Ką reiškia taisyklinga keturkampė piramidė? Piramidė. Teisinga piramidė

Tūrinė figūra, kuri dažnai atsiranda geometrijos problemose, yra piramidė. Paprasčiausia iš visų šios klasės figūrų yra trikampė. Šiame straipsnyje mes išsamiai išanalizuosime pagrindines teisingo formules ir savybes

Geometrinės idėjos apie figūrą

Prieš pradėdami svarstyti taisyklingos trikampės piramidės savybes, atidžiau pažiūrėkime, apie kokią figūrą kalbame.

Tarkime, kad trimatėje erdvėje yra savavališkas trikampis. Pažymime bet kurį šios erdvės tašką, kuris nėra trikampio plokštumoje, ir sujungsime jį su trimis trikampio viršūnėmis. Gavome trikampę piramidę.

Jį sudaro 4 kraštinės, kurios visos yra trikampės. Taškai, kuriuose susikerta trys veidai, vadinami viršūnėmis. Figūroje taip pat yra keturi iš jų. Dviejų veidų susikirtimo linijos yra briaunos. Aptariama piramidė turi 6 briaunas. Toliau pateiktame paveikslėlyje parodytas šios figūros pavyzdys.

Kadangi figūrą sudaro keturios kraštinės, ji taip pat vadinama tetraedru.

Teisinga piramidė

Aukščiau mes apsvarstėme savavališką figūrą su trikampiu pagrindu. Dabar tarkime, kad nubrėžiame statmeną atkarpą nuo piramidės viršaus iki jos pagrindo. Šis segmentas vadinamas aukščiu. Akivaizdu, kad galite nupiešti 4 skirtingus figūros aukščius. Jei aukštis kerta trikampio pagrindą geometriniame centre, tada tokia piramidė vadinama tiesia.

Tiesi piramidė, kurios pagrindas yra lygiakraštis trikampis, vadinama taisyklingąja. Jai visi trys trikampiai, sudarantys šoninį figūros paviršių, yra lygiašoniai ir lygūs vienas kitam. Ypatingas taisyklingosios piramidės atvejis yra situacija, kai visos keturios kraštinės yra lygiakraščiai identiški trikampiai.

Panagrinėkime taisyklingos trikampės piramidės savybes ir pateiksime atitinkamas formules jos parametrams apskaičiuoti.

Pagrindo pusė, aukštis, šoninis kraštas ir apotema

Bet kurie du iš išvardytų parametrų vienareikšmiškai nustato kitas dvi charakteristikas. Pateiksime formules, kurios susieja šiuos dydžius.

Tarkime, kad taisyklingos trikampės piramidės pagrindo kraštinė yra a. Jo šoninio krašto ilgis b. Koks bus taisyklingos trikampės piramidės ir jos apotemos aukštis?

Dėl ūgio h gauname išraišką:

Ši formulė išplaukia iš Pitagoro teoremos, kurios šoninė briauna, aukštis ir 2/3 pagrindo aukščio.

Piramidės apotemas yra bet kurio aukštis šoninis trikampis. Apotemos a b ilgis yra lygus:

a b = √ (b 2 - a 2 /4)

Iš šių formulių aišku, kad ir kokia būtų trikampės taisyklingosios piramidės pagrindo kraštinė ir jos šoninės briaunos ilgis, apotemas visada bus didesnis už piramidės aukštį.

Dviejose pateiktose formulėse yra visos keturios nagrinėjamos figūros tiesinės charakteristikos. Todėl, atsižvelgiant į žinomus du iš jų, likusius galite rasti išspręsdami rašytinių lygybių sistemą.

Figūros tūris

Absoliučiai bet kuriai piramidei (įskaitant pasvirusią) jos ribojamos erdvės tūrio vertę galima nustatyti žinant figūros aukštį ir jos pagrindo plotą. Atitinkama formulė yra:

Pritaikę šią išraišką aptariamai figūrai, gauname tokią formulę:

Kur taisyklingos trikampės piramidės aukštis yra h, o pagrindo kraštinė yra a.

Nesunku gauti tetraedro tūrio formulę, kurioje visos kraštinės yra lygios viena kitai ir vaizduoja lygiakraščius trikampius. Šiuo atveju figūros tūris nustatomas pagal formulę:

Tai yra, ji vienareikšmiškai nustatoma pagal kraštinės a ilgį.

