Fizični pomen izpeljanke. Naloge

Fizični pomen izpeljanke. Enotni državni izpit iz matematike vključuje skupino nalog, za rešitev katerih je potrebno poznati in razumeti fizični pomen izpeljanke. Zlasti obstajajo problemi, kjer je podan zakon gibanja določene točke (predmeta), izražen z enačbo in je treba najti njeno hitrost v določenem trenutku gibanja ali času, po katerem bo predmet pridobiti določeno hitrost.Naloge so zelo preproste, rešiti jih je mogoče z enim dejanjem. Torej:

Naj bo podan zakon gibanja materialne točke x (t) vzdolž koordinatne osi, kjer je x koordinata gibljive točke, t čas.

Hitrost v določenem trenutku je časovna izpeljanka koordinate. To je mehanski pomen izpeljanke.

Podobno je pospešek časovni odvod hitrosti:

Tako je fizični pomen izpeljanke hitrost. To je lahko hitrost gibanja, hitrost spreminjanja procesa (na primer rast bakterij), hitrost opravljanja dela (in tako naprej, uporabnih težav je veliko).

Poleg tega morate poznati tabelo izpeljank (znati jo morate kot tudi tabelo množenja) in pravila diferenciacije. Natančneje, za reševanje navedenih problemov je potrebno poznati prvih šest izpeljank (glej tabelo):

Razmislite o nalogah:

x (t) = t 2 - 7t - 20

kjer je x t čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v metrih na sekundo) v času t = 5 s.

Fizični pomen izpeljanke je hitrost (hitrost gibanja, hitrost spreminjanja procesa, hitrost dela itd.)

Najdimo zakon spremembe hitrosti: v (t) = x ′ (t) = 2t - 7 m / s.

Za t = 5 imamo:

Odgovor: 3

Odločite se sami:

Materialna točka se giblje v ravni črti po zakonu x (t) = 6t 2 - 48t + 17, kjer je x- oddaljenost od referenčne točke v metrih, t- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v metrih na sekundo) v času t = 9 s.

Materialna točka se giblje v ravni črti po zakonu x (t) = 0,5t 3 - 3t 2 + 2t, kjer xt- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v metrih na sekundo) v času t = 6 s.

Materialna točka se giblje v ravni črti v skladu z zakonom

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

kje x- oddaljenost od referenčne točke v metrih,t- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v metrih na sekundo) v času t = 3 s.

Materialna točka se giblje v ravni črti v skladu z zakonom

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

kjer je x razdalja od referenčne točke v metrih, t je čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. V katerem trenutku (v sekundah) je bila njegova hitrost enaka 6 m / s?

Poiščimo zakon spremembe hitrosti:

Da bi ugotovili, v katerem trenutkuthitrost je bila enaka 3 m / s, je treba rešiti enačbo:

Odgovor: 3

Odločite se sami:

Materialna točka se giblje v ravni črti po zakonu x (t) = t 2 - 13t + 23, kjer je x- oddaljenost od referenčne točke v metrih, t- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. V katerem trenutku (v sekundah) je bila njegova hitrost enaka 3 m / s?

Materialna točka se giblje v ravni črti v skladu z zakonom

x (t) = (1/3) t 3 - 3t 2 - 5t + 3

kje x- oddaljenost od referenčne točke v metrih, t- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. V katerem trenutku (v sekundah) je bila njegova hitrost enaka 2 m / s?

Upoštevajte, da se na izpitu ni vredno osredotočati samo na tovrstne naloge. Povsem nepričakovano lahko uvedejo predstavljene inverzne probleme. Ko je podan zakon spremembe hitrosti, se bo pojavilo vprašanje o iskanju zakona gibanja.

Namig: v tem primeru morate najti integral funkcije hitrosti (tudi to so naloge v enem dejanju). Če morate najti prevoženo razdaljo v določenem trenutku, potem morate v nastalo enačbo nadomestiti čas in izračunati razdaljo. Bomo pa tudi analizirali takšne naloge, ne zamudite!Želim ti uspeh!

Lep pozdrav, Alexander Krutitskikh.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi nam povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.

