Площта на основата на формулата на конуса. Площта на страничната и пълната повърхност на конуса

Знаем какво е конус, нека се опитаме да намерим неговата повърхност. Защо е необходимо решаването на такъв проблем? Например, трябва да разберете колко тесто ще отиде, за да направите вафлена фунийка? Или колко тухли ще са необходими, за да се постави тухлен покрив на замък?

Не е лесно да се измери страничната повърхност на конуса. Но си представете същия рог, увит в плат. За да намерите площта на парче плат, трябва да го изрежете и разпръснете върху масата. Получаваме плоска фигура, можем да намерим нейната площ.

Ориз. 1. Разрез на конуса по протежение на образуващата

Нека направим същото с конуса. Нека "изрежем" неговата странична повърхност по протежение на произволна образуваща, например, (виж фиг. 1).

Сега "развиваме" страничната повърхност върху равнина. Получаваме сектор. Центърът на този сектор е горната част на конуса, радиусът на сектора е равен на образуващата на конуса, а дължината на дъгата му съвпада с обиколката на основата на конуса. Такъв сектор се нарича развитие на страничната повърхност на конуса (виж фиг. 2).

Ориз. 2. Развитие на страничната повърхност

Ориз. 3. Измерване на ъгъла в радиани

Нека се опитаме да намерим площта на сектора според наличните данни. Първо, нека въведем обозначение: нека ъгълът в горната част на сектора е в радиани (виж фиг. 3).

Често ще срещаме ъгъла в горната част на размаха в задачите. Междувременно нека се опитаме да отговорим на въпроса: не може ли този ъгъл да се окаже повече от 360 градуса? Тоест няма ли да се окаже, че размахът ще се наслагва? Разбира се, че не. Нека го докажем математически. Нека размахът се "припокрива". Това означава, че дължината на дъгата на движение е по-голяма от обиколката на радиуса. Но, както вече споменахме, дължината на дъгата на размах е обиколката на радиуса. И радиусът на основата на конуса, разбира се, е по-малък от образуващата, например, защото кракът на правоъгълния триъгълник е по-малък от хипотенузата

Тогава нека си спомним две формули от курса на планиметрията: дължина на дъгата. Секторна площ: .

В нашия случай ролята играе генератрисата , а дължината на дъгата е равна на обиколката на основата на конуса, т.е. Ние имаме:

Накрая получаваме:

Заедно със страничната повърхност може да се намери и общата повърхност. За да направите това, добавете основната площ към страничната повърхност. Но основата е кръг с радиус, чиято площ, според формулата, е .

В крайна сметка имаме: , където е радиусът на основата на цилиндъра, е генериращата.

Нека решим няколко задачи по дадените формули.

Ориз. 4. Желан ъгъл

Пример 1. Развитието на страничната повърхност на конуса е сектор с ъгъл при върха. Намерете този ъгъл, ако височината на конуса е 4 cm, а радиусът на основата е 3 cm (виж фиг. 4).

Ориз. 5. Правоъгълен триъгълник, образуващ конус

С първото действие, според Питагоровата теорема, намираме образуващата: 5 cm (виж фиг. 5). Освен това ние знаем това .

Пример 2. Площта на аксиалното сечение на конуса е , височината е . Намерете общата повърхност (вижте фиг. 6).

Телата на революцията, изучавани в училище, са цилиндър, конус и топка.

Ако в USE задача по математика трябва да изчислите обема на конус или площта на сфера, считайте се за късметлия.

Прилагайте формули за обем и повърхност на цилиндър, конус и сфера. Всички те са в нашата маса. Научавам наизуст. Тук започва познаването на стереометрията.

Понякога е добре да нарисувате изглед отгоре. Или, както в този проблем, отдолу.

2. Колко пъти е по-голям обемът на конус, описан в близост до правилна четириъгълна пирамида, от обема на конус, вписан в тази пирамида?

Всичко е просто - рисуваме изглед отдолу. Виждаме, че радиусът на по-големия кръг е няколко пъти по-голям от радиуса на по-малкия. Височините на двата конуса са еднакви. Следователно обемът на по-големия конус ще бъде два пъти по-голям.

Друг важен момент. Не забравяйте, че в задачите на част B на опциите USE по математика, отговорът се записва като цяло число или крайна десетична дроб. Следователно, не трябва да имате такива или в отговора си в част Б. Замяната на приблизителната стойност на числото също не е необходима! Трябва да се намали! Именно за това в някои задачи задачата е формулирана, например, както следва: „Намерете площта на страничната повърхност на цилиндъра, разделена на“.

И къде другаде се използват формулите за обема и повърхността на телата на въртене? Разбира се, в задача C2 (16). Ще ви разкажем и за това.

Повърхността на конуса (или просто повърхността на конуса) е равна на сумата от площите на основата и страничната повърхност.

