Paprastų tiesinių lygčių sprendimas. Tiesinės lygtys: formulės ir pavyzdžiai. Nelygybės ir jų sprendimas

Mokymasis spręsti lygtis yra viena iš pagrindinių užduočių, kurias studentams kelia algebra. Pradedant nuo paprasčiausio, kai jis susideda iš vieno nežinomo, ir pereinant prie vis sudėtingesnių. Jei nesate įvaldę veiksmų, kuriuos reikia atlikti su pirmos grupės lygtimis, bus sunku suprasti kitus.

Norėdami tęsti pokalbį, turite susitarti dėl žymėjimo.

Bendroji tiesinės lygties su nežinomuoju forma ir jos sprendimo principas

Bet kuri lygtis, kurią galima parašyti taip:

a * x = b,

paskambino linijinis. Tai yra bendra formulė. Tačiau dažnai užduotyse tiesinės lygtys rašomos numanoma forma. Tada reikia atlikti identiškas transformacijas, kad gautume visuotinai priimtą žymėjimą. Šie veiksmai apima:

• atidaromi skliaustai;
• perkeliant visus terminus su kintamąja reikšme į kairė pusė lygybė, o likusi dalis - į dešinę;
• panašių terminų sumažinimas.

Tuo atveju, kai trupmenos vardiklyje yra nežinomas dydis, turite nustatyti jo reikšmes, kurioms esant išraiška neturės prasmės. Kitaip tariant, jūs turite žinoti lygties apibrėžimo sritį.

Principas, pagal kurį išsprendžiamos visos tiesinės lygtys, reiškia, kad dešinėje lygties pusėje esanti vertė yra padalinta iš koeficiento prieš kintamąjį. Tai yra, „x“ bus lygus b/a.

Ypatingi tiesinių lygčių atvejai ir jų sprendimai

Samprotavimo metu gali atsirasti momentų, kai tiesinės lygtys paima vieną iš specialios rūšys. Kiekvienas iš jų turi konkretų sprendimą.

Pirmoje situacijoje:

a * x = 0 ir a ≠ 0.

Tokios lygties sprendimas visada bus x = 0.

Antruoju atveju „a“ įgyja vertę, lygią nuliui:

0 * x = 0.

Atsakymas į tokią lygtį bus bet koks skaičius. Tai yra, jis turi begalinį šaknų skaičių.

Trečioji situacija atrodo taip:

0 * x = in, kur ≠ 0.

Ši lygtis neturi prasmės. Nes nėra šaknų, kurios tai patenkintų.

Bendras tiesinės lygties su dviem kintamaisiais vaizdas

Iš jo pavadinimo tampa aišku, kad jame jau yra du nežinomi kiekiai. Tiesinės lygtys dviejuose kintamuosiuose atrodo taip:

a * x + b * y = c.

Kadangi įraše yra du nežinomieji, atsakymas atrodys kaip skaičių pora. Tai yra, neužtenka nurodyti tik vieną reikšmę. Tai bus neišsamus atsakymas. Dydžių pora, kuriai lygtis tampa tapatumu, yra lygties sprendimas. Be to, atsakyme pirmiausia visada užrašomas tas kintamasis, kuris abėcėlėje yra pirmas. Kartais sakoma, kad šie skaičiai jį tenkina. Be to, tokių porų gali būti be galo daug.

Kaip išspręsti tiesinę lygtį su dviem nežinomaisiais?

Norėdami tai padaryti, tereikia pasirinkti bet kurią skaičių porą, kuri pasirodo teisinga. Paprastumo dėlei galite paimti vieną iš nežinomųjų, lygių tam tikram pirminiam skaičiui, ir rasti antrąjį.

Spręsdami dažnai turite atlikti veiksmus, kad supaprastintumėte lygtį. Jie vadinami tapatybės transformacijomis. Be to, lygtims visada galioja šios savybės:

• kiekvienas narys gali būti perkeltas į priešingą lygybės dalį, pakeičiant jo ženklą priešingu;
• Bet kurios lygties kairę ir dešinę puses galima padalyti iš to paties skaičiaus, jei jis nėra lygus nuliui.

Užduočių su tiesinėmis lygtimis pavyzdžiai

Pirma užduotis. Išspręskite tiesines lygtis: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Pirmoje šio sąrašo lygtyje tiesiog padalinkite 20 iš 4. Rezultatas bus 5. Atsakymas yra toks: x = 5.

Trečioji lygtis reikalauja, kad būtų atlikta tapatybės transformacija. Jį sudarys skliaustų atidarymas ir panašių terminų pateikimas. Po pirmojo žingsnio lygtis bus tokia: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Tada visus nežinomus reikia perkelti į kairę lygties pusę, o likusius – į dešinę. Lygtis atrodys taip: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Pridėjus panašius terminus: 14x = 16. Dabar ji atrodo taip pat, kaip ir pirmoji, o jos sprendimą lengva rasti. Atsakymas bus x=8/7. Tačiau matematikoje jūs turite atskirti visą dalį nuo netinkamos trupmenos. Tada rezultatas bus transformuotas, o „x“ bus lygus vienai visumai ir vienai septintajai.

Likusiuose pavyzdžiuose kintamieji yra vardiklyje. Tai reiškia, kad pirmiausia turite išsiaiškinti, kokiomis reikšmėmis yra apibrėžtos lygtys. Norėdami tai padaryti, turite neįtraukti skaičių, kurių vardikliai pasiekia nulį. Pirmajame pavyzdyje jis yra „-4“, antrajame - „-3“. Tai reiškia, kad šios vertybės turi būti neįtrauktos į atsakymą. Po to turite padauginti abi lygybės puses iš vardiklio išraiškų.