Pri reševanju različnih problemov geometrije, mehanike, fizike in drugih vej znanja je bilo potrebno uporabiti isti analitični proces iz te funkcije. y = f (x) pokličite novo funkcijo izpeljana funkcija(ali preprosto izvod) te funkcije f (x) in so označeni s simbolom

Postopek, s katerim iz dane funkcije f (x) pridobi novo funkcijo f "(x) se imenujejo diferenciacijo in je sestavljen iz naslednjih treh korakov: 1) podamo argument x prirastek  x in določimo ustrezen prirast funkcije  y = f (x + x) -f (x); 2) sestavi razmerje

3) ob upoštevanju x konstantno in  x0, najdemo
, ki ga označujemo z f "(x), kot da bi poudaril, da je nastala funkcija odvisna samo od vrednosti x pri kateri gremo do meje. Opredelitev: Izpeljanka y "= f" (x) ta funkcija y = f (x) za dani x se imenuje meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, pod pogojem, da se prirast argumenta nagiba k nič, če ta meja seveda obstaja, t.j. je končna. V to smer,
, oz

Upoštevajte, da če za neko vrednost x, na primer pri x = a, odnos
pri  x0 ne teži k končni meji, potem rečemo, da je funkcija f (x) pri x = a(ali na točki x = a) nima izpeljanke ali ni diferencibilna na točki x = a.

2. Geometrijski pomen izpeljanke.

Razmislite o grafu funkcije y = f (x), ki se diferencira v bližini točke x 0

f (x)

Razmislite o poljubni ravni črti, ki poteka skozi točko na grafu funkcije - točko A (x 0, f (x 0)) in seka graf v neki točki B (x; f (x)). Taka ravna črta (AB) se imenuje sekansa. Iz ∆АВС: АС = ∆x; ВС = ∆у; tgβ = ∆y / ∆x.

Ker AC || Ox, potem ALO = BAC = β (kot ustreza vzporednemu). Toda ALO je kot naklona sekante AB na pozitivno smer osi Ox. Zato je tgβ = k naklon premice AB.

Zdaj bomo zmanjšali ∆х, t.j. ∆х → 0. V tem primeru se bo točka B po grafu približala točki A, sekansa AB pa se bo vrtela. Mejni položaj sekante AB pri ∆x → 0 bo ravna črta (a), imenovana tangenta na graf funkcije y = f (x) v točki A.

Če preidemo na mejo kot ∆х → 0 v enakosti tanβ = ∆y / ∆x, dobimo
ali tg = f "(x 0), saj
-kot naklona tangente na pozitivno smer osi Ox
, po definiciji izpeljanke. Toda tg = k je naklon tangente, kar pomeni, da je k = tg = f "(x 0).

Torej je geometrijski pomen izpeljanke naslednji:

Derivat funkcije v točki x 0 je enak naklonu tangente na graf funkcije, narisane v točki z absciso x 0 .

3. Fizični pomen izpeljanke.

Razmislite o gibanju točke vzdolž ravni črte. Naj bo koordinata točke podana kadarkoli x (t). Znano je (iz predmeta fizika), da je povprečna hitrost v določenem časovnem obdobju enaka razmerju prevožene razdalje v tem časovnem obdobju, t.j.

Vav = ∆x / ∆t. Pojdimo na mejo v zadnji enakosti kot ∆t → 0.

lim Vav (t) =  (t 0) - trenutna hitrost v času t 0, ∆t → 0.

in lim = ∆x / ∆t = x "(t 0) (po definiciji izvoda).

Torej,  (t) = x "(t).

Fizični pomen izpeljanke je naslednji: izpeljanka funkcijey = f(x) na točkix 0 je hitrost spremembe funkcijef(x) na točkix 0

Izpeljanka se v fiziki uporablja za iskanje hitrosti po znani funkciji koordinate od časa, pospeška po znani funkciji hitrosti od časa.

 (t) = x "(t) - hitrost,

a (f) =  "(t) - pospešek, oz

Če je zakon gibanja materialne točke v krogu znan, potem lahko najdete kotno hitrost in kotni pospešek med rotacijskim gibanjem:

φ = φ (t) - sprememba kota s časom,

ω = φ "(t) - kotna hitrost,

ε = φ "(t) - kotni pospešek, ali ε = φ" (t).

Če je zakon porazdelitve mase nehomogene palice znan, potem lahko najdemo linearno gostoto nehomogene palice:

m = m (x) - masa,

x , l - dolžina palice,

p = m "(x) - linearna gostota.

