Височина на пирамидата. Как да я намеря? Обем на триъгълна пирамида. Формули и пример за решаване на задачата

Тук ще разгледаме примери, свързани с понятието обем. За да решите такива задачи, трябва да знаете формулата за обема на пирамида:

С

h – височина на пирамидата

Основата може да бъде произволен многоъгълник. Но в повечето задачи на Единния държавен изпит условието обикновено е за правилни пирамиди. Нека ви припомня едно от свойствата му:

Върхът на правилната пирамида се проектира в центъра на нейната основа

Вижте проекцията на правилен триъгълник, четириъгълник и шестоъгълна пирамида(ПОГЛЕД ОТГОРЕ):

Можете в блога, където бяха обсъдени проблеми, свързани с намирането на обема на пирамида.Нека разгледаме задачите:

27087. Намерете обема на правилното триъгълна пирамида, чиито страни са равни на 1 и чиято височина е равна на корен от три.

С– площ на основата на пирамидата

ч– височина на пирамидата

Нека намерим площта на основата на пирамидата, това е правилен триъгълник. Нека използваме формулата - площта на триъгълника е равна на половината от произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях, което означава:

Отговор: 0,25

27088. Намерете височината на правилна триъгълна пирамида, чиито основни страни са равни на 2 и чийто обем е равен на корен от три.

Понятия като височината на пирамидата и характеристиките на нейната основа са свързани с формулата за обем:

С– площ на основата на пирамидата

ч– височина на пирамидата

Знаем самия обем, можем да намерим площта на основата, тъй като знаем страните на триъгълника, който е основата. Познавайки посочените стойности, можем лесно да намерим височината.

За да намерим площта на основата, използваме формулата - площта на триъгълник е равна на половината от произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях, което означава:

По този начин, като заместим тези стойности във формулата за обем, можем да изчислим височината на пирамидата:

Височината е три.

Отговор: 3

27109. В правилния четириъгълна пирамидависочината е 6, страничният ръб е 10. Намерете неговия обем.

Обемът на пирамидата се изчислява по формулата:

С– площ на основата на пирамидата

ч– височина на пирамидата

Знаем височината. Трябва да намерите площта на основата. Нека ви напомня, че върхът на правилната пирамида е проектиран в центъра на нейната основа. Основата на правилната четириъгълна пирамида е квадрат. Можем да намерим неговия диагонал. Помислете за правоъгълен триъгълник (маркиран в синьо):

Отсечката, свързваща центъра на квадрата с точка B, е катет, равен на половината от диагонала на квадрата. Можем да изчислим този крак с помощта на Питагоровата теорема:

Това означава BD = 16. Нека изчислим площта на квадрата, използвайки формулата за площта на четириъгълник:

Следователно:

Така обемът на пирамидата е:

Отговор: 256

27178. В правилна четириъгълна пирамида височината е 12, а обемът е 200. Намерете страничния ръб на тази пирамида.

Височината на пирамидата и нейният обем са известни, което означава, че можем да намерим площта на квадрата, който е основата. Познавайки площта на квадрат, можем да намерим неговия диагонал. След това, като разглеждаме правоъгълен триъгълник, използвайки Питагоровата теорема, изчисляваме страничния ръб:

Нека намерим площта на квадрата (основата на пирамидата):

Нека изчислим диагонала на квадрата. Тъй като неговата площ е 50, страната ще бъде равна на корен от петдесет и според Питагоровата теорема:

Точка O разделя диагонала BD наполовина, което означава, че катетът на правоъгълния триъгълник OB = 5.

Така можем да изчислим на какво е равен страничният ръб на пирамидата:

Отговор: 13

245353. Намерете обема на пирамидата, показана на фигурата. Основата му е многоъгълник, чиито съседни страни са перпендикулярни, а един от страничните ръбове е перпендикулярен на равнината на основата и е равен на 3.

Както много пъти е казано, обемът на пирамидата се изчислява по формулата:

С– площ на основата на пирамидата

ч– височина на пирамидата

Страничният ръб, перпендикулярен на основата, е равен на три, което означава, че височината на пирамидата е три. Основата на пирамидата е многоъгълник, чиято площ е равна на:

По този начин:

Отговор: 27

27086. Основата на пирамидата е правоъгълник със страни 3 и 4. Обемът му е 16. Намерете височината на тази пирамида.