Atidarę skliaustus ir atvedę panašius terminus, pirmoje iš šių lygčių gauname: 5x + 15 = 4x + 16, o antroje 5x + 15 = 4x + 12. Po transformacijų pirmosios lygties sprendimas bus x = -1. Antrasis pasirodo lygus „-3“, o tai reiškia, kad pastarasis neturi sprendimų.

Antra užduotis. Išspręskite lygtį: -7x + 2y = 5.

Tarkime, kad pirmasis nežinomasis x = 1, tada lygtis bus -7 * 1 + 2y = 5. Perkeliant koeficientą „-7“ į dešinę lygybės pusę ir pakeitus jo ženklą į pliusą, paaiškėja, kad 2y = 12. Tai reiškia, kad y =6. Atsakymas: vienas iš lygties x = 1, y = 6 sprendinių.

Bendroji nelygybės forma su vienu kintamuoju

Čia pateikiamos visos galimos nelygybių situacijos:

• a * x > b;
• a * x< в;
• a * x ≥b;
• a * x ≤в.

Apskritai tai atrodo kaip paprasta tiesinė lygtis, tik lygybės ženklas pakeičiamas nelygybe.

Nelygybių tapatybės transformacijų taisyklės

Kaip ir tiesinės lygtys, nelygybės gali būti modifikuojamos pagal tam tikrus dėsnius. Jie susiveda į šiuos dalykus:

1. į kairę ir dešinę nelygybės puses galite pridėti bet kokią raidę arba skaitinė išraiška, o nelygybės ženklas išliks toks pat;
2. taip pat galite padauginti arba padalyti iš to paties teigiamo skaičiaus, tai vėlgi nekeičia ženklo;
3. Dauginant arba dalinant iš to paties neigiamo skaičiaus, lygybė išliks teisinga, jei nelygybės ženklas bus apverstas.

Bendras dvigubos nelygybės vaizdas

Problemose gali būti pateikiamos šios nelygybės:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Jis vadinamas dvigubu, nes jį riboja nelygybės ženklai iš abiejų pusių. Jis sprendžiamas taikant tas pačias taisykles kaip ir įprastinės nelygybės. Ir rasti atsakymą lemia daugybė identiškų transformacijų. Kol bus gautas paprasčiausias.

Dvigubų nelygybių sprendimo ypatumai

Pirmasis iš jų yra jo vaizdas koordinačių ašyje. Paprastoms nelygybėms šio metodo naudoti nereikia. Bet į sunkių atvejų tai gali būti tiesiog būtina.

Norėdami pavaizduoti nelygybę, ašyje turite pažymėti visus taškus, kurie buvo gauti samprotavimo metu. Tai neteisingos reikšmės, kurios pažymėtos pradurtais taškais, ir vertės iš nelygybių, gautų po transformacijų. Čia taip pat svarbu teisingai nupiešti taškus. Jei nelygybė griežta, tai yra< или >, tada šios vertės išmušamos. Negriežtose nelygybėse taškai turi būti nuspalvinti.

Tada reikia nurodyti nelygybių reikšmę. Tai galima padaryti naudojant šešėliavimą arba lankus. Jų sankirta parodys atsakymą.

Antroji funkcija yra susijusi su jos įrašymu. Čia siūlomi du variantai. Pirmasis yra galutinė nelygybė. Antrasis yra intervalų pavidalu. Taip atsitinka su juo, kad kyla sunkumų. Atsakymas tarpuose visada atrodo kaip kintamasis su narystės ženklu ir skliausteliuose su skaičiais. Kartais yra keli tarpai, tada tarp skliaustų reikia parašyti simbolį „ir“. Šie ženklai atrodo taip: ∈ ir ∩. Tarpiniai skliaustai taip pat atlieka tam tikrą vaidmenį. Apvalusis dedamas, kai taškas neįtraukiamas į atsakymą, o stačiakampis apima šią reikšmę. Begalybės ženklas visada yra skliausteliuose.

Nelygybių sprendimo pavyzdžiai

1. Išspręskite nelygybę 7 - 5x ≥ 37.

Po paprastų transformacijų gauname: -5x ≥ 30. Padalinę iš „-5“ gauname tokią išraišką: x ≤ -6. Tai jau atsakymas, bet jį galima parašyti ir kitaip: x ∈ (-∞; -6].

2. Išspręskite dvigubą nelygybę -4< 2x + 6 ≤ 8.

Pirmiausia visur reikia atimti 6. Gauni: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tokių lygčių, kaip tiesinių lygčių, sprendimo principą. Užrašykime šių lygčių apibrėžimą ir nustatykime bendrą formą. Išanalizuokime visas sprendimų paieškos sąlygas tiesines lygtis naudojant, be kita ko, praktinius pavyzdžius.

Atkreipkite dėmesį, kad toliau pateiktoje medžiagoje yra informacijos apie tiesines lygtis su vienu kintamuoju. Dviejų kintamųjų tiesinės lygtys aptariamos atskirame straipsnyje.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kas yra tiesinė lygtis

1 apibrėžimas

Tiesinė lygtis yra lygtis, parašyta taip:
a x = b, Kur x- kintamasis, a Ir b- kai kurie skaičiai.

Šią formuluotę algebros vadovėlyje (7 klasė) panaudojo Yu.N. Makarychev.

1 pavyzdys

Tiesinių lygčių pavyzdžiai būtų:

3 x = 11(lygtis su vienu kintamuoju x adresu a = 5 Ir b = 10);

− 3 , 1 y = 0 ( tiesinė lygtis su kintamuoju y, Kur a = - 3, 1 Ir b = 0);

x = – 4 Ir − x = 5,37(tiesinės lygtys, kur skaičius a parašytas aiškiai ir lygus atitinkamai 1 ir - 1. Dėl pirmosios lygties b = -4; antram - b = 5,37) ir taip toliau.

