Iracionaliųjų nelygybių rūšys ir jų sprendimo būdai. Iracionalios nelygybės

T.D. Ivanova

IRACIONALIŲJŲ NETOLYGUMŲ SPRENDIMO METODAI

CDO ir NIT SRPTL

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

Sudarė T.D.Ivanova

Recenzentas: Baisheva M.I.- Pedagogikos mokslų kandidatas, katedros docentas

Matematikos fakulteto matematinė analizė

Jakutsko matematikos ir informatikos institutas

Valstijos universitetas

Iracionaliųjų nelygybių sprendimo metodai: Metodinis vadovas

M 34 9-11 klasių mokiniams / komp. Ivanova T.D. iš Suntar Suntarsky ulus

RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007, – 56 p.

Vadovas skirtas vidurinių mokyklų aukštųjų mokyklų studentams, taip pat stojantiems į universitetus kaip metodinis vadovas sprendžiant neracionalias nelygybes. Vadove išsamiai nagrinėjami pagrindiniai neracionalių nelygybių sprendimo būdai, pateikiami neracionalių nelygybių sprendimo su parametrais pavyzdžiai, taip pat pateikiami pavyzdžiai, kaip pačiam jas išspręsti. Mokytojai gali naudoti vadovą kaip mokymo medžiagą savarankiškas darbas, su temos „Iracionalios nelygybės“ apžvalga.

Vadovas atspindi mokytojo patirtį studijuojant temą “ Iracionalios nelygybės».

Problemos paimtos iš medžiagų stojamieji egzaminai, metodinius laikraščius ir žurnalus, mokymo priemones, kurių sąrašas pateikiamas vadovo pabaigoje

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

 T.D. Ivanova, komp., 2006 m.

 CDO NIT SRPTL, 2007 m.

5 pratarmė

6 įvadas

I skyrius. Paprasčiausių iracionaliųjų nelygybių sprendimo pavyzdžiai 7

II skyrius Formos nelygybės
>g(x), g(x), g(x) 9

III skyrius. Formos nelygybės
;
;

;
13

IV skyrius. Nelygybės, turinčios kelias lyginio laipsnio šaknis 16

V skirsnis. Pakeitimo metodas (naujo kintamojo įvedimas) 20

VI skyrius. Formos f(x) nelygybės
0; f(x)0;

VII skyrius. Formos nelygybės
25

VIII skyrius. Naudojant radikaliąsias išraiškos transformacijas

neracionaliose nelygybėse 26

IX skyrius. Grafinis iracionaliųjų nelygybių sprendimas 27

X skyrius. Mišraus tipo nelygybės 31

XI skyrius. Naudojant funkcijos monotoniškumo savybę 41

XII skyrius. 43 funkcijos pakeitimo būdas

XIII skyrius. Tiesioginio nelygybių sprendimo pavyzdžiai

intervalo metodas 45

XIV skyrius. Iracionaliųjų nelygybių su 46 parametrais sprendimo pavyzdžiai

Literatūra 56

PERŽIŪRA

Ši mokymo priemonė skirta 10-11 klasių mokiniams. Kaip rodo praktika, moksleiviai ir stojantieji patiria ypatingų sunkumų spręsdami neracionalias nelygybes. Taip yra dėl to, kad mokyklinėje matematikoje šis skyrius nėra pakankamai apsvarstytas, įvairūs tokių nelygybių sprendimo būdai plačiau nenagrinėjami. Taip pat mokyklų mokytojai jaučia metodinės literatūros trūkumą, kuris pasireiškia ribotu probleminės medžiagos kiekiu, nurodant įvairius požiūrius ir sprendimo būdus.

Vadove aptariami neracionalių nelygybių sprendimo būdai. Ivanova T.D. kiekvieno skyriaus pradžioje supažindina studentus su pagrindine metodo idėja, tada parodo pavyzdžius su paaiškinimais, taip pat siūlo savarankiško sprendimo problemas.

Sudarytojas naudoja pačius „efektyviausius“ metodus neracionalioms nelygybėms, su kuriomis susiduriama stojant į aukštąsias mokyklas su padidintais reikalavimais studentų žinioms, spręsti.

