Reducijska tabela za trigonometrične funkcije. Sinus (sin x) in kosinus (cos x) – lastnosti, grafi, formule

Trigonometrija Redukcijske formule.

Formul zmanjševanja ni treba učiti; treba jih je razumeti. Razumeti algoritem za njihovo izpeljavo. Je zelo enostavno!

Vzemimo enotski krog in nanj položimo vse stopinjske mere (0°; 90°; 180°; 270°; 360°).

Analizirajmo funkciji sin(a) in cos(a) v vsaki četrtini.

Ne pozabite, da gledamo funkcijo sin(a) vzdolž osi Y in funkcijo cos(a) vzdolž osi X.

V prvem četrtletju je jasno, da funkcija sin(a)>0
In funkcija cos(a)>0
Prvo četrtino lahko opišemo s stopinjami, na primer (90-α) ali (360+α).

V drugem četrtletju je jasno, da funkcija sin(a)>0, ker je os Y v tem četrtletju pozitivna.
Funkcija cos(a), ker je os X v tem kvadrantu negativna.
Drugo četrtino lahko opišemo s stopinjami, na primer (90+α) ali (180-α).

V tretjem četrtletju je jasno, da funkcije greh(a) Tretjo četrtino lahko opišemo s stopinjami, na primer (180+α) ali (270-α).

V četrtem četrtletju je jasno, da funkcija sin(a), ker je os Y v tej četrtini negativna.
Funkcija cos(a)>0, ker je os X v tem četrtletju pozitivna.
Četrto četrtino lahko opišemo s stopinjami, na primer (270+α) ali (360-α).

Zdaj pa si poglejmo same formule redukcije.

Spomnimo se preprostega algoritem:
1. četrtina.(Vedno glejte, v kateri četrti ste).
2. Podpis.(Glede četrtletja glej pozitivno oz negativne funkcije kosinus ali sinus).
3. Če imate (90° ali π/2) in (270° ali 3π/2) v oklepajih, potem funkcijske spremembe.

In tako bomo začeli analizirati ta algoritem po četrtletjih.

Ugotovite, čemu bo enak izraz cos(90-α).
Razmišljamo po algoritmu:
1. Četrtina ena.


Volja cos(90-α) = sin(α)

Ugotovite, čemu bo enak izraz sin(90-α).
Razmišljamo po algoritmu:
1. Četrtina ena.


Volja sin(90-α) = cos(α)

Ugotovi, čemu bo enak izraz cos(360+α).
Razmišljamo po algoritmu:
1. Četrtina ena.
2. V prvi četrtini je predznak kosinusne funkcije pozitiven.

Volja cos(360+α) = cos(α)

Ugotovi, čemu bo enak izraz sin(360+α).
Razmišljamo po algoritmu:
1. Četrtina ena.
2. V prvi četrtini je predznak sinusne funkcije pozitiven.
3. V oklepajih ni (90° ali π/2) in (270° ali 3π/2), potem se funkcija ne spremeni.
Volja sin(360+α) = sin(α)

Ugotovi, čemu bo enak izraz cos(90+α).
Razmišljamo po algoritmu:
1. Četrtina dve.

3. V oklepaju je (90° ali π/2), potem se funkcija spremeni iz kosinusa v sinus.
Volja cos(90+α) = -sin(α)

Ugotovi, čemu bo enak izraz sin(90+α).
Razmišljamo po algoritmu:
1. Četrtina dve.

3. V oklepaju je (90° ali π/2), potem se funkcija spremeni iz sinusa v kosinus.
Volja sin(90+α) = cos(α)

Ugotovite, čemu bo enak izraz cos(180-α).
Razmišljamo po algoritmu:
1. Četrtina dve.
2. V drugi četrtini je predznak kosinusne funkcije negativen.
3. V oklepajih ni (90° ali π/2) in (270° ali 3π/2), potem se funkcija ne spremeni.
Volja cos(180-α) = cos(α)

Ugotovi, čemu bo enak izraz sin(180-α).
Razmišljamo po algoritmu:
1. Četrtina dve.
2. V drugi četrtini je predznak sinusne funkcije pozitiven.
3. V oklepajih ni (90° ali π/2) in (270° ali 3π/2), potem se funkcija ne spremeni.
Volja sin(180-α) = sin(α)

Govorim o tretji in četrti četrtini, ustvarimo tabelo na podoben način:

Naročite se na kanal na YOUTUBE in si oglejte video, z nami se pripravite na izpite iz matematike in geometrije.

