Enotni državni izpit iz matematike (profil). Branje izpeljanega grafa

pozdravljena Zadenimo prihajajoči enotni državni izpit s kakovostno sistematično pripravo in vztrajnostjo pri brušenju granita znanosti!!! INNa koncu objave je tekmovalna naloga, bodi prvi! V enem od člankov v tem razdelku Ti in jaz, v katerem je bil podan graf funkcije in postavljena različna vprašanja glede ekstremov, intervalov naraščanja (padanja) in drugih.

V tem članku bomo obravnavali težave, vključene v enotni državni izpit iz matematike, v katerem je podan graf derivata funkcije in zastavljena naslednja vprašanja:

1. Na kateri točki danega segmenta funkcija prevzame največjo (ali najmanjšo) vrednost.

2. Poiščite največje (ali minimalno) število točk funkcije, ki pripada danemu segmentu.

3. Poiščite število ekstremnih točk funkcije, ki pripadajo danemu segmentu.

4. Poiščite ekstremno točko funkcije, ki pripada danemu segmentu.

5. Poiščite intervale naraščajoče (ali padajoče) funkcije in v odgovoru navedite vsoto celih točk, vključenih v te intervale.

6. Poiščite intervale naraščanja (ali padanja) funkcije. V odgovoru navedite dolžino največjega izmed teh intervalov.

7. Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije vzporedna ali sovpada s premico oblike y = kx + b.

8. Poiščite absciso točke, v kateri je tangenta na graf funkcije vzporedna z abscisno osjo ali z njo sovpada.

Obstajajo lahko še druga vprašanja, vendar vam ne bodo povzročala težav, če razumete in (na voljo so povezave do člankov, ki ponujajo informacije, potrebne za rešitev, priporočam, da jih ponovite).

Osnovne informacije (na kratko):

1. Odvod v naraščajočih intervalih ima pozitiven predznak.

Če ima izpeljanka na določeni točki iz določenega intervala pozitivna vrednost, potem graf funkcije narašča v tem intervalu.

2. V padajočih intervalih ima izpeljanka negativni predznak.

Če ima odvod na določeni točki iz določenega intervala negativno vrednost, potem graf funkcije pada na tem intervalu.

3. Odvod v točki x je enak naklonu tangente, narisane na graf funkcije v isti točki.

4. V točkah ekstrema (maksimuma-minimuma) funkcije je odvod enak nič. Tangenta na graf funkcije na tej točki je vzporedna z osjo x.

To je treba jasno razumeti in si zapomniti!!!

Izpeljanka marsikoga »zmede«. Nekateri ga nehote zamenjajo za graf same funkcije. Zato v takih stavbah, kjer vidite, da je podan graf, takoj usmerite svojo pozornost v pogoju na to, kar je dano: graf funkcije ali graf odvoda funkcije?

Če gre za graf odvoda funkcije, ga obravnavajte kot "odsev" same funkcije, ki vam preprosto daje informacije o tej funkciji.

Razmislite o nalogi:

Slika prikazuje graf y =f'(X)- odvod funkcije f(X), definirana na intervalu (–2;21).

Odgovorili bomo na naslednja vprašanja:

1. Na kateri točki odseka je funkcija f(X) sprejme najvišjo vrednost.

Na danem intervalu je odvod funkcije negativen, kar pomeni, da funkcija na tem intervalu pada (pada od leve meje intervala proti desni). Tako je največja vrednost funkcije dosežena na levi meji segmenta, to je v točki 7.

Odgovor: 7

2. Na kateri točki odseka je funkcija f(X)

Iz tega izpeljanega grafa lahko rečemo naslednje. Na danem intervalu je odvod funkcije pozitiven, kar pomeni, da funkcija na tem intervalu narašča (narašča od leve meje intervala proti desni). torej najmanjša vrednost funkcija je dosežena na levi meji segmenta, to je v točki x = 3.

Odgovor: 3

3. Poiščite število največjih točk funkcije f(X)

Največje točke ustrezajo točkam, kjer se predznak izpeljave spremeni iz pozitivnega v negativnega. Razmislimo, kje se znak spremeni na ta način.

Na segmentu (3;6) je odvod pozitiven, na segmentu (6;16) pa negativen.

Na segmentu (16;18) je odvod pozitiven, na segmentu (18;20) pa negativen.

Tako ima funkcija na danem segmentu dve največji točki x = 6 in x = 18.