Mokiniai, perskaitę šį vadovą, gali įgyti neįkainojamos patirties ir įgūdžių sprendžiant sudėtingas neracionalias nelygybes. Tikiu, kad šis vadovas bus naudingas ir matematikos mokytojams, dirbantiems specializuotose klasėse, taip pat pasirenkamųjų kursų rengėjams.

Pedagogikos mokslų kandidatas, Jakuto valstybinio universiteto Matematikos ir informatikos instituto Matematikos fakulteto Matematinės analizės katedros docentas

Baisheva M.I.

PRATARMĖ

Vadovas skirtas vidurinių mokyklų aukštųjų mokyklų studentams, taip pat stojantiems į universitetus kaip metodinis vadovas sprendžiant neracionalias nelygybes. Vadove išsamiai nagrinėjami pagrindiniai neracionalių nelygybių sprendimo būdai, pateikiami apytiksliai neracionalių nelygybių sprendimo pavyzdžiai, pateikiami neracionalių nelygybių sprendimo pavyzdžiai su parametrais, taip pat pateikiami pavyzdžiai, kaip jas išspręsti patiems, kai kuriems iš jų – trumpi atsakymai ir instrukcijos. yra duoti.

Savarankiškai analizuojant pavyzdžius ir sprendžiant nelygybes, daroma prielaida, kad studentas moka spręsti tiesines, kvadratines ir kitas nelygybes, žino įvairius nelygybių sprendimo būdus, ypač intervalų metodą. Nelygybę siūloma spręsti keliais būdais.

Mokytojai gali naudoti vadovą kaip didaktinę medžiagą savarankiškam darbui apžvelgdami temą „Iracionalioji nelygybė“.

Vadove atsispindi mokytojo patirtis nagrinėjant temą „Iracionalioji nelygybė“ su mokiniais.

Uždaviniai buvo atrinkti iš stojamųjų egzaminų į aukštąsias mokyklas medžiagos, matematikos metodinių laikraščių ir žurnalų „Rugsėjo pirmoji“, „Matematika mokykloje“, „Kvantas“, vadovėlių, kurių sąrašas pateiktas vadovo pabaigoje. .

ĮVADAS

Iracionaliosios nelygybės yra tos, kuriose kintamieji arba kintamojo funkcija patenka po šaknies ženklu.

Pagrindinis standartinis neracionalių nelygybių sprendimo būdas yra paeiliui pakelti abi nelygybės puses į laipsnį, kad būtų pašalinta šaknis. Bet ši operacija dažnai lemia pašalinių šaknų atsiradimą ar net šaknų praradimą, t.y. veda prie nelygybės, kuri yra nelygi pradinei. Todėl turime labai atidžiai stebėti transformacijų lygiavertiškumą ir atsižvelgti tik į tas kintamojo reikšmes, kurioms nelygybė yra prasminga:

jei šaknis yra lyginis laipsnis, tai radikalioji išraiška turi būti neneigiama, o šaknies reikšmė taip pat turi būti neneigiamas skaičius.

jei laipsnio šaknis yra nelyginis skaičius, tai radikalioji išraiška gali būti bet koks realusis skaičius, o šaknies ženklas sutampa su radikalios išraiškos ženklu.

abi nelygybės puses galima pakelti iki lygiosios galios tik prieš tai įsitikinus, kad jos yra neneigiamos;

Abiejų nelygybės pusių pakėlimas į tą pačią nelyginę galią visada yra lygiavertė transformacija.

skyriusaš. Paprastų neracionalių nelygybių sprendimo pavyzdžiai

1 pavyzdžiai - 6:

Sprendimas:

1. a)
.

b)
.

2. a)

b)

3. a)
.

b)
.

4. a)

b)

5. a)
.

b)

6. a)
.

b)
.

7.

8. a)
.

b)

9. a)
.

b)

11.

12. Raskite mažiausią sveikąjį skaičių teigiama vertė x tenkinantis nelygybę

13. a) Raskite nelygybės sprendinių intervalo vidurio tašką

b) Raskite visų x sveikųjų skaičių, kurių nelygybė turi sprendinį 4, aritmetinį vidurkį

14. Raskite mažiausią neigiamas sprendimas nelygybės

15. a)
;

b)

II skyrius. Formos >g(x), g(x) nelygybės,g(x)

Lygiai taip pat, kaip spręsdami 1-4 pavyzdžius, samprotaujame spręsdami nurodyto tipo nelygybes.

