Височина на пирамидата. Как да го намерите? Обемът на триъгълна пирамида. Формули и пример за решаване на задачата

Тук ще анализираме примери, свързани с понятието обем. За да решите такива задачи, трябва да знаете формулата за обема на пирамидата:

С

h - височината на пирамидата

Основата може да бъде произволен многоъгълник. Но в повечето задачи на изпита условието по правило е за правилните пирамиди. Нека ви припомня едно от свойствата му:

Върхът на правилната пирамида се проектира в центъра на нейната основа

Погледнете проекцията на правилния триъгълник, четириъгълник и шестоъгълни пирамиди(ПОГЛЕД ОТГОРЕ):

Можете в блога, където бяха разгледани задачите, свързани с намирането на обема на пирамидата.Помислете за задачите:

27087. Намерете обема на правилното триъгълна пирамида, чиито основни страни са равни на 1 и чиято височина е равна на корен от три.

С- площ на основата на пирамидата

ч- височината на пирамидата

Намерете площта на основата на пирамидата правоъгълен триъгълник. Използваме формулата - площта на триъгълника е равна на половината от произведението на съседните страни по синуса на ъгъла между тях, което означава:

Отговор: 0,25

27088. Намерете височината на правилна триъгълна пирамида с основни страни, равни на 2, и обем, равен на корен от три.

Понятия като височината на пирамидата и характеристиките на нейната основа са свързани с формулата за обем:

С- площ на основата на пирамидата

ч- височината на пирамидата

Знаем самия обем, можем да намерим площта на основата, тъй като страните на триъгълника, който е основата, са известни. Познавайки тези стойности, можем лесно да намерим височината.

За да намерим площта на основата, използваме формулата - площта на триъгълника е равна на половината от произведението на съседните страни по синуса на ъгъла между тях, което означава:

По този начин, като заместим тези стойности във формулата за обем, можем да изчислим височината на пирамидата:

Височината е три.

Отговор: 3

27109. В правилния четириъгълна пирамидависочината е 6, страничният ръб е 10. Намерете неговия обем.

Обемът на пирамидата се изчислява по формулата:

С- площ на основата на пирамидата

ч- височината на пирамидата

Ние знаем височината. Трябва да намерите площта на основата. Нека ви напомня, че върхът на правилната пирамида е проектиран в центъра на нейната основа. Основата на правилната четириъгълна пирамида е квадрат. Можем да намерим неговия диагонал. Помислете за правоъгълен триъгълник (маркиран в синьо):

Отсечката, свързваща центъра на квадрата с точка В, е катет, който е равен на половината от диагонала на квадрата. Можем да изчислим този крак с помощта на Питагоровата теорема:

Така че BD = 16. Изчислете площта на квадрата, като използвате формулата за площта на четириъгълника:

Следователно:

Така обемът на пирамидата е:

Отговор: 256

27178. В правилна четириъгълна пирамида височината е 12, обемът е 200. Намерете страничния ръб на тази пирамида.

Височината на пирамидата и нейният обем са известни, така че можем да намерим площта на квадрата, който е основата. Познавайки площта на квадрат, можем да намерим неговия диагонал. Освен това, като разгледаме правоъгълен триъгълник, използвайки питагоровата теорема, изчисляваме страничния ръб:

Намерете площта на квадрата (основата на пирамидата):

Изчислете диагонала на квадрата. Тъй като площта му е 50, тогава страната ще бъде равна на корен от петдесет и според Питагоровата теорема:

Точката O разделя диагонала BD наполовина, така че катетът на правоъгълния триъгълник OB = 5.

Така можем да изчислим на какво е равен страничният ръб на пирамидата:

Отговор: 13

245353. Намерете обема на пирамидата, показана на фигурата. Основата му е многоъгълник, чиито съседни страни са перпендикулярни, а един от страничните ръбове е перпендикулярен на равнината на основата и е равен на 3.

Както многократно е казано - обемът на пирамидата се изчислява по формулата:

С- площ на основата на пирамидата

ч- височината на пирамидата

Страничният ръб, перпендикулярен на основата, е три, което означава, че височината на пирамидата е три. Основата на пирамидата е многоъгълник, чиято площ е:

По този начин:

Отговор: 27

27086. Основата на пирамидата е правоъгълник със страни 3 и 4. Обемът му е 16. Намерете височината на тази пирамида.