Izpeljanka se uporablja za reševanje problemov iz teorije elastičnosti in harmoničnih nihanj. Torej, po Hookeovem zakonu

F = -kx, x je spremenljiva koordinata, k je koeficient elastičnosti vzmeti. Če damo ω 2 = k / m, dobimo diferencialno enačbo vzmetnega nihala x "(t) + ω 2 x (t) = 0,

kjer je ω = √k / √m frekvenca tresljajev (l / c), k je togost vzmeti (H / m).

Enačbo oblike у "+ ω 2 y = 0 imenujemo enačba harmoničnih nihanj (mehanskih, električnih, elektromagnetnih). Rešitev takšnih enačb je funkcija

у = Asin (ωt + φ 0) ali у = Acos (ωt + φ 0), kjer je

А - amplituda vibracij, ω - ciklična frekvenca,

φ 0 - začetna faza.

Matematični problemi najdejo svojo uporabo v številnih znanostih. Sem ne spadajo le fizika, kemija, inženiring in ekonomija, ampak tudi medicina, ekologija in druge discipline. Eden od pomembnih pojmov, ki jih je treba obvladati, da bi našli rešitve za pomembne dileme, je izpeljanka funkcije. Fizičnega pomena tega sploh ni tako težko razložiti, kot se morda zdi nepoučenim v bistvu vprašanja. Dovolj je le najti primerne primere tega v resničnem življenju in običajnih vsakdanjih situacijah. Pravzaprav se vsak avtomobilist vsak dan spopade s podobno nalogo, ko pogleda na merilnik hitrosti, ki določa hitrost svojega avtomobila v določenem trenutku določenega časa. Prav v tem parametru je pravzaprav bistvo fizičnega pomena izpeljanke.

Kako najti hitrost

Vsak petošolec lahko zlahka določi hitrost gibanja osebe po cesti, saj pozna prevoženo razdaljo in čas potovanja. Če želite to narediti, prvo od danih vrednosti delite z drugo. Toda vsak mlad matematik ne ve, da trenutno išče razmerje prirastkov funkcije in argumenta. Dejansko, če gibanje predstavimo v obliki grafa, ki nariše pot vzdolž ordinate in čas vzdolž abscise, bo tako.

Hitrost pešca ali katerega koli drugega predmeta, ki ga določimo na velikem odseku poti glede na enakomerno gibanje, pa je lahko zelo različna. V fiziki je znanih veliko oblik gibanja. Izvaja se lahko ne le s stalnim pospeševanjem, temveč poljubno upočasnjuje in povečuje. Upoštevati je treba, da v tem primeru črta, ki opisuje gibanje, ne bo več ravna črta. Grafično lahko sprejme najbolj zapletene konfiguracije. Toda za katero koli točko na grafu lahko vedno narišemo tangento, ki jo predstavlja linearna funkcija.

Za pojasnitev parametra spremembe premika glede na čas je potrebno skrajšati izmerjene segmente. Ko postanejo neskončno majhni, bo izračunana hitrost takojšnja. Ta izkušnja nam pomaga definirati izpeljanko. Iz takšnega sklepanja logično izhaja tudi njegov fizični pomen.

Geometrijsko

Znano je, da višja kot je hitrost telesa, strmejši je graf odvisnosti premika od časa in s tem nagibnega kota tangente na graf v določeni točki. Kazalec takšnih sprememb je lahko tangenta kota med osjo abscise in tangento. On je tisti, ki določi vrednost odvoda in se izračuna z razmerjem dolžin nasprotne strani do sosednjega kraka v pravokotnem trikotniku, ki ga tvori navpičnica, spuščena iz neke točke na osi abscise.

To je geometrijski pomen prve izpeljanke. Fizični se razkrije v tem, da velikost nasprotne noge v našem primeru predstavlja prehojeno pot, sosednje pa čas. V tem primeru je njihovo razmerje hitrost. In spet pridemo do zaključka, da je trenutna hitrost, določena, ko sta oba intervala neskončno majhna, bistvo, ki kaže na njen fizični pomen. Druga izpeljanka v tem primeru bo pospešek telesa, ki posledično kaže hitrost spremembe hitrosti.

