Teisingo tetraedro nustatymas. Taisyklingas tetraedras (piramidė). Tetraedrai mikropasaulyje

Visi jo veidai yra lygūs trikampiai. Izoedrinio tetraedro išsiskleidimas yra trikampis, padalytas iš trijų vidurio linijų į keturis vienodus trikampius. Lygiakraščio tetraedro aukščių pagrindai, aukščių vidurio taškai ir veidų aukščių susikirtimo taškai yra vienos sferos paviršiuje (12 taškų rutulys) (Eulerio apskritimo analogas trikampiui) .

Izoedrinio tetraedro savybės:

Visi jo veidai yra lygūs (sutampa).
Sukryžiuoti kraštai poromis lygūs.
Trikampio kampai lygūs.
Priešingi dvikampiai kampai yra lygūs.
Du plokštumos kampai, esantys ant vieno krašto, yra lygūs.
Plokščių kampų suma kiekvienoje viršūnėje yra 180 °.
Išskleiskite tetraedrą – trikampį arba lygiagretainį.
Aprašytas gretasienis yra stačiakampis.
Tetraedras turi tris simetrijos ašis.
Bendrieji susikertančių briaunų statmenys yra poriniai statmenai.
Vidurinės linijos yra statmenos poromis.
Veidų perimetrai lygūs.
Veidų plotai yra vienodi.
Tetraedro aukščiai lygūs.
Linijų atkarpos, jungiančios viršūnes su priešingų paviršių svorio centrais, yra lygios.
Aplink briaunas aprašytų apskritimų spinduliai yra lygūs.
Tetraedro svorio centras sutampa su aprašytos sferos centru.
Svorio centras sutampa su įrašytos sferos centru.
Aprašytos sferos centras sutampa su įrašytosios sferos centru.
Įrašyta sfera liečia paviršius, esančius aplink šiuos paviršius apribotų apskritimų centruose.
Išorinių vienetų normaliųjų (vieneto vektorių, statmenų paviršiams) suma lygi nuliui.
Visų dvikampių kampų suma lygi nuliui.

Ortocentrinis tetraedras

Visi aukščiai, nukritę iš viršūnių į priešingus veidus, susikerta viename taške.

Ortocentrinio tetraedro savybės:

Tetraedro aukščiai susikerta viename taške.
Tetraedro aukščių pagrindai yra veidų ortocentrai.
Kas dvi priešingos tetraedro briaunos yra statmenos.
Tetraedro priešingų kraštinių kvadratų sumos yra lygios.
Atkarpos, jungiančios priešingų tetraedro briaunų vidurio taškus, yra lygios.
Priešingų dvikampių kampų kosinusų sandaugos yra lygios.
Veidų plotų kvadratų suma keturis kartus mažesnė už priešingų briaunų sandaugų kvadratų sumą.
Turi ortocentrinis tetraedras kiekvieno veido 9 taškų apskritimas (Eulerio ratas) priklauso vienai sferai (24 taškų sferai).
Turi ortocentrinis tetraedras svorio centrai ir paviršių aukščių susikirtimo taškai, taip pat taškai, skiriantys kiekvieno tetraedro aukščio atkarpas nuo viršūnės iki aukščių susikirtimo taško santykiu 2:1, yra ant ta pati sfera (12 taškų sfera).

Stačiakampis tetraedras

Visos briaunos, esančios greta vienos iš viršūnių, yra statmenos viena kitai. Stačiakampis tetraedras gaunamas plokštuma nupjaunant tetraedrą nuo stačiakampio gretasienio.

Skeleto tetraedras

Tai tetraedras, atitinkantis bet kurią iš šių sąlygų:

yra rutulys, liečiantis visus kraštus,
susikertančių briaunų ilgių sumos yra lygios,
dvikampių kampų sumos priešingose kraštinėse yra lygios,
veiduose įrašyti apskritimai liečiasi poromis,
aprašyti visi keturkampiai, gauti ant tetraedro,
statmenai, pakelti į paviršius iš juose įrašytų apskritimų centrų, susikerta viename taške.

Proporcingas tetraedras

Proporcingo tetraedro savybės:

Aukščiai lygūs. Tetraedro bifetai yra bendri statmenai dviem susikertančioms tetraedro briaunoms (kraštams, kurie neturi bendrų viršūnių).
Tetraedro projekcija į plokštumą, statmeną bet kuriai bimedianai, yra rombas. Bimedianai tetraedru vadinamos atkarpos, jungiančios jo susikertančių briaunų vidurio taškus (kurie neturi bendrų viršūnių).
Apibūdinto gretasienio paviršiai yra vienodo dydžio.
Įvykdomi šie santykiai: $4a ^ 2 (a_1) ^ 2- (b ^ 2 + (b_1) ^ 2-c ^ 2- (c_1) ^ 2) ^ 2 = 4b ^ 2 (b_1) ^ 2- (c ^ 2 + (c_1) ^ 2-a ^ 2- (a_1) ^ 2) ^ 2 = 4c ^ 2 (c_1) ^ 2- (a ^ 2 + (a_1) ^ 2-b ^ 2- (b_1) ^ 2) ^ 2$ , kur $a$ ir $a_1$ , $b$ ir $b_1$ , $c$ ir $c_1$ - priešingų šonkaulių ilgis.
Kiekvienai priešingų tetraedro briaunų porai plokštumos, nubrėžtos per vieną iš jų, o antrosios vidurys yra statmenos.
Į aprašytą proporcingo tetraedro gretasienį galima įrašyti sferą.

Incentrinis tetraedras

Šio tipo atkarpos, jungiančios tetraedro viršūnes su apskritimų centrais, įrašytais į priešingus paviršius, susikerta viename taške. Incentrinio tetraedro savybės:

Atkarpos, jungiančios tetraedro paviršių svorio centrus su priešingomis viršūnėmis (tetraedro medianomis), visada susikerta viename taške. Šis taškas yra tetraedro svorio centras.
komentuoti... Jei paskutine sąlyga veidų svorio centrus pakeisime veidų ortocentrais, tai pavirs nauju apibrėžimu ortocentrinis tetraedras... Jei juos pakeisime apskritimų centrais, įrašytais į veidą, kartais vadinamą centrų, gausime naujos tetraedrų klasės apibrėžimą - incentrinis.
Atkarpos, jungiančios tetraedro viršūnes su apskritimų centrais, įrašytais į priešingus paviršius, susikerta viename taške.
Dviejų veidų kampų bisektoriai, nubrėžti į bendrą šių paviršių kraštą, turi bendrą pagrindą.
Priešingų briaunų ilgių sandaugai yra lygūs.
Trikampis, sudarytas iš antrųjų trijų briaunų, besitęsiančių iš vienos viršūnės, ir bet kurios rutulio, einančios per tris šių briaunų galus, susikirtimo taškų, yra lygiakraštis.

Taisyklingas tetraedras

Tai izoedrinis tetraedras, visi jo paviršiai yra taisyklingi trikampiai. Tai vienas iš penkių Platono kūnų.

Taisyklingo tetraedro savybės:

visos tetraedro briaunos yra lygios viena kitai,
visi tetraedro paviršiai yra lygūs vienas kitam,
visų veidų perimetrai ir plotai yra lygūs vienas kitam.
Taisyklingas tetraedras yra tuo pačiu metu ortocentrinis, rėminis, vienodo atstumo, necentrinis ir proporcingas.
Tetraedras yra teisingas, jei jis priklauso bet kuriems dviem iš šių tetraedrų tipų: ortocentrinis, rėmelis, incentrinis, proporcingas, lygus.
Tetraedras yra teisingas, jei jis yra lygus ir priklauso vienam iš šių tetraedrų tipų: ortocentrinis, rėmelis, incentrinis, proporcingas.
Į taisyklingą tetraedrą galima įrašyti oktaedrą, be to, keturi (iš aštuonių) oktaedro paviršiai bus sulygiuoti su keturiais tetraedro paviršiais, visos šešios oktaedro viršūnės bus sulygiuotos su šešių tetraedro kraštų centrais. tetraedras.
Taisyklingasis tetraedras susideda iš vieno įrašyto oktaedro (centre) ir keturių tetraedrų (išilgai viršūnių), o šių tetraedrų ir oktaedrų briaunos yra perpus mažesnės už taisyklingo tetraedro briaunas.
Taisyklingą tetraedrą į kubą galima įrašyti dviem būdais, be to, keturios tetraedro viršūnės bus sulygiuotos su keturiomis kubo viršūnėmis.
Taisyklingas tetraedras gali būti įrašytas į ikosaedrą, be to, keturios tetraedro viršūnės bus sulygiuotos su keturiomis ikosaedro viršūnėmis.
Taisyklingo tetraedro kryžminės briaunos yra viena kitai statmenos.