Odgovor: 2

4. Poiščite minimalno število točk funkcije f(X), ki pripada segmentu.

Minimalne točke ustrezajo točkam, kjer se predznak izpeljave spremeni iz negativnega v pozitivnega. Naš odvod je na intervalu (0;3) negativen, na intervalu (3;4) pa pozitiven.

Tako ima funkcija na segmentu samo eno minimalno točko x = 3.

*Pri zapisovanju odgovora bodite previdni – beleži se število točk, ne vrednost x; do takšne napake lahko pride zaradi nepazljivosti.

Odgovor: 1

5. Poiščite število ekstremnih točk funkcije f(X), ki pripada segmentu.

Zabeležite si, kaj morate najti količino ekstremne točke (to so tako maksimalne kot minimalne točke).

Ekstremne točke ustrezajo točkam, kjer se spremeni predznak odvoda (iz pozitivnega v negativnega ali obratno). V grafu, podanem v pogoju, so to ničle funkcije. Odvod izgine v točkah 3, 6, 16, 18.

Tako ima funkcija 4 ekstremne točke na segmentu.

Odgovor: 4

6. Poiščite intervale naraščajoče funkcije f(X)

Intervali povečanja te funkcije f(X) ustrezajo intervalom, na katerih je njen odvod pozitiven, to sta intervaloma (3;6) in (16;18). Upoštevajte, da meje intervala niso vključene vanj (okrogli oklepaji - meje niso vključene v interval, oglati oklepaji - vključeni). Ti intervali vsebujejo cele točke 4, 5, 17. Njihova vsota je: 4 + 5 + 17 = 26

Odgovor: 26

7. Poiščite intervale padajoče funkcije f(X) v določenem intervalu. V odgovoru navedite vsoto celoštevilskih točk, vključenih v te intervale.

Padajoči intervali funkcije f(X) ustrezajo intervalom, na katerih je odvod funkcije negativen. V tej nalogi so to intervali (–2;3), (6;16), (18:21).

Ti intervali vsebujejo naslednje cele točke: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Njihova vsota je:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Odgovor: 140

*Bodite pozorni na pogoj: ali so meje vključene v interval ali ne. Če so meje vključene, je treba v intervalih, obravnavanih v procesu reševanja, upoštevati tudi te meje.

8. Poiščite intervale naraščajoče funkcije f(X)

Intervali naraščajoče funkcije f(X) ustrezajo intervalom, na katerih je odvod funkcije pozitiven. Navedli smo jih že: (3;6) in (16:18). Največji med njimi je interval (3; 6), njegova dolžina je 3.

Odgovor: 3

9. Poiščite intervale padajoče funkcije f(X). V odgovoru navedite dolžino največjega izmed njih.

Padajoči intervali funkcije f(X) ustrezajo intervalom, na katerih je odvod funkcije negativen. Navedli smo jih že; to so intervali (–2;3), (6;16), (18;21), njihove dolžine so 5, 10, 3.

Dolžina največjega je 10.

Odgovor: 10

10. Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije f(X) vzporedna ali sovpada z ravno črto y = 2x + 3.

Vrednost odvoda v tangentni točki je enaka naklonu tangente. Ker je tangenta vzporedna s premico y = 2x + 3 ali sovpada z njo, potem njuni pobočjih sta enaki 2. To pomeni, da je treba najti število točk, v katerih je y′(x 0) = 2. Geometrično to ustreza številu presečišč grafa odvoda z ravnico y = 2. Na danem intervalu so 4 takšne točke.

Odgovor: 4

11. Poiščite ekstremno točko funkcije f(X), ki pripada segmentu.

Ekstremna točka funkcije je točka, v kateri je njen odvod enak nič, v bližini te točke pa odvod spremeni predznak (iz pozitivnega v negativnega ali obratno). Na segmentu graf odvoda seka os x, odvod spremeni predznak iz negativnega v pozitivni. Zato je točka x = 3 točka ekstrema.

Odgovor: 3

12. Poiščite abscise točk, v katerih so tangente na graf y = f (x) vzporedne z abscisno osjo ali z njo sovpadajo. V odgovoru navedite največjega od njih.

Tangenta na graf y = f (x) je lahko vzporedna z abscisno osjo ali z njo sovpada le v točkah, kjer je odvod enak nič (to so lahko točke ekstremuma ali stacionarne točke, v bližini katerih odvod ne ne spremeni predznaka). Ta graf kaže, da je odvod enak nič v točkah 3, 6, 16,18. Največji je 18.

