Kako najti najmanjšo vrednost funkcije. Na kateri točki je vrednost izvedenega finančnega instrumenta največja

Lekcija na temo "Uporaba izpeljanke za iskanje največjih in najmanjših vrednosti neprekinjene funkcije na intervalu" bo obravnavala razmeroma preproste težave pri iskanju največje in najmanjše vrednosti funkcije v danem intervalu z uporabo izpeljane .

Tema: Izpeljana

Lekcija: Uporaba izpeljane za iskanje največje in najmanjše vrednosti neprekinjene funkcije v intervalu

V tej lekciji bomo obravnavali enostavnejši problem, in sicer bo podan interval, na tem intervalu bo podana neprekinjena funkcija. Treba je ugotoviti največjo in najmanjšo vrednost danega funkcijo na dano interval.

32.1 (b) št. Glede na:,. Narišimo graf funkcije (glej sliko 1).

Riž. 1. Graf funkcije.

Znano je, da se ta funkcija v intervalu povečuje, kar pomeni, da se povečuje tudi v intervalu. Torej, če najdete vrednost funkcije na točkah in, potem bodo znane meje spremembe te funkcije, njena največja in najmanjša vrednost.

Ko se argument poveča z na 8, se funkcija poveča z na.

Odgovor: ; .

Št. 32.2 (a) Dano: poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem intervalu.

Zgradimo graf te funkcije (glej sliko 2).

Če se argument spremeni v intervalu, se funkcija poveča z -2 na 2. Če se argument poveča z, se funkcija zmanjša z 2 na 0.

Riž. 2. Funkcijski graf.

Poiščimo izpeljanko.

, ... Če, potem tudi ta vrednost pripada navedenemu segmentu. Če, potem. Preprosto je preveriti, ali ima druge vrednosti, ustrezne mirujoče točke presegajo določeni odsek. Primerjajmo vrednosti funkcije na koncih odseka in na izbranih točkah, pri katerih je izpeljanka enaka nič. Najti

;

Odgovor: ;.

Torej je odgovor prejet. V tem primeru lahko izpeljanko uporabite, ne morete je uporabiti, uporabiti lastnosti funkcije, ki ste jih preučili prej. To ni vedno tako, včasih je uporaba izpeljane metode edina metoda, ki vam omogoča, da rešite takšne težave.

Glede na:,. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem segmentu.

Če je bilo v prejšnjem primeru mogoče brez izpeljanega - vedeli smo, kako se funkcija obnaša, je v tem primeru funkcija precej zapletena. Zato je tehnika, ki smo jo omenili v prejšnji nalogi, v celoti uporabna.

1. Poiščite izpeljanko. Poiščimo kritične točke, torej kritične točke. Med njimi izberemo tiste, ki pripadajo danemu segmentu :. Primerjajmo vrednost funkcije v točkah ,,. Za to najdemo

Ilustrirajmo rezultat na sliki (glej sliko 3).

Riž. 3. Meje spreminjanja vrednosti funkcij

Vidimo, da če se argument spremeni od 0 do 2, se funkcija spremeni od -3 do 4. Funkcija se ne spreminja monotono: bodisi se poveča ali zmanjša.

Odgovor: ;.

Torej, trije primeri so bili uporabljeni za prikaz splošne tehnike za iskanje največjih in najmanjših vrednosti funkcije na intervalu, v tem primeru na segmentu.

Algoritem za reševanje problema iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije:

1. Poiščite izpeljanko funkcije.

2. Poiščite kritične točke funkcije in izberite tiste točke, ki so na danem odseku.

3. Poiščite vrednosti funkcije na koncih odseka in na izbranih točkah.

4. Primerjajte te vrednosti in izberite največjo in najmanjšo.

Vzemimo še en primer.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije ,.

Prej je bil upoštevan graf te funkcije (glej sliko 4).

Riž. 4. Graf funkcij.

V intervalu je obseg te funkcije ... Točka je največja točka. At - funkcija se poveča, pri - funkcija se zmanjša. Iz risbe je razvidno, da, - ne obstaja.

Tako smo v lekciji obravnavali problem največje in najmanjše vrednosti funkcije, ko je določen interval odsek; oblikoval algoritem za reševanje takih problemov.

1. Algebra in začetek analize, ocena 10 (v dveh delih). Učbenik za izobraževalne ustanove (profilna raven), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2009.

2. Algebra in začetek analize, ocena 10 (v dveh delih). Knjiga problemov za izobraževalne ustanove (profilna raven), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Schwarzburd S.I. Algebra in matematična analiza za 10. razred (učbenik za učence v šolah in razredih z naprednim študijem matematike).- M.: Izobraževanje, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Poglobljena študija algebre in matematične analize.-M.: Razsvetljenstvo, 1997.

5. Zbirka matematičnih nalog za prosilce na visokošolske zavode (pod uredništvom MI Skanavija).- M .: Višja šola, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky VB, Yakir M.S. Algebrski simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra in začetek analize. 8-11 razredi: Priročnik za šole in razrede z naprednim študijem matematike (didaktična gradiva).- M.: Drofa, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Naloge iz algebre in načela analize (priročnik za učence od 10. do 11. razreda splošnih izobraževalnih ustanov).- M.: Izobraževanje, 2003.

9. Karp A.P. Zbirka problemov v algebri in načela analize: učbenik. dodatek za 10-11 razrede z poglabljanjem študij Matematika.-M.: Izobraževanje, 2006.

