Kaip išspręsti lygčių sistemą viename nežinomajame. Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžiai: sprendimo metodas. Dviejų tiesinių lygčių sistema iš dviejų kintamųjų

Lygčių sistemos plačiai naudojamos ekonomikos pramonėje įvairių procesų matematiniam modeliavimui. Pavyzdžiui, sprendžiant gamybos, logistikos maršrutų (transporto problemos) ar įrangos išdėstymo valdymo ir planavimo problemas.

Lygčių sistemos naudojamos ne tik matematikos, bet ir fizikos, chemijos ir biologijos srityse, sprendžiant populiacijos dydžio nustatymo uždavinius.

Tiesinių lygčių sistema vadinama dvi ar daugiau lygčių su keliais kintamaisiais, kurioms būtina rasti bendrą sprendimą. Tokia skaičių seka, kuriai visos lygtys tampa tikrosiomis lygybėmis arba įrodo, kad sekos nėra.

Tiesinė lygtis

Formos ax + by = c lygtys vadinamos tiesinėmis. Žymėjimas x, y yra nežinomasis, kurio reikšmę reikia rasti, b, a – kintamųjų koeficientai, c – laisvasis lygties narys.
Lygties sprendimas, nubraižęs jos grafiką, turės tiesės formą, kurios visi taškai yra daugianario sprendinys.

Tiesinių lygčių sistemų tipai

Paprasčiausiais pavyzdžiais laikomos tiesinių lygčių sistemos su dviem kintamaisiais X ir Y.

F1 (x, y) = 0 ir F2 (x, y) = 0, kur F1,2 yra funkcijos, o (x, y) yra funkcijų kintamieji.

Išspręskite lygčių sistemą - tai reiškia, kad reikia rasti tokias reikšmes (x, y), kurioms esant sistema virsta tikra lygybe, arba nustatyti, kad nėra tinkamų x ir y reikšmių.

Reikšmių pora (x, y), parašyta kaip taško koordinatės, vadinama tiesinių lygčių sistemos sprendimu.

Jei sistemos turi vieną bendrą sprendimą arba sprendimo nėra, jos vadinamos lygiavertėmis.

Homogeninės tiesinių lygčių sistemos yra sistemos, kurių dešinioji pusė lygi nuliui. Jei dešinioji dalis po „lygybės“ ženklo turi reikšmę arba išreiškiama funkcija, tokia sistema yra nevienalytė.

Kintamųjų gali būti daug daugiau nei du, tuomet turėtume kalbėti apie tiesinių lygčių sistemos su trimis ar daugiau kintamųjų pavyzdį.

Susidūrę su sistemomis, moksleiviai mano, kad lygčių skaičius būtinai turi sutapti su nežinomųjų skaičiumi, tačiau taip nėra. Lygčių skaičius sistemoje nepriklauso nuo kintamųjų, jų gali būti tiek, kiek norite.

Paprasti ir sudėtingi lygčių sistemų sprendimo metodai

Nėra bendro analitinio būdo tokioms sistemoms spręsti, visi metodai yra pagrįsti skaitiniais sprendimais. Mokykliniame matematikos kurse išsamiai aprašomi tokie metodai kaip permutacija, algebrinis sudėjimas, pakaitalai, taip pat grafinis ir matricinis metodas, sprendimas Gauso metodu.

Pagrindinis uždavinys mokant sprendimo metodus – išmokyti tinkamai analizuoti sistemą ir kiekvienam pavyzdžiui rasti optimalų sprendimo algoritmą. Svarbiausia yra ne įsiminti kiekvieno metodo taisyklių ir veiksmų sistemą, o suprasti konkretaus metodo taikymo principus.

Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas bendrojo mokyklinio ugdymo programos 7 klasei yra gana paprastas ir labai išsamiai paaiškintas. Bet kuriame matematikos vadovėlyje šiam skyriui skiriama pakankamai dėmesio. Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas Gauso ir Cramerio metodu plačiau nagrinėjamas pirmaisiais aukštųjų mokyklų metais.

Sistemų sprendimas pakeitimo metodu

Pakeitimo metodo veiksmais siekiama išreikšti vieno kintamojo reikšmę per antrąjį. Išraiška pakeičiama į likusią lygtį, tada ji redukuojama į formą su vienu kintamuoju. Veiksmas kartojamas priklausomai nuo nežinomųjų skaičiaus sistemoje

Pateikiame 7-osios klasės tiesinių lygčių sistemos pavyzdį keitimo metodu:

Kaip matote iš pavyzdžio, kintamasis x buvo išreikštas F (X) = 7 + Y. Gauta išraiška, pakeista į 2-ąją sistemos lygtį vietoj X, padėjo gauti vieną kintamąjį Y 2-oje lygtyje. . Šio pavyzdžio sprendimas nesukelia jokių sunkumų ir leidžia gauti reikšmę Y. Paskutinis žingsnis – gautų reikšmių patikrinimas.

Tiesinių lygčių sistemos pavyzdį ne visada įmanoma išspręsti pakeičiant. Lygtys gali būti sudėtingos ir kintamojo išraiška antrojo nežinomojo atžvilgiu bus pernelyg sudėtinga tolesniems skaičiavimams. Kai sistemoje yra daugiau nei 3 nežinomieji, sprendimas pakeitimu taip pat yra nepraktiškas.

Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos pavyzdžio sprendimas:

Algebrinis pridėjimo sprendimas

Ieškant sistemų sprendimo sudavimo metodu, atliekamas lygčių terminų sudėjimas ir dauginimas iš įvairių skaičių. Galutinis matematinių operacijų tikslas yra lygtis viename kintamajame.

Šis metodas reikalauja praktikos ir stebėjimo. Nelengva išspręsti tiesinių lygčių sistemą sudavimo metodu su 3 ar daugiau kintamųjų. Patogu naudoti algebrinį sudėjimą, kai lygtyse yra trupmenų ir dešimtainių skaičių.

Sprendimo veiksmų algoritmas:

1. Padauginkite abi lygties puses iš tam tikro skaičiaus. Dėl aritmetinės operacijos vienas iš kintamojo koeficientų turi tapti lygus 1.
2. Pridėkite gautą išraišką po termino ir raskite vieną iš nežinomųjų.
3. Pakeiskite gautą reikšmę į 2-ąją sistemos lygtį, kad rastumėte likusį kintamąjį.

Sprendimas įvedant naują kintamąjį

Naujas kintamasis gali būti įvestas, jei sistemai reikia rasti sprendimą ne daugiau kaip dviem lygtims, nežinomųjų skaičius taip pat turėtų būti ne didesnis kaip du.

Metodas naudojamas supaprastinti vieną iš lygčių, įvedant naują kintamąjį. Naujoji lygtis išsprendžiama įvesto nežinomojo atžvilgiu, o gauta reikšmė naudojama pirminiam kintamajam nustatyti.

Pavyzdys rodo, kad įvedus naują kintamąjį t, buvo galima 1-ąją sistemos lygtį sumažinti iki standartinio kvadratinio trinalio. Galite išspręsti daugianarį suradę diskriminantą.

Reikia rasti diskriminanto reikšmę pagal gerai žinomą formulę: D = b2 - 4 * a * c, kur D – reikalingas diskriminantas, b, a, c – daugianario faktoriai. Pateiktame pavyzdyje a = 1, b = 16, c = 39, taigi D = 100. Jei diskriminantas didesnis už nulį, tai yra du sprendiniai: t = -b ± √D / 2 * a, jei diskriminantas yra mažesnis už nulį, tada yra vienas sprendinys: x = -b / 2 * a.

