Exponenciálna sila vzorca. Exponenciálna funkcia, jej vlastnosti a graf

1.Exponenciálna funkcia je funkciou tvaru y(x) = a x v závislosti od exponentu x s ​​konštantnou hodnotou základne stupňa a, kde a > 0, a ≠ 0, xϵR (R je množina reálnych čísel) .

Uvažujme graf funkcie, ak základ nespĺňa podmienku: a>0
a) a< 0
Ak< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2

Ak a = 0, funkcia y = je definovaná a má konštantnú hodnotu 0

c) a = 1
Ak a = 1, funkcia y = je definovaná a má konštantnú hodnotu 1

2. Pozrime sa bližšie na exponenciálnu funkciu:

0

Funkčná doména (DOF)

región prijateľné hodnoty funkcie (ODZ)

3. Nuly funkcie (y = 0)

4. Priesečníky so zvislou osou oy (x = 0)

5. Zvyšovanie, znižovanie funkcií

Ak , potom funkcia f(x) rastie
Ak , potom funkcia f(x) klesá
Funkcia y= , pri 0 Funkcia y = pre a> 1 monotónne rastie
Vyplýva to z vlastností monotónnosti mocniny s reálnym exponentom.

6. Párna, nepárna funkcia

Funkcia y = nie je symetrická vzhľadom na os 0y a vzhľadom na počiatok súradníc, preto nie je ani párna, ani nepárna. (všeobecná funkcia)

7. Funkcia y = nemá žiadne extrémy

8. Vlastnosti stupňa so skutočným exponentom:

Nech a > 0; a≠1
b > 0; b≠1

Potom pre xϵR; yϵR:

Vlastnosti stupňa monotónnosti:

Ak potom
Napríklad:

Ak a > 0, potom .
Exponenciálna funkcia je spojitá v akomkoľvek bode ϵ R.

9. Relatívna poloha funkcie

Čím väčšia je základňa a, tým bližšie k osám x a oy

a > 1, a = 20

Ak a0, potom má exponenciálna funkcia tvar blízky y = 0.
Ak a1, potom ďalej od osí ox a oy a graf nadobudne tvar blízky funkcii y = 1.

Príklad 1
Zostrojte graf y =

Rozhodnutie väčšiny matematické problémy nejako súvisí s transformáciou číselných, algebraických alebo funkčných výrazov. Uvedené platí najmä pre rozhodnutie. Vo verziách Jednotnej štátnej skúšky z matematiky tento typ úloh zahŕňa najmä úlohu C3. Naučiť sa riešiť úlohy C3 je dôležité nielen pre úspech zloženie jednotnej štátnej skúšky, ale aj z toho dôvodu, že sa táto zručnosť bude hodiť pri štúdiu matematického kurzu na strednej škole.

Pri plnení úloh C3 sa musíte rozhodnúť rôzne druhy rovnice a nerovnice. Medzi nimi sú racionálne, iracionálne, exponenciálne, logaritmické, trigonometrické, obsahujúce moduly ( absolútne hodnoty), ako aj kombinované. Tento článok sa zaoberá hlavnými typmi exponenciálnych rovníc a nerovníc, ako aj rôzne metódy ich rozhodnutia. Prečítajte si o riešení iných typov rovníc a nerovníc v časti „“ v článkoch venovaných metódam riešenia úloh C3 z r. Možnosti jednotnej štátnej skúšky matematiky.

Než začneme analyzovať konkrétne exponenciálne rovnice a nerovnice, ako učiteľ matematiky vám navrhujem oprášiť nejaký teoretický materiál, ktorý budeme potrebovať.

Exponenciálna funkcia

Čo je to exponenciálna funkcia?

Funkcia formulára r = a x, Kde a> 0 a a≠ 1 sa volá exponenciálna funkcia.

Základné vlastnosti exponenciálnej funkcie r = a x:

Graf exponenciálnej funkcie

Graf exponenciálnej funkcie je exponent:

Grafy exponenciálnych funkcií (exponentov)

Riešenie exponenciálnych rovníc

Orientačné sa nazývajú rovnice, v ktorých sa neznáma premenná nachádza iba v exponentoch niektorých mocnín.

Pre riešenia exponenciálne rovnice musíte poznať a vedieť používať nasledujúcu jednoduchú vetu:

Veta 1. Exponenciálna rovnica a f(X) = a g(X) (Kde a > 0, a≠ 1) je ekvivalentná rovnici f(X) = g(X).