10. Glazer G.I. Zgodovina matematike v šoli. 9-10 razredov (priročnik za učitelje).- M.: Izobraževanje, 1983

Dodatni spletni viri

2. Portal naravoslovja ().

Naredite doma

Št. 46,16, 46,17 (c) (Algebra in začetek analize, ocena 10 (v dveh delih). Problemska knjiga za izobraževalne ustanove (profilna raven), uredil A. G. Mordkovich. -M.: Mnemozina, 2007.)

V praksi je za izračun največje in najmanjše vrednosti funkcije precej običajno uporabiti izpeljanko. To dejanje izvedemo, ko ugotovimo, kako zmanjšati stroške, povečati dobiček, izračunati optimalno obremenitev proizvodnje itd., To je v tistih primerih, ko je treba določiti optimalno vrednost katerega koli parametra. Če želite takšne težave pravilno rešiti, morate dobro razumeti, katera je največja in najmanjša vrednost funkcije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Običajno te vrednosti definiramo v določenem intervalu x, ki pa lahko ustreza celotni domeni funkcije ali njenemu delu. Lahko je kot segment [a; b] in odprt interval (a; b), (a; b], [a; b), neskončni interval (a; b), (a; b], [a; b) ali neskončni interval - ∞; a, (- ∞; a], [a; + ∞), (- ∞; + ∞).

V tem članku bomo opisali, kako se izračuna največja in najmanjša vrednost izrecno podane funkcije z eno spremenljivko y = f (x) y = f (x).

Osnovne definicije

Začnimo, kot vedno, pri oblikovanju osnovnih definicij.

Opredelitev 1

Največja vrednost funkcije y = f (x) na nekem intervalu x je vrednost maxy = f (x 0) x ∈ X, ki za vsako vrednost xx ∈ X, x ≠ x 0 naredi neenakost f (x) ≤ f (x 0).

Opredelitev 2

Najmanjša vrednost funkcije y = f (x) na nekem intervalu x je vrednost minx ∈ X y = f (x 0), ki za vsako vrednost x ∈ X, x ≠ x 0 pomeni neenakost f (X f ( x) ≥ f (x 0).

Te definicije so precej očitne. Še lažje je to reči: največja vrednost funkcije je njena največja vrednost v znanem intervalu pri x 0, najmanjša pa najmanjša sprejeta vrednost v istem intervalu pri x 0.

Opredelitev 3

Stacionarne točke so tiste vrednosti argumenta funkcije, pri katerih njen izpeljanka izgine.

Zakaj moramo vedeti, kaj so stacionarne točke? Da bi odgovorili na to vprašanje, se moramo spomniti Fermatove izreke. Iz tega izhaja, da je stacionarna točka točka, v kateri se nahaja skrajni del diferencibilne funkcije (tj. Njen lokalni minimum ali maksimum). Posledično bo funkcija v določenem intervalu prevzela najmanjšo ali največjo vrednost točno na eni od stacionarnih točk.

Druga funkcija ima lahko največjo ali najmanjšo vrednost na tistih točkah, kjer je funkcija sama dokončna in njen prvi izpeljanka ne obstaja.

Prvo vprašanje, ki se pojavi pri preučevanju te teme: ali lahko v danem segmentu v vseh primerih določimo največjo ali najmanjšo vrednost funkcije? Ne, tega ne moremo storiti, če meje danega intervala sovpadajo z mejami področja opredelitve ali če imamo opravka z neskončnim intervalom. Zgodi se tudi, da bo funkcija v danem segmentu ali v neskončnosti imela neskončno majhne ali neskončno velike vrednosti. V teh primerih ni mogoče določiti najvišje in / ali najnižje vrednosti.

Te točke bodo jasnejše, ko bodo prikazane na grafih:

Prva slika nam prikazuje funkcijo, ki vzame največje in najmanjše vrednosti (m a x y in m i n y) na mirujočih točkah, ki se nahajajo na odseku [- 6; 6].

Podrobneje preučimo primer, naveden v drugem grafu. Vrednost segmenta spremenimo v [1; 6] in dobimo, da bo največja vrednost funkcije dosežena v točki z absciso na desni meji intervala, najmanjša pa v mirujoči točki.

Na tretji sliki abscisi točk predstavljajo mejne točke odseka [- 3; 2]. Ustrezajo najvišjim in najnižjim vrednostim dane funkcije.

Zdaj pa poglejmo četrto sliko. V njej funkcija vzame m a x y (največja vrednost) in m i n y (najmanjša vrednost) na mirujočih točkah na odprtem intervalu (- 6; 6).

Če vzamemo interval [1; 6), potem lahko rečemo, da bo najmanjša vrednost funkcije na njej dosežena v mirujoči točki. Največja vrednost nam bo neznana. Največja vrednost funkcije bi lahko bila pri x, enaka 6, če bi x = 6 pripadalo intervalu. Ta primer je prikazan na grafu 5.

Na grafu 6 ta funkcija pridobi najmanjšo vrednost na desni meji intervala (- 3; 2], zato o največji vrednosti ne moremo dokončno sklepati.

Na sliki 7 vidimo, da bo imela funkcija m a x y v mirujoči točki z absciso, ki je enaka 1. Najmanjša vrednost bo funkcija dosegla na meji intervala na desni strani. Pri minus neskončnosti se bodo vrednosti funkcije asimptotično približale y = 3.

