Formula višine pravilne šesterokotne piramide. Piramida

Risba je prva in zelo pomemben korak pri reševanju geometrijskega problema. Kakšna naj bo risba? redna piramida?

Najprej se spomnimo lastnosti vzporedne zasnove:

- vzporedni segmenti figure so prikazani z vzporednimi segmenti;

— razmerje dolžin odsekov vzporednih črt in odsekov ene premice se ohrani.

Risba pravilne trikotne piramide

Najprej narišemo osnovo. Ker se pri vzporednem načrtovanju koti in razmerja dolžin nevzporednih segmentov ne ohranijo, je pravilni trikotnik na dnu piramide prikazan kot poljuben trikotnik.

Center navaden trikotnik je točka presečišča median trikotnika. Ker sta mediani v presečni točki razdeljeni v razmerju 2:1, šteto od oglišča, miselno povežemo oglišče baze s sredino nasprotne stranice, jo približno razdelimo na tri dele in postavimo točko na oddaljenost 2 delov od vrha. Od te točke navzgor potegnemo navpičnico. To je višina piramide. Nariši navpičnico tako dolgo, da stranski rob ne prekriva podobe višine.

Risba pravilna štirikotna piramida

Prav tako začnemo risati pravilno štirikotno piramido iz baze. Ker je vzporednost segmentov ohranjena, vrednosti kotov pa ne, je kvadrat na dnu prikazan kot paralelogram. Po možnosti oster kot naredite ta paralelogram manjši, potem bodo stranske ploskve večje. Središče kvadrata je točka presečišča njegovih diagonal. Narišemo diagonale in obnovimo pravokotnico iz presečišča. Ta navpičnica je višina piramide. Dolžino pravokotnice izberemo tako, da se stranska rebra med seboj ne spajajo.

Risba pravilne šesterokotne piramide

Ker se pri vzporednem načrtovanju ohrani vzporednost segmentov, je osnova pravilne šesterokotne piramide - pravilni šestkotnik - prikazana kot šesterokotnik, katerega nasprotne stranice so vzporedne in enake. Središče pravilnega šesterokotnika je točka presečišča njegovih diagonal. Da ne bi risali nereda, ne rišemo diagonal, ampak približno poiščemo to točko. Iz nje obnovimo pravokotnico - višino piramide - tako, da se stranska rebra med seboj ne spajajo.

Datum: 2015-01-19

Če potrebujete navodila po korakih Kako zgraditi skeniranje piramide, potem vas prosim, da se pridružite naši lekciji. Najprej ocenite, ali je vaša piramida razporejena na podoben način kot na sliki 1.

Če ste ga zasukali za 90 stopinj, potem je rob, označen na sliki kot "znane realne vrednosti" v vašem primeru, mogoče najti na projekciji profila, ki jo boste morali izdelati. V mojem primeru to ni potrebno, vse potrebne količine za gradnjo že imamo. Pomembno je, da ne pozabite, da sta na tej risbi samo robovi SA in SD v sprednji projekciji prikazani v polni velikosti. Vsi drugi so projicirani s popačenjem dolžine. Poleg tega so v pogledu od zgoraj vse stranice šesterokotnika projicirane v polni velikosti. Na podlagi tega nadaljujemo.

1. Za večjo lepoto narišimo prvo črto vodoravno (slika 1). Nato narišimo širok lok s polmerom R=a, tj. polmer enak dolžini stranskega roba piramide. Dobimo točko A. S šestilom iz nje naredimo zarezo na loku s polmerom r=b (dolžina stranice baze piramide). Gremo na točko B. Prvo stran piramide že imamo!

2. Iz točke B naredimo še eno zarezo z enakim radijem - dobimo točko C in jo povežemo s točkama B in S dobimo drugo stransko ploskev piramide (slika 2).

3. Ponavljanje teh korakov zahtevana količina krat (vse je odvisno od tega, koliko ploskev ima vaša piramida) bomo dobili takšno pahljačo (slika 3). Če je sestavljeno pravilno, bi morali dobiti vse osnovne točke, skrajne pa je treba ponoviti.

4. To ni vedno potrebno, vendar je še vedno potrebno: ​​dodajte osnovo piramide razvoju stranske površine. Verjamem, da vsi, ki so prebrali do tukaj, vedo, kako narisati peterokotnik (kako narisati peterokotnik je podrobno opisano v lekciji). na pravem mestu in pod pravim kotom. Skozi sredino poljubne ploskve narišemo os. Od presečišča s premico baze narišemo razdaljo m, kot je prikazano na sliki 4.


