Definicija pravilnega tetraedra. Pravilni tetraeder (piramida). Tetraedri v mikrokozmosu

Vse njene ploskve so trikotniki, ki so si enaki. Razvoj izoedričnega tetraedra je trikotnik, razdeljen s tremi srednjimi črtami na štiri enake trikotnike. V izoedričnem tetraedru ležijo osnove višin, središča višin in presečišča višin ploskov na površini ene krogle (kroglice 12 točk) (Analog Eulerjevega kroga za trikotnik ).

Lastnosti izoedričnega tetraedra:

• Vsi njeni obrazi so enaki (kongruentni).
• Prečni robovi so v parih enaki.
• Triedrski koti so enaki.
• Nasprotni diedrski koti so enaki.
• Dva ravna kota, ki temeljita na istem robu, sta enaka.
• Vsota ravninskih kotov na vsakem točku je 180°.
• Razvoj tetraedra je trikotnik ali paralelogram.
• Opisani paralelepiped je pravokoten.
• Tetraeder ima tri simetrične osi.
• Običajne pravokotnice križajočih se robov so parno pravokotne.
• Sredinske črte so parno pravokotne.
• Obseg obrazov je enak.
• Površine obrazov so enake.
• Višine tetraedra so enake.
• Segmenti, ki povezujejo oglišča s težišči nasprotnih strani, so enaki.
• Polmeri krogov, opisanih v bližini obrazov, so enaki.
• Težišče tetraedra sovpada s središčem opisane krogle.
• Težišče sovpada s središčem vpisane krogle.
• Središče opisane krogle sovpada s središčem vpisane krogle.
• Vpisana krogla se dotika ploskev v središčih krogov, ki so opisani okoli teh ploskov.
• Vsota zunanjih enotnih normal (vektorjev enot, pravokotnih na ploskve) je nič.
• Vsota vseh diedrskih kotov je nič.

Ortocentrični tetraeder

Vse višine, spuščene z vrhov na nasprotne ploskve, se sekajo v eni točki.

Lastnosti ortocentričnega tetraedra:

• Višine tetraedra se v eni točki sekajo.
• Osnove višin tetraedra so ortocentri obrazov.
• Vsaka dva nasprotna robova tetraedra sta pravokotna.
• Vsote kvadratov nasprotnih robov tetraedra so enake.
• Odseki, ki povezujejo središča nasprotnih robov tetraedra, so enaki.
• Produkti kosinusov nasprotnih diedrskih kotov so enaki.
• Vsota kvadratov površin obrazov je štirikrat manjša od vsote kvadratov produktov nasprotnih robov.
• Pri ortocentrični tetraeder 9-točkovni krogi (Eulerjevi krogi) vsake ploskve pripadajo isti krogli (24-točkovni krogli).
• Pri ortocentrični tetraeder težišča in presečišča višin ploskev ter točke, ki delijo segmente vsake višine tetraedra od vrha do točke presečišča višin v razmerju 2:1, ležijo na eni krogli (krogla 12 točk).

Pravokotni tetraeder

Vsi robovi, ki mejijo na eno od vozlišč, so pravokotni drug na drugega. Pravokotni tetraeder dobimo tako, da tetraeder z ravnino odrežemo od pravokotnega paralelepipeda.

Okvirni tetraeder

To je tetraeder, ki izpolnjuje katerega od naslednjih pogojev:

• obstaja krogla, ki se dotika vseh robov,
• vsote dolžin prečnih robov so enake,
• vsote diedrskih kotov na nasprotnih robovih so enake,
• krogi, vpisani v obraze, se dotikajo v parih,
• vsi štirikotniki, ki jih dobimo pri razvoju tetraedra, so opisani,
• navpičnice, postavljene na ploskve iz središč vanje vpisanih krogov, se sekata v eni točki.

Primerljiv tetraeder

Lastnosti sorazmernega tetraedra:

• Bi-višine so enake. Višine tetraedra sta skupni pravokotnici na dva njegova sekajoča se robova (robova, ki nimata skupnih oglišč).
• Projekcija tetraedra na ravnino, pravokotno na katero koli bimedianci, je romb . Bimedianci tetraeder imenujemo segmenti, ki povezujejo središča njegovih poševnih robov (ki nimajo skupnih oglišč).
• Obrazi opisanega paralelepipeda so enaki.
• Izpolnjeni so naslednji odnosi: $4a^2(a\_1)^2-(b^2+(b\_1)^2-c^2-(c\_1)^2)^2=4b^2(b\_1)^2-(c^2+(c\_1)\; ^2-a^2-(a\_1)^2)^2=4c^2(c\_1)^2-(a^2+(a\_1)^2-b^2-(b\_1)^2)^2$, kje $a$ in $a\_1$, $b$ in $b\_1$, $c$ in $c\_1$- dolžine nasprotnih robov.
• Za vsak par nasprotnih robov tetraedra sta ravnini, potegnjeni skozi eno od njih, in središče drugega pravokotni.
• V opisani paralelepiped sorazmernega tetraedra lahko vpišemo kroglo.

Incentrični tetraeder

Pri tej vrsti se segmenti, ki povezujejo oglišča tetraedra s središči krogov, vpisanih v nasprotnih ploskvah, sekajo v eni točki. Lastnosti incentričnega tetraedra:

• Segmenti, ki povezujejo težišča ploskov tetraedra z nasprotnimi oglišči (mediane tetraedra), se vedno sekajo v eni točki. Ta točka je težišče tetraedra.
• Komentar. Če v zadnjem pogoju zamenjamo težišča obrazov z ortocentri obrazov, se bo to spremenilo v novo definicijo ortocentrični tetraeder. Če jih nadomestimo s središči krogov, vpisanih v ploskve, ki jih včasih imenujemo središči, dobimo definicijo novega razreda tetraedrov - incentrično.
• Odseki, ki povezujejo oglišča tetraedra s središči krogov, vpisanih v nasprotnih ploskvah, se sekajo v eni točki.
• Simetrali kotov dveh ploskov, narisanih na skupni rob teh ploskov, imata skupno osnovo.
• Zmnožek dolžin nasprotnih robov je enak.
• Trikotnik, ki ga tvorijo druge točke presečišča treh robov, ki izhajajo iz istega oglišča s katero koli kroglo, ki poteka skozi tri konce teh robov, je enakostranični.

pravilen tetraeder

To je izoedrski tetraeder, v katerem so vse ploskve pravilni trikotniki. Je eno od petih Platonovih teles.