Če vzamemo interval x ∈ 2; + ∞, potem bomo videli, da dana funkcija ne bo imela niti najmanjše niti največje vrednosti. Če x teži k 2, bodo vrednosti funkcije nagnjene k minus neskončnosti, saj je ravna črta x = 2 navpična asimptota. Če se abscisa nagiba k plus neskončnosti, se bodo vrednosti funkcije asimptotično približale y = 3. Ta primer je prikazan na sliki 8.

V tem razdelku bomo podali zaporedje dejanj, ki jih je treba izvesti, da najdemo največjo ali najmanjšo vrednost funkcije na določenem segmentu.

1. Najprej poiščimo domeno funkcije. Preverimo, ali je vanjo vključen segment, naveden v pogoju.
2. Zdaj pa izračunajmo točke v tem segmentu, kjer prvi izpeljanka ne obstaja. Najpogosteje jih najdemo v funkcijah, katerih argument je zapisan pod znakom modula, ali v funkcijah moči, katerih eksponent je delno racionalno število.
3. Nato ugotovimo, katere stacionarne točke spadajo v dani segment. Če želite to narediti, morate izračunati izpeljanko funkcije, jo nato enačiti z 0 in rešiti nastalo enačbo ter nato izbrati ustrezne korenine. Če ne dobimo nobenih stacionarnih točk ali ne sodijo v dani segment, nadaljujemo z naslednjim korakom.
4. Določimo, katere vrednosti bo funkcija prevzela na danih stacionarnih točkah (če obstajajo) ali na tistih točkah, kjer prvi izpeljanka ne obstaja (če obstaja), ali pa izračunamo vrednosti za x = a in x = b.
5. 5. Imamo vrsto vrednosti funkcij, med katerimi moramo zdaj izbrati največjo in najmanjšo. To bodo največje in najmanjše vrednosti funkcije, ki jih moramo najti.

Poglejmo, kako pravilno uporabiti ta algoritem pri reševanju težav.

Primer 1

Pogoj: podana je funkcija y = x 3 + 4 x 2. Določite njegovo največjo in najmanjšo vrednost na odsekih [1; 4] in [- 4; - 1].

Rešitev:

Začnimo z iskanjem domene te funkcije. V tem primeru bo to množica vseh realnih števil, razen 0. Z drugimi besedami, D (y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. Oba segmenta, podana v pogoju, bosta znotraj območja definicije.

Zdaj izračunamo izpeljanko funkcije po pravilu za razlikovanje ulomka:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 "x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 x 3

Izvedeli smo, da bo izpeljanka funkcije obstajala na vseh točkah segmentov [1; 4] in [- 4; - 1].

Zdaj moramo določiti stacionarne točke funkcije. To naredimo z enačbo x 3 - 8 x 3 = 0. Ima samo en veljaven koren, to je 2. To bo stacionarna točka funkcije in bo spadala v prvi segment [1; 4].

Izračunamo vrednosti funkcije na koncih prvega odseka in na dani točki, tj. za x = 1, x = 2 in x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Dobili smo, da je največja vrednost funkcije m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 bo doseženo pri x = 1, najmanjši m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 - za x = 2.

Drugi segment ne vključuje nobenih stacionarnih točk, zato moramo vrednosti funkcije izračunati le na koncih danega odseka:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Zato je m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y ( - 4) = - 3 3 4.

Odgovor: Za segment [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, za segment [- 4; - 1] - m a x y x ∈ [ - 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y ( - 4) = - 3 3 4.

Glej sliko:

Preden preučite to metodo, vam svetujemo, da ponovite, kako pravilno izračunati enostransko mejo in mejo v neskončnosti, ter se naučiti osnovnih metod za njihovo iskanje. Če želite najti največjo in / ali najmanjšo vrednost funkcije v odprtem ali neskončnem intervalu, izvedite naslednje korake zaporedoma.

1. Najprej morate preveriti, ali bo določeni interval podmnožica obsega te funkcije.
2. Določimo vse točke, ki jih vsebuje zahtevani interval in v katerih prvi izpeljanka ne obstaja. Običajno so v funkcijah, kjer je argument zaprt v znak modula, in v funkcijah moči z delno racionalno eksponento. Če te točke manjkajo, lahko nadaljujete na naslednji korak.
3. Zdaj bomo ugotovili, katere stacionarne točke spadajo v dani interval. Najprej izenačimo derivat z 0, rešimo enačbo in poiščemo ustrezne korenine. Če nimamo ene stacionarne točke ali ne spadajo v določen interval, takoj nadaljujemo z nadaljnjimi dejanji. Določeni so glede na vrsto intervala.

• Če je interval v obliki [a; b), potem moramo izračunati vrednost funkcije v točki x = a in enostransko mejo lim x → b - 0 f (x).
• Če ima interval obliko (a; b], moramo izračunati vrednost funkcije v točki x = b in enostransko mejo lim x → a + 0 f (x).
• Če ima interval obliko (a; b), moramo izračunati enostranske meje lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Če je interval v obliki [a; + ∞), potem je treba izračunati vrednost v točki x = a in mejo pri plus neskončnosti lim x → + ∞ f (x).
• Če je interval videti ( - ∞; b], izračunajte vrednost v točki x = b in mejo pri minus neskončnosti lim x → - ∞ f (x).
• Če - ∞; b, potem predpostavimo enostransko mejo lim x → b - 0 f (x) in mejo pri minus neskončnosti lim x → - ∞ f (x)
• Če - ∞; + ∞, potem upoštevamo meje pri minusu in plus neskončnosti lim x → + ∞ f (x), lim x → - ∞ f (x).