Svojo utemeljitev lahko sestavite takole:

Vrednost odvoda v tangentni točki je enaka naklonu tangente. Ker je tangenta vzporedna z osjo x ali sovpada z njo, je njen naklon enak 0 (dejansko je tangens kota nič stopinj enak nič). Zato iščemo točko, v kateri je naklon enak nič, zato je odvod enak nič. Odvod je enak nič v točki, kjer njen graf seka os x, in to so točke 3, 6, 16,18.

Odgovor: 18

Slika prikazuje graf y =f'(X)- odvod funkcije f(X), definirana na intervalu (–8;4). Na kateri točki odseka [–7;–3] je funkcija f(X) ima najmanjšo vrednost.

Slika prikazuje graf y =f'(X)- odvod funkcije f(X), definirana na intervalu (–7;14). Poiščite največje število točk funkcije f(X), ki pripada segmentu [–6;9].

Slika prikazuje graf y =f'(X)- odvod funkcije f(X), definirana na intervalu (–18;6). Poiščite minimalno število točk funkcije f(X), ki pripada segmentu [–13;1].

Slika prikazuje graf y =f'(X)- odvod funkcije f(X), definirana na intervalu (–11; –11). Poiščite število ekstremnih točk funkcije f(X), ki pripada segmentu [–10; –10].

Slika prikazuje graf y =f'(X)- odvod funkcije f(X), definirana na intervalu (–7;4). Poiščite intervale naraščajoče funkcije f(X). V odgovoru navedite vsoto celoštevilskih točk, vključenih v te intervale.

Slika prikazuje graf y =f'(X)- odvod funkcije f(X), definirana na intervalu (–5;7). Poiščite intervale padajoče funkcije f(X). V odgovoru navedite vsoto celoštevilskih točk, vključenih v te intervale.

Slika prikazuje graf y =f'(X)- odvod funkcije f(X), definirana na intervalu (–11;3). Poiščite intervale naraščajoče funkcije f(X). V odgovoru navedite dolžino največjega izmed njih.

F Slika prikazuje graf

Pogoji problema so enaki (ki smo jih upoštevali). Poiščite vsoto treh števil:

1. Vsota kvadratov ekstremov funkcije f (x).

2. Razlika med kvadratoma vsote maksimalnih točk in vsote minimalnih točk funkcije f (x).

3. Število tangent na f (x), vzporednih z ravno črto y = –3x + 5.

Prvi, ki bo dal pravilen odgovor, bo prejel spodbujevalno nagrado v višini 150 rubljev. Svoje odgovore zapišite v komentarje. Če je to vaš prvi komentar na blogu, se ne bo pojavil takoj, ampak malo kasneje (brez skrbi, čas, ko je bil komentar napisan, se zabeleži).

Vso srečo!

Lep pozdrav, Alexander Krutitsikh.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.

B8. Enotni državni izpit

1. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento na ta graf, narisano v točki z absciso x0. Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0. Odgovor: 2

2.

Odgovor: -5

3.

Na intervalu (–9;4).

Odgovor: 2

4.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0 Odgovor: 0,5

5. Poiščite točko dotika premice y = 3x + 8 in grafa funkcije y = x3+x2-5x-4. V odgovoru navedite absciso te točke. Odgovor: -2

6.

Določite število celoštevilskih vrednosti argumenta, za katere je odvod funkcije f(x) negativen. Odgovor: 4

7.

Odgovor: 2

8.

Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije f(x) vzporedna s premico y=5–x ali z njo sovpada. Odgovor: 3

9.

Interval (-8; 3).

Premica y = -20. Odgovor: 2

10.

Odgovor: -0,5

11

Odgovor: 1

12. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0. Odgovor: 0,5

13. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0. Odgovor: -0,25

14.

Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije f(x) vzporedna ali sovpada s premico y = x+7. Odgovor: 4

15

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0. Odgovor: -2

16.

interval (-14;9).

Poiščite število največjih točk funkcije f(x) na odseku [-12;7]. Odgovor: 3

17

na intervalu (-10;8).

Poiščite število ekstremnih točk funkcije f(x) na odseku [-9;7]. odgovor: 4

18. Premica y = 5x-7 se dotika grafa funkcije y = 6x2 + bx-1 v točki z absciso manjšo od 0. Poiščite b. odgovor: 17

19

odgovor:-0,25

20

odgovor: 6

21. Poiščite tangento na graf funkcije y=x2+6x-7, vzporedno s premico y=5x+11. V odgovoru navedite absciso dotične točke. odgovor: -0,5

22.

odgovor: 4

23. f "(x) na intervalu (-16;4).