Lastnosti pravilnega tetraedra:

• Vsi robovi tetraedra so enaki
• Vse ploskve tetraedra so enake
• obodi in površine vseh obrazov so enaki.
• Pravilni tetraeder je hkrati ortocentrične, žične, izoedrične, incentrične in sorazmerne.
• Tetraeder je pravilen, če pripada kateri koli dve od naslednjih vrst tetraedrov: ortocentrično, žično, incentrično, sorazmerno, izoedrično.
• Tetraeder je pravilen, če je izogonalno in spada v eno od naslednjih vrst tetraedrov: ortocentrična, žična, incentrična, sorazmerna.
• Oktaeder lahko vpišemo v pravilen tetraeder, poleg tega bodo štiri (od osmih) ploskve oktaedra poravnane s štirimi ploskvami tetraedra, vseh šest oglišč oktaedra bo poravnanih s središči šestih robov tetraedra .
• Pravilni tetraeder je sestavljen iz enega vpisanega oktaedra (v središču) in štirih tetraedrov (vzdolž oglišč), robovi teh tetraedrov in oktaedra pa so za polovico manjši od robov pravilnega tetraedra.
• Pravilen tetraeder lahko vpišemo v kocko na dva načina, poleg tega pa bodo štiri oglišča tetraedra poravnana s štirimi oglišči kocke.
• Pravilen tetraeder lahko vpišemo v ikosaeder, poleg tega pa bodo štiri oglišča tetraedra poravnana s štirimi oglišči ikosaedra.
• Prečni robovi pravilnega tetraedra so medsebojno pravokotni.

Prostornina tetraedra

• Prostornina tetraedra (ob upoštevanju predznaka), katerega vrhovi so v točkah $\backslash mathbf(r)\_1\; (x\_1,y\_1,z\_1),$ $\backslash mathbf(r)\_2\; (x\_2,y\_2,z\_2),$ $\backslash mathbf(r)\_3\; (x\_3,y\_3,z\_3),$ $\backslash mathbf(r)\_4\; (x\_4,y\_4,z\_4),$ enaka

$V\; =\; \backslash frac16$

\begin(vmatrix) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end(vmatrix) = \frac16 \begin( vmatrix) x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1& z_3 - z_1\\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1& z_4 - z_1 \end(vmatrix), oz

$V\; =\; \backslash frac(1)(3)\backslash \; S\; H,$

kje $S$ je območje katerega koli obraza in $H$ je višina spuščena na tem obrazu.

• Prostornina tetraedra v smislu dolžin robov je izražena z determinanto Cayley-Menger:

$288\; \backslash cdot\; V^2\; =$

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_(12)^2 & d_(13)^2 & d_(14)^2 \\ 1 & d_(12)^2 & 0 & d_( 23)^2 & d_(24)^2 \\ 1 & d_(13)^2 & d_(23)^2 & 0 & d_(34)^2 \\ 1 & d_(14)^2 & d_( 24)^2 in d_(34)^2 in 0

\end(vmatrix).

• Ta formula ima ravno analogno površino trikotnika v obliki različice Heronove formule skozi podobno determinanto.
• Prostornina tetraedra glede na dolžine dveh nasprotnih robov a in b kot križajoče se črte, ki so odstranjene v daljavi h drug od drugega in med seboj tvorita kot $\backslash phi$, najdemo po formuli:

$V\; =\; \backslash frac(1)(6)\; ab\; h\; \backslash sin\; \backslash phi\; .$

$V\; =\; \backslash frac(1)(3)\backslash \; abc\; \backslash sqrt\; (D)\; ,$

kje $$D=\backslash begin(vmatrix)$$

1 & \cos \gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end(vmatrix).

• Analog za ravnino zadnje formule je formula za površino trikotnika glede na dolžine njegovih dveh strani a in b, ki izhajajo iz enega oglišča in tvorijo kot med njima $\backslash gama$:

$S\; =\; \backslash frac(1)(2)\backslash \; ab\; \backslash sqrt\; (D)\; ,$

kje $D=\backslash begin(vmatrix)$

1 & \cos \gamma \\ \cos \gamma & 1 \\ \end(vmatrix).

Tetraedri v mikrokozmosu

• Med sp 3 hibridizacijo atomskih orbital nastane pravilen tetraeder (njihove osi so usmerjene na oglišča pravilnega tetraedra, jedro osrednjega atoma pa se nahaja v središču opisane krogle pravilnega tetraedra), zato številne molekule, v katerih poteka taka hibridizacija osrednjega atoma, imajo obliko tega poliedra
• CH 4 molekula metana
• Sulfat ion SO 4 2-, fosfatni ion PO 4 3-, perkloratni ion ClO 4 - in mnogi drugi ioni
• Diamant C je tetraeder z robom, enakim 2,5220 angstromov
• Fluorit CaF 2 , tetraeder z robom enakim 3, 8626 angstromov
• Sphalerit, ZnS, tetraeder z robom enakim 3,823 angstroma
• Kompleksni ioni - , 2- , 2- , 2+
• Silikati, katerih strukture temeljijo na tetraedru silicijevega kisika 4-

Tetraedri v naravi

Nekateri sadeži, ki so na eni strani štirje, se nahajajo na vrhovih tetraedra blizu pravilnega. Ta zasnova je posledica dejstva, da se središča štirih enakih kroglic, ki se dotikajo, nahajajo na vrhovih pravilnega tetraedra. Zato kroglasti plodovi tvorijo podobno medsebojno ureditev. Tako lahko na primer uredite orehe.

Tetraedri v tehniki

Poglej tudi

• Simpleks - n-dimenzionalni tetraeder

Napišite recenzijo na članek "Tetrahedron"

Opombe

Literatura

• Matizen V. E., Dubrovsky. Iz geometrije tetraedra "Kvant", št. 9, 1988, str.66.
• Zaslavsky A. A. // Matematično izobraževanje, ser. 3 (2004), št.8, str.78-92.

pravilno pravilno nekonveksna konveksna formule, izreki, teorije Drugo

Odlomek, ki opisuje tetraeder

Četrti dan so se začeli požari na Zubovskem Valu.
Pierra so s trinajstimi drugimi odpeljali na krimski Ford, v kočijo trgovčeve hiše. Ko se je sprehajal po ulicah, se je Pierre zadušil z dimom, ki se je zdelo, da se dviga po vsem mestu. Požari so bili vidni z vseh strani. Pierre še ni razumel pomena požgane Moskve in je z grozo gledal na te požare.
V kočiji hiše blizu krimskega Forda je Pierre ostal še štiri dni in v teh dneh je iz pogovora francoskih vojakov izvedel, da vsi, ki so tukaj, vsak dan pričakujejo odločitev maršala. Kakšen maršal, Pierre se ni mogel naučiti od vojakov. Za vojaka se je očitno maršal zdel najvišji in nekoliko skrivnosten člen moči.
Ti prvi dnevi, do 8. septembra, dneva, ko so bili ujetniki odpeljani na drugo zaslišanje, so bili za Pierra najtežji.

