Cum să găsești cel mai mic multiplu comun al 3 numere. Înclinare din cap și a două numere, algoritm euclidian

Cum să găsiți LCM (cel mai mic multiplu comun)

Un multiplu comun de două numere întregi este un număr întreg care este divizibil egal cu ambele numere date fără a lăsa un rest.

Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi este cel mai mic dintre toate numerele întregi care este divizibil cu ambele numere date fără a lăsa un rest.

Metoda 1. Puteți găsi LCM, pe rând, pentru fiecare dintre numerele date, notând în ordine crescătoare toate numerele care se obțin prin înmulțirea lor cu 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.

Exemplu pentru numerele 6 și 9.
Înmulțim numărul 6, succesiv, cu 1, 2, 3, 4, 5.
Primim: 6, 12, 18 , 24, 30
Înmulțim numărul 9, succesiv, cu 1, 2, 3, 4, 5.
Primim: 9, 18 , 27, 36, 45
După cum puteți vedea, LCM pentru numerele 6 și 9 va fi egal cu 18.

Această metodă este convenabilă atunci când ambele numere sunt mici și este ușor să le înmulțiți cu o succesiune de numere întregi. Cu toate acestea, există momente când trebuie să găsiți LCM pentru două cifre sau numere din trei cifre, și, de asemenea, atunci când există trei sau chiar mai multe numere inițiale.

Metoda 2. Puteți găsi LCM prin factorizarea numerelor originale în factori primi.
După descompunere, este necesar să tăiați numerele identice din seria rezultată de factori primi. Numerele rămase ale primului număr vor fi un multiplicator pentru al doilea, iar numerele rămase ale celui de-al doilea vor fi un multiplicator pentru primul.

Exemplu pentru numerele 75 și 60.
Cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere pe rând. Pentru a face acest lucru, să factorăm 75 și 60 în factori simpli:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
După cum puteți vedea, factorii 3 și 5 apar în ambele rânduri. Le „tașăm” mental.
Să notăm factorii rămași incluși în extinderea fiecăruia dintre aceste numere. La descompunerea numărului 75, rămânem cu numărul 5, iar la descompunerea numărului 60, rămânem cu 2 * 2
Aceasta înseamnă că, pentru a determina LCM pentru numerele 75 și 60, trebuie să înmulțim numerele rămase din expansiunea lui 75 (acesta este 5) cu 60 și să înmulțim numerele rămase din expansiunea lui 60 (acesta este 2). * 2) cu 75. Adică, pentru ușurință de înțelegere, spunem că înmulțim „în cruce”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Așa am găsit LCM pentru numerele 60 și 75. Acesta este numărul 300.

Exemplu. Determinați LCM pentru numerele 12, 16, 24
ÎN în acest caz,, acțiunile noastre vor fi ceva mai complicate. Dar mai întâi, ca întotdeauna, să factorizăm toate numerele
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Pentru a determina corect LCM, selectăm cel mai mic dintre toate numerele (acesta este numărul 12) și parcurgem secvențial factorii săi, tăindu-i dacă în cel puțin unul dintre celelalte rânduri de numere întâlnim același factor care nu a avut încă fost taiat.

Pasul 1 . Vedem că 2 * 2 apare în toate seriile de numere. Să le tăiem.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Pasul 2. În factorii primi ai numărului 12 rămâne doar numărul 3. Dar este prezent în factorii primi ai numărului 24. Tăiem numărul 3 de pe ambele rânduri, în timp ce nu sunt așteptate acțiuni pentru numărul 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

După cum puteți vedea, la descompunerea numărului 12, am „barat” toate numerele. Aceasta înseamnă că constatarea LOC este finalizată. Tot ce rămâne este să-i calculăm valoarea.
Pentru numărul 12, luați factorii rămași ai numărului 16 (următorul în ordine crescătoare)
12 * 2 * 2 = 48
Acesta este NOC

După cum puteți vedea, în acest caz, găsirea LCM a fost oarecum mai dificilă, dar atunci când trebuie să-l găsiți pentru trei sau mai multe numere, această metodă vă permite să o faceți mai rapid. Cu toate acestea, ambele metode de găsire a LCM sunt corecte.

Să ne uităm la trei moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun.

Constatare prin factorizare

Prima metodă este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor date în factori primi.

Să presupunem că trebuie să găsim LCM al numerelor: 99, 30 și 28. Pentru a face acest lucru, să factorăm fiecare dintre aceste numere în factori primi:

Pentru ca numărul dorit să fie divizibil cu 99, 30 și 28, este necesar și suficient ca acesta să cuprindă toți factorii primi ai acestor divizori. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm toți factorii primi ai acestor numere la cea mai mare putere posibilă și să-i înmulțim împreună:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Astfel, LCM (99, 30, 28) = 13.860. Niciun alt număr mai mic de 13.860 nu este divizibil cu 99, 30 sau 28.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor date, le împotriviți în factorii lor primi, apoi luați fiecare factor prim cu cel mai mare exponent în care apare și înmulțiți acești factori împreună.

Din moment ce este reciproc numere prime nu au factori primi comuni, atunci cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu produsul acestor numere. De exemplu, trei numere: 20, 49 și 33 sunt relativ prime. De aceea

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Același lucru trebuie făcut atunci când găsiți cel mai mic multiplu comun al diferitelor numere prime. De exemplu, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Găsirea prin selecție

A doua metodă este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin selecție.