Lekcija in predstavitev na temo: "Uporaba redukcijskih formul pri reševanju problemov"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja. Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 10. razred
1C: Šola. Interaktivne konstrukcijske naloge za 7.-10
1C: Šola. Rešujemo naloge iz geometrije. Interaktivne naloge o gradnji v prostoru za 10.–11

Kaj bomo študirali:
1. Malo ponovimo.
2. Pravila za redukcijske formule.
3. Pretvorbena tabela za redukcijske formule.
4. Primeri.

Pregled trigonometričnih funkcij

Fantje, naleteli ste že na formule duhov, a jih še niste tako poimenovali. Kaj misliš: kje?

Oglejte si naše risbe. Pravilno, ko so bile uvedene definicije trigonometričnih funkcij.

Pravilo za redukcijske formule

Predstavimo osnovno pravilo: Če je pod znakom trigonometrične funkcije število oblike π×n/2 + t, kjer je n poljubno celo število, potem lahko našo trigonometrično funkcijo reduciramo na več preprost pogled, ki bo vseboval le argument t. Take formule imenujemo formule duhov.

Spomnimo se nekaj formul:

• sin(t + 2π*k) = sin(t)
• cos(t + 2π*k) = cos(t)
• sin(t + π) = -sin(t)
• cos(t + π) = -cos(t)
• sin(t + π/2) = cos(t)
• cos(t + π/2) = -sin(t)
• tan(t + π*k) = tan(x)
• ctg(t + π*k) = ctg(x)

obstaja veliko formul duhov, naredimo pravilo, po katerem bomo določili naše trigonometrične funkcije pri uporabi formule duhov:

• Če znak trigonometrične funkcije vsebuje številke v obliki: π + t, π - t, 2π + t in 2π - t, potem se funkcija ne bo spremenila, kar pomeni, da bo na primer sinus ostal sinus, kotangens bo ostal kotangens.
• Če znak trigonometrične funkcije vsebuje števila v obliki: π/2 + t, π/2 - t,
  3π/2 + t in 3π/2 - t, potem se bo funkcija spremenila v sorodno, to pomeni, da bo sinus postal kosinus, kotangens bo postal tangens.
• Pred nastalo funkcijo morate postaviti znak, ki bi ga imela transformirana funkcija pod pogojem 0

Ta pravila veljajo tudi, če je argument funkcije podan v stopinjah!

Ustvarimo lahko tudi tabelo transformacij trigonometričnih funkcij:

Primeri uporabe redukcijskih formul

1. Transformirajte cos(π + t). Ime funkcije ostane, tj. dobimo cos(t). Predpostavimo nadalje, da je π/2

2. Transformiraj sin(π/2 + t). Spremeni se ime funkcije, tj. dobimo cos(t). Nato predpostavimo, da je 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Transformiraj tg(π + t). Ime funkcije ostane, tj. dobimo tan(t). Predpostavimo še, da je 0

4. Transformirajte ctg(270 0 + t). Ime funkcije se spremeni, to pomeni, da dobimo tg(t). Predpostavimo še, da je 0

Naloge z redukcijskimi formulami za samostojno rešitev

Fantje, pretvorite ga sami z našimi pravili:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) posteljica (π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Redukcijske formule so razmerja, ki vam omogočajo prehod od sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa s koti `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` na iste funkcije kota `\alpha`, ki se nahaja v prvi četrtini enotskega kroga. Tako nas redukcijske formule »pripeljejo« do dela s koti v območju od 0 do 90 stopinj, kar je zelo priročno.