Z risanjem pravokotnice skozi to točko dobimo osi bodočega šesterokotnika. Iz nastalega središča narišemo krog, kot ste to storili pri gradnji pogleda od zgoraj. Upoštevajte, da mora krog potekati skozi dve točki na stranski strani (v mojem primeru sta to F in A)

5. Slika 5 prikazuje končni pogled na razvitje šesterokotne prizme.


S tem je gradnja piramide končana. Gradite svoj razvoj, naučite se iskati rešitve, bodite natančni in nikoli ne obupajte. Hvala, da ste se ustavili. Ne pozabite nas priporočiti svojim prijateljem :) Vse najboljše!

oz zapišite našo telefonsko številko in povejte svojim prijateljem o nas - verjetno kdo išče način za dokončanje risb

oz Ustvarite opombo na svoji strani ali blogu o naših lekcijah - in nekdo drug bo lahko obvladal risanje.

Izračunavanje volumnov prostorskih likov je ena izmed pomembnih nalog stereometrije. V tem članku bomo obravnavali vprašanje določanja prostornine poliedra, kot je piramida, in podali tudi šestkotno pravilno.

Šesterokotna piramida

Najprej poglejmo, kakšna je številka, o kateri bomo razpravljali v članku.

Imejmo poljuben šestkotnik, katerega stranice niso nujno enake. Predpostavimo tudi, da smo izbrali točko v prostoru, ki ni v ravnini šesterokotnika. Če vse vogale slednje povežemo z izbrano točko, dobimo piramido. Na spodnji sliki sta prikazani dve različni piramidi s šesterokotno osnovo.

Vidimo, da poleg šesterokotnika lik sestavlja še šest trikotnikov, katerih povezovalna točka se imenuje vrh. Razlika med upodobljenima piramidama je v tem, da višina h desne ne seka šesterokotne osnove v njenem geometrijskem središču, medtem ko višina leve figure pade točno v to sredino. Zahvaljujoč temu kriteriju je bila leva piramida imenovana ravna, desna piramida pa nagnjena.

Ker je osnova leve figure na sliki sestavljena iz šesterokotnika z enakimi stranicami in koti, se imenuje pravilna. Nadalje v članku se bomo pogovorili samo o tej piramidi.

Za izračun prostornine poljubne piramide velja naslednja formula:

Tukaj je h dolžina višine figure, S o je površina njene osnove. Uporabimo ta izraz za določitev prostornine pravilne šesterokotne piramide.

Ker je osnova zadevne figure enakostranični šestkotnik, lahko za izračun njegove ploščine uporabite naslednji splošni izraz za n-kotnik:

S n = n/4 * a 2 * ctg (pi/n)

Tukaj je n celo število, ki je enako številu stranic (kotov) mnogokotnika, a je dolžina njegove stranice, kotangens se izračuna z uporabo ustreznih tabel.

Z uporabo izraza za n = 6 dobimo:

S 6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a 2

Zdaj je treba ta izraz nadomestiti s splošno formulo za prostornino V:

V 6 = S 6 * h = √3/2 * h * a 2

Tako je za izračun prostornine zadevne piramide potrebno poznati njena dva linearna parametra: dolžino stranice baze in višino figure.

Primer rešitve problema

Pokažimo, kako lahko dobljeni izraz za V 6 uporabimo za rešitev naslednjega problema.

Znano je, da je pravilna prostornina 100 cm 3 . Treba je določiti stranico osnove in višino figure, če je znano, da sta med seboj povezani z naslednjo enakostjo:

Ker formula za prostornino vključuje samo a in h, lahko vanjo nadomestite katerega koli od teh parametrov, izraženega z drugim. Če na primer zamenjamo a, dobimo:

V 6 = √3/2*h*(2*h) 2 =>

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Če želite najti višino figure, morate vzeti tretji koren prostornine, ki ustreza dimenziji dolžine. Nadomestimo vrednost prostornine V 6 piramide iz pogojev problema, dobimo višino:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Ker je stranica baze v skladu s pogojem problema dvakrat večja od najdene vrednosti, dobimo zanjo vrednost:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm

Prostornino šesterokotne piramide je mogoče najti ne le z višino figure in vrednostjo strani njene osnove. Za izračun dovolj je poznati dva različna linearna parametra piramide, na primer apotem in dolžino stranskega roba.