Exemplul 1. Când cel mai mare dintre numerele date este împărțit la un alt număr dat, atunci LCM-ul acestor numere este egal cu cel mai mare dintre ele. De exemplu, având în vedere patru numere: 60, 30, 10 și 6. Fiecare dintre ele este divizibil cu 60, prin urmare:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

În alte cazuri, pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, se utilizează următoarea procedură:

Determinați cel mai mare număr din numerele date.
În continuare, găsim numerele care sunt multipli ai celui mai mare număr înmulțindu-l cu numere naturale în ordine crescătoare și verificând dacă produsul rezultat este divizibil cu numerele date rămase.

Exemplul 2. Având în vedere trei numere 24, 3 și 18. Determinăm cel mai mare dintre ele - acesta este numărul 24. În continuare, găsim numerele care sunt multipli ai lui 24, verificând dacă fiecare dintre ele este divizibil cu 18 și 3:

24 · 1 = 24 - divizibil cu 3, dar nu divizibil cu 18.

24 · 2 = 48 - divizibil cu 3, dar nu divizibil cu 18.

24 · 3 = 72 - divizibil cu 3 și 18.

Astfel, LCM (24, 3, 18) = 72.

Găsirea prin găsirea secvenţială a LCM

A treia metodă este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin găsirea secvenţială a LCM.

LCM a două numere date este egal cu produsul acestor numere împărțit la cel mai mare lor divizor comun.

Exemplul 1. Aflați LCM a două numere date: 12 și 8. Determinați cel mai mare divizor comun al acestora: MCD (12, 8) = 4. Înmulțiți aceste numere:

Împărțim produsul la gcd-ul lor:

Astfel, LCM (12, 8) = 24.

Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, utilizați următoarea procedură:

Mai întâi, găsiți LCM a oricăror două dintre aceste numere.
Apoi, LCM al cel mai mic multiplu comun găsit și al treilea număr dat.
Apoi, LCM-ul cel mai mic multiplu comun rezultat și al patrulea număr etc.
Astfel, căutarea LCM continuă atâta timp cât există numere.

Exemplul 2. Să găsim LCM a trei numere date: 12, 8 și 9. Am găsit deja LCM al numerelor 12 și 8 în exemplul anterior (acesta este numărul 24). Rămâne să găsim cel mai mic multiplu comun al numărului 24 și al treilea număr dat - 9. Determinați cel mai mare divizor comun al acestora: MCD (24, 9) = 3. Înmulțiți LCM cu numărul 9:

Împărțim produsul la gcd-ul lor:

Astfel, LCM (12, 8, 9) = 72.

Calculatorul online vă permite să găsiți rapid cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun pentru două sau orice alt număr de numere.

Calculator pentru găsirea GCD și LCM

Găsiți GCD și LOC

GCD și LOC găsite: 6433

Cum se folosește calculatorul

Introduceți numere în câmpul de introducere
Dacă introduceți caractere incorecte, câmpul de introducere va fi evidențiat cu roșu
faceți clic pe butonul „Găsiți GCD și LOC”.

Cum se introduc numerele

Numerele sunt introduse separate de un spațiu, punct sau virgulă
Lungimea numerelor introduse nu este limitată, deci găsirea GCD și LCM de numere lungi nu este dificilă

Ce sunt GCD și NOC?

Cel mai mare divizor comun mai multe numere este cel mai mare număr întreg natural prin care toate numerele originale sunt divizibile fără rest. Cel mai mare divizor comun este prescurtat ca GCD.
Cel mai mic multiplu comun mai multe numere este cel mai mic număr, care este divizibil cu fiecare dintre numerele originale fără rest. Cel mai mic multiplu comun este prescurtat ca NOC.

Cum se verifică dacă un număr este divizibil cu un alt număr fără rest?

Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu altul fără rest, puteți folosi unele proprietăți de divizibilitate a numerelor. Apoi, combinându-le, puteți verifica divizibilitatea unora dintre ele și combinațiile lor.

Câteva semne de divizibilitate a numerelor

1. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 2
Pentru a determina dacă un număr este divizibil cu doi (dacă este par), este suficient să ne uităm la ultima cifră a acestui număr: dacă este egal cu 0, 2, 4, 6 sau 8, atunci numărul este par, ceea ce înseamnă că este divizibil cu 2.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 2.
Soluţie: Ne uităm la ultima cifră: 8 - asta înseamnă că numărul este divizibil cu doi.

2. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 3
Un număr este divizibil cu 3 atunci când suma cifrelor sale este divizibil cu trei. Astfel, pentru a determina dacă un număr este divizibil cu 3, trebuie să calculați suma cifrelor și să verificați dacă este divizibil cu 3. Chiar dacă suma cifrelor este foarte mare, puteți repeta din nou același proces.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 3.
Soluţie: Numărăm suma numerelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu trei.

3. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 5
Un număr este divizibil cu 5 când ultima lui cifră este zero sau cinci.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 5.
Soluţie: uită-te la ultima cifră: 8 înseamnă că numărul NU este divizibil cu cinci.

4. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 9
Acest semn este foarte asemănător cu semnul divizibilității cu trei: un număr este divizibil cu 9 când suma cifrelor sale este divizibil cu 9.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 9.
Soluţie: Numărăm suma numerelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 9, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu nouă.

Cum să găsiți MCD și LCM a două numere

Cum să găsiți mcd-ul a două numere

Cel mai într-un mod simplu Calcularea celui mai mare divizor comun a două numere înseamnă a găsi toți divizorii posibili ai acestor numere și a-l selecta pe cel mai mare dintre ei.

Să luăm în considerare această metodă folosind exemplul de găsire a GCD(28, 36):

Factorăm ambele numere: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
Găsim factori comuni, adică cei pe care ambele numere îi au: 1, 2 și 2.
Calculăm produsul acestor factori: 1 2 2 = 4 - acesta este cel mai mare divizor comun al numerelor 28 și 36.

