एक अभाज्य संख्या या नहीं। अभाज्य संख्याएँ: एक अनसुलझी पहेली की सामान्यता

• अनुवाद

अभाज्य संख्याओं के गुणों का अध्ययन सबसे पहले प्राचीन यूनान के गणितज्ञों ने किया था। पाइथागोरस स्कूल (500 - 300 ईसा पूर्व) के गणितज्ञ मुख्य रूप से अभाज्य संख्याओं के रहस्यमय और संख्यात्मक गुणों में रुचि रखते थे। वे सबसे पहले पूर्ण और मैत्रीपूर्ण संख्याओं के बारे में विचार लेकर आए थे।

एक पूर्ण संख्या के अपने भाजक स्वयं के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 6 के उचित भाजक हैं: 1, 2 और 3. 1 + 2 + 3 = 6. संख्या 28 के भाजक 1, 2, 4, 7 और 14 हैं। इसके अलावा, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28।

संख्याएँ मित्रवत कहलाती हैं यदि एक संख्या के उचित भाजक का योग दूसरी संख्या के बराबर हो, और इसके विपरीत - उदाहरण के लिए, 220 और 284। हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण संख्या स्वयं के अनुकूल होती है।

300 ईसा पूर्व में यूक्लिड के "बिगिनिंग्स" के काम की उपस्थिति के समय तक। अभाज्य संख्याओं के बारे में कई महत्वपूर्ण तथ्य पहले ही सिद्ध हो चुके हैं। तत्वों की पुस्तक IX में, यूक्लिड ने सिद्ध किया कि अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या होती है। वैसे, यह विरोधाभास द्वारा प्रमाण के उपयोग के पहले उदाहरणों में से एक है। उन्होंने अंकगणित के मूल प्रमेय को भी सिद्ध किया - प्रत्येक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अद्वितीय तरीके से दर्शाया जा सकता है।

उन्होंने यह भी दिखाया कि यदि संख्या 2 n -1 अभाज्य है, तो संख्या 2 n-1 * (2 n -1) पूर्ण होगी। एक अन्य गणितज्ञ, यूलर, 1747 में यह दिखाने में सक्षम था कि सभी सम पूर्ण संख्याओं को इस रूप में लिखा जा सकता है। आज तक, यह ज्ञात नहीं है कि विषम पूर्ण संख्याएँ मौजूद हैं या नहीं।

वर्ष 200 ई.पू. ग्रीक एराटोस्थनीज ने अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए एक एल्गोरिथम का आविष्कार किया जिसे इरेटोस्थनीज की छलनी कहा जाता है।

और फिर मध्य युग से जुड़ी अभाज्य संख्याओं के अध्ययन के इतिहास में एक बड़ा विराम आया।

निम्नलिखित खोजें 17वीं शताब्दी की शुरुआत में गणितज्ञ फ़र्मेट द्वारा की गई थीं। उन्होंने अल्बर्ट गिरार्ड के इस अनुमान को साबित कर दिया कि 4n+1 के रूप की किसी भी अभाज्य संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है, और एक प्रमेय भी तैयार किया कि किसी भी संख्या को चार वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उन्होंने बड़ी संख्याओं के लिए एक नई गुणनखंडन विधि विकसित की, और इसे संख्या 2027651281 = 44021 × 46061 पर प्रदर्शित किया। उन्होंने फ़र्मेट की छोटी प्रमेय को भी सिद्ध किया: यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो किसी भी पूर्णांक के लिए a, ap = a modulo p सत्य होगा। .

यह कथन "चीनी परिकल्पना" के रूप में जाना जाने वाला आधा साबित होता है और 2000 साल पहले की तारीखें: एक पूर्णांक n अभाज्य है यदि और केवल यदि 2n-2 n से विभाज्य है। परिकल्पना का दूसरा भाग गलत निकला - उदाहरण के लिए, 2341 - 2, 341 से विभाज्य है, हालाँकि संख्या 341 संयुक्त है: 341 = 31 × 11।

Fermat's Little Theorem संख्या सिद्धांत और परीक्षण के तरीकों में कई अन्य परिणामों का आधार था कि क्या संख्याएं अभाज्य हैं, जिनमें से कई आज भी उपयोग में हैं।

फ़र्मेट ने अपने समकालीनों के साथ बड़े पैमाने पर पत्राचार किया, विशेष रूप से मारिन मेर्सन नामक एक भिक्षु के साथ। अपने एक पत्र में, उन्होंने अनुमान लगाया कि 2 n + 1 के रूप की संख्या हमेशा अभाज्य होगी यदि n दो की शक्ति है। उन्होंने n = 1, 2, 4, 8, और 16 के लिए इसका परीक्षण किया, और यह सुनिश्चित था कि जब n दो की शक्ति नहीं है, तो संख्या अनिवार्य रूप से प्रमुख नहीं थी। इन नंबरों को फ़र्मेट नंबर कहा जाता है, और 100 साल बाद तक यूलर ने यह नहीं दिखाया कि अगली संख्या, 232 + 1 = 4294967297, 641 से विभाज्य है और इसलिए अभाज्य नहीं है।

प्रपत्र 2 n - 1 की संख्याएँ भी शोध का विषय रही हैं, क्योंकि यह दिखाना आसान है कि यदि n संयुक्त है, तो संख्या स्वयं भी संमिश्र है। इन नंबरों को मेर्सन नंबर कहा जाता है क्योंकि उन्होंने सक्रिय रूप से उनका अध्ययन किया था।

लेकिन 2 n-1 के रूप की सभी संख्याएँ अभाज्य नहीं हैं, जहाँ n अभाज्य है। उदाहरण के लिए, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89। यह पहली बार 1536 में खोजा गया था।

कई सालों तक, इस तरह की संख्याओं ने गणितज्ञों को सबसे बड़ा ज्ञात अभाज्य संख्या दी। यह कि संख्या M 19 को कैटलडी द्वारा 1588 में सिद्ध किया गया था, और 200 वर्षों के लिए सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या थी, जब तक कि यूलर ने यह साबित नहीं कर दिया कि M 31 भी अभाज्य है। यह रिकॉर्ड एक और सौ वर्षों तक रहा, और फिर लुकास ने दिखाया कि एम 127 प्राइम है (और यह पहले से ही 39 अंकों की संख्या है), और उसके बाद, कंप्यूटर के आगमन के साथ शोध जारी रहा।

1952 में, M 521, M 607, M 1279, M 2203 और M 2281 संख्याओं की प्रधानता साबित हुई।

2005 तक, 42 Mersenne primes पाए गए थे। उनमें से सबसे बड़ा, एम 25964951 , 7816230 अंकों का होता है।

यूलर के काम का अभाज्य संख्याओं सहित संख्या सिद्धांत पर बहुत प्रभाव पड़ा। उन्होंने फ़र्मेट के छोटे प्रमेय का विस्तार किया और -फ़ंक्शन की शुरुआत की। 5वें फ़र्मेट नंबर 2 32 +1 का गुणनखंडन किया, अनुकूल संख्याओं के 60 जोड़े मिले, और पारस्परिकता के द्विघात नियम को तैयार किया (लेकिन साबित करने में विफल)।

उन्होंने सबसे पहले गणितीय विश्लेषण के तरीकों की शुरुआत की और संख्याओं के विश्लेषणात्मक सिद्धांत को विकसित किया। उन्होंने साबित किया कि न केवल हार्मोनिक श्रृंखला ∑ (1/n), बल्कि रूप की एक श्रृंखला भी है