Primeri iskanja izpeljank v fiziki

Izpeljanka je pokazatelj hitrosti spremembe katere koli funkcije, tudi če ne gre za gibanje v dobesednem pomenu besede. Za ponazoritev tega bomo navedli nekaj konkretnih primerov. Recimo, da se trenutna moč, odvisno od časa, spreminja po naslednjem zakonu: jaz= 0,4t 2. Treba je najti vrednost hitrosti, s katero se ta parameter spremeni na koncu 8. sekunde procesa. Upoštevajte, da se sama želena vrednost, kot je mogoče soditi iz enačbe, nenehno povečuje.

Če ga želite rešiti, morate najti prvo izpeljanko, katere fizični pomen je bil obravnavan prej. tukaj dI/ dt = 0,8 t... Nato ga najdemo za t=8 , dobimo, da je hitrost, s katero se spreminja moč toka, enaka 6,4 A/ c. Tukaj velja, da se trenutna moč meri v amperih, čas pa v sekundah.

Vse je spremenljivo

Vidni okoliški svet, sestavljen iz snovi, se nenehno spreminja in je v gibanju različnih procesov, ki se v njem odvijajo. Za njihov opis je mogoče uporabiti različne parametre. Če jih združuje odvisnost, potem so matematično zapisani v obliki funkcije, ki grafično prikazuje njihove spremembe. In kjer je gibanje (v kakršni koli obliki je izraženo), obstaja tudi izpeljanka, katere fizični pomen razmišljamo v tem trenutku.

V zvezi s tem je naslednji primer. Recimo, da se telesna temperatura spreminja po zakonu T=0,2 t 2 ... Poiščite hitrost, s katero se segreje ob koncu 10. sekunde. Problem je rešen na podoben način kot v prejšnjem primeru. To pomeni, da najdemo izpeljanko in nadomestimo vrednost za t= 10 , dobimo T= 0,4 t= 4. To pomeni, da je končni odgovor 4 stopinje na sekundo, torej proces segrevanja in sprememba temperature, merjena v stopinjah, poteka ravno s takšno hitrostjo.

Rešitev praktičnih problemov

Seveda je v resničnem življenju vse veliko bolj zapleteno kot pri teoretičnih težavah. V praksi se vrednost količin običajno določi med poskusom. V tem primeru se uporabljajo naprave, ki dajejo odčitke med meritvami z določeno napako. Zato se je treba pri izračunu ukvarjati s približnimi vrednostmi parametrov in se zateči k zaokroževanju neprijetnih številk, pa tudi drugim poenostavitvam. Ob upoštevanju tega bomo ponovno nadaljevali s problemi fizičnega pomena izpeljanke, pri čemer bomo upoštevali, da so le nekakšen matematični model najkompleksnejših procesov, ki se pojavljajo v naravi.

Izbruh

Predstavljajte si, da je prišlo do vulkanskega izbruha. Kako nevaren je lahko? Za pojasnitev tega vprašanja je treba upoštevati veliko dejavnikov. Enega od njih bomo poskušali upoštevati.

Iz ust "ognjene pošasti" se vržejo kamni navpično navzgor, ki imajo začetno hitrost od trenutka, ko izbruhnejo.Treba je izračunati, do katere največje višine lahko dosežejo.

Da bi našli želeno vrednost, bomo sestavili enačbo za odvisnost višine H, merjene v metrih, od drugih veličin. Ti vključujejo začetno hitrost in čas. Vrednost pospeška štejemo za znano in približno enako 10 m / s 2.

Delna izpeljanka

Poglejmo zdaj fizični pomen izpeljanke funkcije z nekoliko drugačnega zornega kota, saj enačba sama lahko vsebuje ne eno, ampak več spremenljivk. Na primer, v prejšnjem problemu je bila odvisnost višine dviga kamnov, izvrženih iz ustja vulkana, določena ne le s spremembo časovnih značilnosti, temveč tudi z vrednostjo začetne hitrosti. Slednje je veljalo za konstantno, fiksno vrednost. Toda pri drugih nalogah s povsem drugačnimi pogoji bi bilo lahko vse drugače. Če obstaja več veličin, od katerih je odvisna kompleksna funkcija, se izračuni izvedejo po spodnjih formulah.

Fizični pomen delne izpeljanke je treba določiti kot v običajnem primeru. To je stopnja spremembe funkcije na določeni točki s povečanjem parametra spremenljivke. Izračuna se tako, da se vse ostale komponente vzamejo kot konstante, le ena se šteje za spremenljivko. Potem se vse zgodi po običajnih pravilih.