Gautų sistemų sprendimas randamas pridėjimo metodu.

Vizualus sistemų sprendimo metodas

Tinka sistemoms su 3 lygtimis. Metodas susideda iš kiekvienos lygties, įtrauktos į sistemą, grafikų atvaizdavimo koordinačių ašyje. Kreivių susikirtimo taškų koordinatės bus bendras sistemos sprendimas.

Grafinis metodas turi nemažai niuansų. Panagrinėkime keletą tiesinių lygčių sistemų vaizdinio sprendimo pavyzdžių.

Kaip matote iš pavyzdžio, kiekvienai tiesei buvo pastatyti du taškai, savavališkai parinktos kintamojo x reikšmės: 0 ir 3. Remiantis x reikšmėmis, buvo rastos y reikšmės. : 3 ir 0. Taškai su koordinatėmis (0, 3) ir (3, 0) buvo pažymėti grafike ir sujungti linija.

Antrosios lygties veiksmai turi būti kartojami. Tiesių susikirtimo taškas yra sistemos sprendimas.

Šiame pavyzdyje reikia rasti grafinį tiesinių lygčių sistemos sprendimą: 0,5x-y + 2 = 0 ir 0,5x-y-1 = 0.

Kaip matote iš pavyzdžio, sistema neturi sprendimo, nes grafikai yra lygiagretūs ir nesikerta per visą savo ilgį.

2 ir 3 pavyzdžių sistemos yra panašios, tačiau ją kuriant tampa akivaizdu, kad jų sprendimai skiriasi. Reikia atsiminti, kad ne visada galima pasakyti, ar sistema turi sprendimą, ar ne, visada reikia sudaryti grafiką.

Matrica ir jos atmainos

Matricos naudojamos glaustai parašyti tiesinių lygčių sistemą. Matrica yra specialios rūšies lentelė, užpildyta skaičiais. n * m turi n - eilučių ir m - stulpelius.

Matrica yra kvadratinė, kai stulpelių ir eilučių skaičius yra lygus vienas kitam. Vektorinė matrica yra vieno stulpelio matrica su begaliniu eilučių skaičiumi. Matrica su vienetais išilgai vienos iš įstrižainių ir kitų nulinių elementų vadinama tapatumo matrica.

Atvirkštinė matrica yra tokia matrica, iš kurios padauginus pradinę virsta tapatumo matrica, tokia matrica egzistuoja tik pradinei kvadratinei.

Lygčių sistemos transformavimo į matricą taisyklės

Taikant lygčių sistemoms, lygčių koeficientai ir laisvieji nariai rašomi kaip matricos skaičiai, viena lygtis yra viena matricos eilutė.

Matricos eilutė vadinama nenuline, jei bent vienas eilutės elementas yra nulis. Todėl jeigu kurioje nors lygtyje skiriasi kintamųjų skaičius, tai vietoj trūkstamo nežinomojo reikia rašyti nulį.

Matricos stulpeliai turi griežtai atitikti kintamuosius. Tai reiškia, kad kintamojo x koeficientai gali būti rašomi tik viename stulpelyje, pavyzdžiui, pirmasis, nežinomo y koeficientas – tik antrame.

Dauginant matricą, visi matricos elementai paeiliui dauginami iš skaičiaus.

Atvirkštinės matricos radimo variantai

Formulė atvirkštinei matricai rasti yra gana paprasta: K -1 = 1 / | K |, kur K -1 yra atvirkštinė matrica ir | K | yra matricos determinantas. | K | neturėtų būti nulis, tada sistema turi sprendimą.

Determinantas nesunkiai apskaičiuojamas matricai du po du; tereikia padauginti įstrižainės elementus vienas iš kito. Parinkčiai „trys iš trijų“ yra formulė | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Galite naudoti formulę arba prisiminti, kad reikia paimti po vieną elementą iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio, kad gaminyje nesikartotų stulpelių ir elementų eilučių skaičiai.

Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas matriciniu metodu

Matricinis sprendimo paieškos metodas leidžia sumažinti sudėtingus įrašus sprendžiant sistemas su daugybe kintamųjų ir lygčių.

Pavyzdyje a nm yra lygčių koeficientai, matrica yra vektorius, x n yra kintamieji, o b n yra laisvieji nariai.

Gauso sistemų sprendimas

Aukštojoje matematikoje Gauso metodas tiriamas kartu su Cramerio metodu, o sistemų sprendimo paieškos procesas vadinamas Gauso – Kramerio metodu. Šie metodai naudojami ieškant kintamųjų sistemų su daugybe tiesinių lygčių.

Gauso metodas yra labai panašus į pakeitimo ir algebrinio sudėjimo sprendimus, bet sistemingesnis. Mokykliniame kurse Gauso sprendimas naudojamas 3 ir 4 lygčių sistemoms. Metodo tikslas – kad sistema atrodytų kaip apversta trapecija. Algebrinėmis transformacijomis ir keitimais vieno kintamojo reikšmė randama vienoje iš sistemos lygčių. Antroji lygtis yra išraiška su 2 nežinomaisiais, bet 3 ir 4 - atitinkamai su 3 ir 4 kintamaisiais.

Suvedus sistemą į aprašytą formą, tolesnis sprendimas redukuojamas iki nuoseklaus žinomų kintamųjų pakeitimo į sistemos lygtis.

7 klasės mokykliniuose vadovėliuose Gauso metodo sprendimo pavyzdys aprašytas taip:

Kaip matote iš pavyzdžio, (3) žingsnyje buvo gautos dvi lygtys: 3x 3 -2x 4 = 11 ir 3x 3 + 2x 4 = 7. Bet kurios lygties sprendimas leis jums sužinoti vieną iš kintamųjų x n.

Tekste minima 5 teorema teigia, kad jei vieną iš sistemos lygčių pakeisite lygiaverte, tai gauta sistema taip pat bus lygiavertė pradinei.

Gimnazistams Gauso metodas yra sunkiai suprantamas, tačiau tai vienas įdomiausių būdų ugdyti vaikų intelektą aukštesnėse matematikos ir fizikos pamokose.

Kad būtų lengviau įrašyti skaičiavimus, įprasta atlikti šiuos veiksmus:

Lygčių ir laisvųjų dėmenų koeficientai rašomi matricos pavidalu, kur kiekviena matricos eilutė yra susijusi su viena iš sistemos lygčių. atskiria kairę lygties pusę nuo dešinės. Romėniški skaitmenys nurodo lygčių skaičius sistemoje.

Pirmiausia jie užrašo matricą, su kuria reikia dirbti, tada visus veiksmus, atliekamus su viena iš eilučių. Gauta matrica rašoma po rodyklės ženklu ir tęsiami būtini algebriniai veiksmai, kol pasiekiamas rezultatas.

Dėl to turėtų būti gauta matrica, kurios viena iš įstrižainių yra 1, o visi kiti koeficientai lygūs nuliui, tai yra, matrica sudaroma į vieną formą. Nepamirškite atlikti skaičiavimų su skaičiais abiejose lygties pusėse.

Šis įrašymo būdas yra ne toks sudėtingas ir leidžia nesiblaškyti dėl daugybės nežinomųjų.

