Systémy s nelineárnymi rovnicami. Ako sa rieši sústava rovníc? Metódy riešenia sústav rovníc

Väčšina problémov v matematike je zameraná na riešenie štandardných rovníc obsahujúcich jednu premennú. Niekedy sa používa systém dvoch alebo viacerých rovníc, ktoré môžu obsahovať dve alebo viac premenných.

Pozrime sa však na samostatnú rovnicu obsahujúcu okrem číselné výrazy dva neznáme abstraktné výrazy. Napríklad:

Každá takáto rovnica sa nazýva rovnica s dvoma premennými. Riešením takejto rovnice je pár hodnôt x a y tak, aby sa celý výraz transformoval na ekvivalentnú správnu rovnosť. Pre premenné používame nasledujúce hodnoty:

Dosadením do našej rovnice dostaneme správnu rovnosť:

(2) 2 + 2(1) = 6

Dvojica čísel (2, 1) je teda riešením rovnice.

x2 + 2y = 6. Upozorňujeme, že pri písaní riešenia je potrebné uviesť hodnoty premenných v zátvorkách oddelené čiarkami, pričom najskôr napíšte hodnotu x (toto nie je striktné, ale schválené).

Pri riešení prvého príkladu pomocou metódy výberu je ľahké nájsť ďalšiu dvojicu riešení - napríklad použijeme hodnoty (4, -5):

(4) 2 + 2(-5) = 6

Dvojica čísel zmenila rovnicu na správnu rovnosť, čo znamená, že zodpovedá aj riešeniu tejto rovnice.

Ako môžete pochopiť z video lekcie, rovnica s dvoma premennými má veľa riešení, presnejšie veľa párov čísel, ktoré budú spĺňať kritériá pre správnu odpoveď. Transformujme prvú rovnicu nasledovne. Vydeľme všetky strany rovnice 2:

0,5 x 2 + y = 3

y = 3 - 0,5 x 2

Výsledný výraz y = 3 - 0,5x2 nie je nič iné ako funkcia - závislosť jednej premennej od druhej. Inými slovami:

y = 3 - 0,5 x 2

f(x) = 3 - 0,5 x 2

Ako si pamätáme z video lekcií o základoch funkcií, každá závislosť je charakterizovaná tromi prvkami: množinou určitých počiatočných argumentov, konverzným vzorcom a množinou získaných hodnôt. V našej rovnici je množina všetkých reálnych riešení reprezentovaná pármi hodnôt x a y - teda párovými prvkami oboch množín funkcie. V tomto prípade je samotná rovnica vyjadrením vzťahu medzi prvou a druhou premennou.
Navyše výraz y = 3 - 0,5x 2 má presne rovnaké dvojice riešení ako x 2 + 2y = 6 - preto sa tieto rovnice nazývajú ekvivalentné. Ekvivalentné rovnice sa získajú v nasledujúcich prípadoch:

1. Pri vykonávaní prenosu pojmov (berúc do úvahy inverziu znamienka) z jednej časti rovnosti do druhej;
2. Pod rôznymi identickými premenami, ktoré nemenia význam rovnosti;
3. Pri násobení alebo delení oboch strán rovnice súčasne rovnakým koeficientom;

Je dôležité pochopiť, že pri vykonávaní rôznych transformácií v rovnici nemôžete skresliť oblasť definície žiadnej z premenných. Väčšina transformácií identity zachováva množinu x alebo y nezmenenú, existujú však nepríjemné výnimky. Zvážte tento príklad:

y = x(2/(x) + 4)

Na vyriešenie tejto rovnice by bolo logickejšie otvoriť zátvorky: vykonať úplne identickú transformáciu, ktorá takmer nikdy neovplyvní oblasť definície premenných. Ale v v tomto prípade otvorenie zátvoriek nebude identický jav. V pôvodnej verzii má prezentovaná rovnica veľa riešení x, okrem x = 0, keďže s touto hodnotou stratí monomiál 2/x význam spolu s celou rovnicou. Ak otvoríme zátvorky, dostaneme nasledovné:

y = x(2/(x) + 4) = 2x/x + 4x = 2 + 4x

Ako je ľahké vidieť, v novej rovnici je oblasť definície x nekonečná, vrátane x = 0. To znamená, že množina hodnôt x sa zmenila, rovnica nie je ekvivalentná danému príkladu. Takéto cvičenia sa však často riešia obyčajnými premenami. Stačí vykonať kontrolu substitúcie, aby ste odstránili neplatné riešenia rovnice.