Na segmentu [-11;0] poiščite največje število točk funkcije. odgovor: 1

B8 Grafi funkcij, odvodi funkcij. Raziskave funkcij . Enotni državni izpit

1. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento na ta graf, narisano v točki z absciso x0. Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0.

2. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-6; 5).

Na kateri točki segmenta [-5; -1] f(x) ima najmanjšo vrednost?

3. Slika prikazuje graf odvoda funkcije y = f(x), definiran

Na intervalu (–9;4).

Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije f(x) vzporedna s premico

y = 2x-17 ali sovpada z njim.

4. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0

5. Poiščite točko dotika premice y = 3x + 8 in grafa funkcije y = x3+x2-5x-4. V odgovoru navedite absciso te točke.

6. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x), definirane na intervalu (-7; 5).

Določite število celoštevilskih vrednosti argumenta, za katere je odvod funkcije f(x) negativen.

7. Slika prikazuje graf funkcije y=f "(x), definirane na intervalu (-8; 8).

Poiščite število ekstremnih točk funkcije f(x), ki pripadajo segmentu [-4; 6].

8. Slika prikazuje graf funkcije y = f "(x), definirane na intervalu (-8; 4).

Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije f(x) vzporedna ali sovpada s premico y=5–x.

9. Slika prikazuje graf odvoda funkcije y = f(x), definiranega na

Interval (-8; 3).

Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije vzporedna

Premica y = -20.

10. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0.

11 . Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-9;9).

Poiščite število minimalnih točk funkcije $f(x)$ na odseku [-6;8]. 1

12. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0.

13. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0.

14. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-6;8).

Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije f(x) vzporedna ali sovpada s premico y = x+7.

15 . Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0.

16. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na

interval (-14;9).

Poiščite število največjih točk funkcije f(x) na odseku [-12;7].

17 . Na sliki je prikazan graf odvoda definirane funkcije f(x).

na intervalu (-10;8).

Poiščite število ekstremnih točk funkcije f(x) na odseku [-9;7].

18. Premica y = 5x-7 se dotika grafa funkcije y = 6x2 + bx-1 v točki z absciso manjšo od 0. Poiščite b.

19 . Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x) in tangente nanjo v točki z absciso x0.

Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x0.

20 . Poiščite število točk na intervalu (-1;12), pri katerih je odvod funkcije y = f(x), prikazane na grafu, enak 0.

21. Poiščite tangento na graf funkcije y=x2+6x-7, vzporedno s premico y=5x+11. V odgovoru navedite absciso dotične točke.

22. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x). Poiščite število celih točk v intervalu (-2;11), pri katerih je odvod funkcije f(x) pozitiven.

23. Slika prikazuje graf funkcije y= f "(x) na intervalu (-16;4).

Na segmentu [-11;0] poiščite največje število točk funkcije.

Premica y=3x+2 je tangenta na graf funkcije y=-12x^2+bx-10.

Poiščite b, glede na to, da je abscisa tangentne točke manjša od nič.

Pokaži rešitev

rešitev

Naj bo x_0 abscisa točke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10, skozi katero poteka tangenta na ta graf. Vrednost odvoda v točki x_0 je enaka naklonu tangente, to je y"(x_0)=-24x_0+b=3. Po drugi strani pa točka tangente pripada obema grafoma funkcijo in tangento, to je -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 Dobimo sistem enačb

\begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \konec(primeri)

Če rešimo ta sistem, dobimo x_0^2=1, kar pomeni ali x_0=-1 ali x_0=1.

Glede na pogoj abscise so tangentne točke manjše od nič, torej x_0=-1, potem b=3+24x_0=-21.

Odgovori

Poiščite b, glede na to, da je abscisa tangentne točke manjša od nič.

Pokaži rešitev

Pogoj

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) (ki je lomljena črta, sestavljena iz treh ravnih odsekov). S pomočjo slike izračunajte F(9)-F(5), kjer je F(x) eden od antiodvodov funkcije f(x). Po Newton-Leibnizovi formuli je razlika F(9)-F(5), kjer je F(x) eden od antiderivatov funkcije f(x), enaka površini omejenega trapeza krivulje. z grafom funkcije y=f(x), premice y=0 , x=9 in x=5.

Če rešimo ta sistem, dobimo x_0^2=1, kar pomeni ali x_0=-1 ali x_0=1.

Iz grafa ugotovimo, da je označeni ukrivljeni trapez trapez z osnovama enakima 4 in 3 ter višino 3. Njegova površina je enaka\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Glede na pogoj abscise so tangentne točke manjše od nič, torej x_0=-1, potem b=3+24x_0=-21.