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

अभाज्य संख्याओं के प्रतिलोम राशियों के योग से प्राप्त होने पर भी विचलन होता है। हार्मोनिक श्रृंखला के n पदों का योग लगभग लॉग (n) की तरह बढ़ता है, जबकि दूसरी श्रृंखला अधिक धीरे-धीरे विचलन करती है, जैसे लॉग [लॉग (एन)]। इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, आज तक मिली सभी अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग केवल 4 देगा, हालाँकि श्रृंखला अभी भी भिन्न है।

पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि अभाज्य संख्याओं को पूर्णांकों के बीच यादृच्छिक रूप से वितरित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1000000 से ठीक पहले की 100 संख्याओं में से 9 अभाज्य संख्याएँ हैं, और इस मान के ठीक बाद की 100 संख्याओं में से केवल 2 हैं। लेकिन बड़े खंडों पर, अभाज्य संख्याएँ समान रूप से वितरित की जाती हैं। लीजेंड्रे और गॉस ने उनके वितरण से निपटा। गॉस ने एक बार एक दोस्त से कहा था कि किसी भी खाली 15 मिनट में वह हमेशा अगले 1000 नंबरों में अभाज्य संख्याओं की गणना करता है। अपने जीवन के अंत तक, उन्होंने सभी अभाज्य संख्याओं को 3 मिलियन तक गिन लिया था। लीजेंड्रे और गॉस ने समान रूप से गणना की कि बड़े एन के लिए प्राइम की घनत्व 1/लॉग (एन) है। लीजेंड्रे ने 1 और n के बीच अभाज्य संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाया था

(एन) = एन/(लॉग(एन) - 1.08366)

और गॉस - एक लघुगणकीय समाकल के रूप में

(एन) = / 1/लॉग(टी) डीटी

2 से n के एकीकरण अंतराल के साथ।

अभाज्य संख्याओं के घनत्व के बारे में कथन 1/log(n) को अभाज्य संख्या प्रमेय के रूप में जाना जाता है। उन्होंने 19वीं शताब्दी में इसे साबित करने की कोशिश की और चेबीशेव और रीमैन ने प्रगति की। उन्होंने इसे रीमैन हाइपोथिसिस के साथ जोड़ा, जो अब तक रीमैन जेटा फ़ंक्शन के शून्य के वितरण के बारे में एक अप्रमाणित अनुमान है। 1896 में हैडमर्ड और डे ला वेली-पॉसिन द्वारा प्राइम्स के घनत्व को एक साथ साबित किया गया था।

अभाज्य संख्याओं के सिद्धांत में, अभी भी कई अनसुलझे प्रश्न हैं, जिनमें से कुछ सैकड़ों वर्ष पुराने हैं:

• जुड़वां अभाज्य परिकल्पना - अभाज्य संख्याओं के युग्मों की अनंत संख्या के बारे में जो एक दूसरे से 2 . से भिन्न होते हैं
• गोल्डबैक का अनुमान: 4 से शुरू होने वाली किसी भी संख्या को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है
• क्या n 2 + 1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है?
• क्या n 2 और (n + 1) 2 के बीच एक अभाज्य संख्या ज्ञात करना हमेशा संभव है? (तथ्य यह है कि n और 2n के बीच हमेशा एक अभाज्य संख्या होती है जिसे चेबीशेव ने सिद्ध किया था)
• क्या फ़र्मेट अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? क्या चौथे के बाद कोई फ़र्मेट प्राइम हैं?
• क्या किसी दी गई लंबाई के लिए लगातार अभाज्य संख्याओं की अंकगणितीय प्रगति है? उदाहरण के लिए, लंबाई 4: 251, 257, 263, 269 के लिए। अधिकतम लंबाई 26 मिली है।
• क्या एक समान्तर श्रेणी में तीन क्रमागत अभाज्य संख्याओं के समुच्चय अनंत हैं?
• n 2 - n + 41 0 n ≤ 40 के लिए एक अभाज्य संख्या है। क्या ऐसी अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? सूत्र n 2 - 79 n + 1601 के लिए वही प्रश्न। ये संख्याएँ 0 n 79 के लिए अभाज्य हैं।
• क्या n# + 1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? (n# n से कम सभी अभाज्य संख्याओं को गुणा करने का परिणाम है)
• क्या n# -1 के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है?
• क्या n के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है! +1?
• क्या n के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है! - एक?
• यदि p अभाज्य है, तो क्या 2 p -1 हमेशा चुकता अभाज्य संख्याओं के गुणनखंडों में शामिल नहीं होता है
• क्या फाइबोनैचि अनुक्रम में अनंत अभाज्य संख्याएँ होती हैं?

सबसे बड़ी जुड़वां अभाज्य संख्याएँ 2003663613 × 2 195000 ± 1 हैं। इनमें 58711 अंक होते हैं और 2007 में पाए गए थे।

सबसे बड़ी भाज्य अभाज्य संख्या (प्ररूप n! ± 1 का) 147855 है! - 1. इसमें 142891 अंक होते हैं और 2002 में पाए गए थे।

सबसे बड़ी मूल अभाज्य संख्या (n# ± 1 के रूप की एक संख्या) 1098133# + 1 है।

टैग: टैग जोड़ें

परिभाषा 1. अभाज्य संख्या 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है जो केवल स्वयं और 1 से विभाज्य है।

दूसरे शब्दों में, एक संख्या अभाज्य होती है यदि उसमें केवल दो भिन्न प्राकृत भाजक हों।

परिभाषा 2. कोई भी प्राकृत संख्या जिसके अपने और एक के अलावा अन्य भाजक हो, कहलाती है संयुक्त संख्या।

दूसरे शब्दों में, वे प्राकृत संख्याएँ जो अभाज्य नहीं हैं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। परिभाषा 1 का तात्पर्य है कि एक भाज्य संख्या में दो से अधिक प्राकृतिक भाजक होते हैं। संख्या 1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य। केवल एक भाजक 1 है और इसके अलावा, अभाज्य संख्याओं के बारे में कई प्रमेय एकता के लिए मान्य नहीं हैं।

यह परिभाषा 1 और 2 से इस प्रकार है कि 1 से बड़ा प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक या तो एक अभाज्य या एक भाज्य संख्या है।

नीचे 5000 तक अभाज्य संख्याएँ प्रदर्शित करने का एक कार्यक्रम है। कक्षों में भरें, "बनाएँ" बटन पर क्लिक करें और कुछ सेकंड प्रतीक्षा करें।

प्राइम नंबर टेबल

कथन 1. अगर पीएक अभाज्य संख्या है और एकोई पूर्णांक, फिर या तो एद्वारा विभाजित पी, या पीऔर एअपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ।

सच में। अगर पीअभाज्य संख्या है, तो यह केवल स्वयं से विभाज्य है और 1 यदि एसे विभाज्य नहीं है पी, तो सबसे बड़ा सामान्य भाजक एऔर पीबराबर 1. फिर पीऔर एअपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ।

कथन 2. यदि कई संख्याओं का गुणनफल ए 1 , ए 2 , ए 3 , ... एक अभाज्य संख्या से विभाज्य है पी, तो कम से कम एक संख्या ए 1 , ए 2 , ए 3 , ... से विभाज्य है पी.