Tetraedro tūris

Tetraedro tūris (atsižvelgiant į ženklą), kurio viršūnės yra taškuose $\ mathbf (r) _1 (x_1, y_1, z_1),$ $\ mathbf (r) _2 (x_2, y_2, z_2),$ $\ mathbf (r) _3 (x_3, y_3, z_3),$ $\ mathbf (r) _4 (x_4, y_4, z_4),$ yra lygus

V = \ frac16 \ pradžia (vmatrica) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \ pabaiga (vmatrica) = \ pradžia (frac16 ) vmatrica) x_2 - x_1 ir y_2 - y_1 ir z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 ir y_3 - y_1 ir z_3 - z_1 \\ x_4 - x_1 ir y_4 - y_1 ir z_4 - z_1), \ pabaiga (vmatrica)

arba

$V = \ frac (1) (3) \ S H,$

kur $S$ Ar bet kurio veido sritis ir $H$ - aukštis nukrito iki šio krašto.

Tetraedro tūris kraštų ilgiais išreiškiamas naudojant Cayley-Menger determinantą:

288 \ cdot V ^ 2 = 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_ (12) ^ 2 & d_ (13) ^ 2 & d_ (14) ^ 2 \\ 1 & d_ (12) ^ 2 & 0 & d_ ( 23) ^ 2 & d_ (24) ^ 2 \\ 1 & d_ (13) ^ 2 & d_ (23) ^ 2 & 0 & d_ (34) ^ 2 \\ 1 & d_ (14) ^ 2 ir d_ ( 24) ^ 2 ir d_ (34) ^ 2 ir 0\ pabaiga (vmatrica).

Ši formulė turi plokščią trikampio ploto analogą Herono formulės varianto pavidalu per panašų determinantą.
Tetraedro tūris per dviejų priešingų briaunų ilgius a ir b kaip tolimųjų linijų kirtimas h vienas nuo kito ir sudaro kampą vienas su kitu $\ phi$ , randama pagal formulę:

$V = \ frac (1) (6) ab h \ sin \ phi.$

V = \ frac (1) (3) \ abc \ sqrt (D),

kur $D = \ pradžia (vmatrica)1 & \ cos \ gamma & \ cos \ beta \\ \ cos \ gamma & 1 & \ cos \ alfa \\ \ cos \ beta & \ cos \ alfa & 1 \ pabaiga (vmatrica).$

Paskutinės formulės plokštumos analogas yra trikampio ploto formulė pagal jo dviejų kraštinių ilgius a ir b iškylantys iš vienos viršūnės ir sudarantys vienas su kitu kampą $\ gama$ :

S = \ frac (1) (2) \ ab \ sqrt (D),

kur $D = \ pradžia (vmatrica)1 & \ cos \ gamma \\ \ cos \ gamma & 1 \\ \ end (vmatrix).$

Tetraedrai mikropasaulyje

Taisyklingasis tetraedras susidaro sp 3 -hibridizuojant atominėms orbitoms (jų ašys nukreiptos į taisyklingojo tetraedro viršūnes, o centrinio atomo branduolys yra aprašytos taisyklingo tetraedro sferos centre), todėl daugelis molekulių, kuriose vyksta tokia centrinio atomo hibridizacija, turi šio daugiakampio formą
Metano molekulė CH4
Sulfato jonai SO 4 2-, fosfato jonai PO 4 3-, perchlorato jonai ClO 4 - ir daugelis kitų jonų
Deimantas C yra tetraedras, kurio briauna lygi 2,5220 angstremo
Fluoritas CaF 2, tetraedras, kurio briauna lygi 3 8626 angstrems
Sfaleritas, ZnS, tetraedras, kurio briauna lygi 3,823 angstremo
Kompleksiniai jonai -, 2-, 2-, 2+
Silikatai, kurių struktūra pagrįsta silicio-deguonies tetraedru 4-

Tetraedrai gamtoje

Kai kurie vaisiai, kurių viena vertus yra keturi, yra tetraedro viršūnėse, kuri yra arti teisingo. Ši konstrukcija atsirado dėl to, kad keturių identiškų rutuliukų, besiliečiančių vienas kitą, centrai yra taisyklingo tetraedro viršūnėse. Todėl į kamuoliukus panašūs vaisiai sudaro panašų tarpusavio išsidėstymą. Pavyzdžiui, graikiniai riešutai gali būti išdėstyti tokiu būdu.

Tetraedrai technologijose

taip pat žr

Simpleksas – n matmenų tetraedras

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Tetraedras"

Pastabos (redaguoti)

Literatūra

Matizenas V.E., Dubrovskis. Iš tetraedro geometrijos „Kvantas“, Nr.9, 1988 P.66.
Zaslavskis A.A. // Matematinis ugdymas, ser. 3 (2004), Nr.8, 78-92 p.

Teisingai

Teisingai
neišgaubtas

Išgaubtas

Formulės,
teoremos,
teorija

Kita

Ištrauka iš Tetraedro

Ketvirtą dieną gaisrai kilo Zubovskio val.
Pierre'as ir trylika kitų buvo nuvežti į Krymsky Brod, į pirklio namo autobusų namą. Eidamas gatvėmis Pierre'as užduso nuo dūmų, kurie, atrodė, tvyrojo virš viso miesto. Gaisrai buvo matomi iš skirtingų pusių. Pierre'as tuo metu dar nesuprato sudegusios Maskvos reikšmės ir su siaubu žiūrėjo į šiuos gaisrus.
Prie Krymo Brodo esančio namo karietų stoginėje Pjeras išbuvo dar keturias dienas ir per šias dienas iš prancūzų kareivių pokalbio sužinojo, kad visi čia esantys kasdien tikisi maršalo sprendimo. Koks maršalas, Pierre'as negalėjo sužinoti iš kareivių. Akivaizdu, kad kariui maršalka atrodė aukščiausia ir šiek tiek paslaptinga valdžios grandis.
Šios pirmosios dienos, iki rugsėjo 8 d., tos dienos, kai kaliniai buvo nuvežti antrajam tardymui, Pierre'ui buvo sunkiausios.