1. Na koncu morate na podlagi pridobljenih vrednosti in omejitev funkcije narediti sklep. Tu je veliko možnosti. Torej, če je enostranska meja enaka minus neskončnosti ali plus neskončnosti, je takoj jasno, da o najmanjši in največji vrednosti funkcije ni mogoče reči nič. Spodaj bomo analizirali en tipičen primer. Podrobni opisi vam bodo pomagali razumeti, kaj je kaj. Po potrebi se lahko vrnete na slike 4 - 8 v prvem delu materiala.

Primer 2

Pogoj: glede na funkcijo y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4. Izračunajte njegove najvišje in najnižje vrednosti v intervalih - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Rešitev

Prvi korak je najti domeno funkcije. Imenovalec uloma vsebuje kvadratni trinom, ki ne sme izginiti:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 ( - 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞;- 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)

Dobili smo domeno funkcije, v katero spadajo vsi intervali, navedeni v pogoju.

Zdaj pa ločimo funkcijo in dobimo:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 "= 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6" = = 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 "x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Posledično izpeljanke funkcije obstajajo na celotnem področju njene definicije.

Preidimo na iskanje stacionarnih točk. Izpeljanka funkcije izgine pri x = - 1 2. To je stacionarna točka, ki se nahaja v intervalih (- 3; 1] in (- 3; 2).

Izračunamo vrednost funkcije pri x = - 4 za interval ( - ∞; - 4], pa tudi mejo pri minus neskončnosti:

y ( - 4) = 3 e 1 ( - 4) 2 + ( - 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Ker je 3 e 1 6 - 4> - 1, to pomeni, da je maxyx ∈ ( - ∞; - 4] = y ( - 4) = 3 e 1 6 - 4. To nam ne omogoča nedvoumnega določanja najmanjše vrednosti Lahko le sklepamo, da obstaja omejitev - 1 na dnu, saj se ravno do te vrednosti funkcija približuje asimptotično pri minus neskončnosti.

Značilnost drugega intervala je, da ne vsebuje niti ene stacionarne točke in niti ene stroge meje. Zato ne moremo izračunati niti največje niti najmanjše vrednosti funkcije. Ko smo določili mejo pri minus neskončnosti in ker argument teži na - 3 z leve strani, bomo dobili le obseg vrednosti:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 ( - 3 - 0 + 3) ( - 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 ( + 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

To pomeni, da bodo vrednosti funkcije v intervalu - 1; + ∞

Če želimo najti največjo vrednost funkcije v tretjem intervalu, določimo njeno vrednost v mirujoči točki x = - 1 2, če je x = 1. Moramo poznati tudi enostransko mejo za primer, ko argument teži k - 3 na desni strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 ( - 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 ( - 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Ugotovili smo, da bo funkcija imela največjo vrednost v nepremični točki maxyx ∈ (3; 1] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Kar zadeva najmanjšo vrednost, je ne moremo določiti. prisotnost omejitve od spodaj do - 4.

Za interval (- 3; 2) vzamemo rezultate prejšnjega izračuna in še enkrat izračunamo, koliko je enostranska meja enaka, če stremimo k 2 na levi strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Zato je m a x y x ∈ ( - 3; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, najmanjše vrednosti pa ni mogoče določiti, vrednosti funkcije pa so od spodaj omejene s številom - 4.

Na podlagi tega, kar smo dobili v dveh prejšnjih izračunih, lahko trdimo, da na intervalu [1; 2) funkcija bo imela največjo vrednost pri x = 1, najmanjše pa je nemogoče najti.

Na intervalu (2; + ∞) funkcija ne bo dosegla niti največje niti najmanjše vrednosti, tj. vzel bo vrednosti iz intervala - 1; + ∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 ( + 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Ko smo izračunali, kakšna bo vrednost funkcije za x = 4, ugotovimo, da je m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4, podana funkcija pri plus neskončnosti pa se bo asimptotično približala ravni črti y = - 1.

Primerjajmo, kaj smo dobili pri vsakem izračunu z grafom dane funkcije. Na sliki so asimptote prikazane s črtkano črto.

To je vse, kar smo vam želeli povedati o iskanju največje in najmanjše vrednosti funkcije. Zaporedja dejanj, ki smo jih podali, vam bodo pomagali čim hitreje in enostavno narediti potrebne izračune. Vendar ne pozabite, da je pogosto koristno najprej ugotoviti, v kakšnih intervalih se bo funkcija zmanjšala in v kakšnih intervalih povečala, nato pa lahko naredite nadaljnje zaključke. Tako lahko natančneje določite največjo in najmanjšo vrednost funkcije in utemeljite dobljene rezultate.

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

Včasih težave B14 naletijo na "slabe" funkcije, za katere je težko najti izpeljanko. Prej je bilo to samo na sondah, zdaj pa so te naloge tako pogoste, da jih pri pripravah na pravi izpit ni več mogoče prezreti. V tem primeru delujejo druge tehnike, od katerih je ena monotonija. Opredelitev Funkcija f (x) se imenuje monotono naraščajoča na odseku, če za katero koli točko x 1 in x 2 tega odseka velja: x 1

Opredelitev. Funkcijo f (x) imenujemo monotono padajoča na odseku, če za vse točke x 1 in x 2 tega odseka velja: x 1 f (x 2). Z drugimi besedami, za naraščajočo funkcijo, večji kot je x, večji je f (x). Za padajočo funkcijo velja ravno obratno: večji x, manjši f (x).