Това е всичко. Късмет!

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

Пирамидата е многостен с многоъгълник в основата си. Всички лица от своя страна образуват триъгълници, които се събират в един връх. Пирамидите са триъгълни, четириъгълни и т.н. За да определите коя пирамида е пред вас, достатъчно е да преброите броя на ъглите в нейната основа. Определението за „височина на пирамида“ много често се среща в геометричните задачи в училищна програма. В тази статия ще се опитаме да разгледаме различни начининейното местоположение.

Части от пирамидата

Всяка пирамида се състои от следните елементи:

• странични лица, които имат три ъгъла и се събират на върха;
• апотемата представлява височината, която се спуска от върха му;
• върхът на пирамидата е точка, която свързва страничните ребра, но не лежи в равнината на основата;
• основата е многоъгълник, на който върхът не лежи;
• височината на пирамидата е сегмент, който пресича върха на пирамидата и образува прав ъгъл с нейната основа.

Как да намерите височината на пирамида, ако е известен нейният обем

Чрез формулата V = (S*h)/3 (във формулата V е обемът, S е площта на основата, h е височината на пирамидата) намираме, че h = (3*V)/ С. За да консолидираме материала, нека незабавно да решим проблема. Триъгълната основа е 50 cm 2 , а обемът му е 125 cm 3 . Височината на триъгълната пирамида е неизвестна, което трябва да намерим. Тук всичко е просто: вмъкваме данните в нашата формула. Получаваме h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Как да намерите височината на пирамида, ако са известни дължината на диагонала и неговите ръбове

Както си спомняме, височината на пирамидата образува прав ъгъл с нейната основа. Това означава, че височината, ръбът и половината от диагонала заедно образуват Много, разбира се, помнят теоремата на Питагор. Познавайки две измерения, няма да е трудно да намерите третото количество. Нека си припомним добре известната теорема a² = b² + c², където a е хипотенузата, а в нашия случай ръбът на пирамидата; b - първият крак или половината от диагонала и c - съответно вторият крак или височината на пирамидата. От тази формула c² = a² - b².

Сега проблемът: в правилна пирамидадиагоналът е 20 см, когато дължината на ръба е 30 см. Необходимо е да се намери височината. Решаваме: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Следователно c = √ 500 = около 22,4.

Как да намерите височината на пресечена пирамида

Това е многоъгълник с напречно сечение, успоредно на основата му. Височината на пресечена пирамида е сегментът, който свързва двете й основи. Височината на правилна пирамида може да се намери, ако са известни дължините на диагоналите на двете основи, както и ръбът на пирамидата. Нека диагоналът на по-голямата основа е d1, докато диагоналът на по-малката основа е d2, а ръбът е с дължина l. За да намерите височината, можете да намалите височините от двете горни срещуположни точки на диаграмата до нейната основа. Виждаме, че имаме два правоъгълни триъгълника; всичко, което остава, е да намерим дължините на техните катети. За да направите това, извадете по-малкия от по-големия диагонал и разделете на 2. Така ще намерим един крак: a = (d1-d2)/2. След което, според Питагоровата теорема, всичко, което трябва да направим, е да намерим втория крак, който е височината на пирамидата.

Сега нека разгледаме цялото това нещо на практика. Предстои ни задача. В основата на пресечената пирамида има квадрат, дължината на диагонала на по-голямата основа е 10 см, докато на по-малката е 6 см, а на ръба е 4 см. Трябва да намерите височината. Първо, намираме единия катет: a = (10-6)/2 = 2 cm. Единият катет е 2 cm, а хипотенузата е 4 cm 12, тоест h = √12 = около 3,5 cm.

Основната характеристика на всеки геометрична фигурав пространството е неговият обем. В тази статия ще разгледаме какво е пирамида с триъгълник в основата си и също така ще покажем как да намерим обема на триъгълна пирамида - правилна пълна и пресечена.

Какво е това - триъгълна пирамида?

Всеки е чувал за древните Египетски пирамиди, обаче, те са правилни четириъгълни, а не триъгълни. Нека обясним как да получите триъгълна пирамида.

