संख्या का मापांक (संख्या का निरपेक्ष मान), परिभाषाएँ, उदाहरण, गुण। किसी संख्या का निरपेक्ष मान। इसकी आवश्यकता क्यों है इसकी एक अवैज्ञानिक व्याख्या वास्तविक संख्या के मापांक के मूल गुण

सबसे पहले, हम मॉड्यूल के संकेत के तहत अभिव्यक्ति के संकेत को परिभाषित करते हैं, और फिर मॉड्यूल का विस्तार करते हैं:

• यदि व्यंजक का मान शून्य से अधिक है, तो हम इसे केवल मॉड्यूल चिह्न के नीचे से निकाल लेते हैं,
• यदि व्यंजक शून्य से कम है, तो हम इसे मॉड्यूल के चिह्न के नीचे से निकाल लेते हैं, चिह्न बदलते समय, जैसा कि हमने पहले उदाहरणों में किया था।

अच्छा, क्या हम कोशिश करें? आइए अनुमान लगाएं:

(भूल गए, दोहराएं।)

यदि हां, तो इसका क्या संकेत है? बेशक, !

और, इसलिए, हम अभिव्यक्ति के संकेत को बदलकर मॉड्यूल के संकेत को प्रकट करते हैं:

समझ लिया? फिर इसे स्वयं आजमाएँ:

उत्तर:

मॉड्यूल में और क्या गुण हैं?

यदि हमें मापांक चिह्न के अंदर की संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है, तो हम इन संख्याओं के मापांक को सुरक्षित रूप से गुणा कर सकते हैं !!!

गणितीय शब्दों में, संख्याओं के गुणनफल का मापांक इन संख्याओं के मॉड्यूल के गुणनफल के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए:

लेकिन क्या होगा अगर हमें मॉड्यूलो साइन के तहत दो नंबरों (व्यंजकों) को विभाजित करने की आवश्यकता है?

हाँ, गुणन के समान ही! आइए इसे मॉड्यूल चिह्न के तहत दो अलग-अलग संख्याओं (अभिव्यक्तियों) में विभाजित करें:

बशर्ते कि (चूंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते)।

यह मॉड्यूल की एक और संपत्ति को याद रखने योग्य है:

संख्याओं के योग का मॉड्यूल हमेशा इन संख्याओं के मॉड्यूल के योग से कम या बराबर होता है:

ऐसा क्यों है? सब कुछ बहुत आसान है!

जैसा कि हम याद करते हैं, मापांक हमेशा सकारात्मक होता है। लेकिन मॉड्यूल के संकेत के तहत कोई भी संख्या हो सकती है: सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। मान लें कि संख्याएँ और दोनों धनात्मक हैं। तब लेफ्ट एक्सप्रेशन राइट एक्सप्रेशन के बराबर होगा।

आइए एक उदाहरण देखें:

यदि मापांक चिह्न के अंतर्गत एक संख्या ऋणात्मक है और दूसरी धनात्मक है, बायाँ व्यंजक हमेशा दाएँ से छोटा होगा:

ऐसा लगता है कि इस संपत्ति के साथ सब कुछ स्पष्ट है, आइए मॉड्यूल के कुछ और उपयोगी गुणों पर विचार करें।

क्या होगा अगर हमारे पास यह अभिव्यक्ति है:

हम इस अभिव्यक्ति के साथ क्या कर सकते हैं? हम x का मान नहीं जानते हैं, लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि इसका क्या अर्थ है।

संख्या शून्य से अधिक है, जिसका अर्थ है कि आप बस लिख सकते हैं:

तो हम एक और संपत्ति पर आए, जिसे सामान्य रूप से निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

इस अभिव्यक्ति का अर्थ क्या है:

इसलिए, हमें मॉड्यूल के तहत साइन को परिभाषित करने की आवश्यकता है। क्या यहां एक संकेत को परिभाषित करना आवश्यक है?

बिल्कुल नहीं, अगर आपको याद है कि कोई भी संख्या वर्ग हमेशा शून्य से बड़ा होता है! यदि आपको याद नहीं है, तो विषय देखें। और क्या होता है? और यहाँ क्या है:

यह बढ़िया है, है ना? काफी सुविधाजनक। अब एक विशिष्ट उदाहरण के लिए:

अच्छा, संदेह क्यों? आइए साहसपूर्वक कार्य करें!