Paviršiaus plotas

Toliau nagrinėkime taisyklingos trikampės piramidės savybes. Bendras visų figūros veidų plotas vadinamas jos paviršiaus plotu. Pastarąjį galima patogiai ištirti atsižvelgiant į atitinkamą plėtrą. Žemiau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kaip atrodo taisyklingos trikampės piramidės raida.

Tarkime, kad žinome figūros aukštį h ir pagrindo a kraštinę. Tada jo pagrindo plotas bus lygus:

Kiekvienas moksleivis gali gauti šią išraišką, jei prisimena, kaip rasti trikampio plotą, taip pat atsižvelgia į tai, kad lygiakraščio trikampio aukštis taip pat yra pusiausvyra ir mediana.

Šoninio paviršiaus plotas, sudarytas iš trijų vienodų lygiašonių trikampių, yra:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Ši lygybė išplaukia iš piramidės apotemos išraiškos pagrindo aukščiu ir ilgiu.

Bendras paveikslo paviršiaus plotas yra:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Atkreipkite dėmesį, kad tetraedro, kurio visos keturios kraštinės yra vienodi lygiakraščiai trikampiai, plotas S bus lygus:

Taisyklingos nupjautinės trikampės piramidės savybės

Jei nagrinėjamos trikampės piramidės viršūnė nupjaunama plokštuma, lygiagrečia pagrindui, tada likusi dalis Apatinė dalis bus vadinama nupjautąja piramide.

Trikampio pagrindo atveju taikant aprašytą pjūvių metodą gaunamas naujas trikampis, kuris taip pat yra lygiakraštis, bet kurio kraštinės ilgis yra trumpesnis nei pagrindo kraštinės. Žemiau parodyta nupjauta trikampė piramidė.

Matome, kad šią figūrą jau riboja du trikampiai pagrindai ir trys lygiašonės trapecijos.

Tarkime, kad gautos figūros aukštis lygus h, apatinio ir viršutinio pagrindo kraštinių ilgiai atitinkamai a 1 ir a 2, o apotemas (trapecijos aukštis) lygus a b. Tada nupjautos piramidės paviršiaus plotą galima apskaičiuoti pagal formulę:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Čia pirmasis terminas yra šoninio paviršiaus plotas, antrasis terminas yra trikampio pagrindo plotas.

Figūros tūris apskaičiuojamas taip:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Norint vienareikšmiškai nustatyti nupjautos piramidės charakteristikas, būtina žinoti tris jos parametrus, kaip parodyta pateiktomis formulėmis.

2 vaizdo pamoka: Piramidės problema. Piramidės tūris

3 vaizdo pamoka: Piramidės problema. Teisinga piramidė

Paskaita: Piramidė, jos pagrindas, šoniniai šonkauliai, aukštis, šoninis paviršius; trikampė piramidė; taisyklinga piramidė

Piramidė, jos savybės

Piramidė yra trimatis kūnas, kurio pagrindas yra daugiakampis, o visi jo paviršiai susideda iš trikampių.

Ypatingas piramidės atvejis yra kūgis, kurio pagrindas yra apskritimas.

Pažvelkime į pagrindinius piramidės elementus:

Apotema- tai segmentas, jungiantis piramidės viršūnę su šoninio paviršiaus apatinio krašto viduriu. Kitaip tariant, tai yra piramidės krašto aukštis.

Paveiksle matote trikampius ADS, ABS, BCS, CDS. Jei atidžiai pažvelgsite į pavadinimus, pamatysite, kad kiekvieno trikampio pavadinime yra viena bendra raidė - S. Tai reiškia, kad visi šoniniai paviršiai (trikampiai) susilieja viename taške, kuris vadinamas piramidės viršūne. .

Atkarpa OS, jungianti viršūnę su pagrindo įstrižainių susikirtimo tašku (trikampių atveju - aukščių susikirtimo taške) vadinamas piramidės aukštis.

Įstrižainė yra plokštuma, einanti per piramidės viršūnę, taip pat viena iš pagrindo įstrižainių.

Kadangi piramidės šoninis paviršius susideda iš trikampių, norint rasti bendrą šoninio paviršiaus plotą, reikia rasti kiekvieno veido plotą ir juos sudėti. Veidų skaičius ir forma priklauso nuo daugiakampio, esančio prie pagrindo, kraštinių formos ir dydžio.