Нека вземем произволен триъгълник и свържем всичките му върхове с някаква точка, разположена извън равнината на този триъгълник. Получената фигура ще се нарича триъгълна пирамида. Показано е на фигурата по-долу.

Както виждате, въпросната фигура е образувана от четири триъгълника, които в общия случай са различни. Всеки триъгълник е страните на пирамидата или нейното лице. Тази пирамида често се нарича тетраедър, тоест тетраедрична триизмерна фигура.

В допълнение към страните, пирамидата също има ръбове (има 6 от тях) и върхове (от 4).

с триъгълна основа

Фигура, получена от произволен триъгълник и точка в пространството, в общия случай ще бъде неправилна наклонена пирамида. Сега си представете, че оригиналният триъгълник има еднакви страни и точка в пространството се намира точно над неговия геометричен център на разстояние h от равнината на триъгълника. Пирамидата, построена с тези първоначални данни, ще бъде правилна.

Очевидно броят на ръбовете, страните и върховете на правилна триъгълна пирамида ще бъде същият като този на пирамида, изградена от произволен триъгълник.

Правилната фигура обаче има някои отличителни черти:

• неговата височина, изтеглена от върха, ще пресича точно основата в геометричния център (точката на пресичане на медианите);
• странична повърхностТакава пирамида се образува от три еднакви триъгълника, които са равнобедрени или равностранни.

Правилната триъгълна пирамида не е само чисто теоретичен геометричен обект. Някои структури в природата имат неговата форма, например диамантената кристална решетка, където въглероден атом е свързан с четири от същите атоми чрез ковалентни връзки, или молекула метан, където върховете на пирамидата са образувани от водородни атоми.

триъгълна пирамида

Можете да определите обема на абсолютно всяка пирамида с произволен n-ъгълник в основата, като използвате следния израз:

Тук символът S o обозначава площта на основата, h е височината на фигурата, начертана към маркираната основа от върха на пирамидата.

Тъй като площта на произволен триъгълник е равна на половината от произведението на дължината на неговата страна a и апотемата h a, пусната върху тази страна, формулата за обема на триъгълна пирамида може да бъде написана в следната форма:

V = 1/6 × a × h a × h

За общ типОпределянето на височината не е лесна задача. За да го решите, най-лесният начин е да използвате формулата за разстоянието между точка (върх) и равнина (триъгълна основа), представена от уравнението общ изглед.

За правилния има специфичен външен вид. Площта на основата (на равностранен триъгълник) за него е равна на:

Замествайки го в общия израз за V, получаваме:

V = √3/12 × a 2 × h

Специален случай е ситуацията, когато всички страни на тетраедър се оказват еднакви равностранни триъгълници. В този случай неговият обем може да се определи само въз основа на познаването на параметъра на неговия ръб a. Съответният израз изглежда така:

Пресечена пирамида

Ако горна част, съдържащ върха, отрязан от правилна триъгълна пирамида, получавате пресечена фигура. За разлика от първоначалния, той ще се състои от две равностранни триъгълни основи и три равнобедрени трапеца.

Снимката по-долу показва как изглежда правилната пресечена триъгълна пирамида, изработена от хартия.

За да определите обема на пресечена триъгълна пирамида, трябва да знаете нейните три линейни характеристики: всяка от страните на основите и височината на фигурата, равна на разстоянието между горната и долната основа. Съответната формула за обем се записва по следния начин:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Тук h е височината на фигурата, A и a са дължините на страните съответно на големия (долния) и малкия (горния) равностранен триъгълник.

Решението на проблема

За да направим информацията в статията по-ясна за читателя, ще покажем с нагледен пример как се използват някои от написаните формули.

Нека обемът на триъгълната пирамида е 15 cm 3 . Известно е, че фигурата е правилна. Трябва да намерите апотемата a b на страничния ръб, ако знаете, че височината на пирамидата е 4 cm.

Тъй като обемът и височината на фигурата са известни, можете да използвате подходящата формула, за да изчислите дължината на страната на нейната основа. Ние имаме:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm

Изчислената дължина на апотемата на фигурата се оказа по-голяма от нейната височина, което важи за всеки тип пирамида.

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдовете са само за информационни цели и може да не представят всички функции на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели на урока.

Образователни: Изведете формула за изчисляване на обема на пирамида

Развитие: да развие познавателния интерес на учениците към академичните дисциплини, способността да прилагат знанията си на практика.