क्या आप सब कुछ समझ गए? फिर आगे बढ़ें और उदाहरणों के साथ अभ्यास करें!

1. यदि व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

2. मॉड्यूल किस संख्या के बराबर है?

3. भावों का अर्थ खोजें:

यदि अभी तक सब कुछ स्पष्ट नहीं है और निर्णय लेने में कठिनाइयाँ आ रही हैं, तो आइए इसका पता लगाते हैं:

समाधान 1:

तो, आइए व्यंजक में मानों को प्रतिस्थापित करें

समाधान 2:

जैसा कि हमें याद है, विपरीत संख्याएँ मॉड्यूलो बराबर होती हैं। इसका मतलब है कि मापांक का मान दो संख्याओं के बराबर है: और।

समाधान 3:

ए)
बी)
वी)
जी)

क्या तुमने सब कुछ पकड़ लिया? तो यह कुछ और जटिल पर आगे बढ़ने का समय है!

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाने का प्रयास करें

समाधान:

इसलिए, हमें याद है कि मापांक का मान शून्य से कम नहीं हो सकता। यदि मापांक चिह्न के नीचे की संख्या धनात्मक है, तो हम केवल चिन्ह को त्याग सकते हैं: संख्या का मापांक इस संख्या के बराबर होगा।

लेकिन अगर मापांक चिह्न के तहत एक ऋणात्मक संख्या है, तो मॉड्यूल का मान विपरीत संख्या के बराबर होता है (अर्थात "-" चिह्न के साथ ली गई संख्या)।

किसी भी व्यंजक का मापांक ज्ञात करने के लिए, आपको सबसे पहले यह पता लगाना होगा कि उसका मान धनात्मक है या ऋणात्मक।

यह पता चला है, मॉड्यूल के तहत पहली अभिव्यक्ति का मूल्य।

इसलिए, मापांक चिह्न के तहत व्यंजक ऋणात्मक है। मापांक चिह्न के तहत दूसरा व्यंजक हमेशा धनात्मक होता है, क्योंकि हम दो धनात्मक संख्याओं को जोड़ रहे हैं।

तो, मापांक चिह्न के तहत पहली अभिव्यक्ति का मान ऋणात्मक है, दूसरा धनात्मक है:

इसका मतलब है, पहली अभिव्यक्ति के मापांक के संकेत का विस्तार करते समय, हमें इस अभिव्यक्ति को "-" चिह्न के साथ लेना चाहिए। ऐशे ही:

दूसरे मामले में, हम केवल मोडुलो साइन को छोड़ देते हैं:

आइए इस अभिव्यक्ति को इसकी संपूर्णता में सरल बनाएं:

किसी संख्या का मापांक और उसके गुण (सख्त परिभाषाएँ और प्रमाण)

परिभाषा:

किसी संख्या का मापांक (पूर्ण मान) वह संख्या है यदि, और संख्या यदि:

उदाहरण के लिए:

उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

समाधान:

मॉड्यूल के मूल गुण

सबके लिए:

उदाहरण:

संपत्ति साबित करें #5।

सबूत:

आइए मान लें कि वहाँ हैं

आइए असमानता के बाएँ और दाएँ भागों का वर्ग करें (यह किया जा सकता है, क्योंकि असमानता के दोनों भाग हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं):

और यह एक मॉड्यूल की परिभाषा के विपरीत है।

नतीजतन, ऐसे कोई नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि सभी असमानताओं के लिए

एक स्वतंत्र समाधान के उदाहरण:

1) संपत्ति साबित करें #6।

2) अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

उत्तर:

1) आइए संपत्ति संख्या 3 का उपयोग करें, और तब से

सरल बनाने के लिए, आपको मॉड्यूल का विस्तार करने की आवश्यकता है। और मॉड्यूल का विस्तार करने के लिए, आपको यह पता लगाना होगा कि मॉड्यूल के तहत अभिव्यक्ति सकारात्मक या नकारात्मक है या नहीं?