X
8. septembra je zelo pomemben častnik vstopil v hlev k ujetnikom, sodeč po spoštljivosti, s katero so se pazniki do njega obnašali. Ta častnik, verjetno štabni častnik, s seznamom v rokah, je poimenoval vse Ruse in poklical Pierra: celui qui n "avoue pas son nom [tisti, ki ne izgovori svojega imena]. In ravnodušno in leno ko je pogledal vse ujetnike, je ukazal straži, naj se častnik primerno obleče in pospravi, preden jih odpelje k ​​maršalu. Uro pozneje je prišla četa vojakov, Pierra in trinajst drugih mož pa so odpeljali do Dekliškega Polje. Dan je bil jasen, po dežju sončen in zrak je bil nenavadno čist. Dim se ni plazil, saj se je na dan, ko so Pierra odpeljali iz stražarnice Zubovskega jaška, na čistem zraku v stebrih dvigal dim. ognja ni bilo nikjer videti, toda stebri dima so se dvigali z vseh strani in vsa Moskva, vse, kar je Pierre videl, je bila en požar, vidne so bile puščave s pečmi in dimniki ter občasni požgani zidovi kamnitih hiš na vse strani.Pierre je gledal požare in ni prepoznal znanih mestnih četrti.Ponekod so se videle ohranjene cerkve.Kremelj, neuničen, je že od daleč bel s svojimi stolpi in Ivan Ve obraz. V bližini se je veselo lesketala kupola Novodeviškega samostana, od tam pa so se še posebej glasno slišali zvonovi. Ta Blagovest je Pierra spomnil, da je nedelja in praznik Marijinega rojstva. A zdelo se je, da tega praznika ni bilo nikogar, ki bi praznoval: razvalina požara je bila povsod, od ruskega ljudstva pa so bili le občasno raztrgani, prestrašeni ljudje, ki so se skrivali ob pogledu na Francoze.
Očitno je bilo rusko gnezdo uničeno in uničeno; a za uničenjem tega ruskega življenjskega reda je Pierre nezavedno čutil, da se je nad tem uničenim gnezdom vzpostavil njegov lasten, povsem drugačen, a trden francoski red. Čutil je to po pogledu tistih, ki so veselo in veselo korakali v pravilnih vrstah vojakov, ki so ga spremljali z drugimi zločinci; čutil ga je od pogleda nekega pomembnega francoskega uradnika v dvojni kočiji, ki jo je vozil vojak, ki je jezdil proti njemu. To je čutil od veselih zvokov polkovske glasbe, ki so prihajali z leve strani polja, še posebej pa je to čutil in razumel iz seznama, ki ga je, ko je poklical ujetnike, prebral danes zjutraj prispeli francoski častnik. Pierra je nekaj vojakov odpeljalo na eno mesto, na drugo z desetinami drugih ljudi; zdelo se je, da bi lahko pozabili nanj, ga pomešali z drugimi. Toda ne: odgovori, ki so jih dali med zaslišanjem, so se mu vrnili v obliki njegovega imena: celui qui n "avoue pas son nom. In pod tem imenom, ki je bilo za Pierra grozno, so ga zdaj z nedvomnim zaupanjem nekam vodili na njihove obraze, da so bili vsi drugi zaporniki in on tisti, ki so bili potrebni, in da so jih vodili, kamor so bili potrebni. Pierre se je počutil kot nepomemben žeton, ki je padel v kolesa njemu neznanega, a pravilno delujočega stroja .
Pierra in druge zločince so pripeljali na desno stran Deviškega polja, nedaleč od samostana, v veliko belo hišo z ogromnim vrtom. To je bila hiša kneza Ščerbatova, v kateri je Pierre pogosto obiskoval lastnika in v kateri je zdaj, kot je izvedel iz pogovora vojakov, stal maršal, vojvoda Ekmulski.
Pripeljali so jih na verando in eden za drugim so začeli vstopati v hišo. Pierre je bil pripeljan kot šesti. Skozi stekleno galerijo, predprostor, prednjo dvorano, ki jo Pierre pozna, so ga pripeljali v dolgo nizko pisarno, na vratih katere je stal adjutant.
Davout je sedel na koncu sobe, nad mizo, z očali na nosu. Pierre se mu je približal. Zdelo se je, da se Davout, ne da bi dvignil oči, spopadal s papirjem, ki je ležal pred njim. Ne da bi dvignil oči, je tiho vprašal:
Qui etes vous? [Kdo si ti?]
Pierre je molčal, ker ni mogel izgovoriti besed. Davout za Pierra ni bil le francoski general; kajti Pierre Davout je bil človek, znan po svoji krutosti. Ob pogledu na Davoutov hladen obraz, ki je kot strog učitelj privolil v potrpežljivost in zaenkrat počakati na odgovor, je Pierre začutil, da bi ga lahko vsaka sekunda zamude stala življenja; a ni vedel, kaj naj reče. Ni si upal reči istega, kar je rekel na prvem zaslišanju; razkriti svoj čin in položaj je bilo nevarno in sramotno. Pierre je molčal. Toda preden se je Pierre imel čas za karkoli odločiti, je Davout dvignil glavo, dvignil očala na čelo, potegnil oči in pozorno pogledal Pierra.
»Poznam tega človeka,« je rekel z odmerjenim, hladnim glasom, očitno izračunanim, da bi prestrašil Pierra. Mraz, ki je prej stekel po Pierrovem hrbtu, ga je prijel za glavo kot primež.
– Mon general, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu … [Nisi me mogel poznati, general, nikoli te nisem videl.]
- C "est un espion russe, [To je ruski vohun,] - ga je prekinil Davout in se obrnil k drugemu generalu, ki je bil v sobi in ki ga Pierre ni opazil. In Davout se je obrnil stran. Z nepričakovanim bukom v glasu, Pierre je nenadoma hitro spregovoril.
"Ne, monseigneur," je rekel in se nenadoma spomnil, da je bil Davout vojvoda. - Non, Monseigneur, vous n "avez pas pu me connaitre. Je suis un officier militionnaire et je n" ai pas quitte Moscou. [Ne, vaša visokost ... Ne, vaša visokost, niste me mogli poznati. Sem policist in nisem zapustil Moskve.]
– Votre nom? [Vaše ime?] je ponovil Davout.
- Besouhof. [Bezuhov.]
- Qu "est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [Kdo mi bo dokazal, da ne lažeš?]
- Monseigneur! [Vaša visost!] Pierre je zavpil ne užaljeno, ampak s prosijočim glasom.
Davout je dvignil oči in pozorno pogledal Pierra. Nekaj ​​sekund sta se gledala in ta pogled je rešil Pierra. V tem pogledu se je poleg vseh pogojev vojne in sodbe med tema dvema osebama vzpostavil človeški odnos. Oba sta v tej eni minuti nejasno začutila nešteto stvari in spoznala, da sta oba otroka človeštva, da sta brata.
Na prvi pogled je bil za Davouta, ki je samo dvignil glavo s svojega seznama, kjer so človeške zadeve in življenje imenovali številke, Pierre le okoliščina; in ne da bi vzel slabo dejanje v svojo vest, bi ga Davout ustrelil; zdaj pa ga je videl kot moškega. Za trenutek je pomislil.
– Komentiraj me prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Kako mi boš dokazal pravičnost svojih besed?] – je hladno rekel Davout.
Pierre se je spomnil Rambala in poimenoval svoj polk, svoj priimek in ulico, na kateri je bila hiša.
- Vous n "etes pas ce que vous dites, [Nisi to, kar praviš.] - je ponovno rekel Davout.
Pierre je s tresočim, zlomljenim glasom začel dokazovati veljavnost svojega pričevanja.
Toda v tistem trenutku je vstopil adjutant in nekaj sporočil Davoutu.
Davout je nenadoma zasijal ob novici, ki jo je povedal adjutant, in se začel zapenjati. Očitno je popolnoma pozabil na Pierra.
Ko ga je adjutant spomnil na ujetnika, je namrščeno prikimal v smeri Pierra in mu rekel, naj ga vodijo. Toda kam naj bi ga peljali - Pierre ni vedel: nazaj v kabino ali na pripravljen kraj usmrtitve, ki so mu ga, ko gre skozi Dekliško polje, pokazali tovariši.
Obrnil je glavo in videl, da adjutant spet nekaj sprašuje.
– Oui, sans doute! [Da, seveda!] - je rekel Davout, a Pierre ni vedel, kaj je "da".
Pierre se ni spomnil, kako, kako dolgo je hodil in kam. On je v stanju popolne nespametnosti in omamljenosti, ne da bi videl ničesar okoli sebe, premikal noge skupaj z drugimi, dokler niso vsi obstali, on pa se je ustavil. Ena misel za ves ta čas je bila v glavi Pierra. Bila je misel na to, kdo ga je končno obsodil na smrt. To niso bili isti ljudje, ki so ga zasliševali v komisiji: nihče od njih tega ni hotel in očitno ni mogel storiti. Ni bil Davout tisti, ki ga je tako človeško pogledal. Še eno minuto in Davout bi razumel, kaj delajo slabo, a to minuto je preprečil adjutant, ki je vstopil. In ta adjutant očitno ni hotel nič slabega, a morda ne bi vstopil. Kdo mu je končno usmrtil, ubil, vzel življenje - Pierra z vsemi svojimi spomini, težnjami, upi, mislimi? Kdo je to storil? In Pierre je čutil, da je nihče.
To je bil ukaz, skladišče okoliščin.
Nekakšen red ga je ubijal - Pierra, mu je odvzel življenje, vse, ga uničil.