Če razumemo fizični pomen izpeljanke, ni težko podati primerov rešitev zapletenih in zapletenih problemov, katerih odgovor omogoča, da najdemo podobno znanje. Če imamo funkcijo, ki opisuje porabo goriva glede na hitrost avtomobila, lahko izračunamo, pri katerih parametrih bo zadnja poraba bencina najmanjša.

V medicini lahko predvidite, kako se bo človeško telo odzvalo na zdravilo, ki vam ga predpiše zdravnik. Jemanje zdravila vpliva na različne fiziološke kazalnike. Sem spadajo spremembe krvnega tlaka, srčnega utripa, telesne temperature in še več. Vsi so odvisni od odmerka zdravila. Ti izračuni pomagajo predvideti potek zdravljenja, tako pri ugodnih manifestacijah kot pri neželenih nesrečah, ki lahko usodno vplivajo na spremembe v telesu bolnika.

Nedvomno je pomembno razumeti fizični pomen izpeljanke v tehničnih vprašanjih, zlasti v elektrotehniki, elektroniki, projektiranju in gradnji.

Zavorne razdalje

Razmislimo o naslednji nalogi. Ko se je gibal s konstantno hitrostjo, je moral avto, ki se je približeval mostu, zavirati 10 sekund pred vhodom, saj je voznik opazil prometni znak, ki prepoveduje gibanje s hitrostjo več kot 36 km/h. Ali je voznik kršil pravila, če je zavorno pot mogoče opisati s formulo S = 26t - t 2?

Po izračunu prvega izvoda najdemo formulo za hitrost, dobimo v = 28 - 2t. Nato v podani izraz nadomestimo vrednost t = 10.

Ker je bila ta vrednost izražena v sekundah, se izkaže, da je hitrost 8 m / s, kar pomeni 28,8 km / h. Tako je mogoče razumeti, da je voznik začel pravočasno zavirati in ni kršil prometnih pravil in s tem omejitve hitrosti, navedene na znaku.

To dokazuje pomen fizičnega pomena izpeljanke. Primer reševanja tega problema dokazuje širino uporabe tega koncepta na različnih področjih življenja. Vključno z vsakodnevnimi situacijami.

Izpeljanka v ekonomiji

Do 19. stoletja so ekonomisti delovali predvsem s povprečji, pa naj bo to produktivnost dela ali cena izdelkov. Toda od neke točke naprej so mejne vrednosti postale bolj potrebne za učinkovite napovedi na tem področju. Ti vključujejo mejno koristnost, dohodek ali stroške. Razumevanje tega je dalo zagon za ustvarjanje povsem novega orodja v ekonomskih raziskavah, ki obstaja in se razvija že več kot sto let.

Za sestavljanje takšnih izračunov, kjer prevladujejo koncepti, kot sta minimum in maksimum, je preprosto potrebno razumeti geometrijski in fizični pomen izpeljanke. Med ustvarjalce teoretične osnove teh disciplin lahko imenujemo tako ugledne angleške in avstrijske ekonomiste, kot so US Jevons, K. Menger in drugi. Seveda ni vedno priročno uporabljati mejne vrednosti v ekonomskih izračunih. In na primer, četrtletna poročila niso nujno primerna v obstoječo shemo, a kljub temu je lahko uporaba takšne teorije v mnogih primerih koristna in učinkovita.

Derivat funkcije f (x) v točki x0 je meja (če obstaja) razmerja med prirastkom funkcije v točki x0 in prirastkom argumenta Δx, če se prirast argumenta nagiba k nič in je označena s f '(x0). Dejanje iskanja izvoda funkcije se imenuje diferenciacija.
Izvod funkcije ima naslednji fizični pomen: izpeljanka funkcije v dani točki je stopnja spremembe funkcije v dani točki.

Geometrijski pomen izpeljanke... Izvod v točki x0 je enak naklonu tangente na graf funkcije y = f (x) v tej točki.

Fizični pomen izpeljanke.Če se točka premika vzdolž osi x in se njena koordinata spreminja po zakonu x (t), je trenutna hitrost točke:

Diferencialni koncept, njegove lastnosti. Pravila diferenciacije. Primeri.

Opredelitev. Diferencial funkcije v neki točki x je glavni, linearni del prirastka funkcije.Diferencial funkcije y = f (x) je enak zmnožku njenega izvoda in prirastka neodvisne spremenljivke x ( prepir).

