Nájdenie opaku daného čísla. Recipročné číslo

Obsah:

Na riešenie všetkých typov sú potrebné recipročné čísla algebraické rovnice. Napríklad, ak potrebujete jednu rozdeliť zlomkové číslo k inému, prvé číslo vynásobíte prevráteným číslom druhého. Okrem toho sa pri hľadaní rovnice priamky používajú recipročné čísla.

Kroky

1 Hľadanie prevrátenej hodnoty zlomku alebo celého čísla

1. 1 Nájdite prevrátenú hodnotu zlomku jej obrátením.„Recipročné číslo“ je definované veľmi jednoducho. Na jej výpočet stačí vypočítať hodnotu výrazu "1 ÷ (pôvodné číslo)." Pre zlomkové číslo je prevrátená časť zlomku ďalším zlomkovým číslom, ktoré možno vypočítať jednoducho „obrátením“ zlomku (zámena miesta čitateľa a menovateľa).
   • Napríklad prevrátená hodnota zlomku 3/4 je 4 / 3 .
2. 2 Napíšte prevrátenú hodnotu celého čísla ako zlomok. A v tomto prípade sa recipročné číslo vypočíta ako 1 ÷ (pôvodné číslo). Pre celé číslo napíšte recipročné číslo ako zlomok, nie je potrebné robiť žiadne výpočty a zapíšte ho ako desiatkový.
   • Napríklad prevrátená hodnota 2 je 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Hľadanie prevrátenej hodnoty zmiešaného zlomku

1. 1 Čo sa stalo " zmiešaná frakcia". Zmiešaný zlomok je číslo zapísané ako celé číslo a jednoduchý zlomok, napríklad 2 4 / 5. Hľadanie recipročnej hodnoty zmiešanej frakcie sa uskutočňuje v dvoch krokoch, ktoré sú opísané nižšie.
2. 2 Napíšte zmiešaný zlomok ako nesprávny zlomok. Samozrejme si pamätajte, že jednotku možno zapísať ako (číslo)/(rovnaké číslo) a zlomky s rovnakých menovateľov(číslo pod čiarou) je možné navzájom sčítať. Tu je návod, ako to urobiť pre zlomok 2 4 / 5:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Obráťte zlomok. Keď sa zmiešaný zlomok zapíše ako nesprávny zlomok, prevrátený zlomok ľahko nájdeme tak, že vymeníme čitateľa a menovateľa.
   • Vo vyššie uvedenom príklade by recipročné číslo bolo 14 / 5 - 5 / 14 .

3 Hľadanie prevrátenej hodnoty desatinného zlomku

1. 1 Ak je to možné, uveďte desatinné miesto zlomkom. Musíte vedieť, že veľa desatinných miest sa dá ľahko previesť na zlomky. Napríklad 0,5 = 1/2 a 0,25 = 1/4. Keď napíšete číslo ako jednoduchý zlomok, môžete ľahko nájsť jeho prevrátenú hodnotu jednoduchým prevrátením zlomku.
   • Napríklad prevrátená hodnota 0,5 je 2/1 = 2.
2. 2 Vyriešte problém pomocou delenia. Ak nemôžete zapísať desatinné číslo ako zlomok, vypočítajte prevrátené vyriešením úlohy delením: 1 ÷ (desatinné číslo). Na vyriešenie tohto problému môžete použiť kalkulačku alebo prejsť na ďalší krok, ak chcete hodnotu vypočítať ručne.
   • Napríklad prevrátená hodnota 0,4 sa vypočíta ako 1 ÷ 0,4.
3. 3 Zmeňte výraz tak, aby pracoval s celými číslami. Prvým krokom pri delení desatinnej čiarky je posúvať desatinnú čiarku, kým všetky čísla vo výraze nie sú celé čísla. Pretože posuniete desatinné miesto o rovnaký počet miest v dividende aj v deliteľovi, dostanete správnu odpoveď.
4. 4 Napríklad zoberiete výraz 1 ÷ 0,4 a napíšete ho ako 10 ÷ 4. V tomto prípade ste posunuli desatinné miesto o jedno miesto doprava, čo je rovnaké ako vynásobenie každého čísla desiatimi.
5. 5 Úlohu vyriešte rozdelením čísel do stĺpca. Pomocou dlhého delenia môžete vypočítať recipročné číslo. Ak vydelíte 10 4, mali by ste dostať 2,5, čo je prevrátená hodnota 0,4.