Iz hiše kneza Ščerbatova so ujetnike odpeljali naravnost po Dekliškem polju, levo od Deviškega samostana, in jih pripeljali na vrt, na katerem je stal steber. Za postojanko je bila velika jama s sveže izkopano zemljo in velika množica ljudi je stala v polkrogu okoli jame in stebrička. Množico je sestavljalo majhno število Rusov in veliko število Napoleonovih čet brez reda: Nemci, Italijani in Francozi v heterogenih uniformah. Desno in levo od stebra sta stala fronta francoskih čet v modrih uniformah z rdečimi epoletami, škornji in shakosi.
Zločince so postavili po določenem vrstnem redu, ki je bil na seznamu (Pierre je bil šesti), in jih pripeljali na delovno mesto. Več bobnov je nenadoma udarilo z obeh strani in Pierre je začutil, da se mu s tem zvokom zdi, da se mu odtrga del duše. Izgubil je sposobnost razmišljanja in sklepanja. Lahko je samo videl in slišal. In imel je samo eno željo - željo, da se čim prej naredi nekaj strašnega, kar je bilo treba storiti. Pierre se je ozrl na svoje tovariše in jih pregledal.
Dva človeka z roba sta bila obrita stražarja. Eden je visok, suh; drugi je črn, kosmat, mišičast, s sploščenim nosom. Tretja je bila dvorišča, stara okoli petindvajset let, s sivimi lasmi in polnim, nahranjenim telesom. Četrti je bil kmet, zelo čeden, s košato plavo brado in črnimi očmi. Peti je bil tovarniški delavec, rumen, suh, osemnajst let star, v domači halji.
Pierre je slišal, da so Francozi razpravljali, kako streljati - enega za drugim ali dva naenkrat? "Dva," je hladno in mirno odgovoril višji častnik. V vrstah vojakov je prišlo do gibanja in opaziti je bilo, da se je vsem mudilo - in mudilo se je ne tako, kot se jim mudi opraviti nalogo, ki je vsem razumljiva, ampak v tako kot se jim mudi opraviti potrebno, a neprijetno in nerazumljivo nalogo.
Francoski uradnik v ruti se je približal desni strani vrste zločincev in prebral sodbo v ruščini in francoščini.
Nato sta se dva para Francozov približala zločincem in po navodilih častnika vzela dva stražnika, ki sta stala na robu. Stražarji, ki so šli na postojanko, so se ustavili in, ko so prinesli vreče, se tiho ozrli okoli sebe, kakor stržena žival gleda primernega lovca. Eden se je kar naprej križal, drugi se je praskal po hrbtu in z ustnicami naredil gib kot nasmeh. Vojaki, ki so hiteli z rokami, so jim začeli zavezovati oči, si nadeti vreče in jih privezati na steber.
Dvanajst mož strelcev je z odmerjenimi, čvrstimi koraki stopilo izza vrst in se ustavilo osem korakov od stupa. Pierre se je obrnil stran, da ne bi videl, kaj prihaja. Nenadoma se je zaslišal trk in rjovenje, ki se je Pierru zdelo glasnejše od najstrašnejših gromov, in se je ozrl naokoli. Dimilo se je in Francozi so z bledimi obrazi in tresočimi rokami nekaj počeli ob jami. Vzeli so druga dva. Enako, z istimi očmi sta ta dva gledala na vse, zaman, z istimi očmi, molče, prosila za zaščito in očitno nista razumela in ne verjela, kaj se bo zgodilo. Niso mogli verjeti, saj so edini vedeli, kakšno je njihovo življenje zanje, zato niso razumeli in niso verjeli, da bi mu ga lahko vzeli.
Pierre ni hotel pogledati in se je spet obrnil; toda spet, kakor da bi strašna eksplozija zadela njegov sluh, in skupaj s temi zvoki je zagledal dim, nečijo kri in blede, prestrašene obraze Francozov, ki so spet nekaj počeli pri postojanki in se potiskali s tresočimi rokami. Pierre, ki je težko dihal, se je ozrl okoli sebe, kot da bi vprašal: kaj je to? Enako vprašanje je bilo v vseh pogledih, ki so se srečali s Pierrovimi.

V tej lekciji si bomo ogledali tetraeder in njegove elemente (rob tetraedra, površina, ploskve, oglišča). Rešili bomo več problemov za konstruiranje odsekov v tetraedru z uporabo splošne metode za konstruiranje odsekov.

Tema: Vzporednost premic in ravnin

Lekcija: Tetraeder. Problemi pri izdelavi presekov v tetraedru

Kako zgraditi tetraeder? Vzemite poljuben trikotnik ABC. Samovoljna točka D ne leži v ravnini tega trikotnika. Dobimo 4 trikotnike. Površina, ki jo tvorijo ti 4 trikotniki, se imenuje tetraeder (slika 1.). Notranje točke, ki jih omejuje ta površina, so tudi del tetraedra.

riž. 1. Tetraeder ABCD

Elementi tetraedra
A,B, C, D - oglišča tetraedra.
AB, AC, AD, pr, BD, CD - robovi tetraedra.
ABC, ABD, bdc, ADC - ploskve tetraedra.