X
Rugsėjo 8 d., sprendžiant iš sargybinių pagarbos, į kalinius į tvartą įėjo labai svarbus pareigūnas. Šis karininkas, tikriausiai štabo karininkas, su sąrašu rankose, iškvietė visus rusus, vadindamas Pierre'ą: celui qui n "avoue pas son nom [tas, kuris nekalba savo vardo]. Ir abejingai bei tingiai žiūrėdamas į visus kalinius, jis įsakė sargybiniam pareigūnui juos tinkamai aprengti ir sutvarkyti prieš vesdamas pas maršalą. Po valandos atvyko kareivių kuopa, Pierre'as ir kiti trylika buvo nuvesti į Mergelės lauką. Diena buvo giedri. , saulėta po lietaus, o oras buvo neįprastai skaidrus. Tą dieną, kai Pierre'as buvo išneštas iš Zubovskio šachtos sargybos; gryname ore dūmai kilo kolonomis. Gaisrų niekur nesimatė, bet iš jų kilo dūmų stulpeliai į visas puses, ir visa Maskva, viskas, ką Pierre'as galėjo matyti, buvo vienas gaisras. Iš visų pusių matėsi dykvietės su krosnelėmis ir dūmtraukiais ir retkarčiais apdegusios akmeninių namų sienos. Pierre'as atidžiai žiūrėjo į gaisrus ir nepažino pažįstamų kvartalų miesto. veidas. Netoliese linksmai žibėjo Novo Devichy vienuolyno kupolas, iš ten ypač garsiai girdėjosi varpai ir švilpukai. Ši žinia Pierre'ui priminė, kad tai sekmadienis ir Mergelės Gimimo šventė. Bet atrodė, kad nėra kam švęsti šios šventės: visur siautė gaisras, o nuo rusų tik retkarčiais pasislėpdavo išskriaudytų, išsigandusių žmonių, kurie pasislėpdavo pamatę prancūzus.
Akivaizdu, kad rusų lizdas buvo nusiaubtas ir sunaikintas; bet už šios rusiškos gyvenimo tvarkos sunaikinimo Pierre'as nesąmoningai jautė, kad virš šio sugriauto lizdo buvo nustatyta jokia visiškai kitokia, bet tvirta prancūziška tvarka. Jis tai pajuto iš tų, linksmai ir linksmai, eilėse žygiuojančių kareivių, kurie lydėjo jį su kitais nusikaltėliais; jis galėjo tai pajusti matydamas kažkokį svarbų prancūzų pareigūną garo vežime, kurį vairavo kareivis, kuris važiavo link jo. Jis tai pajuto linksmais pulko muzikos garsais, sklindančiais iš kairės lauko pusės, o ypač pajuto ir suprato iš sąrašo, kad šį rytą atvykęs prancūzų karininkas, paskambinęs kaliniams, perskaitė šį tekstą. ryto. Pierre'ą išvežė kai kurie kareiviai, išvežė į vieną vietą, į kitą vietą su dešimtimis kitų žmonių; atrodė, kad jie gali jį pamiršti, sumaišyti su kitais. Bet ne: per tardymą duoti atsakymai jam sugrįžo pavardės forma: celui qui n "avoue pas son nom. Ir šiuo vardu, kurio Pierre'as bijojo, jis dabar buvo kažkur vedamas, ant jų užrašytas neabejotinas pasitikėjimas. veidai, kad visi kiti kaliniai ir jis buvo tie, kurių reikėjo, ir kad jie buvo nuvežti į reikiamą vietą.“ Pierre'as jautėsi kaip nereikšmingas lustas, pakliuvęs į jam nežinomos, bet teisingai veikiančios mašinos ratus.
Pjeras ir kiti nusikaltėliai buvo nuvesti į dešinę Mergelės lauko pusę, netoli nuo vienuolyno, į didelį baltą namą su didžiuliu sodu. Tai buvo kunigaikščio Ščerbatovo namai, kuriuose Pierre'as dažnai lankydavosi pas savininką ir kuriuose dabar, kaip sužinojo iš kareivių pokalbio, yra maršalas, Eckmihlo kunigaikštis.
Juos nuvedė į prieangį ir po vieną įvedė į namą. Pierre'as buvo įtrauktas į šeštą vietą. Per stiklinę galeriją, įėjimo koridorių, žinomą Pierre'ui, jis buvo įvestas į ilgą, žemą kabinetą, prie kurio durų stovėjo adjutantas.
Davoutas sėdėjo kambario gale virš stalo su akiniais ant nosies. Pierre'as priėjo arti jo. Davoutas, nepakeldamas akių, matyt, susitvarkė su kažkokiu popieriumi, kuris gulėjo priešais jį. Nepakeldamas akių jis tyliai paklausė:
- Ar tu nori? [Kas tu esi?]
Pierre'as tylėjo, nes negalėjo ištarti žodžių. Davoutas Pierre'ui buvo ne tik prancūzų generolas; nes Pierre'as Davoutas buvo žmogus, žinomas dėl savo žiaurumo. Žvelgdamas į šaltą Davout veidą, kuris, kaip griežtas mokytojas, sutiko kurį laiką turėti kantrybės ir laukti atsakymo, Pierre'as jautė, kad kiekviena vėlavimo sekundė gali kainuoti jam gyvybę; bet jis nežinojo ką pasakyti. Jis nedrįso pasakyti, ką pasakė per pirmą tardymą; atskleisti savo rangą ir pareigas buvo ir pavojinga, ir gėda. Pierre'as tylėjo. Tačiau Pjerui nespėjus ką nors nuspręsti, Davoutas pakėlė galvą, pakėlė akinius prie kaktos, primerkė akis ir įdėmiai pažvelgė į Pjerą.
- Aš pažįstu šį vyrą, - pasakė jis saikingu, šaltu balsu, akivaizdžiai sumanęs išgąsdinti Pierre'ą. Šaltis, kuri anksčiau buvo perbėgusi Pierre'o nugarą, suėmė jo galvą tarsi už ydą.
- Mon generolas, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu... [Jūs negalėjote manęs pažinti, generole, aš jūsų niekada nemačiau.]
- C "est un spion russe, [tai Rusijos šnipas]", pertraukė jį Davoutas, kreipdamasis į kitą generolą, kuris buvo kambaryje, kurio Pierre'as nepastebėjo. Ir Davoutas nusisuko. Netikėtai plojimais balse Pierre'as staiga kalbėjo greitai.
- Ne, monseigneur, - pasakė jis, staiga prisiminęs, kad Davoutas buvo kunigaikštis. - Ne, monseigneur, vous n "avez pas pu me connaitre. Je suis un officier militionnaire et je n" ai pas quitte Moscou. [Ne, Jūsų Didenybe... Ne, Jūsų Didenybe, Jūs negalėjote manęs pažinti. Aš esu policijos pareigūnas ir neišvykau iš Maskvos.]
- Votre nom? [Jūsų vardas?] pakartojo Davoutas.
- Besouhofas. [Bezukhovas.]
- Qu "est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [Kas man įrodys, kad nemeluojate?]
- Monseigneur! [Jūsų Didenybė!] - maldaujančiu, neįžeidusiu balsu sušuko Pjeras.
Davoutas pakėlė akis ir įdėmiai pažvelgė į Pjerą. Kelias sekundes jie žiūrėjo vienas į kitą, ir šis žvilgsnis išgelbėjo Pjerą. Šiuo požiūriu, be visų karo ir teismo sąlygų, tarp šių dviejų žmonių buvo užmegzti ir žmogiški santykiai. Abu tą minutę miglotai pajuto nesuskaičiuojamą daugybę dalykų ir suprato, kad abu yra žmonijos vaikai, kad yra broliai.
Iš pirmo žvilgsnio Davoutui, pakėlusiam tik galvą iš sąrašo, kuriame žmogiškieji reikalai ir gyvenimas buvo vadinami skaičiais, Pierre'as buvo tik aplinkybė; ir, nepaisydamas blogo poelgio ant savo sąžinės, Davoutas būtų jį nušovęs; bet dabar jis pamatė jame žmogų. Jis akimirką susimąstė.
- Komentuoti man prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Kaip tu man įrodysi savo žodžių teisingumą?] - šaltai pasakė Davoutas.
Pierre'as prisiminė Rambalą ir pavadino savo pulką, pavardę ir gatvę, kurioje buvo namas.
- Vous n "etes pas ce que vous dites, [Tu nesi tai, ką sakai.] - Dar kartą pasakė Davoutas.
Pierre'as drebančiu, sulaužytu balsu pradėjo įrodinėti savo parodymų pagrįstumą.
Bet tuo metu įėjo adjutantas ir kažką pranešė Davoutui.
Davoutas staiga nušvito iš adjutanto praneštos naujienos ir ėmė spausti save. Jis, matyt, visiškai pamiršo Pjerą.
Kai adjutantas jam priminė apie kalinį, jis, susiraukęs, linktelėjo Pjero link ir liepė jį vesti. Bet kur jie turėjo jį nuvežti - Pierre'as nežinojo: atgal į būdelę ar į paruoštą egzekucijos vietą, kurią, eidami per Mergelės lauką, jam parodė jo bendražygiai.
Jis pasuko galvą ir pamatė, kad adjutantas vėl kažko klausia.
- Oui, be nieko! [Taip, žinoma!] - pasakė Davoutas, bet to "taip", Pierre'as nežinojo.
Pierre'as neprisiminė, kaip, kiek laiko vaikščiojo ir kur. Jis, būdamas visiškos nesąmonės ir nuobodu, nieko aplinkui nematydamas, judino kojas kartu su kitais, kol visi sustojo, o jis sustojo. Visą šį laiką Pierre'o galvoje kirbėjo viena mintis. Tai buvo mintis, kas galiausiai nuteisė jį mirties bausme. Tai ne tie žmonės, kurie jį tardė komisijoje: ne vienas norėjo ir, aišku, negalėjo to padaryti. Ne Davoutas žiūrėjo į jį taip žmogiškai. Dar viena minutė, ir Davoutas būtų supratusi, ką jie daro ne taip, bet šią minutę nutraukė įėjęs adjutantas. Ir šis adjutantas, aišku, nieko blogo nenorėjo, bet negalėjo įeiti. Kas galiausiai įvykdė egzekuciją, nužudė, atėmė jam gyvybę – Pierre'as su visais prisiminimais, siekiais, viltimis, mintimis? Kas tai padarė? Ir Pierre'as jautė, kad tai niekas.
Tai buvo tvarka, aplinkybių visuma.
Kažkoks įsakymas jį nužudė – Pierre'ą, atėmė iš jo gyvybę, viską, sunaikino.

