तर्कहीन असमानताओं के प्रकार और उन्हें हल करने के तरीके। तर्कहीन असमानताएं

टी.डी. इवानोवा

अपरिमेय असमानताओं को हल करने के तरीके

सीडीओ और एनआईटी एसआरपीटीएल

यूडीसी 511 (ओ75.3)

बीबीसी 22. 1Y72

टी.डी. इवानोवा द्वारा संकलित

समीक्षक: बैशेवा एम.आई.- शैक्षणिक विज्ञान के उम्मीदवार, विभाग के एसोसिएट प्रोफेसर

गणित के गणितीय विश्लेषण संकाय

याकुत्स्की के गणित और सूचना विज्ञान संस्थान

राज्य विश्वविद्यालय

अपरिमेय असमानताओं को हल करने के तरीके: कार्यप्रणाली गाइड

एम 34 ग्रेड 9-11 / COMP में छात्रों के लिए। इवानोवा टी.डी. Suntar Suntarsky ulus . से

आरएस (वाई): टीएसडीओ एनआईटी एसआरपीटीएल, 2007, - 56 पी।

मैनुअल को माध्यमिक विद्यालय के हाई स्कूल के छात्रों के साथ-साथ विश्वविद्यालयों में प्रवेश करने वालों को तर्कहीन असमानताओं को हल करने के लिए एक पद्धतिगत मार्गदर्शिका के रूप में संबोधित किया जाता है। मैनुअल विस्तार से तर्कहीन असमानताओं को हल करने के मुख्य तरीकों का विश्लेषण करता है, पैरामीटर के साथ तर्कहीन असमानताओं को हल करने के उदाहरण देता है, और एक स्वतंत्र समाधान के लिए उदाहरण भी प्रस्तुत करता है। शिक्षक "तर्कहीन असमानताओं" विषय के एक सिंहावलोकन दोहराव के साथ, स्वतंत्र कार्य के लिए एक उपदेशात्मक सामग्री के रूप में मैनुअल का उपयोग कर सकते हैं।

मैनुअल छात्रों के साथ "तर्कहीन असमानता" विषय का अध्ययन करने में शिक्षक के अनुभव को दर्शाता है।

कार्य प्रवेश परीक्षा, व्यवस्थित समाचार पत्रों और पत्रिकाओं, पाठ्यपुस्तकों की सामग्री से लिए गए हैं, जिनकी सूची मैनुअल के अंत में दी गई है

यूडीसी 511 (ओ75.3)

बीबीसी 22. 1Y72

टी.डी. इवानोवा, कॉम्प., 2006.

 सीडीओ एनआईटी एसआरपीटीएल, 2007।

प्रस्तावना 5

परिचय 6

खंड I. सरलतम अपरिमेय असमानताओं को हल करने के उदाहरण 7

खंड II. फॉर्म की असमानताएं
> जी (एक्स), जी (एक्स), जी (एक्स) 9

खंड III। फॉर्म की असमानताएं
;
;

;
13

खंड IV। कई सम जड़ों वाली असमानताएँ 16

खंड वी। प्रतिस्थापन विधि (एक नए चर का परिचय) 20

खंड VI. फॉर्म की असमानताएं f(x)
0; एफ (एक्स) 0;

खंड VII। फॉर्म की असमानताएं
25

खंड आठवीं। रेडिकल ट्रांसफॉर्म का उपयोग करना

अपरिमेय असमानताओं में 26

धारा IX। अपरिमेय असमानताओं का आलेखीय हल 27

खंड X. मिश्रित प्रकार की असमानताएँ 31

खंड ग्यारहवीं। फ़ंक्शन 41 . के एकरसता गुण का उपयोग करना

खंड बारहवीं। फ़ंक्शन प्रतिस्थापन विधि 43

खंड XIII। असमानताओं को सीधे हल करने के उदाहरण

अंतराल विधि 45

खंड XIV। मापदंडों के साथ तर्कहीन असमानताओं को हल करने के उदाहरण 46

साहित्य 56

समीक्षा

यह मैनुअल कक्षा 10-11 के छात्रों के लिए है। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, स्कूली बच्चों, आवेदकों को तर्कहीन असमानताओं को हल करने में विशेष कठिनाइयों का अनुभव होता है। यह इस तथ्य के कारण है कि स्कूली गणित में इस खंड को अपर्याप्त माना जाता है, इस तरह की असमानताओं को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों पर अधिक व्यापक रूप से विचार नहीं किया जाता है। साथ ही, स्कूल के शिक्षक कार्यप्रणाली साहित्य की कमी महसूस करते हैं, जो विभिन्न दृष्टिकोणों, समाधान के तरीकों के संकेत के साथ सीमित मात्रा में समस्या सामग्री में प्रकट होता है।

मैनुअल तर्कहीन असमानताओं को हल करने के तरीकों पर विचार करता है। इवानोवा टी.डी. प्रत्येक खंड की शुरुआत में छात्रों को विधि के मुख्य विचार से परिचित कराया जाता है, फिर स्पष्टीकरण के साथ उदाहरण दिखाए जाते हैं, और स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य प्रस्तावित किए जाते हैं।

छात्रों के ज्ञान के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं के साथ उच्च शिक्षण संस्थानों में प्रवेश करते समय होने वाली तर्कहीन असमानताओं को हल करने के लिए संकलक सबसे "शानदार" तरीकों का उपयोग करता है।