Skirtinguose mokomoji medžiaga Gali būti įvairių apibrėžimų. Pavyzdžiui, Vilenkin N.Ya. Tiesinės lygtys taip pat apima tas lygtis, kurias galima paversti forma a x = b perkeliant sąlygas iš vienos dalies į kitą su ženklo pakeitimu ir atnešant panašias sąlygas. Jei vadovausimės šiuo aiškinimu, lygtis 5 x = 2 x + 6 – taip pat linijinis.

Bet algebros vadovėlis (7 klasė) Mordkovich A.G. pateikia tokį aprašymą:

2 apibrėžimas

Tiesinė lygtis viename kintamajame x yra formos lygtis a x + b = 0, Kur a Ir b– kai kurie skaičiai, vadinami tiesinės lygties koeficientais.

2 pavyzdys

Šio tipo tiesinių lygčių pavyzdys galėtų būti:

3 x − 7 = 0 (a = 3, b = − 7) ;

1, 8 y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Tačiau yra ir tiesinių lygčių, kurias jau naudojome aukščiau, pavyzdžių: formos a x = b, Pavyzdžiui, 6 x = 35.

Iš karto susitarsime, kad šiame straipsnyje tiesine lygtimi su vienu kintamuoju suprasime parašytą lygtį a x + b = 0, Kur x– kintamasis; a, b – koeficientai. Šią tiesinės lygties formą matome kaip labiausiai pagrįstą, nes tiesinės lygtys yra pirmojo laipsnio algebrinės lygtys. Ir kitos lygtys, nurodytos aukščiau, ir lygtys, pateiktos lygiavertėmis transformacijomis formoje a x + b = 0, apibrėžiame kaip lygtis, kurios redukuoja į tiesines lygtis.

Taikant šį metodą, lygtis 5 x + 8 = 0 yra tiesinė ir 5 x = – 8- lygtis, kuri redukuojama į tiesinę.

Tiesinių lygčių sprendimo principas

Pažiūrėkime, kaip nustatyti, ar duota tiesinė lygtis turės šaknis ir, jei taip, kiek ir kaip jas nustatyti.

3 apibrėžimas

Tiesinės lygties šaknų buvimo faktą lemia koeficientų reikšmės a Ir b. Užrašykime šias sąlygas:

• adresu a ≠ 0 tiesinė lygtis turi vieną šaknį x = - b a ;
• adresu a = 0 Ir b ≠ 0 tiesinė lygtis neturi šaknų;
• adresu a = 0 Ir b = 0 tiesinė lygtis turi be galo daug šaknų. Iš esmės viduje tokiu atveju bet koks skaičius gali tapti tiesinės lygties šaknimi.

Duokime paaiškinimą. Žinome, kad sprendžiant lygtį galima duotą lygtį paversti lygiaverte, o tai reiškia, kad ji turi tokias pačias šaknis kaip ir pirminė lygtis arba taip pat neturi šaknų. Galime atlikti tokias lygiavertes transformacijas:

• perkelti terminą iš vienos dalies į kitą, keičiant ženklą į priešingą;
• padauginkite arba padalykite abi lygties puses iš to paties skaičiaus, kuris nėra nulis.

Taigi mes transformuojame tiesinę lygtį a x + b = 0, perkeliant terminą b iš kairės pusės į dešinę su ženklo pakeitimu. Mes gauname: a · x = − b .

Taigi, mes padalijame abi lygties puses iš ne nulio skaičiaus A, gaunama x = - b a formos lygybė. Tai yra, kada a ≠ 0, pradinė lygtis a x + b = 0 yra lygiavertė lygybei x = - b a, kurioje šaknis - b a yra akivaizdi.

Priešingai, galima įrodyti, kad rasta šaknis yra vienintelė. Pažymėkime rastą šaknį - b a as x 1 . Tarkime, kad yra dar viena tiesinės lygties šaknis su žymėjimu x 2 . Ir žinoma: x 2 ≠ x 1, o tai, savo ruožtu, remiantis vienodų skaičių apibrėžimu per skirtumą, yra lygiavertė sąlygai x 1 − x 2 ≠ 0 . Atsižvelgdami į tai, kas išdėstyta pirmiau, galime sukurti šias lygybes, pakeisdami šaknis:
a x 1 + b = 0 ir a x 2 + b = 0.
Skaičių lygybių savybė leidžia atlikti lygybių dalių atėmimą po termino:

a x 1 + b − (a x 2 + b) = 0 − 0, iš čia: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0 ir toliau a · (x 1 − x 2) = 0 . Lygybė a · (x 1 − x 2) = 0 yra neteisinga, nes tai buvo nurodyta anksčiau a ≠ 0 Ir x 1 − x 2 ≠ 0 . Atsiradęs prieštaravimas yra įrodymas, kad kada a ≠ 0 tiesinė lygtis a x + b = 0 turi tik vieną šaknį.

Pagrįskime dar dvi sąlygas, kuriose yra a = 0.

Kada a = 0 tiesinė lygtis a x + b = 0 bus parašyta kaip 0 x + b = 0. Skaičiaus padauginimo iš nulio savybė suteikia mums teisę teigti, kad bet koks skaičius yra laikomas x, pakeičiant ją lygybe 0 x + b = 0, gauname b = 0 . Lygybė galioja b = 0; kitais atvejais, kai b ≠ 0, lygybė tampa klaidinga.

Todėl, kai a = 0 ir b = 0 , bet koks skaičius gali tapti tiesinės lygties šaknimi a x + b = 0, nes kai šios sąlygos įvykdomos, vietoj to pakeičiama x bet koks skaičius, gauname teisingą skaitinę lygybę 0 = 0 . Kada a = 0 Ir b ≠ 0 tiesinė lygtis a x + b = 0 iš viso neturės šaknų, nes kai įvykdomos nurodytos sąlygos, vietoj to pakeičiama x bet koks skaičius, gauname neteisingą skaitinę lygybę b = 0.