Iš kunigaikščio Ščerbatovo namų kaliniai buvo nuvesti tiesiai žemyn Devichye stulpu, į kairę nuo Devičių vienuolyno, ir nuvesti į sodą, ant kurio stovėjo stulpas. Už stulpo buvo iškasta didelė duobė su ką tik iškasta žeme, o prie duobės ir stulpo puslankiu stovėjo didelė minia žmonių. Minią sudarė nedidelis skaičius rusų ir daug Napoleono karių, kurie buvo iš rikiuotės: vokiečiai, italai ir prancūzai su skirtingomis uniformomis. Dešinėje ir kairėje nuo stulpo buvo prancūzų kariuomenės frontai mėlynomis uniformomis su raudonais epauletais, auliniais batais ir batais.
Nusikaltėliai buvo išdėstyti žinoma tvarka, kuri buvo sąraše (Pierre'as buvo šeštas) ir atvesti į postą. Netikėtai iš abiejų pusių trenkė keli būgnai, ir Pierre'as pajuto, kad nuo šio garso buvo nuplėšta jo sielos dalis. Jis prarado gebėjimą mąstyti ir mąstyti. Jis galėjo tik matyti ir girdėti. Ir jis turėjo tik vieną troškimą – norą, kad atsitiktų kažkas baisaus, ką reikėjo padaryti kuo greičiau. Pjeras pažvelgė į savo bendražygius ir juos apžiūrėjo.
Du žmonės ant krašto buvo nusiskutę ir atsargūs. Vienas aukštas, lieknas; kita juoda, pūkuota, raumeninga, suplota nosimi. Trečiasis buvo kiemas, maždaug keturiasdešimt penkerių metų amžiaus, žilų plaukų ir pilno, gerai maitinamo kūno. Ketvirtasis buvo vyras, labai gražus, stora šviesia barzda ir juodomis akimis. Penktas buvo gamyklos darbuotojas, geltonas, lieknas, maždaug aštuoniolikos metų, su chalatu.
Pierre'as girdėjo, kad prancūzai tariasi, kaip šaudyti – po vieną ar du? „Po du“, – šaltai ir ramiai atsakė vyresnysis pareigūnas. Karių gretose vyko judėjimas, buvo pastebėta, kad visi skuba – ir skubėjo ne taip, kaip skuba padaryti ką nors visiems suprantamo, o taip pat kaip ir patys. skubėti atlikti reikalingą, bet nemalonią ir nesuprantamą užduotį.
Prancūzų pareigūnas su skara nuėjo į dešinę nusikaltėlių eilės pusę ir perskaitė sakinį rusų ir prancūzų kalbomis.
Tada dvi prancūzų poros priėjo prie nusikaltėlių ir pareigūno nurodymu paėmė du ant krašto stovėjusius kalėjimo prižiūrėtojus. Sargybiniai, pakilę į postą, sustojo ir, kol buvo atnešti maišai, tyliai apsidairė aplinkui, kaip išmuštas žvėris žiūri į tinkamą medžiotoją. Vienas vis kirto, kitas pasikasė nugarą ir lūpomis darė judesį kaip šypseną. Kareiviai, atskubėję rankomis, ėmė užrišti akis, užsidėti maišus ir pririšti prie stulpo.
Iš už gretų išėjo dvylika šaulių su šautuvais ir sustojo už aštuonių žingsnių nuo posto. Pierre'as nusisuko, kad nepamatytų, kas nutiks. Staiga pasigirdo trenksmas ir trenksmas, kurie Pierre'ui atrodė garsesni už baisiausius griaustinio plakimus, ir jis apsidairė. Dūmai, o prancūzai išblyškę veidais ir drebančiomis rankomis kažką darė prie duobės. Kiti du buvo vedami. Lygiai taip pat tomis pačiomis akimis šitie du žiūrėjo į visus, veltui, vienodomis akimis, tyliai, prašydami apsaugos ir, matyt, nesuprasdami ir netikėdami, kas bus. Jie negalėjo patikėti, nes vieni žinojo, kas jiems yra jų gyvenimas, todėl nesuprato ir netikėjo, kad jį būtų galima atimti.
Pierre'as norėjo nežiūrėti ir vėl nusisuko; bet vėl tarsi baisus sprogimas trenkė į ausis, ir kartu su šiais garsais jis pamatė dūmus, kažkieno kraują ir blyškius išsigandusius prancūzų veidus, kurie vėl kažką veikė prie posto, drebančiomis rankomis stumdydami vienas kitą. Pierre'as, sunkiai kvėpuodamas, apsidairė aplinkui, tarsi klausdamas: kas tai yra? Tas pats klausimas buvo visuose Pierre'o žvilgsniuose.

Šioje pamokoje apžvelgsime tetraedrą ir jo elementus (tetraedro kraštą, paviršių, paviršius, viršūnes). Ir mes išspręsime keletą atkarpų konstravimo tetraedre uždavinių, naudodami bendrąjį atkarpų konstravimo metodą.

Tema: Tiesių ir plokštumų lygiagretumas

Pamoka: Tetraedras. Tetraedro pjūvio problemos

Kaip sukurti tetraedrą? Paimkite savavališką trikampį ABC... Savavališkas taškas D negulinti šio trikampio plokštumoje. Gauname 4 trikampius. Šių 4 trikampių suformuotas paviršius vadinamas tetraedru (1. pav.). Vidiniai taškai, apriboti šio paviršiaus, taip pat yra tetraedro dalis.

Ryžiai. 1. Tetraedras ABCD

Tetraedro elementai
A,B, C, D - tetraedro viršūnės.
AB, AC, REKLAMA, pr. Kr, BD, CD - tetraedro briaunos.
ABC, ABD, BDC, ADC - tetraedro veidai.

Komentuoti: galite skristi lėktuvu ABC per tetraedro bazė, o tada esmė D yra tetraedro viršūnė... Kiekviena tetraedro briauna yra dviejų plokštumų sankirta. Pavyzdžiui, šonkaulis AB yra plokštumų sankirta ABD ir ABC... Kiekviena tetraedro viršūnė yra trijų plokštumų sankirta. Viršūnė A guli plokštumose ABC, ABD, ADSU... Taškas A- tai yra trijų nurodytų plokštumų sankirta. Šis faktas parašytas taip: A= ABC ∩ ABD ∩ ASD.