Napisano je takole:

oz

ali


Diferencialne lastnosti
Diferencial ima podobne lastnosti kot izpeljanka:





TO osnovna pravila diferenciacije vključujejo:
1) odvzem konstantnega faktorja iz predznaka izpeljanke
2) izpeljanka vsote, izpeljanka razlike
3) izvod produkta funkcij
4) izvod količnika dveh funkcij (izpeljanka ulomka)

Primeri.
Dokažimo formulo: Po definiciji izpeljanke imamo:

Poljubni faktor se lahko premakne izven znaka prehoda do meje (to je znano iz lastnosti meje), zato

Na primer: Poiščite izvod funkcije
rešitev: Uporabili bomo pravilo odvzema faktorja iz predznaka izpeljanke :

Pogosto morate najprej poenostaviti obliko diferencirane funkcije, da lahko uporabite tabelo izpeljank in pravila za iskanje izpeljank. Naslednji primeri to jasno potrjujejo.

Formule diferenciacije. Diferencialna uporaba v približnih izračunih. Primeri.

Uporaba diferenciala pri približnih izračunih vam omogoča, da uporabite diferencial za približne izračune vrednosti funkcije.
Primeri.
S pomočjo diferenciala izračunajte približno
Za izračun te vrednosti uporabimo formulo iz teorije
Uvedemo v obravnavo funkcijo in dano vrednost predstavimo v obliki
nato izračunaj

Če vse nadomestimo v formulo, končno dobimo
odgovor:

16. L'Hôpitalovo pravilo za razkritje negotovosti v obliki 0/0 ali ∞ / ∞. Primeri.
Meja razmerja dveh neskončno majhnih ali dveh neskončno velikih količin je enaka meji razmerja njunih izpeljank.

1)

17. Povečanje in zmanjšanje funkcije. Ekstremna funkcija. Algoritem za raziskovanje funkcije za monotonost in ekstrem. Primeri.

Funkcija se povečuje na intervalu, če neenakost velja za kateri koli dve točki tega intervala, povezani z relacijo. To pomeni, da večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije, njen graf pa gre "od spodaj navzgor". Demo funkcija raste na intervalu

Podobno funkcija zmanjša na intervalu, če je za kateri koli dve točki danega intervala, tako da je neenakost resnična. To pomeni, da večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije, njen graf pa gre "od zgoraj navzdol". Naš se v intervalih zmanjšuje, v intervalih se zmanjšuje .

Ekstremi Točka se imenuje največja točka funkcije y = f (x), če neenakost velja za vse x iz njene soseščine. Prikliče se vrednost funkcije na najvišji točki največja funkcija in označi.
Točka se imenuje minimalna točka funkcije y = f (x), če neenakost velja za vse x iz njene soseščine. Prikliče se vrednost funkcije na minimalni točki minimalna funkcija in označi.
Soseska točke se razume kot interval , kjer je dovolj majhno pozitivno število.
Najmanjša in največja točka se imenujeta točke ekstrema, vrednosti funkcije, ki ustrezajo točkam ekstrema, pa se imenujejo ekstremi funkcije.

Za raziskovanje funkcije na monotonost, uporabite naslednjo shemo:
- Poiščite obseg funkcije;
- Poišči odvod funkcije in domeno izpeljanke;
- Poiščite ničle izpeljanke, t.j. vrednost argumenta, pri katerem je izpeljanka nič;
- Na številskih žarkih označite skupni del domene funkcije in domeno njenega odvoda, na njem pa - ničle odvoda;
- Določite predznake izpeljanke v vsakem od dobljenih intervalov;
- Po predznakih odvoda določite, v katerih intervalih se funkcija povečuje in v katerih pada;
- Zapišite ustrezne presledke, ločene s podpičji.

Algoritem za preučevanje neprekinjene funkcije y = f (x) za monotonost in ekstreme:
1) Poiščite odvod f ′ (x).
2) Poiščite stacionarne (f ′ (x) = 0) in kritične (f ′ (x) ne obstaja) točke funkcije y = f (x).
3) Označite stacionarne in kritične točke na številski premici in določite predznake izvoda na dobljenih intervalih.
4) Naredite zaključke o monotonosti funkcije in njenih ekstremnih točkah.