Prevažná väčšina rovníc s dvoma premennými sa prevedie na analytické závislosti, po ktorých sa dosadia ľubovoľné dve hodnoty x, a tak sa vypočíta dvojica riešení x a y. Samotné riešenia sú zároveň spravidla nekonečné. Existujú však aj malé výnimky – keď niektorý bod vypadne z rozsahu definície premennej. Niektoré rovnice s dvoma neznámymi majú len jedno riešenie, napríklad výraz x 2 + y 2 = 0 má iba jeden koreňový pár - (0, 0). A rovnica v tvare x 2 + y 2 = -1 nemá vôbec žiadne reálne riešenia. To isté platí pre všetky podobné rovnice, ktoré sa rovnajú záporným číslam - koniec koncov, štvorce, rovnako ako ich súčty, v zásade nemôžu dávať záporné hodnoty.

V kurze matematiky 7. ročníka sa stretávame prvýkrát rovnice s dvoma premennými, ale skúmajú sa len v kontexte sústav rovníc s dvoma neznámymi. Preto celý rad problémov, v ktorých sa zavádzajú určité podmienky na koeficienty rovnice, ktoré ich obmedzujú, vypadáva z dohľadu. Okrem toho sa ignorujú aj metódy na riešenie problémov ako „Vyriešte rovnicu v prirodzených alebo celých číslach“, hoci v Materiály jednotnej štátnej skúšky a ďalej vstupné testy Problémy tohto druhu sú čoraz bežnejšie.

Ktorá rovnica sa bude nazývať rovnica s dvoma premennými?

Takže napríklad rovnice 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 alebo xy = 12 sú rovnice v dvoch premenných.

Zoberme si rovnicu 2x – y = 1. Platí, keď x = 2 a y = 3, takže táto dvojica premenných hodnôt je riešením danej rovnice.

Riešením akejkoľvek rovnice s dvoma premennými je teda množina usporiadaných párov (x; y), hodnôt premenných, ktoré menia túto rovnicu na skutočnú číselnú rovnosť.

Rovnica s dvoma neznámymi môže:

A) mať jedno riešenie. Napríklad rovnica x 2 + 5y 2 = 0 má jediné rozhodnutie (0; 0);

b) mať viacero riešení. Napríklad (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 má 4 riešenia: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nemať riešenia. Napríklad rovnica x 2 + y 2 + 1 = 0 nemá riešenia;

G) má nekonečne veľa riešení. Napríklad x + y = 3. Riešeniami tejto rovnice budú čísla, ktorých súčet sa rovná 3. Množinu riešení tejto rovnice môžeme zapísať v tvare (k; 3 – k), kde k je ľubovoľné Reálne číslo.

Hlavnými metódami riešenia rovníc s dvoma premennými sú metódy založené na faktoringových výrazoch, izolácii úplného štvorca, využívajúce vlastnosti kvadratickej rovnice, obmedzené výrazy a metódy odhadu. Rovnica sa zvyčajne transformuje do tvaru, z ktorého možno získať systém na hľadanie neznámych.

Faktorizácia

Príklad 1

Riešte rovnicu: xy – 2 = 2x – y.

Riešenie.

Na účely faktorizácie zoskupujeme výrazy:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Z každej zátvorky vyberieme spoločný faktor:

y(x + 1) – 2 (x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Máme:

y = 2, x – ľubovoľné reálne číslo alebo x = -1, y – ľubovoľné reálne číslo.

teda odpoveďou sú všetky dvojice v tvare (x; 2), x € R a (-1; y), y € R.

Rovná sa nule nie je záporné čísla

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Riešenie.

Zoskupenie:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Teraz je možné každú zátvorku zložiť pomocou vzorca na druhú druhú.

(3x – 2) 2 + (2 roky – 3) 2 = 0.

Súčet dvoch nezáporných výrazov je nula, len ak 3x – 2 = 0 a 2y – 3 = 0.

To znamená x = 2/3 a y = 3/2.

Odpoveď: (2/3; 3/2).

Metóda odhadu

Príklad 3

Vyriešte rovnicu: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Riešenie.

V každej zátvorke vyberieme celý štvorec:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Odhadnime význam výrazov v zátvorkách.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 a (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, potom je ľavá strana rovnice vždy aspoň 2. Rovnosť je možná, ak:

(x + 1) 2 + 1 = 1 a (y – 2) 2 + 2 = 2, čo znamená x = -1, y = 2.

Odpoveď: (-1; 2).

Zoznámime sa s ďalšou metódou riešenia rovníc s dvoma premennými druhého stupňa. Táto metóda pozostáva zo spracovania rovnice ako štvorec vzhľadom na nejakú premennú.

Príklad 4.

Vyriešte rovnicu: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Riešenie.

Riešime rovnicu ako kvadratickú rovnicu pre x. Poďme nájsť diskriminant:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Rovnica bude mať riešenie len vtedy, keď D = 0, teda ak y = 4. Hodnotu y dosadíme do pôvodnej rovnice a zistíme, že x = 3.

