Číslo modulu (absolútna hodnota čísla), definície, príklady, vlastnosti. Absolútna hodnota čísla. Nevedecké vysvetlenie, prečo je to potrebné Základné vlastnosti modulu reálneho čísla

Najprv definujeme znamienko výrazu pod znamienkom modulu a potom modul rozšírime:

• ak je hodnota výrazu väčšia ako nula, tak ho jednoducho presunieme pod znamienko modulu,
• ak je výraz menší ako nula, vyberieme ho pod znamienkom modulu, pričom znamienko zmeníme, ako sme to urobili skôr v príkladoch.

No, skúsime? Poďme odhadnúť:

(Zabudol, opakuj.)

Ak, tak aké to má znamenie? No, samozrejme,!

A preto rozširujeme znamienko modulu a meníme znamienko výrazu:

pochopené? Potom to skúste sami:

odpovede:

Aké ďalšie vlastnosti má modul?

Ak potrebujeme vynásobiť čísla vnútri znamienka modulu, ľahko vynásobíme moduly týchto čísel !!!

Z matematického hľadiska modul súčinu čísel sa rovná súčinu modulov týchto čísel.

Napríklad:

Čo ak potrebujeme oddeliť dve čísla (výrazy) pod znamienkom modulu?

Áno, rovnako ako pri násobení! Rozdeľme sa na dve samostatné čísla (výrazy) pod znamienkom modulu:

za predpokladu, že (keďže nemôžete deliť nulou).

Stojí za to pamätať ešte jednu vlastnosť modulu:

Modul súčtu čísel je vždy menší alebo rovný súčtu modulov týchto čísel:

prečo je to tak? Všetko je veľmi jednoduché!

Ako si pamätáme, modul je vždy pozitívny. Ale znamienko modulu môže obsahovať ľubovoľné číslo: kladné aj záporné. Predpokladajme, že čísla a sú obe kladné. Potom sa ľavý výraz bude rovnať pravému výrazu.

Vezmime si príklad:

Ak je pod znamienkom modulu jedno číslo záporné a druhé kladné, ľavý výraz bude vždy menší ako pravý:

Zdá sa, že s touto vlastnosťou je všetko jasné, zvážme niekoľko ďalších užitočných vlastností modulu.

Čo ak máme tento výraz:

Čo môžeme urobiť s týmto výrazom? Nepoznáme hodnotu x, ale už vieme čo, čo znamená.

Číslo je väčšie ako nula, čo znamená, že môžete jednoducho napísať:

Tak sme sa dostali k ďalšej nehnuteľnosti, ktorá môže byť vo všeobecnosti reprezentovaná takto:

A čomu sa rovná tento výraz:

Musíme teda definovať znak pod modulom. Je potrebné tu definovať znak?

Samozrejme nie, ak si pamätáte, že každé číslo v štvorci je vždy väčšie ako nula! Ak si nepamätáte, pozrite si tému. a čo sa stane? Tu je čo:

Skvelé, čo? Celkom pohodlné. A teraz konkrétny príklad na opravu:

No, prečo pochybnosti? Konáme odvážne!

Prišiel si na to? Potom pokračujte a trénujte s príkladmi!

1. Nájdite hodnotu výrazu if.

2. Ktorým číslam sa modul rovná?

3. Nájdite význam výrazov:

Ak ešte nie je všetko jasné a existujú ťažkosti s riešeniami, poďme na to:

Riešenie 1:

Takže dosaďte hodnoty do výrazu

Riešenie 2:

Ako si pamätáme, opačné čísla sú rovnaké v absolútnej hodnote. To znamená, že hodnota modulu sa rovná dvom číslam: a.

Riešenie 3:

a)
b)
v)
G)

Stihli ste všetko? Potom je čas prejsť na zložitejšie!

Skúsme výraz zjednodušiť

Riešenie:

Pamätáme si teda, že hodnota modulu nemôže byť menšia ako nula. Ak je znamienko modulu kladné, potom môžeme znamienko jednoducho zahodiť: modul čísla sa bude rovnať tomuto číslu.

Ale ak je znamienko modulu záporné, potom sa hodnota modulu rovná opačnému číslu (teda číslu so znamienkom „-“).

Aby ste našli modul akéhokoľvek výrazu, musíte najprv zistiť, či má kladnú alebo zápornú hodnotu.

Ukazuje sa hodnota prvého výrazu pod modulom.