Cum se găsește LCM a două numere

Există două modalități cele mai comune de a găsi cel mai mic multiplu a două numere. Prima metodă este că poți nota primii multipli ai două numere, iar apoi să alegi dintre aceștia un număr care va fi comun ambelor numere și în același timp și cel mai mic. Și al doilea este să găsiți mcd-ul acestor numere. Să luăm în considerare doar asta.

Pentru a calcula LCM, trebuie să calculați produsul numerelor originale și apoi să îl împărțiți la GCD găsit anterior. Să găsim LCM pentru aceleași numere 28 și 36:

Aflați produsul numerelor 28 și 36: 28·36 = 1008
GCD(28, 36), așa cum se știe deja, este egal cu 4
LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Găsirea GCD și LCM pentru mai multe numere

Cel mai mare divizor comun poate fi găsit pentru mai multe numere, nu doar pentru două. Pentru a face acest lucru, numerele care trebuie găsite pentru cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi, apoi se găsește produsul factorilor primi comuni ai acestor numere. De asemenea, puteți utiliza următoarea relație pentru a găsi mcd-ul mai multor numere: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

O relație similară se aplică celui mai mic multiplu comun: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Exemplu: găsiți GCD și LCM pentru numerele 12, 32 și 36.

Mai întâi, să factorizăm numerele: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
Să găsim factorii comuni: 1, 2 și 2.
Produsul lor va da GCD: 1·2·2 = 4
Acum să găsim LCM: pentru a face acest lucru, să găsim mai întâi LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
Pentru a găsi LCM a tuturor celor trei numere, trebuie să găsiți MCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Se numește cel mai mare număr natural cu care numerele a și b sunt împărțite fără rest cel mai mare divizor comun aceste numere. Notați GCD(a, b).

Să luăm în considerare găsirea GCD folosind exemplul a două numere naturale 18 și 60:

1 Să factorăm numerele în factori primi:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

2 Eliminați din expansiunea primului număr toți factorii care nu sunt incluși în expansiunea celui de-al doilea număr, obținem 2×3×3 .

3 Înmulțim factorii primi rămași după tăiere și obținem cel mai mare divizor comun al numerelor: mcd( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Rețineți că nu contează dacă tăiem factorii din primul sau al doilea număr, rezultatul va fi același:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

324 , 111 Și 432

Să factorăm numerele în factori primi:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3×37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Tăiind din primul număr factorii care nu sunt în al doilea și al treilea număr, obținem:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

Ca rezultat, GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Găsirea GCD folosind algoritmul euclidian

A doua modalitate de a găsi cel mai mare divizor comun este utilizarea Algoritmul euclidian. Algoritmul Euclid este cel mai mult mod eficient găsirea GCD, folosindu-l trebuie să găsiți în mod constant restul numerelor împărțite și să aplicați formula recurentei.

Formula de recurență pentru GCD, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), unde a mod b este restul lui a împărțit la b.

algoritmul lui Euclid

Exemplu Găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor 7920 Și 594

Să găsim GCD( 7920 , 594 ) folosind algoritmul euclidian, vom calcula restul diviziunii folosind un calculator.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = GCD( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = GCD( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0

Ca rezultat, obținem GCD( 7920 , 594 ) = 198

Cel mai mic multiplu comun

Pentru a găsi numitor comun la adunarea si scaderea fractiilor cu numitori diferiti trebuie să știi și să poți calcula cel mai mic multiplu comun(NOK).

Un multiplu al numărului „a” este un număr care este el însuși divizibil cu numărul „a” fără rest.

Numere care sunt multipli ai lui 8 (adică aceste numere sunt divizibile cu 8 fără rest): acestea sunt numerele 16, 24, 32...

Multiplii lui 9: 18, 27, 36, 45…

Există infiniti multipli ai unui număr dat a, spre deosebire de divizorii aceluiași număr. Există un număr finit de divizori.

Multiplu comun a două numere naturale este un număr care este divizibil cu ambele numere..

Cel mai mic multiplu comun(LCM) a două sau mai multe numere naturale este cel mai mic număr natural care este el însuși divizibil cu fiecare dintre aceste numere.

Cum să găsiți NOC

LCM poate fi găsit și scris în două moduri.

Prima modalitate de a găsi LOC

Această metodă este de obicei folosită pentru numere mici.

Notăm multiplii fiecărui număr pe o linie până când găsim un multiplu care este același pentru ambele numere.
Multiplu al numărului „a” este notat cu litera majusculă „K”.

Exemplu. Găsiți LCM 6 și 8.

A doua modalitate de a găsi LOC

Această metodă este convenabilă de utilizat pentru a găsi LCM pentru trei sau mai multe numere.

Numărul de factori identici în descompunerea numerelor poate fi diferit.

În extinderea numărului(lor) mai mic, evidențiați factorii care nu sunt incluși în extinderea numărului mai mare (în exemplul nostru, acesta este 2) și adăugați acești factori la extinderea numărului mai mare.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2

Notați produsul rezultat ca răspuns.
Răspuns: LCM (24, 60) = 120

De asemenea, puteți oficializa găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM) după cum urmează. Să găsim LOC (12, 16, 24).

24 = 2 2 2 3

După cum vedem din descompunerea numerelor, toți factorii lui 12 sunt incluși în descompunerea lui 24 (cel mai mare dintre numere), așa că adăugăm doar un 2 din descompunerea numărului 16 la LCM.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Răspuns: LCM (12, 16, 24) = 48

Cazuri speciale de găsire a unui NPL

Dacă unul dintre numere este divizibil cu celelalte, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este egal cu acel număr.