Piramide so: trikotne, štirikotne itd., odvisno od tega, kaj je osnova - trikotnik, štirikotnik itd.
Piramida se imenuje pravilna (slika 286, b), če je, prvič, njena osnova pravilen mnogokotnik, in drugič, njena višina poteka skozi središče tega mnogokotnika.
V nasprotnem primeru se piramida imenuje nepravilna (slika 286, c). V pravilni piramidi so vsa stranska rebra med seboj enaka (kot poševna z enakimi projekcijami). Zato so vse stranske ploskve pravilne piramide enaki enakokraki trikotniki.
Analiza elementov pravilne šesterokotne piramide in njihova upodobitev v kompleksni risbi (slika 287).

a) Kompleksna risba pravilne šesterokotne piramide. Osnova piramide se nahaja na ravnini P 1; dve stranici baze piramide sta vzporedni s projekcijsko ravnino P 2.
b) Osnovica ABCDEF je šesterokotnik, ki leži v projekcijski ravnini P 1.
c) Stranska stran ASF je trikotnik, ki se nahaja v splošni ravnini.
d) Stranska ploskev FSE je trikotnik, ki se nahaja v ravnini projekcije profila.
e) Edge SE je segment v splošnem položaju.
f) Rebro SA - čelni segment.
g) Vrh S piramide je točka v prostoru.
Sliki 288 in 289 prikazujeta primere zaporednih grafičnih operacij pri izvajanju kompleksne risbe in vizualnih slik (aksonometrije) piramid.

podano:
1. Osnova se nahaja na ravnini P 1.
2. Ena od stranic baze je vzporedna z osjo x 12.
I. Kompleksna risba.
jaz, a. Oblikujemo osnovo piramide - poligon, glede na ta pogoj
ki leži v ravnini P1.
Oblikujemo oglišče - točko, ki se nahaja v prostoru. Višina točke S je enaka višini piramide. Vodoravna projekcija S 1 točke S bo v središču projekcije baze piramide (po pogoju).
jaz, b.
Oblikujemo robove piramide - segmente; Za to povežemo projekcije oglišč osnove ABCDE z ustreznimi projekcijami oglišča piramide S z ravnimi črtami. Čelne projekcije S 2 C 2 in S 2 D 2 robov piramide prikazujemo s črtkanimi črtami, kot nevidne, zaprte z robovi piramide (SА in SAE).
jaz, c. Glede na vodoravno projekcijo K 1 točke K na stranski ploskvi SBA, morate najti njeno čelno projekcijo. Če želite to narediti, narišite pomožno ravno črto S 1 in K 1 skozi točki S 1 in K 1 , poiščite njeno čelno projekcijo in na njej z navpično povezovalno črto določite lokacijo želene čelne projekcije K 2 točke K .
II. 1 Razvoj površine piramide je ravna figura, sestavljena iz stranskih ploskev - enakih enakokrakih trikotnikov, katerih ena stran je enaka strani osnove, druga dva pa stranskim robom in iz pravilnega mnogokotnika - osnova.
Naravne dimenzije stranic podnožja se razkrijejo na njegovi vodoravni projekciji. Naravne dimenzije reber na projekcijah niso bile razkrite.
Hipotenuza S 2 ¯A 2 (slika 288, , b) pravokotni trikotnik S 2 O 2 ¯A 2 , v katerem je veliki krak enak višini S 2 O 2 piramide, mali krak pa vodoravni projekciji roba S 1 A 1 je naravna velikost roba piramide. Konstrukcijo pometanja je treba izvesti v naslednjem vrstnem redu: a) iz poljubne točke S (oglišča) narišemo lok polmera R, ki je enak robu piramide;
b) na narisan lok narišemo pet tetiv velikosti R 1 enaka strani razlogi;
c) točke D, C, B, A, E, D povežemo z ravnimi črtami zaporedno med seboj in s točko S dobimo pet enakokrakih
Prenos točke K na skeniranje se izvede s pomožno ravno črto z uporabo dimenzije B 1 F 1, vzete na vodoravni projekciji, in dimenzije A 2 K 2, vzete na naravni velikosti rebra.
III.
Vizualna predstavitev piramide v izometriji. 1 III, a.
Osnovo piramide upodabljamo s koordinatami po (sl. 288, 1 III, a.
, A).
Upodabljamo vrh piramide s koordinatami po (sl. 288,
III, b.