सच में। यदि कोई भी संख्या से विभाज्य नहीं है पी, फिर संख्या ए 1 , ए 2 , ए 3 , ... के संबंध में अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ होंगी पी. लेकिन कोरोलरी 3 () से यह इस प्रकार है कि उनका उत्पाद ए 1 , ए 2 , ए 3 , ... के संबंध में भी सहअभाज्य है पी, जो दावे की स्थिति के विपरीत है। इसलिए, संख्याओं में से कम से कम एक संख्या से विभाज्य है पी.

प्रमेय 1. किसी भी भाज्य संख्या को हमेशा अभाज्य संख्याओं की परिमित संख्या के गुणनफल के रूप में, और इसके अलावा एक अनोखे तरीके से दर्शाया जा सकता है।

प्रमाण। रहने दो कसंयुक्त संख्या, और चलो ए 1 इसका एक भाजक है जो 1 और स्वयं से भिन्न है। अगर ए 1 मिश्रित है, तो इसमें 1 और . के अतिरिक्त है ए 1 और दूसरा विभक्त ए 2. अगर ए 2 एक भाज्य संख्या है, तो इसमें 1 और . के अतिरिक्त है ए 2 और दूसरा डिवाइडर ए 3. इस तरह से बहस करना और संख्याओं को ध्यान में रखना ए 1 , ए 2 , ए 3, ... घटती है और इस श्रृंखला में पदों की एक सीमित संख्या है, हम कुछ अभाज्य संख्या तक पहुंचेंगे पीएक । फिर कके रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

मान लीजिए किसी संख्या के दो प्रसार हैं क:

इसलिये कश्मीर = पी 1 पी 2 पी 3 ... एक अभाज्य संख्या से विभाज्य है क्यू 1 , फिर कम से कम एक कारक, उदाहरण के लिए पी 1 से विभाज्य है क्यूएक । परंतु पी 1 अभाज्य है और केवल 1 और स्वयं से विभाज्य है। फलस्वरूप पी 1 =क्यू 1 (क्योंकि क्यू 1 ≠1)

फिर (2) से हम बहिष्कृत कर सकते हैं पी 1 और क्यू 1:

इस प्रकार, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि कोई भी अभाज्य संख्या जो एक या अधिक बार कारक के रूप में पहले विस्तार में प्रवेश करती है, दूसरे विस्तार में कम से कम उतनी ही बार प्रवेश करती है और इसके विपरीत, कोई भी अभाज्य संख्या जो एक या कई कारक के रूप में दूसरे विस्तार में प्रवेश करती है। टाइम्स भी पहले विस्तार में कम से कम कई बार प्रवेश करता है। इसलिए, कोई भी अभाज्य संख्या दोनों प्रसारों में एक समान संख्या में एक कारक के रूप में प्रवेश करती है और इस प्रकार, ये दोनों विस्तार समान हैं।■

एक समग्र संख्या का अपघटन कनिम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

(3)

कहाँ पे पी 1 , पी 2 , ... भिन्न अभाज्य संख्याएँ, α, β, γ ... पूर्णांक धनात्मक संख्याएँ।

अपघटन (3) कहा जाता है विहित अपघटनसंख्याएं।

प्राकृत संख्याओं की श्रृंखला में अभाज्य संख्याएँ असमान रूप से आती हैं। श्रृंखला के कुछ हिस्सों में उनमें से कुछ अधिक हैं, दूसरों में - कम। हम संख्या श्रृंखला के साथ जितना आगे बढ़ते हैं, अभाज्य संख्याएँ उतनी ही दुर्लभ होती हैं। सवाल यह है कि क्या कोई सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने सिद्ध किया कि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं। इसका प्रमाण हम नीचे प्रस्तुत कर रहे हैं।

प्रमेय 2. अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत होती है।

प्रमाण। मान लीजिए कि अभाज्य संख्याओं की एक सीमित संख्या है, और मान लीजिए कि सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है पी. आइए सभी नंबरों पर विचार करें पी. कथन की धारणा के अनुसार, ये संख्याएं समग्र होनी चाहिए और कम से कम एक अभाज्य संख्या से विभाज्य होनी चाहिए। आइए एक संख्या चुनें जो इन सभी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल 1 हो:

संख्या जेडअधिक पीइसलिये 2पीपहले से ही अधिक पी. पीइनमें से किसी भी अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है, क्योंकि जब उनमें से प्रत्येक से विभाजित किया जाता है, तो यह शेषफल 1 देता है। इस प्रकार हम एक अंतर्विरोध पर पहुंचते हैं। इसलिए, अनंत संख्या में अभाज्य संख्याएँ हैं।

यह प्रमेय अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष मामला है:

प्रमेय 3. मान लीजिए एक समांतर श्रेणी दी गई है

तब कोई अभाज्य संख्या in एन, में भी शामिल किया जाना चाहिए एम, तो में एनअन्य प्रमुख कारकों को शामिल नहीं किया जा सकता है जो इसमें शामिल नहीं हैं एमऔर, इसके अलावा, इन प्रमुख कारकों में एनसे अधिक बार नहीं दिखाई दें एम.

विपरीत भी सही है। यदि किसी संख्या का प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड एनकम से कम एक ही बार होता है एम, फिर एमद्वारा विभाजित एन.

कथन 3. रहने दो ए 1 ,ए 2 ,ए 3 ,... विभिन्न अभाज्य संख्याएँ प्रदर्शित हो रही हैं एमइसलिए

कहाँ पे मैं=0,1,...α , जे=0,1,...,β , के = 0,1,..., γ . नोटिस जो एक मैंस्वीकार α +1 मान, β जे स्वीकार करता है β +1 मान, γ कश्मीर लेता है γ +1 मान, ....

प्राचीन यूनानियों के समय से, गणितज्ञों के लिए अभाज्य संख्याएँ बहुत आकर्षक रही हैं। वे उन्हें खोजने के लिए लगातार अलग-अलग तरीकों की तलाश कर रहे हैं, लेकिन अभाज्य संख्याओं को "पकड़ने" का सबसे प्रभावी तरीका अलेक्जेंड्रिया के खगोलशास्त्री और गणितज्ञ एराटोस्थनीज द्वारा खोजा गया तरीका माना जाता है। यह तरीका पहले से ही लगभग 2000 साल पुराना है।

कौन सी संख्याएं अभाज्य हैं

प्राइम नंबर को कैसे परिभाषित करें? कई संख्याएँ अन्य संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं। वह संख्या जिससे कोई पूर्णांक विभाज्य होता है भाजक कहलाती है।

इस मामले में, हम शेष के बिना विभाजन के बारे में बात कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 36 को 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और स्वयं से, यानी 36 से विभाजित किया जा सकता है। तो 36 में 9 भाजक हैं। संख्या 23 केवल अपने आप से विभाज्य है और 1 से, अर्थात इस संख्या के 2 भाजक हैं - यह संख्या अभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनमें केवल दो भाजक हों, अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। अर्थात् वह संख्या जो केवल अपने आप से और एक से शेषफल के बिना विभाज्य हो अभाज्य संख्या कहलाती है।

गणितज्ञों के लिए, संख्याओं की एक श्रृंखला में पैटर्न की खोज, जिसका उपयोग तब परिकल्पना बनाने के लिए किया जा सकता है, एक बहुत ही सुखद घटना है। लेकिन अभाज्य संख्याएँ किसी भी पैटर्न का पालन करने से इनकार करती हैं। लेकिन अभाज्य संख्याओं को परिभाषित करने का एक तरीका है। यह विधि एराटोस्थनीज द्वारा खोजी गई थी, इसे "इराटोस्थनीज की छलनी" कहा जाता है। आइए इस तरह की "छलनी" के एक प्रकार को देखें, जिसे 48 तक की संख्या की तालिका के रूप में प्रस्तुत किया गया है, और समझें कि इसे कैसे संकलित किया जाता है।