Това е всичко. Късмет!

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще бъда благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.

Пирамидата е многостен с многоъгълник в основата си. Всички лица от своя страна образуват триъгълници, които се събират в един връх. Пирамидите са триъгълни, четириъгълни и т.н. За да определите коя пирамида е пред вас, достатъчно е да преброите броя на ъглите в нейната основа. Определението за "височина на пирамидата" много често се среща в задачите по геометрия в училищна програма. В статията ще се опитаме да разгледаме различни начининейното местоположение.

Части от пирамидата

Всяка пирамида се състои от следните елементи:

• странични лица, които имат три ъгъла и се събират на върха;
• апотема представлява височината, която се спуска от върха му;
• върхът на пирамидата е точка, която свързва страничните ръбове, но не лежи в равнината на основата;
• основа е многоъгълник, който не съдържа връх;
• височината на пирамидата е сегмент, който пресича върха на пирамидата и образува прав ъгъл с нейната основа.

Как да намерите височината на пирамида, ако е известен нейният обем

Чрез формулата V \u003d (S * h) / 3 (във формулата V е обемът, S е основната площ, h е височината на пирамидата), намираме, че h \u003d (3 * V) / S . За да консолидираме материала, нека незабавно да решим проблема. Триъгълната основа е 50 cm 2 , а обемът му е 125 cm 3 . Не е известна височината на триъгълната пирамида, която трябва да намерим. Тук всичко е просто: вмъкваме данните в нашата формула. Получаваме h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.

Как да намерите височината на пирамида, ако са известни дължината на диагонала и нейния ръб

Както си спомняме, височината на пирамидата образува прав ъгъл с нейната основа. И това означава, че височината, ръбът и половината от диагонала заедно образуват Мнозина, разбира се, помнят теоремата на Питагор. Познавайки две измерения, няма да е трудно да намерите третата стойност. Спомнете си добре познатата теорема a² = b² + c², където a е хипотенузата, а в нашия случай ръбът на пирамидата; b - първият крак или половината от диагонала и c - съответно вторият крак или височината на пирамидата. От тази формула c² = a² - b².

Сега проблемът: в дясна пирамидадиагоналът е 20 см, докато дължината на ръба е 30 см. Необходимо е да се намери височината. Решаваме: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Следователно c = √ 500 = около 22,4.

Как да намерите височината на пресечена пирамида

Това е многоъгълник, който има сечение, успоредно на основата си. Височината на пресечена пирамида е сегментът, който свързва двете й основи. Височината може да се намери при правилна пирамида, ако са известни дължините на диагоналите на двете основи, както и ръбът на пирамидата. Нека диагоналът на по-голямата основа е d1, докато диагоналът на по-малката основа е d2, а ръбът е с дължина l. За да намерите височината, можете да намалите височините от двете горни срещуположни точки на диаграмата до нейната основа. Виждаме, че имаме два правоъгълни триъгълника, остава да намерим дължините на краката им. За да направите това, извадете по-малкия диагонал от по-големия диагонал и разделете на 2. Така ще намерим единия крак: a \u003d (d1-d2) / 2. След това, според Питагоровата теорема, трябва само да намерим втория крак, който е височината на пирамидата.

Сега нека разгледаме цялото това нещо на практика. Предстои ни задача. Пресечената пирамида има квадрат в основата, дължината на диагонала на по-голямата основа е 10 см, а на по-малката е 6 см, а ръбът е 4 см. Необходимо е да се намери височината. Като начало намираме един крак: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 см. Единият крак е 2 см, а хипотенузата е 4 см. Оказва се, че вторият крак или височина ще бъде 16- 4 \u003d 12, тоест h \u003d √12 = около 3,5 cm.

Основната характеристика на всеки геометрична фигурав пространството е неговият обем. В тази статия ще разгледаме какво е пирамида с триъгълник в основата и ще покажем как да намерим обема на триъгълна пирамида - правилна пълна и пресечена.

Какво е триъгълна пирамида?

Всеки е чувал за древните Египетски пирамиди, обаче те са четириъгълни правилни, а не триъгълни. Нека обясним как да получите триъгълна пирамида.

Нека вземем произволен триъгълник и свържем всичките му върхове с една точка, разположена извън равнината на този триъгълник. Получената фигура ще се нарича триъгълна пирамида. Показано е на фигурата по-долу.