Komentar: lahko vzameš letalo ABC per osnova tetraedra, nato pa točka D je vrh tetraedra. Vsak rob tetraedra je presečišče dveh ravnin. Na primer rebro AB je presečišče ravnin ABD in ABC. Vsako oglišče tetraedra je presečišče treh ravnin. Vertex A leži v ravninah ABC, ABD, ADZ. Dot A je presečišče treh označenih ravnin. To dejstvo je zapisano takole: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definicija tetraedra

torej tetraeder je površina, ki jo tvorijo štirje trikotniki.

Rob tetraedra- presečišče dveh ravnin tetraedra.

Iz 6 vžigalic naredite 4 enake trikotnike. Težave ni mogoče rešiti na letalu. In v vesolju je to enostavno narediti. Vzemimo tetraeder. 6 vžigalic so njegovi robovi, štiri ploskve tetraedra in bodo štirje enaki trikotniki. Problem rešen.

Dan tetraeder ABCD. Dot M pripada robu tetraedra AB, pika N pripada robu tetraedra VD in pika R spada na rob DZ(slika 2.). Konstruiraj prerez tetraedra z ravnino MNP.

riž. 2. Risba za nalogo 2 - Konstruiraj prerez tetraedra z ravnino

Rešitev:
Razmislite o obrazu tetraedra Dsonce. Na tem robu točke N in P obrazi pripadajo Dsonce, in s tem tetraeder. Ampak glede na pogoj točke N, P pripadajo rezalni ravnini. pomeni, NP je presečišče dveh ravnin: čelne ravnine Dsonce in rezalno ravnino. Predpostavimo, da so črte NP in sonce niso vzporedni. Ležijo v isti ravnini Dsonce. Poiščite točko presečišča premic NP in sonce. Označimo ga E(slika 3.).

riž. 3. Risba za nalogo 2. Iskanje točke E

Dot E pripada presečni ravnini MNP, saj leži na črti NP, in ravna črta NP v celoti leži v ravnini preseka MNP.

Tudi pika E leži v ravnini ABC ker leži na črti sonce iz letala ABC.

To razumemo JEJ- linija presečišča ravnin ABC in MNP, ker točke E in M ležijo hkrati v dveh ravninah - ABC in MNP. Povežite pike M in E, in nadaljujte s črto JEJ do križišča s črto AC. točka presečišča črt JEJ in AC označujejo Q.

Torej v tem primeru NPQM- želeni odsek.

riž. 4. Risba za problem 2. Rešitev problema 2

Razmislite zdaj o primeru, ko NP vzporedno pr. Če naravnost NP vzporedno z neko črto, na primer s črto sonce iz letala ABC, nato ravna črta NP vzporedno s celotno ravnino ABC.

Želena presečna ravnina poteka skozi ravno črto NP, vzporedno z ravnino ABC, in seka ravnino v ravni črti MQ. Torej linija križišča MQ vzporedno z ravno črto NP. Dobimo NPQM- želeni odsek.

Dot M leži na strani ADV tetraeder ABCD. Konstruiraj prerez tetraedra z ravnino, ki poteka skozi točko M vzporedno z bazo ABC.

riž. 5. Risba za nalogo 3 Konstruiraj prerez tetraedra z ravnino

rešitev:
rezalna ravnina φ vzporedno z ravnino ABC po stanju, potem to letalo φ vzporedno z ravnimi črtami AB, AC, sonce.
V letalu ABD skozi točko M potegnimo ravno črto PQ vzporedno AB(slika 5). naravnost PQ leži v ravnini ABD. Podobno v letalu ACD skozi točko R potegnimo ravno črto PR vzporedno AC. dobil točko R. Dve sekajoči se črti PQ in PR letalo PQR sta vzporedna z dvema sekajočima se premicama AB in AC letalo ABC, torej letala ABC in PQR so vzporedne. PQR- želeni odsek. Problem rešen.

Dan tetraeder ABCD. Dot M- notranja točka, točka ploskve tetraedra ABD. N- notranja točka segmenta DZ(slika 6.). Konstruiraj točko presečišča premice NM in letalo ABC.

riž. 6. Risba za nalogo 4

rešitev:
Za rešitev konstruiramo pomožno ravnino DMN. Pustite črto DM seka premico AB v točki TO(slika 7.). potem SCD je odsek letala DMN in tetraeder. V letalu DMN laži in naravnost NM, in nastala vrstica SC. Torej če NM ne vzporedno SC, potem se na neki točki sekajo R. Dot R in bo želena točka presečišča črte NM in letalo ABC.

riž. 7. Risba za 4. problem. Rešitev 4. problema

Dan tetraeder ABCD. M- notranja točka obraza ABD. R- notranja točka obraza ABC. N- notranja točka roba DZ(slika 8.). Konstruiraj prerez tetraedra z ravnino, ki poteka skozi točke M, N in R.

riž. 8. Risba za nalogo 5 Konstruiraj prerez tetraedra z ravnino

rešitev:
Razmislite o prvem primeru, ko je črta MN ni vzporedna z ravnino ABC. V prejšnjem problemu smo našli točko presečišča premice MN in letalo ABC. To je bistvo TO, dobimo ga z uporabo pomožne ravnine DMN, tj. delamo DM in dobiš točko F. Preživimo CF in na križišču MN dobiti točko TO.

riž. 9. Risba za nalogo 5. Iskanje točke K

Narišemo ravno črto KR. naravnost KR leži tako v ravnini preseka kot v ravnini ABC. Pridobivanje točk R 1 in R 2. Povezovanje R 1 in M in v nadaljevanju dobimo točko M 1. Povezovanje točke R 2 in N. Kot rezultat dobimo želeni prerez R 1 R 2 NM 1. Problem v prvem primeru je rešen.
Razmislite o drugem primeru, ko je črta MN vzporedno z ravnino ABC. Letalo MNP gre skozi ravno črto MN vzporedno z ravnino ABC in prečka ravnino ABC po neki liniji R 1 R 2, nato ravna črta R 1 R 2 vzporedno s to črto MN(slika 10.).

riž. 10. Risba za problem 5. Želeni odsek

Zdaj pa potegnimo črto R 1 M in dobiš točko M 1.R 1 R 2 NM 1- želeni odsek.