De exemplu, LCM (60, 15) = 60
Deoarece numerele coprime nu au factori primi comuni, cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu produsul acestor numere.

Pe site-ul nostru, puteți utiliza și un calculator special pentru a găsi cel mai mic multiplu comun online pentru a vă verifica calculele.

Dacă un număr natural este divizibil doar cu 1 și cu el însuși, atunci se numește prim.

Orice număr natural este întotdeauna divizibil cu 1 și cu el însuși.

Numărul 2 este cel mai mic număr prim. Acesta este singurul număr prim par, restul numerelor prime sunt impare.

Există multe numere prime, iar primul dintre ele este numărul 2. Cu toate acestea, nu există un ultim număr prim. În secțiunea „Pentru studiu” puteți descărca un tabel cu numere prime până la 997.

Dar multe numere naturale sunt, de asemenea, divizibile cu alte numere naturale.

numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;
Numărul 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.

Numerele cu care numărul este divizibil cu un întreg (pentru 12 acestea sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori ai numărului.

Împărțitorul unui număr natural a este un număr natural care împarte număr dat„a” fără rest.

Un număr natural care are mai mult de doi divizori se numește compus.

Vă rugăm să rețineți că numerele 12 și 36 au factori comuni. Aceste numere sunt: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12.

Divizorul comun a două numere date „a” și „b” este numărul cu care ambele numere date „a” și „b” sunt împărțite fără rest.

Cel mai mare divizor comun(GCD) a două numere date „a” și „b” este cel mai mare număr cu care ambele numere „a” și „b” sunt divizibile fără rest.

Pe scurt, cel mai mare divizor comun al numerelor „a” și „b” se scrie după cum urmează::

Exemplu: mcd (12; 36) = 12.

Divizorii numerelor din înregistrarea soluției sunt notați cu litera majusculă „D”.

Numerele 7 și 9 au un singur divizor comun - numărul 1. Se numesc astfel de numere numere coprime.

Numerele coprime- acestea sunt numere naturale care au un singur divizor comun - numărul 1. Gcd-ul lor este 1.

Cum să găsiți cel mai mare divizor comun

Pentru a găsi mcd-ul a două sau mai multe numere naturale aveți nevoie de:

descompune divizorii numerelor în factori primi;

Este convenabil să scrieți calcule folosind o bară verticală. În stânga liniei scriem mai întâi dividendul, în dreapta - divizorul. Apoi, în coloana din stânga notăm valorile coeficientilor.

Să explicăm imediat cu un exemplu. Să factorăm numerele 28 și 64 în factori primi.

64 = 2 2 2 2 2 2
Găsiți produsul factorilor primi identici și scrieți răspunsul;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Răspuns: GCD (28; 64) = 4

Puteți oficializa locația GCD în două moduri: într-o coloană (așa cum s-a făcut mai sus) sau „într-un rând”.

Primul mod de a scrie gcd

Găsiți mcd 48 și 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

A doua modalitate de a scrie gcd

Acum să notăm soluția la căutarea GCD într-o linie. Găsiți mcd 10 și 15.

Pe site-ul nostru de informații puteți folosi și ajutorul online Greatest Common Divisor pentru a vă verifica calculele.

Găsirea celui mai mic multiplu comun, metode, exemple de găsire a LCM.

Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articolul intitulat LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple, legătură între LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), și vom acorda o atenție deosebită rezolvării exemplelor. În primul rând, vom arăta cum se calculează LCM a două numere folosind MCD-ul acestor numere. În continuare, ne vom uita la găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceasta, ne vom concentra pe găsirea LCM de trei și Mai mult numere și, de asemenea, acordați atenție calculării LCM a numerelor negative.

Navigare în pagină.

Calcularea celui mai mic multiplu comun (LCM) prin GCD

O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Conexiunea existentă între LCM și GCD ne permite să calculăm cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive printr-un cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare este LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Să ne uităm la exemple de găsire a LCM folosind formula dată.

Aflați cel mai mic multiplu comun al două numere 126 și 70.

În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim legătura dintre LCM și GCD, exprimată prin formula LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere folosind formula scrisă.

Să găsim GCD(126, 70) folosind algoritmul euclidian: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, prin urmare, GCD(126, 70)=14.

Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Cu ce este LCM(68, 34) egal?

Deoarece 68 este divizibil cu 34, atunci MCD(68, 34)=34. Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă a este divizibil cu b, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a.

Aflarea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă compuneți un produs din toți factorii primi ai numerelor date și apoi excludeți din acest produs toți factorii primi comuni prezenți în descompunerea numerelor date, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al numerelor date. .

Din egalitatea LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) rezultă regula stabilită pentru găsirea LCM. Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în extinderea numerelor a și b. La rândul său, GCD(a, b) este egal cu produsul tuturor factorilor primi prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (așa cum este descris în secțiunea despre găsirea GCD folosind expansiunea numerelor în factori primi).

Să dăm un exemplu. Să știm că 75=3·5·5 și 210=2·3·5·7. Să compunem produsul din toți factorii acestor expansiuni: 2·3·3·5·5·5·7 . Acum din acest produs excludem toți factorii prezenți atât în extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2·3·5·5·7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 210, adică LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Factorizați numerele 441 și 700 în factori primi și găsiți cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Să factorăm numerele 441 și 700 în factori primi:

Obținem 441=3·3·7·7 și 700=2·2·5·5·7.

