p 2, ..., p n dalijamumo savybe , nustatome, kad jis dalijasi iš pn + 1. Atkreipkite dėmesį, kad išraiška p n + 1 padalijus skaičių p, gaunama suma p 1, p 2, ..., p n + 1. Gauname, kad išraiška p n + 1 Antrasis šios sumos narys, lygus 1, turi būti padalintas, bet tai neįmanoma.

Galima pastebėti, kad tarp bet kurio pateiktų pirminių skaičių galima rasti bet kurį pirminį skaičių. Iš to išplaukia, kad pirminių skaičių yra be galo daug.

Kadangi pirminių skaičių yra daug, lentelės apsiriboja skaičiais 100, 1000, 10000 ir pan.

Sudarydami pirminių skaičių lentelę, turėtumėte atsižvelgti į tai, kad tokiai užduočiai atlikti reikia nuosekliai tikrinti skaičius, pradedant nuo 2 iki 100. Jei daliklio nėra, jis įrašomas į lentelę, jei sudėtinis, tada į lentelę neįvedamas.

Pažvelkime į tai žingsnis po žingsnio.

Jei pradedate nuo skaičiaus 2, tada jis turi tik 2 daliklius: 2 ir 1, o tai reiškia, kad jį galima įrašyti į lentelę. Tas pats su skaičiumi 3. Skaičius 4 yra sudėtinis; jis turi būti išskaidytas į 2 ir 2. Skaičius 5 yra pirminis, o tai reiškia, kad jį galima įrašyti į lentelę. Atlikite tai iki skaičiaus 100.

Šis metodas yra nepatogus ir užima daug laiko. Galite sukurti lentelę, bet turėsite išleisti didelis skaičius laikas. Būtina naudoti dalijamumo kriterijus, kurie pagreitins daliklių paieškos procesą.

Patogiausias laikomas metodas naudojant Eratosteno sietą. Pažvelkime į toliau pateiktas lenteles kaip pavyzdį. Pirmiausia užrašomi skaičiai 2, 3, 4, ..., 50.

Dabar reikia išbraukti visus skaičius, kurie yra 2 kartotiniai. Atlikite nuoseklius perbraukimus. Gauname tokią lentelę:

Mes pereiname prie skaičių, kurie yra 5 kartotiniai, perbraukimo. Mes gauname:

Nubraukite skaičius, kurie yra 7, 11 kartotiniai. Galų gale lentelė atrodo taip

Pereikime prie teoremos formulavimo.

3 teorema

Bazinio skaičiaus a mažiausias teigiamas ir ne 1 daliklis neviršija a, kur a yra duoto skaičiaus aritmetinė šaknis.

3 įrodymas

Būtina pažymėti b mažiausią sudėtinio skaičiaus a daliklį. Yra sveikasis skaičius q, kur a = b · q, ir mes turime, kad b ≤ q. Formos netolygumai yra nepriimtini b > q, nes pažeidžiama sąlyga. Abi nelygybės b ≤ q pusės turi būti padaugintos iš bet kurio teigiamo skaičiaus b, nelygaus 1. Gauname, kad b · b ≤ b · q, kur b 2 ≤ a ir b ≤ a.

Iš įrodytos teoremos aišku, kad skaičių perbraukimas lentelėje lemia tai, kad reikia pradėti nuo skaičiaus, lygaus b 2 ir tenkinančio nelygybę b 2 ≤ a. Tai yra, jei išbraukiate skaičius, kurie yra 2 kartotiniai, procesas prasideda 4, o 3 kartotiniai - 9 ir taip toliau iki 100.

Sudarant tokią lentelę naudojant Eratosteno teoremą, galima teigti, kad perbraukus visus sudėtinius skaičius, išliks pirminiai skaičiai, kurie neviršija n. Pavyzdyje, kur n = 50, turime, kad n = 50. Iš čia gauname, kad Eratosteno sietas atsijoja visus sudėtinius skaičius, kurie nėra reikšmingi. didesnę vertęšaknis iš 50. Skaičių paieška atliekama perbraukiant.

Prieš spręsdami turite išsiaiškinti, ar skaičius yra pirminis, ar sudėtinis. Dažnai naudojami padalijimo kriterijai. Pažvelkime į tai toliau pateiktame pavyzdyje.

1 pavyzdys

Įrodykite, kad skaičius 898989898989898989 yra sudėtinis.

Sprendimas

Tam tikro skaičiaus skaitmenų suma yra 9 8 + 9 9 = 9 17. Tai reiškia, kad skaičius 9 · 17 dalijasi iš 9, remiantis dalijimosi iš 9 testu. Iš to išplaukia, kad jis yra sudėtinis.