ए। आइए संख्याओं की तुलना करें और:

बी। अब तुलना करते हैं:

हम मॉड्यूल के मूल्यों को जोड़ते हैं:

किसी संख्या का निरपेक्ष मान। संक्षेप में मुख्य बात के बारे में।

किसी संख्या का मापांक (पूर्ण मान) वह संख्या है यदि, और संख्या यदि:

मॉड्यूल गुण:

1. किसी संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है: ;
2. विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल समान हैं: ;
3. दो (या अधिक) संख्याओं के गुणनफल का मॉड्यूल उनके मॉड्यूल के गुणनफल के बराबर होता है: ;
4. दो संख्याओं के भागफल का मॉड्यूल उनके मॉड्यूल के भागफल के बराबर होता है: ;
5. संख्याओं के योग का मॉड्यूल हमेशा इन संख्याओं के मॉड्यूल के योग से कम या बराबर होता है: ;
6. मापांक चिह्न से एक निरंतर सकारात्मक कारक निकाला जा सकता है: पर;

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स्लाइड कैप्शन:

पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य वास्तविक संख्या के मॉड्यूल की परिभाषा का परिचय दें, गुणों पर विचार करें और मॉड्यूल के ज्यामितीय अर्थ की व्याख्या करें; फ़ंक्शन दर्ज करें y = |x | , इसका ग्राफ बनाने के नियम दिखा सकेंगे; मॉड्यूल वाले समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों से पढ़ाने के लिए; सटीकता और परिश्रम पैदा करने के लिए गणित, स्वतंत्रता, तार्किक सोच, गणितीय भाषण में रुचि विकसित करना।

परिभाषा। उदाहरण के लिए: |8|=8 ; | -8 | =-(-8)=8;

मॉड्यूल गुण

मॉड्यूल का ज्यामितीय अर्थ संख्या रेखा वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का एक अच्छा उदाहरण है। आइए संख्या रेखा पर दो बिंदु a और b अंकित करें और इन बिंदुओं के बीच की दूरी (a ; b) ज्ञात करने का प्रयास करें। जाहिर है कि यह दूरी b-a के बराबर है, अगर b>a उलट दिया जाए, यानी a > b, तो दूरी a - b के बराबर होगी। यदि a = b तो दूरी शून्य है, क्योंकि एक बिंदु प्राप्त होता है। हम तीनों मामलों का एक ही तरह से वर्णन कर सकते हैं:

उदाहरण। समीकरण हल करें: a) |x-3|=6 b) |x+5|=3 c) |x|=2.8 d) समाधान। a) हमें निर्देशांक रेखा पर ऐसे बिंदु खोजने होंगे जो बिंदु 3 से 6 के बराबर दूरी पर हटाए गए हों। ऐसे बिंदु 9 और -3 हैं। (उन्होंने तीनों में से छह को जोड़ा और घटाया।) उत्तर: x = 9 और x = -3 b) | x +5|=3, हम समीकरण को | . के रूप में फिर से लिखते हैं एक्स -(-5)|=3. आइए बिंदु -5 से 3 द्वारा हटाई गई दूरी ज्ञात करें। ऐसी दूरी, यह दो बिंदुओं से निकलती है: x=2 और x=-8 उत्तर: x=2 और x=-8। ग) | x |=2.8 को |x-0|=2.8 या स्पष्ट रूप से x=-2.8 या x=2.8 के रूप में दर्शाया जा सकता है उत्तर: x=-2.8 और x=2.8। डी) बराबर है जाहिर है,

फलन y = |x|

समीकरण को हल करें |x-1| = 4 1 रास्ता (विश्लेषणात्मक) कार्य 2

2 रास्ता (ग्राफिक)

एक वास्तविक संख्या का मापांक। पहचान व्यंजक पर विचार करें, यदि a>0, तो हम उसे जानते हैं। लेकिन क्या होगा अगर a 0 है। 2. आइए संक्षेप में बताएं: मॉड्यूल की परिभाषा के अनुसार: वह है

एक वास्तविक संख्या का मापांक। उदाहरण। व्यंजक को सरल कीजिए यदि: a) a-2≥0 b) a -2

एक वास्तविक संख्या का मापांक। उदाहरण। समाधान की गणना करें। हम जानते हैं कि: यह मॉड्यूल का विस्तार करने के लिए बनी हुई है पहली अभिव्यक्ति पर विचार करें:

दूसरी अभिव्यक्ति पर विचार करें: परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम मॉड्यूल के संकेतों को प्रकट करेंगे: परिणामस्वरूप, हमें मिला: उत्तर: 1.