Vienintelė piramidės plokštuma, kuri nepriklauso jos viršūnei, vadinama pagrindu piramidės.

Paveiksle matome, kad pagrindas yra lygiagretainis, tačiau jis gali būti bet koks savavališkas daugiakampis.

Savybės:

Apsvarstykite pirmąjį piramidės atvejį, kai jos kraštai yra vienodo ilgio:

• Aplink tokios piramidės pagrindą galima nubrėžti apskritimą. Jei projektuosite tokios piramidės viršūnę, tada jos projekcija bus apskritimo centre.
• Piramidės pagrindo kampai yra vienodi kiekviename paviršiuje.
• Kuriame pakankama būklėį tai, kad aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą, taip pat galime manyti, kad visos briaunos skirtingi ilgiai, galime laikyti vienodus kampus tarp pagrindo ir kiekvieno veidų krašto.

Jei susidursite su piramide, kurioje kampai tarp šoninių paviršių ir pagrindo yra lygūs, tada šios savybės yra teisingos:

• Galėsite apibūdinti apskritimą aplink piramidės pagrindą, kurio viršūnė projektuojama tiksliai centre.
• Jei kiekvieną šoninį aukščio kraštą nubrėžiate prie pagrindo, jie bus vienodo ilgio.
• Norint rasti tokios piramidės šoninį paviršiaus plotą, pakanka rasti pagrindo perimetrą ir padauginti jį iš pusės aukščio ilgio.
• S bp = 0,5P oc H.
• Piramidės tipai.
• Priklausomai nuo to, kuris daugiakampis yra piramidės pagrinde, jie gali būti trikampiai, keturkampiai ir kt. Jei piramidės pagrinde yra taisyklingas daugiakampis (su lygios pusės), tada tokia piramidė bus vadinama taisyklingąja.

Taisyklinga trikampė piramidė

Čia galite rasti pagrindinės informacijos apie piramides ir susijusias formules bei sąvokas. Visi jie mokomi su matematikos kuratoriumi ruošiantis vieningajam valstybiniam egzaminui.

Apsvarstykite plokštumą, daugiakampį , guli jame ir taškas S, o ne guli jame. Sujungkime S prie visų daugiakampio viršūnių. Gautas daugiakampis vadinamas piramide. Segmentai vadinami šoniniais šonkauliais. Daugiakampis vadinamas pagrindu, o taškas S yra piramidės viršūnė. Priklausomai nuo skaičiaus n, piramidė vadinama trikampe (n=3), keturkampe (n=4), penkiakampe (n=5) ir pan. Alternatyvus trikampės piramidės pavadinimas yra tetraedras. Piramidės aukštis yra statmenas, nusileidžiantis nuo jos viršaus iki pagrindo plokštumos.

Piramidė vadinama taisyklingąja, jei taisyklingas daugiakampis, o piramidės aukščio pagrindas (statmens pagrindas) yra jos centras.

Mokytojo komentaras:
Nepainiokite sąvokų „teisinga piramidė“ ir „ taisyklingas tetraedras“ Taisyklingoje piramidėje šoninės briaunos nebūtinai yra lygios pagrindo kraštams, tačiau taisyklingajame tetraedre visos 6 briaunos yra lygios. Tai yra jo apibrėžimas. Nesunku įrodyti, kad lygybė reiškia, kad daugiakampio centras P sutampa su pagrindo aukščiu, todėl taisyklingas tetraedras yra taisyklinga piramidė.

Kas yra apotemas?
Piramidės apotemas yra jos šoninio paviršiaus aukštis. Jei piramidė yra taisyklinga, tai visi jos apotemai yra lygūs. Atvirkščiai netiesa.

Matematikos dėstytojas apie savo terminologiją: 80% darbo su piramidėmis yra sudaryta iš dviejų tipų trikampių:
1) Sudėtyje yra apothem SK ir aukštis SP
2) Turintis šoninę briauną SA ir jos projekciją PA

Siekiant supaprastinti nuorodas į šiuos trikampius, matematikos mokytojui patogiau skambinti pirmuoju iš jų apotemiškas, ir antra pakrantės. Deja, šios terminijos nerasite nė viename vadovėlyje, o mokytojas turi vienašališkai ją supažindinti.