Площта на страничната повърхност на конуса се изчислява по формулата: S = πR л, където R е радиусът на основата на конуса, и л- образуваща на конус.

Тъй като площта на основата на конуса е πR 2 (като площта на окръжността), тогава площта на пълната повърхност на конуса ще бъде равна на : πR 2 + πR л= πR (R + л).

Получаването на формулата за площта на страничната повърхност на конуса може да се обясни с такива разсъждения. Нека чертежът показва развитие на страничната повърхност на конуса. Разделяме дъгата AB на възможно най-много равни части и свързваме всички точки на деление с центъра на дъгата, а съседните точки помежду си чрез акорди.

Получаваме серия от равни триъгълници. Площта на всеки триъгълник е ах / 2, където а- дължина на основата на триъгълника, a з- неговата висока.

Сборът от площите на всички триъгълници е: ах / 2 н = анх / 2, където не броят на триъгълниците.

При голям брой деления сумата от площите на триъгълниците става много близка до областта на развитието, тоест площта на страничната повърхност на конуса. Сборът от основите на триъгълниците, т.е. ан, става много близка до дължината на дъгата AB, т.е. до обиколката на основата на конуса. Височината на всеки триъгълник става много близка до радиуса на дъгата, тоест до образуващата на конуса.

Пренебрегвайки малките разлики в размерите на тези количества, получаваме формулата за площта на страничната повърхност на конуса (S):

S=C л / 2, където C е обиколката на основата на конуса, л- образуваща на конус.

Знаейки, че C \u003d 2πR, където R е радиусът на обиколката на основата на конуса, получаваме: S \u003d πR л.

Забележка.Във формулата S = C л / 2 е даден знакът за точно, а не приблизително равенство, въпреки че въз основа на горните разсъждения бихме могли да считаме това равенство за приблизително. Но в гимназията се доказва, че равенството

S=C л / 2 е точно, не е приблизително.

Теорема. Страничната повърхност на конуса е равна на произведението на обиколката на основата и половината от образуващата.

Вписваме в конус (фиг.) някаква правилна пирамида и обозначаваме с букви Ри лчисла, изразяващи дължините на периметъра на основата и апотема на тази пирамида.

Тогава неговата странична повърхност ще бъде изразена с произведението 1/2 Р л .

Нека сега приемем, че броят на страните на многоъгълника, вписан в основата, нараства безкрайно. След това периметърът Рще се стреми към границата, взета като дължина C на обиколката на основата и апотема лще има конусен генератор като своя граница (тъй като ΔSAK предполага, че SA - SK
1 / 2 Р л, ще се стреми към границата 1/2 C L. Тази граница се приема като стойност на страничната повърхност на конуса. Означавайки страничната повърхност на конуса с буквата S, можем да напишем:

S = 1/2 С L = C 1/2 л

Последствия.
1) Тъй като C \u003d 2 π R, тогава страничната повърхност на конуса се изразява с формулата:

S=1/2 2π Р L= π RL

2) Получаваме общата повърхност на конуса, ако добавим страничната повърхност към основната площ; следователно, обозначавайки пълната повърхност с T, ще имаме:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Теорема. Страничната повърхност на пресечен конус е равна на произведението на половината от сбора от обиколките на основите и на образуващата.

Да впишем в пресечен конус (фиг.) някаква правилна пресечена пирамида и да обозначим с букви r, r 1 и лчисла, изразяващи в същите линейни единици дължините на периметрите на долната и горната основа и апотема на тази пирамида.

Тогава страничната повърхност на вписаната пирамида е 1/2 ( p + p 1) л

С неограничено увеличаване на броя на страничните лица на вписаната пирамида, периметрите Ри Р 1 клонят към границите, взети като дължини C и C 1 на окръжностите на основите, и апотема лима за своя граница образуващата L на пресечения конус. Следователно стойността на страничната повърхност на вписаната пирамида клони към границата, равна на (С + С 1) L. Тази граница се приема като стойност на страничната повърхност на пресечения конус. Означавайки страничната повърхност на пресечения конус с буквата S, ще имаме:

S \u003d 1/2 (C + C 1) L

Последствия.
1) Ако R и R 1 означават радиусите на окръжностите на долната и горната основа, тогава страничната повърхност на пресечения конус ще бъде:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Ако в трапеца OO 1 A 1 A (фиг.), от въртенето на който се получава пресечен конус, начертаем средната линия BC, тогава получаваме:

BC \u003d 1 / 2 (OA + O 1 A 1) = 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

следователно,

S=2 π BC L,

т.е. страничната повърхност на пресечен конус е равна на произведението на обиколката на средното сечение и на образуващата.

3) Общата повърхност T на пресечен конус се изразява по следния начин:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)