Acum să creăm un produs din toți factorii implicați în extinderea acestor numere: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Astfel, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44100.

NOC(441, 700)= 44 100 .

Regula pentru găsirea LCM folosind factorizarea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă factorii lipsă din extinderea numărului b se adaugă factorilor din extinderea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b.

De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, descompunerea lor în factori primi sunt următoarele: 75=3·5·5 și 210=2·3·5·7. La factorii 3, 5 și 5 din extinderea numărului 75 adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din extinderea numărului 210, obținem produsul 2·3·5·5·7, a cărui valoare este egal cu LCM(75, 210).

Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 și 648.

Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2·2·3·7 și 648=2·2·2·3·3·3·3. La factorii 2, 2, 3 și 7 din extinderea numărului 84 adăugăm factorii lipsă 2, 3, 3 și 3 din extinderea numărului 648, obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7, care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al lui 84 și 648 este 4.536.

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea secvenţială a LCM a două numere. Să ne amintim teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.

Fie date numere întregi pozitive a 1 , a 2 , …, a k, cel mai mic multiplu comun m k dintre aceste numere se găsește prin calcularea secvențială m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Să luăm în considerare aplicarea acestei teoreme folosind exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.

Aflați LCM a patru numere 140, 9, 54 și 250.

Mai întâi găsim m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm GCD(140, 9), avem 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, prin urmare, GCD(140, 9)=1, din care LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1.260. Adică m2 =1 260.

Acum găsim m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). Să-l calculăm prin GCD(1 260, 54), pe care îl determinăm și folosind algoritmul euclidian: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Apoi mcd(1.260, 54)=18, din care mcd(1.260, 54)= 1.260·54:gcd(1.260, 54)= 1.260·54:18=3.780. Adică m 3 = 3 780.

Rămâne de găsit m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3,780, 250) folosind algoritmul euclidian: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Prin urmare, GCD(3.780, 250)=10, din care GCD(3.780, 250)= 3.780·250:GCD(3.780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Adică m4 =94.500.

Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

În multe cazuri, este convenabil să găsiți cel mai mic multiplu comun a trei sau mai multe numere folosind descompunerea în factori primi a numerelor date. În acest caz, ar trebui să respectați următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din extinderea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din extinderea numărului. al treilea număr se adaugă factorilor rezultați și așa mai departe.

Să ne uităm la un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind factorizarea prime.

Găsiți cel mai mic multiplu comun al celor cinci numere 84, 6, 48, 7, 143.

Mai întâi, obținem descompunerea acestor numere în factori primi: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 este un număr prim, coincide cu descompunerea ei în factori primi) şi 143=11·13.

Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2, 2, 3 și 7), trebuie să adăugați factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr 6. Descompunerea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în descompunerea primului număr 84. În continuare, la factorii 2, 2, 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48, obținem un set de factori 2, 2, 2, 2, 3 și 7. Nu va fi nevoie să adăugați multiplicatori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2, 2, 2, 2, 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din extinderea numărului 143. Obținem produsul 2·2·2·2·3·7·11·13, care este egal cu 48.048.

Prin urmare, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48.048.

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48.048 .

Găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor negative

Uneori există sarcini în care trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor, printre care unul, mai multe sau toate numerele sunt negative. În aceste cazuri totul numere negative trebuie să le înlocuiți cu numerele lor opuse și apoi să găsiți LCM a numerelor pozitive. Acesta este modul de a găsi LCM a numerelor negative. De exemplu, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) și LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Putem face acest lucru deoarece mulțimea multiplilor lui a coincide cu mulțimea multiplilor lui -a (a și -a sunt numere opuse). Într-adevăr, fie b un multiplu al lui a, atunci b este divizibil cu a, iar conceptul de divizibilitate afirmă existența unui număr întreg q astfel încât b=a·q. Dar va fi adevărată și egalitatea b=(−a)·(−q), ceea ce, datorită aceluiași concept de divizibilitate, înseamnă că b este divizibil cu −a, adică b este multiplu al lui −a. Este adevărat și invers: dacă b este un multiplu al lui -a, atunci b este și un multiplu al lui a.

Aflați cel mai mic multiplu comun al numerelor negative −145 și −45.

Să înlocuim numerele negative −145 și −45 cu numerele lor opuse 145 și 45. Avem LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . După ce am determinat GCD(145, 45)=5 (de exemplu, folosind algoritmul euclidian), calculăm GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Astfel, cel mai mic multiplu comun al numerelor întregi negative −145 și −45 este 1.305.

www.cleverstudents.ru

Continuăm să studiem diviziunea. În această lecție ne vom uita la concepte precum GCDȘi NOC.

GCD este cel mai mare divizor comun.

NOC este cel mai mic multiplu comun.

Subiectul este destul de plictisitor, dar trebuie neapărat să-l înțelegi. Fără a înțelege acest subiect, nu vei putea lucra eficient cu fracțiile, care reprezintă un adevărat obstacol în matematică.

Cel mai mare divizor comun

Definiție. Cel mai mare divizor comun al numerelor AȘi b AȘi bîmpărțit fără rest.

Pentru a înțelege bine această definiție, să înlocuim variabilele AȘi b orice două numere, de exemplu, în loc de o variabilă A Să înlocuim numărul 12 și în loc de variabilă b numărul 9. Acum să încercăm să citim această definiție:

Cel mai mare divizor comun al numerelor 12 Și 9 se numeste cel mai mare numar prin care 12 Și 9 împărțit fără rest.

Din definiție este clar că vorbim despre divizorul comun al numerelor 12 și 9, iar acest divizor este cel mai mare dintre toți divizorii existenți. Acest cel mai mare divizor comun (MCD) trebuie găsit.