इस तालिका में 48 से कम की सभी अभाज्य संख्याएँ अंकित हैं संतरा. वे इस प्रकार पाए जाते हैं:

• 1 - एक एकल भाजक है और इसलिए एक अभाज्य संख्या नहीं है;
• 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है और एकमात्र सम संख्या है, क्योंकि अन्य सभी सम संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं, अर्थात उनके कम से कम 3 भाजक हैं, ये संख्याएँ घटा दी जाती हैं बैंगनी स्तंभ;
• 3 एक अभाज्य संख्या है, इसमें दो भाजक हैं, अन्य सभी संख्याएँ जो 3 से विभाज्य हैं, को बाहर रखा गया है - इन संख्याओं को पीले कॉलम में संक्षेपित किया गया है। बैंगनी और पीले दोनों में चिह्नित कॉलम में 2 और 3 दोनों से विभाज्य संख्याएँ हैं;
• 5 एक अभाज्य संख्या है, वे सभी संख्याएँ जो 5 से विभाज्य हैं, बाहर हैं - ये संख्याएँ हरे अंडाकार से घिरी हुई हैं;
• 7 एक अभाज्य संख्या है, सभी संख्याएँ जो 7 से विभाज्य हैं, लाल रंग में परिक्रमा करती हैं - वे अभाज्य नहीं हैं;

सभी गैर-अभाज्य संख्याएं नीले रंग में चिह्नित हैं। इसके अलावा, इस तालिका को छवि और समानता में संकलित किया जा सकता है।

संख्याएँ भिन्न हैं: प्राकृतिक, प्राकृतिक, परिमेय, पूर्णांक और भिन्नात्मक, धनात्मक और ऋणात्मक, सम्मिश्र और अभाज्य, विषम और सम, वास्तविक, आदि। इस लेख से आप अभाज्य संख्याएँ क्या हैं, यह जान सकते हैं।

अंग्रेजी के शब्द "सरल" को किन संख्याओं का नाम दिया गया है?

बहुत बार, स्कूली बच्चे यह नहीं जानते कि गणित में सबसे सरल प्रश्नों में से एक का उत्तर कैसे दिया जाए, एक अभाज्य संख्या क्या है। वे अक्सर अभाज्य संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं के साथ भ्रमित करते हैं (अर्थात, वे संख्याएँ जिनका उपयोग लोग वस्तुओं की गिनती करते समय करते हैं, जबकि कुछ स्रोतों में वे शून्य से शुरू होते हैं, और अन्य में - एक से)। लेकिन ये दो पूरी तरह से अलग अवधारणाएं हैं। अभाज्य संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ हैं, अर्थात् पूर्णांक और धनात्मक संख्याएँ जो एक से बड़ी हों और जिनमें केवल 2 प्राकृत भाजक हों। इस मामले में, इनमें से एक भाजक एक दी गई संख्या है, और दूसरा एक इकाई है। उदाहरण के लिए, तीन एक अभाज्य संख्या है क्योंकि यह स्वयं और एक के अलावा किसी अन्य संख्या से समान रूप से विभाज्य नहीं है।

समग्र संख्या

अभाज्य संख्याओं के विपरीत भाज्य संख्याएँ होती हैं। वे प्राकृतिक भी हैं, एक से भी बड़े, लेकिन दो नहीं, बल्कि अधिक भाजक हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्याएँ 4, 6, 8, 9, आदि प्राकृतिक, संयुक्त हैं, लेकिन अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, ये ज्यादातर सम संख्याएं हैं, लेकिन सभी नहीं। लेकिन "दो" एक सम संख्या है और अभाज्य संख्याओं की श्रृंखला में "पहली संख्या" है।

परिणाम को

अभाज्य संख्याओं की एक श्रृंखला बनाने के लिए, उनकी परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, सभी प्राकृतिक संख्याओं में से चयन करना आवश्यक है, अर्थात आपको विरोधाभास से कार्य करने की आवश्यकता है। इस विषय पर प्रत्येक प्राकृतिक सकारात्मक संख्याओं पर विचार करना आवश्यक है कि क्या इसमें दो से अधिक भाजक हैं। आइए एक श्रृंखला (अनुक्रम) बनाने का प्रयास करें जिसमें अभाज्य संख्याएँ हों। सूची दो से शुरू होती है, फिर तीन आती है, क्योंकि यह केवल अपने आप से और एक से विभाज्य है। संख्या चार पर विचार करें। क्या इसमें चार और एक के अलावा अन्य भाजक हैं? हाँ, वह संख्या 2 है। अतः चार एक अभाज्य संख्या नहीं है। पांच भी अभाज्य है (1 और 5 के अलावा, यह किसी अन्य संख्या से विभाज्य नहीं है), लेकिन छह विभाज्य है। और सामान्य तौर पर, यदि आप सभी सम संख्याओं का अनुसरण करते हैं, तो आप देखेंगे कि "दो" के अलावा, उनमें से कोई भी अभाज्य नहीं है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दो को छोड़कर सम संख्याएँ अभाज्य नहीं होती हैं। एक और खोज: सभी संख्याएँ जो तीन से विभाज्य हैं, स्वयं ट्रिपल को छोड़कर, चाहे सम या विषम, भी अभाज्य नहीं हैं (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, आदि)। वही उन संख्याओं पर लागू होता है जो पाँच और सात से विभाज्य हैं। उनका सारा सेट भी सरल नहीं है। आइए संक्षेप करते हैं। इसलिए, एक और नौ को छोड़कर सभी विषम संख्याएं साधारण एकल-अंक वाली संख्याओं से संबंधित होती हैं, और सम संख्याओं में से केवल "दो" होती हैं। दहाई स्वयं (10, 20,... 40, आदि) अभाज्य नहीं हैं। दो-अंकीय, तीन-अंकीय, आदि अभाज्य संख्याओं को उपरोक्त सिद्धांतों के आधार पर परिभाषित किया जा सकता है: यदि उनके पास स्वयं और एक के अलावा कोई अन्य भाजक नहीं है।

अभाज्य संख्याओं के गुणों के बारे में सिद्धांत

एक ऐसा विज्ञान है जो अभाज्य संख्याओं सहित पूर्णांकों के गुणों का अध्ययन करता है। यह गणित की एक शाखा है, जिसे उच्चतर कहा जाता है। पूर्णांकों के गुणों के अलावा, वह बीजगणितीय, अनुवांशिक संख्याओं के साथ-साथ इन संख्याओं के अंकगणित से संबंधित विभिन्न मूल के कार्यों से भी संबंधित है। इन अध्ययनों में, प्रारंभिक और बीजीय विधियों के अलावा, विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय विधियों का भी उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, अभाज्य संख्याओं का अध्ययन "संख्या सिद्धांत" से संबंधित है।

अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के "बिल्डिंग ब्लॉक्स" हैं

अंकगणित में एक प्रमेय होता है जिसे मुख्य प्रमेय कहा जाता है। इसके अनुसार, एकता को छोड़कर किसी भी प्राकृतिक संख्या को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसके कारक अभाज्य संख्याएँ हैं, और कारकों का क्रम अद्वितीय है, जिसका अर्थ है कि प्रतिनिधित्व विधि अद्वितीय है। इसे एक प्राकृत संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन कहते हैं। इस प्रक्रिया का एक और नाम है - संख्याओं का गुणनखंडन। इसके आधार पर, प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण के लिए अभाज्य संख्याओं को "निर्माण सामग्री", "ब्लॉक" कहा जा सकता है।

प्राइम नंबर खोजें। सादगी परीक्षण

अलग-अलग समय के कई वैज्ञानिकों ने अभाज्य संख्याओं की सूची खोजने के लिए कुछ सिद्धांत (सिस्टम) खोजने की कोशिश की। विज्ञान एटकिन की चलनी, सुंदरतम की चलनी, एराटोस्थनीज की चलनी नामक प्रणालियों को जानता है। हालांकि, वे कोई महत्वपूर्ण परिणाम नहीं देते हैं, और अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए एक साधारण परीक्षण का उपयोग किया जाता है। एल्गोरिदम भी गणितज्ञों द्वारा बनाए गए थे। उन्हें प्रारंभिक परीक्षण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, राबिन और मिलर द्वारा विकसित एक परीक्षण है। इसका उपयोग क्रिप्टोग्राफर्स द्वारा किया जाता है। कायला-अग्रवाला-सास्केन परीक्षण भी होता है। हालांकि, इसकी पर्याप्त सटीकता के बावजूद, इसकी गणना करना बहुत मुश्किल है, जिससे इसका व्यावहारिक मूल्य कम हो जाता है।

क्या अभाज्य संख्याओं के समुच्चय की कोई सीमा होती है?

यह तथ्य कि अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अनंत है, प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक यूक्लिड द्वारा "बिगिनिंग्स" पुस्तक में लिखा गया था। उन्होंने यह कहा: "आइए एक पल के लिए कल्पना करें कि अभाज्य संख्याओं की एक सीमा होती है। फिर आइए उन्हें एक-दूसरे से गुणा करें, और उत्पाद में एक जोड़ें। इन सरल संक्रियाओं के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या अभाज्य संख्याओं की किसी भी श्रृंखला से विभाज्य नहीं हो सकती, क्योंकि शेष हमेशा एक ही रहेगा। और इसका मतलब है कि कुछ अन्य संख्याएँ हैं जो अभी तक अभाज्य संख्याओं की सूची में शामिल नहीं हैं। इसलिए, हमारी धारणा सत्य नहीं है, और इस सेट की कोई सीमा नहीं हो सकती है। यूक्लिड के प्रमाण के अलावा, अठारहवीं शताब्दी के स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर द्वारा दिया गया एक और आधुनिक सूत्र है। उनके अनुसार, योग, पहली n संख्याओं के योग का व्युत्क्रम, संख्या n की वृद्धि के साथ अनिश्चित काल तक बढ़ता है। और यहाँ अभाज्य संख्याओं के वितरण के संबंध में प्रमेय का सूत्र है: (n) n / ln (n) की तरह बढ़ता है।

सबसे बड़ी अभाज्य संख्या क्या है?

वही लियोनार्ड यूलर अपने समय के लिए सबसे बड़ी अभाज्य संख्या खोजने में सक्षम थे। यह 2 31 - 1 = 2147483647 है। हालांकि, 2013 तक, अभाज्य संख्याओं की सूची में एक और सबसे सटीक सबसे बड़ी गणना की गई - 2 57885161 - 1. इसे मेर्सन संख्या कहा जाता है। इसमें लगभग 17 मिलियन दशमलव अंक हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, अठारहवीं शताब्दी के एक वैज्ञानिक द्वारा खोजी गई संख्या इससे कई गुना छोटी है। ऐसा होना चाहिए था, क्योंकि यूलर ने यह गणना मैन्युअल रूप से की थी, लेकिन हमारे समकालीन को शायद एक कंप्यूटर ने मदद की थी। इसके अलावा, यह संख्या अमेरिकी विभागों में से एक में गणित विभाग में प्राप्त की गई थी। इस वैज्ञानिक के नाम पर दिए गए नंबर ल्यूक-लेहमर प्राइमलिटी टेस्ट से गुजरते हैं। हालांकि, विज्ञान यहीं रुकना नहीं चाहता है। इलेक्ट्रॉनिक फ्रंटियर फ़ाउंडेशन, जिसे 1990 में संयुक्त राज्य अमेरिका (EFF) में स्थापित किया गया था, ने बड़े अपराधों को खोजने के लिए एक मौद्रिक इनाम की पेशकश की है। और अगर 2013 तक उन वैज्ञानिकों को पुरस्कार दिया जाता था जो उन्हें 1 और 10 मिलियन दशमलव संख्याओं में से ढूंढते हैं, तो आज यह आंकड़ा 100 मिलियन से 1 बिलियन तक पहुंच गया है। पुरस्कार 150 से 250 हजार अमेरिकी डॉलर तक हैं।

विशेष अभाज्य संख्याओं के नाम

वे संख्याएँ जो कुछ वैज्ञानिकों द्वारा बनाए गए एल्गोरिदम के लिए धन्यवाद पाई गईं और सरलता परीक्षण पास कर लीं, विशेष कहलाती हैं। ये उनमे से कुछ है:

1. मेर्सिन।

4. कलन।

6. मिल्स एट अल।

उपरोक्त वैज्ञानिकों के नाम पर इन संख्याओं की सरलता निम्नलिखित परीक्षणों का उपयोग करके स्थापित की जाती है:

1. लुकास-लेमर।

2. पेपिना।

3. रिसेल।

4. बिलहार्ट - लेहमर - सेल्फ्रिज और अन्य।

आधुनिक विज्ञान यहीं नहीं रुकता है, और शायद निकट भविष्य में दुनिया उन लोगों के नाम जानेगी जो सबसे बड़ी अभाज्य संख्या ढूंढकर 250,000 डॉलर का पुरस्कार जीतने में सक्षम थे।

इस लेख में, हम अध्ययन करेंगे अभाज्य और संयुक्त संख्या. सबसे पहले, हम अभाज्य और भाज्य संख्याओं की परिभाषा देते हैं, और उदाहरण भी देते हैं। उसके बाद, हम सिद्ध करते हैं कि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं। इसके बाद, हम अभाज्य संख्याओं की एक तालिका लिखते हैं, और अभाज्य संख्याओं की तालिका को संकलित करने के तरीकों पर विचार करते हैं, हम विशेष रूप से इरेटोस्थनीज की चलनी नामक विधि पर ध्यान देंगे। अंत में, हम उन मुख्य बिंदुओं पर प्रकाश डालते हैं जिन्हें यह साबित करते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए कि दी गई संख्या अभाज्य या मिश्रित है।

पृष्ठ नेविगेशन।

अभाज्य और समग्र संख्याएँ - परिभाषाएँ और उदाहरण

अभाज्य संख्याओं और भाज्य संख्याओं की अवधारणाएँ उन संख्याओं को संदर्भित करती हैं जो एक से अधिक होती हैं। ऐसे पूर्णांकों को उनके धनात्मक भाजक की संख्या के आधार पर अभाज्य और भाज्य संख्याओं में विभाजित किया जाता है। तो समझने के लिए अभाज्य और भाज्य संख्याओं की परिभाषा, आपको इस बात का अच्छा अंदाजा होना चाहिए कि भाजक और गुणक क्या हैं।