Preto je výraz pod znamienkom modulu záporný. Druhý výraz pod znamienkom modulu je vždy kladný, pretože sčítavame dve kladné čísla.

Takže hodnota prvého výrazu pod znamienkom modulu je záporná, druhá je kladná:

To znamená, že po rozšírení znamienka modulu prvého výrazu musíme tento výraz vziať so znamienkom „-“. Páči sa ti to:

V druhom prípade jednoducho zahodíme znamienko modulu:

Zjednodušme celý výraz:

Modul čísla a jeho vlastnosti (presné definície a dôkazy)

Definícia:

Modul (absolútna hodnota) čísla je samotné číslo, ak, a číslo, ak:

Napríklad:

Príklad:

Zjednodušte výraz.

Riešenie:

Základné vlastnosti modulu

Pre všetkých:

Príklad:

Dokážte nehnuteľnosť číslo 5.

dôkaz:

Predpokladajme, že existujú také, ktoré

Odmocnime ľavú a pravú stranu nerovnosti (to je možné urobiť, pretože obe strany nerovnosti sú vždy nezáporné):

a to je v rozpore s definíciou modulu.

V dôsledku toho také neexistujú, a preto pre všetkých nerovnosť

Príklady pre nezávislé riešenie:

1) Preukázať majetok 6.

2) Zjednodušte výraz.

odpovede:

1) Použime vlastnosť # 3: a odvtedy

Aby boli veci jednoduché, musíte moduly rozšíriť. A aby ste mohli rozšíriť moduly, musíte zistiť, či sú výrazy v module pozitívne alebo negatívne?

a. Porovnajme čísla a:

b. Teraz porovnajme a:

Pridajte hodnoty modulov:

Absolútna hodnota čísla. Stručne o hlavnej veci.

Modul (absolútna hodnota) čísla je samotné číslo, ak, a číslo, ak:

Vlastnosti modulu:

1. Modul čísla je nezáporné číslo:;
2. Moduly opačných čísel sú rovnaké:;
3. Modul súčinu dvoch (alebo viacerých) čísel sa rovná súčinu ich modulov:;
4. Modul podielu dvoch čísel sa rovná podielu ich modulov:;
5. Modul súčtu čísel je vždy menší alebo rovný súčtu modulov týchto čísel:;
6. Konštantný kladný faktor môže byť braný mimo znamienka modulu: at;

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si účet Google (účet) a prihláste sa doň: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Ciele a ciele hodiny Predstaviť definíciu modulu reálneho čísla, zvážiť vlastnosti a vysvetliť geometrický význam modulu; Zaveďte funkciu y = | x | , ukážte pravidlá pre zostavenie jeho grafu; Naučiť sa rôznymi spôsobmi riešiť rovnice obsahujúce modul; Rozvíjať záujem o matematiku, samostatnosť, logické myslenie, matematickú reč, vštepovať presnosť a usilovnosť.

Definícia. Napríklad: | 8 | = 8; | -8 | = -(-8) = 8;

Vlastnosti modulu

Geometrický význam modulu lineárnych čísel je dobrým príkladom množiny reálnych čísel. Označme dva body a a b na číselnej osi a skúsme nájsť vzdialenosť ρ (a; b) medzi týmito bodmi. Je zrejmé, že táto vzdialenosť sa rovná b-a, ak b> a Ak prehodíte, teda a> b, vzdialenosť sa bude rovnať a - b. Ak a = b, potom je vzdialenosť nula, pretože sa získa bod. Všetky tri prípady môžeme opísať jednotným spôsobom:

Príklad. Vyriešte rovnicu: a) | x-3 | = 6 b) | x + 5 | = 3 c) | x | = 2,8 d) Riešenie. a) Potrebujeme nájsť body na súradnicovej čiare, ktoré sú vzdialené od bodu 3 vo vzdialenosti rovnajúcej sa 6. Takéto body sú 9 a -3. (Pričítali a odčítali šesť od troch.) Odpoveď: x = 9 a x = -3 b) | x +5 | = 3, rovnicu prepíšeme ako | x - (- 5) | = 3. Nájdite vzdialenosť od vzdialeného bodu -5 o 3. Ukázalo sa, že táto vzdialenosť od dvoch bodov: x = 2 a x = -8 Odpoveď: x = 2 a x = -8. c) | x | = 2,8, môže byť vyjadrené ako | x-0 | = 2,8 alebo Je zrejmé, že x = -2,8 alebo x = 2,8 Odpoveď: x = -2,8 a x = 2,8. d) ekvivalentné Samozrejme,