Visi aukščiau pateikti svarstymai suteikia mums galimybę užrašyti algoritmą, kuris leidžia rasti bet kurios tiesinės lygties sprendimą:

• pagal įrašo tipą nustatome koeficientų reikšmes a Ir b ir juos analizuoti;
• adresu a = 0 Ir b = 0 lygtis turės be galo daug šaknų, t.y. bet koks skaičius taps duotosios lygties šaknimi;
• adresu a = 0 Ir b ≠ 0
• adresu a, skiriasi nuo nulio, pradedame ieškoti vienintelės pradinės tiesinės lygties šaknies:

1. perkelkime koeficientą bį dešinę pusę, ženklą pakeitus į priešingą, tiesinę lygtį įvedant į formą a · x = − b ;
2. gautos lygybės abi puses padalinkite iš skaičiaus a, kuri duos mums norimą duotosios lygties šaknį: x = - b a.

Tiesą sakant, aprašyta veiksmų seka yra atsakymas į klausimą, kaip rasti tiesinės lygties sprendimą.

Galiausiai išsiaiškinkime tas formos lygtis a x = b yra išspręstos naudojant panašų algoritmą su vieninteliu skirtumu, kad skaičius b tokiu žymėjimu jau buvo perkelta į reikiamą lygties dalį, o su a ≠ 0 galite iš karto padalyti lygties dalis iš skaičiaus a.

Taigi, norint rasti lygties sprendimą a x = b, mes naudojame tokį algoritmą:

• adresu a = 0 Ir b = 0 lygtis turės be galo daug šaknų, t.y. bet koks skaičius gali tapti jo šaknimi;
• adresu a = 0 Ir b ≠ 0 duota lygtis neturės šaknų;
• adresu a, nelygus nuliui, abi lygties pusės yra padalintos iš skaičiaus a, kuri leidžia rasti vienintelę šaknį, kuri lygi b a.

Tiesinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

3 pavyzdys

Reikia išspręsti tiesinę lygtį 0 x − 0 = 0.

Sprendimas

Rašydami pateiktą lygtį matome tai a = 0 Ir b = – 0(arba b = 0, kuris yra tas pats). Taigi, duotoje lygtyje gali būti begalinis šaknų skaičius arba bet koks skaičius.

Atsakymas: x- bet koks skaičius.

4 pavyzdys

Būtina nustatyti, ar lygtis turi šaknis 0 x + 2, 7 = 0.

Sprendimas

Iš įrašo nustatome, kad a = 0, b = 2, 7. Taigi, duota lygtis neturės šaknų.

Atsakymas: pradinė tiesinė lygtis neturi šaknų.

5 pavyzdys

Duota tiesinė lygtis 0,3 x – 0,027 = 0. Ją reikia išspręsti.

Sprendimas

Rašydami lygtį nustatome, kad a = 0, 3; b = - 0,027, o tai leidžia teigti, kad duotoji lygtis turi vieną šaknį.

Vadovaudamiesi algoritmu, perkeliame b į dešinę lygties pusę, pakeisdami ženklą, gauname: 0,3 x = 0,027. Tada abi gautos lygybės puses padalijame iš a = 0, 3, tada: x = 0, 027 0, 3.

Padalinkime dešimtaines trupmenas:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Gautas rezultatas yra duotosios lygties šaknis.

Trumpai parašykime sprendimą taip:

0,3 x - 0,027 = 0,0,3 x = 0,027, x = 0,027 0,3, x = 0,09.

Atsakymas: x = 0,09.

Aiškumo dėlei pateikiame rašymo lygties sprendimą a x = b.

Pavyzdys N

Pateiktos lygtys yra: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = – 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Juos reikia išspręsti.

Sprendimas

Visos pateiktos lygtys atitinka įrašą a x = b. Pažvelkime į juos po vieną.

Lygtyje 0 x = 0, a = 0 ir b = 0, o tai reiškia: bet koks skaičius gali būti šios lygties šaknis.

Antroje lygtyje 0 x = − 9: a = 0 ir b = − 9, taigi ši lygtis neturės šaknų.

Remdamiesi paskutinės lygties forma - 3 8 · x = - 3 3 4, rašome koeficientus: a = - 3 8, b = - 3 3 4, t.y. lygtis turi vieną šaknį. Suraskime jį. Abi lygties puses padalinkime iš a ir gausime: x = - 3 3 4 - 3 8. Supaprastinkite trupmeną naudodami padalijimo taisyklę neigiami skaičiai po to mišrus skaičius konvertuojamas į bendroji trupmena ir dalijant paprastąsias trupmenas:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Trumpai parašykime sprendimą taip:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

Atsakymas: 1) x– bet koks skaičius, 2) lygtis neturi šaknų, 3) x = 10.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Tiesinė lygtis yra algebrinė lygtis, pilnas laipsnis kurių daugianariai lygūs vienetui. Tiesinių lygčių sprendimas – dalis mokyklos mokymo programa, ir ne pats sunkiausias. Tačiau kai kuriems vis dar sunku užbaigti šią temą. Tikimės, kad perskaičius šią medžiagą visi jūsų sunkumai liks praeityje. Taigi, išsiaiškinkime. kaip išspręsti tiesines lygtis.

Bendra forma

Tiesinė lygtis pavaizduota taip:

• ax + b = 0, kur a ir b yra bet kokie skaičiai.

Nors a ir b gali būti bet koks skaičius, jų reikšmės turi įtakos lygties sprendinių skaičiui. Yra keli specialūs sprendimo atvejai:

• Jei a=b=0, lygtis turi begalinį sprendinių skaičių;
• Jei a=0, b≠0, lygtis neturi sprendinio;
• Jei a≠0, b=0, lygtis turi sprendinį: x = 0.