Nemokamas bet kokio sprendimo pritaikymas pareikalaus kruopštumo ir tam tikros patirties. Ne visi metodai yra taikomojo pobūdžio. Kai kurie sprendimų paieškos būdai yra labiau priimtini šioje kitoje žmogaus veiklos srityje, o kiti yra švietimo tikslais.

Patikimesnis nei ankstesnėje pastraipoje aptartas grafinis metodas.

Pakeitimo metodas

Šį metodą naudojome 7 klasėje tiesinių lygčių sistemoms spręsti. Algoritmas, kuris buvo sukurtas 7 klasėje, yra gana tinkamas bet kurių dviejų lygčių (nebūtinai tiesinių) sistemoms spręsti su dviem kintamaisiais x ir y (žinoma, kintamieji gali būti žymimi ir kitomis raidėmis, kas nesvarbu). Tiesą sakant, šį algoritmą naudojome ankstesnėje pastraipoje, kai dviženklio skaičiaus problema atvedė į matematinį modelį, kuris yra lygčių sistema. Šią lygčių sistemą išsprendėme aukščiau pateiktu pakeitimo metodu (žr. 1 pavyzdį iš § 4).

Pakeitimo metodo panaudojimo algoritmas sprendžiant dviejų lygčių sistemą su dviem kintamaisiais x, y.

1. Iš vienos sistemos lygties išreikškite y per x.
2. Gautą išraišką vietoj y pakeiskite kita sistemos lygtimi.
3. Išspręskite gautą x lygtį.
4. Paeiliui kiekvieną iš lygties, rastos trečiame žingsnyje, šaknis vietoj x pakeiskite į y–x išraišką, gautą pirmame žingsnyje.
5. Užrašykite atsakymą reikšmių poromis (x; y), kurios buvo rastos atitinkamai trečiame ir ketvirtame žingsnyje.

4) Paeiliui kiekvieną rastą y reikšmę pakeiskite formule x = 5 - 3y. Jei tada
5) Duotos lygčių sistemos poros (2; 1) ir sprendiniai.

Atsakymas: (2; 1);

Algebrinis sudėjimo metodas

Šis metodas, kaip ir pakeitimo metodas, jums pažįstamas iš 7 klasės algebros kurso, kur jis buvo naudojamas tiesinių lygčių sistemoms spręsti. Prisiminkime metodo esmę naudodami šį pavyzdį.

2 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Visus pirmosios sistemos lygties narius padauginame iš 3, o antrąją lygtį paliekame nepakeistą:
Iš pirmosios lygties atimkite antrąją sistemos lygtį:

Algebriškai sudėjus dvi pirminės sistemos lygtis, gaunama lygtis, kuri yra paprastesnė už pateiktos sistemos pirmąją ir antrąją lygtis. Šia paprastesne lygtimi turime teisę pakeisti bet kurią tam tikros sistemos lygtį, pavyzdžiui, antrąją. Tada pateikta lygčių sistema bus pakeista paprastesne sistema:

Šią sistemą galima išspręsti pakeitimo metodu. Iš antrosios lygties randame, kad pirmoje sistemos lygtyje vietoj y pakeičiame šią išraišką, gauname

Belieka rastąsias x reikšmes pakeisti į formulę

Jei x = 2, tada

Taigi, mes radome du sistemos sprendimus:

Naujų kintamųjų įvedimo metodas

Apie naujo kintamojo įvedimo metodą sprendžiant racionaliąsias lygtis viename kintamajame sužinojote 8 klasės algebros kurse. Šio metodo esmė sprendžiant lygčių sistemas yra ta pati, tačiau techniniu požiūriu yra keletas ypatybių, kurias aptarsime tolesniuose pavyzdžiuose.

3 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Įveskime naują kintamąjį Tada pirmąją sistemos lygtį galima perrašyti paprastesne forma: Išspręskime šią lygtį kintamajam t:

Abi šios reikšmės atitinka sąlygą, todėl yra racionalios lygties su kintamuoju t šaknys. Bet tai reiškia, kad iš kur mes nustatome, kad x = 2y, arba
Taigi, naudojant naujo kintamojo įvedimo metodą, mums pavyko tarsi „padalyti“ pirmąją gana sudėtingos išvaizdos sistemos lygtį į dvi paprastesnes lygtis:

x = 2 y; y - 2x.

Kas toliau? Ir tada kiekviena iš dviejų gautų paprastų lygčių turi būti nagrinėjama paeiliui sistemoje su lygtimi x 2 - y 2 = 3, kurios mes dar neprisimename. Kitaip tariant, problema sumažinama iki dviejų lygčių sistemų sprendimo:

Būtina rasti pirmosios, antrosios sistemos sprendinius ir į atsakymą įtraukti visas gautas reikšmių poras. Išspręskime pirmąją lygčių sistemą:

Naudosime pakeitimo metodą, juolab kad čia viskas tam paruošta: į antrąją sistemos lygtį vietoj x pakeičiame išraišką 2y. Mes gauname

Kadangi x = 2y, atitinkamai randame x 1 = 2, x 2 = 2. Taigi gaunami du duotosios sistemos sprendiniai: (2; 1) ir (-2; -1). Išspręskime antrąją lygčių sistemą:

Vėl panaudokime pakeitimo metodą: antrojoje sistemos lygtyje y reiškinį pakeiskite 2x. Mes gauname

Ši lygtis neturi šaknų, o tai reiškia, kad lygčių sistema taip pat neturi sprendinių. Taigi į atsakymą turėtų būti įtraukti tik pirmosios sistemos sprendiniai.

Atsakymas: (2; 1); (-2; -1).

Naujų kintamųjų įvedimo metodas sprendžiant dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistemas naudojamas dviem variantais. Pirmas variantas: vienas naujas kintamasis įvedamas ir naudojamas tik vienoje sistemos lygtyje. Būtent taip yra 3 pavyzdyje. Antrasis variantas: įvedami du nauji kintamieji, kurie vienu metu naudojami abiejose sistemos lygtyse. Taip bus 4 pavyzdyje.

4 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Pristatykime du naujus kintamuosius:

Apsvarstykite tai tada

Tai leis perrašyti pateiktą sistemą daug paprastesne forma, tačiau atsižvelgiant į naujus kintamuosius a ir b:

Kadangi a = 1, tai iš lygties a + 6 = 2 randame: 1 + 6 = 2; 6 = 1. Taigi, kintamiesiems a ir b gavome vieną sprendimą:

Grįžę prie kintamųjų x ir y, gauname lygčių sistemą

Šiai sistemai išspręsti pritaikykime algebrinio sudėjimo metodą:

Nuo tada iš lygties 2x + y = 3 randame:
Taigi, kintamiesiems x ir y gavome vieną sprendimą:

Šį skyrių užbaigsime trumpa, bet gana rimta teorine diskusija. Jūs jau įgijote tam tikros patirties sprendžiant įvairias lygtis: tiesinę, kvadratinę, racionaliąją, neracionaliąją. Jūs žinote, kad pagrindinė lygties sprendimo idėja yra laipsniškas perėjimas nuo vienos lygties prie kitos, paprastesnės, bet lygiavertės pateiktai. Ankstesniame skyriuje pristatėme dviejų kintamųjų lygčių ekvivalentiškumo sąvoką. Ši sąvoka taip pat naudojama lygčių sistemoms.

Apibrėžimas.