Okrem toho je užitočné zapamätať si základné vzorce a operácie so stupňami:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Príklad 1 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: Používame vyššie uvedené vzorce a substitúciu:

Rovnica potom znie:

Diskriminujúci prijatých kvadratická rovnica pozitívne:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

To znamená, že táto rovnica má dva korene. Nájdeme ich:

Ak prejdeme na spätnú substitúciu, dostaneme:

Druhá rovnica nemá korene, pretože exponenciálna funkcia je striktne kladná v celej oblasti definície. Vyriešme to druhé:

Berúc do úvahy to, čo bolo povedané vo vete 1, prejdeme k ekvivalentnej rovnici: X= 3. Toto bude odpoveď na úlohu.

odpoveď: X = 3.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: Rovnica nemá žiadne obmedzenia na rozsah prípustných hodnôt, pretože radikálny výraz má zmysel pre akúkoľvek hodnotu X(exponenciálna funkcia r = 9 4 -X kladné a nerovnajúce sa nule).

Rovnicu riešime ekvivalentnými transformáciami pomocou pravidiel násobenia a delenia mocnin:

Posledný prechod sa uskutočnil v súlade s vetou 1.

odpoveď:X= 6.

Príklad 3 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: obe strany pôvodnej rovnice možno deliť 0,2 X. Tento prechod bude ekvivalentný, pretože tento výraz je väčší ako nula pre akúkoľvek hodnotu X(exponenciálna funkcia je vo svojej oblasti definície striktne pozitívna). Potom má rovnica tvar:

odpoveď: X = 0.

Príklad 4. Vyriešte rovnicu:

Riešenie: rovnicu zjednodušíme na elementárnu pomocou ekvivalentných transformácií s použitím pravidiel delenia a násobenia mocnin uvedených na začiatku článku:

Delenie oboch strán rovnice 4 X, ako v predchádzajúcom príklade, je ekvivalentná transformácia, pretože tento výraz sa pre žiadne hodnoty nerovná nule X.

odpoveď: X = 0.

Príklad 5. Vyriešte rovnicu:

Riešenie: funkciu r = 3X, stojaci na ľavej strane rovnice, sa zvyšuje. Funkcia r = —X-2/3 na pravej strane rovnice klesá. To znamená, že ak sa grafy týchto funkcií pretínajú, tak maximálne jeden bod. IN v tomto prípade nie je ťažké uhádnuť, že grafy sa v bode pretínajú X= -1. Nebudú žiadne iné korene.

odpoveď: X = -1.

Príklad 6. Vyriešte rovnicu:

Riešenie: rovnicu zjednodušujeme pomocou ekvivalentných transformácií, pričom máme všade na pamäti, že exponenciálna funkcia je striktne väčšia ako nula pre akúkoľvek hodnotu X a pomocou pravidiel na výpočet súčinu a kvocientu mocnin uvedených na začiatku článku:

odpoveď: X = 2.

Riešenie exponenciálnych nerovností

Orientačné sa nazývajú nerovnice, v ktorých je neznáma premenná obsiahnutá len v exponentoch niektorých mocnín.

Pre riešenia exponenciálne nerovnosti vyžaduje sa znalosť nasledujúcej vety:

Veta 2. Ak a> 1, potom nerovnosť a f(X) > a g(X) sa rovná nerovnosti rovnakého významu: f(X) > g(X). Ak 0< a < 1, то exponenciálna nerovnosť a f(X) > a g(X) je ekvivalentná nerovnosti s opačným významom: f(X) < g(X).

Príklad 7. Vyriešte nerovnosť:

Riešenie: Uveďme pôvodnú nerovnosť v tvare:

Vydeľme obe strany tejto nerovnosti 3 2 X, v tomto prípade (vzhľadom na pozitívnosť funkcie r= 3 2X) znamienko nerovnosti sa nezmení:

Použime náhradu:

Potom bude mať nerovnosť tvar:

Takže riešením nerovnosti je interval:

prechodom na opačnú substitúciu dostaneme:

Vzhľadom na kladnosť exponenciálnej funkcie je ľavá nerovnosť splnená automaticky. Využiť známa vlastnosť logaritmus, prejdeme na ekvivalentnú nerovnosť:

Keďže základom stupňa je číslo väčšie ako jedna, ekvivalentom (podľa vety 2) je prechod na nasledujúcu nerovnosť:

Tak sa konečne dostávame odpoveď:

Príklad 8. Vyriešte nerovnosť:

Riešenie: Pomocou vlastností násobenia a delenia mocnín prepíšeme nerovnosť do tvaru:

Predstavme si novú premennú:

Ak vezmeme do úvahy túto substitúciu, nerovnosť má tvar:

Vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku číslom 7 dostaneme nasledujúcu ekvivalentnú nerovnosť:

Nasledujúce hodnoty premennej teda spĺňajú nerovnosť t:

Potom, keď prejdeme na opačnú substitúciu, dostaneme:

Pretože základ stupňa je tu väčší ako jedna, prechod k nerovnosti bude ekvivalentný (podľa vety 2):

Konečne sa dostávame odpoveď:

Príklad 9. Vyriešte nerovnosť:

Riešenie:

Obe strany nerovnosti delíme výrazom:

Je vždy väčšia ako nula (kvôli kladnosti exponenciálnej funkcie), takže nie je potrebné meniť znamienko nerovnosti. Dostaneme:

t sa nachádza v intervale:

Ak prejdeme k reverznej substitúcii, zistíme, že pôvodná nerovnosť sa rozdelí na dva prípady:

Prvá nerovnosť nemá riešenia kvôli kladnosti exponenciálnej funkcie. Vyriešme to druhé:

Príklad 10. Vyriešte nerovnosť:

Riešenie:

Vetvy paraboly r = 2X+2-X 2 smerujú nadol, preto je zhora obmedzená hodnotou, ktorú dosahuje vo svojom vrchole:

Vetvy paraboly r = X 2 -2X+2 v ukazovateli smeruje nahor, čo znamená, že je zdola obmedzený hodnotou, ktorú dosiahne vo svojom vrchole:

Zároveň sa ukazuje, že funkcia je ohraničená aj zdola r = 3 X 2 -2X+2, čo je na pravej strane rovnice. Dosahuje svoj cieľ najnižšia hodnota v rovnakom bode ako parabola v exponente a táto hodnota sa rovná 3 1 = 3. Pôvodná nerovnosť teda môže byť pravdivá iba vtedy, ak funkcia vľavo a funkcia vpravo nadobudnú hodnotu rovnajúcu sa 3 v tom istom bode (pri priesečníku Rozsah hodnôt týchto funkcií je iba toto číslo). Táto podmienka je splnená v jednom bode X = 1.

odpoveď: X= 1.

Aby sa naučili rozhodovať exponenciálne rovnice a nerovnice, ich riešenie je potrebné neustále trénovať. S touto neľahkou úlohou vám môžu pomôcť rôzne veci. metodické príručky, problémové knihy zo základnej matematiky, zbierky súťažných úloh, hodiny matematiky v škole, ako aj individuálne hodiny s odborným tútorom. Úprimne vám želám veľa úspechov v príprave a výborné výsledky na skúške.

Sergej Valerijevič

P.S. Vážení hostia! Do komentárov prosím nepíšte požiadavky na riešenie vašich rovníc. Bohužiaľ na to nemám absolútne čas. Takéto správy budú vymazané. Prečítajte si prosím článok. Možno v ňom nájdete odpovede na otázky, ktoré vám nedovolili vyriešiť svoju úlohu sami.

Koncentrácia pozornosti:

Definícia. Funkcia druh sa nazýva exponenciálna funkcia .

Komentujte. Vylúčenie zo základných hodnôt ačísla 0; 1 a záporné hodnoty a sa vysvetľuje nasledujúcimi okolnosťami:

Samotný analytický výraz a x v týchto prípadoch si zachováva svoj význam a možno ho použiť pri riešení problémov. Napríklad za výraz x y bodka x = 1; r = 1 je v rozsahu prijateľných hodnôt.

Zostrojte grafy funkcií: a.

Graf exponenciálnej funkcie
y = a X, a > 1	y = a X , 0< a < 1

Vlastnosti exponenciálnej funkcie

Vlastnosti exponenciálnej funkcie	y = a X, a > 1	y = a X , 0< a < 1
Funkčná doména
2. Rozsah funkcií
3. Intervaly porovnávania s jednotkou	pri X> 0, a X > 1	pri X > 0, 0< a X < 1
	pri X < 0, 0< a X < 1	pri X < 0, a X > 1
4. Párne, nepárne.	Funkcia nie je párna ani nepárna (funkcia všeobecného tvaru).
5. Monotónnosť.	monotónne zvyšuje o R	klesá monotónne o R
6. Extrémy.	Exponenciálna funkcia nemá žiadne extrémy.
7.Asymptota	O-os X je horizontálna asymptota.
8. Pre akékoľvek skutočné hodnoty X A r;

Po vyplnení tabuľky sa paralelne s vyplňovaním riešia úlohy.