Jei abiejų skaičių reikšmės skiriasi nuo nulio, reikia išspręsti lygtį, kad būtų gauta galutinė kintamojo išraiška.

Kaip apsispręsti?

Išspręsti tiesinę lygtį reiškia rasti, kam lygus kintamasis. Kaip tai padaryti? Taip, tai labai paprasta - naudojant paprastas algebrines operacijas ir laikantis perdavimo taisyklių. Jei lygtis pasirodo prieš jus bendra forma, jums pasisekė; viskas, ką jums reikia padaryti, tai:

1. Perkelti b į dešinioji pusė lygtį, nepamirštant pakeisti ženklo (vertimo taisyklė!), taigi iš formos ax + b = 0 išraiškos reikia gauti formos išraišką: ax = -b.
2. Taikykite taisyklę: norėdami rasti vieną iš veiksnių (x - mūsų atveju), turite padalyti sandaugą (mūsų atveju -b) iš kito koeficiento (a - mūsų atveju). Taigi, turėtumėte gauti tokios formos išraišką: x = -b/a.

Štai ir viskas – sprendimas rastas!

Dabar pažvelkime į konkretų pavyzdį:

1. 2x + 4 = 0 – perkelkite b, šiuo atveju lygų 4, į dešinę pusę
2. 2x = -4 - padalykite b iš a (nepamirškite apie minuso ženklą)
3. x = -4/2 = -2

Tai viskas! Mūsų sprendimas: x = -2.

Kaip matote, tiesinės lygties su vienu kintamuoju sprendimą yra gana paprasta rasti, tačiau viskas taip paprasta, jei mums pasisekė rasti lygtį bendra forma. Daugeliu atvejų prieš išsprendžiant lygtį dviem aukščiau aprašytais žingsniais, taip pat reikia sumažinti esamą išraišką iki bendra išvaizda. Tačiau tai taip pat nėra itin sudėtinga užduotis. Pažvelkime į keletą ypatingų atvejų naudodami pavyzdžius.

Specialių atvejų sprendimas

Pirma, pažvelkime į atvejus, kuriuos aprašėme straipsnio pradžioje, ir paaiškinkime, ką reiškia turėti begalinį sprendimų skaičių ir jokio sprendimo.

• Jei a=b=0, lygtis atrodys taip: 0x + 0 = 0. Atlikdami pirmą žingsnį, gauname: 0x = 0. Ką reiškia ši nesąmonė, sušukite jūs! Juk nesvarbu, kokį skaičių padauginsite iš nulio, visada gausite nulį! Teisingai! Štai kodėl jie sako, kad lygtis turi begalinį sprendinių skaičių – nesvarbu, kokį skaičių imsite, lygybė bus teisinga, 0x = 0 arba 0 = 0.
• Jei a=0, b≠0, lygtis atrodys taip: 0x + 3 = 0. Atlikite pirmąjį veiksmą, gausime 0x = -3. Vėl nesąmonė! Akivaizdu, kad ši lygybė niekada nebus tiesa! Štai kodėl jie sako, kad lygtis neturi sprendinių.
• Jei a≠0, b=0, lygtis atrodys taip: 3x + 0 = 0. Atlikdami pirmą žingsnį, gauname: 3x = 0. Koks yra sprendimas? Tai paprasta, x = 0.

Pamestas vertime

Aprašyti specialūs atvejai nėra viskas, kuo tiesinės lygtys gali mus nustebinti. Kartais lygtį sunku nustatyti iš pirmo žvilgsnio. Pažiūrėkime į pavyzdį:

• 12x - 14 = 2x + 6

Ar tai tiesinė lygtis? O kaip nulis dešinėje? Neskubėkime daryti išvadų, veikime – visus savo lygties komponentus perkelkime į kairė pusė. Mes gauname:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Dabar atimkite panašų iš panašaus, gausime:

• 10x - 20 = 0

Išmoko? Tiesiškiausia lygtis! Kurio sprendimas yra: x = 20/10 = 2.

Ką daryti, jei turime šį pavyzdį:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Taip, tai irgi tiesinė lygtis, tik reikia atlikti daugiau transformacijų. Pirmiausia atidarykime skliaustus:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 – 36x/4
2. 4 (x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - dabar atliekame perkėlimą:
4. 25x - 4 = 0 - belieka rasti sprendimą naudojant jau žinomą schemą:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0,16

Kaip matote, viską galima išspręsti, svarbiausia nesijaudinti, o veikti. Atminkite, kad jei jūsų lygtyje yra tik pirmojo laipsnio kintamieji ir skaičiai, turite tiesinę lygtį, kurią, nesvarbu, kaip ji atrodo iš pradžių, galima redukuoti į bendrą formą ir išspręsti. Tikimės, kad viskas jums pavyks! Sėkmės!

Lygtys. Kitaip tariant, visų lygčių sprendimas prasideda nuo šių transformacijų. Sprendžiant tiesines lygtis, ji (sprendimas) remiasi tapatybės transformacijomis ir baigiasi galutiniu atsakymu.

Nežinomo kintamojo nenulinio koeficiento atvejis.

ax+b=0, a ≠ 0

Perkeliame terminus su X į vieną pusę, o skaičiais į kitą pusę. Būtinai atminkite, kad perkeldami terminus į priešingą lygties pusę, turite pakeisti ženklą:

ax:(a)=-b:(a)

Sutrumpinkime A adresu X ir gauname:

x=-b:(a)

Tai yra atsakymas. Jei reikia patikrinti, ar yra skaičius -b:(a) mūsų lygties šaknis, tada turime pakeisti pradinę lygtį X tai numeris:

a(-b:(a))+b=0 ( tie. 0=0)

Nes tada ši lygybė yra teisinga -b:(a) o tiesa yra lygties šaknis.