Dvi lygčių sistemos su kintamaisiais x ir y vadinamos lygiavertėmis, jei jos turi tuos pačius sprendinius arba jei abi sistemos neturi sprendinių.

Visi trys metodai (pakeitimas, algebrinis pridėjimas ir naujų kintamųjų įvedimas), kuriuos aptarėme šiame skyriuje, yra visiškai teisingi lygiavertiškumo požiūriu. Kitaip tariant, taikydami šiuos metodus vieną lygčių sistemą pakeičiame kita, paprastesne, bet lygiaverte pradinei sistemai.

Grafinis lygčių sistemų sprendimo metodas

Jau išmokome spręsti lygčių sistemas tokiais įprastais ir patikimais metodais kaip pakeitimo metodas, algebrinis sudėjimas ir naujų kintamųjų įvedimas. Dabar prisiminkime su jumis metodą, kurį jau studijavote ankstesnėje pamokoje. Tai yra, pakartokime tai, ką žinote apie grafinio sprendimo metodą.

Lygčių sistemų grafinio sprendimo būdas yra kiekvienos konkrečios lygties, kuri yra įtraukta į šią sistemą ir yra toje pačioje koordinačių plokštumoje, grafiko sudarymas, taip pat kur reikia rasti sankirtos taškus. šių grafikų taškai. Šiai lygčių sistemai išspręsti reikia šio taško koordinatės (x; y).

Reikėtų atsiminti, kad grafinėje lygčių sistemoje įprasta turėti vieną teisingą sprendinį arba begalinę sprendinių rinkinį, arba sprendinių apskritai nėra.

O dabar pakalbėkime apie kiekvieną iš šių sprendimų išsamiau. Taigi, lygčių sistema gali turėti unikalų sprendimą, jei susikerta tiesės, kurios yra sistemos lygčių grafikai. Jeigu šios tiesės lygiagrečios, tai tokia lygčių sistema visiškai neturi sprendinių. Sistemos lygčių tiesioginių grafikų sutapimo atveju tokia sistema leidžia rasti sprendinių aibę.

Na, o dabar pažvelkime į dviejų lygčių sistemos sprendimo algoritmą su 2 nežinomais grafiniais metodais:

Pirma, pradžioje sudarome 1-osios lygties grafiką;
Antras žingsnis – nubraižyti grafiką, nurodantį antrąją lygtį;
Trečia, turime rasti diagramų susikirtimo taškus.
Ir kaip rezultatas, mes gauname kiekvieno susikirtimo taško koordinates, kurios bus lygčių sistemos sprendimas.

Pažvelkime į šį metodą atidžiau pateikdami pavyzdį. Mums duota lygčių sistema, kurią reikia išspręsti:

Lygčių sprendimas

1. Pirmiausia nubraižysime šią lygtį: x2 + y2 = 9.

Tačiau reikia pažymėti, kad šis lygčių grafikas bus apskritimas, kurio centras yra pradžioje, o jo spindulys bus lygus trims.

2. Kitas žingsnis yra nubraižyti lygtį, tokią kaip: y = x - 3.

Šiuo atveju turime nubrėžti liniją ir rasti taškus (0; −3) ir (3; 0).

3. Pažiūrėkime, ką turime. Matome, kad tiesė kerta apskritimą dviejuose jos taškuose A ir B.

Dabar mes ieškome šių taškų koordinačių. Matome, kad koordinatės (3; 0) atitinka tašką A, o koordinatės (0; −3) – tašką B.

Ir ką mes galiausiai gauname?

Tiesės ir apskritimo sankirtoje gauti skaičiai (3; 0) ir (0; −3) yra būtent abiejų sistemos lygčių sprendiniai. Ir iš to išplaukia, kad šie skaičiai taip pat yra šios lygčių sistemos sprendiniai.

Tai yra, atsakymas į šį sprendimą yra skaičiai: (3; 0) ir (0; -3).

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija – tai duomenys, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba su juo susisiekti.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai paliekate užklausą svetainėje, mes galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir pranešti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei būsimus renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašiame reklaminiame renginyje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją toms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei reikia – pagal įstatymus, teismo įsakymą, teismo procese ir (arba) remiantis viešais prašymais ar vyriausybės institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų socialiai svarbių priežasčių.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai – teisių perėmėjui.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir piktnaudžiavimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Pagarba jūsų privatumui įmonės lygiu

Siekdami įsitikinti, kad Jūsų asmeninė informacija yra saugi, savo darbuotojams pristatome konfidencialumo ir saugumo taisykles bei griežtai stebime konfidencialumo priemonių įgyvendinimą.

Paprastai sistemos lygtys rašomos stulpelyje viena po kitos ir derinamos su riestiniu skliaustu

Tokios formos lygčių sistema, kur a, b, c- skaičiai ir x, y- vadinami kintamieji tiesinių lygčių sistema.

Sprendžiant lygčių sistemą, naudojamos savybės, kurios galioja lygtims spręsti.

Tiesinių lygčių sistemos sprendimas pakeitimo metodu

Panagrinėkime pavyzdį

1) Išreikškite kintamąjį vienoje iš lygčių. Pavyzdžiui, išreiškiame y pirmoje lygtyje gauname sistemą:

2) Pakeiskite antroje sistemos lygtyje vietoj y išraiška 3x-7:

3) Išsprendžiame gautą antrąją lygtį:

4) Gautą sprendimą pakeičiame pirmąja sistemos lygtimi:

Lygčių sistema turi unikalų sprendimą: skaičių porą x = 1, y = -4... Atsakymas: (1; -4) , parašyta skliausteliuose, pirmoje pozicijoje reikšmė x, antroje - y.

Tiesinių lygčių sistemos sprendimas sudėjimo metodu

Išspręskime lygčių sistemą iš ankstesnio pavyzdžio papildymo būdu.

1) Transformuokite sistemą taip, kad vieno iš kintamųjų koeficientai taptų priešingi. Padauginkime pirmąją sistemos lygtį iš „3“.

2) Sudėkite sistemos lygtis po termino. Antroji sistemos lygtis (bet kuri) perrašoma be pakeitimų.

3) Gautą sprendimą pakeičiame pirmąja sistemos lygtimi:

Tiesinių lygčių sistemos sprendimas grafiškai

Dviejų kintamųjų lygčių sistemos grafinis sprendimas redukuojamas iki lygčių grafikų bendrųjų taškų koordinačių suradimo.

Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija. Dvi tiesės plokštumoje gali susikirsti viename taške, būti lygiagrečios arba sutapti. Atitinkamai, lygčių sistema gali: a) turėti unikalų sprendinį; b) neturi sprendimų; c) turi begalinį sprendinių skaičių.

2) Lygčių sistemos sprendimas yra grafikų susikirtimo taškas (jei lygtys yra tiesinės).

Grafinis sistemos sprendimas

Naujų kintamųjų įvedimo metodas

Keičiant kintamuosius galima išspręsti paprastesnę lygčių sistemą nei pradinė.

Apsvarstykite sistemos sprendimą

Tada pristatome pakaitalą

Pereikite prie pradinių kintamųjų

Ypatingi atvejai

Neišsprendus tiesinių lygčių sistemos, jos sprendinių skaičių galima nustatyti pagal atitinkamų kintamųjų koeficientus.