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al două numere, se folosesc trei metode. Prima metodă necesită destul de multă muncă, dar vă permite să înțelegeți în mod clar esența subiectului și să simțiți întregul său sens.

A doua și a treia metodă sunt destul de simple și fac posibilă găsirea rapidă a unui GCD. Ne vom uita la toate cele trei metode. Și pe care să o folosești în practică depinde de tine să alegi.

Prima metodă este să găsești toți divizorii posibili ai două numere și să-l alegi pe cel mai mare. Să ne uităm la această metodă folosind următorul exemplu: găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor 12 și 9.

În primul rând, vom găsi toți divizorii posibili ai numărului 12. Pentru a face acest lucru, vom împărți 12 la toți divizorii din intervalul de la 1 la 12. Dacă divizorul ne permite să împărțim 12 fără rest, atunci îl vom evidenția în albastru și faceți o explicație adecvată între paranteze.

12: 1 = 12
(12 este împărțit la 1 fără rest, ceea ce înseamnă că 1 este un divizor al numărului 12)

12: 2 = 6
(12 este împărțit la 2 fără rest, ceea ce înseamnă că 2 este un divizor al numărului 12)

12: 3 = 4
(12 este împărțit la 3 fără rest, ceea ce înseamnă că 3 este un divizor al numărului 12)

12: 4 = 3
(12 este împărțit la 4 fără rest, ceea ce înseamnă că 4 este un divizor al numărului 12)

12: 5 = 2 (2 au mai rămas)
(12 nu este împărțit la 5 fără rest, ceea ce înseamnă că 5 nu este un divizor al numărului 12)

12: 6 = 2
(12 este împărțit la 6 fără rest, ceea ce înseamnă că 6 este un divizor al numărului 12)

12: 7 = 1 (5 rămase)
(12 nu este împărțit la 7 fără rest, ceea ce înseamnă că 7 nu este un divizor al numărului 12)

12: 8 = 1 (4 rămase)
(12 nu este împărțit la 8 fără rest, ceea ce înseamnă că 8 nu este un divizor al lui 12)

12: 9 = 1 (3 rămase)
(12 nu este împărțit la 9 fără rest, ceea ce înseamnă că 9 nu este un divizor al numărului 12)

12: 10 = 1 (2 rămase)
(12 nu este împărțit la 10 fără rest, ceea ce înseamnă că 10 nu este un divizor al numărului 12)

12: 11 = 1 (1 rămas)
(12 nu este împărțit la 11 fără rest, ceea ce înseamnă că 11 nu este un divizor al lui 12)

12: 12 = 1
(12 este împărțit la 12 fără rest, ceea ce înseamnă că 12 este un divizor al numărului 12)

Acum să găsim divizorii numărului 9. Pentru a face acest lucru, verificați toți divizorii de la 1 la 9

9: 1 = 9
(9 este împărțit la 1 fără rest, ceea ce înseamnă că 1 este un divizor al numărului 9)

9: 2 = 4 (1 rămas)
(9 nu este împărțit la 2 fără rest, ceea ce înseamnă că 2 nu este un divizor al numărului 9)

9: 3 = 3
(9 este împărțit la 3 fără rest, ceea ce înseamnă că 3 este un divizor al numărului 9)

9: 4 = 2 (1 rămas)
(9 nu este împărțit la 4 fără rest, ceea ce înseamnă că 4 nu este un divizor al numărului 9)

9: 5 = 1 (4 rămase)
(9 nu este împărțit la 5 fără rest, ceea ce înseamnă că 5 nu este un divizor al numărului 9)

9: 6 = 1 (3 rămase)
(9 nu este împărțit la 6 fără rest, ceea ce înseamnă că 6 nu este un divizor al numărului 9)

9: 7 = 1 (2 au mai rămas)
(9 nu este împărțit la 7 fără rest, ceea ce înseamnă că 7 nu este un divizor al numărului 9)

9: 8 = 1 (1 rămas)
(9 nu este împărțit la 8 fără rest, ceea ce înseamnă că 8 nu este un divizor al numărului 9)

9: 9 = 1
(9 este împărțit la 9 fără rest, ceea ce înseamnă că 9 este un divizor al numărului 9)

Acum să notăm divizorii ambelor numere. Numerele evidențiate cu albastru sunt divizori. Să le scriem:

După ce ați scris divizorii, puteți determina imediat care este cel mai mare și cel mai comun.

Prin definiție, cel mai mare divizor comun al numerelor 12 și 9 este numărul care împarte 12 și 9 fără rest. Cel mai mare și comun divizor al numerelor 12 și 9 este numărul 3

Atât numărul 12, cât și numărul 9 sunt divizibil cu 3 fără rest:

Deci mcd (12 și 9) = 3

A doua modalitate de a găsi GCD

Acum să ne uităm la a doua metodă de a găsi cel mai mare divizor comun. Esența acestei metode este de a descompune ambele numere în factori primi și de a le înmulți pe cei comuni.

Exemplul 1. Aflați mcd-ul numerelor 24 și 18

Mai întâi, să factorăm ambele numere în factori primi:

Acum să le înmulțim factorii comuni. Pentru a evita confuzia, pot fi subliniați factorii comuni.

Ne uităm la expansiunea numărului 24. Primul său factor este 2. Căutăm același factor în extinderea numărului 18 și vedem că există și el. Subliniem ambele două:

Ne uităm din nou la extinderea numărului 24. Al doilea factor al său este tot 2. Căutăm același factor în extinderea numărului 18 și vedem că pentru a doua oară nu mai există. Atunci nu punem accent pe nimic.