Piramidės tūrio formulė:
1) , kur yra piramidės pagrindo plotas ir piramidės aukštis
2) , kur įbrėžto rutulio spindulys ir plotas viso paviršiaus piramidės.
3) , kur MN yra atstumas tarp bet kurių dviejų susikertančių kraštų ir lygiagretainio plotas, sudarytas iš keturių likusių briaunų vidurio taškų.

Piramidės aukščio pagrindo savybė:

Taškas P (žr. paveikslą) sutampa su įbrėžto apskritimo centru piramidės pagrindu, jei tenkinama viena iš šių sąlygų:
1) Visi apotemai yra lygūs
2) Visi šoniniai paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindą
3) Visi apotemai vienodai pasvirę į piramidės aukštį
4) Piramidės aukštis yra vienodai pasviręs į visus šoninius paviršius

Matematikos mokytojo komentaras: Atkreipkite dėmesį, kad visi taškai turi vieną bendrą bruožą bendroji nuosavybė: vienaip ar kitaip, visur dalyvauja šoniniai veidai (apotemos yra jų elementai). Todėl dėstytojas gali pasiūlyti ne tokią tikslią, bet patogesnę mokymuisi formuluotę: taškas P sutampa su įbrėžto apskritimo centru, piramidės pagrindu, jei yra lygiavertė informacija apie jo šoninius paviršius. Norėdami tai įrodyti, pakanka parodyti, kad visi apotemų trikampiai yra lygūs.

Taškas P sutampa su apskritimo, apibrėžto šalia piramidės pagrindo, centru, jei yra viena iš trijų sąlygų:
1) Visi šoniniai kraštai yra vienodi
2) Visi šoniniai šonkauliai vienodai pasvirę į pagrindą
3) Visi šoniniai šonkauliai vienodai pasvirę į aukštį

Piramidė. Nupjauta piramidė

Piramidė yra daugiakampis, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis ( bazė ), o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne ( šoniniai veidai ) (15 pav.). Piramidė vadinama teisinga , jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą (16 pav.). Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios tetraedras .

Šoninis šonkaulis piramidės yra šoninio paviršiaus pusė, kuri nepriklauso pagrindui Aukštis piramidė yra atstumas nuo jos viršaus iki pagrindo plokštumos. Visos taisyklingosios piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai, visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Taisyklingos piramidės, ištrauktos iš viršūnės, šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotemas . Įstrižainė pjūvis vadinama piramidės pjūviu plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Šoninio paviršiaus plotas piramidė yra visų šoninių paviršių plotų suma. Bendras paviršiaus plotas vadinama visų šoninių paviršių ir pagrindo plotų suma.

Teoremos

1. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodai pasvirusios į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžto šalia pagrindo, centrą.

2. Jei visos piramidės šoninės briaunos yra vienodo ilgio, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.

3. Jei piramidėje visi paviršiai vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į pagrinde įbrėžto apskritimo centrą.

Norint apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, teisinga formulė yra:

Kur V- tūris;

S bazė– bazinis plotas;

H– piramidės aukštis.

Įprastos piramidės atveju teisingos šios formulės:

Kur p– bazinis perimetras;

h a– apotemas;

H- aukštis;

S pilnas

S pusė

S bazė– bazinis plotas;

V– taisyklingos piramidės tūris.

Nupjauta piramidė vadinama piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui (17 pav.). Taisyklinga nupjauta piramidė vadinama taisyklingosios piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui.

Priežastys nupjauta piramidė – panašūs daugiakampiai. Šoniniai veidai – trapecijos. Aukštis Nupjautos piramidės atstumas tarp jos pagrindų. Įstrižainė nupjauta piramidė yra atkarpa, jungianti jos viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje. Įstrižainė pjūvis yra nupjautinės piramidės atkarpa plokštuma, kertanti du šoninius kraštus, nepriklausančius tam pačiam paviršiui.

Sutrumpintai piramidei galioja šios formulės:

(4)

Kur S 1 , S 2 – viršutinio ir apatinio pagrindo plotai;

S pilnas– bendras paviršiaus plotas;

S pusė– šoninio paviršiaus plotas;

H- aukštis;

V– nupjautinės piramidės tūris.