Pamokos turinys

Tiesinės lygtys dviejuose kintamuosiuose

Pietums mokykloje mokinys turi 200 rublių. Pyragas kainuoja 25 rublius, o kavos puodelis – 10 rublių. Kiek pyragų ir kavos puodelių galite nusipirkti už 200 rublių?

Pažymime pyragų skaičių x, ir kavos puodelių skaičius po to y... Tada pyragų kaina bus pažymėta išraiška 25 x, ir kavos puodelių kaina po 10 val y .

25x - kaina x kepiniai
10y - kaina y kavos puodeliai

Bendra suma turėtų būti lygi 200 rublių. Tada gauname lygtį su dviem kintamaisiais x ir y

25x+ 10y= 200

Kiek šaknų turi ši lygtis?

Viskas priklauso nuo mokinio apetito. Jei jis perka 6 pyragus ir 5 puodelius kavos, tada lygties šaknys bus 6 ir 5.

Teigiama, kad 6 ir 5 reikšmių pora yra 25 lygties šaknys x+ 10y= 200. Jis rašomas kaip (6; 5), o pirmasis skaičius yra kintamojo reikšmė x, o antrasis yra kintamojo reikšmė y .

6 ir 5 nėra vienintelės šaknys, kurios apverčia 25 lygtį x+ 10y= 200 už tapatybę. Jei pageidauja, studentas gali nusipirkti 4 pyragus ir 10 puodelių kavos už tuos pačius 200 rublių:

Šiuo atveju 25 lygties šaknys x+ 10y= 200 yra reikšmių pora (4; 10).

Be to, studentas gali išvis nepirkti kavos, o nusipirkti pyragų už visus 200 rublių. Tada 25 lygties šaknys x+ 10y= 200 bus reikšmės 8 ir 0

Arba atvirkščiai, pirkite ne pyragus, o perkate kavą už visus 200 rublių. Tada 25 lygties šaknys x+ 10y= 200 bus reikšmės 0 ir 20

Pabandykime išvardyti visas galimas 25 lygties šaknis x+ 10y= 200. Sutikime, kad vertybės x ir y priklauso sveikųjų skaičių aibei. Ir tegul šios vertės yra didesnės arba lygios nuliui:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Taigi tai bus patogu ir pačiam mokiniui. Patogiau pirkti pyragus sveikus nei, pavyzdžiui, kelis sveikus pyragus ir pusę torto. Taip pat patogiau gerti kavą visais puodeliais nei, pavyzdžiui, kelis sveikus puodelius ir pusę puodelio.

Atkreipkite dėmesį, kad nelyginis x neįmanoma pasiekti lygybės pagal bet kurį y... Tada vertybės x bus tokie skaičiai 0, 2, 4, 6, 8. Ir žinant x galite lengvai nustatyti y

Taigi, mes gavome šias verčių poras (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Šios poros yra 25 lygties sprendiniai arba šaknys x+ 10y= 200. Jie padaro šią lygtį tapatybe.

Formos lygtis ax + by = c yra vadinami tiesinė lygtis iš dviejų kintamųjų... Šios lygties sprendinys arba šaknys vadinamos reikšmių pora ( x; y), todėl tai tampa tapatybe.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad jei tiesinė lygtis iš dviejų kintamųjų parašyta forma ax + b y = c, tada jie sako, kad tai parašyta kanoninis(normali) forma.

Kai kurios tiesinės lygtys iš dviejų kintamųjų gali būti sumažintos iki kanoninės formos.

Pavyzdžiui, lygtis 2(16x+ 3y - 4) = 2(12 + 8x − y) gali būti sumažintas iki formos ax + by = c... Išplėsdami skliaustus abiejose šios lygties pusėse, gauname 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y ... Terminus, kuriuose yra nežinomųjų, grupuojame kairėje lygties pusėje, o terminus be nežinomųjų – dešinėje. Tada gauname 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 ... Turėdami panašius abiejų dalių terminus, gauname lygtį 16 x+ 8y= 32. Ši lygtis redukuojama į formą ax + by = c ir yra kanoninis.

Anksčiau svarstyta 25 lygtis x+ 10y= 200 taip pat yra tiesinė dviejų kintamųjų lygtis kanonine forma. Šioje lygtyje parametrai a , b ir c yra lygios atitinkamai 25, 10 ir 200 reikšmėms.

Tiesą sakant, lygtis ax + by = c turi daugybę sprendimų. Lygties sprendimas 25x+ 10y= 200, jos šaknų ieškojome tik sveikųjų skaičių aibėje. Dėl to buvo gautos kelios reikšmių poros, kurios padarė šią lygtį tapatybe. Bet racionaliųjų skaičių aibėje lygtis 25 x+ 10y= 200 turės daugybę sprendimų.

Norėdami gauti naujas verčių poras, turite paimti savavališką reikšmę x tada išreikšti y... Pavyzdžiui, imkime kintamąjį x reikšmė 7. Tada gauname lygtį su vienu kintamuoju 25 × 7 + 10y= 200 kuriame galite išreikšti y

Leisti x= 15. Tada lygtis 25x+ 10y= 200 bus 25 × 15 + 10y= 200. Iš to mes tai sužinome y = −17,5

Leisti x= −3. Tada lygtis 25x+ 10y= 200 bus 25 × (–3) + 10y= 200. Iš to mes tai sužinome y = −27,5

Dviejų tiesinių lygčių sistema iš dviejų kintamųjų

Dėl lygties ax + by = c galite imti savavališkas vertes x ir rasti vertes y... Paėmus atskirai, tokia lygtis turės daugybę sprendinių.

Tačiau taip pat atsitinka, kad kintamieji x ir y yra susiję ne viena, o dviem lygtimis. Šiuo atveju jie sudaro vadinamąjį dviejų kintamųjų tiesinių lygčių sistema... Tokia lygčių sistema gali turėti vieną reikšmių porą (arba kitaip: „vieną sprendimą“).

Taip pat gali atsitikti taip, kad sistema apskritai neturi sprendimų. Tiesinių lygčių sistema retais ir išskirtiniais atvejais gali turėti daugybę sprendimų.

Dvi tiesinės lygtys sudaro sistemą, kai reikšmės x ir y yra įtrauktos į kiekvieną iš šių lygčių.

Grįžkime prie pačios pirmosios 25 lygties x+ 10y= 200. Viena iš šios lygties verčių porų buvo pora (6; 5). Tai atvejis, kai už 200 rublių galėjai nusipirkti 6 pyragus ir 5 puodelius kavos.

Suformuluokime uždavinį taip, kad pora (6; 5) taptų vieninteliu 25 lygties sprendiniu x+ 10y= 200. Norėdami tai padaryti, sudarysime kitą lygtį, kuri būtų susijusi su tuo pačiu x pyragaičiai ir y kavos puodeliai.

Nustatykime problemos tekstą taip:

„Mokslinukas už 200 rublių nusipirko kelis pyragus ir kelis puodelius kavos. Pyragas kainuoja 25 rublius, o kavos puodelis – 10 rublių. Kiek pyragų ir kavos puodelių nusipirko moksleivis, jei žinoma, kad pyragų skaičius vienu daugiau nei kavos puodelių?

Mes jau turime pirmąją lygtį. Ši lygtis yra 25 x+ 10y= 200. Dabar sudarykime sąlygos lygtį "Pyragų skaičius yra vienu daugiau nei kavos puodelių" .