Úloha č. 1. (Nájsť definičný obor funkcie).

Aké hodnoty argumentov sú platné pre funkcie:

Úloha č. 2. (Nájsť rozsah hodnôt funkcie).

Na obrázku je znázornený graf funkcie. Zadajte doménu definície a rozsah hodnôt funkcie:

Úloha č. 3. (Uviesť intervaly porovnávania s jednotkou).

Porovnajte každú z nasledujúcich mocností s jednou:

Úloha č. 4. (Preštudovať funkciu pre monotónnosť).

Porovnajte skutočné čísla podľa veľkosti m A n Ak:

Úloha č. 5. (Preštudovať funkciu pre monotónnosť).

Urobte záver o základe a, Ak:

y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) - 4x

Ako sú grafy exponenciálnych funkcií voči sebe navzájom pre x > 0, x = 0, x< 0?

Nasledujúce funkčné grafy sú vykreslené v jednej súradnicovej rovine:

y(x) = (0,1) x; f(x) = (0,5) x; z(x) = (0,8) x.

Ako sú grafy exponenciálnych funkcií voči sebe navzájom pre x > 0, x = 0, x< 0?

číslo jedna z najdôležitejších konštánt v matematike. Podľa definície to rovná limite postupnosti s neobmedzeným zvýšenie n . Označenie e zadané Leonard Euler v roku 1736. Vypočítal prvých 23 číslic tohto čísla v desiatkovej sústave a samotné číslo bolo pomenované na počesť Napiera „ne-Pierreovým číslom“. číslo e zohráva osobitnú úlohu v matematickej analýze. Exponenciálna funkcia so základňou e, nazývaný exponent a je určený y = e x. Prvé známky čísla eľahko zapamätateľné: dva, čiarka, sedem, rok narodenia Leva Tolstého - dva krát, štyridsaťpäť, deväťdesiat, štyridsaťpäť.

Domáca úloha:

Kolmogorov, odsek 35; č. 445-447; 451; 453.

Zopakujte algoritmus na vytváranie grafov funkcií obsahujúcich premennú pod znamienkom modulu.

Najprv si predstavme definíciu exponenciálnej funkcie.

Exponenciálna funkcia $f\left(x\right)=a^x$, kde $a >1$.

Predstavme si vlastnosti exponenciálnej funkcie pre $a >1$.

\ \[bez koreňov\] \

Priesečník so súradnicovými osami. Funkcia nepretína os $Ox$, ale pretína os $Oy$ v bode $(0,1)$.

$f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$

\ \[bez koreňov\] \

Graf (obr. 1).

Obrázok 1. Graf funkcie $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$.

Exponenciálna funkcia $f\left(x\right)=a^x$, kde $0

Predstavme si vlastnosti exponenciálnej funkcie pri $0

Oblasťou definície sú všetky reálne čísla.

$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

$f(x)$ je spojité v celej doméne definície.

Rozsah hodnôt je interval $(0,+\infty)$.

$f"(x)=\vľavo(a^x\vpravo)"=a^xlna$

\ \[bez koreňov\] \ \[bez koreňov\] \

Funkcia je konvexná v celej oblasti definície.

Správanie na koncoch domény:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]

Graf (obr. 2).

Príklad úlohy na zostrojenie exponenciálnej funkcie

Preskúmajte a nakreslite funkciu $y=2^x+3$.

Riešenie.

Urobme štúdiu pomocou vyššie uvedeného vzorového diagramu:

Oblasťou definície sú všetky reálne čísla.

$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

$f(x)$ je spojité v celej doméne definície.

Rozsah hodnôt je interval $(3,+\infty)$.

$f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$

Funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície.

$f(x)\ge 0$ v celej doméne definície.

Priesečník so súradnicovými osami. Funkcia nepretína os $Ox$, ale pretína os $Oy$ v bode ($0,4)$

$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$

Funkcia je konvexná v celej oblasti definície.

Správanie na koncoch domény:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]

Graf (obr. 3).

Obrázok 3. Graf funkcie $f\left(x\right)=2^x+3$