Taisyklingai sutrumpintai piramidei formulė yra teisinga:

Kur p 1 , p 2 – pagrindų perimetrai;

h a– taisyklingos nupjautinės piramidės apotema.

1 pavyzdys. Dešinėje trikampė piramidė dvikampis kampas prie pagrindo yra 60º. Raskite šoninės briaunos polinkio kampo į pagrindo plokštumą liestinę.

Sprendimas. Padarykime piešinį (18 pav.).

Piramidė yra taisyklinga, o tai reiškia, kad prie pagrindo yra lygiakraštis trikampis, o visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Dvikampis kampas prie pagrindo yra piramidės šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą. Linijinis kampas yra kampas a tarp dviejų statmenų: ir kt. Piramidės viršūnė projektuojama į trikampio centrą (apskritimo ir įbrėžto trikampio apskritimo centras ABC). Šoninio krašto pasvirimo kampas (pvz S.B.) yra kampas tarp paties krašto ir jo projekcijos į pagrindo plokštumą. Dėl šonkaulio S.B.šis kampas bus kampas SBD. Norėdami rasti liestinę, turite žinoti kojas TAIP Ir O.B.. Tegul segmento ilgis BD lygus 3 A. Taškas APIE linijos segmentas BD yra padalintas į dalis: ir Iš randame TAIP: Iš randame:

Atsakymas:

2 pavyzdys. Raskite taisyklingos nupjautinės keturkampės piramidės tūrį, jei jos pagrindų įstrižainės lygios cm ir cm, o aukštis – 4 cm.

Sprendimas. Norėdami rasti nupjautos piramidės tūrį, naudojame formulę (4). Norėdami rasti pagrindų plotą, turite rasti pagrindo kvadratų kraštines, žinant jų įstrižaines. Pagrindų kraštinės atitinkamai lygios 2 cm ir 8 cm Tai reiškia pagrindų plotus ir Pakeitę visus duomenis į formulę, apskaičiuojame nupjautinės piramidės tūrį:

Atsakymas: 112 cm3.

3 pavyzdys. Raskite taisyklingos trikampės nupjautinės piramidės, kurios pagrindų kraštinės yra 10 cm ir 4 cm, o piramidės aukštis yra 2 cm, šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (19 pav.).

Šios piramidės šoninis paviršius yra lygiašonė trapecija. Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą, turite žinoti pagrindą ir aukštį. Pagrindai pateikiami pagal būklę, tik aukštis lieka nežinomas. Iš kur ją surasime A 1 E statmenai nuo taško A 1 apatinio pagrindo plokštumoje, A 1 D– statmenai nuo A 1 proc AC. A 1 E= 2 cm, nes tai yra piramidės aukštis. Rasti DE Padarykime papildomą brėžinį, kuriame parodytas vaizdas iš viršaus (20 pav.). Taškas APIE– viršutinio ir apatinio pagrindo centrų projekcija. kadangi (žr. 20 pav.) ir Kita vertus Gerai– spindulys, įrašytas į apskritimą ir OM– spindulys, įrašytas į apskritimą:

MK = DE.

Pagal Pitagoro teoremą iš

Šoninė veido sritis:

Atsakymas:

4 pavyzdys. Piramidės pagrinde yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindai A Ir b (a> b). Kiekvienas šoninis kraštas sudaro kampą, lygų piramidės pagrindo plokštumai j. Raskite bendrą piramidės paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (21 pav.). Bendras piramidės paviršiaus plotas SABCD lygus trapecijos plotų ir plotų sumai ABCD.

Pasinaudokime teiginiu, kad jei visi piramidės paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą. Taškas APIE– viršūnių projekcija S piramidės pagrindu. Trikampis SOD yra stačiakampio trikampio projekcija CSDį pagrindo plokštumą. Naudodami teoremą apie plokštumos figūros ortogonaliosios projekcijos plotą, gauname:

Lygiai taip pat tai reiškia Taigi problema buvo sumažinta iki trapecijos ploto suradimo ABCD. Nubraižykime trapeciją ABCD atskirai (22 pav.). Taškas APIE– į trapeciją įbrėžto apskritimo centras.

Kadangi apskritimas gali būti įrašytas į trapeciją, tada arba Iš Pitagoro teoremos turime