Tortų skaičius yra x, o kavos puodelių skaičius yra y... Šią frazę galite parašyti naudodami lygtį x - y= 1. Ši lygtis reikštų, kad skirtumas tarp pyragų ir kavos yra 1.

x = y+1. Ši lygtis reiškia, kad pyragų skaičius yra vienu daugiau nei kavos puodelių. Todėl, norint gauti lygybę, prie kavos puodelių skaičiaus pridedamas vienas. Tai galima lengvai suprasti, jei naudosime svorių modelį, į kurį atsižvelgėme nagrinėdami paprasčiausias problemas:

Gavome dvi lygtis: 25 x+ 10y= 200 ir x = y+ 1. Kadangi reikšmės x ir y, būtent 6 ir 5 yra įtrauktos į kiekvieną iš šių lygčių, tada jos kartu sudaro sistemą. Užrašykime šią sistemą. Jei lygtys sudaro sistemą, tada jos įrėmintos sistemos ženklu. Sistemos ženklas yra garbanotas skliaustas:

Išspręskime šią sistemą. Tai leis mums pamatyti, kaip gauname 6 ir 5 reikšmes. Tokių sistemų sprendimo būdų yra daug. Panagrinėkime populiariausius.

Pakeitimo metodas

Šio metodo pavadinimas kalba pats už save. Jo esmė yra pakeisti vieną lygtį kita, prieš tai išreiškus vieną iš kintamųjų.

Mūsų sistemoje nieko reikšti nereikia. Antroje lygtyje x = y+ 1 kintamasis x jau išreikštas. Šis kintamasis yra lygus išraiškai y+1. Tada galite pakeisti šią išraišką pirmoje lygtyje vietoj kintamojo x

Po išraiškos pakeitimo y+ 1 į pirmąją lygtį vietoj x, gauname lygtį 25(y+ 1) + 10y= 200 ... Tai tiesinė vieno kintamojo lygtis. Šią lygtį gana paprasta išspręsti:

Mes radome kintamojo reikšmę y... Dabar šią reikšmę pakeičiame viena iš lygčių ir randame reikšmę x... Tam patogu naudoti antrąją lygtį x = y+1. Jame pakeičiame vertę y

Tai reiškia, kad pora (6; 5) yra lygčių sistemos sprendimas, kaip ir norėjome. Mes patikriname ir įsitikiname, kad pora (6; 5) atitinka sistemą:

2 pavyzdys

Pakeiskite pirmąją lygtį x= 2 + yį antrąją lygtį 3 x - 2y= 9. Pirmoje lygtyje kintamasis x yra lygus 2 + y... Šią išraišką pakeičiame antroje lygtyje x

Dabar suraskime vertę x... Norėdami tai padaryti, pakeiskite vertę yį pirmąją lygtį x= 2 + y

Taigi sistemos sprendimas yra poros reikšmė (5; 3)

3 pavyzdys... Pakeitimo metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Čia, skirtingai nei ankstesniuose pavyzdžiuose, vienas iš kintamųjų nėra aiškiai išreikštas.

Norėdami pakeisti vieną lygtį kita, pirmiausia turite.

Pageidautina išreikšti kintamąjį, kurio koeficientas yra vienas. Koeficientas vienas turi kintamąjį x kuri yra pirmoje lygtyje x+ 2y= 11. Išreikšime šį kintamąjį.

Po kintamos išraiškos x, mūsų sistema bus tokios formos:

Dabar pirmąją lygtį pakeičiame antrąja ir randame reikšmę y

Pakaitalas y x

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra reikšmių pora (3; 4)

Žinoma, taip pat galite išreikšti kintamąjį y... Šaknys nuo to nepasikeis. Bet jei išreiškiate y, gausite ne tokią paprastą lygtį, kuriai išspręsti prireiks daugiau laiko. Tai atrodys taip:

Šiame pavyzdyje matome tai išreikšti x daug patogiau nei išreikšti y .

4 pavyzdys... Pakeitimo metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Išreikškime pirmąja lygtimi x... Tada sistema įgis tokią formą:

y

Pakaitalas yį pirmąją lygtį ir raskite x... Galite naudoti pradinę 7 lygtį x+ 9y= 8, arba naudokite lygtį, kurioje išreiškiamas kintamasis x... Mes naudosime šią lygtį, kaip patogu:

Taigi, sistemos sprendimas yra reikšmių pora (5; −3)

Papildymo būdas

Sudėjimo metodas susideda iš lygčių sudėjimo sistemoje po termino. Šis papildymas lemia tai, kad susidaro nauja lygtis su vienu kintamuoju. Ir išspręsti tokią lygtį yra gana paprasta.

Išspręskime šią lygčių sistemą:

Pridėkite pirmosios lygties kairę pusę prie antrosios lygties kairiosios pusės. Ir pirmosios lygties dešinė pusė su antrosios lygties dešine puse. Gauname tokią lygybę:

Čia yra panašūs terminai:

Dėl to gavome paprasčiausią lygtį 3 x= 27, kurio šaknis yra 9. Žinant reikšmę x galite rasti prasmę y... Pakeiskite vertę xį antrąją lygtį x - y= 3. Mes gauname 9 - y= 3. Iš čia y= 6 .

Taigi sistemos sprendimas yra reikšmių pora (9; 6)

2 pavyzdys

Pridėkite pirmosios lygties kairę pusę prie antrosios lygties kairiosios pusės. Ir pirmosios lygties dešinė pusė su antrosios lygties dešine puse. Gautoje lygybėje pateikiame panašius terminus:

Dėl to gavome paprasčiausią 5 lygtį x= 20, kurios šaknis yra 4. Žinant reikšmę x galite rasti prasmę y... Pakeiskite vertę xį pirmąją 2 lygtį x + y= 11. Gauname 8+ y= 11. Iš čia y= 3 .

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra reikšmių pora (4; 3)

Papildymo procesas nėra detalus. Tai turi būti padaryta mintyse. Be to, abi lygtys turi būti sumažintos iki kanoninės formos. Taip sakant ac + by = c .

Iš nagrinėjamų pavyzdžių matyti, kad pagrindinis lygčių pridėjimo tikslas yra atsikratyti vieno iš kintamųjų. Bet ne visada įmanoma iš karto išspręsti lygčių sistemą sudėjimo metodu. Dažniausiai sistema preliminariai paverčiama tokia forma, kurioje galite įtraukti į šią sistemą įtrauktas lygtis.

Pavyzdžiui, sistema gali būti nedelsiant išspręstas pridėjimo metodu. Sudėjus abi lygtis, terminai y ir −y išnyksta, nes jų suma lygi nuliui. Dėl to susidaro paprasčiausia lygtis 11 x= 22, kurios šaknis yra 2. Tada bus galima nustatyti y lygus 5.

Ir lygčių sistema Sudėjimo metodas negali būti išspręstas iš karto, nes dėl to vienas iš kintamųjų neišnyks. Sudėjus bus gauta lygtis 8 x+ y= 28, kuris turi daugybę sprendimų.

Jei abi lygties pusės padauginamos arba padalijamos iš to paties skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, tada gaunama lygtis, lygiavertė duotajai. Ši taisyklė galioja ir dviejų kintamųjų tiesinių lygčių sistemai. Vieną iš lygčių (arba abi lygtis) galima padauginti iš bet kurio skaičiaus. Rezultatas bus lygiavertė sistema, kurios šaknys sutaps su ankstesne.