छात्र, इस मैनुअल को पढ़कर, जटिल तर्कहीन असमानताओं को हल करने में अमूल्य अनुभव और कौशल प्राप्त कर सकते हैं। मुझे विश्वास है कि यह मैनुअल विशेष कक्षाओं में कार्यरत गणित शिक्षकों के साथ-साथ वैकल्पिक पाठ्यक्रमों के विकासकर्ताओं के लिए भी उपयोगी होगा।

शैक्षणिक विज्ञान के उम्मीदवार, एसोसिएट प्रोफेसर, गणितीय विश्लेषण विभाग, गणित संकाय, गणित और सूचना विज्ञान संस्थान, याकूत राज्य विश्वविद्यालय

बैशेवा एम.आई.

प्रस्तावना

मैनुअल को माध्यमिक विद्यालय के हाई स्कूल के छात्रों के साथ-साथ विश्वविद्यालयों में प्रवेश करने वालों को तर्कहीन असमानताओं को हल करने के लिए एक पद्धतिगत मार्गदर्शिका के रूप में संबोधित किया जाता है। मैनुअल विस्तार से तर्कहीन असमानताओं को हल करने के लिए मुख्य तरीकों का विश्लेषण करता है, तर्कहीन असमानताओं को हल करने के लिए अनुकरणीय पैटर्न देता है, पैरामीटर के साथ तर्कहीन असमानताओं को हल करने के उदाहरण देता है, और एक स्वतंत्र समाधान के लिए उदाहरण भी प्रस्तुत करता है, उनमें से कुछ के लिए संक्षिप्त उत्तर और निर्देश दिए गए हैं।

उदाहरणों का विश्लेषण करते समय, असमानताओं को स्वतंत्र रूप से हल करते हुए, यह माना जाता है कि छात्र रैखिक, वर्ग और अन्य असमानताओं को हल करने में सक्षम है, असमानताओं को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों का मालिक है, विशेष रूप से, अंतराल की विधि। असमानता को कई तरीकों से हल करने का प्रस्ताव है।

शिक्षक "तर्कहीन असमानताओं" विषय के एक सिंहावलोकन दोहराव के साथ, स्वतंत्र कार्य के लिए एक उपदेशात्मक सामग्री के रूप में मैनुअल का उपयोग कर सकते हैं।

मैनुअल छात्रों के साथ "तर्कहीन असमानता" विषय का अध्ययन करने में शिक्षक के अनुभव को दर्शाता है।

कार्यों को प्रवेश परीक्षाओं की सामग्री से उच्च शिक्षण संस्थानों, पद्धतिगत समाचार पत्रों और गणित पत्रिकाओं "पहले सितंबर", "स्कूल में गणित", "क्वांटम", पाठ्यपुस्तकों से चुना जाता है, जिसकी एक सूची मैनुअल के अंत में दी गई है। .

परिचय

अपरिमेय वे असमानताएँ हैं जिनमें चर या चर का कोई कार्य मूल चिह्न के नीचे प्रवेश करता है।

अपरिमेय असमानताओं को हल करने के लिए मुख्य मानक विधि असमानता के दोनों हिस्सों को जड़ से छुटकारा पाने के लिए क्रमिक रूप से एक शक्ति तक बढ़ाना है। लेकिन यह ऑपरेशन अक्सर बाहरी जड़ों की उपस्थिति या यहां तक ​​​​कि जड़ों के नुकसान की ओर जाता है, अर्थात। एक असमानता की ओर जाता है जो मूल के बराबर नहीं है। इसलिए, परिवर्तनों की तुल्यता की सावधानीपूर्वक निगरानी करना और चर के केवल उन मूल्यों पर विचार करना आवश्यक है जिनके लिए असमानता समझ में आती है:

यदि मूल सम अंश का है, तो मूलक व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए और मूल का मान भी ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।

यदि घात का मूल एक विषम संख्या है, तो मूलांक व्यंजक कोई भी वास्तविक संख्या ले सकता है और मूल का चिह्न मूलांक के चिह्न से मेल खाता है।

यह सुनिश्चित करने के बाद ही कि वे गैर-नकारात्मक हैं, असमानता के दोनों हिस्सों को एक सम शक्ति तक उठाना संभव है;

एक असमानता के दोनों पक्षों को एक ही विषम शक्ति तक उठाना हमेशा एक समान परिवर्तन होता है।

अध्यायमैं. सरलतम अपरिमेय असमानताओं को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1- 6:

समाधान:

1. क)
.

बी)
.

2. क)

बी)

3. क)
.

बी)
.

4. क)

बी)

5. क)
.

बी)

6. क)
.

बी)
.

7.

8. क)
.

बी)

9. क)
.

बी)

11.

12. सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक x ज्ञात कीजिए जो असमानता को संतुष्ट करता है

13. ए) असमानता के समाधान अंतराल के मध्य बिंदु का पता लगाएं

b) x के सभी पूर्णांक मानों का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए जिसके लिए असमानता का समाधान 4 . है

14. असमानता का सबसे छोटा ऋणात्मक हल ज्ञात कीजिए

15. क)
;

बी)

खंड द्वितीय। फॉर्म की असमानताएं> जी (एक्स), जी (एक्स),जी (एक्स)

इसी तरह, उदाहरण 1-4 को हल करने में, हम संकेतित प्रकार की असमानताओं को हल करते समय तर्क देते हैं।

उदाहरण 7 : असमानता को हल करें
> एक्स + 1

समाधान: ओएचएस असमानताएं: एक्स-3. दाहिने हाथ के लिए, दो संभावित मामले हैं:

ए) एक्स+ 10 (दाईं ओर गैर-ऋणात्मक है) या बी) एक्स + 1

एक पर विचार करें) यदि एक्स+10, यानी एक्स-1, तो असमानता के दोनों भाग गैर-ऋणात्मक हैं। आइए दोनों पक्षों को चौकोर करें: एक्स + 3 >एक्स+ 2एक्स+ 1. हमें द्विघात असमानता प्राप्त होती है एक्स+ एक्स – 2 एक्सएक्स -1, हमें -1 . मिलता है

बी पर विचार करें) यदि एक्स+1 एक्स एक्स -3

मामले के समाधान का संयोजन ए) -1 और बी) एक्स-3, उत्तर लिखिए: एक्स
.

उदाहरण 7 को हल करने में सभी तर्कों को इस प्रकार लिखना सुविधाजनक है:

मूल असमानता असमानताओं की प्रणाली के समुच्चय के बराबर है
.

एक्स

उत्तर: .

फॉर्म की असमानताओं को हल करते समय तर्क

1.> जी(एक्स); 2. जी(एक्स); 3. जी(एक्स); 4. जी(एक्स) को संक्षेप में निम्नलिखित आरेखों के रूप में लिखा जा सकता है:

मैं। > जी(एक्स)

2. जी(एक्स)

3. जी(एक्स)

4. जी(एक्स)
.

उदाहरण 8 :
एक्स।

समाधान: मूल असमानता प्रणाली के बराबर है

एक्स>0

उत्तर: एक्स
.

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

बी)

बी)
.

बी)

बी)

20. क)
एक्स

बी)

21. क)

इस पाठ में हम अपरिमेय असमानताओं के समाधान पर विचार करेंगे, हम विभिन्न उदाहरण देंगे।

विषय: समीकरण और असमानताएँ। समीकरणों और असमानताओं की प्रणाली

सबक:तर्कहीन असमानताएं

तर्कहीन असमानताओं को हल करते समय, असमानता के दोनों हिस्सों को एक निश्चित शक्ति तक उठाना अक्सर आवश्यक होता है, यह एक जिम्मेदार ऑपरेशन है। सुविधाओं को याद करें।

असमानता के दोनों हिस्सों का वर्ग किया जा सकता है यदि दोनों गैर-ऋणात्मक हैं, तभी हमें वास्तविक असमानता से सही असमानता मिलती है।

असमानता के दोनों भागों को किसी भी स्थिति में घन किया जा सकता है, यदि मूल असमानता सत्य थी, तो घन करने पर हमें सही असमानता प्राप्त होती है।

फॉर्म की असमानता पर विचार करें:

मूल अभिव्यक्ति गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए। फ़ंक्शन कोई भी मान ले सकता है, विचार करने के लिए दो मामले हैं।

पहले मामले में, असमानता के दोनों हिस्से गैर-ऋणात्मक हैं, हमें वर्ग का अधिकार है। दूसरे मामले में, दायां पक्ष नकारात्मक है, और हमें वर्ग का कोई अधिकार नहीं है। इस मामले में, असमानता के अर्थ को देखना आवश्यक है: यहां सकारात्मक अभिव्यक्ति (वर्गमूल) नकारात्मक अभिव्यक्ति से अधिक है, जिसका अर्थ है कि असमानता हमेशा बनी रहती है।

तो, हमारे पास निम्नलिखित समाधान योजना है:

पहली प्रणाली में, हम अलग से कट्टरपंथी अभिव्यक्ति की रक्षा नहीं करते हैं, क्योंकि यदि प्रणाली की दूसरी असमानता संतुष्ट है, तो कट्टरपंथी अभिव्यक्ति स्वचालित रूप से सकारात्मक होनी चाहिए।

उदाहरण 1 - असमानता को हल करें:

योजना के अनुसार, हम असमानताओं की दो प्रणालियों के समतुल्य सेट को पास करते हैं:

आइए बताते हैं:

चावल। 1 - उदाहरण 1 के समाधान का चित्रण

जैसा कि हम देख सकते हैं, जब तर्कहीनता से छुटकारा मिलता है, उदाहरण के लिए, जब चुकता करते हैं, तो हमें सिस्टम का एक सेट मिलता है। कभी-कभी इस जटिल संरचना को सरल बनाया जा सकता है। परिणामी सेट में, हमें पहली प्रणाली को सरल बनाने और एक समान सेट प्राप्त करने का अधिकार है:

एक स्वतंत्र अभ्यास के रूप में इन समुच्चयों की तुल्यता सिद्ध करना आवश्यक है।

फॉर्म की असमानता पर विचार करें:

पिछली असमानता के समान, हम दो मामलों पर विचार करते हैं:

पहले मामले में, असमानता के दोनों हिस्से गैर-ऋणात्मक हैं, हमें वर्ग का अधिकार है। दूसरे मामले में, दायां पक्ष नकारात्मक है, और हमें वर्ग का कोई अधिकार नहीं है। इस मामले में, असमानता के अर्थ को देखना आवश्यक है: यहां सकारात्मक अभिव्यक्ति (वर्गमूल) नकारात्मक अभिव्यक्ति से कम है, जिसका अर्थ है कि असमानता विरोधाभासी है। दूसरी प्रणाली पर विचार करने की आवश्यकता नहीं है।

हमारे पास एक समान प्रणाली है:

कभी-कभी एक तर्कहीन असमानता को ग्राफिक रूप से हल किया जा सकता है। यह विधि तब लागू होती है जब संबंधित ग्राफ आसानी से बनाए जा सकते हैं और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पाए जा सकते हैं।

उदाहरण 2 - असमानताओं को आलेखीय रूप से हल करें:

ए)

बी)

हमने पहली असमानता को पहले ही हल कर लिया है और हम इसका उत्तर जानते हैं।

असमानताओं को ग्राफिक रूप से हल करने के लिए, आपको फ़ंक्शन को बाईं ओर और फ़ंक्शन के ग्राफ़ को दाईं ओर प्लॉट करना होगा।

चावल। 2. कार्यों के रेखांकन और

फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाने के लिए, परवलय को एक परवलय (y-अक्ष के बारे में दर्पण) में बदलना आवश्यक है, परिणामी वक्र को 7 इकाइयों से दाईं ओर स्थानांतरित करें। ग्राफ़ इस बात की पुष्टि करता है कि यह फ़ंक्शन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में एकरस रूप से घट रहा है।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है और प्लॉट करना आसान है। y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु (0;-1) है।

पहला कार्य नीरस रूप से घट रहा है, दूसरा नीरस रूप से बढ़ रहा है। यदि समीकरण का एक मूल है, तो यह अद्वितीय है, इसका अनुमान ग्राफ से लगाना आसान है:।

जब तर्क का मान मूल से कम होता है, तो परवलय सीधी रेखा के ऊपर होता है। जब तर्क का मान तीन और सात के बीच होता है, तो रेखा परवलय के ऊपर से गुजरती है।

हमारे पास एक उत्तर है:

अपरिमेय असमानताओं को हल करने का एक प्रभावी तरीका अंतराल की विधि है।

उदाहरण 3 - अंतराल विधि का उपयोग करके असमानताओं को हल करें:

ए)

बी)

अंतराल की विधि के अनुसार, अस्थायी रूप से असमानता से दूर जाना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, दी गई असमानता में सब कुछ बाईं ओर ले जाएं (दाईं ओर शून्य प्राप्त करें) और बाईं ओर के बराबर एक फ़ंक्शन पेश करें:

अब हमें परिणामी फलन का अध्ययन करने की आवश्यकता है।

ओडीजेड:

हम पहले ही इस समीकरण को आलेखीय रूप से हल कर चुके हैं, इसलिए हम मूल के निर्धारण पर ध्यान नहीं देते हैं।

अब संकेत की स्थिरता के अंतराल का चयन करना और प्रत्येक अंतराल पर फ़ंक्शन का संकेत निर्धारित करना आवश्यक है:

चावल। 3. निरंतरता के अंतराल उदाहरण के लिए 3

याद रखें कि अंतराल पर संकेतों को निर्धारित करने के लिए, एक परीक्षण बिंदु लेना और इसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है, परिणामी संकेत पूरे अंतराल पर फ़ंक्शन द्वारा बनाए रखा जाएगा।

आइए सीमा बिंदु पर मान की जाँच करें:

स्पष्ट उत्तर है:

निम्नलिखित प्रकार की असमानताओं पर विचार करें:

सबसे पहले, आइए ODZ लिखें:

जड़ें मौजूद हैं, वे गैर-ऋणात्मक हैं, हम दोनों भागों को वर्ग कर सकते हैं। हम पाते हैं:

हमें एक समान प्रणाली मिली:

परिणामी प्रणाली को सरल बनाया जा सकता है। जब दूसरी और तीसरी असमानताएँ संतुष्ट हो जाती हैं, तो पहली स्वतः ही सत्य हो जाती है। हमारे पास है::

उदाहरण 4 - असमानता को हल करें:

हम योजना के अनुसार कार्य करते हैं - हमें एक समान प्रणाली मिलती है।

इस विषय के कार्यों को अच्छी तरह से हल करने के लिए, आपको पिछले कुछ विषयों, विशेष रूप से "तर्कहीन समीकरणों और प्रणालियों" और "तर्कसंगत असमानताओं" विषयों से सिद्धांत को पूरी तरह से महारत हासिल करने की आवश्यकता है। अब हम अपरिमेय असमानताओं (अर्थात् जड़ों के साथ असमानताओं) को हल करने में उपयोग किए जाने वाले मुख्य प्रमेयों में से एक को लिखते हैं। तो यदि दोनों कार्य एफ(एक्स) तथा जी(x) गैर-ऋणात्मक हैं, तो असमानता:

निम्नलिखित असमानता के बराबर:

दूसरे शब्दों में, यदि बाईं और दाईं ओर असमानता में गैर-नकारात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं, तो इस असमानता को किसी भी शक्ति तक सुरक्षित रूप से उठाया जा सकता है। खैर, अगर आपको पूरी असमानता को एक विषम शक्ति तक बढ़ाने की जरूरत है, तो इस मामले में असमानता के बाएं और दाएं हिस्सों की गैर-नकारात्मकता की आवश्यकता भी नहीं है। इस तरह, प्रतिबंध के बिना किसी भी असमानता को एक विषम शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है. हम एक बार फिर इस बात पर जोर देते हैं कि असमानता को सम शक्ति तक बढ़ाने के लिए, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि इस असमानता के दोनों पक्ष गैर-नकारात्मक हों।

यह प्रमेय अपरिमेय असमानताओं में सटीक रूप से बहुत प्रासंगिक हो जाता है, अर्थात। जड़ों के साथ असमानताओं में, जहां अधिकांश उदाहरणों को हल करने के लिए असमानताओं को एक निश्चित शक्ति तक उठाना आवश्यक है। बेशक, तर्कहीन असमानताओं में, ODZ को ध्यान से ध्यान में रखना चाहिए, जो मुख्य रूप से दो मानक स्थितियों से बनता है:

• सम अंशों की जड़ों के नीचे गैर-ऋणात्मक भाव होने चाहिए;
• भिन्नों का हर शून्य नहीं होना चाहिए।

आइए हम भी याद करें कि सम मूल का मान हमेशा ऋणात्मक नहीं होता है।

उपरोक्त के अनुसार, यदि एक अपरिमेय असमानता के दो से अधिक वर्गमूल हैं, तो असमानता (या अन्य सम घात) का वर्ग करने से पहले, आपको यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि असमानता के प्रत्येक पक्ष पर गैर-ऋणात्मक व्यंजक हैं, अर्थात्। वर्गमूलों का योग। यदि असमानता के किसी एक पक्ष पर जड़ों का अंतर है, तो इस तरह के अंतर के संकेत के बारे में पहले से कुछ भी नहीं जाना जा सकता है, जिसका अर्थ है कि असमानता को एक समान शक्ति तक उठाना असंभव है। इस मामले में, आपको जड़ों को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है जिसके सामने असमानता के विपरीत पक्षों (बाएं से दाएं या इसके विपरीत) के लिए ऋण चिह्न हैं, इसलिए जड़ों के सामने ऋण चिह्न प्लस में बदल जाएंगे, और असमानता के दोनों किनारों पर केवल जड़ों के योग प्राप्त होंगे। तभी पूरी असमानता को चुकता किया जा सकता है।

गणित के अन्य विषयों की तरह, अपरिमेय असमानताओं को हल करते समय, आप आवेदन कर सकते हैं परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि. मुख्य बात यह नहीं भूलना है कि प्रतिस्थापन की शुरुआत के बाद, नई अभिव्यक्ति सरल हो जानी चाहिए और पुराने चर को शामिल नहीं करना चाहिए। इसके अलावा, रिवर्स प्रतिस्थापन करना न भूलें।

आइए हम कई अपेक्षाकृत सरल लेकिन सामान्य प्रकार की अपरिमेय असमानताओं पर ध्यान दें। इस तरह की असमानताओं का पहला प्रकार तब होता है जब दो सम जड़ों की तुलना की जाती है, अर्थात। प्रपत्र की असमानता है:

इस असमानता में दोनों तरफ गैर-नकारात्मक अभिव्यक्तियां हैं, इसलिए इसे 2 . की शक्ति तक सुरक्षित रूप से उठाया जा सकता है एन, जिसके बाद, ODZ को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

कृपया ध्यान दें कि DPV केवल उस रेडिकल एक्सप्रेशन के लिए लिखा जाता है जो कम हो। दूसरा व्यंजक स्वतः ही शून्य से बड़ा हो जाएगा, क्योंकि यह पहले व्यंजक से बड़ा है, जो बदले में शून्य से बड़ा है।

मामले में जब एक सम अंश का मूल किसी तर्कसंगत व्यंजक से बड़ा माना जाता है

फिर इस तरह की असमानता का समाधान दो प्रणालियों के सेट पर जाकर किया जाता है:

और अंत में, उस स्थिति में जब एक सम अंश का मूल किसी तर्कसंगत व्यंजक से छोटा माना जाता है, अर्थात। मामले में जब प्रपत्र की एक तर्कहीन असमानता होती है:

फिर इस तरह की असमानता का समाधान सिस्टम को पास करके किया जाता है:

ऐसे मामलों में जहां एक विषम डिग्री की दो जड़ों की तुलना की जाती है, या एक विषम डिग्री की जड़ को कुछ तर्कसंगत अभिव्यक्ति से अधिक या कम माना जाता है, तो आप पूरी असमानता को वांछित विषम डिग्री तक बढ़ा सकते हैं, और इस प्रकार सभी से छुटकारा पा सकते हैं जड़ें। इस मामले में, कोई अतिरिक्त ODZ उत्पन्न नहीं होता है, क्योंकि प्रतिबंधों के बिना असमानताओं को एक विषम शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है, और किसी भी संकेत के भाव विषम डिग्री की जड़ों के नीचे हो सकते हैं।