Funkcia y = | x |

Vyriešte rovnicu | x-1 | = 4 1 spôsob (analytický) Úloha 2

Metóda 2 (grafická)

Modul reálneho čísla. Identita Zvážte výraz, ak a> 0, potom vieme čo. Ale čo ak je 0. 2. Zhrňme: Podľa definície modulu: To znamená

Modul reálneho čísla. Príklad. Zjednodušte výraz, ak: a) a-2≥0 b) a -2

Modul reálneho čísla. Príklad. Vypočítajte riešenie. Vieme, že: Zostáva rozšíriť moduly Zvážte prvý výraz:

Zvážte druhý výraz: Pomocou definície odhalíme znaky modulov: Výsledkom je: Odpoveď: 1.

Zabezpečenie nového materiálu. č. 16.2, č. 16.3, č. 16.4, č. 16.12, č. 16.16 (a, d), č. 16.19

Úlohy na samostatné riešenie. 1. Vyriešte rovnicu: a) | x -10 | = 3 b) | x +2 | = 1 c) | x | = 2,8 d) 2. Vyriešte rovnicu: a) | 3 x -9 | = 33 b) | 8-4 x | = 16 c) | x +7 | = -3 3. Zjednodušte výraz, ak a) a-3≥0 b) a -3

Zoznam použitej literatúry: Zvavich L.I. Algebra. Pokročilé štúdium. 8. stupeň: kniha problémov / L.I. Zvavich, A.R. Rjazanovského. - 4. vydanie, Rev. - M .: Mnemosina, 2006 .-- 284 s. Mordkovich A.G. Algebra. 8. trieda. O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A.G. Mordkovič. - 12. vyd., Vymazané. - M .: Mnemosina, 2014 .-- 215 s. Mordkovich A. G. a kol., Algebra. 8. trieda. Za 2 hodiny, 2. časť. Problémová kniha pre študentov vzdelávacích inštitúcií / vyd. A.G. Mordkovič. - 12. vydanie, Rev. a pridať. - M .: Mnemosina, 2014 .-- 271 s.

§ 1 Modul reálneho čísla

V tejto lekcii preskúmame pojem „modul“ pre akékoľvek reálne číslo.

Zapíšme si vlastnosti modulu reálneho čísla:

§ 2 Riešenie rovníc

Pomocou geometrického významu modulu reálneho čísla riešime niekoľko rovníc.

Preto má rovnica 2 korene: -1 a 3.

Rovnica má teda 2 korene: -3 a 3.

V praxi sa využívajú rôzne vlastnosti modulov.

Zvážte to v príklade 2:

V tejto lekcii ste teda študovali pojem „modul reálneho čísla“, jeho základné vlastnosti a geometrický význam. Riešili sme aj niekoľko typických problémov aplikácie vlastností a geometrického znázornenia modulu reálnych čísel.

Zoznam použitej literatúry:

1. Mordkovich A.G. "Algebra" ročník 8. O 14:00, 1. časť. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. - 9. vydanie, Rev. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 215s.: Ill.
2. Mordkovich A.G. "Algebra" ročník 8. O 14:00, časť 2. Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E.E. Tulchinskaya .. - 8. vydanie, - M .: Mnemosina, 2006. - 239s.
3. Algebra. 8. trieda. Testovacie práce pre študentov vzdelávacích inštitúcií L.A. Alexandrov, vyd. A.G. Mordkovich 2. vyd., Vymazané. - M .: Mnemosina, 2009 .-- 40. roky.
4. Algebra. 8. trieda. Samostatná práca pre študentov vzdelávacích inštitúcií: k učebnici A.G. Mordkovich, L.A. Alexandrov, vyd. A.G. Mordkovich, 9. vyd., Vymazané. - M .: Mnemosina, 2013 .-- 112s.

V tomto článku budeme podrobne analyzovať absolútna hodnota čísla... Uvedieme rôzne definície modulu čísla, zavedieme notáciu a poskytneme grafické ilustrácie. V tomto prípade zvážime rôzne príklady hľadania modulu čísla podľa definície. Potom uvedieme a zdôvodníme hlavné vlastnosti modulu. Na konci článku si povieme, ako sa určuje a nachádza modul komplexného čísla.

Navigácia na stránke.