Odpoveď: (3; 4).

Často v rovniciach s dvoma neznámymi označujú obmedzenia premenných.

Príklad 5.

Riešte rovnicu celými číslami: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Riešenie.

Prepíšme rovnicu v tvare x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Pravá strana výslednej rovnice pri delení 5 dáva zvyšok 2. Preto x 2 nie je deliteľné 5. Ale druhá mocnina a číslo nedeliteľné 5 dáva zvyšok 1 alebo 4. Rovnosť teda nie je možná a neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď: žiadne korene.

Príklad 6.

Vyriešte rovnicu: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Riešenie.

Zvýraznime celé štvorce v každej zátvorke:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ľavá strana rovnice je vždy väčšia alebo rovná 3. Rovnosť je možná za predpokladu, že |x| – 2 = 0 a y + 3 = 0. Teda x = ± 2, y = -3.

Odpoveď: (2; -3) a (-2; -3).

Príklad 7.

Pre každý pár záporných celých čísel (x;y), ktoré spĺňajú rovnicu
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, vypočítajte súčet (x + y). V odpovedi uveďte najmenšiu sumu.

Riešenie.

Vyberme celé štvorce:

(x2 – 2xy + y2) + (y2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Keďže x a y sú celé čísla, ich druhé mocniny sú tiež celé čísla. Ak spočítame 1 + 36, dostaneme súčet druhých mocnín dvoch celých čísel rovný 37. Preto:

(x – y) 2 = 36 a (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 a (y + 2) 2 = 36.

Vyriešením týchto systémov a berúc do úvahy, že x a y sú záporné, nájdeme riešenia: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpoveď: -17.

Nezúfajte, ak máte problém vyriešiť rovnice s dvoma neznámymi. S trochou cviku zvládnete akúkoľvek rovnicu.

Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť rovnice v dvoch premenných?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Nelineárne rovnice s dvoma neznámymi

Definícia 1. Nech je A nejaký súbor dvojíc čísel (X; r). Hovoria, že množina A je daná numerická funkcia z z dvoch premenných x a y , ak je zadané pravidlo, pomocou ktorého je každá dvojica čísel z množiny A spojená s určitým číslom.

Špecifikácia numerickej funkcie z dvoch premenných x a y je často označovať Takže:

Kde f (X , r) – akákoľvek iná funkcia ako funkcia

f (X , r) = ax+by+c ,

kde a, b, c sú dané čísla.

Definícia 3. Riešenie rovnice (2) zavolajte na pár čísel ( X; r), pre ktorý vzorec (2) je skutočná rovnosť.

Príklad 1 Vyriešte rovnicu

Keďže druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporná, zo vzorca (4) vyplýva, že neznáme x a y spĺňajú sústavu rovníc

riešením je dvojica čísel (6; 3).

Odpoveď: (6; 3)

Príklad 2 Vyriešte rovnicu

Preto riešenie rovnice (6) je nekonečný počet dvojíc čísel milý

(1 + r ; r) ,

kde y je ľubovoľné číslo.

lineárne

Definícia 4. Riešenie sústavy rovníc

zavolajte na pár čísel ( X; r) , pri ich dosadení do každej z rovníc tejto sústavy sa získa správna rovnosť.

Sústavy dvoch rovníc, z ktorých jedna je lineárna, majú tvar

g(X , r)

Príklad 4. Riešiť sústavu rovníc

Riešenie . Vyjadrime neznáme y z prvej rovnice sústavy (7) cez neznámu x a výsledný výraz dosadíme do druhej rovnice sústavy:

Riešenie rovnice

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

teda

r 1 = 8 - X 1 = 9 ,
r 2 = 8 - X 2 = - 1 .

Sústavy dvoch rovníc, z ktorých jedna je homogénna

Sústavy dvoch rovníc, z ktorých jedna je homogénna, majú tvar

kde a, b, c sú dané čísla a g(X , r) – funkcia dvoch premenných x a y.

Príklad 6. Riešiť sústavu rovníc

Riešenie . Poďme vyriešiť homogénnu rovnicu

3X 2 + 2xy - r 2 = 0 ,

3X 2 + 17xy + 10r 2 = 0 ,

zaobchádzať s ňou ako s kvadratickou rovnicou vzhľadom na neznámu x:

.

V prípade X = - 5r, z druhej rovnice sústavy (11) získame rovnicu

5r 2 = - 20 ,

ktorá nemá korene.

V prípade

z druhej rovnice sústavy (11) získame rovnicu

,

ktorých koreňmi sú čísla r 1 = 3 , r 2 = - 3 . Keď pre každú z týchto hodnôt y nájdeme zodpovedajúcu hodnotu x, získame dve riešenia systému: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .

Odpoveď: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

Príklady riešenia sústav rovníc iných typov

Príklad 8. Vyriešte systém rovníc (MIPT)

Riešenie . Zavedme nové neznáme u a v, ktoré sú vyjadrené pomocou x a y podľa vzorcov:

Aby sme prepísali systém (12) na nové neznáme, najprv vyjadríme neznáme x a y pomocou u a v. Zo systému (13) vyplýva, že

Vyriešme lineárnu sústavu (14) vylúčením premennej x z druhej rovnice tejto sústavy. Na tento účel vykonáme na systéme (14) nasledujúce transformácie:

• Prvú rovnicu sústavy necháme nezmenenú;
• od druhej rovnice odčítame prvú rovnicu a druhú rovnicu sústavy nahradíme výsledným rozdielom.

Výsledkom je, že systém (14) sa transformuje na ekvivalentný systém

z ktorých nájdeme

Pomocou vzorcov (13) a (15) prepíšeme pôvodný systém (12) do tvaru

Prvá rovnica sústavy (16) je lineárna, takže z nej môžeme vyjadriť neznáme u cez neznáme v a tento výraz dosadiť do druhej rovnice sústavy.

Systémy rovníc sú široko používané v ekonomickom sektore na matematické modelovanie rôznych procesov. Napríklad pri riešení problémov riadenia a plánovania výroby, logistických trás (problém dopravy) alebo umiestnenia zariadení.

Sústavy rovníc sa využívajú nielen v matematike, ale aj vo fyzike, chémii a biológii pri riešení úloh zisťovania veľkosti populácie.

Systém lineárne rovnice pomenovať dve alebo viac rovníc s viacerými premennými, pre ktoré je potrebné nájsť spoločné riešenie. Taká postupnosť čísel, pre ktorú sa všetky rovnice stávajú skutočnými rovnosťami alebo dokazujú, že postupnosť neexistuje.

Lineárna rovnica

Rovnice v tvare ax+by=c sa nazývajú lineárne. Označenia x, y sú neznáme, ktorých hodnotu treba nájsť, b, a sú koeficienty premenných, c je voľný člen rovnice.
Riešenie rovnice jej vykreslením bude vyzerať ako priamka, ktorej všetky body sú riešeniami polynómu.

Typy sústav lineárnych rovníc

Za najjednoduchšie príklady sa považujú sústavy lineárnych rovníc s dvoma premennými X a Y.

F1(x, y) = 0 a F2(x, y) = 0, kde F1,2 sú funkcie a (x, y) sú funkčné premenné.

Riešiť sústavu rovníc - to znamená nájsť hodnoty (x, y), pri ktorých sa systém zmení na skutočnú rovnosť, alebo zistiť, že vhodné hodnoty x a y neexistujú.

Dvojica hodnôt (x, y), zapísaná ako súradnice bodu, sa nazýva riešenie systému lineárnych rovníc.

Ak systémy majú jedno spoločné riešenie alebo žiadne riešenie neexistuje, nazývajú sa ekvivalentné.

Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú sústavy pravá časť ktorá sa rovná nule. Ak má pravá časť za znakom rovnosti hodnotu alebo je vyjadrená funkciou, takýto systém je heterogénny.

Počet premenných môže byť oveľa viac ako dve, potom by sme mali hovoriť o príklade systému lineárnych rovníc s tromi alebo viacerými premennými.

Keď sú školáci konfrontovaní so systémami, predpokladajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom neznámych, ale nie je to tak. Počet rovníc v systéme nezávisí od premenných, môže ich byť ľubovoľne veľa.

Jednoduché a zložité metódy riešenia sústav rovníc

Na riešenie takýchto systémov neexistuje všeobecná analytická metóda, všetky metódy sú založené na numerických riešeniach. IN školský kurz Matematika podrobne popisuje také metódy ako permutácia, algebraické sčítanie, substitúcia, ako aj grafické a maticové metódy, riešenie Gaussovou metódou.

Hlavnou úlohou pri výučbe metód riešenia je naučiť sa správne analyzovať systém a nájsť optimálny algoritmus riešenia pre každý príklad. Hlavnou vecou nie je zapamätať si systém pravidiel a akcií pre každú metódu, ale pochopiť princípy používania konkrétnej metódy

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc v učive 7. ročníka všeobecnovzdelávacích predmetov je pomerne jednoduché a veľmi podrobne vysvetlené. V každej učebnici matematiky sa tejto časti venuje dostatočná pozornosť. Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc pomocou Gaussovej a Cramerovej metódy sa podrobnejšie študuje v prvých ročníkoch vysokoškolského štúdia.