Grįžkime prie pačios pirmosios sistemos, kurioje buvo aprašyta, kiek pyragų ir kavos puodelių nupirko studentas. Šios sistemos sprendimas buvo reikšmių pora (6; 5).

Padauginkime abi šios sistemos lygtis iš kai kurių skaičių. Tarkime, pirmoji lygtis padauginama iš 2, o antroji iš 3

Kaip rezultatas, mes gavome sistemą
Šios sistemos sprendimas vis dar yra reikšmių pora (6; 5)

Tai reiškia, kad į sistemą įtrauktos lygtys gali būti sumažintos iki formos, tinkamos taikyti sudėjimo metodą.

Atgal į sistemą , kurio negalėjome išspręsti naudodami papildymo metodą.

Pirmąją lygtį padauginkite iš 6, o antrąją iš –2

Tada gauname tokią sistemą:

Sudėkime į šią sistemą įtrauktas lygtis. Komponentų pridėjimas 12 x ir –12 x bus 0, pridėjus 18 y ir 4 y duos 22 y, o sudėjus 108 ir −20 gauname 88. Tada gauname lygtį 22 y= 88, vadinasi y = 4 .

Jei iš pradžių sunku į galvą sudėti lygtis, tuomet galite parašyti, kaip pirmosios lygties kairioji pusė pridedama prie antrosios lygties kairės, o pirmosios lygties dešinė pridedama prie dešinės antrosios lygties pusė:

Žinant, kad kintamojo reikšmė y yra 4, galite rasti vertę x... Pakaitalas yį vieną iš lygčių, pavyzdžiui, į pirmąją 2 lygtį x+ 3y= 18. Tada gauname lygtį su vienu kintamuoju 2 x+ 12 = 18. Perkelkite 12 į dešinę pusę, pakeiskite ženklą, gausime 2 x= 6, vadinasi x = 3 .

4 pavyzdys... Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Antrąją lygtį padauginkite iš −1. Tada sistema bus tokios formos:

Sudėkime abi lygtis. Komponentų pridėjimas x ir −x bus 0, pridėjus 5 y ir 3 y duos 8 y, o sudėjus 7 ir 1 gauname 8. Rezultatas yra 8 lygtis y= 8, kurios šaknis yra 1. Žinant, kad reikšmė y yra lygus 1, galite rasti reikšmę x .

Pakaitalas yį pirmąją lygtį, gauname x+ 5 = 7, vadinasi x= 2

5 pavyzdys... Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Pageidautina, kad terminai, turintys tuos pačius kintamuosius, būtų išdėstyti vienas po kito. Todėl antroje lygtyje terminai 5 y ir −2 x apsikeisti vietomis. Dėl to sistema bus tokia:

Antrąją lygtį padauginkime iš 3. Tada sistema įgis tokią formą:

Dabar pridėkime abi lygtis. Sudėjus gauname lygtį 8 y= 16, kurios šaknis yra 2.

Pakaitalas yĮ pirmąją lygtį gauname 6 x- 14 = 40. Perkelkite terminą −14 į dešinę, pakeisdami ženklą, gausime 6 x= 54. Iš čia x= 9.

6 pavyzdys... Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Atsikratykime trupmenų. Pirmąją lygtį padauginkite iš 36, o antrąją iš 12

Gautoje sistemoje Pirmąją lygtį galima padauginti iš –5, o antrąją – iš 8

Sudėkime lygtis gautoje sistemoje. Tada gauname paprasčiausią lygtį −13 y= –156. Iš čia y= 12. Pakaitalas yį pirmąją lygtį ir raskite x

7 pavyzdys... Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Suteikime abi lygtis į normalią formą. Čia patogu taikyti proporcingumo taisyklę abiejose lygtyse. Jei pirmoje lygtyje dešinė pusė pavaizduota kaip, o antrosios lygties dešinė pusė kaip, tada sistema įgis tokią formą:

Turime proporciją. Padauginkime jo kraštutinius ir vidurinius terminus. Tada sistema įgis tokią formą:

Pirmąją lygtį padauginame iš –3, o antrojoje išplečiame skliaustus:

Dabar pridėkime abi lygtis. Sudėjus šias lygtis, gauname lygybę, kurios abiejose dalyse bus nulis:

Pasirodo, sistema turi begalę sprendimų.

Bet mes negalime tiesiog paimti iš dangaus savavališkų vertybių x ir y... Mes galime nurodyti vieną iš reikšmių, o kita bus nustatyta priklausomai nuo mūsų nurodytos reikšmės. Pavyzdžiui, tegul x= 2. Pakeiskime šią reikšmę sistemoje:

Išsprendus vieną iš lygčių, reikšmė for y kuri tenkins abi lygtis:

Gauta reikšmių pora (2; -2) patenkins sistemą:

Suraskime kitą vertybių porą. Leisti x= 4. Pakeiskite šią reikšmę sistemoje:

Iš akies galite nustatyti tą vertę y yra lygus nuliui. Tada gauname reikšmių porą (4; 0), kuri atitinka mūsų sistemą:

8 pavyzdys... Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Pirmąją lygtį padauginkite iš 6, o antrąją iš 12

Perrašykime tai, kas liko:

Padauginkite pirmąją lygtį iš −1. Tada sistema įgis tokią formą:

Dabar pridėkime abi lygtis. Sudėjus susidaro lygtis 6 b= 48, kurio šaknis yra 8. Pakaitalas bį pirmąją lygtį ir raskite a

Trijų kintamųjų tiesinių lygčių sistema

Linijinė lygtis su trimis kintamaisiais apima tris kintamuosius su koeficientais, taip pat pertrauką. Kanonine forma jis gali būti parašytas taip:

ax + by + cz = d

Ši lygtis turi daugybę sprendimų. Suteikus dviem kintamiesiems skirtingas reikšmes, galima rasti trečią reikšmę. Sprendimas šiuo atveju yra trys reikšmės ( x; y; z), kuri lygtį paverčia tapatybe.

Jei kintamieji x, y, z yra sujungti trimis lygtimis, tada susidaro trijų tiesinių lygčių su trimis kintamaisiais sistema. Norėdami išspręsti tokią sistemą, galite taikyti tuos pačius metodus, kurie taikomi tiesinėms lygtims su dviem kintamaisiais: pakeitimo metodu ir pridėjimo metodu.

1 pavyzdys... Pakeitimo metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Išreikškime trečiąja lygtimi x... Tada sistema įgis tokią formą:

Dabar atlikime pakeitimą. Kintamasis x lygus išraiškai 3 − 2y − 2z ... Pakeiskite šią išraišką pirmoje ir antroje lygtyse:

Atidarykime skliaustus abiejose lygtyse ir pateikime panašius terminus:

Priėjome tiesinių lygčių sistemą iš dviejų kintamųjų. Šiuo atveju patogu naudoti papildymo metodą. Dėl to kintamasis y išnyks ir galėsime rasti kintamojo reikšmę z

Dabar suraskime vertę y... Tam patogu naudoti lygtį - y+ z= 4. Pakeiskite į jį reikšmę z

Dabar suraskime vertę x... Tam patogu naudoti lygtį x= 3 − 2y − 2z ... Pakeiskime jame vertybes y ir z

Taigi, reikšmių trigubas (3; -2; 2) yra mūsų sistemos sprendimas. Tikrindami įsitikiname, kad šios reikšmės atitinka sistemą:

2 pavyzdys... Išspręskite sistemą naudodami papildymo metodą

Pridėkite pirmąją lygtį prie antrosios, padaugintos iš –2.