• Hodnota záporného recipročného čísla sa bude rovnať recipročnému číslu vynásobenému -1. Napríklad záporná recipročná hodnota 3/4 je - 4/3.
• Recipročné číslo sa niekedy nazýva "recipročné" alebo "recipročné".
• Číslo 1 je recipročné, pretože 1 ÷ 1 = 1.
• Nula nemá žiadnu recipročnú hodnotu, pretože výraz 1 ÷ 0 nemá žiadne riešenia.

Zavolá sa dvojica čísel, ktorých súčin sa rovná jednej vzájomne inverzné.

Príklady: 5 a 1/5, -6/7 a -7/6 a

Pre každé číslo a, ktoré sa nerovná nule, existuje inverzia 1/a.

Prevrátená hodnota nuly je nekonečno.

Obrátené zlomky- sú to dva zlomky, ktorých súčin sa rovná 1. Napríklad 3/7 a 7/3; 5/8 a 8/5 atď.

pozri tiež

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je „Obrátené číslo“ v iných slovníkoch:

Číslo, ktorého súčin daného čísla sa rovná jednej. Dve takéto čísla sa nazývajú recipročné. Sú to napríklad 5 a 1/5, 2/3 a 3/2 atď... Veľký encyklopedický slovník

recipročné číslo-- [A.S. Goldberg. Anglicko-ruský energetický slovník. 2006] Témy energie vo všeobecnosti EN prevrátené čísloprevrátené číslo ... Technická príručka prekladateľa

Číslo, ktorého súčin daného čísla sa rovná jednej. Dve takéto čísla sa nazývajú recipročné. Sú to napríklad 5 a 1/5, 2/3 a 3/2 atď. * * * REVERSE NUMBER REVERSE NUMBER, číslo, ktorého súčin daného čísla sa rovná ... ... encyklopedický slovník

Číslo, ktorého súčin s daným číslom sa rovná jednej. Dve takéto čísla sa nazývajú recipročné. Sú to napríklad 5 a a, nerovná sa nule, existuje inverzná... Veľká sovietska encyklopédia

Číslo, ktorého súčin daného čísla sa rovná jednej. Volajú sa dve takéto čísla. vzájomne inverzné. Sú to napríklad 5 a 1/5. 2/3 a 3/2 atď... Prírodná veda. encyklopedický slovník

Tento výraz má iné významy, pozri Číslo (významy). Číslo je základný pojem v matematike používaný na kvantifikáciu, porovnávanie a číslovanie objektov. Vznikol v primitívnej spoločnosti z potrieb... ... Wikipedia

Pozri tiež: Číslo (lingvistika) Číslo je abstrakcia používaná na kvantitatívnu charakterizáciu objektov. Po tom, čo v primitívnej spoločnosti vznikol z potrieb počítania, pojem čísla sa zmenil a obohatil a zmenil sa na najdôležitejší matematický... Wikipedia

Spätné vírenie vody pri odvodňovaní je pseudovedecký mýtus založený na nesprávnej aplikácii Coriolisovho efektu na pohyb vody vo vírivke, ku ktorému dochádza pri jej stekaní do odtokového otvoru umývadla alebo vane. Podstatou mýtu je, že voda... ... Wikipedia

IRACIONÁLNE ČÍSLO Číslo, ktoré nemožno vyjadriť zlomkom. Príklady zahŕňajú T2 a p číslo. Preto iracionálne čísla sú čísla s nekonečným počtom (neperiodických) desatinných miest. (Opak však nie je pravdou...... Vedecko-technický encyklopedický slovník

Laplaceova transformácia je integrálna transformácia, ktorá spája funkciu komplexnej premennej (obrazu) s funkciou reálnej premennej (originálu). Používa sa na štúdium vlastností dynamických systémov a diferenciál a ... Wikipedia sú vyriešené

knihy

• Klub šťastných manželiek, Weaver Von. 27 žien z rôznych kútov sveta, navzájom nepoznaných, s rôznymi osudmi. Nemajú nič spoločné, až na jednu vec – v manželstve sú neskutočne šťastní už viac ako 25 rokov, pretože poznajú Tajomstvo...Keď...