Riešenie systémov substitučnou metódou

Akcie substitučnej metódy sú zamerané na vyjadrenie hodnoty jednej premennej z hľadiska druhej. Výraz sa dosadí do zostávajúcej rovnice, potom sa zredukuje do tvaru s jednou premennou. Akcia sa opakuje v závislosti od počtu neznámych v systéme

Uveďme riešenie príkladu sústavy lineárnych rovníc triedy 7 pomocou substitučnej metódy:

Ako je zrejmé z príkladu, premenná x bola vyjadrená pomocou F(X) = 7 + Y. Výsledný výraz, dosadený do 2. rovnice systému na miesto X, pomohol získať jednu premennú Y v 2. rovnici . Riešenie tohto príkladu je jednoduché a umožňuje získať hodnotu Y. Posledným krokom je kontrola získaných hodnôt.

Nie vždy je možné vyriešiť príklad sústavy lineárnych rovníc substitúciou. Rovnice môžu byť zložité a vyjadrenie premennej pomocou druhej neznámej bude príliš ťažkopádne na ďalšie výpočty. Keď je v systéme viac ako 3 neznámych, riešenie substitúciou je tiež nevhodné.

Riešenie príkladu sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc:

Riešenie pomocou algebraického sčítania

Pri hľadaní riešení systémov metódou sčítania vykonávajú sčítanie po členoch a násobenie rovníc o rôzne čísla. Konečným cieľom matematických operácií je rovnica v jednej premennej.

Pre aplikácie túto metódu vyžaduje sa prax a pozorovanie. Riešenie sústavy lineárnych rovníc metódou sčítania pri 3 a viacerých premenných nie je jednoduché. Algebraické sčítanie je vhodné použiť, keď rovnice obsahujú zlomky a desatinné miesta.

Algoritmus riešenia:

1. Vynásobte obe strany rovnice určitým číslom. V dôsledku aritmetickej operácie by sa jeden z koeficientov premennej mal rovnať 1.
2. Pridajte výsledný výraz výraz po výraze a nájdite jednu z neznámych.
3. Dosaďte výslednú hodnotu do 2. rovnice systému, aby ste našli zostávajúcu premennú.

Spôsob riešenia zavedením novej premennej

Novú premennú je možné zaviesť, ak systém vyžaduje nájsť riešenie nie viac ako dvoch rovníc; počet neznámych by tiež nemal byť väčší ako dve.

Metóda sa používa na zjednodušenie jednej z rovníc zavedením novej premennej. Nová rovnica sa rieši pre zavedenú neznámu a výsledná hodnota sa použije na určenie pôvodnej premennej.

Príklad ukazuje, že zavedením novej premennej t bolo možné zredukovať 1. rovnicu sústavy na štandardnú. kvadratická trojčlenka. Polynóm môžete vyriešiť nájdením diskriminantu.

Hodnotu diskriminantu je potrebné nájsť pomocou známeho vzorca: D = b2 - 4*a*c, kde D je požadovaný diskriminant, b, a, c sú faktory polynómu. IN uvedený príklad a=1, b=16, c=39, teda D=100. Ak je diskriminant väčší ako nula, potom existujú dve riešenia: t = -b±√D / 2*a, ak je diskriminant menší ako nula, potom existuje jedno riešenie: x = -b / 2*a.

Riešenie pre výsledné systémy sa nachádza adičnou metódou.

Vizuálna metóda riešenia systémov

Vhodné pre 3 rovnicové sústavy. Metóda spočíva v zostrojení grafov každej rovnice zahrnutej v systéme na súradnicovej osi. Súradnice priesečníkov kriviek budú všeobecným riešením systému.

Grafická metóda má množstvo nuancií. Pozrime sa na niekoľko príkladov riešenia sústav lineárnych rovníc názorným spôsobom.

Ako je vidieť z príkladu, pre každú čiaru boli skonštruované dva body, hodnoty premennej x boli zvolené ľubovoľne: 0 a 3. Na základe hodnôt x boli nájdené hodnoty pre y: 3 a 0. Na grafe boli vyznačené body so súradnicami (0, 3) a (3, 0) a spojené čiarou.

Kroky sa musia opakovať pre druhú rovnicu. Priesečník čiar je riešením sústavy.

Nasledujúci príklad vyžaduje nájdenie grafického riešenia sústavy lineárnych rovníc: 0,5x-y+2=0 a 0,5x-y-1=0.

Ako vidno z príkladu, systém nemá riešenie, pretože grafy sú rovnobežné a nepretínajú sa po celej dĺžke.

Systémy z príkladov 2 a 3 sú podobné, ale keď sa skonštruujú, je zrejmé, že ich riešenia sú odlišné. Treba mať na pamäti, že nie vždy je možné povedať, či má systém riešenie alebo nie, vždy je potrebné zostrojiť graf.