Torej, obravnavali smo tetraeder, rešili nekaj tipičnih nalog na tetraedru. V naslednji lekciji si bomo ogledali škatlo.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdaja, popravljena in dopolnjena - M .: Mnemosyne, 2008. - 288 str. : bolna. Geometrija. 10-11 razred: učbenik za dijake splošnoizobraževalnih ustanov (osnovna in profilna raven)

2. Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 str.: ilustr. Geometrija. 10-11 razred: Učbenik za splošno izobraževalne ustanove

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izdaja, stereotip. - M. : Droha, 008. - 233 str. :ill. Geometrija. 10. razred: Učbenik za splošno izobraževalne ustanove s poglobljenim in profilnim študijem matematike

Dodatni spletni viri

2. Kako sestaviti prerez tetraedra. Matematika ().

3. Festival pedagoških idej ().

Doma naredite naloge na temo "Tetraeder", kako najti rob tetraedra, ploskve tetraedra, oglišča in površino tetraedra

1. Geometrija. 10-11 razred: učbenik za študente izobraževalnih ustanov (osnovne in profilne ravni) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdaja, popravljena in dopolnjena - M.: Mnemozina, 2008. - 288 str.: ilustr. Naloge 18, 19, 20 str

2. Točka E srednjega rebra MA tetraeder IAWS. Konstruiraj prerez tetraedra z ravnino, ki poteka skozi točke B, C in E.

3. V tetraedru MAVS točka M pripada ploskvi AMB, točka P ploskvi BMC in točka K robu AC. Konstruiraj prerez tetraedra z ravnino, ki poteka skozi točke M, R, K.

4. Katere številke lahko dobimo kot rezultat preseka tetraedra z ravnino?

Opomba. To je del lekcije s problemi iz geometrije (odsek trdna geometrija, problemi o piramidi). Če morate rešiti problem v geometriji, ki ga tukaj ni - pišite o tem na forumu. V nalogah se namesto simbola "kvadratni koren" uporablja funkcija sqrt (), v kateri je sqrt simbol kvadratnega korena, radikalni izraz pa je naveden v oklepajih.Za preproste radikalne izraze lahko uporabite znak "√".. pravilen tetraeder je pravilna trikotna piramida, v kateri so vse ploskve enakostranični trikotniki.

Za pravilen tetraeder so vsi diedrski koti na robovih in vsi triedrski koti na vozliščih enaki

Tetraeder ima 4 ploskve, 4 oglišča in 6 robov.

Osnovne formule za pravilen tetraeder so podane v tabeli.

Kje:
S - Površina pravilnega tetraedra
V - prostornina
h - višina spuščena na podlago
r - polmer kroga, vpisanega v tetraeder
R - polmer opisanega kroga
a - dolžina rebra

Praktični primeri

Naloga.
Poiščite površino trikotne piramide, pri čemer je vsak rob enak √3

Rešitev.
Ker so vsi robovi trikotne piramide enaki, je pravilna. Površina pravilne trikotne piramide je S = a 2 √3.
Potem
S = 3√3

Odgovori: 3√3

Naloga.
Vsi robovi pravilne trikotne piramide so 4 cm Poišči prostornino piramide

Rešitev.
Ker je pri pravilni trikotni piramidi višina piramide projicirana na središče osnove, ki je tudi središče opisanega kroga, potem

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Tako lahko višino piramide OM najdemo iz pravokotnega trikotnika AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Prostornino piramide najdemo po formuli V = 1/3 Sh
V tem primeru najdemo površino osnove po formuli S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Odgovori: 16√2/3cm

Razdelki: matematika

Načrt priprave in izvedbe pouka:

I. Pripravljalna faza:

1. Ponavljanje znanih lastnosti trikotne piramide.
2. Postavljanje hipotez o možnih značilnostih tetraedra, ki še niso bile obravnavane.
3. Oblikovanje skupin za izvajanje raziskav o teh hipotezah.
4. Razporeditev nalog za vsako skupino (ob upoštevanju želje).
5. Porazdelitev odgovornosti za nalogo.

II. Glavni oder:

1. Rešitev hipoteze.
2. Posvetovanja z učiteljem.
3. Delovna oblika.

III. Končna faza:

1. Predstavitev in zagovor hipoteze.

Cilji lekcije:

• posplošiti in sistematizirati znanja in veščine učencev; preučiti dodatno teoretično gradivo na določeno temo; naučiti uporabljati znanje pri reševanju nestandardnih problemov, v njih videti preproste sestavine;
• oblikovati spretnost učencev za delo z dodatno literaturo, izboljšati sposobnost analiziranja, posploševanja, iskanja glavnega v prebranem, dokazovanja novih stvari; razvijati komunikacijske sposobnosti učencev;
• gojiti grafično kulturo.

Pripravljalna faza (1 lekcija):

1. Študentovo sporočilo "Skrivnosti velikih piramid".
2. Uvodni govor učitelja o raznolikosti vrst piramid.
3. Vprašanja za razpravo:

• Na podlagi česa je mogoče kombinirati nepravilne trikotne piramide
• Kaj mislimo z ortocentrom trikotnika in kaj lahko imenujemo ortocenter tetraedra
• Ali ima pravokoten tetraeder ortocenter?
• Kateri tetraeder se imenuje izoeder Kakšne lastnosti ima lahko

1. Kot rezultat obravnave različnih tetraedrov, razprave o njihovih lastnostih, se koncepti razjasnijo in pojavi se določena struktura:

1. Razmislite o lastnostih pravilnega tetraedra (Dodatek).

Lastnosti 1-4 so dokazane ustno z uporabo diapozitiva 1.

Lastnost 1: Vsi robovi so enaki.

Lastnost 2: Vsi ravninski koti so 60°.

Lastnost 3: Vsote ravninskih kotov na vseh treh ogliščih tetraedra so 180°.

Lastnost 4: Če je tetraeder pravilen, se katero koli njegovo oglišče projicira v ortocenter nasprotne ploskve.

dano:

ABCD je pravilen tetraeder

AH - višina

Dokaži:

H - ortocenter

Dokaz:

1) točka H lahko sovpada s katero koli točko A, B, C. Naj bo H ?B, H ?C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Razmislite o ABH, BCH, ADH

AD - splošno => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH

AB \u003d AC \u003d AD t. H - je ortocenter ABC

Q.E.D.

1. V prvi lekciji so lastnosti 5-9 oblikovane kot hipoteze, ki zahtevajo dokaz.

Vsaka skupina dobi svojo domačo nalogo:

Dokaži eno od lastnosti.

Pripravite utemeljitev s predstavitvijo.

II. Glavna faza (v enem tednu):

1. Rešitev hipoteze.
2. Posvetovanja z učiteljem.
3. Delovna oblika.

III. Končna faza (1-2 uri):

Predstavitev in zagovor hipoteze s pomočjo predstavitev.

Pri pripravi gradiva za zaključno lekcijo učenci pridejo do zaključka o značilnostih točke presečišča višin, strinjamo se, da jo imenujemo "neverjetna" točka.

Lastnost 5: središča opisane in vpisane krogle sovpadata.

dano:

DABC je pravilen tetraeder

Približno 1 - središče opisane krogle

O - središče vpisane krogle

N je stična točka vpisane krogle s ploskvijo ABC

Dokaži: O 1 = O

Dokaz:

Naj bodo OA = OB =OD = OC polmeri opisanega kroga

Spusti ON + (ABC)

AON = CON - pravokoten, vzdolž kraka in hipotenuza => AN = CN

Izpusti OM + (BCD)

COM DOM - pravokoten, vzdolž kraka in hipotenuze => CM = DM

Iz odstavka 1 CON COM => ON = OM

ОN + (ABC) => ON,OM - polmeri vpisanega kroga.

Izrek je dokazan.