Modul čísel - definícia, zápis a príklady

Najprv sa predstavíme číselný modulový zápis... Modul čísla a budeme písať ako, to znamená, že naľavo a napravo od čísla umiestnime zvislé pomlčky tvoriace znamienko modulu. Tu je pár príkladov. Napríklad modulo -7 možno zapísať ako; modul 4.125 sa zapisuje ako a modul sa zapisuje ako.

Nasledujúca definícia modulu sa vzťahuje na, a teda, na celé čísla a na racionálne a iracionálne čísla, ako na základné časti množiny reálnych čísel. Budeme hovoriť o module komplexných čísel.

Definícia.

Modul počtu a Je to buď samotné číslo a, ak a je kladné číslo, alebo číslo −a oproti číslu a, ak a je záporné číslo, alebo 0, ak a = 0.

Zvuková definícia modulu čísla je často napísaná v nasledujúcom tvare , tento zápis znamená, že ak a> 0, ak a = 0 a ak a<0 .

Záznam možno podať v kompaktnejšej podobe ... Tento zápis znamená, že ak (a je väčšie alebo rovné 0) a ak a<0 .

Existuje aj záznam ... Tu by mal byť prípad, keď a = 0, objasnený samostatne. V tomto prípade máme, ale −0 = 0, pretože nula sa považuje za číslo, ktoré je opačné.

Dajme si príklady hľadania modulu čísla pomocou artikulovanej definície. Napríklad nájdime moduly čísel 15 a. Začnime hľadaním. Pretože číslo 15 je kladné, jeho modul sa podľa definície rovná tomuto číslu samotnému, to znamená. A aká je absolútna hodnota čísla? Keďže ide o záporné číslo, jeho modul sa rovná opačnému číslu, teda číslu ... Touto cestou, .

Na záver tohto odseku uvádzame jeden záver, ktorý je veľmi vhodné aplikovať v praxi pri hľadaní modulu čísla. Z definície modulu čísla vyplýva, že modul čísla sa rovná číslu pod znamienkom modulu bez ohľadu na jeho znamienko a z príkladov uvedených vyššie je to veľmi jasne viditeľné. Uvedené tvrdenie vysvetľuje, prečo sa volá aj modul čísla absolútna hodnota čísla... Takže modul čísla a absolútna hodnota čísla sú jedno a to isté.

Modul počtu ako vzdialenosť

Geometricky možno modul čísla interpretovať ako vzdialenosť... Dajme si určenie modulu čísla z hľadiska vzdialenosti.

Definícia.

Modul počtu a Je vzdialenosť od začiatku na súradnicovej čiare k bodu zodpovedajúcemu číslu a.

Táto definícia je v súlade s definíciou modulu čísla uvedenej v prvom odseku. Ujasnime si tento bod. Vzdialenosť od začiatku k bodu zodpovedajúcemu kladnému číslu sa rovná tomuto číslu. Nula zodpovedá počiatku, takže vzdialenosť od počiatku k bodu so súradnicou 0 je nula (nemusíte odkladať jediný segment jednotky a ani jeden segment, ktorý tvorí akúkoľvek časť segmentu jednotky, aby ste sa dostali z bod O do bodu so súradnicou 0). Vzdialenosť od začiatku k bodu so zápornou súradnicou sa rovná číslu opačnému k súradnici tohto bodu, pretože sa rovná vzdialenosti od začiatku k bodu, ktorého súradnica je opačné číslo.

Napríklad absolútna hodnota 9 je 9, pretože vzdialenosť od začiatku k bodu so súradnicou 9 je deväť. Uveďme si ďalší príklad. Bod so súradnicou −3,25 je vo vzdialenosti 3,25 od bodu O, takže .

Znela definícia modulu čísla je špeciálnym prípadom určenia modulu rozdielu dvoch čísel.

Definícia.

Diferenčný modul dvoch čísel a a b sa rovná vzdialenosti medzi bodmi súradnicovej čiary so súradnicami a a b.

To znamená, že ak sú body uvedené na súradnicovej čiare A (a) a B (b), potom sa vzdialenosť z bodu A do bodu B rovná modulu rozdielu medzi číslami a a b. Ak zoberieme bod O (pôvod) ako bod B, tak dostaneme definíciu modulu čísla uvedenú na začiatku tohto odseku.

Určenie modulu čísla pomocou aritmetickej druhej odmocniny

Príležitostne sa vyskytuje definícia modulu z hľadiska aritmetickej druhej odmocniny.

Napríklad vypočítajme absolútne hodnoty čísel −30 a na základe tejto definície. Máme. Podobne vypočítame modul dvoch tretín: .