podano:
Upodabljamo stranske robove piramide, ki povezujejo vrh z oglišči baze. Rob S"D" in stranice baze C"D" in D"E" so upodobljene s črtkanimi črtami, kot nevidne, zaprte z robovi piramide C"S"B", B"S"A" in A"S"E".
III, e.
Točko K na površini piramide določimo z dimenzijama y F in x K. Za dimetrično sliko piramide je treba upoštevati isto zaporedje.
Slika nepravilne trikotne piramide.
1. Osnova se nahaja na ravnini P 1.
2. Stranica BC osnove je pravokotna na X os.
I. Kompleksna risba
jaz, a.
Oblikujemo osnovo piramide - enakokraki trikotnik, ki leži v ravnini P1, in vrh S - točko, ki se nahaja v prostoru, katere višina je enaka višini piramide.
a) narišite enakokraki trikotnik - ploskev CSB, katerega osnova je enaka stranici baze piramide CB, stranice pa so enake naravni velikosti roba SC;
b) pritrdimo dva trikotnika na stranice SC in SB zgrajenega trikotnika - ploskve piramide CSA in BSA ter na osnovo CB zgrajenega trikotnika - osnovo CBA piramide, kot rezultat dobimo popolno razvoj površine te piramide.
Prenos točke D na skeniranje se izvede v naslednjem vrstnem redu: najprej na skeniranju stranske ploskve ASC narišite vodoravno črto z velikostjo R 1 in nato določite lokacijo točke D na vodoravni črti z velikostjo R 2.
III. Vizualna predstavitev piramide in čelne dimetrične projekcije
III, a. Upodobimo osnovo A"B"C in vrh S" piramide z uporabo koordinat glede na (

Navodila

Za kvadratno osnovo piramide z znano dolžino stranice (a) in dano prostornino (V) zamenjajte površino v formuli za izračun iz prejšnjega koraka s kvadratom dolžine stranice: H = 3*V/a².

Formulo iz prvega koraka je mogoče preoblikovati za izračun višine (H) pravilne piramide z osnovo poljubne oblike. Začetni podatki, ki jih je treba vključiti, so prostornina (V) poliedra, dolžina roba na dnu (a) in število oglišč na dnu (n). Plošča pravilnega mnogokotnika je določena s četrtino zmnožka števila oglišč s kvadratom dolžine stranice in kotangensom kota, ki je enak razmerju 180° in številom oglišč: ¼* n*a²*ctg(180°/n). Zamenjajte ta izraz v formulo iz prvega koraka: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)) .

Če površina baze ni znana iz pogojev problema in sta podana samo prostornina (V) in dolžina roba (a), potem lahko manjkajočo spremenljivko v formuli iz prejšnjega koraka nadomestite s svojim ekvivalentom, izraženim z dolžino roba. Območje (kot se spomnite, leži na dnu piramide zadevne vrste) je enako eni četrtini izdelka kvadratni koren od tri do kvadrata dolžine stranice. Zamenjajte ta izraz namesto ploščine osnove v formulo iz prejšnjega koraka in dobite naslednji rezultat: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3 ).

Ker lahko prostornino tetraedra izrazimo tudi z dolžino roba, lahko iz formule za izračun višine figure odstranimo vse spremenljivke in pustimo samo stransko stran. Prostornina te piramide se izračuna tako, da se zmnožek kvadratnega korena iz dveh deli s kubično dolžino obraza z 12. Zamenjajte ta izraz v formulo iz prejšnjega koraka in dobite rezultat: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a* √⅔ = ⅓*a*√6.

Pravilno prizmo lahko vpišemo v kroglo in če poznamo le njen polmer (R), lahko izračunamo tetraeder. Dolžina roba je enaka štirikratnemu razmerju med polmerom in kvadratnim korenom iz šest. Zamenjajte spremenljivko a v formuli iz prejšnjega koraka s tem izrazom in dobite enakost: H = ⅓*√6*4*R/√6 = 4*r/3.

Podobno formulo lahko dobimo, če poznamo polmer (r) kroga, včrtanega tetraedru. V tem primeru bo dolžina roba enaka dvanajstim razmerjem med polmerom in kvadratom šestih. Zamenjajte ta izraz v formulo iz tretjega koraka: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.