Vseh skupaj je 32 formul redukcije. Nedvomno vam bodo prišli prav med enotnim državnim izpitom, izpiti in testi. A naj vas takoj opozorimo, da se jih ni treba učiti na pamet! Morate porabiti malo časa in razumeti algoritem za njihovo uporabo, potem vam ne bo težko izpeljati potrebne enakosti ob pravem času.

Najprej zapišimo vse formule redukcije:

Za kot (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ali (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Za kot (`\pi \pm \alpha`) ali (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Za kot (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ali (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Za kot ('2\pi \pm \alpha`) ali ('360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Pogosto lahko najdete formule redukcije v obliki tabele, kjer so koti zapisani v radianih:

Če ga želite uporabiti, morate izbrati vrstico s funkcijo, ki jo potrebujemo, in stolpec z potreben argument. Če želite na primer s tabelo ugotoviti, čemu bo enako ` sin(\pi + \alpha)`, je dovolj, da poiščete odgovor na presečišču vrstice ` sin \beta` in stolpca ` \pi + \alfa`. Dobimo ` sin (\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

In druga podobna tabela, kjer so koti zapisani v stopinjah:

Mnemotehnično pravilo za redukcijske formule ali kako si jih zapomniti

Kot smo že omenili, si vseh zgornjih odnosov ni treba zapomniti. Če ste jih natančno pogledali, ste verjetno opazili nekaj vzorcev. Omogočajo nam oblikovanje mnemotehničnega pravila (mnemonika – zapomni si), s pomočjo katerega zlahka dobimo poljubno redukcijsko formulo.

Naj takoj opozorimo, da morate za uporabo tega pravila dobro prepoznati (ali si zapomniti) znake trigonometričnih funkcij v različnih četrtinah enotskega kroga.
Samo cepivo vsebuje 3 stopnje:

1. 1. Argument funkcije mora biti predstavljen kot `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha` in `\alpha` je obvezen oster kot(od 0 do 90 stopinj).
   2. Za argumente `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` se trigonometrična funkcija transformiranega izraza spremeni v kofunkcijo, to je nasprotno (sinus na kosinus, tangens na kotangens in obratno). Za argumente `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` se funkcija ne spremeni.
   3. Predznak prvotne funkcije je določen. Dobljena funkcija na desni strani bo imela enak predznak.

Da bi videli, kako lahko to pravilo uporabimo v praksi, transformirajmo več izrazov:

1. `cos(\pi + \alpha)`.

Funkcija ni obrnjena. Kot `\pi + \alpha` je v tretji četrtini, kosinus v tej četrtini ima predznak »-«, zato bo tudi transformirana funkcija imela predznak »-«.

Odgovor: `cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.

Po mnemoničnem pravilu bo funkcija obrnjena. Kot `\frac (3\pi)2 - \alpha` je v tretji četrtini, sinus ima tukaj predznak »-«, zato bo tudi rezultat imel predznak »-«.

Odgovor: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alfa))`. Predstavimo `3\pi` kot `2\pi+\pi`. `2\pi` je perioda funkcije.

Pomembno: Funkciji `cos \alpha` in `sin \alpha` imata periodo `2\pi` ali `360^\circ`, njuni vrednosti se ne spremenita, če se argument poveča ali zmanjša za ti vrednosti.

Na podlagi tega lahko naš izraz zapišemo takole: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Če dvakrat uporabimo mnemonično pravilo, dobimo: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Odgovor: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

Konjsko pravilo

Druga točka zgoraj opisanega mnemoničnega pravila se imenuje tudi konjsko pravilo redukcijskih formul. Zanima me zakaj konji?

Torej imamo funkcije z argumenti `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, ključne so točke `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi`, ki se nahajajo na koordinatnih oseh. `\pi` in `2\pi` sta na vodoravni x-osi, `\frac (\pi)2` in `\frac (3\pi)2` pa na navpični ordinati.

Postavljamo si vprašanje: Ali se funkcija spremeni v kofunkcijo? Če želite odgovoriti na to vprašanje, morate premakniti glavo vzdolž osi, na kateri se nahaja ključna točka.