Vir: “Matematika. Priprava na enotni državni izpit 2017.

Poiščite b, glede na to, da je abscisa tangentne točke manjša od nič.

Pokaži rešitev

Raven profila

" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Če rešimo ta sistem, dobimo x_0^2=1, kar pomeni ali x_0=-1 ali x_0=1.

Slika prikazuje graf y=f"(x) - odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-4; 10). Poiščite intervale padajoče funkcije f(x). V odgovoru navedite dolžino največjega med njimi.

Glede na pogoj abscise so tangentne točke manjše od nič, torej x_0=-1, potem b=3+24x_0=-21.

Kot je znano, funkcija f(x) pada na tistih intervalih, v vsaki točki katerih je odvod f"(x) manjši od nič. Glede na to, da je treba najti dolžino največjega od njih, so trije takšni intervali naravno ločeno od slike: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

Poiščite b, glede na to, da je abscisa tangentne točke manjša od nič.

Pokaži rešitev

Dolžina največjega od njih - (5; 9) je 4.

Če rešimo ta sistem, dobimo x_0^2=1, kar pomeni ali x_0=-1 ali x_0=1.

Slika prikazuje graf y=f"(x) - odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-4; 10). Poiščite intervale padajoče funkcije f(x). V odgovoru navedite dolžino največjega med njimi.

Glede na pogoj abscise so tangentne točke manjše od nič, torej x_0=-1, potem b=3+24x_0=-21.

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-2; 8).

Poiščite b, glede na to, da je abscisa tangentne točke manjša od nič.

Pokaži rešitev

Določite število točk, v katerih je odvod funkcije f(x) enak 0.

Če rešimo ta sistem, dobimo x_0^2=1, kar pomeni ali x_0=-1 ali x_0=1.

Slika prikazuje graf y=f"(x) - odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-4; 10). Poiščite intervale padajoče funkcije f(x). V odgovoru navedite dolžino največjega med njimi.

Glede na pogoj abscise so tangentne točke manjše od nič, torej x_0=-1, potem b=3+24x_0=-21.

Enakost odvoda v točki na nič pomeni, da je tangenta na graf funkcije, narisan v tej točki, vzporedna z osjo Ox.

Poiščite b, glede na to, da je abscisa tangentne točke manjša od nič.

Pokaži rešitev

Zato poiščemo točke, v katerih je tangenta na graf funkcije vzporedna z osjo Ox.

Na tem grafikonu so takšne točke ekstremne točke (točke maksimuma ali minimuma). Kot lahko vidite, obstaja 5 ekstremnih točk.

Če rešimo ta sistem, dobimo x_0^2=1, kar pomeni ali x_0=-1 ali x_0=1.

Slika prikazuje graf y=f"(x) - odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-4; 10). Poiščite intervale padajoče funkcije f(x). V odgovoru navedite dolžino največjega med njimi.

Glede na pogoj abscise so tangentne točke manjše od nič, torej x_0=-1, potem b=3+24x_0=-21.

Premica y=-3x+4 je vzporedna s tangento na graf funkcije y=-x^2+5x-7.

Poiščite absciso tangentne točke.

1. Kotni koeficient premice na grafu funkcije y=-x^2+5x-7 v poljubni točki x_0 je enak y"(x_0). Toda y"=-2x+5, kar pomeni y" (x_0)=-2x_0+5 Kotni koeficient premice y=-3x+4, ki je naveden v pogoju, je enak -3 -2x_0 +5=-3.
2. Dobimo: x_0 = 4.
3. Slika prikazuje graf funkcije y=f(x), na abscisi pa so označene točke -6, -1, 1, 4. V kateri od teh točk je odvod najmanjši? Prosimo, navedite to točko v svojem odgovoru.

Problem B9 podaja graf funkcije ali odvoda, iz katerega morate določiti eno od naslednjih količin:

Vrednost odvoda v neki točki x 0,

Najvišje ali najmanjše točke (ekstremne točke), Intervali naraščajočih in padajočih funkcij (intervali monotonosti). Funkcije in odvodi, predstavljeni v tem problemu, so vedno zvezni, zaradi česar je rešitev veliko lažja. Kljub temu, da naloga spada v sklop matematične analize, jo lahko opravijo tudi najšibkejši učenci, saj tukaj ni potrebno poglobljeno teoretično znanje.

Za iskanje vrednosti odvoda, ekstremnih točk in intervalov monotonosti obstajajo preprosti in univerzalni algoritmi - vsi bodo obravnavani v nadaljevanju.