Piramida je ena najbolj mističnih figur v geometriji. Z njim so povezani tokovi kozmične energije; mnoga starodavna ljudstva so izbrala prav to obliko za gradnjo svojih verskih objektov. Z matematičnega vidika pa je piramida le polieder, katerega osnova je mnogokotnik, ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom. Poglejmo, kako najti kvadrat robovi V piramida.

Potrebovali boste

• kalkulator.

Navodila

Vrste piramid: navadne (na dnu je pravilen mnogokotnik, oglišča pa v njegovem središču), poljubne (na dnu je poljuben mnogokotnik in projekcija oglišča ne sovpada nujno z njegovim središčem), pravokotna (eden od stranski robovi tvorijo pravi kot z osnovo) in . Glede na stranice mnogokotnika na dnu piramide se imenuje tri-, štiri-, pet- ali na primer deseterokoten.

Za vse vrste piramid, razen prisekanih: pomnožite dolžine osnove trikotnika in višino, spuščeno nanj od vrha piramide. Dobljeni produkt razdelite na 2 - to bo želeno kvadrat strani robovi piramide.

Prisekana piramida Zložite obe osnovi trapeza, ki je obraz takšne piramide. Dobljeno količino razdelite na dva. Dobljeno vrednost pomnožite z višino robovi-trapez. Dobljena vrednost je kvadrat strani robovi piramide te vrste.

Video na temo

Koristen nasvet

Območje stranske površine in baze, obod osnove piramide in njen volumen so povezani z določenimi formulami. To včasih omogoča izračun vrednosti manjkajočih podatkov, potrebnih za določitev površine obraza v piramidi.

Prostornina katere koli neobrezane piramide je enaka tretjini zmnožka višine piramide in površine baze. Za navadno piramido velja: površina stranske površine je enaka polovici oboda osnove, pomnoženi z višino ene od ploskev. Pri izračunu prostornine prisekane piramide namesto površine osnove nadomestite vrednost enaka vsoti ploščini zgornje in spodnje baze ter kvadratni koren njunega produkta.

Viri:

• Stereometrija
• kako najti stransko stran piramide

Piramida se imenuje pravokotna, če je eden od njenih robov pravokoten na njeno osnovo, to pomeni, da stoji pod kotom 90˚. Ta rob je tudi višina pravokotne piramide. Formulo za prostornino piramide je prvi izpeljal Arhimed.

Potrebovali boste

• - pero;
• - papir;
• - kalkulator.

Navodila

V pravokotni višini bo njen rob, ki stoji pod kotom 90˚ glede na podlago. Kot je območje pravokotne osnove označeno s S, višina pa je tudi piramide, − h. Potem, da bi našli prostornino tega piramide, je treba površino njegove osnove pomnožiti z višino in deliti s 3. Tako je prostornina pravokotnika piramide izračunano po formuli: V=(S*h)/3.

Zgradite po danih parametrih. Njegovo osnovo označite z latinskim ABCDE, vrh pa piramide- S. Ker bo risba na ravnini v projekciji, da ne bi prišlo do zmede, navedite podatke, ki jih že poznate: SE = 30cm; S(ABCDE)=45 cm².

Izračunaj prostornino pravokotnika piramide, z uporabo formule. Z zamenjavo podatkov in izračuni se izkaže, da je prostornina pravokotnika piramide bo enako: V=(45*30)/3=cm³.

Če navedba problema ne vsebuje podatkov o in višini piramide, potem morate za pridobitev teh vrednosti izvesti dodatne izračune. Površina baze bo izračunana glede na to, ali mnogokotnik leži na svoji podlagi.

Višina piramide ugotovite, ali poznate hipotenuzo katerega koli pravokotnega EDS ali EAS in kot, pod katerim je nagnjen stranski rob SD ali SA na svojo bazo. Izračunajte SE krak z uporabo sinusnega izreka. To bo višina pravokotnika piramide.

Prosimo, upoštevajte

Pri izračunu količin, kot so višina, prostornina, površina, ne pozabite, da ima vsaka od njih svojo mersko enoto. Torej se površina meri v cm², višina v cm in prostornina v cm³.
Kubični centimeter je enota za prostornino, ki je enaka prostornini kocke z dolžino roba 1 cm. Če podatke nadomestimo v našo formulo, dobimo: cm³= (cm²*cm)/3.

Koristen nasvet

Praviloma, če problem zahteva iskanje prostornine pravokotne piramide, so znani vsi potrebni podatki - vsaj za iskanje površine osnove in višine figure.