Matrica a jej odrody

Matice sa používajú na výstižný zápis sústavy lineárnych rovníc. Matica je špeciálny typ tabuľky naplnenej číslami. n*m má n - riadkov a m - stĺpcov.

Matica je štvorcová, keď je počet stĺpcov a riadkov rovnaký. Maticový vektor je matica jedného stĺpca s nekonečne možným počtom riadkov. Matica s jednotkami pozdĺž jednej z uhlopriečok a inými nulovými prvkami sa nazýva identita.

Inverzná matica je matica po vynásobení, ktorou sa pôvodná zmení na jednotkovú maticu; takáto matica existuje len pre pôvodnú štvorcovú.

Pravidlá pre prevod sústavy rovníc na maticu

Vo vzťahu k sústavám rovníc sa koeficienty a voľné členy rovníc zapisujú ako maticové čísla, jedna rovnica je jeden riadok matice.

Riadok matice sa považuje za nenulový, ak aspoň jeden prvok v riadku nie je nula. Ak sa teda v niektorej z rovníc počet premenných líši, potom je potrebné namiesto chýbajúcej neznámej zadať nulu.

Stĺpce matice musia presne zodpovedať premenným. To znamená, že koeficienty premennej x môžeme zapísať len do jedného stĺpca, napríklad do prvého, koeficient neznámej y - len do druhého.

Pri násobení matice sa všetky prvky matice postupne násobia číslom.

Možnosti hľadania inverznej matice

Vzorec na nájdenie inverznej matice je celkom jednoduchý: K -1 = 1 / |K|, kde K -1 je inverzná matica a |K| je determinantom matice. |K| sa nesmie rovnať nule, potom má systém riešenie.

Determinant sa ľahko vypočíta pre maticu dva krát dva, stačí vynásobiť diagonálne prvky navzájom. Pre možnosť „tri po troch“ existuje vzorec |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Môžete použiť vzorec alebo si môžete zapamätať, že z každého riadku a každého stĺpca musíte vziať jeden prvok, aby sa počty stĺpcov a riadkov prvkov v práci neopakovali.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc maticovou metódou

Maticová metóda hľadania riešenia vám umožňuje znížiť ťažkopádne zadania pri riešení systémov s veľké množstvo premenné a rovnice.

V príklade sú a nm koeficienty rovníc, matica je vektor, x n sú premenné a b n sú voľné členy.

Riešenie systémov Gaussovou metódou

Vo vyššej matematike sa študuje Gaussova metóda spolu s Cramerovou metódou a proces hľadania riešení systémov sa nazýva Gauss-Cramerova metóda riešenia. Tieto metódy sa používajú na hľadanie premenných systémov s veľkým počtom lineárnych rovníc.

Gaussova metóda je veľmi podobná riešeniam pomocou substitúcií a algebraické sčítanie, ale systematickejšie. V školskom kurze sa pri sústavách 3 a 4 rovníc používa riešenie Gaussovou metódou. Účelom metódy je zredukovať systém do podoby obráteného lichobežníka. Pomocou algebraických transformácií a substitúcií sa hodnota jednej premennej nachádza v jednej z rovníc systému. Druhá rovnica je výraz s 2 neznámymi, zatiaľ čo 3 a 4 sú s 3 a 4 premennými.

Po uvedení systému do opísanej formy sa ďalšie riešenie redukuje na postupné dosadzovanie známych premenných do rovníc systému.

V školských učebniciach pre 7. ročník je príklad riešenia Gaussovou metódou opísaný takto:

Ako je možné vidieť z príkladu, v kroku (3) sa získali dve rovnice: 3x3-2x4=11 a 3x3+2x4=7. Vyriešenie ktorejkoľvek z rovníc vám umožní zistiť jednu z premenných x n.

Veta 5, ktorá sa v texte spomína, hovorí, že ak sa jedna z rovníc sústavy nahradí ekvivalentnou, tak aj výsledná sústava bude ekvivalentná tej pôvodnej.

Gaussova metóda je pre stredoškolákov ťažko pochopiteľná, no patrí medzi tie naj zaujímavé spôsoby rozvíjať vynaliezavosť detí zaradených do nadstavbových študijných programov na hodinách matematiky a fyziky.

Na uľahčenie zaznamenávania sa výpočty zvyčajne vykonávajú takto:

Koeficienty rovníc a voľné členy sú zapísané vo forme matice, kde každý riadok matice zodpovedá jednej z rovníc sústavy. oddeľuje ľavá strana rovnice sprava. Rímske číslice označujú počet rovníc v systéme.

Najprv si zapíšte maticu, s ktorou sa má pracovať, a potom všetky akcie vykonané s jedným z riadkov. Výsledná matica je napísaná za znakom „šípky“ a potrebné algebraické operácie pokračujú, kým sa nedosiahne výsledok.