Definícia modulu čísla prostredníctvom aritmetickej druhej odmocniny je tiež v súlade s definíciou uvedenou v prvom odseku tohto článku. Ukážme to. Nech a je kladné číslo, zatiaľ čo číslo −a je záporné. Potom a , ak a = 0, potom .

Vlastnosti modulu

Modul má množstvo charakteristických výsledkov - vlastnosti modulu... Teraz si dáme tie hlavné a najčastejšie používané. Pri zdôvodňovaní týchto vlastností sa budeme opierať o definíciu modulu čísla z hľadiska vzdialenosti.

Začnime najzrejmejšou vlastnosťou modulu - modul čísla nemôže byť záporný... V doslovnej forme má táto vlastnosť záznam tvaru pre ľubovoľné číslo a. Táto vlastnosť sa dá veľmi ľahko zdôvodniť: modul čísla je vzdialenosť a vzdialenosť nemôže byť vyjadrená ako záporné číslo.

Prejdime k ďalšej vlastnosti modulu. Absolútna hodnota čísla je nula práve vtedy, ak je toto číslo nula... Modul nuly je podľa definície nulový. Nula zodpovedá počiatku, žiadny iný bod na súradnicovej čiare nezodpovedá nule, pretože každé reálne číslo je spojené s jedným bodom na súradnicovej čiare. Z rovnakého dôvodu každé číslo iné ako nula zodpovedá inému bodu, ako je počiatok. A vzdialenosť od počiatku k akémukoľvek bodu okrem bodu O nie je nula, pretože vzdialenosť medzi dvoma bodmi je nulová vtedy a len vtedy, ak sa tieto body zhodujú. Vyššie uvedená úvaha dokazuje, že iba nulový modul sa rovná nule.

Pokračuj. Opačné čísla majú rovnaké moduly, to znamená pre ľubovoľné číslo a. V skutočnosti sú dva body na súradnicovej línii, ktorých súradnice sú opačné čísla, v rovnakej vzdialenosti od začiatku, čo znamená, že absolútne hodnoty opačných čísel sú rovnaké.

Ďalšia vlastnosť modulu je nasledovná: modul súčinu dvoch čísel sa rovná súčinu modulov týchto čísel, teda . Podľa definície sa modul súčinu čísel a a b rovná buď a b, ak, alebo - (a b), ak. Z pravidiel pre násobenie reálnych čísel vyplýva, že súčin absolútnych hodnôt čísel a a b sa rovná buď a b, alebo - (a b), ak, čo dokazuje posudzovanú vlastnosť.

Modul podielu delenia a číslom b sa rovná podielu delenia modulu čísla a modulom čísla b, teda . Zdôvodnime túto vlastnosť modulu. Pretože sa podiel rovná súčinu, potom. Na základe predchádzajúcej vlastnosti máme ... Zostáva len použiť rovnosť, ktorá platí na základe definície modulu čísla.

Nasledujúca vlastnosť modulu je zapísaná ako nerovnosť: , a, b a c sú ľubovoľné reálne čísla. Napísaná nerovnosť nie je nič iné ako trojuholníková nerovnosť... Aby to bolo jasné, vezmite body A (a), B (b), C (c) na súradnicovej čiare a zvážte degenerovaný trojuholník ABC, ktorého vrcholy ležia na jednej priamke. Podľa definície sa modul rozdielu rovná dĺžke segmentu AB, je dĺžkou segmentu AC a je dĺžkou segmentu CB. Keďže dĺžka žiadnej strany trojuholníka nepresahuje súčet dĺžok ostatných dvoch strán, nerovnosť teda nerovnosť je tiež pravdivá.

Práve preukázaná nerovnosť je oveľa bežnejšia vo forme ... Zapísaná nerovnosť sa zvyčajne považuje za samostatnú vlastnosť modulu s formuláciou: „ Absolútna hodnota súčtu dvoch čísel nepresahuje súčet absolútnych hodnôt týchto čísel". Ale nerovnosť vyplýva priamo z nerovnosti, ak dáme −b namiesto b a vezmeme c = 0.

Modul komplexných čísel

Dajme si stanovenie modulu komplexného čísla... Nech je nám to dané komplexné číslo, napísané v algebraickom tvare, kde x a y sú nejaké reálne čísla, ktoré reprezentujú reálnu a imaginárnu časť daného komplexného čísla z a je imaginárnou jednotkou.