नई सामग्री का समेकन। नंबर 16.2, नंबर 16.3, नंबर 16.4, नंबर 16.12, नंबर 16.16 (ए, डी), नंबर 16.19

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य। 1. समीकरण हल करें: a) | x -10|=3 ख) | एक्स +2|=1 सी) | x |=2.8 d) 2. समीकरण को हल करें: a) |3 x -9|=33 b) |8-4 x |=16 c) | x +7|=-3 3. व्यंजक को सरल कीजिए यदि a) a-3≥0 b) a -3

सन्दर्भ: ज़्वाविच एल.आई. बीजगणित। गहन अध्ययन। ग्रेड 8: समस्या पुस्तक / एल.आई. ज़वाविच, ए.आर. रियाज़ानोव्स्की। - चौथा संस्करण।, रेव। - एम .: निमोसिन, 2006. - 284 पी। मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित। 8 वीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 1. शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच। - 12 वां संस्करण।, सीनियर। - एम .: मेनमोज़िना, 2014. - 215 पी। मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित। 8 वीं कक्षा। 2 घंटे पर। भाग 2. शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक कार्यपुस्तिका / एड। ए.जी. मोर्दकोविच। - 12 वां संस्करण।, रेव। और अतिरिक्त - एम .: मेनमोज़िना, 2014. - 271 पी।

एक वास्तविक संख्या का 1 मापांक

इस पाठ में हम किसी वास्तविक संख्या के लिए "मापांक" की अवधारणा का अध्ययन करेंगे।

आइए एक वास्तविक संख्या के मापांक के गुणों को लिखें:

§ 2 समीकरणों का हल

एक वास्तविक संख्या के मापांक के ज्यामितीय अर्थ का उपयोग करते हुए, हम कई समीकरणों को हल करते हैं।

इसलिए, समीकरण के 2 मूल हैं: -1 और 3.

इस प्रकार, समीकरण के 2 मूल हैं: -3 और 3.

व्यवहार में, मॉड्यूल के विभिन्न गुणों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 2 में इस पर विचार करें:

इस प्रकार, इस पाठ में आपने "वास्तविक संख्या का मापांक", इसके मूल गुण और ज्यामितीय अर्थ की अवधारणा का अध्ययन किया है। और गुणों के अनुप्रयोग और वास्तविक संख्या के मापांक के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व पर कई विशिष्ट समस्याओं को भी हल किया।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. मोर्दकोविच ए.जी. "बीजगणित" 8 वीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच। - 9वां संस्करण, संशोधित। - एम .: मेनेमोसिन, 2007. - 215 पी .: बीमार।
2. मोर्दकोविच ए.जी. "बीजगणित" 8 वीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 2। शिक्षण संस्थानों के लिए कार्यपुस्तिका / ए.जी. मोर्दकोविच, टी.एन. मिशुस्टिन, ई.ई. तुलचिंस्काया .. - 8 वां संस्करण।, - एम।: मेनमोज़िना, 2006. - 239p।
3. बीजगणित। 8 वीं कक्षा। शिक्षण संस्थानों के छात्रों के लिए परीक्षा एल.ए. अलेक्जेंड्रोवा, एड। ए.जी. मोर्दकोविच दूसरा संस्करण, मिटा दिया गया। - एम .: मेनेमोसिन, 2009. - 40 के दशक।
4. बीजगणित। 8 वीं कक्षा। शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए स्वतंत्र कार्य: पाठ्यपुस्तक के लिए ए.जी. मोर्दकोविच, एल.ए. अलेक्जेंड्रोवा, एड। ए.जी. मोर्दकोविच, 9वां संस्करण।, स्टर। - एम .: मेनेमोसिन, 2013. - 112p।