Materiál z Wikipédie – voľnej encyklopédie

Obrátené číslo(recipročná hodnota, recipročná hodnota) na dané číslo X je číslo, ktorého násobenie o X, dáva jeden. Prijatý záznam: $\backslash frac(1)x$ alebo $x^(-1)$. Vyvolajú sa dve čísla, ktorých súčin sa rovná jednej vzájomne inverzné. Prevrátená hodnota čísla by sa nemala zamieňať s prevrátenou hodnotou funkcie. Napríklad, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ sa líši od hodnoty funkcie inverznej ku kosínusu - oblúkový kosínus, ktorý sa označuje $\backslash cos^(-1)x$ alebo $\backslash arccos\; x$.

Obráťte sa na skutočné číslo

Formy komplexných čísel	číslo $(z)$	Obrátený $\backslash left\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash right)$
Algebraické	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
Trigonometrické	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Orientačné	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

dôkaz:
Pre algebraické a goniometrické formy používame základnú vlastnosť zlomku, vynásobením čitateľa a menovateľa komplexným konjugátom:

• Algebraický tvar:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Trigonometrický tvar:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Ukážková forma:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Pri hľadaní prevrátenej hodnoty komplexného čísla je teda vhodnejšie použiť jeho exponenciálny tvar.

Príklad:

Formy komplexných čísel	číslo $(z)$	Obrátený $\backslash left\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash right)$
Algebraické	$1+i\backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
Trigonometrické	$2\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ alebo $2\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ alebo $\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$
Orientačné	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Inverzná k imaginárnej jednotke

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Tak dostaneme

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ alebo__ $i^(-1)=-i$

Rovnako pre $-i$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ alebo __ $-i^(-1)=i$

Napíšte recenziu na článok "Obrátené číslo"