परिभाषा।

प्रमुख संख्यापूर्णांक हैं, एक से अधिक, जिनमें केवल दो धनात्मक भाजक हैं, अर्थात् स्वयं और 1 ।

परिभाषा।

समग्र संख्याएक से बड़े पूर्णांक होते हैं जिनमें कम से कम तीन धनात्मक भाजक होते हैं।

अलग से, हम ध्यान दें कि संख्या 1 या तो अभाज्य या मिश्रित संख्याओं पर लागू नहीं होती है। इकाई में केवल एक धनात्मक भाजक है, जो स्वयं संख्या 1 है। यह संख्या 1 को अन्य सभी सकारात्मक पूर्णांकों से अलग करता है जिनमें कम से कम दो सकारात्मक भाजक होते हैं।

यह देखते हुए कि धनात्मक पूर्णांक हैं, और यह कि इकाई में केवल एक धनात्मक भाजक है, अभाज्य और भाज्य संख्याओं की स्वरचित परिभाषाओं के अन्य सूत्र दिए जा सकते हैं।

परिभाषा।

प्रमुख संख्यावे प्राकृत संख्याएँ हैं जिनमें केवल दो धनात्मक भाजक हैं।

परिभाषा।

समग्र संख्यावे प्राकृत संख्याएँ हैं जिनमें दो से अधिक धनात्मक भाजक हैं।

ध्यान दें कि एक से बड़ा प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक या तो एक अभाज्य संख्या या एक भाज्य संख्या होती है। दूसरे शब्दों में, एक भी पूर्णांक ऐसा नहीं है जो न तो अभाज्य हो और न ही संयुक्त। यह विभाज्यता गुण से अनुसरण करता है, जो कहता है कि संख्याएँ 1 और a हमेशा किसी भी पूर्णांक a के विभाजक होते हैं।

पिछले पैराग्राफ में दी गई जानकारी के आधार पर हम भाज्य संख्याओं की निम्नलिखित परिभाषा दे सकते हैं।

परिभाषा।

प्राकृत संख्याएँ जो अभाज्य नहीं हैं कहलाती हैं घटक.

चलो लाते हैं अभाज्य और भाज्य संख्याओं के उदाहरण.

भाज्य संख्याओं के उदाहरण के रूप में, हम 6, 63, 121 और 6697 देते हैं। इस कथन को भी स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। संख्या 6, सकारात्मक भाजक 1 और 6 के अलावा, भाजक 2 और 3 भी हैं, क्योंकि 6 \u003d 2 3, इसलिए 6 वास्तव में एक समग्र संख्या है। 63 के धनात्मक भाजक संख्याएँ 1 , 3 , 7 , 9 , 21 और 63 हैं। संख्या 121 11 11 के गुणनफल के बराबर है, इसलिए इसके धनात्मक भाजक 1, 11 और 121 हैं। और संख्या 6697 संयुक्त है, क्योंकि इसके धनात्मक भाजक, 1 और 6697 के अलावा, संख्याएँ 37 और 181 भी हैं।

इस पैराग्राफ के अंत में, मैं इस तथ्य की ओर भी ध्यान आकर्षित करना चाहूंगा कि अभाज्य संख्याएँ और सहअभाज्य संख्याएँ एक ही चीज़ से बहुत दूर हैं।

प्राइम नंबर टेबल

अभाज्य संख्याएँ, उनके आगे उपयोग की सुविधा के लिए, एक तालिका में दर्ज की जाती हैं, जिसे अभाज्य संख्याओं की तालिका कहा जाता है। नीचे है अभाज्य संख्या तालिका 1 000 तक।

एक तार्किक प्रश्न उठता है: "हमने अभाज्य संख्याओं की तालिका को केवल 1,000 तक ही क्यों भर दिया, क्या सभी मौजूदा अभाज्य संख्याओं की तालिका बनाना संभव नहीं है"?

आइए पहले इस प्रश्न के पहले भाग का उत्तर दें। अधिकांश समस्याओं के लिए जिनमें अभाज्य संख्याएँ शामिल हैं, एक हज़ार तक के अभाज्य संख्याएँ पर्याप्त होंगी। अन्य मामलों में, सबसे अधिक संभावना है, आपको कुछ विशेष समाधान तकनीकों का सहारा लेना होगा। हालाँकि, निश्चित रूप से, हम अभाज्य संख्याओं को मनमाने ढंग से बड़े परिमित धनात्मक पूर्णांक तक तालिकाबद्ध कर सकते हैं, चाहे वह 10,000 या 1,000,000,000 हो, अगले पैराग्राफ में हम अभाज्य संख्याओं की तालिकाएँ संकलित करने के तरीकों के बारे में बात करेंगे, विशेष रूप से, हम विधि का विश्लेषण करेंगे। बुलाया।

अब आइए सभी मौजूदा अभाज्य संख्याओं की एक तालिका संकलित करने की संभावना (या बल्कि, असंभवता) को देखें। हम सभी अभाज्य संख्याओं की तालिका नहीं बना सकते क्योंकि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ होती हैं। अंतिम कथन एक प्रमेय है जिसे हम निम्नलिखित सहायक प्रमेय के बाद सिद्ध करेंगे।

प्रमेय।

1 के अलावा 1 से बड़ी प्राकृत संख्या का सबसे छोटा धनात्मक भाजक एक अभाज्य संख्या होती है।

प्रमाण।

रहने दो a एक से बड़ी प्राकृत संख्या है, और b, a का सबसे छोटा धनात्मक गैर-एक भाजक है। आइए हम सिद्ध करें कि b विरोधाभास से एक अभाज्य संख्या है।

मान लीजिए b एक भाज्य संख्या है। फिर संख्या b का एक भाजक है (इसे b 1 निरूपित करें), जो 1 और b दोनों से भिन्न है। यदि हम यह भी ध्यान में रखते हैं कि भाजक का निरपेक्ष मान लाभांश के निरपेक्ष मूल्य से अधिक नहीं है (यह हम विभाज्यता के गुणों से जानते हैं), तो शर्त 1

चूंकि संख्या a, शर्त द्वारा b से विभाज्य है, और हमने कहा कि b, b 1 से विभाज्य है, तो विभाज्यता की अवधारणा हमें ऐसे पूर्णांक q और q 1 के अस्तित्व के बारे में बात करने की अनुमति देती है कि a=bq और b=b 1 q 1 , जहाँ से a= b 1 ·(q 1 ·q) । इससे यह पता चलता है कि दो पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक है, तो समानता a=b 1 ·(q 1 ·q) इंगित करती है कि b 1 संख्या a का भाजक है। उपरोक्त असमानताओं को ध्यान में रखते हुए 1

अब हम सिद्ध कर सकते हैं कि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं।

प्रमेय।

अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं।

प्रमाण।

आइए मान लें कि यह नहीं है। अर्थात्, मान लीजिए कि केवल n अभाज्य संख्याएँ हैं, और ये अभाज्य संख्याएँ p 1 , p 2 ,…, p n हैं। आइए हम दिखाते हैं कि हम हमेशा एक अभाज्य संख्या ज्ञात कर सकते हैं जो इंगित की गई संख्या से भिन्न होती है।

p 1 ·p 2 ·…·p n +1 के बराबर एक संख्या p पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि यह संख्या प्रत्येक अभाज्य p 1, p 2, …, p n से भिन्न है। यदि संख्या p अभाज्य है, तो प्रमेय सिद्ध होता है। यदि यह संख्या मिश्रित है, तो, पिछले प्रमेय के आधार पर, इस संख्या का एक अभाज्य भाजक है (इसे p n+1 निरूपित करें)। आइए दिखाते हैं कि यह भाजक किसी भी संख्या p 1 , p 2 , …, p n से मेल नहीं खाता है।