Za pravilen tetraeder obstaja možnost njegove medsebojne razporeditve s kroglo - stik z določeno kroglo z vsemi njenimi robovi. Takšna krogla se včasih imenuje "polvpisana" krogla.

Lastnost 6: Odseki, ki povezujejo središča nasprotnih robov in so pravokotni na te robove, so polmeri polvpisane krogle.

dano:

ABCD je pravilen tetraeder;

AL=BL, AK=CK, AS=DS,

BP=CP, BM=DM, CN=DN.

Dokaži:

LO=OK=OS=OM=ON=OP

Dokaz.

Tetraeder ABCD - pravilen => AO= BO = CO = DO

Razmislite o trikotnikih AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO=BO=>?AOB – enakokraki =>
OL - mediana, višina, simetrala
AO=CO=>?AOC– enakokraki =>
OK - mediana, višina, simetrala
CO=DO=>?COD– enakokraki =>
ON– mediana, višina, simetrala AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD–enakokraki => BOD=BOC=AOD
OM – mediana, višina, simetrala
AO=DO=>?AOD– enakokraki =>
OS - mediana, višina, simetrala
BO=CO=>?BOC– enakokraki =>
OP– mediana, višina, simetrala
AO=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - višine v enakih polmerih OL, OK, ON, OM, OS, OP

enakokraki trikotniki krogle

Posledica:

Pravilen tetraeder vsebuje polvpisano kroglo.

Lastnost 7:če je tetraeder pravilen, sta vsaka dva nasprotna robova tetraedra medsebojno pravokotna.

dano:

DABC je pravilen tetraeder;

H - ortocenter

Dokaži:

Dokaz:

DABC - pravilen tetraeder =>? ADB - enakostranični

(ADB) (EDC) = ED

ED - višina ADB => ED +AB,

AB + CE ,=> AB+ (EDC) => AB + CD.

Podobno se dokaže pravokotnost ostalih robov.

Lastnost 8: Šest ravnin simetrije se seka v eni točki. Štiri ravne črte se sekajo v točki O, potegnjene skozi središča opisanih krogov v bližini ploskev, pravokotnih na ravnine ploskve, in točka O je središče opisane krogle.

dano:

ABCD je pravilen tetraeder

Dokaži:

O je središče opisane krogle;

6 simetričnih ravnin se seka v točki O;

Dokaz.

CG + BD BCD - enakostranični => GO + BD (po izreku treh pravokotnic GO + BD)

BG = GD, ker AG - ABD mediana

ABD (ABD)=> ? BOD - enakokraki => BO=DO

ED + AB, kot ABD - enakostranični => OE + AD (po izreku o treh pravokotnicah)

BE = AE, ker DE - mediana?ABD

ABD (ABD) =>?AOB - enakokraki =>BO=AO

(AOB) (ABD) = AB

ON + (ABC) OF + AC (s tremi

BF + AC, ker ABC - enakostranične pravokotnice)

AF = FC, ker BF - mediana? ABC

ABC (ABC) => AOC - enakokraki => AO = CO

(AOC) ?(ABC) = AC

BO = AO =>AO = BO = CO = DO so polmeri krogle,

AO = CO, ki je opisan okoli tetraedra ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = BO

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = DO

AB + (ABR) (ABR) (BCT) (ACG) (ADH) (CED) (BDF)

torej:

Točka O je središče opisane krogle,

V točki O se seka 6 simetričnih ravnin.

Lastnost 9: Top kot med navpičnicama, ki potekata skozi oglišča tetraedra na ortocentre, je 109°28"

dano:

ABCD je pravilen tetraeder;

O je središče opisane krogle;

Dokaži:

Dokaz:

1) AS - višina

ASB = 90 o OSB pravokoten

2) (glede na lastnost pravilnega tetraedra)

3)AO=BO - polmeri opisane krogle

4) 70°32"

6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC

je presečišče višin pravilnega tetraedra

je središče vpisane krogle

je središče napol vpisane krogle

je središče opisane krogle

je težišče tetraedra

je oglišče štirih enakih pravilnih trikotnih piramid z osnovami - ploskvami tetraedra.

Zaključek.

(Učitelj in učenci povzamejo pouk. Eden od učencev spregovori s kratkim poročilom o tetraedrih kot strukturni enoti kemijskih elementov.)

Proučujemo lastnosti pravilnega tetraedra in njegove »presenetljive« točke.

Ugotovljeno je bilo, da obliko samo takega tetraedra, ki ima vse zgoraj navedene lastnosti, pa tudi "idealno" točko, lahko zasedajo molekule silikatov in ogljikovodikov. Ali pa so molekule lahko sestavljene iz več pravilnih tetraedrov. Trenutno je tetraeder znan ne le kot predstavnik starodavne civilizacije, matematike, ampak tudi kot osnova strukture snovi.

Silikati so soli podobne snovi, ki vsebujejo silicijeve spojine s kisikom. Njihovo ime izvira iz latinske besede "silex" - "kresen". Osnova silikatnih molekul so atomski radikali v obliki tetraedrov.

Silikati so pesek, glina, opeka, steklo, cement, emajl, smukec, azbest, smaragd in topaz.

Silikati sestavljajo več kot 75 % zemeljske skorje (in skupaj s kremenom približno 87 %) in več kot 95 % magmatskih kamnin.

Pomembna lastnost silikatov je zmožnost medsebojnega združevanja (polimerizacije) dveh ali več tetraedrov silicij-kisik skozi skupni atom kisika.

Ista oblika molekul ima nasičene ogljikovodike, vendar so za razliko od silikatov sestavljene iz ogljika in vodika. Splošna formula molekul

Ogljikovodiki vključujejo zemeljski plin.

Upoštevati je treba lastnosti pravokotnih in izoedričnih tetraedrov.

Literatura.

• Potapov V.M., Tatarinčik S.N. "Organska kemija", Moskva 1976.
• Babarin V.P. "Skrivnosti velikih piramid", Sankt Peterburg, 2000
• Sharygin I. F. "Problemi v geometriji", Moskva, 1984
• Velik enciklopedični slovar.
• "Šolski imenik", Moskva, 2001.

|
tetraeder, tetraeder formule
Tetraeder(starogrško τετρά-εδρον - tetraeder, iz druge grščine. τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέτορες, τέτορες - "štiri" + drugo grško. ἕδρα - "sedež, osnova") - najpreprostejši polieder, katerega ploskve so štirje trikotniki. Tetraeder ima 4 ploskve, 4 oglišča in 6 robov. Tetraeder, v katerem so vse ploskve enakostranični trikotniki, se imenuje pravilen. Pravilni tetraeder je eden od petih pravilnih poliedrov.

• 1 Lastnosti tetraedra
• 2 Vrste tetraedrov
• 3 Prostornina tetraedra
• 4 Tetraedri v mikrokozmosu
• 5 Tetraedri v naravi
• 6 Tetraedri v tehniki
• 7 Opombe
• 8 Glej tudi

Lastnosti tetraedra

• Vzporedne ravnine, ki potekajo skozi pare križajočih se robov tetraedra, določajo paralelepiped, opisan blizu tetraedra.
• Ravnina, ki poteka skozi središča dveh sekajočih se robov tetraedra, ga razdeli na dva dela, enaka po prostornini.: 216-217

Vrste tetraedrov

Poleg pravilnega tetraedra se razlikujejo naslednje posebne vrste tetraedrov.