Primeri. Logaritem se monotono poveča, če je osnova a> 1, in se monotono zmanjša, če je 0 0. f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0) 1 in se monotono zmanjša, če je 0 0.f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0) "> 1, in se monotono zmanjša, če je 0 0.f (x) = log ax (a> 0 ; a 1; x> 0) "> 1 in se monotono zmanjša, če je 0 0. f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0)" title = "(! LANG: Primeri. Logaritem monotono narašča, če je osnova a> 1, in se monotono zmanjšuje, če je 0 0.f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0)"> title="Primeri. Logaritem se monotono poveča, če je osnova a> 1, in se monotono zmanjša, če je 0 0. f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0)"> !}

Primeri. Eksponentna funkcija se obnaša podobno kot logaritem: raste za a> 1 in se zmanjšuje za 0 0: 1 in se zmanjša pri 0 0: "> 1 ter se zmanjša pri 0 0:"> 1 in se zmanjša pri 0 0: "title =" (! LANG: Primeri. Eksponentna funkcija se obnaša podobno kot logaritem: narašča pri a> 1 in pade pri 0 0:"> title="Primeri. Eksponentna funkcija se obnaša podobno kot logaritem: raste za a> 1 in se zmanjšuje za 0 0:"> !}

0) ali navzdol (a 0) ali navzdol (a 9 Koordinate vrha parabole Najpogosteje se argument funkcije nadomesti s kvadratnim trinomom oblike Njegov graf je standardna parabola, v kateri nas zanimajo veje: Veje parabole se lahko dvignejo (za a> 0) ali navzdol (a 0) ali največji (a 0) ali navzdol (a 0) ali navzdol (a 0) ali največji (a 0) ali navzdol (a 0) ali navzdol (naslov = "(! LANG: Koordinate oglišča parabola) Najpogosteje se argument funkcije nadomesti s kvadratnim trinomom oblike Njegov graf je standardna parabola, v kateri nas zanimajo veje: Veje parabole se lahko dvignejo (za a> 0) ali navzdol ( a

V izjavi o problemu ni segmenta. Zato ni treba izračunati f (a) in f (b). Še vedno je treba upoštevati le skrajne točke; Toda obstaja samo ena taka točka, to je oglišče parabole x 0, katere koordinate se izračunajo dobesedno ustno in brez kakršnih koli izpeljank.

Rešitev problema je tako zelo poenostavljena in se nanaša le na dva koraka: Napišite enačbo parabole in poiščite njeno točko po formuli: Poiščite vrednost izvirne funkcije na tej točki: f (x 0). Če ni dodatnih pogojev, bo to odgovor.

0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "title =" (! LANG: Poišči najmanjšo vrednost funkcije: Rešitev: Pod korenom je kvadratna funkcija. parabola z vejami navzgor, saj je koeficient a = 1> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 !} Poiščite najmanjšo vrednost funkcije: Rešitev: Pod korenom je kvadratna funkcija Graf te funkcije je parabola z vejami navzgor, saj je koeficient a = 1> 0. Vrh parabole: x 0 = b / ( 2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3" title = "(! LANG: Najdi najmanjša vrednost funkcije: Rešitev: Kvadratna funkcija je pod korenom. Graf te funkcije je parabola z vejami navzgor, saj je koeficient a = 1> 0. Vrh parabole: x 0 = b / ( 2a) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3"> title="Poiščite najmanjšo vrednost funkcije: Rešitev: Pod korenom je kvadratna funkcija Graf te funkcije je parabola z vejami navzgor, saj je koeficient a = 1> 0. Vrh parabole: x 0 = b / ( 2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3"> !}

Poiščite najmanjšo vrednost funkcije: Rešitev Pod logaritmom je spet kvadratna funkcija. a = 1> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 "> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 "> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1" title = "(! LANG: Poiščite najmanjša vrednost funkcije: Rešitev pod Logaritem je spet kvadratna funkcija. Graf parabole se razveja navzgor, saj je a = 1> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 · 1) = 2/2 = 1"> title="Poiščite najmanjšo vrednost funkcije: Rešitev Pod logaritmom je spet kvadratna funkcija. a = 1> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1"> !}

Poiščite največjo vrednost funkcije: Rešitev: Eksponent vsebuje kvadratno funkcijo. Prepišite jo v normalni obliki: Očitno je, da je graf te funkcije parabola, ki se razveja navzdol (a = 1

Posledice s področja funkcije Včasih za rešitev problema B14 ni dovolj le najti točko parabole. Iskana vrednost je lahko na koncu segmenta in sploh ne na skrajni točki. Če težava sploh ne določa segmenta, pogledamo obseg dopustnih vrednosti prvotne funkcije. In sicer:

0 2. Aritmetični kvadratni koren obstaja samo iz negativnih števil: 3. Imenovalec ulomka ne sme biti nič: "title =" (! LANG: 1. Argument logaritma mora biti pozitiven: y = log af (x ) f (x)> 0 2. Aritmetični kvadratni koren obstaja samo iz negativnih števil: 3. Imenovalec ulomka ne sme biti nič:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Argument logaritma mora biti pozitiven: y = log a f (x) f (x)> 0 2. Aritmetični kvadratni koren obstaja samo iz negativnih števil: 3. Imenovalec ulomka ne sme biti nič: 0 2. Aritmetični kvadratni koren obstaja samo iz ne-negativnih števil: 3. Imenovalec ulomka ne sme biti nič: "> 0 2. Aritmetični kvadratni koren obstaja le iz ne-negativnih števil: 3. Imenovalnik a ulomek ne sme biti nič: "> 0 2. Aritmetični kvadratni koren obstaja samo iz negativnih števil: 3. Imenovalec ulomka ne sme biti nič:" title = "(! LANG: 1. Argument logaritma mora bodite pozitivni: y = log af (x) f (x)> 0 2. Aritmetični kvadrat, koren obstaja samo iz negativnih števil: 3. Imenovalec ulomka ne sme biti nič:"> title="1. Argument logaritma mora biti pozitiven: y = log a f (x) f (x)> 0 2. Aritmetični kvadratni koren obstaja samo iz negativnih števil: 3. Imenovalec ulomka ne sme biti nič:"> !}

Rešitev Pod korenom je spet kvadratna funkcija. Njegov graf je parabola, vendar so veje usmerjene navzdol, saj je a = 1
Zdaj najdemo točko parabole: x 0 = b / (2a) = (2) / (2 Zdaj izračunamo vrednost funkcije v točki x 0, pa tudi na koncih ODZ: y (3) = y (1) = 0 Torej, dobimo številki 2 in 0. Pozvani smo najti največje število 2. Odgovor: 2

Upoštevajte: neenakost je stroga, zato konci ne pripadajo ODZ. Tako se logaritem razlikuje od korena, kjer so nam konci segmenta povsem primerni. Iščemo točko parabole: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 Ker pa nas konci odseka ne zanimajo, upoštevamo vrednost funkcije le v točki x 0:

Y min = y (3) = log 0,5 (6) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Odgovor: -2

Včasih težave B15 naletijo na "slabe" funkcije, za katere je težko najti izpeljanko. Prej je bilo to samo na sondah, zdaj pa so te naloge tako pogoste, da jih pri pripravah na pravi izpit ni več mogoče prezreti.

V tem primeru delujejo drugi triki, eden od njih je - monotono.

Funkcijo f (x) imenujemo monotono naraščajoča na odseku, če za katero koli točko x 1 in x 2 tega odseka velja:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Funkcijo f (x) imenujemo monotono padajoča na odseku, če za vse točke x 1 in x 2 tega odseka velja:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1)> f ( x 2).

Z drugimi besedami, za naraščajočo funkcijo, večji kot je x, večji je f (x). Za padajočo funkcijo velja ravno obratno: večji x, manjši f (x).

Na primer, logaritem se monotono poveča, če je osnova a> 1, in se monotono zmanjša, če je 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a> 0; a ≠ 1; x> 0)

Aritmetični kvadratni (in ne le kvadratni) koren se monotono poveča na celotnem področju definicije:

Eksponentna funkcija se obnaša podobno kot logaritem: raste za a> 1 in se zmanjšuje za 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a> 0)

Končno negativni eksponenti. Lahko jih zapišete kot ulomek. Imejte točko prekinitve, na kateri se poruši monotonija.

Vse te funkcije nikoli niso najdene v čisti obliki. Dodajo polinome, ulomke in druge neumnosti, zaradi česar je težko izpeljati izpeljavo. Kaj se zgodi v tem primeru - zdaj bomo analizirali.

Koordinate vrha parabole

Najpogosteje se argument funkcije nadomesti z kvadratni trinom oblike y = ax 2 + bx + c. Njegov graf je standardna parabola, ki nas zanima:

1. Podružnice parabole - lahko gredo navzgor (za a> 0) ali navzdol (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Točka parabole je skrajna točka kvadratne funkcije, pri kateri ima ta funkcija svojo najmanjšo (za a> 0) ali največjo (a< 0) значение.

Največji interes je ravno vrh parabole, katere abscisa se izračuna po formuli:

Tako smo našli skrajno točko kvadratne funkcije. Če pa je izvirna funkcija monotona, bo zanj tudi točka x 0 skrajna točka. Tako bomo oblikovali ključno pravilo:

Ekstremne točke kvadratnega trinoma in kompleksna funkcija, v katero vstopi, sovpadata. Zato lahko poiščete x 0 za kvadratni trinom in ocenite funkcijo.

Iz zgornjega sklepanja ostaja nejasno, katero točko dobimo: največjo ali najnižjo. Naloge pa so posebej zasnovane tako, da to ni pomembno. Presodite sami:

1. V izjavi o problemu ni segmenta. Zato ni treba izračunati f (a) in f (b). Še vedno je treba upoštevati le skrajne točke;
2. Toda obstaja samo ena taka točka - to je oglišče parabole x 0, katere koordinate se izračunajo dobesedno ustno in brez izpeljank.

Tako je reševanje problema zelo poenostavljeno in je sestavljeno le iz dveh korakov:

1. Izpišite enačbo parabole y = ax 2 + bx + c in poiščite njeno točko po formuli: x 0 = −b / 2a;
2. Na tej točki poiščite vrednost izvirne funkcije: f (x 0). Če ni dodatnih pogojev, bo to odgovor.

Na prvi pogled se lahko zdi ta algoritem in njegova utemeljitev zastrašujoča. Namerno ne objavljam "gole" sheme rešitev, saj je nepremišljena uporaba takih pravil polna napak.