सामान्यीकृत अंतराल विधि

मामले में जब एक जटिल तर्कहीन समीकरण होता है जो ऊपर वर्णित किसी भी मामले के अंतर्गत नहीं आता है, और जिसे एक निश्चित शक्ति तक बढ़ाकर हल नहीं किया जा सकता है, तो किसी को आवेदन करना चाहिए सामान्यीकृत अंतराल विधि, जो इस प्रकार है:

• ओडीजेड निर्धारित करें;
• असमानता को रूपांतरित करें ताकि दाहिनी ओर शून्य हो (बाईं ओर, यदि संभव हो तो, एक सामान्य भाजक लाएं, गुणनखंड करें, आदि);
• अंश और हर के सभी मूल ज्ञात करें और उन्हें संख्या रेखा पर रखें, और यदि असमानता सख्त नहीं है, तो अंश की जड़ों पर पेंट करें, लेकिन किसी भी मामले में, हर की जड़ों को डॉट्स के रूप में छोड़ दें;
• दिए गए अंतराल से एक संख्या को रूपांतरित असमानता में प्रतिस्थापित करते हुए, प्रत्येक अंतराल पर संपूर्ण व्यंजक का चिह्न ज्ञात कीजिए। साथ ही, अक्ष पर बिंदुओं से गुजरते हुए किसी भी तरह से संकेतों को वैकल्पिक करना संभव नहीं है। प्रत्येक अंतराल पर इस व्यंजक में अंतराल से मान को प्रतिस्थापित करके, और इसी तरह प्रत्येक अंतराल के लिए व्यंजक के चिह्न को निर्धारित करना आवश्यक है। कोई अन्य तरीका नहीं है (यह, बड़े पैमाने पर, अंतराल की सामान्यीकृत विधि और सामान्य एक के बीच का अंतर है);
• ODZ के प्रतिच्छेदन और अंतराल का पता लगाएं, जो असमानता को संतुष्ट करते हैं, जबकि असमानता को संतुष्ट करने वाले व्यक्तिगत बिंदुओं को नहीं खोते हैं (गैर-सख्त असमानताओं में अंश की जड़ें), और उत्तर से सभी असमानताओं में सभी भाजक जड़ों को बाहर करना न भूलें।

• पीछे
• आगे

भौतिकी और गणित में सीटी की सफलतापूर्वक तैयारी कैसे करें?

भौतिकी और गणित में सीटी की सफलतापूर्वक तैयारी करने के लिए, अन्य बातों के अलावा, तीन महत्वपूर्ण शर्तों को पूरा करना होगा:

1. सभी विषयों का अध्ययन करें और इस साइट पर अध्ययन सामग्री में दिए गए सभी परीक्षणों और कार्यों को पूरा करें। ऐसा करने के लिए, आपको कुछ भी नहीं चाहिए, अर्थात्: भौतिकी और गणित में सीटी की तैयारी के लिए हर दिन तीन से चार घंटे समर्पित करना, सिद्धांत का अध्ययन करना और समस्याओं को हल करना। तथ्य यह है कि सीटी एक ऐसी परीक्षा है जहां केवल भौतिकी या गणित को जानना पर्याप्त नहीं है, आपको विभिन्न विषयों और अलग-अलग जटिलताओं पर बड़ी संख्या में समस्याओं को हल करने के लिए जल्दी और बिना असफलताओं के भी सक्षम होना चाहिए। उत्तरार्द्ध को केवल हजारों समस्याओं को हल करके ही सीखा जा सकता है।
2. भौतिकी में सभी सूत्र और नियम और गणित में सूत्र और विधियाँ सीखें। वास्तव में, ऐसा करना भी बहुत आसान है, भौतिकी में लगभग 200 आवश्यक सूत्र हैं, और गणित में भी थोड़ा कम। इनमें से प्रत्येक विषय में बुनियादी स्तर की जटिलता की समस्याओं को हल करने के लिए लगभग एक दर्जन मानक तरीके हैं, जिन्हें सीखा भी जा सकता है, और इस प्रकार, पूरी तरह से स्वचालित रूप से और बिना कठिनाई के अधिकांश डिजिटल परिवर्तन को सही समय पर हल किया जा सकता है। उसके बाद, आपको केवल सबसे कठिन कार्यों के बारे में सोचना होगा।
3. भौतिकी और गणित में पूर्वाभ्यास परीक्षण के सभी तीन चरणों में भाग लें। दोनों विकल्पों को हल करने के लिए प्रत्येक आरटी को दो बार देखा जा सकता है। फिर से, डीटी पर, समस्याओं को जल्दी और कुशलता से हल करने की क्षमता, और सूत्रों और विधियों के ज्ञान के अलावा, समय की योजना बनाने, बलों को वितरित करने और सबसे महत्वपूर्ण रूप से उत्तर फॉर्म को सही ढंग से भरने में सक्षम होना भी आवश्यक है। , उत्तरों और कार्यों की संख्या, या अपने स्वयं के उपनाम को भ्रमित किए बिना। साथ ही, RT के दौरान, कार्यों में प्रश्नों को प्रस्तुत करने की शैली के अभ्यस्त होना महत्वपूर्ण है, जो DT पर एक अप्रस्तुत व्यक्ति के लिए बहुत ही असामान्य लग सकता है।

इन तीन बिंदुओं का सफल, मेहनती और जिम्मेदार कार्यान्वयन आपको सीटी पर एक उत्कृष्ट परिणाम दिखाने की अनुमति देगा, जो आप करने में सक्षम हैं।

त्रुटि मिली?