• Enakostranični tetraeder, v katerem so vse ploskve enakomerne trikotnike.
• Ortocentrični tetraeder, v katerem se vse višine, spuščene z vrhov na nasprotne ploskve, sekajo v eni točki.
• Pravokotni tetraeder, v katerem so vsi robovi, ki mejijo na eno od oglišč, pravokotni drug na drugega.
• Skeleton tetraeder – tetraeder, ki izpolnjuje katerega koli od naslednjih pogojev:
  • obstaja krogla, ki se dotika vseh robov,
  • vsote dolžin prečnih robov so enake,
  • vsote diedrskih kotov na nasprotnih robovih so enake,
  • krogi, vpisani v obraze, se dotikajo v parih,
  • vsi štirikotniki, ki izhajajo iz razvoja tetraedra, so opisani,
  • navpičnice, postavljene na ploskve iz središč vanje vpisanih krogov, se sekata v eni točki.
• Sorazmerni tetraeder, katerega višine bi enake.
• Incentrični tetraeder, v katerem se segmenti, ki povezujejo oglišča tetraedra s središči krogov, vpisanih v nasprotne ploskve, sekajo v eni točki.

Prostornina tetraedra

Prostornina tetraedra (ob upoštevanju predznaka), katerega oglišča so v točkah, je enaka:

Ali kje je površina katerega koli obraza in ali je višina spuščena na to obraz.

Glede na dolžine robov je prostornina tetraedra izražena z determinanto Cayley-Menger:

Tetraedri v mikrokozmosu

• Med sp3 hibridizacijo atomskih orbital nastane pravilen tetraeder (njihove osi so usmerjene na oglišča pravilnega tetraedra, jedro osrednjega atoma pa se nahaja v središču opisane krogle pravilnega tetraedra), zato je veliko molekule, v katerih poteka takšna hibridizacija osrednjega atoma, imajo obliko tega poliedra
• molekula metana CH4
• Amonijev ion NH4+
• Sulfatni ion SO42-, fosfatni ion PO43-, perkloratni ion ClO4- in mnogi drugi ioni
• Diamant C je tetraeder z robom, enakim 2,5220 angstromov
• Fluorit CaF2, tetraeder z robom enakim 3, 8626 angstromov
• Sphalerit, ZnS, tetraeder z robom enakim 3,823 angstroma
• Kompleksni ioni -, 2-, 2-, 2+
• Silikati na osnovi silicijevega kisikovega tetraedra 4-

Tetraedri v naravi

orehov tetraeder

Nekateri sadeži, ki so na eni strani štirje, se nahajajo na vrhovih tetraedra blizu pravilnega. Ta zasnova je posledica dejstva, da se središča štirih enakih kroglic, ki se dotikajo, nahajajo na vrhovih pravilnega tetraedra. Zato kroglasti plodovi tvorijo podobno medsebojno ureditev. Tako lahko na primer uredite orehe.

Tetraedri v tehniki

• Tetraeder tvori togo, statično določeno strukturo. Tetraeder iz palic se pogosto uporablja kot osnova za prostorske nosilne konstrukcije gradbenih razponov, stropov, tramov, rešetk, mostov itd. Palice doživljajo le vzdolžne obremenitve.
• Pravokotni tetraeder se uporablja v optiki. Če so ploskve s pravim kotom prekrite z odsevno sestavo ali je celoten tetraeder izdelan iz materiala z močnim lomom svetlobe, tako da se pojavi učinek popolnega notranjega odboja, potem bo svetloba, usmerjena na obraz nasproti oglišča s pravimi koti, se odraža v isti smeri, iz katere je prišel. Ta lastnost se uporablja za ustvarjanje kotnih reflektorjev, reflektorjev.
• Kvaternarni sprožilni graf je tetraeder.

Opombe

1. Dvoretskyjev starogrško-ruski slovar "τετρά-εδρον"
2. Selivanov D.F.,. Geometrično telo // Enciklopedični slovar Brockhausa in Efrona: 86 zvezkov (82 zvezkov in 4 dodatni). - Sankt Peterburg, 1890-1907.
3. Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektorska algebra v primerih in problemih. - M.: Višja šola, 1985. - 232 str.
4. V. E. MATIZEN Izoedrski in žični tetraedri "Quantum" št. 7, 1983
5. http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Sprožilec

Poglej tudi

• Simpleks - n-dimenzionalni tetraeder

Poliedri
pravilno (platonska telesa)
pravilno nekonveksna	Zvezdasti dodekaeder Zvezdasti ikozidodekaeder Zvezdasti ikosaeder Zvezdasti polieder Zvezdni oktaeder
konveksna	Arhimedove trdne snovi Cuboctahedron Icosidodecahedron Prisečen tetraeder Truncated oktaeder Truncated icosahedron Truncated cube Okrnjen dodekaeder Rombicuboctahedron Rombicosidodecahedron Rombicosidodecahedron Rombicosidodecahedron Truncated cuboctahedron Truncated icosaeder Truncated cube Rombicuboctahedron Rhombicosidodecahedron Rombicosidodecahedron Okrnjeni kuboktaeder Truncated icosahedron icosahedron Shombodocubodecahedron Shombodocubodecahedron Shombodocubodecahed S Katalonska telesa Rombododekaeder Rombotriakontaeder Triakistetraeder Tetrakišeksaeder Pentakisdodekaeder Triakisoktaeder Triakisikosaeder Deltoid ikositetraeder Deltoidni heksekontaeder Pentagonalni ikozitetraeder Pentagonedodekaeder Pentagoned hekseron Diskrondaeder Brez popolne prostorski simetrija piramida prizma bipiramida antiprizma zonoeder paralelepiped romboeder prizmatoidna okrnjena piramida Pentagondodekaeder Paraleloeder
formule, izreki teorije	Aleksandrov izrek o konveksnih politopih Bleeckerjev izrek Cauchyjev izrek o politopih Lindelöfov izrek o politopu Minkowskijev izrek o politopih Sabitovov izrek Eulerjev izrek o politopih Schläflijeva formula
Drugo	Ortocentrični tetraeder Izoedrski tetraeder Pravokotni paralelepiped Skupina poliedrov Dodekaedri Polni kot Enota kocka Fleksibilni polieder Razvoj Schläflijev simbol Johnsonov politop

tetraeder tetraeder tetraeder papirni tetraeder, slike tetraedra, slike tetraedra, slike tetraedra, definicija tetraedra, definicija tetraedra, definicija tetraedra, formula tetraeder, formula tetraeder, formula tetraeder, tetraeder tetraeder, vzorec tetraedra tetra, risba tetraedra tetra, vzorec tetraedra, risba tetraedra

Informacije o Tetraedru