Următorii doi din extinderea numărului 24 lipsesc și în extinderea numărului 18.

Să trecem la ultimul factor în extinderea numărului 24. Acesta este factorul 3. Căutăm același factor în extinderea numărului 18 și vedem că există și el. Subliniem ambele trei:

Deci, factorii comuni ai numerelor 24 și 18 sunt factorii 2 și 3. Pentru a obține GCD, acești factori trebuie înmulțiți:

Deci mcd (24 și 18) = 6

A treia modalitate de a găsi GCD

Acum să ne uităm la a treia modalitate de a găsi cel mai mare divizor comun. Esența acestei metode este că numerele care trebuie găsite pentru cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi. Apoi, din extinderea primului număr, factorii care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr sunt tăiați. Numerele rămase în prima expansiune se înmulțesc și se obțin GCD.

De exemplu, să găsim GCD pentru numerele 28 și 16 folosind această metodă. În primul rând, descompunem aceste numere în factori primi:

Avem două extinderi: și

Acum din descompunerea primului număr vom șterge factorii care nu sunt incluși în descompunerea celui de-al doilea număr. Extinderea celui de-al doilea număr nu include șapte. Să o eliminăm de la prima expansiune:

Acum înmulțim factorii rămași și obținem GCD:

Numărul 4 este cel mai mare divizor comun al numerelor 28 și 16. Ambele numere sunt divizibile cu 4 fără rest:

Exemplul 2. Aflați mcd-ul numerelor 100 și 40

Factorizarea numărului 100

Factorizarea numărului 40

Avem două extinderi:

Acum din descompunerea primului număr vom șterge factorii care nu sunt incluși în descompunerea celui de-al doilea număr. Extinderea celui de-al doilea număr nu include unul cinci (există doar unul cinci). Să-l tăiem de la prima expansiune

Să înmulțim numerele rămase:

Am primit răspunsul 20. Aceasta înseamnă că numărul 20 este cel mai mare divizor comun al numerelor 100 și 40. Aceste două numere sunt divizibile cu 20 fără rest:

GCD (100 și 40) = 20.

Exemplul 3. Aflați mcd-ul numerelor 72 și 128

Factorizarea numărului 72

Factorizarea numărului 128

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Acum din descompunerea primului număr vom șterge factorii care nu sunt incluși în descompunerea celui de-al doilea număr. Extinderea celui de-al doilea număr nu include două triplete (nu sunt deloc acolo). Să le eliminăm de la prima expansiune:

Am primit răspunsul 8. Aceasta înseamnă că numărul 8 este cel mai mare divizor comun al numerelor 72 și 128. Aceste două numere sunt divizibile cu 8 fără rest:

GCD (72 și 128) = 8

Găsirea GCD pentru mai multe numere

De exemplu, să găsim GCD pentru numerele 18, 24 și 36

Să factorizăm numărul 18

Să factorizăm numărul 24

Să factorizăm numărul 36

Avem trei extinderi:

Acum să evidențiem și să subliniem factorii comuni ai acestor numere. Factorii comuni trebuie să apară în toate cele trei numere:

Vedem că factorii comuni pentru numerele 18, 24 și 36 sunt factorii 2 și 3. Înmulțind acești factori, obținem mcd-ul pe care îl căutăm:

Am primit răspunsul 6. Aceasta înseamnă că numărul 6 este cel mai mare divizor comun al numerelor 18, 24 și 36. Aceste trei numere sunt divizibile cu 6 fără rest:

GCD (18, 24 și 36) = 6

Exemplul 2. Găsiți GCD pentru numerele 12, 24, 36 și 42

Să factorăm fiecare număr în factori primi. Apoi găsim produsul factorilor comuni ai acestor numere.

Să factorizăm numărul 12

Să factorizăm numărul 42

Avem patru extinderi:

Acum să evidențiem și să subliniem factorii comuni ai acestor numere. Factorii comuni trebuie să apară în toate cele patru numere:

Vedem că factorii comuni pentru numerele 12, 24, 36 și 42 sunt factorii lui 2 și 3. Înmulțind acești factori, obținem mcd-ul pe care îl căutăm:

Am primit răspunsul 6. Aceasta înseamnă că numărul 6 este cel mai mare divizor comun al numerelor 12, 24, 36 și 42. Aceste numere sunt divizibile cu 6 fără rest:

GCD (12, 24, 36 și 42) = 6

Din lecția anterioară știm că dacă un număr este împărțit la altul fără rest, se numește multiplu al acestui număr.

Se dovedește că mai multe numere pot avea un multiplu comun. Și acum ne va interesa multiplu a două numere și ar trebui să fie cât mai mic posibil.

Definiție. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor AȘi b- AȘi b A si numarul b.

Definiția conține două variabile AȘi b. Să înlocuim oricare două numere în loc de aceste variabile. De exemplu, în loc de o variabilă A Să înlocuim numărul 9 și în loc de variabilă b Să înlocuim numărul 12. Acum să încercăm să citim definiția:

Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 9 Și 12 - este cel mai mic număr care este un multiplu al 9 Și 12 . Cu alte cuvinte, acesta este un număr atât de mic care este divizibil fără rest cu numărul 9 și după număr 12 .

Din definiție este clar că LCM este cel mai mic număr care este divizibil cu 9 și 12 fără rest. Acest LCM trebuie găsit.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM), puteți utiliza două metode. Prima modalitate este că puteți nota primii multipli ai două numere și apoi alegeți dintre acești multipli un număr care va fi comun ambelor numere și mic. Să aplicăm această metodă.