Pazljivo preberite pogoje naloge B9, da se izognete neumnim napakam: včasih naletite na precej dolga besedila, vendar

1. pomembne pogoje , ki vplivajo na potek odločitve, je malo. rešitve in vsaka napaka tukaj vodi do napačnega odgovora.
2. Ob poznavanju koordinat je enostavno izračunati prirastek argumenta Δx = x 2 − x 1 in prirastek funkcije Δy = y 2 − y 1 .
3. Končno najdemo vrednost odvoda D = Δy/Δx. Z drugimi besedami, prirastek funkcije morate deliti s prirastkom argumenta - in to bo odgovor.

Naj še enkrat opozorimo: točki A in B moramo iskati ravno na tangenti in ne na grafu funkcije f(x), kot se pogosto zgodi. Tangentna črta bo nujno vsebovala vsaj dve taki točki - sicer problem ne bo pravilno formuliran.

Upoštevajte točki A (−3; 2) in B (−1; 6) in poiščite prirastke:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Poiščimo vrednost odvoda: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Naloga. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x 0. Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x 0 .

Upoštevajte točki A (0; 3) in B (3; 0), poiščite prirastke:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Zdaj poiščemo vrednost odvoda: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Naloga. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x 0. Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki x 0 .

Upoštevajte točki A (0; 2) in B (5; 2) in poiščite prirastke:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Še vedno je treba najti vrednost odvoda: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Iz zadnjega primera lahko oblikujemo pravilo: če je tangenta vzporedna z osjo OX, je odvod funkcije v točki dotika enak nič. V tem primeru vam sploh ni treba ničesar šteti - samo poglejte graf.

Izračun maksimalnih in minimalnih točk

Včasih problem B9 namesto grafa funkcije poda graf odvoda in zahteva iskanje maksimalne ali minimalne točke funkcije. V tej situaciji je metoda dveh točk neuporabna, obstaja pa še en, še preprostejši algoritem. Najprej opredelimo terminologijo:

1. Točko x 0 imenujemo največja točka funkcije f(x), če v neki okolici te točke velja neenakost: f(x 0) ≥ f(x).
2. Točko x 0 imenujemo točka minimuma funkcije f(x), če v neki okolici te točke velja neenakost: f(x 0) ≤ f(x).

Če želite najti največje in najmanjše točke na grafu izpeljave, sledite tem korakom:

1. Ponovno narišite izpeljani graf in odstranite vse nepotrebne informacije. Kot kaže praksa, nepotrebni podatki le ovirajo odločitev. Zato na koordinatni osi označimo ničle odvoda - in to je to.
2. Ugotovite predznake odvoda na intervalih med ničlami. Če je za neko točko x 0 znano, da je f'(x 0) ≠ 0, sta možni le dve možnosti: f'(x 0) ≥ 0 ali f'(x 0) ≤ 0. Predznak odvoda je enostavno določiti iz izvirne risbe: če graf odvoda leži nad osjo OX, potem je f'(x) ≥ 0. In obratno, če graf odvoda leži pod osjo OX, potem je f'(x) ≤ 0.
3. Ponovno preverimo ničle in predznake odvoda. Kjer se znak spremeni iz minusa v plus, je najmanjša točka. Nasprotno, če se predznak derivata spremeni iz plusa v minus, je to največja točka. Štetje vedno poteka od leve proti desni.

Ta shema deluje samo za zvezne funkcije - v nalogi B9 ni drugih.

Naloga. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [−5; 5]. Poiščite točko minimuma funkcije f(x) na tem segmentu.

Znebimo se nepotrebne informacije— pustimo samo meje [−5; 5] in ničle odvoda x = −3 in x = 2,5. Opažamo tudi znake:

Očitno se v točki x = −3 predznak odvoda spremeni iz minusa v plus. To je najmanjša točka.

Naloga. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [−3; 7]. Poiščite največjo točko funkcije f(x) na tem segmentu.

Ponovno narišimo graf in pustimo samo meje [−3; 7] in ničle odvoda x = −1,7 in x = 5. Zabeležimo si predznake odvoda na dobljenem grafu. Imamo:

Očitno se v točki x = 5 predznak derivata spremeni iz plusa v minus - to je najvišja točka.

Naloga. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [−6; 4]. Poiščite število največjih točk funkcije f(x), ki pripadajo odseku [−4; 3].

Iz pogojev problema sledi, da je dovolj upoštevati le del grafa, omejen z odsekom [−4; 3]. Zato zgradimo nov graf, na katerem označimo samo meje [−4; 3] in ničle izpeljanke znotraj nje. In sicer točki x = −3,5 in x = 2. Dobimo:

Na tem grafu je samo ena največja točka x = 2. Na tej točki se predznak odvoda spremeni iz plusa v minus.