Tetraedro apibrėžimas

Taigi, tetraedras yra keturių trikampių sudarytas paviršius.

Tetraedro kraštas- dviejų tetraedro plokštumų susikirtimo linija.

Iš 6 degtukų padarykite 4 vienodus trikampius. Problemos negalima išspręsti lėktuvu. O kosmose tai padaryti nesunku. Paimkime tetraedrą. 6 degtukai yra jo kraštai, keturi tetraedro paviršiai ir bus keturi lygūs trikampiai. Problema išspręsta.

Dano tetraedras ABCD. Taškas M priklauso tetraedro kraštui AB, taškas N priklauso tetraedro kraštui VD ir taškas R priklauso kraštui DSU(2 pav.). Sukurkite tetraedro atkarpą su plokštuma MNP.

Ryžiai. 2. 2 užduoties braižymas – Sukonstruokite tetraedro atkarpą plokštuma

Sprendimas:
Apsvarstykite tetraedro veidą DSaulė... Šiame taško krašte N ir P priklauso kraštai DSaulė, taigi ir tetraedras. Bet pagal taško sąlygą N, P priklauso pjovimo plokštumai. Reiškia, NP yra dviejų plokštumų susikirtimo linija: veido plokštuma DSaulė ir sekanti plokštuma. Tarkime, tiesios linijos NP ir Saulė ne lygiagrečiai. Jie guli toje pačioje plokštumoje. DSaulė. Raskite linijų susikirtimo tašką NP ir Saulė... Mes tai pažymime E(3. pav.).

Ryžiai. 3. Brėžinys užduočiai 2. Taško E radimas

Taškas E priklauso pjūvio plokštumai MNP nes jis yra tiesioje linijoje NP ir tiesiai NP yra visiškai pjūvio plokštumoje MNP.

Taip pat taškas E guli lėktuve ABC nes jis guli tiesioje linijoje Saulė iš lėktuvo ABC.

Mes tai suprantame VALGYTI- plokštumų susikirtimo linija ABC ir MNP, nuo taškų E ir M gulėti vienu metu dviejose plokštumose - ABC ir MNP. Sujunkite taškus M ir E, ir tęskite tiesiai VALGYTI prieš kertant tiesią liniją AS... Linijų susikirtimo taškas VALGYTI ir ASžymėti K.

Taigi šiuo atveju NPQM yra reikalingas skyrius.

Ryžiai. 4. Brėžinys 2 užduočiai. 2 užduoties sprendimas

Dabar panagrinėkime atvejį, kai NP lygiagrečiai pr. Kr... Jei tiesiai NP lygiagrečiai kokiai nors tiesei, pavyzdžiui, tiesei Saulė iš lėktuvo ABC tada tiesiai NP lygiagrečiai visai plokštumai ABC.

Norima pjūvio plokštuma eina per tiesią liniją NP lygiagrečiai plokštumai ABC, ir kerta plokštumą tiesia linija МQ... Taigi susikirtimo linija МQ lygiagrečiai tiesei linijai NP... Mes gauname NPQM yra reikalingas skyrius.

Taškas M guli ant šoninio krašto ADV tetraedras ABCD... Sukurkite tetraedro atkarpą su plokštuma, kuri eina per tašką M lygiagrečiai pagrindui ABC.

Ryžiai. 5. 3 užduoties brėžinys Sukonstruokite tetraedro atkarpą plokštuma

Sprendimas:
Pjovimo plokštuma φ lygiagrečiai plokštumai ABC pagal sąlygą, tai reiškia, kad ši plokštuma φ lygiagrečios tiesioms linijoms AB, AS, Saulė.
Lėktuve ABD per tašką M nubrėžkime tiesią liniją PQ lygiagrečiai AB(5 pav.). Tiesiai PQ guli lėktuve ABD... Panašiai ir lėktuve ASD per tašką R nubrėžkime tiesią liniją PR lygiagrečiai AS... Supratau esmę R... Dvi susikertančios linijos PQ ir PR lėktuvas PQR atitinkamai lygiagrečios dviem susikertančioms tiesėms AB ir AS lėktuvas ABC, todėl lėktuvai ABC ir PQR yra lygiagrečios. PQR yra reikalingas skyrius. Problema išspręsta.

Dano tetraedras ABCD... Taškas M- vidinis taškas, tetraedro veido taškas ABD. N- vidinis segmento taškas DSU(6. pav.). Nubrėžkite linijos sankirtą NM ir lėktuvas ABC.

Ryžiai. 6. 4 užduoties piešimas

Sprendimas:
Norėdami išspręsti, sukonstruokite pagalbinę plokštumą DМN... Tegul būna tiesiai DM kerta tiesę AB taške KAM(7 pav.). Tada SCD yra plokštumos atkarpa DМN ir tetraedras. Lėktuve DМN meluoja ir tiesiai NM, ir gautą tiesią liniją SC... Taigi, jei NM ne lygiagrečiai SC, tada jie tam tikru momentu susikirs R... Taškas R ir bus norimas tiesės susikirtimo taškas NM ir lėktuvas ABC.

Ryžiai. 7. Brėžinys 4 užduočiai. 4 užduoties sprendimas

Dano tetraedras ABCD. M- vidinis veido taškas ABD. R- vidinis veido taškas ABC. N- vidinis šonkaulio taškas DSU(8 pav.). Sukurkite tetraedro atkarpą su plokštuma, einančia per taškus M, N ir R.

Ryžiai. 8. 5 užduoties brėžinys Sukonstruokite tetraedro atkarpą plokštuma

Sprendimas:
Apsvarstykite pirmąjį atvejį, kai tiesi linija MN ne lygiagreti plokštumai ABC... Paskutiniame uždavinyje radome linijos susikirtimo tašką MN ir lėktuvas ABC... Tai yra esmė KAM, jis gaunamas naudojant pagalbinę plokštumą DМN, t.y. Mes darome DM ir gauname tašką F... Vykdome CF ir sankryžoje MN suprask esmę KAM.

Ryžiai. 9. Brėžinys užduočiai 5. Taško K radimas

Nubrėžkime tiesią liniją KR... Tiesiai KR guli ir pjūvio plokštumoje, ir plokštumoje ABC... Gauname taškus R 1 ir R 2... Mes jungiamės R 1 ir M o tęsdami mes suprantame esmę M 1... Prijunkite tašką R 2 ir N... Dėl to gauname reikiamą skyrių Р 1 Р 2 NМ 1... Pirmuoju atveju problema buvo išspręsta.
Apsvarstykite antrąjį atvejį, kai tiesi linija MN lygiagrečiai plokštumai ABC... Lėktuvas MNP eina per tiesią liniją МN lygiagrečiai plokštumai ABC ir kerta lėktuvą ABC palei kažkokią tiesią liniją R 1 R 2 tada tiesiai R 1 R 2 lygiagrečiai šiai linijai MN(10 pav.).

Ryžiai. 10. Uždavinio brėžinys 5. Reikalingas skyrius

Dabar nubrėžkime tiesią liniją P 1 M ir gauk tašką M 1.Р 1 Р 2 NМ 1 yra reikalingas skyrius.