Mai întâi de toate, să găsim primii multipli ai numărului 9. Pentru a găsi multiplii lui 9, trebuie să înmulțiți acesti nouă unul câte unul cu numerele de la 1 la 9. Răspunsurile rezultate vor fi multipli ai numărului 9. Deci, sa incepem. Vom evidenția multiplii în roșu:

Acum găsim multiplii numărului 12. Pentru a face acest lucru, înmulțim 12 unul câte unul cu toate numerele de la 1 la 12.

Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articolul intitulat LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple, legătură între LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), și vom acorda o atenție deosebită rezolvării exemplelor. În primul rând, vom arăta cum se calculează LCM a două numere folosind MCD-ul acestor numere. În continuare, ne vom uita la găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceasta, ne vom concentra pe găsirea LCM a trei sau mai multe numere și, de asemenea, acordăm atenție calculării LCM a numerelor negative.

Navigare în pagină.

Calcularea celui mai mic multiplu comun (LCM) prin GCD

O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Conexiunea existentă între LCM și GCD ne permite să calculăm cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive printr-un cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare este LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Să ne uităm la exemple de găsire a LCM folosind formula dată.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al două numere 126 și 70.

Soluţie.

În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim legătura dintre LCM și GCD, exprimată prin formula LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere folosind formula scrisă.

Să găsim GCD(126, 70) folosind algoritmul euclidian: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, prin urmare, GCD(126, 70)=14.

Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Răspuns:

LCM(126, 70)=630.

Exemplu.

Cu ce este LCM(68, 34) egal?

Soluţie.

Deoarece 68 este divizibil cu 34, apoi MCD(68, 34)=34. Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Răspuns:

LCM(68, 34)=68 .

Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a.

Aflarea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

Din egalitate rezultă regula stabilită pentru găsirea LCM LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în extinderea numerelor a și b. La rândul său, GCD(a, b) este egal cu produsul tuturor factorilor primi prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (așa cum este descris în secțiunea despre găsirea GCD folosind expansiunea numerelor în factori primi).

Să dăm un exemplu. Să știm că 75=3·5·5 și 210=2·3·5·7. Să compunem produsul din toți factorii acestor expansiuni: 2·3·3·5·5·5·7 . Acum din acest produs excludem toți factorii prezenți atât în extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2·3·5·5·7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al lui 75 și 210, adică NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.

Exemplu.

Factorizați numerele 441 și 700 în factori primi și găsiți cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Soluţie.

Să factorăm numerele 441 și 700 în factori primi:

Obținem 441=3·3·7·7 și 700=2·2·5·5·7.

Acum să creăm un produs din toți factorii implicați în extinderea acestor numere: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Prin urmare, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Răspuns:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 și 648.

Soluţie.

Răspuns:

LCM(84, 648)=4.536.

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Teorema.

Să luăm în considerare aplicarea acestei teoreme folosind exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.

Exemplu.

Aflați LCM a patru numere 140, 9, 54 și 250.

Soluţie.

În acest exemplu, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Mai întâi găsim m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm GCD(140, 9), avem 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, prin urmare, GCD(140, 9)=1 , de unde GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140.9:1=1.260. Adică m2 =1 260.

Acum găsim m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Să-l calculăm prin GCD(1 260, 54), pe care îl determinăm și folosind algoritmul euclidian: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Apoi mcd(1.260, 54)=18, din care mcd(1.260, 54)= 1.260·54:gcd(1.260, 54)= 1.260·54:18=3.780. Adică m 3 = 3 780.

Tot ce rămâne este de găsit m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3,780, 250) folosind algoritmul euclidian: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Prin urmare, GCM(3.780, 250)=10, de unde GCM(3.780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Adică m4 =94.500.

Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.

Răspuns:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

Să ne uităm la un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind factorizarea prime.

Exemplu.

Găsiți cel mai mic multiplu comun al celor cinci numere 84, 6, 48, 7, 143.

Soluţie.

Cum să găsești cel mai mic multiplu comun al 3 numere. Înclinare din cap și a două numere, algoritm euclidian

Cum să găsiți LCM (cel mai mic multiplu comun)

Constatare prin factorizare

Găsirea prin selecție

Găsirea prin găsirea secvenţială a LCM

Cum se folosește calculatorul

Cum se introduc numerele

Ce sunt GCD și NOC?

Cum se verifică dacă un număr este divizibil cu un alt număr fără rest?

Câteva semne de divizibilitate a numerelor

Cum să găsiți MCD și LCM a două numere

Cum să găsiți mcd-ul a două numere

Cum se găsește LCM a două numere

Găsirea GCD și LCM pentru mai multe numere

324 , 111 Și 432

Găsirea GCD folosind algoritmul euclidian

algoritmul lui Euclid

Exemplu Găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor 7920 Și 594

Cel mai mic multiplu comun

Cum să găsiți NOC

Prima modalitate de a găsi LOC

A doua modalitate de a găsi LOC

Cazuri speciale de găsire a unui NPL

Cum să găsiți cel mai mare divizor comun

Primul mod de a scrie gcd

A doua modalitate de a scrie gcd

Găsirea celui mai mic multiplu comun, metode, exemple de găsire a LCM.

Calcularea celui mai mic multiplu comun (LCM) prin GCD

Aflarea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor negative

Cel mai mare divizor comun

A doua modalitate de a găsi GCD

A treia modalitate de a găsi GCD

Găsirea GCD pentru mai multe numere

Calcularea celui mai mic multiplu comun (LCM) prin GCD

Aflarea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Articole noi

Articole populare