To pomeni, da za argumente s ključnimi točkami, ki se nahajajo na vodoravni osi, odgovorimo z "ne" tako, da stresemo glavo vstran. In za vogale s ključnimi točkami, ki se nahajajo na navpični osi, odgovorimo z "da", tako da pokimamo z glavo od zgoraj navzdol, kot konj :)

Priporočamo ogled video vadnice, v kateri avtor podrobno razloži, kako si zapomniti redukcijske formule, ne da bi si jih zapomnili.

Praktični primeri uporabe redukcijskih formul

Uporaba redukcijskih formul se začne v 9. in 10. razredu. Številne težave z njihovo uporabo so bile predložene Enotnemu državnemu izpitu. Tukaj je nekaj težav, pri katerih boste morali uporabiti te formule:

• naloge za reševanje pravokotnega trikotnika;
• pretvorba številskih in abecednih trigonometričnih izrazov, izračun njihovih vrednosti;
• stereometrične naloge.

Primer 1. Izračunajte z redukcijskimi formulami a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Rešitev: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Primer 2. Ko izrazimo kosinus skozi sinus z redukcijskimi formulami, primerjamo številki: 1) `sin \frac (9\pi)8` in `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` in `cos \frac (3\pi)10`.

Rešitev: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Najprej dokažimo dve formuli za sinus in kosinus argumenta `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` in ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Ostali izhajajo iz njih.

Vzemimo enotski krog in na njem točko A s koordinatami (1,0). Naj po obračanju na kotom `\alpha` bo šel v točko `A_1(x, y)` in po zasuku za kot `\frac (\pi)2 + \alpha` v točko `A_2(-y, x)`. Če spustimo navpičnici iz teh točk na premico OX, vidimo, da sta trikotnika `OA_1H_1` in `OA_2H_2` enaka, saj so njuni hipotenuzi in sosednji koti enaki. Nato lahko na podlagi definicij sinusa in kosinusa zapišemo `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Kje lahko zapišemo, da ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` in ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, kar dokazuje redukcijo formule za sinusne in kosinusne kote `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Iz definicije tangensa in kotangensa dobimo ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` in ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, kar dokazuje redukcijske formule za tangens in kotangens kota `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Če želite dokazati formule z argumentom `\frac (\pi)2 - \alpha`, je dovolj, da ga predstavite kot `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` in sledite isti poti kot zgoraj. Na primer, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Kota `\pi + \alpha` in `\pi - \alpha` lahko predstavimo kot `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` in `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` oz.

In `\frac (3\pi)2 + \alpha` in `\frac (3\pi)2 - \alpha` kot `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` in `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

Obstajata dve pravili za uporabo redukcijskih formul.

1. Če lahko kot predstavimo kot (π/2 ±a) ali (3*π/2 ±a), potem spremembe imena funkcije sin v cos, cos v sin, tg v ctg, ctg v tg. Če lahko kot predstavimo v obliki (π ±a) ali (2*π ±a), potem Ime funkcije ostane nespremenjeno.

Poglejte spodnjo sliko, shematično prikazuje, kdaj je treba znak spremeniti in kdaj ne.

2. Pravilo »kakršen si bil, takšen ostani«.

Predznak zmanjšane funkcije ostane enak. Če je imela prvotna funkcija znak plus, ima tudi zmanjšana funkcija znak plus. Če je imela prvotna funkcija predznak minus, ima tudi zmanjšana funkcija predznak minus.

Spodnja slika prikazuje predznake osnovnih trigonometričnih funkcij glede na četrtino.

Izračunajte greh (150˚)

Uporabimo redukcijske formule:

Sin(150˚) je v drugi četrtini, iz slike vidimo, da je predznak sin v tej četrtini enak +. To pomeni, da bo dana funkcija imela tudi znak plus. Uporabili smo drugo pravilo.

Sedaj 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ je π/2. To pomeni, da imamo opravka s primerom π/2+60, zato po prvem pravilu spremenimo funkcijo iz sin v cos. Kot rezultat dobimo Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Če želite, lahko vse formule redukcije strnete v eno tabelo. Še vedno pa si je lažje zapomniti ti dve pravili in ju uporabiti.