Образователни: култивирайте вниманието, точността, разширявайте хоризонтите на учениците.

Оборудване и материали: компютър, екран, проектор, презентация „Обем на пирамидата”.

1. Фронтално проучване. Слайдове 2, 3

Какво се нарича пирамида, основа на пирамидата, ребра, височина, ос, апотема. Коя пирамида се нарича правилна, тетраедърна, пресечена пирамида?

Пирамидата е многостен, състоящ се от плоскост многоъгълник, точки, не лежи в равнината на този многоъгълник и всички сегменти, свързваща тази точка с точките на многоъгълника.

Тази точкаНаречен Горна частпирамиди, а плосък многоъгълник е основата на пирамидата. Сегментисвързващи върха на пирамидата с върховете на основата се наричат ребра . Височинапирамиди - перпендикулярен, спусната от върха на пирамидата до равнината на основата. апотема - височина на страничния ръбправилна пирамида. Пирамидата, която в основатае вярно n-ъгълник, А височина основасъвпада с център на основатаНаречен правилно n-ъгълна пирамида. ос на правилна пирамида е линията, съдържаща нейната височина. Правилната триъгълна пирамида се нарича тетраедър. Ако пирамидата се пресече от равнина, успоредна на равнината на основата, тогава тя ще отреже пирамидата, подобендадено. Останалата част се нарича пресечена пирамида.

2. Извеждане на формулата за изчисляване на обема на пирамидата V=SH/3 Слайдове 4, 5, 6

1. Нека SABC е триъгълна пирамида с връх S и основа ABC.

2. Нека добавим тази пирамида към триъгълна призма със същата основа и височина.

3. Тази призма е съставена от три пирамиди:

1) от тази SABC пирамида.

2) пирамиди SCC 1 B 1.

3) и пирамиди SCBB 1.

4. Втората и третата пирамида имат равни основи CC 1 B 1 и B 1 BC и обща височина, прекарана от върха S до лицето на успоредника BB 1 C 1 C. Следователно те имат равни обеми.

5. Първата и третата пирамида също имат равни основи SAB и BB 1 S и съвпадащи височини, прекарани от върха C към лицето на успоредника ABB 1 S. Следователно те също имат равни обеми.

Това означава, че и трите пирамиди имат еднакъв обем. Тъй като сборът от тези обеми е равен на обема на призмата, обемите на пирамидите са равни на SH/3.

Обемът на всяка триъгълна пирамида е равен на една трета от произведението на площта на основата и височината.

3. Затвърдяване на нов материал. Решение на упражнения.

1) Задача № 33 от учебника на А.Н. Погорелова. Слайдове 7, 8, 9

От страната на основата? и страничен ръб b, намерете обема на правилна пирамида, чиято основа е:

1) триъгълник,

2) четириъгълник,

3) шестоъгълник.

В правилната пирамида височината минава през центъра на окръжност, описана около основата. Тогава: (Приложение)

4. Исторически сведения за пирамидите. Слайдове 15, 16, 17

Първият от нашите съвременници, който установи редица необичайни явления, свързани с пирамидата, беше френският учен Антоан Бови. Докато изследва пирамидата на Хеопс през 30-те години на ХХ век, той открива, че телата на малки животни, случайно попаднали в царската стая, са мумифицирани. Бови си обясни причината за това с формата на пирамида и, както се оказа, не сбърка. Неговите трудове са в основата на съвременните изследвания, в резултат на които през последните 20 години се появиха много книги и публикации, потвърждаващи, че енергията на пирамидите може да има практическо значение.

Мистерията на пирамидите

Някои изследователи твърдят, че пирамидата съдържа огромно количество информация за структурата на Вселената, Слънчевата система и човека, кодирана в нейната геометрична форма или по-точно във формата на октаедър, половината от който представлява пирамидата. Пирамидата с върха нагоре символизира живота, с върха надолу – смъртта, другия свят. Също като компонентите на звездата на Давид (Magen David), където триъгълникът, насочен нагоре, символизира изкачването към Висшия разум, Бог, а триъгълникът с върха надолу символизира слизането на душата на Земята, материалното съществуване...