7 pavyzdys : Išspręskite nelygybę
> X + 1

Sprendimas: DZ nelygybė: X-3. Dešinėje pusėje galimi du atvejai:

A) X + 10 (dešinioji dalis ne neigiamas) arba b) X + 1

Apsvarstykite a) Jei X+10, t.y. X- 1, tada abi nelygybės pusės yra neneigiamos. Kvadratiname abi puses: X + 3 >X+ 2X+ 1. Gauname kvadratinė nelygybė X+ X – 2 x x - 1, gauname -1

Apsvarstykite b) Jei X+1 x x -3

A) -1 ir b) atvejo sprendinių derinimas X-3, užsirašykime atsakymą: X
.

Sprendžiant 7 pavyzdį visus argumentus patogu surašyti taip:

Pradinė nelygybė yra lygiavertė nelygybių sistemų rinkiniui
.

X

Atsakymas: .

Formos nelygybių sprendimo samprotavimas

1.> g(x); 2. g(x); 3. g(x); 4. g(x) gali būti trumpai parašytas šių diagramų pavidalu:

aš. > g(x)

2. g(x)

3. g(x)

4. g(x)
.

8 pavyzdys :
X.

Sprendimas: Pradinė nelygybė yra lygiavertė sistemai

x>0

Atsakymas: X
.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

b)

b)
.

b)

b)

20. a)
x

b)

21. a)

Šioje pamokoje pažvelgsime į neracionalių nelygybių sprendimą ir pateiksime įvairių pavyzdžių.

Tema: Lygtys ir nelygybės. Lygčių ir nelygybių sistemos

Pamoka:Iracionalios nelygybės

Sprendžiant neracionalias nelygybes, gana dažnai tenka kiek pakelti abi nelygybės puses, tai gana atsakinga operacija. Prisiminkime savybes.

Abi nelygybės pusės gali būti pakeltos kvadratu, jei abi jos yra neneigiamos, tik tada gauname tikrą nelygybę iš tikrosios nelygybės.

Abi nelygybės pusės gali būti kubeliuojamos bet kuriuo atveju; jei pradinė nelygybė buvo teisinga, tada kubuojant gauname teisingą nelygybę.

Apsvarstykite formos nelygybę:

Radikali išraiška turi būti neneigiama. Funkcija gali turėti bet kokias reikšmes; reikia atsižvelgti į du atvejus.

Pirmuoju atveju abi nelygybės pusės yra neneigiamos, mes turime teisę ją paversti kvadratu. Antruoju atveju dešinė pusė yra neigiama, ir mes neturime teisės jos kvadratuoti. Šiuo atveju reikia pažvelgti į nelygybės reikšmę: čia yra teigiama išraiška ( Kvadratinė šaknis) yra didesnis nei neigiama išraiška, o tai reiškia, kad nelygybė visada tenkinama.

Taigi, turime tokią sprendimo schemą:

Pirmojoje sistemoje radikaliosios išraiškos atskirai neapsaugome, nes tenkinus antrąją sistemos nelygybę, radikalioji išraiška automatiškai turi būti teigiama.

1 pavyzdys – išspręskite nelygybę:

Pagal diagramą pereiname prie lygiavertės dviejų nelygybių sistemų rinkinio:

Iliustruojame:

Ryžiai. 1 – 1 pavyzdžio sprendimo iliustracija

Kaip matome, atsikratę iracionalumo, pavyzdžiui, kvadratuodami, gauname sistemų aibę. Kartais šis sudėtingas dizainas gali būti supaprastintas. Gautame rinkinyje turime teisę supaprastinti pirmąją sistemą ir gauti lygiavertį rinkinį:

Kaip savarankiškas pratimas, būtina įrodyti šių rinkinių lygiavertiškumą.

Apsvarstykite formos nelygybę:

Panašiai kaip ir ankstesnėje nelygybėje, nagrinėjame du atvejus:

Pirmuoju atveju abi nelygybės pusės yra neneigiamos, mes turime teisę ją paversti kvadratu. Antruoju atveju dešinė pusė yra neigiama, ir mes neturime teisės jos kvadratuoti. Šiuo atveju reikia pažvelgti į nelygybės reikšmę: čia teigiama išraiška (kvadratinė šaknis) yra mažesnė nei neigiama išraiška, o tai reiškia, kad nelygybė yra prieštaringa. Nereikia galvoti apie antrąją sistemą.