Poznámky

pozri tiež

Úryvok charakterizujúci reverzné číslo

Toto hovoria príbehy a to všetko je úplne nespravodlivé, o čom sa ľahko presvedčí každý, kto chce preniknúť do podstaty veci.
Rusi nemohli nájsť lepšiu pozíciu; ale naopak, pri svojom ústupe prešli mnohými pozíciami, ktoré boli lepšie ako Borodino. Na žiadnej z týchto pozícií sa neusadili: jednak preto, že Kutuzov nechcel prijať pozíciu, ktorú si nevybral, jednak preto, že požiadavka na ľudovú bitku ešte nebola dostatočne dôrazne vyjadrená, a preto, že Miloradovič sa ešte nepriblížil. s milíciou, a tiež z iných dôvodov, ktoré sú nespočetné. Faktom je, že predchádzajúce pozície boli silnejšie a že pozícia Borodino (tá, na ktorej sa bojovalo) nielenže nie je silná, ale z nejakého dôvodu nie je vôbec pozícia lepšia ako ktorákoľvek iná pozícia v Ruská ríša, čo by pri hádaní bolo označené špendlíkom na mape.
Rusi nielenže neupevnili postavenie poľa Borodino vľavo v pravom uhle od cesty (teda miesta, kde sa bitka odohrala), ale nikdy pred 25. augustom 1812 si nemysleli, že bitka môže trvať miesto na tomto mieste. Svedčí o tom po prvé to, že nielen 25. dňa na tomto mieste nebolo opevnenie, ale že počnúc 25. dňom nebolo dokončené ani 26.; po druhé, dôkazom je postavenie Ševardinského pevnôstky: Ševardinského pevnôstka pred postavením, na ktorom bola bitka rozhodnutá, nedáva žiaden zmysel. Prečo bola táto opevnená pevnosť silnejšia ako všetky ostatné body? A prečo pri jej obrane 24. až do neskorej noci bolo všetko úsilie vyčerpané a šesťtisíc ľudí bolo stratených? Na pozorovanie nepriateľa stačila kozácka hliadka. Po tretie, dôkazom toho, že pozícia, v ktorej sa bitka odohrala, nebola predvídaná a že Shevardinsky reduta nebola predným bodom tejto pozície, je skutočnosť, že Barclay de Tolly a Bagration boli až do 25. júna presvedčení, že Shevardinsky reduta bola ľavým bokom. pozície a že sám Kutuzov vo svojej správe, napísanej v horúčave po bitke, označuje Ševardinského pevnôstku za ľavé krídlo pozície. Oveľa neskôr, keď sa verejne písali správy o bitke pri Borodine, bolo to (pravdepodobne na ospravedlnenie chýb hlavného veliteľa, ktorý musel byť neomylný), že bolo vynájdené nespravodlivé a podivné svedectvo o tom, že Shevardinského reduta slúžil ako predsunutý post (pričom išlo len o opevnený hrot ľavého krídla) a akoby bitka pri Borodine bol nami prijatý v opevnenom a vopred zvolenom postavení, pričom sa tak stalo na úplne nečakanom a takmer neopevnenom mieste.
Pointa bola, samozrejme, toto: poloha bola vybraná pozdĺž rieky Koloche, ktorá pretína hlavnú cestu nie priamo, ale pod ostrý uhol, teda ľavé krídlo bolo v Shevardine, pravé pri obci Novy a centrum v Borodine, na sútoku riek Kolocha a Voina. Táto pozícia, pod krytom rieky Kolocha, pre armádu, ktorej cieľom je zastaviť nepriateľa pohybujúceho sa po Smolenskej ceste do Moskvy, je zrejmá každému, kto sa pozrie na pole Borodino a zabudne, ako sa bitka odohrala.
Napoleon, ktorý šiel do Valueva 24. júna, nevidel (ako sa hovorí v príbehoch) pozíciu Rusov od Utitsy po Borodin (nevidel túto pozíciu, pretože neexistovala) a nevidel dopredu. post ruskej armády, ale narazil na ruský zadný voj pri prenasledovaní na ľavé krídlo ruského postavenia, do pevnôstky Ševardinského a pre Rusov nečakane presunul jednotky cez Kolochu. A Rusi, ktorí nemali čas zapojiť sa do všeobecnej bitky, ustúpili ľavým krídlom z pozície, ktorú zamýšľali obsadiť, a zaujali novú pozíciu, ktorá nebola predvídaná a nebola opevnená. Tým, že pôjdete do ľavá strana Kolochi, naľavo od cesty, Napoleon presunul celú budúcu bitku sprava doľava (z ruskej strany) a preniesol ju na pole medzi Utitsou, Semenovským a Borodinom (na toto pole, ktoré nemá pre postavenie nič výhodnejšie než ktorékoľvek iné pole v Rusku) a na tomto poli sa celá bitka odohrala 26. V hrubej forme bude plán navrhovanej bitky a bitky, ktorá sa odohrala, nasledovný:

Keby Napoleon neodišiel 24. večer do Kolochy a hneď večer nenariadil zaútočiť na redutu, ale na druhý deň ráno podnikol útok, potom by nikto nepochyboval, že Ševardinského reduta bola ľavý bok našej pozície; a bitka sa odohrala tak, ako sme očakávali. V tomto prípade by sme zrejme ešte tvrdohlavejšie bránili Shevardinského redutu, naše ľavé krídlo; Napoleon by bol napadnutý v strede alebo napravo a 24. dňa by sa na mieste, ktoré bolo opevnené a predpokladané, odohrala všeobecná bitka. Ale keďže k útoku na naše ľavé krídlo došlo večer, po ústupe nášho zadného voja, teda hneď po bitke pri Gridneve, a keďže ruskí vojenskí vodcovia nechceli alebo nemali čas začať všeobecnú bitku v ten istý večer 24., Borodinského prvá a hlavná akcia Bitka bola prehraná 24. a, samozrejme, viedla k strate bitky, ktorá sa odohrala 26. dňa.
Po strate Ševardinského pevnôstky sme sa 25. rána ocitli bez pozície na ľavom krídle a boli nútení zohnúť ľavé krídlo a narýchlo ho kdekoľvek posilniť.
No nielenže ruské vojská stáli 26. augusta len pod ochranou slabých, nedokončených opevnení, ale nevýhodu tejto situácie zväčšoval fakt, že ruskí vojenskí vodcovia neuznali úplne uskutočnenú skutočnosť (stratu pozícií na ľavé krídlo a presun celého budúceho bojiska sprava doľava), zostali vo svojej vysunutej polohe z dediny Novy do Utitsa a v dôsledku toho museli svoje jednotky počas bitky presunúť sprava doľava. Rusi tak mali počas celej bitky dvakrát slabšie sily proti celej francúzskej armáde nasmerovanej na naše ľavé krídlo. (Akcie Poniatowského proti Utitsovi a Uvarovovi na francúzskom pravom krídle boli akcie oddelené od priebehu bitky.)
Bitka pri Borodine sa teda vôbec nestala tak, ako ju opisujú (snažili sa skryť chyby našich vojenských vodcov a v dôsledku toho znížili slávu ruskej armády a ľudu). Bitka pri Borodine sa neodohrala na vybranom a opevnenom postavení so silami, ktoré boli zo strany Rusov o niečo slabšie, ale bitku pri Borodine, kvôli strate Ševardinského reduty, prijali Rusi otvorene. , takmer neopevnená oblasť so silami dvakrát slabšími proti Francúzom, teda v takých podmienkach, v ktorých bolo nielen nemysliteľné bojovať desať hodín a urobiť bitku nerozhodnou, ale bolo nemysliteľné udržať armádu pred úplnou porážkou a útekom. na tri hodiny.

25. ráno Pierre opustil Mozhaisk. Pri zostupe z obrovskej strmej a krivej hory vedúcej von z mesta, popri katedrále stojacej na hore vpravo, v ktorej prebiehala bohoslužba a kázalo sa evanjelium, Pierre vystúpil z koča a išiel ďalej. chodidlo. Za ním klesal na horu nejaký jazdecký pluk so spevákmi vpredu. Smerom k nemu stúpal vlak vozíkov so zranenými vo včerajšom prípade. Sedliacki poháňači, kričali na kone a bičovali ich, pobehovali z jednej strany na druhú. Vozíky, na ktorých ležali a sedeli traja alebo štyria zranení vojaci, preskakovali kamene pohodené v podobe chodníka na strmom svahu. Ranení, zviazaní handrami, bledí, so zovretými perami a zamračeným obočím, držiac sa postelí, skákali a tlačili do vozíkov. Všetci hľadeli na Pierrov biely klobúk a zelený frak s takmer naivnou detskou zvedavosťou.

Uveďme definíciu a uveďme príklady recipročných čísel. Pozrime sa, ako nájsť prevrátenú hodnotu prirodzeného čísla a prevrátenú hodnotu bežného zlomku. Okrem toho zapíšeme a dokážeme nerovnosť, ktorá odráža vlastnosť súčtu recipročných čísel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Recipročné čísla. Definícia

Definícia. Recipročné čísla

Recipročné čísla sú čísla, ktorých súčin sa rovná jednej.

Ak a · b = 1, potom môžeme povedať, že číslo a je prevrátené k číslu b, rovnako ako číslo b je prevrátené k číslu a.

Najjednoduchším príkladom recipročných čísel sú dve jednotky. 1 · 1 = 1, preto a = 1 a b = 1 sú vzájomne inverzné čísla. Ďalším príkladom sú čísla 3 a 1 3, - 2 3 a - 3 2, 6 13 a 13 6, log 3 17 a log 17 3. Súčin akejkoľvek dvojice vyššie uvedených čísel sa rovná jednej. Ak táto podmienka nie je splnená, ako napríklad pri číslach 2 a 2 3, potom čísla nie sú vzájomne inverzné.

Definícia recipročných čísel platí pre akékoľvek číslo – prirodzené, celé, reálne aj komplexné.

Ako nájsť prevrátenú hodnotu daného čísla

Zoberme si všeobecný prípad. Ak sa pôvodné číslo rovná a, potom sa jeho inverzné číslo zapíše ako 1 a alebo a - 1. Skutočne, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Pre prirodzené čísla a obyčajné zlomky nájsť recipročné číslo je celkom jednoduché. Dalo by sa dokonca povedať, že je to zrejmé. Ak nájdete číslo, ktoré je inverzné k iracionálnemu alebo komplexnému číslu, budete musieť urobiť sériu výpočtov.