Taigi, mes ištyrėme tetraedrą, išsprendėme kai kurias tipines tetraedro problemas. Kitoje pamokoje pažvelgsime į dėžutę.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnovas. - 5-asis leidimas, pataisytas ir papildytas - M.: Mnemosina, 2008. - 288 p. : nesveikas. Geometrija. 10-11 klasės: vadovėlis ugdymo įstaigų mokiniams (pagrindinis ir profilio lygiai)

2. Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p .: iliustr. Geometrija. 10-11 klasės: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms

3. E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. - 6-asis leidimas, stereotipas. - M.: Bustard, 008 .-- 233 p. : nesveikas. Geometrija. 10 klasė: Vadovėlis švietimo įstaigoms su giluminiu ir specializuotu matematikos mokymu

Papildomi žiniatinklio ištekliai

2. Kaip sukurti tetraedro atkarpą. Matematika ().

3. Pedagoginių idėjų festivalis ().

Atlikite namų užduotis tema „Tetraedras“, kaip rasti tetraedro kraštą, tetraedro paviršius, tetraedro viršūnes ir paviršių

1. Geometrija. 10-11 klasės: vadovėlis ugdymo įstaigų mokiniams (pagrindinis ir profilio lygiai) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-asis leidimas, pataisytas ir papildytas - M .: Mnemozina, 2008. - 288 p .: iliustr. 18, 19, 20 užduotys 50 psl

2. Taškas E vidurio šonkaulis MA tetraedras MAVS... Sukurkite tetraedro atkarpą su plokštuma, einančia per taškus B, C ir E.

3. MAVS tetraedre taškas M priklauso AMB paviršiui, taškas P - BMC paviršiui, taškas K - AC briaunai. Sukurkite tetraedro atkarpą su plokštuma, einančia per taškus M, R, K.

4. Kokias figūras galima gauti susikirtus su tetraedro plokštuma?

Pastaba... Tai dalis pamokos su geometrijos uždaviniais (stereometrijos skyrius, piramidės uždaviniai). Jei jums reikia išspręsti geometrijos problemą, kurios čia nėra, parašykite apie tai forume. Užduotyse vietoj simbolio „kvadratinė šaknis“ naudojama funkcija sqrt (), kurioje sqrt yra kvadratinės šaknies simbolis, o radikali išraiška nurodoma skliausteliuose.Paprastoms radikalioms išraiškoms galima naudoti ženklą „√“.. Taisyklingas tetraedras yra taisyklinga trikampė piramidė, kurios visos briaunos yra lygiakraščiai trikampiai.

Taisyklingo tetraedro visi dvikampiai kampai kraštuose ir visi trikampiai kampai viršūnėse yra lygūs

Tetraedras turi 4 paviršius, 4 viršūnes ir 6 briaunas.

Pagrindinės reguliaraus tetraedro formulės pateiktos lentelėje.

Kur:
S – taisyklingo tetraedro paviršiaus plotas
V - tūris
h - aukštis nuleistas iki pagrindo
r – į tetraedrą įbrėžto apskritimo spindulys
R – apibrėžto apskritimo spindulys
a - šonkaulio ilgis

Praktiniai pavyzdžiai

Užduotis.
Raskite trikampės piramidės, kurios kiekviena briauna lygi √3, paviršiaus plotą

Sprendimas.
Kadangi visos trikampės piramidės briaunos yra lygios, ji yra taisyklinga. Taisyklingos trikampės piramidės paviršiaus plotas yra S = a 2 √3.
Tada
S = 3√3

Atsakymas: 3√3

Užduotis.
Taisyklingosios trikampės piramidės visos briaunos yra 4 cm Raskite piramidės tūrį

Sprendimas.
Kadangi taisyklingoje trikampėje piramidėje piramidės aukštis projektuojamas į pagrindo centrą, kuris kartu yra ir apibrėžto apskritimo centras, tada

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3/3

Taigi piramidės OM aukštį galima rasti iš stačiojo trikampio AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 – AO 2
OM 2 = 4 2 – (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2 / √3

Piramidės tūris randamas pagal formulę V = 1/3 Sh
Šiuo atveju pagrindo plotas randamas pagal formulę S = √3 / 4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2 / 3

Atsakymas: 16√2 / 3 cm

Skyriai: Matematika

Pamokos ruošimo ir vedimo planas:

I. Parengiamasis etapas:

Trikampės piramidės žinomų savybių kartojimas.
Iškeliant hipotezes apie galimas, anksčiau nesvarstytas, tetraedro savybes.
Grupių formavimas šių hipotezių tyrimams atlikti.
Užduočių paskirstymas kiekvienai grupei (atsižvelgiant į norą).
Atsakomybės už pavedimą pasiskirstymas.

II. Pagrindinis etapas:

Hipotezės sprendimas.
Konsultacija su mokytoju.
Darbo registracija.

III. Galutinis etapas:

Hipotezės pristatymas ir gynimas.

Pamokos tikslai:

apibendrinti ir sisteminti mokinių žinias ir įgūdžius; studijuoti papildomą teorinę medžiagą nurodyta tema; mokyti taikyti žinias sprendžiant nestandartines problemas, įžvelgti jose nesudėtingus komponentus;
formuoti studentų darbo su papildoma literatūra įgūdžius, tobulinti gebėjimą analizuoti, apibendrinti, tame, ką skaitote, rasti pagrindinį, įrodyti naujus dalykus; ugdyti mokinių bendravimo įgūdžius;
puoselėti grafinę kultūrą.

Parengiamasis etapas (1 pamoka):

Studentų žinutė „Didžiųjų piramidžių paslaptys“.
Mokytojo įžanginė kalba apie piramidžių tipų įvairovę.
Problemų aptarimas:

Kokie yra netaisyklingų trikampių piramidžių derinimo kriterijai

Ką turime omenyje sakydami trikampio stačiakampį ir ką galime pavadinti tetraedro ortocentru

Ar stačiakampis tetraedras turi ortocentrą?

Kuris tetraedras vadinamas izoedriniu Kokių savybių jis gali turėti?

Apsvarstant įvairius tetraedrus, aptarus jų savybes, išsiaiškinamos sąvokos ir atsiranda tam tikra struktūra:

Apsvarstykite taisyklingo tetraedro savybes. (Priedas)

Savybės 1-4 įrodomos žodžiu, naudojant Slide1.

1 savybė: visi kraštai yra vienodi.

2 savybė: visi plokštieji kampai yra 60 °.

3 savybė: plokštumos kampų sumos bet kuriose trijose tetraedro viršūnėse yra 180 °.

4 savybė: jei tetraedras yra taisyklingas, tada bet kuri jo viršūnė projektuojama į priešingo paviršiaus ortocentrą.

Duota:

ABCD yra taisyklingas tetraedras

AH – aukštis

Įrodykite:

H – ortocentras

Įrodymas:

1) taškas H gali sutapti su bet kuriuo iš taškų A, B, C. Tegu H? B, H? C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Apsvarstykite ABH, BCH, ADH

AD – iš viso => ABH, BCH, ADH => BH = CH = DH

AB = AC = AD т. H – ortocentras ABC

Q.E.D.

1 pamokoje 5-9 savybės suformuluotos kaip hipotezės, kurias reikia įrodyti.

Kiekviena grupė gauna savo namų darbus:

Įrodykite vieną iš savybių.

Paruoškite pagrindimą su pristatymu.

II. Pagrindinis etapas (per savaitę):

Hipotezės sprendimas.
Konsultacija su mokytoju.
Darbo registracija.

III. Finalinis etapas (1-2 pamokos):

Hipotezės pristatymas ir gynimas naudojant pristatymus.

Ruošdami medžiagą baigiamajai pamokai, mokiniai daro išvadą apie aukščių susikirtimo taško ypatumą, sutinkame jį vadinti „nuostabiu“ tašku.

5 savybė: apibrėžiamos ir įbrėžtos sferos centrai sutampa.

Duota:

DABC – taisyklingas tetraedras

О 1 - aprašytos sferos centras

О – įrašytos sferos centras

N – įrašytos sferos su ABC paviršiumi liesties taškas

Įrodykite: О 1 = О

Įrodymas:

Tegul OA = OB = OD = OC yra apskritimo spinduliai

Praleiskime ОN + (ABC)

AON = CON - stačiakampis, išilgai kojos ir hipotenuzės => AN = CN

Praleisti OM + (BCD)

COM DOM - stačiakampis, išilgai kojos ir hipotenuzės => CM = DM

Iš 1 elemento CON COM => ON = OM

ОN + (ABC) => ON, OM yra įbrėžto apskritimo spinduliai.

Teorema įrodyta.