Mes turime lygiavertę sistemą:

Kartais neracionalias nelygybes galima išspręsti grafiškai. Šis metodas taikomas, kai galima gana nesunkiai sudaryti atitinkamus grafikus ir rasti jų susikirtimo taškus.

2 pavyzdys – išspręskite nelygybes grafiškai:

A)

b)

Pirmąją nelygybę jau išsprendėme ir žinome atsakymą.

Norint grafiškai išspręsti nelygybes, reikia sukonstruoti funkcijos grafiką kairėje ir funkcijos grafiką dešinėje.

Ryžiai. 2. Funkcijų grafikai ir

Norint nubraižyti funkcijos grafiką, reikia paversti parabolę į parabolę (veidrodiuoti ją y ašies atžvilgiu), o gautą kreivę perkelti 7 vienetais į dešinę. Grafikas tai patvirtina šią funkciją monotoniškai mažėja savo apibrėžimo srityje.

Funkcijos grafikas yra tiesi linija ir ją lengva sudaryti. Susikirtimo taškas su y ašimi yra (0;-1).

Pirmoji funkcija monotoniškai mažėja, antroji monotoniškai didėja. Jei lygtis turi šaknį, tada ji yra vienintelė, kurią lengva atspėti iš grafiko: .

Kai argumento reikšmė mažesnė už šaknį, parabolė yra virš tiesės. Kai argumento reikšmė yra nuo trijų iki septynių, tiesė eina virš parabolės.

Turime atsakymą:

Efektyvus metodas Iracionalioms nelygybėms spręsti naudojamas intervalų metodas.

3 pavyzdys – išspręskite nelygybes intervalų metodu:

A)

b)

Pagal intervalų metodą reikia laikinai nutolti nuo nelygybės. Norėdami tai padaryti, viską perkelkite į pateiktą nelygybę kairė pusė(dešinėje gaukite nulį) ir įveskite funkciją, lygią kairėje pusėje:

Dabar turime ištirti gautą funkciją.

ODZ:

Šią lygtį jau išsprendėme grafiškai, todėl neapsiribojame šaknies nustatymu.

Dabar reikia pasirinkti pastovaus ženklo intervalus ir kiekvienam intervalui nustatyti funkcijos ženklą:

Ryžiai. 3. Ženklo pastovumo intervalai pvz 3

Prisiminkime, kad norint nustatyti intervalo požymius, reikia paimti bandomąjį tašką ir pakeisti jį į funkciją, funkcija išsaugos gautą ženklą per visą intervalą.

Patikrinkime vertę ribiniame taške:

Atsakymas akivaizdus:

Apsvarstykite šiuos nelygybės tipus:

Pirmiausia užsirašykime ODZ:

Šaknys egzistuoja, jos neneigiamos, galime kvadratuoti abi puses. Mes gauname:

Gavome lygiavertę sistemą:

Gautą sistemą galima supaprastinti. Patenkinus antrąją ir trečiąją nelygybes, pirmoji yra teisinga automatiškai. Mes turime::

4 pavyzdys – išspręskite nelygybę:

Veikiame pagal schemą – gauname lygiavertę sistemą.

Norint gerai išspręsti šios temos uždavinius, reikia puikiai įsisavinti teoriją iš kai kurių ankstesnių temų, ypač iš temų „Iracionalios lygtys ir sistemos“ bei „Racionalios nelygybės“. Dabar užrašykime vieną iš pagrindinių teoremų, naudojamų sprendžiant iracionalias nelygybes (t. y. nelygybes su šaknimis). Taigi, jei abi funkcijos f(x) Ir g(x) yra neneigiami, tada nelygybė:

Tolygu tokiai nelygybei:

Kitaip tariant, jei nelygybės kairėje ir dešinėje yra neneigiamos išraiškos, tada šią nelygybę galima saugiai pakelti į bet kurią galią. Na, o jei reikia pakelti visą nelygybę iki nelyginio laipsnio, tai šiuo atveju net nebūtina reikalauti, kad kairioji ir dešinė nelygybės pusės būtų neneigiamos. Taigi, bet kokia nelygybė be apribojimų gali būti pakelta nelygine galia. Dar kartą pabrėžkime, kad norint pakelti nelygybę iki lygiosios galios, būtina įsitikinti, kad abi šios nelygybės pusės yra neneigiamos.