Majhna opomba o točkah z necelimi koordinatami. Na primer, v zadnji nalogi je bila obravnavana točka x = −3,5, vendar z enakim uspehom lahko vzamemo x = −3,4. Če je problem sestavljen pravilno, takšne spremembe ne bi smele vplivati ​​na odgovor, saj točke "brez stalnega prebivališča" ne sodelujejo neposredno pri reševanju problema. Seveda ta trik ne bo deloval s celimi točkami.

Iskanje intervalov naraščajočih in padajočih funkcij

Pri takem problemu, tako kot pri maksimalnih in minimalnih točkah, je predlagana uporaba grafa izpeljave za iskanje območij, v katerih sama funkcija narašča ali pada. Najprej opredelimo, kaj je naraščanje in padanje:

1. Za funkcijo f(x) pravimo, da narašča na odseku, če za kateri koli dve točki x 1 in x 2 iz tega odseka velja naslednja izjava: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Z drugimi besedami, večja kot je vrednost argumenta, večja je vrednost funkcije.
2. Funkcija f(x) se imenuje padajoča na odseku, če za katerikoli dve točki x 1 in x 2 iz tega odseka velja naslednja izjava: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tisti. višja vrednost argument ustreza manjši vrednosti funkcije.

Oblikujmo zadostni pogoji naraščajoče in padajoče:

1. Da bi zvezna funkcija f(x) naraščala na odseku , zadostuje, da je njen odvod znotraj odseka pozitiven, tj. f’(x) ≥ 0.
2. Da zvezna funkcija f(x) pada na odseku , zadostuje, da je njen odvod znotraj odseka negativen, tj. f’(x) ≤ 0.

Sprejmimo te izjave brez dokazov. Tako dobimo shemo za iskanje intervalov naraščanja in padanja, ki je v marsičem podobna algoritmu za izračun ekstremnih točk:

1. Odstranite vse nepotrebne informacije. V prvotnem grafu odvoda nas zanimajo predvsem ničle funkcije, zato bomo pustili samo njih.
2. Označi predznake odvoda na intervalih med ničlami. Kjer je f’(x) ≥ 0, funkcija narašča, kjer je f’(x) ≤ 0, pa pada. Če problem postavlja omejitve na spremenljivko x, jih dodatno označimo na novem grafu.
3. Zdaj, ko poznamo obnašanje funkcije in omejitve, je treba še izračunati količino, zahtevano v problemu.

Naloga. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [−3; 7,5]. Poiščite intervale padanja funkcije f(x). V odgovoru navedite vsoto celih števil, vključenih v te intervale.

Kot običajno, ponovno narišemo graf in označimo meje [−3; 7.5], kot tudi ničle odvoda x = −1,5 in x = 5,3. Nato opazimo znake izpeljanke. Imamo:

Ker je odvod na intervalu (− 1,5) negativen, je to interval padajoče funkcije. Še vedno je treba sešteti vsa cela števila, ki so znotraj tega intervala:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Naloga. Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [−10; 4]. Poiščite intervale naraščanja funkcije f(x). V odgovoru navedite dolžino največjega izmed njih.

Znebimo se nepotrebnih informacij. Pustimo le meje [−10; 4] in ničle odvoda, ki so bile tokrat štiri: x = −8, x = −6, x = −3 in x = 2. Označimo predznake odvoda in dobimo naslednjo sliko:

Zanimajo nas intervali naraščajoče funkcije, tj. kjer je f’(x) ≥ 0. Na grafu sta dva takšna intervala: (−8; −6) in (−3; 2). Izračunajmo njihove dolžine:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Ker moramo najti dolžino največjega izmed intervalov, kot odgovor zapišemo vrednost l 2 = 5.

Slika prikazuje graf odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu [–5; 6]. Poiščite število točk na grafu funkcije f(x), v vsaki od katerih tangenta, narisana na graf funkcije, sovpada z osjo x ali je vzporedna z njo.

Slika prikazuje graf odvoda diferenciabilne funkcije y = f(x).

Poiščite število točk na grafu funkcije, ki pripadajo odseku [–7; 7], v kateri je tangenta na graf funkcije vzporedna s premico, ki jo določa enačba y = –3x.