Výsledkom by mala byť matica, v ktorej sa jedna z uhlopriečok rovná 1 a všetky ostatné koeficienty sa rovnajú nule, to znamená, že matica je zredukovaná na jednotkový tvar. Nesmieme zabudnúť vykonať výpočty s číslami na oboch stranách rovnice.

Tento spôsob nahrávania je menej ťažkopádny a umožňuje vám nenechať sa rozptyľovať zoznamom mnohých neznámych.

Bezplatné použitie akejkoľvek metódy riešenia si bude vyžadovať starostlivosť a určité skúsenosti. Nie všetky metódy majú aplikovaný charakter. Niektoré metódy hľadania riešení sú vhodnejšie v konkrétnej oblasti ľudskej činnosti, zatiaľ čo iné existujú na vzdelávacie účely.

Táto kapitola obsahuje podporný materiál týkajúci sa riešenia sústav lineárnych rovníc (t. j. rovníc prvého stupňa). Na štúdium takýchto systémov je predstavený dôležitý koncept determinantu. Výsledky tejto kapitoly, zaujímavé samy osebe aj aplikáciami na analytickú geometriu, sú potrebné na pochopenie ďalších kapitol knihy,

§ 1. Sústavy rovníc s dvomi a tromi neznámymi

Pri riešení jednej rovnice prvého stupňa s jednou neznámou

sú možné tri prípady:

1. Ak , rovnica má jedinečné riešenie

2. Ak má rovnica nekonečný počet riešení; akékoľvek číslo x spĺňa rovnicu (od ), a preto je jej riešením.

3. Ak ale rovnica nemá riešenia, pretože pri nahradení x ľubovoľným číslom na ľavej strane je výsledok nula, zatiaľ čo pravá strana je iná ako nula.

Z toho, čo nasleduje, bude zrejmé, že podobné tri prípady sa vyskytujú aj pri riešení ľubovoľnej sústavy lineárnych rovníc.

Uvažujme systém dvoch rovníc s dvoma neznámymi:

Riešením takéhoto systému je každá dvojica hodnôt, ktorých substitúcia namiesto x a y zmení obe rovnice na identity. Na vyriešenie tohto systému vynásobíme prvú rovnicu druhou - a sčítame ich; dostaneme

Odtiaľto, ak , máme

Podobne to zisťujeme

Teda v prípade, keď má systém (1) jedinečné riešenie.

Výrazy v čitateloch a menovateloch na pravej strane rovnosti (2) a (3) sú štruktúrované rovnako. Konkrétne, zvážte štvorcovú tabuľku čísel

Takéto tabuľky sa nazývajú matice. Vodorovné rady čísel tvoriacich maticu sa nazývajú jej riadky, zvislé sa nazývajú stĺpce. Čísla, ktoré tvoria maticu, sa nazývajú jej prvky. V našom príklade máme štvorcovú maticu druhého rádu. Uhlopriečka prechádzajúca z ľavého horného rohu matice do pravého dolného rohu sa nazýva jej hlavná uhlopriečka. Menovatele zlomkov na pravej strane rovnosti (2) a (3) sú usporiadané nasledovne: zo súčinu prvkov umiestnených na hlavnej uhlopriečke matice A súčin prvkov umiestnených na druhej, alebo sekundárne, uhlopriečka sa odpočíta:

Výsledný výraz sa nazýva determinant matice A (determinant druhého rádu) a označuje sa takto:

V tomto zápise je determinantom čitateľ zlomku v prvej časti rovnosti (2).

získané z menovateľa nahradením prvého stĺpca stĺpcom voľných členov a determinantom je čitateľ zlomku na pravej strane rovnosti

získané z menovateľa nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných členov rovníc sústavy (1),

Tak sme zistili, že ak potom

Ide o Cramerove vzorce na riešenie sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

Príklad. Pomocou Cramerových vzorcov vyriešte sústavu rovníc

Pozrime sa teraz na prípad, kedy

Rovnosť (4) možno prepísať takto:

to znamená, že v tomto prípade sú koeficienty neznámych úmerné. Ak okrem toho

potom sú voľné členy úmerné koeficientom neznámych a máme vlastne jednu rovnicu s dvoma neznámymi - umožňuje nekonečné množstvo riešení,

Nakoniec, ak

t.j. ak

potom si rovnice evidentne odporujú a sústava nemá jediné riešenie.