Razmislite o resničnih težavah s poskusnega izpita iz matematike - tu se najpogosteje srečujemo s to tehniko. Hkrati bomo poskrbeli, da bodo na ta način številne naloge B15 postale skoraj verbalne.

Pod korenom je kvadratna funkcija y = x 2 + 6x + 13. Graf te funkcije je parabola z vejami navzgor, saj je koeficient a = 1> 0.

Vrh parabole:

x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 1) = −6/2 = −3

Ker so veje parabole usmerjene navzgor, ima v točki x 0 = −3 funkcija y = x 2 + 6x + 13 najmanjšo vrednost.

Koren se monotono poveča, zato je x 0 minimalna točka celotne funkcije. Imamo:

Naloga. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom je spet kvadratna funkcija: y = x 2 + 2x + 9. Graf je parabola z vejami navzgor, saj a = 1> 0.

Vrh parabole:

x 0 = −b / (2a) = −2 / (2 1) = −2/2 = −1

Torej, v točki x 0 = −1 ima kvadratna funkcija najmanjšo vrednost. Toda funkcija y = log 2 x je monotona, zato:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponent vsebuje kvadratno funkcijo y = 1 - 4x - x 2. Prepišemo ga v normalni obliki: y = −x 2 - 4x + 1.

Očitno je graf te funkcije parabola, ki se razveja navzdol (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b / (2a) =- (- 4) / (2 (−1)) = 4 / (- 2) = −2

Prvotna funkcija je eksponentna, monotona, zato bo največja vrednost na najdeni točki x 0 = −2:

Pozorni bralec bo verjetno opazil, da nismo zapisali obsega dopustnih vrednosti korena in logaritma. Toda to ni bilo potrebno: znotraj so funkcije, katerih vrednosti so vedno pozitivne.

Posledice s področja funkcije

Včasih iskanje teme parabole ni dovolj za rešitev problema B15. Želena vrednost lahko leži na koncu segmenta, vendar ne na skrajni točki. Če v problemu sploh ni določen segment, pogledamo obseg veljavnih vrednosti prvotna funkcija. In sicer:

Upoštevajte še enkrat: nič je lahko pod korenom, vendar nikoli v logaritmu ali imenovalcu ulomka. Poglejmo, kako to deluje s posebnimi primeri:

Naloga. Poiščite največjo vrednost funkcije:

Pod korenom je spet kvadratna funkcija: y = 3 - 2x - x 2. Njegov graf je parabola, vendar se razveja navzdol, saj je a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Izpišemo območje dovoljenih vrednosti (ODZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Zdaj pa poiščimo točko parabole:

x 0 = −b / (2a) =- (- 2) / (2 (−1)) = 2 / (- 2) = −1

Točka x 0 = −1 pripada segmentu ODZ - in to je dobro. Zdaj izračunamo vrednost funkcije v točki x 0, pa tudi na koncih ODZ:

y (−3) = y (1) = 0

Tako smo dobili številki 2 in 0. Od nas se zahteva, da najdemo največjo - to je številka 2.

Naloga. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Znotraj logaritma je kvadratna funkcija y = 6x - x 2 - 5. To je parabola z vejami navzdol, vendar v logaritmu ne more biti negativnih števil, zato zapišemo ODZ:

6x - x 2 - 5> 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Upoštevajte: neenakost je stroga, zato konci ne pripadajo ODZ. Tako se logaritem razlikuje od korena, kjer so nam konci segmenta povsem primerni.

Iščemo vrh parabole:

x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 (−1)) = −6 / (- 2) = 3

Vrh parabole je primeren za ODV: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ker pa nas konci odseka ne zanimajo, upoštevamo vrednost funkcije le v točki x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = −2

Dragi prijatelji! Skupina nalog, povezanih z izpeljano, vključuje naloge - pogoj poda graf funkcije, več točk na tem grafu in vprašanje je:

Na kateri točki je vrednost izvedenega finančnega instrumenta največja (najmanjša)?

Na kratko ponovimo:

Izpeljanka na točki je enaka nagibu tangente, ki teče skozito točko na grafu.

Imetiglobalni koeficient tangente pa je enak tangenti kota nagiba te tangente.

* To se nanaša na kot med tangento in absciso.

1. V intervalih povečevanja funkcije ima derivat pozitivno vrednost.

2. V časovnih obdobjih zmanjševanja ima izvedena vrednost negativno vrednost.

Razmislite o naslednji skici:

V točkah 1,2,4 ima izvod funkcije negativno vrednost, saj te točke spadajo v intervale padajočega.

V točkah 3,5,6 ima derivat funkcije pozitivno vrednost, saj te točke spadajo v naraščajoče intervale.

Kot lahko vidite, je z vrednostjo izvedenega finančnega instrumenta vse jasno, torej ni težko določiti, kateri znak ima (pozitiven ali negativen) na določeni točki grafikona.

Poleg tega, če miselno sestavimo tangente na teh točkah, bomo videli, da ravne črte, ki potekajo skozi točke 3, 5 in 6, tvorijo kote z osjo oX, ki leži v območju od 0 do 90 o, in ravne črte, ki gredo skozi točke 1 , 2 in 4 tvorita kota osi OH v območju od 90 o do 180 o.