Materialna točka M se začne premikati iz točke A in se giblje premočrtno 12 sekund. Graf prikazuje, kako se je razdalja od točke A do točke M spreminjala skozi čas. Na abscisni osi je čas t v sekundah, na ordinatni osi pa razdalja s v metrih. Ugotovite, kolikokrat se je med gibanjem hitrost točke M obrnila na nič (ne upoštevajte začetka in konca gibanja).

Slika prikazuje odseke grafa funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x = 0. Znano je, da je ta tangenta vzporedna s premico, ki poteka skozi točke grafa z abscisa x = -2 in x = 3. S pomočjo tega poiščite vrednost odvoda f"(o).

Slika prikazuje graf y = f’(x) - odvod funkcije f(x), definirane na segmentu (−11; 2). Poiščite absciso točke, v kateri je tangenta na graf funkcije y = f(x) vzporedna ali sovpada z absciso.

Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, kjer je x oddaljenost od referenčne točke v metrih, t čas v sekundah, merjeno od začetka gibanja. V katerem trenutku (v sekundah) je bila njegova hitrost enaka 2 m/s?

Materialna točka se premika vzdolž premice od začetne do končne lege. Slika prikazuje graf njegovega gibanja. Na abscisni osi je čas v sekundah, na ordinatni osi pa oddaljenost od začetne lege točke (v metrih). Najdi povprečna hitrost gibanje točke. Odgovorite v metrih na sekundo.

Funkcija y = f (x) je definirana na intervalu [-4; 4]. Na sliki je prikazan graf njegovega derivata. Poiščite število točk na grafu funkcije y = f (x), pri katerih tangenta tvori s pozitivno smerjo osi Ox kot 45°.

Funkcija y = f (x) je definirana na intervalu [-2; 4]. Na sliki je prikazan graf njegovega derivata. Poiščite absciso točke na grafu funkcije y = f (x), pri kateri zavzame najmanjšo vrednost na odseku [-2; -0,001].

Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in tangento na ta graf, narisano v točki x0. Tangens je podan z enačbo y = -2x + 15. Poiščite vrednost odvoda funkcije y = -(1/4)f(x) + 5 v točki x0.

Na grafu diferenciabilne funkcije y = f (x) je označenih sedem točk: x1,.., x7. Poiščite vse označene točke, v katerih je odvod funkcije f(x) večji od nič. V odgovoru navedite število teh točk.

Slika prikazuje graf y = f"(x) odvoda funkcije f(x), definiranega na intervalu (-10; 2). Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije f (x) je vzporedna s premico y = -2x-11 ali sovpada z njo.

Slika prikazuje graf y=f"(x) - odvoda funkcije f(x). Na abscisni osi je označenih devet točk: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Koliko od teh točk pripada intervalom padajoče funkcije f(x)?

Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in tangento na ta graf, narisano v točki x0. Tangens je podan z enačbo y = 1,5x + 3,5. Poiščite vrednost odvoda funkcije y = 2f(x) - 1 v točki x0.

Slika prikazuje graf y=F(x) enega od praodvodov funkcije f (x). Na grafu je šest točk označenih z abscisami x1, x2, ..., x6. Na koliko od teh točk ima funkcija y=f(x) negativne vrednosti?

Slika prikazuje graf avtomobila, ki se premika po poti. Na abscisni osi je prikazan čas (v urah), na ordinatni osi pa prevožena razdalja (v kilometrih). Poiščite povprečno hitrost avtomobila na tej poti. Odgovorite v km/h

Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, kjer je x oddaljenost od referenčne točke (v metrih), t čas gibanja (v sekundah). Poiščite njegovo hitrost (v metrih na sekundo) v času t=6 s

Slika prikazuje graf praodvoda y = F(x) neke funkcije y = f(x), definirane na intervalu (-6; 7). S pomočjo slike določite število ničel funkcije f(x) na tem intervalu.

Slika prikazuje graf y = F(x) enega od praodvodov neke funkcije f(x), definirane na intervalu (-7; 5). S pomočjo slike določite število rešitev enačbe f(x) = 0 na intervalu [- 5; 2].

Slika prikazuje graf diferenciabilne funkcije y=f(x). Na osi x je označenih devet točk: x1, x2, ... x9. Poiščite vse označene točke, v katerih je odvod funkcije f(x) negativen. V odgovoru navedite število teh točk.

Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu x(t)=12t^3−3t^2+2t, kjer je x oddaljenost od referenčne točke v metrih, t čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v metrih na sekundo) v času t=6 s.

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento na ta graf, narisano v točki x0. Tangentna enačba je prikazana na sliki. poiščite vrednost odvoda funkcije y=4*f(x)-3 v točki x0.