Uvažujme o najbežnejších prípadoch nájdenia recipročného čísla v praxi.

Prevrátená časť spoločného zlomku

Je zrejmé, že prevrátená hodnota spoločného zlomku ab je zlomkom b a. Ak teda chcete nájsť prevrátenú hodnotu zlomku, musíte zlomok jednoducho prevrátiť. To znamená, že prehoďte čitateľa a menovateľa.

Podľa tohto pravidla môžete takmer okamžite napísať prevrátenú hodnotu akéhokoľvek obyčajného zlomku. Takže pre zlomok 28 57 bude recipročné číslo zlomok 57 28 a pre zlomok 789 256 - číslo 256 789.

Prevrátená hodnota prirodzeného čísla

Inverziu akéhokoľvek prirodzeného čísla môžete nájsť rovnakým spôsobom ako nájsť inverznú hodnotu zlomku. Prirodzené číslo a stačí znázorniť v tvare obyčajného zlomku a 1. Potom jeho inverzné číslo bude číslo 1 a. Pre prirodzené číslo 3 je jeho prevrátená zlomok 1 3, pre číslo 666 je prevrátená 1 666 atď.

Osobitná pozornosť by sa mala venovať jednému, pretože je to jediné číslo, ktorého recipročné číslo sa rovná samému sebe.

Neexistujú žiadne iné dvojice recipročných čísel, kde sú obe zložky rovnaké.

Prevrátená hodnota zmiešaného čísla

Zmiešané číslo vyzerá ako a b c. Ak chcete nájsť jeho inverzné číslo, musíte zmiešané číslo reprezentovať ako nesprávny zlomok a potom vybrať inverzné číslo pre výsledný zlomok.

Napríklad nájdime recipročné číslo pre 7 2 5. Najprv si predstavme 7 2 5 ako nevlastný zlomok: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

Pre nesprávny zlomok 37 5 je prevrátená hodnota 5 37.

Prevrátené na desatinné miesto

Desatinné číslo môže byť vyjadrené aj ako zlomok. Nájdenie prevrátenej hodnoty desatinného čísla spočíva v reprezentácii desatinného čísla ako zlomku a nájdení jeho prevrátenej hodnoty.

Napríklad existuje zlomok 5, 128. Nájdite jeho prevrátené číslo. Najprv preveďte desatinný zlomok na obyčajný zlomok: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Pre výsledný zlomok bude recipročné číslo zlomok 125 641.

Pozrime sa na ďalší príklad.

Príklad. Hľadanie prevrátenej desatinnej čiarky

Nájdite prevrátené číslo pre periodický desatinný zlomok 2, (18).

Prevod desatinného zlomku na obyčajný zlomok:

2, 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Po preklade môžeme ľahko napísať prevrátené číslo pre zlomok 24 11. Toto číslo bude zrejme 11 24.

Pre nekonečný a neperiodický desatinný zlomok sa prevrátené číslo zapisuje ako zlomok s jednotkou v čitateli a samotný zlomok v menovateli. Napríklad pre nekonečný zlomok 3 6025635789. . . recipročné číslo bude 1 3, 6025635789. . . .

Podobne pre iracionálne čísla zodpovedajúce neperiodickým nekonečným zlomkom sa recipročné čísla zapisujú vo forme zlomkových výrazov.

Napríklad prevrátená hodnota pre π + 3 3 80 bude 80 π + 3 3 a pre číslo 8 + e 2 + e prevrátená hodnota bude zlomok 1 8 + e 2 + e.

Recipročné čísla s koreňmi

Ak je typ dvoch čísel odlišný od a a 1 a, potom nie je vždy ľahké určiť, či sú čísla recipročné. To platí najmä pre čísla, ktoré majú vo svojom zápise znamienko koreňa, pretože je zvyčajne zvykom zbaviť sa koreňa v menovateli.

Obráťme sa na prax.

Odpovedzme na otázku: sú čísla 4 - 2 3 a 1 + 3 2 vzájomné?