Atsakymas: x=-b:(a), a ≠ 0.

Pirmas pavyzdys:

5x+2=7x-6

Mes perkeliame narius į vieną pusę X, o kitoje pusėje skaičiai:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Dėl nežinomo faktoriaus sumažinome koeficientą ir gavome atsakymą:

Tai yra atsakymas. Jei reikia patikrinti, ar skaičius 4 tikrai yra mūsų lygties šaknis, pradinėje lygtyje vietoj X pakeisime šį skaičių:

5*4+2=7*4-6 ( tie. 22=22)

Nes ši lygybė yra teisinga, tada 4 yra lygties šaknis.

Antras pavyzdys:

Išspręskite lygtį:

5x+14=x-49

Perkeliant nežinomuosius ir skaičius į skirtingos pusės, gavo:

Padalinkite lygties dalis iš koeficiento at x(pagal 4) ir gauname:

Trečias pavyzdys:

Išspręskite lygtį:

Pirma, mes atsikratome neracionalumo nežinomybės koeficiente, padaugindami visus terminus iš:

Ši forma laikoma supaprastinta, nes skaičius vardiklyje turi skaičiaus šaknį. Turime supaprastinti atsakymą, padaugindami skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus, turime tai:

Sprendimų nebuvimo atvejis.

Išspręskite lygtį:

2x+3=2x+7

Visų akivaizdoje x mūsų lygtis netaps tikra lygybe. Tai yra, mūsų lygtis neturi šaknų.

Atsakymas: sprendimų nėra.

Ypatingas atvejis – begalinis sprendimų skaičius.

Išspręskite lygtį:

2x+3=2x+3

Perkeldami x ir skaičius skirtingomis kryptimis ir pridėdami panašius terminus, gauname lygtį:

Čia irgi negalima abiejų dalių padalyti iš 0, nes tai uždrausta. Tačiau dedant į vietą X bet koks skaičius, gauname teisingą lygybę. Tai yra, kiekvienas skaičius yra tokios lygties sprendimas. Taigi sprendimų yra be galo daug.

Atsakymas: begalinis sprendimų skaičius.

Dviejų pilnų formų lygybės atvejis.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Atsakymas: x=(d-b):(a-c), Jei d≠b ir a≠c, kitu atveju sprendimų yra be galo daug, bet jei a=c, A d≠b, tada sprendimų nėra.

Lygčių sistemos plačiai naudojamos ekonomikos sektoriuje įvairių procesų matematiniam modeliavimui. Pavyzdžiui, sprendžiant gamybos valdymo ir planavimo, logistikos maršrutų (transporto problemos) ar įrangos išdėstymo problemas.

Sprendžiant populiacijos dydžio nustatymo uždavinius, lygčių sistemos naudojamos ne tik matematikoje, bet ir fizikoje, chemijoje, biologijoje.

Tiesinių lygčių sistema – tai dvi ar daugiau lygčių su keliais kintamaisiais, kurioms būtina rasti bendrą sprendimą. Tokia skaičių seka, kuriai visos lygtys tampa tikrosiomis lygybėmis arba įrodo, kad sekos nėra.

Tiesinė lygtis

Formos ax+by=c lygtys vadinamos tiesinėmis. Pavadinimai x, y yra nežinomieji, kurių reikšmę reikia rasti, b, a – kintamųjų koeficientai, c – laisvasis lygties narys.
Išsprendus lygtį ją nubraižant, ji atrodys kaip tiesė, kurios visi taškai yra daugianario sprendiniai.

Tiesinių lygčių sistemų tipai

Paprasčiausiais pavyzdžiais laikomos tiesinių lygčių sistemos su dviem kintamaisiais X ir Y.

F1(x, y) = 0 ir F2(x, y) = 0, kur F1,2 yra funkcijos, o (x, y) yra funkcijų kintamieji.

Išspręskite lygčių sistemą - tai reiškia, kad reikia rasti vertes (x, y), kurioms esant sistema virsta tikra lygybe, arba nustatyti, kad tinkamų x ir y reikšmių nėra.

Reikšmių pora (x, y), parašyta kaip taško koordinatės, vadinama tiesinių lygčių sistemos sprendimu.

Jei sistemos turi vieną bendrą sprendimą arba sprendimo nėra, jos vadinamos lygiavertėmis.

Homogeninės tiesinių lygčių sistemos yra sistemos dešinioji dalis kuris lygus nuliui. Jei dešinioji dalis po lygybės ženklo turi reikšmę arba yra išreikšta funkcija, tokia sistema yra nevienalytė.

Kintamųjų skaičius gali būti daug didesnis nei du, tuomet turėtume kalbėti apie tiesinių lygčių sistemos su trimis ar daugiau kintamųjų pavyzdį.

Susidūrę su sistemomis, moksleiviai mano, kad lygčių skaičius būtinai turi sutapti su nežinomųjų skaičiumi, tačiau taip nėra. Lygčių skaičius sistemoje nepriklauso nuo kintamųjų, jų gali būti tiek, kiek norisi.

Paprasti ir sudėtingi lygčių sistemų sprendimo metodai

Nėra bendro analitinio metodo tokioms sistemoms spręsti, visi metodai yra pagrįsti skaitiniais sprendimais. IN mokyklos kursas Matematika išsamiai aprašo tokius metodus kaip permutacija, algebrinis sudėjimas, pakeitimas, taip pat grafiniai ir matriciniai metodai, sprendimas Gauso metodu.

Pagrindinė užduotis mokant sprendimo metodų yra išmokyti teisingai analizuoti sistemą ir kiekvienam pavyzdžiui rasti optimalų sprendimo algoritmą. Svarbiausia yra ne įsiminti kiekvieno metodo taisyklių ir veiksmų sistemą, o suprasti konkretaus metodo naudojimo principus.

Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas 7 klasės bendrojo lavinimo programoje yra gana paprastas ir labai išsamiai paaiškintas. Bet kuriame matematikos vadovėlyje šiam skyriui skiriama pakankamai dėmesio. Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas Gauso ir Cramerio metodu plačiau nagrinėjamas pirmaisiais aukštojo mokslo metais.

Sistemų sprendimas pakeitimo metodu

Pakeitimo metodo veiksmais siekiama išreikšti vieno kintamojo reikšmę antruoju. Išraiška pakeičiama į likusią lygtį, tada ji redukuojama į formą su vienu kintamuoju. Veiksmas kartojamas priklausomai nuo nežinomųjų skaičiaus sistemoje

Pateikiame 7 klasės tiesinių lygčių sistemos pavyzdį, naudojant pakeitimo metodą:

Kaip matyti iš pavyzdžio, kintamasis x buvo išreikštas F(X) = 7 + Y. Gauta išraiška, pakeista į 2-ąją sistemos lygtį vietoj X, padėjo gauti vieną kintamąjį Y 2-oje lygtyje. . Išspręsti šį pavyzdį paprasta ir galima gauti reikšmę Y. Paskutinis žingsnis – gautų reikšmių patikrinimas.

Tiesinių lygčių sistemos pavyzdį ne visada įmanoma išspręsti pakeičiant. Lygtys gali būti sudėtingos ir kintamąjį išreikšti antrojo nežinomojo terminu bus pernelyg sudėtinga tolesniems skaičiavimams. Kai sistemoje yra daugiau nei 3 nežinomieji, sprendimas pakeitimu taip pat yra netinkamas.

Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos pavyzdžio sprendimas:

Sprendimas naudojant algebrinį sudėjimą

Ieškodami sprendimų sistemoms sudavimo metodu, jie atlieka lygčių sudėjimą ir dauginimą iš termino skirtingi skaičiai. Galutinis matematinių operacijų tikslas yra lygtis viename kintamajame.

Programoms šis metodas reikia praktikos ir stebėjimo. Išspręsti tiesinių lygčių sistemą sudavimo metodu, kai yra 3 ar daugiau kintamųjų, nėra lengva. Algebrinį sudėjimą patogu naudoti, kai lygtyse yra trupmenų ir dešimtainių dalių.

Sprendimo algoritmas:

1. Padauginkite abi lygties puses iš tam tikro skaičiaus. Dėl aritmetinės operacijos vienas iš kintamojo koeficientų turėtų tapti lygus 1.
2. Pridėkite gautą išraišką po termino ir raskite vieną iš nežinomųjų.
3. Pakeiskite gautą reikšmę į 2-ąją sistemos lygtį, kad rastumėte likusį kintamąjį.

Sprendimo būdas įvedant naują kintamąjį

Naujas kintamasis gali būti įvestas, jei sistemai reikia rasti sprendimą ne daugiau kaip dviem lygtims, nežinomųjų skaičius taip pat neturėtų būti didesnis nei du.

Metodas naudojamas supaprastinti vieną iš lygčių, įvedant naują kintamąjį. Nauja lygtis išsprendžiama įvestam nežinomajam, o gauta reikšmė naudojama pirminiam kintamajam nustatyti.

Pavyzdys rodo, kad įvedus naują kintamąjį t, buvo galima 1-ąją sistemos lygtį sumažinti iki standartinės kvadratinis trinaris. Galite išspręsti daugianarį suradę diskriminantą.

Reikia rasti diskriminanto reikšmę naudojant gerai žinomą formulę: D = b2 - 4*a*c, kur D yra norimas diskriminantas, b, a, c yra daugianario veiksniai. IN pateiktas pavyzdys a=1, b=16, c=39, todėl D=100. Jei diskriminantas didesnis už nulį, tai yra du sprendiniai: t = -b±√D / 2*a, jei diskriminantas mažesnis už nulį, tai yra vienas sprendinys: x = -b / 2*a.

Gautų sistemų sprendimas randamas pridėjimo metodu.

Vizualus sistemų sprendimo metodas

Tinka 3 lygčių sistemoms. Metodas susideda iš kiekvienos lygties, įtrauktos į sistemą, grafikų sudarymo koordinačių ašyje. Kreivių susikirtimo taškų koordinatės bus bendras sistemos sprendimas.

Grafinis metodas turi keletą niuansų. Pažvelkime į kelis tiesinių lygčių sistemų vaizdinio sprendimo pavyzdžius.

Kaip matyti iš pavyzdžio, kiekvienai eilutei buvo sudaryti du taškai, savavališkai parinktos kintamojo x reikšmės: 0 ir 3. Remiantis x reikšmėmis, buvo rastos y reikšmės: 3 ir 0. Taškai su koordinatėmis (0, 3) ir (3, 0) buvo pažymėti grafike ir sujungti linija.

Antrosios lygties veiksmai turi būti kartojami. Tiesių susikirtimo taškas yra sistemos sprendimas.

Šiame pavyzdyje reikia rasti grafinį tiesinių lygčių sistemos sprendimą: 0,5x-y+2=0 ir 0,5x-y-1=0.

Kaip matyti iš pavyzdžio, sistema neturi sprendimo, nes grafikai yra lygiagretūs ir nesikerta per visą savo ilgį.

2 ir 3 pavyzdžių sistemos yra panašios, tačiau sukūrus tampa akivaizdu, kad jų sprendimai skiriasi. Reikia atsiminti, kad ne visada galima pasakyti, ar sistema turi sprendimą, ar ne, visada reikia sudaryti grafiką.

Matrica ir jos atmainos

Matricos naudojamos glaustai parašyti tiesinių lygčių sistemą. Matrica yra specialus lentelės tipas, užpildytas skaičiais. n*m turi n eilučių ir m stulpelių.