इस लेख में, हम विस्तार से विश्लेषण करेंगे किसी संख्या का निरपेक्ष मान. हम किसी संख्या के मापांक की विभिन्न परिभाषाएँ देंगे, संकेतन का परिचय देंगे और ग्राफिक चित्रण देंगे। इस मामले में, हम परिभाषा के अनुसार किसी संख्या का मापांक ज्ञात करने के विभिन्न उदाहरणों पर विचार करते हैं। उसके बाद, हम मॉड्यूल के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं और उन्हें सही ठहराते हैं। लेख के अंत में, हम इस बारे में बात करेंगे कि एक सम्मिश्र संख्या का मापांक कैसे निर्धारित और पाया जाता है।

पृष्ठ नेविगेशन।

संख्या का मापांक - परिभाषा, अंकन और उदाहरण

पहले हम परिचय मापांक पदनाम. संख्या a के मॉड्यूल को इस प्रकार लिखा जाएगा, अर्थात संख्या के बाईं ओर और दाईं ओर हम मॉड्यूल का चिह्न बनाने वाली लंबवत रेखाएं रखेंगे। आइए एक दो उदाहरण दें। उदाहरण के लिए, मोडुलो -7 को इस प्रकार लिखा जा सकता है; मॉड्यूल 4,125 के रूप में लिखा जाता है, और मॉड्यूल के रूप में लिखा जाता है।

मॉड्यूल की निम्नलिखित परिभाषा वास्तविक संख्याओं के सेट के घटक भागों के रूप में, और इसलिए, और पूर्णांकों को, और तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं को संदर्भित करती है। हम में एक सम्मिश्र संख्या के मापांक के बारे में बात करेंगे।

परिभाषा।

का मापांकया तो स्वयं संख्या है, यदि a एक धनात्मक संख्या है, या संख्या −a, संख्या a के विपरीत है, यदि a ऋणात्मक संख्या है, या 0, यदि a=0 है।

किसी संख्या के मापांक की स्वरित परिभाषा अक्सर निम्नलिखित रूप में लिखी जाती है: , इस संकेतन का अर्थ है कि यदि a>0 , यदि a=0 , और यदि a<0 .

रिकॉर्ड को अधिक कॉम्पैक्ट रूप में दर्शाया जा सकता है . इस संकेतन का अर्थ है कि यदि (a, 0 से बड़ा या बराबर है), और यदि a<0 .

एक रिकॉर्ड भी है . यहाँ, वह स्थिति जब a=0 को अलग से समझाया जाना चाहिए। इस मामले में, हमारे पास −0=0 है, क्योंकि शून्य को एक ऐसी संख्या माना जाता है जो स्वयं के विपरीत होती है।

चलो लाते हैं किसी संख्या का मापांक ज्ञात करने के उदाहरणदी गई परिभाषा के साथ। उदाहरण के लिए, आइए संख्या 15 और के मॉड्यूल खोजें। आइए खोज के साथ शुरू करें। चूँकि संख्या 15 धनात्मक है, इसका मापांक, परिभाषा के अनुसार, इस संख्या के बराबर है, अर्थात् । किसी संख्या का मापांक क्या होता है? चूँकि एक ऋणात्मक संख्या है, तो इसका मापांक संख्या के विपरीत संख्या के बराबर होता है, अर्थात संख्या . इस तरह, ।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम एक निष्कर्ष देते हैं, जो किसी संख्या के मापांक को खोजने पर व्यवहार में लागू करने के लिए बहुत सुविधाजनक है। किसी संख्या के मापांक की परिभाषा से यह इस प्रकार है कि किसी संख्या का मापांक मापांक के चिह्न के नीचे की संख्या के बराबर होता है, चाहे उसका चिन्ह कुछ भी हो, और ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों से, यह बहुत स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। स्वरित कथन बताता है कि किसी संख्या के मापांक को क्यों कहा जाता है संख्या का निरपेक्ष मान. अतः किसी संख्या का मापांक और किसी संख्या का निरपेक्ष मान एक ही होता है।

दूरी के रूप में किसी संख्या का मापांक

ज्यामितीय रूप से, किसी संख्या के मापांक की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है दूरी. चलो लाते हैं दूरी के संदर्भ में किसी संख्या के मापांक का निर्धारण.