Aby sme zistili, či sú čísla recipročné, spočítajme si ich súčin.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Súčin sa rovná jednej, čo znamená, že čísla sú recipročné.

Pozrime sa na ďalší príklad.

Príklad. Recipročné čísla s koreňmi

Zapíšte si prevrátenú hodnotu 5 3 + 1.

Okamžite môžeme napísať, že recipročné číslo sa rovná zlomku 1 5 3 + 1. Ako sme však už povedali, je zvykom zbaviť sa koreňa v menovateli. Ak to chcete urobiť, vynásobte čitateľa a menovateľa číslom 25 3 - 5 3 + 1. Dostaneme:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Recipročné čísla s mocninami

Povedzme, že existuje číslo rovné nejakej mocnine čísla a. Inými slovami, číslo a umocnené na n. Prevrátená hodnota čísla a n je číslo a - n . Poďme si to overiť. Skutočne: a n · a - n = a n 1 · 1 a n = 1 .

Príklad. Recipročné čísla s mocninami

Nájdite prevrátené číslo pre 5 - 3 + 4.

Podľa toho, čo bolo napísané vyššie, požadovaný počet je 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Recipročné čísla s logaritmami

Pre logaritmus čísla k základu b je inverzná hodnota číslo rovné logaritmu čísla b k základu a.

log a b a log b a sú vzájomne inverzné čísla.

Poďme si to overiť. Z vlastností logaritmu vyplýva, že log a b = 1 log b a, čo znamená log a b · log b a.

Príklad. Recipročné čísla s logaritmami

Nájdite prevrátenú hodnotu logaritmu 3 5 - 2 3 .

Prevrátená hodnota logaritmu 3 k základu 3 5 - 2 je logaritmus 3 5 - 2 k základu 3.

Inverzia komplexného čísla

Ako už bolo uvedené, definícia recipročných čísel platí nielen pre reálne čísla, ale aj pre zložité.

Komplexné čísla sú zvyčajne reprezentované v algebraickom tvare z = x + i y. Prevrátená hodnota daného čísla je zlomok

1 x + i y . Pre pohodlie môžete tento výraz skrátiť vynásobením čitateľa a menovateľa x - i y.

Príklad. Inverzia komplexného čísla

Nech existuje komplexné číslo z = 4 + i. Poďme nájsť jeho opak.

Prevrátená hodnota z = 4 + i sa bude rovnať 1 4 + i.

Vynásobte čitateľa a menovateľa číslom 4 - i a dostanete:

1 4 + i = 4 - i 4 + i 4 - i = 4 - i 4 2 - i 2 = 4 - i 16 - (- 1) = 4 - i 17 .

Okrem algebraickej formy môže byť komplexné číslo reprezentované v trigonometrickej alebo exponenciálnej forme takto:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

Podľa toho bude inverzné číslo vyzerať takto:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Presvedčime sa o tom:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e i φ 1 r e i (- φ) = r r e 0 = 1

Uvažujme príklady so zobrazením komplexných čísel v goniometrickom a exponenciálnom tvare.

Nájdite prevrátené číslo pre 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Vzhľadom na to, že r = 2 3, φ = π 6, zapíšeme prevrátené číslo

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Príklad. Nájdite prevrátenú hodnotu komplexného čísla

Aké číslo bude prevrátené z 2 · e i · - 2 π 5 .

Odpoveď: 1 2 e i 2 π 5

Súčet recipročných čísel. Nerovnosť

Existuje veta o súčte dvoch vzájomne inverzných čísel.

Súčet recipročných čísel

Súčet dvoch kladných a recipročných čísel je vždy väčší alebo rovný 2.

Dajme dôkaz vety. Ako je známe, pre akékoľvek kladné čísla a a b je aritmetický priemer väčší alebo rovný geometrickému priemeru. Dá sa to zapísať ako nerovnosť:

a + b 2 ≥ a b

Ak namiesto čísla b vezmeme prevrátenú hodnotu a, nerovnosť bude mať tvar:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Uveďme praktický príklad ilustrujúci túto vlastnosť.