18. Konveksnost funkcije. Pregibne točke. Algoritem za preučevanje funkcije za konveksnost (konkavnost) Primeri.

konveksno navzdol na intervalu X, če njegov graf ni nižji od tangente nanj na kateri koli točki intervala X.

Funkcija, ki jo je treba razlikovati, se imenuje konveksno navzgor na intervalu X, če njegov graf ni višji od tangente nanj na kateri koli točki intervala X.

Točka formule se imenuje pregibna točka funkcija y = f (x), če v dani točki obstaja tangenta na graf funkcije (lahko je vzporedna z osjo Oy) in obstaja taka soseska točkovne formule, znotraj katere je graf funkcije funkcija ima različne smeri konveksnosti levo in desno od točke M.

Iskanje intervalov za konveksnost:

Če ima funkcija y = f (x) končno drugo izpeljanko na intervalu X in če je neenakost (), potem ima graf funkcije izboklino, usmerjeno navzdol (navzgor) na X.
Ta izrek omogoča iskanje intervalov konkavnosti in konveksnosti funkcije, rešiti je treba le neenakosti oziroma na področju definicije prvotne funkcije.

Primer: Ugotovite intervale, v katerih je graf funkcije Ugotovite intervale, v katerih je graf funkcije ima izboklino navzgor in izboklino navzdol. ima izboklino navzgor in izboklino navzdol.
rešitev: Domena te funkcije je celoten niz realnih števil.
Poiščimo drugo izpeljanko.

Področje definicije drugega izvoda sovpada z domeno definicije prvotne funkcije, zato je za iskanje intervalov konkavnosti in konveksnosti dovolj rešiti oz. Zato je funkcija konveksna navzdol na formuli intervala in konveksna navzgor na formuli intervala.

19) Asimptote funkcije. Primeri.

Ravna črta se imenuje navpična asimptota graf funkcije, če je vsaj ena od mejnih vrednosti enaka oz.

Komentar. Ravna črta ne more biti navpična asimptota, če je funkcija v točki neprekinjena. Zato je treba navpične asimptote iskati na točkah prekinitve funkcije.

Ravna črta se imenuje horizontalna asimptota graf funkcije, če je vsaj ena od mejnih vrednosti ali enaka.

Komentar. Funkcijski graf ima lahko samo desno vodoravno asimptoto ali le levo.

Ravna črta se imenuje poševna asimptota graf funkcije če

PRIMER:

Vaja. Poiščite asimptote grafa funkcije

Rešitev. Obseg funkcije:

a) navpične asimptote: ravna črta - navpična asimptota, saj

b) horizontalne asimptote: najdemo mejo funkcije v neskončnosti:

to pomeni, da ni horizontalnih asimptot.

c) poševne asimptote:

Tako je poševna asimptota:.

Odgovori. Navpična asimptota je ravna.

Poševna asimptota je ravna.

20) Splošna shema študije funkcije in konstrukcije grafa. Primer.

a.
Poiščite ODZ in prelomne točke funkcije.

b. Poiščite presečišča grafa funkcije s koordinatnimi osemi.

2. Izvedite študijo funkcije s pomočjo prvega izvoda, to je, poiščite ekstremne točke funkcije in intervale naraščanja in padanja.

3. Raziščite funkcijo z izpeljanko drugega reda, torej poiščite pregibne točke grafa funkcije ter intervale njene konveksnosti in konkavnosti.

4. Poišči asimptote grafa funkcije: a) navpična, b) poševna.

5. Na podlagi študije zgradite graf funkcije.

Upoštevajte, da je pred izrisom grafa koristno ugotoviti, ali je dana funkcija liha ali soda.

Spomnimo se, da je funkcija poklicana, tudi če se vrednost funkcije ne spremeni, ko se spremeni predznak argumenta: f (-x) = f (x) in funkcija se imenuje čudno if f (-x) = -f (x).

V tem primeru je dovolj, da raziščete funkcijo in zgradite njen graf za pozitivne vrednosti argumenta, ki pripada ODZ. Za negativne vrednosti argumenta je graf dokončan na podlagi tega, da je za sodo funkcijo simetričen glede na os oj, in za liho glede na izvor.

Primeri. Raziščite funkcije in narišite njihove grafe.

Obseg funkcije D (y) = (–∞; + ∞). Prelomnih točk ni.

Presečišče osi Ox: x = 0,y = 0.

Funkcija je čudna, zato jo je mogoče raziskati samo v intervalu)