परिभाषा।

का मापांकनिर्देशांक रेखा पर मूल बिंदु से संख्या a के संगत बिंदु तक की दूरी है।

यह परिभाषा पहले पैराग्राफ में दी गई संख्या के मापांक की परिभाषा के अनुरूप है। आइए इस बिंदु की व्याख्या करते हैं। एक धनात्मक संख्या के संगत बिंदु से मूल बिंदु तक की दूरी इस संख्या के बराबर होती है। शून्य मूल से मेल खाता है, इसलिए समन्वय 0 के साथ मूल से बिंदु तक की दूरी शून्य है (कोई एकल खंड और कोई खंड जो इकाई खंड के किसी भी अंश को बनाता है, को बिंदु O से बिंदु तक पहुंचने के लिए स्थगित करने की आवश्यकता है। समन्वय 0) के साथ। ऋणात्मक निर्देशांक वाले बिंदु से मूल बिंदु तक की दूरी दिए गए बिंदु के निर्देशांक के विपरीत संख्या के बराबर होती है, क्योंकि यह मूल बिंदु से उस बिंदु तक की दूरी के बराबर होती है जिसका निर्देशांक विपरीत संख्या होती है.

उदाहरण के लिए, संख्या 9 का मापांक 9 है, क्योंकि मूल बिंदु से निर्देशांक 9 वाले बिंदु तक की दूरी नौ है। आइए एक और उदाहरण लेते हैं। निर्देशांक -3.25 वाला बिंदु बिंदु 0 से 3.25 की दूरी पर है, इसलिए .

किसी संख्या के मापांक की ध्वनि परिभाषा दो संख्याओं के अंतर के मापांक को परिभाषित करने का एक विशेष मामला है।

परिभाषा।

दो संख्याओं का अंतर मापांक a और b निर्देशांक a और b के साथ समन्वय रेखा के बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर है।

अर्थात्, यदि निर्देशांक रेखा A(a) और B(b) पर बिंदु दिए गए हैं, तो बिंदु A से बिंदु B तक की दूरी संख्याओं a और b के बीच के अंतर के मापांक के बराबर है। यदि हम बिंदु O (संदर्भ बिंदु) को बिंदु B मान लें, तो हमें इस अनुच्छेद के आरंभ में दी गई संख्या के मापांक की परिभाषा मिल जाएगी।

अंकगणितीय वर्गमूल द्वारा किसी संख्या का मापांक ज्ञात करना

कभी-कभी मिल जाता है अंकगणितीय वर्गमूल के माध्यम से मापांक का निर्धारण.

उदाहरण के लिए, आइए −30 संख्याओं के मॉड्यूल की गणना करें और इस परिभाषा के आधार पर। हमारे पास है । इसी तरह, हम दो-तिहाई के मापांक की गणना करते हैं: .

अंकगणितीय वर्गमूल के संदर्भ में किसी संख्या के मापांक की परिभाषा भी इस लेख के पहले पैराग्राफ में दी गई परिभाषा के अनुरूप है। आइए इसे दिखाते हैं। मान लीजिए a एक धनात्मक संख्या है, और −a ऋणात्मक है। फिर तथा , अगर a=0 , तो .

मॉड्यूल गुण

मॉड्यूल के कई विशिष्ट परिणाम हैं - मॉड्यूल गुण. अब हम उनमें से मुख्य और सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले को देंगे। इन गुणों की पुष्टि करते समय, हम दूरी के संदर्भ में किसी संख्या के मापांक की परिभाषा पर भरोसा करेंगे।

आइए सबसे स्पष्ट मॉड्यूल संपत्ति से शुरू करें - किसी संख्या का मापांक ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकता. शाब्दिक रूप में, इस गुण का किसी भी संख्या a के लिए रूप होता है। इस गुण का औचित्य सिद्ध करना बहुत आसान है: किसी संख्या का मापांक दूरी है, और दूरी को ऋणात्मक संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