यदि आपको, जैसा कि आपको लगता है, प्रशिक्षण सामग्री में कोई त्रुटि मिली, तो कृपया इसके बारे में मेल द्वारा लिखें। आप सोशल नेटवर्क () पर त्रुटि के बारे में भी लिख सकते हैं। पत्र में, विषय (भौतिकी या गणित), विषय या परीक्षण का नाम या संख्या, कार्य की संख्या, या पाठ (पृष्ठ) में स्थान इंगित करें जहां, आपकी राय में, कोई त्रुटि है। यह भी बताएं कि कथित त्रुटि क्या है। आपका पत्र किसी का ध्यान नहीं जाएगा, त्रुटि को या तो ठीक कर दिया जाएगा, या आपको समझाया जाएगा कि यह गलती क्यों नहीं है।

और केवल मामले में, हम आपको याद दिलाते हैं कि आप हमारी वेबसाइट पर जा सकते हैं। अभी ...अचानक आप नहीं जानते।

महत्वपूर्ण लेख!यदि फ़ार्मुलों के बजाय आप अस्पष्ट देखते हैं, तो अपना कैश साफ़ करें। ऐसा करने के लिए, CTRL+F5 (Windows पर) दबाएं यासीएमडी+आर (मैक पर)

ओडीजेड

क्या आपको याद है कि ODZ क्या है?

उदाहरण के लिए, समीकरण में एक वर्गमूल है। और यदि मूल व्यंजक ऋणात्मक है तो वर्गमूल व्यर्थ है। अर्थात्, इस मामले में, ODZ असमानताओं का समाधान है।

जड़ वाली प्रत्येक समस्या में ODZ देखने की कोई आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण के लिए, इस कार्य को लें:

चुकता करने पर, हम पाते हैं, कि मूलक व्यंजक स्वतः ही गैर-ऋणात्मक होता है! तो अतिरिक्त लेखन क्यों?

लेकिन कुछ मामलों में यह बहुत उपयोगी हो सकता है। इसके अलावा, कभी-कभी केवल ODZ ढूंढकर एक उदाहरण को हल करना संभव होता है। उदाहरण के लिए:

लेकिन हमें याद है कि वर्गमूल हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। तो यह हमेशा बड़ा रहेगा। तो, समस्या का समाधान ODZ होगा:

असमानताएँ टाइप करें।

स्वाभाविक रूप से, असमानता का संकेत गैर-सख्त हो सकता है।

ऐसी असमानता को कैसे दूर करें?

शुरू करने के लिए, याद रखें कि फ़ंक्शन मोनोटोनिक है, यानी जितना बड़ा रूट एक्सप्रेशन, उतना ही बड़ा रूट। इसलिए, दो जड़ों में से, सबसे बड़ी मूल अभिव्यक्ति वाला बड़ा होता है।

लेकिन बिना कारण के हमने हाल ही में ODZ को वापस बुला लिया। क्या इस असमानता पर कोई प्रतिबंध है?

दरअसल, असमानता को समझने के लिए, यह आवश्यक है कि दोनों कट्टरपंथी अभिव्यक्तियां गैर-नकारात्मक हों:

लेकिन चूंकि पहली अभिव्यक्ति दूसरे से बड़ी है, इसलिए केवल दूसरे को गैर-नकारात्मक होने की आवश्यकता है:

और अगर असमानता सख्त नहीं है तो यह नियम कैसा दिखेगा? ऐशे ही:

ऐसा क्यों है, आप खुद सोचिए।

अब असमानता के दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं, इसलिए हम उनका वर्ग कर सकते हैं:

अब हम टेम्पलेट के अनुसार हल करते हैं:

अब हमें संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता है, और। विषय को याद करें:

तब सिस्टम बन जाता है:

असमानताएँ टाइप करें।

यहां सब कुछ थोड़ा सरल है: चूंकि जड़ गैर-ऋणात्मक है, इसलिए इस असमानता का दाहिना पक्ष भी गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:

डिग्री जड़ें अधिक

यदि असमानता का मूल वर्गाकार नहीं है, तो इसकी डिग्री की समता महत्वपूर्ण है।

I. सम डिग्री की जड़ें।

जड़ें, आदि। डिग्री एक दूसरे के समान हैं, और उनके साथ समीकरणों को हल करने का सिद्धांत बिल्कुल समान है। तथ्य यह है कि एक सम डिग्री की जड़ को हमेशा एक वर्ग में घटाया जा सकता है (विषय याद रखें!):

उदाहरण के लिए:

द्वितीय. विषम डिग्री की जड़ें।

विषम शक्तियों (,…) के साथ सब कुछ बहुत आसान है!

सच तो यह है कि विषम अंश का मूल किसी भी संख्या से निकाला जा सकता है! (और फिर, अगर आपको यह नहीं पता था, तो विषय को याद रखें!)

इसका क्या मतलब है?