Uvažujme teraz o systéme troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi:

Riešenie tejto sústavy sa nazýva každá taká trojica čísel, pri ktorej nahradení sa všetky tri rovnice zmenia na identity. Vynásobenie prvej rovnice druhou - treťou - hodnotou

a sčítaním ich všetkých dostaneme

(koeficienty pre y a z, ako je ľahké vidieť, sa budú rovnať nule). Ak je teda koeficient x odlišný od nuly, dostaneme

Pozrime sa, ako funguje výraz v menovateli pravej strany rovnosti (6). Ak to chcete urobiť, zvážte štvorcovú tabuľku (maticu tretieho rádu)

Hlavnú uhlopriečku budeme opäť nazývať uhlopriečka smerujúca z ľavého horného rohu tejto matice do pravého dolného a vedľajšiu uhlopriečku uhlopriečku smerujúcu z ľavého dolného rohu do pravého horného rohu.

Menovateľ vo vzorci (6) je algebraický súčet šiestich členov, z ktorých každý je súčinom troch prvkov, z každého riadka a každého stĺpca matice A, a znamienko plus je súčinom prvkov,

patriace k hlavnej uhlopriečke a dva produkty prvkov, ktoré tvoria (rovnoramenné) trojuholníky v matici so základňami rovnobežnými s hlavnou uhlopriečkou (obr. 1, a) a znamienko mínus má súčin prvkov patriacich do vedľajšej uhlopriečky, a dva produkty prvkov tvoriacich trojuholníky so základňami , rovnobežné s bočnou uhlopriečkou (obr. 1, b).

Takýto výraz sa nazýva determinant zložený z matice A (determinant tretieho rádu) a označuje sa takto:

Teda podľa definície

Výraz v čitateli pravej strany vzorca (6) získame z menovateľa, ak každé písmeno a nahradíme písmenom s rovnakým číslom, t.j.

Podobne je možné ukázať, že keď systém (5) implikuje rovnosť

kde je determinant získaný z determinantu nahradením stĺpca stĺpcom voľného

členov. Toto sú Cramerove vzorce pre sústavu troch rovníc s tromi neznámymi.

Príklad. Vyriešte sústavu rovníc pomocou Cramerových vzorcov

teda

Aby ste pochopili, čo je determinant poradia, zvážte znova determinanty druhého a tretieho poriadku:

Vidíme, že determinant je algebraický súčet všetkých možných súčinov jeho prvkov, z každého riadku a každého stĺpca.

Každý takýto produkt sa nazýva člen determinantu. V každom člene determinantu druhého rádu usporiadame faktory v poradí podľa stĺpcov:

a zvážte zodpovedajúce usporiadania (permutácie) dolných indexov (s uvedením čísel riadkov):

V prvom súčine sú tieto indexy usporiadané vzostupne a zodpovedajúci súčin je zahrnutý v determinante so znamienkom plus; v druhom sa hovorí, že tvoria poruchu alebo inverziu 2, 1 a zodpovedajúci člen vstupuje do determinantu so znamienkom mínus.

Determinant tretieho rádu má šesť členov. Ak sú v každom z nich faktory usporiadané v poradí stĺpcov, potom v termínoch so znamienkom plus tvoria dolné indexy permutácie

Uvažujme tri páry indexov 1, 2; 1, 3 a 2, 3 z prvej permutácie 1, 2, 3; čísla každého páru sú usporiadané vzostupne - v tejto permutácii sú nulové inverzie. V druhej permutácii 2, 3, 1 sú tri páry indexov: 2, 3; 2, 1 a 3, 1, z ktorých dve a 3,1 tvoria inverzie. V tretej permutácii 3, 1, 2 - tri páry indexov 3, 1; 1, 2 a 3, 2, z ktorých dva a 3, 2 tvoria inverzie.

Produkty so znamienkom mínus zodpovedajú trom permutáciám indexov

a v prvom, ako je ľahké vidieť, sú tri inverzie:

3, 2; 3, 1 a 2, 1 av druhom a treťom - po jednom; 2, 1 a 3, 2. Znamienko plus teda zahŕňa tie členy, ktoré majú párny počet inverzií v permutácii indexov, a znamienko mínus zahŕňa tie, ktoré majú nepárny počet.

Pre to, čo nasleduje, bude pre nás vhodné zaviesť nové zápisy pre determinanty druhého a tretieho rádu:

kde všetky prvky determinantu sú označené rovnakým písmenom a s dvoma indexmi, z ktorých prvý označuje číslo riadku, v ktorom sa tento prvok vyskytuje, a druhý - číslo zodpovedajúceho stĺpca. (prvky,

Napríklad prvý determinant sa číta takto: jedna je jedna, jedna je dva a dva je jedna a dva sú dva.) Potom

kde znamienko plus je pred tými súčinmi, v ktorých je permutácia párna (t. j. má párny počet inverzií) a znamienko mínus je pred tými, kde je nepárne. Dá sa to napísať aj takto:

kde a je počet inverzií v permutácii prvých indexov (druhé indexy sú usporiadané vo vzostupnom poradí) a súčet sa vzťahuje na všetkých šesť permutácií troch čísel 1, 2, 3.