यदि ऐसा नहीं होता, तो विभाज्यता के गुणों से, गुणनफल p 1 ·p 2 ·…·p n p n+1 से विभाज्य होता। लेकिन संख्या p भी p n+1 से विभाज्य है, जो p 1 ·p 2 ·…·p n +1 के योग के बराबर है। इसका तात्पर्य यह है कि इस योग का दूसरा पद, जो एक के बराबर है, p n+1 से विभाज्य होना चाहिए, और यह असंभव है।

इस प्रकार, यह सिद्ध हो जाता है कि हमेशा एक नई अभाज्य संख्या पाई जा सकती है, जो पहले से दी गई अभाज्य संख्याओं की किसी भी संख्या में समाहित नहीं होती है। इसलिए, अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं।

इसलिए, इस तथ्य के कारण कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, अभाज्य संख्याओं की तालिकाएँ संकलित करते समय, वे हमेशा खुद को ऊपर से कुछ संख्या तक सीमित करते हैं, आमतौर पर 100, 1,000, 10,000, आदि।

एराटोस्थनीज की छलनी

अब हम अभाज्य संख्याओं की सारणियों को संकलित करने के तरीकों पर चर्चा करेंगे। मान लीजिए हमें 100 तक की अभाज्य संख्याओं की एक तालिका बनानी है।

इस समस्या को हल करने के लिए सबसे स्पष्ट तरीका है कि 2 से शुरू होने वाले और 100 के साथ समाप्त होने वाले सकारात्मक पूर्णांकों को क्रमिक रूप से जांचना है, एक सकारात्मक विभाजक की उपस्थिति के लिए जो 1 से अधिक और चेक की जा रही संख्या से कम है (विभाज्यता के गुणों से, हम यह जान लें कि भाजक का निरपेक्ष मान, शून्य से भिन्न, लाभांश के निरपेक्ष मान से अधिक नहीं होता है)। यदि ऐसा भाजक नहीं मिलता है, तो जाँच की जा रही संख्या अभाज्य होती है, और इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में दर्ज किया जाता है। यदि ऐसा भाजक पाया जाता है, तो जाँच की जा रही संख्या मिश्रित होती है, इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में दर्ज नहीं किया जाता है। उसके बाद, अगले नंबर पर एक संक्रमण होता है, जिसे इसी तरह एक भाजक की उपस्थिति के लिए जांचा जाता है।

आइए पहले कुछ चरणों का वर्णन करें।

हम नंबर 2 से शुरू करते हैं। संख्या 2 में 1 और 2 के अलावा कोई धनात्मक भाजक नहीं है। इसलिए, यह अभाज्य है, इसलिए, हम इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में दर्ज करते हैं। यहाँ यह कहा जाना चाहिए कि 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है। चलिए नंबर 3 पर चलते हैं। 1 और 3 के अलावा इसका संभावित धनात्मक भाजक 2 है। लेकिन 3 2 से विभाज्य नहीं है, इसलिए, 3 एक अभाज्य संख्या है, और इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में दर्ज करने की भी आवश्यकता है। चलिए नंबर 4 पर चलते हैं। 1 और 4 के अलावा इसके धनात्मक भाजक 2 और 3 हो सकते हैं, आइए इनकी जाँच करें। संख्या 4 2 से विभाज्य है, इसलिए 4 एक भाज्य संख्या है और इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में दर्ज करने की आवश्यकता नहीं है। ध्यान दें कि 4 सबसे छोटी भाज्य संख्या है। आइए 5 नंबर पर चलते हैं। हम जांचते हैं कि 2, 3, 4 में से कम से कम एक संख्या इसका भाजक है या नहीं। चूँकि 5, 2, या 3, या 4 से विभाज्य नहीं है, यह अभाज्य है, और इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में लिखा जाना चाहिए। फिर संख्या 6, 7, और इसी तरह 100 तक संक्रमण होता है।

अभाज्य संख्याओं की तालिका संकलित करने का यह तरीका आदर्श से बहुत दूर है। एक तरह से या किसी अन्य, उसे अस्तित्व का अधिकार है। ध्यान दें कि पूर्णांकों की तालिका बनाने की इस पद्धति के साथ, आप विभाज्यता मानदंड का उपयोग कर सकते हैं, जो भाजक खोजने की प्रक्रिया को थोड़ा तेज कर देगा।

प्राइम्स की तालिका को संकलित करने का एक अधिक सुविधाजनक तरीका है जिसे . नाम में मौजूद "छलनी" शब्द आकस्मिक नहीं है, क्योंकि इस पद्धति की क्रियाएं मदद करती हैं, जैसे कि एराटोस्थनीज पूर्णांक, बड़ी इकाइयों की छलनी के माध्यम से "झारना" करने के लिए, सरल को यौगिक से अलग करने के लिए।

आइए 50 तक अभाज्य संख्याओं की तालिका संकलित करते समय एराटोस्थनीज की चलनी को क्रिया में दिखाएं।

सबसे पहले हम संख्या 2, 3, 4, ..., 50 को क्रम से लिखते हैं।

2 लिखी पहली संख्या अभाज्य है। अब, संख्या 2 से, हम क्रमिक रूप से दो संख्याओं से दाईं ओर बढ़ते हैं और इन संख्याओं को तब तक काटते हैं जब तक हम संख्याओं की संकलित तालिका के अंत तक नहीं पहुंच जाते। अतः वे सभी संख्याएँ जो दो के गुणज हैं, काट दी जाएँगी।

2 के बाद पहली गैर-क्रॉस की गई संख्या 3 है। यह संख्या प्रधान है। अब, संख्या 3 से, हम क्रमिक रूप से तीन संख्याओं (पहले से पार की गई संख्याओं को ध्यान में रखते हुए) दाईं ओर बढ़ते हैं और उन्हें पार करते हैं। तो सभी संख्याएँ जो तीन के गुणज हैं, काट दी जाएँगी।

3 के बाद पहली गैर-क्रॉस की गई संख्या 5 है। यह संख्या प्रधान है। अब, संख्या 5 से, हम क्रमिक रूप से 5 संख्याओं से दाईं ओर बढ़ते हैं (हम पहले से पार की गई संख्याओं को भी ध्यान में रखते हैं) और उन्हें पार करते हैं। तो सभी संख्याएँ जो पाँच के गुणज हैं, काट दी जाएँगी।

इसके बाद, हम उन संख्याओं को काटते हैं जो 7 के गुणज हैं, फिर 11 के गुणज, इत्यादि। प्रक्रिया समाप्त हो जाती है जब पार करने के लिए कोई संख्या नहीं बची है। इरेटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करके प्राप्त किए गए 50 तक के अभाज्य संख्याओं की एक पूर्ण तालिका नीचे दी गई है। सभी असंक्रमित संख्याएँ अभाज्य होती हैं, और सभी काट दी गई संख्याएँ संयुक्त होती हैं।

आइए एक प्रमेय भी तैयार करें और सिद्ध करें जो एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं की एक तालिका को संकलित करने की प्रक्रिया को गति देगा।