अब कोई अतिरिक्त शर्तें नहीं हैं, कोई प्रतिबंध नहीं है - हम बस सब कुछ सही डिग्री तक बढ़ाते हैं और निर्णय लेते हैं:

तर्कहीन असमानताएँ। संक्षेप में मुख्य के बारे में

तर्कहीन असमानताएक असमानता है जिसमें जड़ के नीचे एक चर होता है

1. फॉर्म की असमानताएं।

2. फार्म की असमानता या।

3. फॉर्म की असमानताएं।

4. फॉर्म की असमानताएं।

5. फॉर्म की असमानताएं।

6. सम अंश की जड़ें।

उदाहरण के लिए:

7. विषम कोटि की जड़ें।

विषम मूल किसी भी संख्या से लिया जा सकता है !

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात।

आपने इस विषय पर सिद्धांत का पता लगा लिया है। और, मैं दोहराता हूं, यह है ... यह सिर्फ सुपर है! आप अपने अधिकांश साथियों से पहले से ही बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किसलिए?

परीक्षा में सफल उत्तीर्ण होने के लिए, बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और सबसे महत्वपूर्ण बात, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए नहीं मनाऊँगा, बस एक बात कहूँगा...

जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है, वे उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। यह सांख्यिकी है।

लेकिन यह मुख्य बात नहीं है।

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने बहुत अधिक अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? मालूम नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिए...

परीक्षा में दूसरों की तुलना में बेहतर होने और अंततः ... खुश रहने के लिए यह सुनिश्चित करने के लिए क्या आवश्यक है?

इस विषय पर समस्याओं का समाधान करते हुए अपना हाथ भरें।

परीक्षा में आपसे थ्योरी नहीं पूछी जाएगी।

आपको चाहिये होगा समस्याओं का समाधान समय पर करें.

और, यदि आपने उन्हें हल नहीं किया है (बहुत!), तो आप निश्चित रूप से कहीं न कहीं एक मूर्खतापूर्ण गलती करेंगे या बस इसे समय पर नहीं करेंगे।

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निष्कर्ष के तौर पर...

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"समझ गया" और "मुझे पता है कि कैसे हल करना है" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है।

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कोई भी असमानता, जिसमें रूट के नीचे एक फंक्शन शामिल होता है, कहलाता है तर्कहीन. ऐसी असमानताएँ दो प्रकार की होती हैं:

पहले मामले में, रूट फ़ंक्शन g (x) से छोटा है, दूसरे में - अधिक। अगर जी (एक्स) - लगातार, असमानता नाटकीय रूप से सरल करती है। कृपया ध्यान दें कि बाह्य रूप से ये असमानताएँ बहुत समान हैं, लेकिन उनकी समाधान योजनाएँ मौलिक रूप से भिन्न हैं।

आज हम सीखेंगे कि पहले प्रकार की अपरिमेय असमानताओं को कैसे हल किया जाए - वे सबसे सरल और सबसे अधिक समझने योग्य हैं। असमानता का संकेत सख्त या गैर-सख्त हो सकता है। निम्नलिखित कथन उनके लिए सत्य है:

प्रमेय। प्रपत्र की कोई भी अपरिमेय असमानता

असमानताओं की प्रणाली के बराबर:

कमजोर नहीं? आइए देखें कि ऐसी प्रणाली कहां से आती है:

1. एफ (एक्स) जी 2 (एक्स) - यहां सब कुछ स्पष्ट है। यह मूल असमानता चुकता है;
2. f(x) 0 मूल का ODZ है। मैं आपको याद दिला दूं: अंकगणितीय वर्गमूल केवल से मौजूद है गैर नकारात्मकसंख्याएं;
3. g(x) 0 मूल का परिसर है। असमानता को चुकता करके, हम विपक्ष को जलाते हैं। नतीजतन, अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं। असमानता g (x) 0 उन्हें काट देती है।

कई छात्र सिस्टम की पहली असमानता पर "चक्र में जाते हैं": f (x) g 2 (x) - और अन्य दो को पूरी तरह से भूल जाते हैं। परिणाम पूर्वानुमेय है: गलत निर्णय, खोए हुए अंक।

चूँकि अपरिमेय असमानताएँ एक जटिल विषय हैं, आइए एक साथ 4 उदाहरणों का विश्लेषण करें। प्राथमिक से वास्तव में जटिल तक। सभी कार्य मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी की प्रवेश परीक्षा से लिए गए हैं। एम वी लोमोनोसोव।

समस्या समाधान के उदाहरण

कार्य। असमानता को हल करें:

हमारे पास एक क्लासिक है तर्कहीन असमानता: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 एक अचर है। हमारे पास है:

समाधान के अंत तक तीन असमानताओं में से केवल दो ही बनी रहीं। क्योंकि असमानता 2 0 हमेशा बनी रहती है। आइए शेष असमानताओं को प्रतिच्छेद करें:

तो, x [−1,5; 0.5]। सभी बिंदु छायांकित हैं क्योंकि असमानताएँ सख्त नहीं हैं.

कार्य। असमानता को हल करें:

हम प्रमेय लागू करते हैं:

हम पहली असमानता को हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम अंतर का वर्ग खोलेंगे। हमारे पास है:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
एक्स 2 - 10x< 0;
एक्स (एक्स - 10)< 0;
एक्स (0; 10)।

अब दूसरी असमानता को हल करते हैं। वहाँ भी वर्ग त्रिपद:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(एक्स - 8) (एक्स - 1) ≥ 0;
एक्स ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)