Príklad. Nájdite súčet recipročných čísel

Vypočítajme súčet čísel 2 3 a jeho prevrátenú hodnotu.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Ako hovorí veta, výsledné číslo je väčšie ako dva.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Recipročné - alebo vzájomne recipročné - čísla sú dvojice čísel, ktoré po vynásobení dávajú 1. V skutočnosti všeobecný pohľad recipročné sú čísla. Charakteristickým špeciálnym prípadom recipročných čísel je pár. Inverzné sú, povedzme, čísla; .

Ako nájsť prevrátenú hodnotu čísla

Pravidlo: musíte vydeliť 1 (jedna) daným číslom.

Príklad č.1.

Je dané číslo 8. Jeho inverzný pomer je 1:8 alebo (druhá možnosť je vhodnejšia, pretože tento zápis je matematicky správnejší).

Pri hľadaní prevráteného čísla pre bežný zlomok nie je delenie číslom 1 príliš pohodlné, pretože nahrávanie je ťažkopádne. V tomto prípade je oveľa jednoduchšie robiť veci inak: zlomok sa jednoducho otočí a vymení sa čitateľ a menovateľ. Ak je daný vlastný zlomok, tak po jeho prevrátení je výsledný zlomok nevlastný, t.j. taký, z ktorého možno izolovať celú časť. O tom, či tak urobiť alebo nie, sa musí rozhodnúť od prípadu k prípadu. Takže, ak potom musíte vykonať nejaké akcie s výsledným prevráteným zlomkom (napríklad násobenie alebo delenie), nemali by ste vybrať celú časť. Ak je výsledný zlomok konečným výsledkom, potom je možno žiaduce izolovať celú časť.

Príklad č.2.

Daný zlomok. Obráťte sa na to: .

Ak potrebujete nájsť prevrátenú hodnotu desatinného zlomku, mali by ste použiť prvé pravidlo (delenie 1 číslom). V tejto situácii môžete konať jedným z 2 spôsobov. Prvým je jednoducho rozdeliť 1 týmto číslom do stĺpca. Druhým je vytvoriť zlomok z 1 v čitateli a desatinného miesta v menovateli a potom vynásobiť čitateľa a menovateľa číslom 10, 100 alebo iným číslom pozostávajúcim z 1 a takého počtu núl, koľko je potrebné na odstránenie desatinná čiarka v menovateli. Výsledkom bude obyčajný zlomok, ktorý je výsledkom. V prípade potreby ho možno budete musieť skrátiť, vybrať z neho celú časť alebo previesť do desatinnej podoby.

Príklad č.3.

Uvedené číslo je 0,82. Recipročné číslo je: . Teraz zlomok zmenšíme a vyberieme celú časť: .

Ako skontrolovať, či sú dve čísla recipročné

Princíp overovania je založený na určovaní recipročných čísel. To znamená, že aby ste sa uistili, že čísla sú navzájom recipročné, musíte ich vynásobiť. Ak je výsledok jedna, potom sú čísla vzájomne inverzné.

Príklad č.4.

Vzhľadom na čísla 0,125 a 8. Sú vzájomné?

Vyšetrenie. Je potrebné nájsť súčin 0,125 a 8. Pre názornosť uveďme tieto čísla vo forme obyčajných zlomkov: (1. zlomok znížte o 125). Záver: čísla 0,125 a 8 sú recipročné.

Vlastnosti recipročných čísel

Nehnuteľnosť č.1

Recipročná hodnota existuje pre akékoľvek číslo okrem 0.

Toto obmedzenie je spôsobené tým, že nemôžete deliť 0 a pri určení prevráteného čísla pre nulu sa bude musieť presunúť do menovateľa, t.j. vlastne rozdeliť tým.

Nehnuteľnosť č.2

Súčet dvojice recipročných čísel nie je vždy menší ako 2.

Matematicky možno túto vlastnosť vyjadriť nerovnicou: .

Nehnuteľnosť č.3

Násobenie čísla dvoma recipročnými číslami je ekvivalentné násobeniu jedným. Vyjadrime túto vlastnosť matematicky: .

Príklad č.5.

Nájdite hodnotu výrazu: 3,4·0,125·8. Keďže čísla 0,125 a 8 sú recipročné (pozri príklad č. 4), nie je potrebné násobiť 3,4 0,125 a potom 8. Takže odpoveď tu bude 3.4.