आइए मॉड्यूल के अगले गुण पर चलते हैं। किसी संख्या का मापांक शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि यह संख्या शून्य हो. शून्य का मापांक परिभाषा के अनुसार शून्य है। शून्य मूल से मेल खाता है, समन्वय रेखा पर कोई अन्य बिंदु शून्य से मेल नहीं खाता है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या समन्वय रेखा पर एक बिंदु से जुड़ी होती है। इसी कारण से, शून्य के अलावा कोई भी संख्या मूल बिंदु के अलावा किसी अन्य बिंदु से मेल खाती है। और बिंदु 0 के अलावा किसी भी बिंदु से मूल बिंदु की दूरी शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि दो बिंदुओं के बीच की दूरी शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि ये बिंदु मेल खाते हैं। उपरोक्त तर्क सिद्ध करता है कि केवल शून्य का मापांक शून्य के बराबर होता है।

आगे बढ़ो। विपरीत संख्याओं में समान मॉड्यूल होते हैं, अर्थात किसी भी संख्या के लिए a . दरअसल, निर्देशांक रेखा पर दो बिंदु, जिनके निर्देशांक विपरीत संख्याएं हैं, मूल से समान दूरी पर हैं, जिसका अर्थ है कि विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल समान हैं।

अगला मॉड्यूल गुण है: दो संख्याओं के गुणनफल का मापांक इन संख्याओं के मॉड्यूल के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात्, । परिभाषा के अनुसार, संख्या a और b के गुणनफल का मापांक या तो a b if , या −(a b) if । यह वास्तविक संख्याओं के गुणन के नियमों का अनुसरण करता है कि संख्याओं a और b के मॉड्यूल का गुणनफल या तो a b , , या −(a b) , if , के बराबर होता है, जो माना गया गुण साबित होता है।

a को b से भाग देने वाले भागफल का मापांक, a के मापांक को b के मापांक से भाग देने वाले भागफल के बराबर होता है, अर्थात्, । आइए हम मॉड्यूल की इस संपत्ति को सही ठहराते हैं। चूँकि भागफल गुणनफल के बराबर है, तो . पिछली संपत्ति के आधार पर, हमारे पास है . यह केवल समानता का उपयोग करने के लिए रहता है, जो संख्या के मापांक की परिभाषा के कारण मान्य है।

निम्नलिखित मॉड्यूल संपत्ति को असमानता के रूप में लिखा गया है: , a , b और c मनमाना वास्तविक संख्याएँ हैं। लिखित असमानता इससे ज्यादा कुछ नहीं है असमानित त्रिकोण. इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए निर्देशांक रेखा पर बिंदु A(a) , B(b) , C(c) लें, और पतित त्रिभुज ABC पर विचार करें, जिसके शीर्ष एक ही रेखा पर स्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, अंतर का मापांक खंड AB की लंबाई के बराबर है, - खंड AC की लंबाई, और - खंड CB की लंबाई। चूँकि त्रिभुज की किसी भी भुजा की लंबाई अन्य दो भुजाओं की लंबाई के योग से अधिक नहीं होती है, असमानता इसलिए, असमानता भी रखती है।

अभी-अभी साबित हुई असमानता इस रूप में कहीं अधिक सामान्य है . लिखित असमानता को आमतौर पर फॉर्मूलेशन के साथ मॉड्यूल की एक अलग संपत्ति के रूप में माना जाता है: " दो संख्याओं के योग का मापांक इन संख्याओं के मापांक के योग से अधिक नहीं होता है". लेकिन असमानता सीधे असमानता से होती है, अगर हम इसमें b के बजाय −b डालते हैं, और c=0 लेते हैं।

जटिल संख्या मापांक

चलो हम देते है एक सम्मिश्र संख्या के मापांक का निर्धारण. हमें दिया जाए जटिल संख्या, बीजगणितीय रूप में लिखा गया है, जहाँ x और y कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं, जो क्रमशः किसी दिए गए सम्मिश्र संख्या z के वास्तविक और काल्पनिक भागों का प्रतिनिधित्व करती हैं, और एक काल्पनिक इकाई है।