* Razmerje je jasno: tangente, ki gredo skozi točke, ki pripadajo intervalom naraščajoče funkcije, tvorijo ostre kote z osjo oX, tangente, ki gredo skozi točke, ki pripadajo intervalom padajočih funkcij, tvorijo tupe kote z osjo oX.

Zdaj pa pomembno vprašanje!

Kako se spremeni vrednost izvedenega finančnega instrumenta? Navsezadnje tangenta na različnih točkah grafa neprekinjene funkcije tvori različne kote, odvisno od tega, skozi katero točko grafa prehaja.

* Ali preprosto povedano, tangenta se nahaja kot "vodoravna" ali "navpična". Poglej:

Ravne črte tvorijo kote z osjo ОХ v območju od 0 do 90 o

Ravne črte tvorijo kote z osjo OH v območju od 90 o do 180 o

Zato, če obstajajo vprašanja:

- na kateri od teh točk na grafu je vrednost izvedenega finančnega instrumenta najmanj?

- na kateri od teh točk na grafu je vrednost izvedenega finančnega instrumenta najpomembnejša?

potem je za odgovor treba razumeti, kako se vrednost tangente tangentnega kota spreminja v območju od 0 do 180 o.

* Kot smo že omenili, je vrednost izpeljane funkcije v točki enaka tangenti kota nagiba tangente na os oX.

Vrednost tangente se spremeni na naslednji način:

Ko se kot nagiba ravne črte spremeni od 0 o do 90 o, se vrednost tangente in s tem derivata spremeni od 0 do + ∞;

Ko se kot nagiba ravne črte spremeni od 90 ° do 180 °, se vrednost tangente in s tem derivata spremeni od –∞ do 0.

To je jasno razvidno iz grafa tangentne funkcije:

Preprosto povedano:

Pod kotom nagiba tangente od 0 o do 90 o

Bližje kot je 0о, večja bo vrednost izpeljane vrednosti blizu nič (na pozitivni strani).

Bolj kot je kot 90 °, bolj se bo vrednost izpeljane vrednosti povečala proti + ∞.

Pod kotom nagiba tangente od 90 o do 180 o

Bližje kot je 90 °, bolj se bo vrednost izpeljane vrednosti znižala na –∞.

Bolj kot je kot 180 °, večja bo vrednost izpeljane vrednosti blizu nič (na negativni strani).

317543. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in označene točke–2, –1, 1, 2. V kateri od teh točk je vrednost izvedenega finančnega instrumenta največja? To točko navedite v svojem odgovoru.

Imamo štiri točke: dve pripadata intervalom, na katerih se funkcija zmanjšuje (to sta točki –1 in 1), in dva intervala, na katerih se funkcija poveča (to sta točki –2 in 2).

Takoj lahko sklepamo, da ima pri točkah –1 in 1 izpeljana vrednost negativno vrednost, pri točkah –2 in 2 pozitivno vrednost. Zato je v tem primeru treba analizirati točki -2 in 2 ter ugotoviti, v kateri od njih bo vrednost največja. Zgradimo tangente, ki gredo skozi navedene točke:

Tangenta kota med ravno črto a in osjo abscise bo večja od tangente kota med ravno črto b in to osjo. To pomeni, da bo vrednost izvedenega finančnega instrumenta v točki –2 največja.

Odgovorimo na naslednje vprašanje: pri kateri od točk –2, –1, 1 ali 2 je vrednost izvedenega finančnega instrumenta največja negativna? To točko navedite v svojem odgovoru.

Izvedeni instrument bo imel negativno vrednost na točkah, ki pripadajo intervalom padajočega, zato upoštevajte točki –2 in 1. Zgradite tangente, ki gredo skozi njih:

Vidimo, da je tupi kot med ravno črto b in osjo oX "bližje" 180 O , zato bo njegova tangenta večja od tangente kota, ki ga tvorita ravna črta a in os oX.

Tako bo vrednost točke izvedena v točki x = 1 največji minus.

317544. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in označene točke–2, –1, 1, 4. Pri kateri od teh točk je vrednost izpeljane najmanjša? To točko navedite v svojem odgovoru.

Imamo štiri točke: dve pripadata intervalom, na katerih se funkcija zmanjšuje (to sta točki –1 in 4), in dva intervala, na katerih se funkcija povečuje (to sta točki –2 in 1).

Takoj lahko sklepamo, da ima pri točkah –1 in 4 izpeljana vrednost negativno vrednost, pri točkah –2 in 1 pozitivno vrednost. Zato je v tem primeru treba analizirati točke –1 in 4 in ugotoviti - v kateri od njih bo vrednost najmanjša. Zgradimo tangente, ki gredo skozi navedene točke:

Tangenta kota med ravno črto a in osjo abscise bo večja od tangente kota med ravno črto b in to osjo. To pomeni, da bo vrednost izpeljane točke v točki x = 4 najmanjša.

Odgovor: 4

Upam, da vas nisem "preobremenil" s količino napisanega. Pravzaprav je vse zelo preprosto, le razumeti morate lastnosti derivata, njegov geometrijski pomen in kako se vrednost tangente kota spremeni od 0 do 180 o.

1. Najprej določite znake izpeljanke na danih točkah (+ ali -) in izberite potrebne točke (odvisno od postavljenega vprašanja).

2. Na teh točkah narišite tangente.

3. S pomočjo tangesoidnega grafa narišite kote in prikažiteAleksander.

P.S .: Hvaležen bi bil, če bi nam povedali o spletnem mestu v družabnih omrežjih.