Taisyklingam tetraedrui yra jo santykinė padėtis su sfera galimybė – liesti tam tikrą sferą visomis jos briaunomis. Ši sfera kartais vadinama „pusiau įrašyta“.

6 savybė: tiesių atkarpos, jungiančios priešingų briaunų vidurio taškus ir statmenos šioms briaunoms, yra pusiau įbrėžtos sferos spinduliai.

Duota:

ABCD yra taisyklingas tetraedras;

AL = BL, AK = CK, AS = DS,

BP = CP, BM = DM, CN = DN.

Įrodykite:

LO = OK = OS = OM = ON = OP

Įrodymas.

Tetraedras ABCD – teisingas => AO = BO = CO = DO

Apsvarstykite trikampius AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO = BO =>? AOB - lygiašonis =>
OL – mediana, aukštis, pusiausvyra
AO = CO =>? AOC– lygiašonis =>
ОK - mediana, aukštis, pusiausvyra
CO = DO =>? COD – lygiašonis =>
ĮJUNGTA – mediana, aukštis, pusiausvyra AOB => AOC = COD =
BO = DO => BOD – lygiašonis => BOD = BOC = AOD
OM – mediana, aukštis, pusiausvyra
AO = DO => AOD – lygiašonis =>
OS – mediana, aukštis, pusiausvyra
BO = CO =>? BOC – lygiašonis =>
OP – mediana, aukštis, pusiausvyra
AO = BO = CO = DO
AB = AC = AD = BC = BD = CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP – aukščiai lygūs OL, OK, ON, OM, OS, OP spinduliams

lygiašoniai sferos trikampiai

Išvada:

Į taisyklingą tetraedrą galima nubrėžti pusiau įbrėžtą sferą.

7 nuosavybė: jei tetraedras yra taisyklingas, tai kas dvi priešingos tetraedro briaunos yra viena kitai statmenos.

Duota:

DABC – taisyklingas tetraedras;

H – ortocentras

Įrodykite:

Įrodymas:

DABC – taisyklingasis tetraedras => ADB – lygiakraštis

(ADB) (EDC) = ED

ED - aukštis ADB => ED + AB,

AB + CE, => AB + (EDC) => AB + CD.

Panašiai įrodomas ir kitų briaunų statmenumas.

8 savybė: šešios simetrijos plokštumos susikerta viename taške. Taške O susikerta keturios tiesės, nubrėžtos per apskritimo centrus apie apskritimų, statmenų veidų plokštumoms, kraštus, o taškas O yra apibrėžtosios sferos centras.

Duota:

ABCD yra taisyklingas tetraedras

Įrodykite:

O - aprašomos sferos centras;

6 simetrijos plokštumos susikerta taške O;

Įrodymas.

CG + BD, nes BCD – lygiakraštis => GO + BD (pagal teoremą apie tris GO + BD statmenis)

BG = GD, nes AG – mediana ABD

ABD (ABD) =>? BDS – lygiašonis => BO = DO

ED + AB, nes ABD – vienpusis => OE + AD (pagal trijų statmenų teoremą)

BE = AE, nes DE yra mediana? ABD

ABD (ABD) =>? AOB - lygiašonis => BO = AO

(AOB) (ABD) = AB

ON + (ABC) OF + AC (pagal teoremą apie tris

BF + AC, nes ABC – lygiakraščiai statmenai)

AF = FC, nes BF – mediana? ABC

ABC (ABC) => AOC - lygiašonis => AO = CO

(AOC)? (ABC) = AC

BO = AO => AO = BO = CO = DO - sferos spindulys,

AO = CO, apibrėžtas apie tetraedrą ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = BO

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = DO

AB + (ABR) (ABR) (BCT) (ACG) (ADH) (CED) (BDF)

Taigi:

Taškas O yra aprašytos sferos centras,

6 simetrijos plokštumos susikerta taške O.

9 nuosavybė: bukas kampas tarp statmenų, einančių per tetraedro viršūnes į ortocentrus, yra 109 ° 28 "

Duota:

ABCD yra taisyklingas tetraedras;

O yra aprašytos sferos centras;

Įrodykite:

Įrodymas:

1) AS – aukštis

ASB = 90 o OSB stačiakampis

2) (pagal taisyklingo tetraedro savybę)

3) AO = BO – apibrėžtos sferos spinduliai

4) 70 ° 32 "

6) AO = BO = CO = DO =>? AOD =? AOC =? AOD =? COD =? BOD =? BOC

yra taisyklingo tetraedro aukščių susikirtimo taškas

yra įrašytos sferos centras

yra pusiau įrašytos sferos centras

yra aprašomos sferos centras

yra tetraedro svorio centras

yra keturių lygių taisyklingų trikampių piramidžių su pagrindais – tetraedrų paviršiais viršūnė.

Išvada.

(Mokytojas ir mokiniai apibendrina pamoką. Vienas iš mokinių trumpa žinute kalba apie tetraedrus kaip cheminių elementų struktūrinį vienetą.)

Tiriamos taisyklingo tetraedro savybės ir jo „nuostabus“ taškas.

Nustatyta, kad tik tokio tetraedro forma, kuri turi visas aukščiau išvardytas savybes, taip pat „idealus“ taškas, gali turėti silikatų ir angliavandenilių molekules. Arba molekulės gali būti sudarytos iš kelių taisyklingų tetraedrų. Šiuo metu tetraedras žinomas ne tik kaip senovės civilizacijos, matematikos atstovas, bet ir kaip medžiagų sandaros pagrindas.

Silikatai yra į druską panašios medžiagos, turinčios silicio-deguonies junginių. Jų pavadinimas kilęs iš lotyniško žodžio „sylex“ – „titnagas“. Silikato molekulių pagrindas yra atominiai radikalai tetraedrų pavidalu.

Silikatai yra smėlis, molis, plytos, stiklas, cementas, emalis, talkas, asbestas, smaragdas ir topazas.

Silikatai sudaro daugiau nei 75% žemės plutos (o kartu su kvarcu apie 87%) ir daugiau nei 95% magminių uolienų.

Svarbi silikatų savybė yra dviejų ar daugiau silicio-deguonies tetraedrų tarpusavio jungimosi (polimerizacijos) galimybė per bendrą deguonies atomą.

Sotieji angliavandeniliai turi tą pačią molekulių formą, tačiau jie, priešingai nei silikatai, susideda iš anglies ir vandenilio. Bendroji molekulių formulė

Angliavandeniliai apima gamtines dujas.

Būtina atsižvelgti į stačiakampio ir lygiašonio tetraedro savybes.

Literatūra.

Potapovas V.M., Tatarinčikas S.N. „Organinė chemija“, Maskva 1976 m
V. P. Babarinas „Didžiųjų piramidžių paslaptys“, Sankt Peterburgas, 2000 m.
Sharygin I. F. „Geometrijos problemos“, Maskva, 1984 m.
Didelis enciklopedinis žodynas.
„Mokyklos žinynas“, Maskva, 2001 m.

|
tetraedras, tetraedro formulė
Tetraedras(senoji graikų τετρά-εδρον – tetraedras, iš senovės graikų kalbos. τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες - "keturi" + Senoji Graikija. ἕδρα - "sėdynė, pagrindas") yra paprasčiausias daugiakampis, kurio paviršiai yra keturi trikampiai. Tetraedras turi 4 paviršius, 4 viršūnes ir 6 briaunas. Tetraedras, kurio visi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai, vadinamas taisyklingu. Taisyklingas tetraedras yra vienas iš penkių taisyklingųjų daugiakampių.

1 Tetraedro savybės
2 Tetraedrų tipai
3 Tetraedro tūris
4 tetraedrai mikropasaulyje
5 tetraedrai gamtoje
6 tetraedrai technikoje
7 Pastabos
8 Taip pat žr

Tetraedro savybės

Lygiagrečios plokštumos, einančios per tetraedro susikertančių briaunų poras, apibrėžia gretasienį, aprašytą aplink tetraedrą.
Plokštuma, einanti per dviejų susikertančių tetraedro briaunų vidurio taškus, padalija jį į dvi vienodo tūrio dalis.: 216-217

Tetraedrų rūšys

Be įprasto tetraedro, išskiriami šie specialūs tetraedrų tipai.