Както можете да видите, разглежданата фигура е образувана от четири триъгълника, които в общия случай са различни. Всеки триъгълник е страните на пирамидата или нейното лице. Тази пирамида често се нарича тетраедър, тоест четиристранна триизмерна фигура.

В допълнение към страните, пирамидата също има ръбове (има 6 от тях) и върхове (има 4 от тях).

с триъгълна основа

Фигурата, която се получава от произволен триъгълник и точка в пространството, в общия случай ще бъде неправилна наклонена пирамида. Сега си представете, че оригиналният триъгълник има еднакви страни и точка в пространството се намира точно над неговия геометричен център на разстояние h от равнината на триъгълника. Пирамидата, построена с помощта на тези първоначални данни, ще бъде правилна.

Очевидно броят на ръбовете, страните и върховете на правилна триъгълна пирамида ще бъде същият като този на пирамида, изградена от произволен триъгълник.

Правилната фигура обаче има някои отличителни белези:

• неговата височина, изтеглена от върха, ще пресича точно основата в геометричния център (точката на пресичане на медианите);
• странична повърхносттакава пирамида е образувана от три еднакви триъгълника, които са равнобедрени или равностранни.

Правилната триъгълна пирамида не е само чисто теоретичен геометричен обект. Някои структури в природата имат неговата форма, като кристалната решетка на диаманта, където въглероден атом е свързан с четири от същите атоми чрез ковалентни връзки, или молекула метан, където върховете на пирамидата са образувани от водородни атоми.

триъгълна пирамида

Можете да определите обема на абсолютно всяка пирамида с произволен n-ъгълник в основата, като използвате следния израз:

Тук символът S o обозначава площта на основата, h е височината на фигурата, начертана към маркираната основа от върха на пирамидата.

Тъй като площта на произволен триъгълник е равна на половината от произведението на дължината на неговата страна a и апотемата h a, спусната към тази страна, формулата за обема на триъгълна пирамида може да бъде написана в следната форма:

V = 1/6 × a × h a × h

За общ типОпределянето на височината не е лесна задача. За да го решите, най-лесният начин е да използвате формулата за разстоянието между точка (върх) и равнина (триъгълна основа), представена от уравнението общ изглед.

За правилния има специфичен вид. Площта на основата (равностранен триъгълник) за него е равна на:

Заместваме го в общия израз за V, получаваме:

V = √3/12 × a 2 × h

Специален случай е ситуацията, когато всички страни на тетраедър се оказват еднакви равностранни триъгълници. В този случай неговият обем може да се определи само въз основа на познаването на параметъра на неговия ръб a. Съответният израз изглежда така:

Пресечена пирамида

Ако Горна частсъдържащ върха, отрязан при правилната триъгълна пирамида, тогава получавате пресечена фигура. За разлика от първоначалния, той ще се състои от две равностранни триъгълни основи и три равнобедрени трапеца.

Снимката по-долу показва как изглежда правилната пресечена триъгълна пирамида, изработена от хартия.

За да се определи обемът на пресечена триъгълна пирамида, е необходимо да се знаят нейните три линейни характеристики: всяка от страните на основите и височината на фигурата, равна на разстоянието между горната и долната основа. Съответната формула за обем се записва по следния начин:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Тук h е височината на фигурата, A и a са дължините на страните съответно на големия (долния) и малкия (горния) равностранен триъгълник.

Решението на проблема

За да направим информацията в статията по-ясна за читателя, ще покажем с нагледен пример как се използват някои от написаните формули.

Нека обемът на триъгълна пирамида е 15 cm3. Известно е, че фигурата е правилна. Трябва да намерите апотемата a b на страничния ръб, ако е известно, че височината на пирамидата е 4 cm.

Тъй като обемът и височината на фигурата са известни, можете да използвате подходящата формула, за да изчислите дължината на страната на нейната основа. Ние имаме:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

a b \u003d √ (h 2 + a 2 / 12) \u003d √ (16 + 25,98 2 / 12) \u003d 8,5 cm

Изчислената дължина на апотемата на фигурата се оказа по-голяма от нейната височина, което важи за всеки тип пирамида.

Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели на урока.