Tokie ženklai negali įrodyti skaičiaus pirmumo. Jei reikia patikrinti, reikia imtis kitų veiksmų. Dauguma tinkamas būdas- tai krūva skaičių. Proceso metu galima rasti pirminius ir sudėtinius skaičius. Tai reiškia, kad skaičiai neturėtų viršyti reikšmės. Tai reiškia, kad skaičius a turi būti padalytas į pirminius veiksnius. jei tai patenkinama, skaičius a gali būti laikomas pirminiu.

2 pavyzdys

Nustatykite sudėtinį arba pirminį skaičių 11723.

Sprendimas

Dabar reikia rasti visus skaičiaus 11723 daliklius. Reikia įvertinti 11723 .

Iš čia matome, kad 11723 m< 200 , то 200 2 = 40 000 ir 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 mažesnis skaičius 200 .

Daugiau tikslus įvertinimas numerį 11723, turite parašyti išraišką 108 2 = 11 664 ir 109 2 = 11 881 , Tai 108 2 < 11 723 < 109 2 . Iš to seka, kad 11723 m< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Išplėsdami matome, kad 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 yra pirminiai skaičiai. Visi šis procesas gali būti pavaizduotas kaip padalijimas stulpeliu. Tai yra, padalinkite 11723 iš 19. Skaičius 19 yra vienas iš jo veiksnių, nes mes gauname padalijimą be liekanos. Pavadinkime padalijimą kaip stulpelį:

Iš to išplaukia, kad 11723 yra sudėtinis skaičius, nes be savęs ir 1 jis turi daliklį iš 19.

Atsakymas: 11723 yra sudėtinis skaičius.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Visi kiti natūralieji skaičiai vadinami sudėtiniais. Natūralusis skaičius 1 nėra nei pirminis, nei sudėtinis.

Pavyzdys

Pratimas. Kurie iš toliau užrašytų natūraliųjų skaičių yra pirminiai:

Atsakymas.

Skaičiaus faktorius

Vadinamas natūraliųjų skaičių vaizdavimas natūraliųjų skaičių sandauga faktorizavimas. Jeigu natūraliojo skaičiaus faktorizacijoje visi veiksniai yra pirminiai skaičiai, tai tokia faktorizacija vadinama pirminis faktorizavimas.

Teorema

(Pagrindinė aritmetikos teorema)

Kiekvienas natūralusis skaičius, išskyrus 1, gali būti suskirstytas į pirminius veiksnius ir unikaliu būdu (jei nustatome faktorius ir , kur ir yra pirminiai skaičiai).

Sujungę vienodus pirminius skaičiaus skaidymo veiksnius, gauname vadinamąjį kanoninį skaičiaus skaidymą:

kur , yra įvairūs pirminiai skaičiai ir yra natūralūs skaičiai.

Pavyzdys

Pratimas. Raskite kanoninį skaičių išplėtimą:

Sprendimas. Norėdami rasti kanoninį skaičių skaidymą, pirmiausia turite įtraukti juos į pirminius veiksnius, tada sujungti tuos pačius veiksnius ir parašyti jų sandaugą kaip laipsnį su natūraliuoju eksponentu:

Atsakymas.

Istorinė nuoroda

Kaip nustatyti, kuris skaičius yra pirminis, o kuris ne? Labiausiai paplitęs būdas rasti visus pirminius skaičius bet kuriame skaičių diapazone buvo pasiūlytas III amžiuje. pr. Kr e. Eratostenas (metodas vadinamas „Eratosteno sietu“). Tarkime, kad turime nustatyti, kurie skaičiai yra pirminiai. Išrašykime juos iš eilės ir perbraukime kas antrą skaičių iš po skaičiaus 2 – jie visi yra sudėtiniai, nes yra skaičiaus 2 kartotiniai. Pirmasis iš likusių neperbrauktų skaičių – 3 – yra pirminis. Išbraukime kas trečią skaičių iš einančių po skaičiaus 3; kitas iš neperbrauktų skaičių – 5 – taip pat bus pirminis. Tuo pačiu principu išbrauksime kiekvieną penktą skaičių iš tų, kurie eina po skaičiumi 5, ir paprastai kiekvieną iš tų, kurie eina po skaičiaus . Visi likę neperbraukti skaičiai bus pirminiai skaičiai.

Didėjant pirminiams skaičiams, jie palaipsniui tampa vis retesni. Tačiau jau senoliai puikiai žinojo, kad jų yra be galo daug. Jo įrodymas pateiktas Euklido elementuose.