Lygiakraštis tetraedras, kurio visi paviršiai yra lygūs trikampiai.
Ortocentrinis tetraedras, kuriame visi aukščiai, nukritę iš viršūnių į priešingus paviršius, susikerta viename taške.
Stačiakampis tetraedras, kurio visos briaunos, esančios greta vienos iš viršūnių, yra statmenos viena kitai.
Skeleto tetraedras yra tetraedras, atitinkantis bet kurią iš šių sąlygų:
- yra rutulys, liečiantis visus kraštus,
- susikertančių briaunų ilgių sumos yra lygios,
- dvikampių kampų sumos priešingose kraštinėse yra lygios,
- veiduose įrašyti apskritimai liečiasi poromis,
- aprašyti visi keturkampiai, gauti vystant tetraedrą,
- statmenai, pakelti į paviršius iš juose įrašytų apskritimų centrų, susikerta viename taške.
Proporcingas vienodo aukščio tetraedras.
Incentrinis tetraedras, kurio atkarpos, jungiančios tetraedro viršūnes su apskritimų centrais, įbrėžtais priešinguose paviršiuose, susikerta viename taške.

Tetraedro tūris

Tetraedro tūris (atsižvelgiant į ženklą), kurio viršūnės yra taškuose, yra lygus:

Arba kur yra bet kurio veido plotas ir jo aukštis nukrito.

Per kraštų ilgius tetraedro tūris išreiškiamas naudojant Cayley-Menger determinantą:

Tetraedrai mikropasaulyje

Taisyklingasis tetraedras susidaro vykstant atominių orbitalių hibridizacijai sp3 (jų ašys nukreiptos į taisyklingojo tetraedro viršūnes, o centrinio atomo branduolys yra aprašytos taisyklingo tetraedro sferos centre), todėl daugelis molekulės, kuriose vyksta tokia centrinio atomo hibridizacija, turi šio daugiakampio formą
Metano molekulė CH4
Amonio jonas NH4 +
Sulfato jonai SO42-, fosfato jonai PO43-, perchlorato jonai ClO4- ir daugelis kitų jonų
Deimantas C yra tetraedras, kurio briauna lygi 2,5220 angstremo
Fluoritas CaF2, tetraedras, kurio briauna lygi 3 8626 angstroms
Sfaleritas, ZnS, tetraedras, kurio briauna lygi 3,823 angstremo
Kompleksiniai jonai -, 2-, 2-, 2+
Silikatai, kurių struktūra pagrįsta silicio-deguonies tetraedru 4-

Tetraedrai gamtoje

Riešutmedžio tetraedras

Tetraedrai technologijose

Tetraedras sudaro standžią, statiškai apibrėžiamą struktūrą. Iš strypų pagamintas tetraedras dažnai naudojamas kaip erdvinių laikančiųjų pastatų konstrukcijų, grindų, sijų, santvarų, tiltų ir kt. pagrindas. Strypai veikiami tik išilginės apkrovos.
Stačiakampis tetraedras naudojamas optikoje. Jei stačiu kampu paviršiai yra padengti atspindinčiu junginiu arba visas tetraedras yra pagamintas iš medžiagos, turinčios stiprią šviesos lūžį, kad susidarytų visiško vidinio atspindžio efektas, tada šviesa nukreipta į veidą, priešingą viršūnei stačiais kampais. atsispindės ta pačia kryptimi, iš kurios atėjo... Ši savybė naudojama kuriant kampinius atšvaitus, atšvaitus.
Ketvirtinis trigerinis grafikas yra tetraedras.

Pastabos (redaguoti)

Senovės graikų-rusų Butlerio žodynas "τετρά-εδρον"
Selivanovas D. F.,. Geometrinis kūnas // Brockhauso ir Efrono enciklopedinis žodynas: 86 tomai (82 tomai ir 4 papildomi). - SPb., 1890-1907.
Gusyatnikovas P.B., Reznichenko S.V. Vektorinė algebra pavyzdžiuose ir uždaviniuose. - M .: Aukštoji mokykla, 1985 .-- 232 p.
V. E. MATIZENAS Uniformos ir rėmo tetraedra „Kvant“ Nr.7, 1983 m.
http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Trigger

taip pat žr

Simpleksas – n matmenų tetraedras

Daugiakampis

Teisingai
(Platoniškos kietosios medžiagos)

Teisingai
neišgaubtas

Žvaigždėtas dodekaedras Žvaigždėtas ikozidodekaedras Žvaigždėtas ikosaedras Žvaigždėtas daugiakampis Žvaigždėtas oktaedras

Išgaubtas

Archimedo kūnai	Kuboktaedras Ikozidodekaedras Nutrumpintas tetraedras Nutrumpintas oktaedras Nutrumpintas ikozaedras Nutrumpintas kubas Nutrumpintas dodekaedras Romboicosododekaedras Rombo-nupjautas kuboctaedras Rhombo-nupjautas ikozidodekaedras
Katalonijos kūnai	Rombododekaedras Rombotriakontaedras Triakistetraedras Tetrakišeedras Pentakisdodekaedras Triakisoktaedras Triakikozaedras Deltoidinis ikositetraedras Deltoidinis šešioliktaedras Penkiakampis ikostetraedras
Be pilno erdvinis simetrija	Piramidė Prizmė Bipiramidė Antiprizminė Zonoedras Lygiavamzdis Romboedras Prizmatoidinė Nupjautoji piramidė
Pentagondodekaedras lygiagretusis

Formulės,
teoremos,
teorija

Aleksandrovo teorema apie išgaubtus politopus Bleekerio teorema Koši teorema apie politopus Lindelöfo teorema apie politopus Minkovskio teorema apie politopus Sabitovo teorema Eilerio teorema politopams Schläfli formulė

Kita

Ortocentrinis tetraedras Lygus tetraedras Stačiakampis gretasienis Daugiakampių grupė Dodekaedrai Kietasis kampas Vieneto kubas Lankstomas daugiakampis Išskleidžiamas Schläfli simbolis Džonsono daugiakampis Daugiamatis (N matmenų tetraedras Tesseract Penteprateract Hexerateract Hexeraterack)

tetraedras, tetraedras, tetraedras, tetraedras iš šono, tetraedro vaizdas iš šono, tetraedro vaizdas iš šono, tetraedras gezh yu, tetraedras gezh yu ve, tetraedras gež ju ve, tetraedras, dritrai, tetraedro popieriaus tetraedro nuotraukos, tetraedro tetraedro nuotraukos, tetraedro apibrėžimas, tetraedro apibrėžimas, tetraedro apibrėžimas, tetraedro formulės, tetraedro formulės, tetraedro formulės, tetraedro piešinys, tetraedro brėžinys, tetraedro piešinys, tetraedras

Teisingo tetraedro nustatymas. Taisyklingas tetraedras (piramidė). Tetraedrai mikropasaulyje

Ortocentrinis tetraedras

Stačiakampis tetraedras

Skeleto tetraedras

Proporcingas tetraedras

Incentrinis tetraedras

Taisyklingas tetraedras

Tetraedro tūris

Tetraedrai mikropasaulyje

Tetraedrai gamtoje

Tetraedrai technologijose

taip pat žr

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Tetraedras"

Pastabos (redaguoti)

Literatūra

Ištrauka iš Tetraedro

Tetraedro apibrėžimas

Praktiniai pavyzdžiai

Tetraedro savybės

Tetraedrų rūšys

Tetraedro tūris

Tetraedrai mikropasaulyje

Tetraedrai gamtoje

Tetraedrai technologijose

Pastabos (redaguoti)

taip pat žr

Tetraedro informacija apie

Nauji straipsniai

Populiarūs straipsniai