Matrica yra kvadratinė, kai stulpelių ir eilučių skaičius yra lygus. Matrica-vektorius yra vieno stulpelio matrica su be galo galimu eilučių skaičiumi. Matrica su vienetais išilgai vienos iš įstrižainių ir kitų nulinių elementų vadinama tapatybe.

Atvirkštinė matrica yra matrica, padauginta iš kurios pradinė virsta vienetine matrica; tokia matrica egzistuoja tik pradinei kvadratinei.

Lygčių sistemos pavertimo matrica taisyklės

Kalbant apie lygčių sistemas, lygčių koeficientai ir laisvieji nariai rašomi kaip matricos skaičiai, viena lygtis yra viena matricos eilutė.

Teigiama, kad matricos eilutė yra nulis, jei bent vienas eilutės elementas nėra lygus nuliui. Todėl jeigu kurioje nors lygtyje kintamųjų skaičius skiriasi, tai vietoje trūkstamo nežinomojo reikia įvesti nulį.

Matricos stulpeliai turi griežtai atitikti kintamuosius. Tai reiškia, kad kintamojo x koeficientai gali būti rašomi tik viename stulpelyje, pavyzdžiui, pirmasis, nežinomo y koeficientas – tik antrame.

Dauginant matricą, visi matricos elementai paeiliui dauginami iš skaičiaus.

Atvirkštinės matricos paieškos parinktys

Formulė atvirkštinei matricai rasti yra gana paprasta: K -1 = 1 / |K|, kur K -1 yra atvirkštinė matrica ir |K| yra matricos determinantas. |K| neturi būti lygus nuliui, tada sistema turi sprendimą.

Determinantas lengvai apskaičiuojamas matricai du kartus; tereikia padauginti įstrižainės elementus vieną iš kito. Parinkčiai „trys iš trijų“ yra formulė |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Galite naudoti formulę arba prisiminti, kad reikia paimti po vieną elementą iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio, kad darbe nesikartotų stulpelių ir elementų eilučių numeriai.

Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas matriciniu metodu

Matricinis sprendimo paieškos metodas leidžia sumažinti sudėtingus įrašus sprendžiant sistemas su didelė suma kintamieji ir lygtys.

Pavyzdyje a nm yra lygčių koeficientai, matrica yra vektorius, x n yra kintamieji, o b n yra laisvieji nariai.

Sistemų sprendimas Gauso metodu

Aukštojoje matematikoje Gauso metodas tiriamas kartu su Cramerio metodu, o sistemų sprendimų paieškos procesas vadinamas Gauss-Cramer sprendimo metodu. Šie metodai naudojami ieškant sistemų su daugybe tiesinių lygčių kintamiesiems.

Gauso metodas yra labai panašus į sprendimus, kuriuose naudojami pakaitalai ir algebrinis sudėjimas, bet sistemingiau. Mokykliniame kurse 3 ir 4 lygčių sistemoms naudojamas sprendimas Gauso metodu. Metodo tikslas – sumažinti sistemą iki apverstos trapecijos formos. Algebrinių transformacijų ir keitimų pagalba vienoje iš sistemos lygčių randama vieno kintamojo reikšmė. Antroji lygtis yra išraiška su 2 nežinomaisiais, o 3 ir 4 yra atitinkamai su 3 ir 4 kintamaisiais.

Suvedus sistemą į aprašytą formą, tolesnis sprendimas redukuojamas iki nuoseklaus žinomų kintamųjų pakeitimo sistemos lygtyse.

7 klasės mokykliniuose vadovėliuose Gauso metodo sprendimo pavyzdys aprašytas taip:

Kaip matyti iš pavyzdžio, (3) žingsnyje buvo gautos dvi lygtys: 3x 3 -2x 4 =11 ir 3x 3 +2x 4 =7. Išsprendę bet kurią lygtį, galėsite sužinoti vieną iš kintamųjų x n.

Tekste minima 5 teorema teigia, kad vieną iš sistemos lygčių pakeitus lygiaverte, tai gauta sistema taip pat bus lygiavertė pradinei.

Gauso metodas yra sunkiai suprantamas vidurinių mokyklų mokiniams, tačiau jis yra vienas iš labiausiai įdomių būdų ugdyti matematikos ir fizikos klasėse į išplėstines studijų programas stojančių vaikų išradingumą.

Kad būtų lengviau įrašyti, skaičiavimai paprastai atliekami taip:

Lygčių ir laisvųjų dėmenų koeficientai rašomi matricos pavidalu, kur kiekviena matricos eilutė atitinka vieną iš sistemos lygčių. atskiria kairę lygties pusę nuo dešinės. Romėniški skaitmenys nurodo lygčių skaičius sistemoje.

Pirmiausia užsirašykite matricą, su kuria dirbsite, tada visus veiksmus, atliktus su viena iš eilučių. Gauta matrica rašoma po „rodyklės“ ženklu ir tęsiamos būtinos algebrinės operacijos, kol pasiekiamas rezultatas.

Rezultatas turėtų būti matrica, kurioje viena iš įstrižainių yra lygi 1, o visi kiti koeficientai lygūs nuliui, tai yra, matrica sumažinama iki vieneto formos. Turime nepamiršti atlikti skaičiavimų su skaičiais abiejose lygties pusėse.

Šis įrašymo būdas yra ne toks sudėtingas ir leidžia nesiblaškyti išvardijant daugybę nežinomųjų.

Norint nemokamai naudoti bet kokį sprendimo būdą, reikės kruopštumo ir tam tikros patirties. Ne visi metodai yra taikomojo pobūdžio. Kai kurie sprendimų paieškos metodai yra labiau tinkami tam tikroje žmogaus veiklos srityje, o kiti yra švietimo tikslais.