Образователни: Изведете формула за изчисляване на обема на пирамида

Развитие: да развие познавателния интерес на учениците към учебните дисциплини, способността да прилагат знанията си на практика.

Образователни: култивиране на внимание, точност, разширяване на хоризонтите на учениците.

Оборудване и материали: компютър, екран, проектор, презентация „Обем на пирамидата“.

1. Фронтално проучване. Слайдове 2, 3

Какво се нарича пирамида, основа на пирамидата, ребра, височина, ос, апотема. Коя пирамида се нарича правилна, тетраедърна, пресечена пирамида?

Пирамида - многостен, състоящ се от плосък многоъгълник, точки, не лежи в равнината на този многоъгълник и всички сегменти, свързваща тази точка с точките на многоъгълника.

Тази точкаНаречен връхпирамиди, а плосък многоъгълник е основата на пирамидата. Сегменти, свързващи върха на пирамидата с върха на основата, се наричат ребра . Височинапирамиди - перпендикулярен, спусната от върха на пирамидата до равнината на основата. апотема - височина на страничния ръбправилна пирамида. Пирамидата, която в основаталъжи правилно n-ъгълник, а височина основасъвпада с фондация центърНаречен правилно n-ъгълна пирамида. ос Правилна пирамида се нарича права линия, съдържаща нейната височина. Правилната триъгълна пирамида се нарича тетраедър. Ако пирамидата се пресече от равнина, успоредна на равнината на основата, тогава тя ще отреже пирамидата, подобендадено. Останалото се нарича пресечена пирамида.

2. Извеждане на формулата за изчисляване на обема на пирамидата V=SH/3 Слайдове 4, 5, 6

1. Нека SABC е триъгълна пирамида с връх S и основа ABC.

2. Допълнете тази пирамида до триъгълна призма със същата основа и височина.

3. Тази призма е съставена от три пирамиди:

1) тази пирамида SABC.

2) пирамиди SCC 1 B 1 .

3) и пирамиди SCBB 1 .

4. Втората и третата пирамида имат равни основи CC 1 B 1 и B 1 BC и общата височина, прекарана от върха S до лицето на успоредника BB 1 C 1 C. Следователно те имат равни обеми.

5. Първата и третата пирамида също имат равни основи SAB и BB 1 S и съвпадащи височини, прекарани от върха C до лицето на успоредника ABB 1 S. Следователно те също имат равни обеми.

Това означава, че и трите пирамиди имат еднакъв обем. Тъй като сборът от тези обеми е равен на обема на призмата, обемите на пирамидите са равни на SH/3.

Обемът на всяка триъгълна пирамида е равен на една трета от площта на основата, умножена по височината.

3. Затвърдяване на нов материал. Решение на упражнения.

1) Задача № 33 от учебника A.N. Погорелов. Слайдове 7, 8, 9

От страната на основата? и страничен ръб b намерете обема на правилна пирамида, в основата на която лежи:

1) триъгълник,

2) четириъгълник,

3) шестоъгълник.

В правилната пирамида височината минава през центъра на окръжност, описана близо до основата. Тогава: (Приложение)

4. Исторически сведения за пирамидите. Слайдове 15, 16, 17

Първият наш съвременник, който установи редица необичайни явления, свързани с пирамидата, беше френският учен Антоан Бови. Изследвайки пирамидата на Хеопс през 30-те години на ХХ век, той открива, че телата на малки животни, случайно попаднали в кралската стая, са мумифицирани. Бови обясни причината за това за себе си с формата на пирамидата и, както се оказа, не сбърка. Неговите трудове са в основата на съвременните изследвания, в резултат на които през последните 20 години се появиха много книги и публикации, потвърждаващи, че енергията на пирамидите може да има практическо значение.

Мистерията на пирамидите

Някои изследователи твърдят, че пирамидата съдържа огромно количество информация за структурата на Вселената, Слънчевата система и човека, кодирана в нейната геометрична форма, или по-скоро под формата на октаедър, половината от който е пирамидата. Пирамидата отгоре символизира живота, отгоре надолу - смъртта, другия свят. Точно като компонентите на звездата на Давид (Magen David), където триъгълникът, насочен нагоре, символизира изкачването към Висшия разум, Бог, а триъгълникът, спуснат с върха надолу, символизира слизането на душата на Земята, материалното съществуване ...

