Funkcijo f x imenujemo liho, če. Sode in lihe funkcije. Obdobje funkcije. Ekstremi funkcije

tudi če za vse \(x\) iz njegove definicijske domene velja naslednje: \(f(-x)=f(x)\) .

Graf sode funkcije je simetričen glede na os \(y\):

Primer: funkcija \(f(x)=x^2+\cos x\) je soda, ker \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcija \(f(x)\) se imenuje liha, če za vse \(x\) iz njene definicijske domene velja naslednje: \(f(-x)=-f(x) \) .

Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor:

Primer: funkcija \(f(x)=x^3+x\) je liha, ker \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcije, ki niso niti sode niti lihe, se imenujejo funkcije splošni pogled. Tako funkcijo lahko vedno enolično predstavimo kot vsoto sode in lihe funkcije.

Na primer, funkcija \(f(x)=x^2-x\) je vsota sode funkcije \(f_1=x^2\) in lihe \(f_2=-x\) .

\(\črnitrikotnik desno\) Nekatere lastnosti:

1) Zmnožek in količnik dveh funkcij enake paritete je soda funkcija.

2) Zmnožek in količnik dveh funkcij različnih paritet je liha funkcija.

3) Vsota in razlika sodih funkcij - soda funkcija.

4) Vsota in razlika lihih funkcij - liha funkcija.

5) Če je \(f(x)\) soda funkcija, potem ima enačba \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) edinstven koren takrat in samo takrat, ko \( x =0\) .

6) Če je \(f(x)\) soda ali liha funkcija in ima enačba \(f(x)=0\) koren \(x=b\), potem bo ta enačba nujno imela drugo koren \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcija \(f(x)\) se imenuje periodična na \(X\), če za neko število \(T\ne 0\) velja naslednje: \(f(x)=f( x+T) \) , kjer je \(x, x+T\v X\) . Najmanjši \(T\), za katerega je ta enakost izpolnjena, se imenuje glavna (glavna) perioda funkcije.

U periodična funkcija poljubno število v obliki \(nT\) , kjer bo \(n\in \mathbb(Z)\) tudi pika.

Primer: katerikoli trigonometrična funkcija je periodičen;
za funkcije \(f(x)=\sin x\) in \(f(x)=\cos x\) je glavna perioda enaka \(2\pi\), za funkcije \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) in \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) glavna perioda je enaka \(\pi\) .

Če želite zgraditi graf periodične funkcije, lahko narišete njen graf na poljubnem segmentu dolžine \(T\) (glavna perioda); potem se graf celotne funkcije dopolni s premikom konstruiranega dela za celo število obdobij v desno in levo:

\(\blacktriangleright\) Domena \(D(f)\) funkcije \(f(x)\) je niz, sestavljen iz vseh vrednosti argumenta \(x\), za katere je funkcija smiselna (je definirano).

Primer: funkcija \(f(x)=\sqrt x+1\) ima definicijsko domeno: \(x\in

Naloga 1 #6364

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Pri katerih vrednostih parametra \(a\) velja enačba

Ima edina odločitev?

Upoštevajte, da sta \(x^2\) in \(\cos x\) sodi funkciji, če ima enačba koren \(x_0\) , bo imela tudi koren \(-x_0\) .
Naj bo \(x_0\) koren, kar pomeni, da velja enakost \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\). Nadomestite \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .

Če je torej \(x_0\ne 0\), bo enačba že imela vsaj dva korena. Zato \(x_0=0\) . Nato:

Za parameter \(a\) smo prejeli dve vrednosti. Upoštevajte, da smo uporabili dejstvo, da je \(x=0\) točno koren izvirne enačbe. Nikoli pa nismo uporabili dejstva, da je edini. Zato morate dobljene vrednosti parametra \(a\) nadomestiti z izvirno enačbo in preveriti, za katero specifično \(a\) bo koren \(x=0\) res edinstven.

1) Če \(a=0\) , bo enačba imela obliko \(2x^2=0\) . Očitno ima ta enačba samo en koren \(x=0\) . Zato nam ustreza vrednost \(a=0\).

2) Če \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , bo enačba imela obliko \ Enačbo prepišemo v obliki \ Ker \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , potem \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . Posledično pripadajo vrednosti desne strani enačbe (*) segmentu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) .

Ker je \(x^2\geqslant 0\), potem leva stran enačba (*) je večja ali enaka \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Tako je enakost (*) lahko resnična le, če sta obe strani enačbe enaki \(\mathrm(tg)^2\,1\) . To pomeni, da \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Zato nam ustreza vrednost \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

odgovor:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Naloga 2 #3923

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Poiščite vse vrednosti parametra \(a\), za vsako od katerih je graf funkcije \

simetričen glede izvora.

Če je graf funkcije simetričen glede na izvor, potem je taka funkcija liha, to pomeni, da \(f(-x)=-f(x)\) velja za kateri koli \(x\) iz domene definicije funkcije. Zato je potrebno najti tiste vrednosti parametrov, za katere \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\levo(\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\levo(3\mathrm(tg)\,\levo(\dfrac(ax)5\desno)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \konec(poravnano)\]

Zadnja enačba mora biti izpolnjena za vse \(x\) iz domene definicije \(f(x)\), torej \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .

odgovor:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Naloga 3 #3069

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Poiščite vse vrednosti parametra \(a\) , za vsako od katerih ima enačba \ 4 rešitve, kjer je \(f\) soda periodična funkcija s periodo \(T=\dfrac(16)3\) definirana na celotni številski premici in \(f(x)=ax^2\) za \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Naloga naročnikov)

Ker je \(f(x)\) soda funkcija, je njen graf simetričen glede na ordinatno os, torej za \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\). Tako je za \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) in je to segment dolžine \(\dfrac(16)3\), funkcija \(f(x)=ax^2\ ) .

1) Naj \(a>0\) . Potem bo graf funkcije \(f(x)\) videti takole:


Potem, da ima enačba 4 rešitve, je potrebno, da gre graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) skozi točko \(A\):


Zato \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\konec(poravnano)\konec(zbrano)\desno. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zbrano)\begin(poravnano) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(poravnano) \end( zbrano)\desno.\] Ker \(a>0\) , potem je \(a=\dfrac(18)(23)\) primeren.

2) Naj \(a0\) ). Če je zmnožek dveh korenov pozitiven in je njuna vsota pozitivna, bosta korena sama pozitivna. Zato potrebujete: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a