प्रमेय।

एक समग्र संख्या का सबसे छोटा धनात्मक गैर-एक भाजक अधिक नहीं है, जहां से है।

प्रमाण।

मान लें कि बी समग्र संख्या के सबसे छोटे भाजक को दर्शाता है जो एकता से भिन्न होता है (संख्या बी अभाज्य है, जो पिछले पैराग्राफ की शुरुआत में सिद्ध प्रमेय से अनुसरण करता है)। फिर एक पूर्णांक q है जैसे कि a=bq (यहाँ q एक धनात्मक पूर्णांक है, जो पूर्णांकों के गुणन के नियमों का पालन करता है), और (जब b>q, शर्त यह है कि b, a का सबसे छोटा भाजक है, का उल्लंघन किया जाता है, चूँकि q भी a का भाजक है, समानता a=q b के कारण)। असमानता के दोनों पक्षों को एक धनात्मक और एक से अधिक पूर्णांक b से गुणा करने पर (हमें ऐसा करने की अनुमति है), हम प्राप्त करते हैं , कहाँ से तथा ।

एराटोस्थनीज की छलनी के संबंध में सिद्ध प्रमेय हमें क्या देता है?

सबसे पहले, एक अभाज्य संख्या b के गुणज वाली समग्र संख्याओं का विलोपन, इसके बराबर संख्या से शुरू होना चाहिए (यह असमानता से अनुसरण करता है)। उदाहरण के लिए, दो के गुणजों को पार करने वाली संख्याओं को संख्या 4 से शुरू करना चाहिए, तीन के गुणकों को - संख्या 9 के साथ, पाँच के गुणकों को - संख्या 25 के साथ, और इसी तरह आगे भी।

दूसरे, एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करके संख्या n तक की अभाज्य संख्याओं की तालिका का संकलन पूर्ण माना जा सकता है, जब सभी मिश्रित संख्याएँ जो अभाज्य संख्याओं के गुणक हैं, जो अधिक नहीं हैं, को पार किया जाता है। हमारे उदाहरण में, n=50 (क्योंकि हम अभाज्य संख्याओं को 50 तक सारणीबद्ध कर रहे हैं) और, इसलिए एराटोस्थनीज की छलनी को अभाज्य 2, 3, 5 और 7 के सभी मिश्रित गुणजों को निकालना चाहिए जो 50 के अंकगणितीय वर्गमूल से अधिक नहीं होते हैं। . अर्थात्, अब हमें उन संख्याओं को खोजने और उन्हें काटने की आवश्यकता नहीं है जो अभाज्य संख्याओं 11 , 13 , 17 , 19 , 23 और इसी तरह 47 तक के गुणज हैं, क्योंकि वे पहले से ही छोटी अभाज्य संख्या 2 के गुणज के रूप में काट दी जाएंगी, 3 , 5 और 7 ।

क्या यह संख्या अभाज्य है या मिश्रित?

कुछ कार्यों के लिए यह पता लगाने की आवश्यकता होती है कि दी गई संख्या अभाज्य है या संयुक्त। सामान्य स्थिति में, यह कार्य सरल से बहुत दूर है, विशेष रूप से उन संख्याओं के लिए जिनके रिकॉर्ड में महत्वपूर्ण संख्या में वर्ण होते हैं। ज्यादातर मामलों में, आपको इसे हल करने के लिए किसी विशिष्ट तरीके की तलाश करनी होगी। हालाँकि, हम साधारण मामलों के लिए विचार की ट्रेन को दिशा देने का प्रयास करेंगे।

बेशक, यह साबित करने के लिए कि दी गई संख्या समग्र है, विभाज्यता मानदंड का उपयोग करने का प्रयास कर सकते हैं। यदि, उदाहरण के लिए, विभाज्यता के कुछ मानदंड से पता चलता है कि दी गई संख्या एक से अधिक किसी धनात्मक पूर्णांक से विभाज्य है, तो मूल संख्या भाज्य है।

उदाहरण।

सिद्ध कीजिए कि संख्या 898 989 898 989 898 989 संयुक्त है।

समाधान।

इस संख्या के अंकों का योग 9 8+9 9=9 17 है। चूँकि 9 17 के बराबर संख्या 9 से विभाज्य है, तो 9 से विभाज्यता की कसौटी पर यह तर्क दिया जा सकता है कि मूल संख्या भी 9 से विभाज्य है। इसलिए, यह समग्र है।

इस उपागम का एक महत्वपूर्ण दोष यह है कि विभाज्यता के मानदंड हमें किसी संख्या की सरलता को सिद्ध करने की अनुमति नहीं देते हैं। इसलिए, किसी संख्या की जाँच करते समय कि वह अभाज्य है या मिश्रित, आपको अलग तरीके से आगे बढ़ने की आवश्यकता है।

सबसे तार्किक दृष्टिकोण किसी दी गई संख्या के सभी संभावित भाजक की गणना करना है। यदि कोई भी संभावित भाजक किसी दी गई संख्या का वास्तविक भाजक नहीं है, तो वह संख्या अभाज्य है; अन्यथा, यह भाज्य है। पिछले पैराग्राफ में सिद्ध किए गए प्रमेयों से, यह इस प्रकार है कि दी गई संख्या के भाजक को अभाज्य संख्याओं में से अधिक नहीं की जानी चाहिए। इस प्रकार, दी गई संख्या a को अभाज्य संख्याओं (जो अभाज्य संख्याओं की तालिका से लेना सुविधाजनक है) से क्रमिक रूप से विभाजित किया जा सकता है, संख्या a का भाजक ज्ञात करने का प्रयास करते हुए। यदि एक भाजक पाया जाता है, तो संख्या a भाज्य है। यदि अभाज्य संख्याओं में से अधिक नहीं है, तो संख्या a का कोई भाजक नहीं है, तो संख्या a अभाज्य है।

उदाहरण।

संख्या 11 723 सरल या यौगिक?

समाधान।

आइए जानें कि 11 723 संख्या के भाजक कौन सी अभाज्य संख्या हो सकते हैं। इसके लिए हम अनुमान लगाते हैं।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि , 200 2 \u003d 40000, और 11 723 . के बाद से<40 000 (при необходимости смотрите статью संख्या तुलना) इस प्रकार, 11,723 के संभावित अभाज्य भाजक 200 से कम हैं। यह पहले से ही हमारे कार्य को बहुत सरल करता है। अगर हमें यह नहीं पता होता, तो हमें सभी अभाज्य संख्याओं को 200 तक नहीं, बल्कि 11 723 तक की सभी अभाज्य संख्याओं को छाँटना होगा।

यदि वांछित है, तो आप अधिक सटीक अनुमान लगा सकते हैं। 108 2 \u003d 11 664, और 109 2 \u003d 11 881 के बाद से, फिर 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . इस प्रकार, 109 से कम का कोई भी अभाज्य संख्या संभावित रूप से दी गई संख्या 11,723 का अभाज्य भाजक है।

अब हम क्रमानुसार संख्या 11 723 को अभाज्य संख्याओं 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , में विभाजित करेंगे। 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 । यदि संख्या 11 723 को पूर्णतः लिखित अभाज्य संख्याओं में से किसी एक से विभाजित किया जाता है, तो वह भाज्य होगी। यदि यह किसी भी लिखित अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है, तो मूल संख्या अभाज्य है।

हम विभाजन की इस पूरी नीरस और नीरस प्रक्रिया का वर्णन नहीं करेंगे। बता दें कि 11 723