Цифровата стойност на кода, с който е шифрована информацията за Вселената в пирамидата, числото 365, не е избрана случайно. На първо място, това е годишният жизнен цикъл на нашата планета. Освен това числото 365 се състои от три числа 3, 6 и 5. Какво означават те? Ако в слънчева системаСлънцето минава под номер 1, Меркурий - 2, Венера - 3, Земя - 4, Марс - 5, Юпитер - 6, Сатурн - 7, Уран - 8, Нептун - 9, Плутон - 10, тогава 3 е Венера, 6 - Юпитер и 5 - Марс. Следователно Земята е свързана по особен начин с тези планети. Като съберем числата 3, 6 и 5, получаваме 14, от които 1 е Слънцето, а 4 е Земята.

Числото 14 като цяло има глобално значение: по-специално структурата на човешките ръце се основава на него, общ бройфалангите на пръстите на всяка от които също са 14. Този код също е свързан със съзвездието Голяма мечка, което включва нашето Слънце и в което някога е имало друга звезда, която е унищожила Фаетон, планета, разположена между Марс и Юпитер, след което се появи в слънчевата система Плутон, а характеристиките на другите планети са се променили.

Много езотерични източници твърдят, че човечеството на Земята вече четири пъти е преживявало световна катастрофа. Третата лемурийска раса познаваше Божествената наука за Вселената, след това тази тайна доктрина беше предадена само на посветените. В началото на циклите и полуциклите на звездната година те построиха пирамидите. Бяха близо до откриването на кода на живота. Цивилизацията на Атлантида успя в много неща, но на някакво ниво на познание те бяха спрени от друга планетарна катастрофа, придружена от смяна на расите. Вероятно посветените са искали да ни предадат, че знанието за космическите закони е заложено в пирамидите...

Специални устройства под формата на пирамиди неутрализират отрицателното електромагнитно излъчване на човек от компютър, телевизор, хладилник и други домакински уреди.

В една от книгите е описан случай, когато пирамида, монтирана в интериора на автомобила, намалява разхода на гориво и намалява съдържанието на CO в отработените газове.

Семената от градински култури, отлежали в пирамиди, имаха по-добра кълняемост и добив. Публикациите дори препоръчват накисване на семената преди сеитба в пирамидална вода.

Установено е, че пирамидите имат благоприятен ефект върху екологичната обстановка. Елиминирайте патогенните зони в апартаменти, офиси и крайградски зони, създавайки положителна аура.

Холандският изследовател Пол Дикенс в своята книга дава примери за лечебните свойства на пирамидите. Той забеляза, че могат да се използват за облекчаване на главоболие, болки в ставите, спиране на кървене при малки порязвания и че енергията на пирамидите стимулира метаболизма и укрепва имунната система.

В някои съвременни публикации се отбелязва, че лекарствата, отлежали в пирамидата, съкращават курса на лечение, а превръзката, наситена с положителна енергия, насърчава заздравяването на рани.

Козметичните кремове и мехлеми подобряват ефекта си.

Напитките, включително алкохолът, подобряват вкуса си, а водата, съдържаща се в 40% водка, става лековита. Вярно е, че за да заредите стандартна бутилка от 0,5 литра с положителна енергия, ви е необходима висока пирамида.

Една вестникарска статия казва, че ако съхранявате бижута под пирамида, те се самопочистват и придобиват особен блясък, докато скъпоценните и полускъпоценните камъни натрупват положителна биоенергия и след това постепенно я освобождават.

Според американски учени хранителните продукти, като зърнени храни, брашно, сол, захар, кафе, чай, след като са в пирамидата, подобряват вкуса си, а евтините цигари стават като своите благородни събратя.

Това може да не е от значение за мнозина, но старите бръснарски ножчета се самонаточват в малка пирамида, а водата не замръзва в голяма пирамида при -40 градуса по Целзий.

Според повечето изследователи всичко това е доказателство за съществуването на енергията на пирамидите.

За 5000 години от своето съществуване пирамидите са се превърнали в своеобразен символ, който олицетворява желанието на човека да достигне върха на познанието.

5. Обобщаване на урока.

Библиография.

1) http://schools.techno.ru

2) Погорелов А. В. Геометрия 10-11, издателство „Просвещение“.

3) Енциклопедия "Дървото на знанието" Маршал К.