Цифровата стойност на кода, с който е шифрована информацията за Вселената в пирамидата, числото 365, не е избрана случайно. На първо място, това е годишният жизнен цикъл на нашата планета. Освен това числото 365 се състои от три цифри 3, 6 и 5. Какво означават те? Ако в слънчева системаСлънцето преминава под номер 1, Меркурий - 2, Венера - 3, Земя - 4, Марс - 5, Юпитер - 6, Сатурн - 7, Уран - 8, Нептун - 9, Плутон - 10, тогава 3 е Венера, 6 - Юпитер и 5 - Марс. Следователно Земята е свързана по специален начин с тези планети. Като съберем числата 3, 6 и 5, получаваме 14, от които 1 е Слънцето, а 4 е Земята.

Числото 14 като цяло има глобално значение: по-специално структурата на човешките ръце се основава на него, общ бройфалангите на пръстите на всяка от които също са 14. Този код също е свързан със съзвездието Голяма мечка, което включва нашето Слънце и в което някога е имало друга звезда, която е унищожила Фаетон, планета, разположена между Марс и Юпитер, след което се появи в слънчевата система Плутон и характеристиките на другите планети се промениха.

Много езотерични източници твърдят, че човечеството на Земята вече четири пъти е преживявало световна катастрофа. Третата лемурийска раса познавала Божествената наука за Вселената, след това тази тайна доктрина била предавана само на посветени. В началото на циклите и полуциклите на звездната година те строяха пирамиди. Те бяха близо до откриването на кода на живота. Цивилизацията на Атлантида успя в много неща, но на някакво ниво на познание те бяха спрени от друга планетарна катастрофа, придружена от смяна на расите. Вероятно посветените са искали да ни предадат, че пирамидите съдържат знания за космическите закони...

Специални устройства под формата на пирамиди неутрализират отрицателното електромагнитно излъчване на човек от компютър, телевизор, хладилник и други електрически уреди.

Една от книгите описва случай, при който пирамида, монтирана в купето на автомобил, намалява разхода на гориво и намалява съдържанието на CO в отработените газове.

Семената от градински култури, държани в пирамиди, имаха по-добра кълняемост и добив. Публикациите дори препоръчват накисване на семената в пирамидна вода преди сеитба.

Установено е, че пирамидите имат благоприятен ефект върху екологичната обстановка. Елиминирайте патогенните зони в апартаменти, офиси и вили, създавайки положителна аура.

Холандският изследовател Пол Дикенс в своята книга дава примери за лечебните свойства на пирамидите. Той забеляза, че с тяхна помощ можете да облекчите главоболието, болките в ставите, да спрете кървенето от малки порязвания и че енергията на пирамидите стимулира метаболизма и укрепва имунната система.

Някои съвременни публикации отбелязват, че лекарствата, съхранявани в пирамида, съкращават курса на лечение, а превръзката, наситена с положителна енергия, насърчава заздравяването на рани.

Козметичните кремове и мехлеми подобряват ефекта си.

Напитките, включително алкохолните, подобряват вкуса си, а водата, съдържаща се в 40% водка, става лековита. Вярно е, че за да заредите стандартна бутилка от 0,5 литра с положителна енергия, ще ви трябва висока пирамида.

В статия във вестник се казва, че ако бижутата се съхраняват под пирамида, те се самопочистват и придобиват особен блясък, а скъпоценните и полускъпоценните камъни натрупват положителна биоенергия и след това постепенно я освобождават.

Според американски учени хранителните продукти като зърнени храни, брашно, сол, захар, кафе, чай, след като са в пирамидата, подобряват вкуса си, а евтините цигари стават подобни на своите благородни братя.

Това може да не е от значение за мнозина, но в малка пирамида старите бръснарски ножчета се изострят сами, а в голяма пирамида водата не замръзва при -40 градуса по Целзий.

Според повечето изследователи всичко това е доказателство за съществуването на пирамидна енергия.

За 5000 години от своето съществуване пирамидите са се превърнали в своеобразен символ, олицетворяващ желанието на човека да достигне върха на знанието.

5. Обобщаване на урока.

Библиография.

1) http://schools.techno.ru

2) Погорелов А.В. Геометрия 10-11, издателство Просвещение.

3) Енциклопедия „Дървото на знанието” Маршал К.