Jei antroji lygtis padauginama iš –2, ji įgauna formą −6x+ 6y - 4z = −4 ... Dabar pridėkite jį prie pirmosios lygties:

Matome, kad elementariųjų transformacijų rezultate buvo nustatyta kintamojo reikšmė x... Jis lygus vienam.

Grįžkime prie pagrindinės sistemos. Antrąją lygtį pridėkite prie trečiosios, padaugintos iš −1. Jei trečioji lygtis padauginama iš −1, ji įgauna formą −4x + 5y − 2z = −1 ... Dabar pridėkite jį prie antrosios lygties:

Gavome lygtį x - 2y= −1. Pakeiskime jame vertę x kurį radome anksčiau. Tada galime nustatyti vertę y

Dabar mes žinome vertybes x ir y... Tai leidžia nustatyti vertę z... Naudokime vieną iš lygčių, įtrauktų į sistemą:

Taigi, reikšmių tripletas (1; 1; 1) yra mūsų sistemos sprendimas. Tikrindami įsitikiname, kad šios reikšmės atitinka sistemą:

Tiesinių lygčių sistemų sudarymo užduotys

Lygčių sistemų sudarymo problema išspręsta įvedus kelis kintamuosius. Toliau, remiantis uždavinio sąlygomis, sudaromos lygtys. Jie iš lygčių sudaro sistemą ir ją išsprendžia. Išsprendus sistemą, reikia patikrinti, ar jos sprendimas atitinka problemos sąlygas.

1 problema... Iš miesto į kolūkį išvažiavo automobilis „Volga“. Grįžo atgal kitu keliu, kuris buvo 5 km trumpesnis nei pirmasis. Iš viso automobilis į abi puses nuvažiavo 35 km. Kiek kilometrų yra kiekvienas kelias?

Sprendimas

Leisti x - pirmojo kelio ilgis, y- antrojo ilgis. Jei automobilis nuvažiavo 35 km į abu galus, tada pirmąją lygtį galima parašyti kaip x+ y= 35. Ši lygtis apibūdina abiejų kelių ilgių sumą.

Teigiama, kad automobilis grįžo atgal keliu, kuris buvo 5 km trumpesnis nei pirmasis. Tada antrą lygtį galima parašyti kaip x− y= 5. Ši lygtis rodo, kad kelių ilgių skirtumas yra 5 km.

Arba antroji lygtis gali būti parašyta kaip x= y+ 5. Mes naudosime šią lygtį.

Kadangi kintamieji x ir y abiejose lygtyse žymi tą patį skaičių, tada iš jų galime sudaryti sistemą:

Išspręskime šią sistemą naudodami kai kuriuos anksčiau tyrinėtus metodus. Šiuo atveju patogu naudoti pakeitimo metodą, nes antroje lygtyje kintamasis x jau išreikštas.

Antrąją lygtį pakeiskite pirmąja ir raskite y

Pakeiskite rastą vertę y antroje lygtyje x= y+ 5 ir surask x

Pirmojo kelio ilgis buvo žymimas kintamuoju x... Dabar mes atradome jo prasmę. Kintamasis x lygus 20. Taigi pirmojo kelio ilgis yra 20 km.

O antrojo kelio ilgį nurodė y... Šio kintamojo reikšmė yra 15. Taigi antrojo kelio ilgis yra 15 km.

Patikrinkime. Pirmiausia įsitikinkime, kad sistema išspręsta teisingai:

Dabar patikrinkime, ar sprendimas (20; 15) atitinka uždavinio sąlygas.

Teigiama, kad automobilis į abi puses nuvažiavo 35 km. Sudėkite abiejų kelių ilgius ir įsitikinkite, kad sprendimas (20; 15) atitinka šią sąlygą: 20 km + 15 km = 35 km

Kita sąlyga: atgal automobilis grįžo kitu keliu, kuris buvo 5 km trumpesnis nei pirmasis ... Matome, kad sprendimas (20; 15) taip pat tenkina šią sąlygą, nes 15 km yra trumpesnis nei 20 km 5 km: 20 km – 15 km = 5 km

Sudarant sistemą svarbu, kad kintamieji reikštų tuos pačius skaičius visose į šią sistemą įtrauktose lygtyse.

Taigi mūsų sistemoje yra dvi lygtys. Šios lygtys savo ruožtu turi kintamuosius x ir y, kurie reiškia tuos pačius skaičius abiejose lygtyse, ty kelių ilgis lygus 20 km ir 15 km.

2 užduotis... Ant platformos buvo pakrauti ąžuoliniai ir pušiniai pabėgiai, iš viso 300 vnt. Yra žinoma, kad visi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 1 tona mažiau nei visi pušiniai pabėgiai. Nustatykite, kiek ąžuolinių ir pušinių pabėgių buvo atskirai, jei kiekvienas ąžuolinis pabėgis svėrė 46 kg, o kiekvienas pušinis pabėgis 28 kg.

Sprendimas

Leisti xąžuolas ir y ant platformos buvo pakrauti pušiniai pabėgiai. Jei iš viso buvo 300 miegamųjų, tada pirmąją lygtį galima parašyti kaip x + y = 300 .

Visi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 46 x kg, o pušis svėrė 28 y kilogramas. Kadangi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 1 tona mažiau nei pušiniai pabėgiai, antrą lygtį galima parašyti kaip 28y - 46x= 1000 ... Ši lygtis rodo, kad ąžuolinių ir pušinių pabėgių masės skirtumas yra 1000 kg.

Tonos perskaičiuotos į kilogramus, nes ąžuolinių ir pušinių pabėgių svoris matuojamas kilogramais.

Dėl to gauname dvi lygtis, kurios sudaro sistemą

Išspręskime šią sistemą. Išreikškime pirmąja lygtimi x... Tada sistema įgis tokią formą:

Pirmąją lygtį pakeiskite antrąja ir raskite y

Pakaitalas yį lygtį x= 300 − y ir sužinokite, kas yra lygi x

Tai reiškia, kad ant platformos buvo pakrauta 100 ąžuolinių ir 200 pušinių pabėgių.

Patikrinkime, ar sprendimas (100; 200) atitinka uždavinio sąlygas. Pirmiausia įsitikinkime, kad sistema išspręsta teisingai:

Teigiama, kad iš viso buvo 300 miegamųjų. Sudėkite ąžuolinių ir pušinių pabėgių skaičių ir įsitikinkite, kad tirpalas (100; 200) tenkina šią sąlygą: 100 + 200 = 300.

Kita sąlyga: visi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 1 tona mažiau nei visi pušiniai pabėgiai ... Matome, kad sprendimas (100; 200) taip pat tenkina šią sąlygą, nes ąžuoliniai pabėgiai 46 × 100 kg yra lengvesni nei 28 × 200 kg pušiniai pabėgiai: 5600 kg - 4600 kg = 1000 kg.

3 problema... Trys vario ir nikelio lydinio gabalai buvo paimti santykiu 2: 1, 3: 1 ir 5: 1 pagal svorį. Iš jų buvo išlydytas 12 kg sveriantis gabalas, kurio vario ir nikelio santykis yra 4:1. Raskite kiekvieno pradinio gabalo masę, jei pirmojo masė yra dvigubai didesnė už antrojo.