Ši teorema tampa labai aktuali būtent iracionaliose nelygybėse, t.y. nelygybėse su šaknimis, kur sprendžiant daugumą pavyzdžių, reikia iki tam tikro laipsnio pakelti nelygybes. Žinoma, esant neracionalioms nelygybėms, reikia labai atidžiai atsižvelgti į ODZ, kuris daugiausia susidaro iš dviejų standartinių sąlygų:

• Lyginių laipsnių šaknyse turi būti neneigiamų išraiškų;
• Trupmenų vardikliuose neturi būti nulių.

Prisiminkime ir tai Lyginės šaknies reikšmė visada yra neneigiama.

Remiantis tuo, kas buvo pasakyta, jei neracionalioji nelygybė turi daugiau nei du kvadratinės šaknys, tada prieš statant kvadratu nelygybę (ar kitą lyginį laipsnį), reikia įsitikinti, kad kiekvienoje nelygybės pusėje yra neneigiamų išraiškų, t.y. kvadratinių šaknų suma. Jei vienoje nelygybės pusėje yra šaknų skirtumas, tai iš anksto nieko negalima žinoti apie tokio skirtumo ženklą, o tai reiškia, kad nelygybės pakelti iki lygiosios galios neįmanoma. Tokiu atveju šaknis, turinčias priešais minuso ženklus, reikia perkelti į priešingas nelygybės puses (iš kairės į dešinę arba atvirkščiai), todėl minuso ženklai prieš šaknis pasikeis į pliusus, o tik šaknų sumos bus gautos iš abiejų nelygybės pusių. Tik po to visa nelygybė gali būti išlyginta kvadratu.

Kaip ir kitose matematikos temose, spręsdami neracionalias nelygybes galite naudoti kintamasis pakeitimo metodas. Svarbiausia nepamiršti, kad įvedus pakeitimą nauja išraiška turėtų tapti paprastesnė ir joje neturėtų būti senojo kintamojo. Be to, reikia nepamiršti atlikti atvirkštinio pakeitimo.

Apsigyvenkime ties keletu gana paprastų, bet įprastų neracionalių nelygybių tipų. Pirmoji tokių nelygybių rūšis yra kai lyginamos dvi lyginio laipsnio šaknys, t.y. yra formos nelygybė:

Ši nelygybė turi neneigiamų išraiškų iš abiejų pusių, todėl ją galima saugiai pakelti iki 2 laipsnio n, po kurio, atsižvelgiant į ODZ, gauname:

Atkreipkite dėmesį, kad ODZ yra parašytas tik radikaliai išraiškai, kuri yra mažesnė. Kita išraiška automatiškai bus didesnė už nulį, nes ji yra didesnė už pirmąją išraišką, kuri savo ruožtu yra didesnė už nulį.

Tuo atveju, kai Manoma, kad lygi šaknis yra didesnė už kokią nors racionalią išraišką

Tokios nelygybės sprendimas atliekamas pereinant prie dviejų sistemų rinkinio:

Ir galiausiai tuo atveju, kai manoma, kad lyginio laipsnio šaknis yra mažesnė už kokią nors racionalią išraišką, t.y. tuo atveju, kai yra neracionali formos nelygybė:

Tokios nelygybės sprendimas atliekamas pereinant į sistemą:

Tais atvejais, kai lyginamos dvi nelyginio laipsnio šaknys arba manoma, kad nelyginio laipsnio šaknis yra didesnė arba mažesnė už kokią nors racionalią išraišką, galite tiesiog pakelti visą nelygybę iki norimo nelyginio laipsnio ir taip atsikratyti visų šaknys. Tokiu atveju papildomo ODZ neatsiranda, nes nelygybės gali būti pakeltos iki nelyginės galios be apribojimų, o po nelyginių galių šaknimis gali būti bet kokio ženklo išraiškos.

Apibendrintas intervalo metodas

Tuo atveju, kai yra sudėtinga neracionali lygtis, kuri nepatenka į nė vieną iš aukščiau aprašytų atvejų ir kurios negalima išspręsti padidinus iki tam tikros galios, turite naudoti apibendrintas intervalų metodas, kuris yra toks:

• Apibrėžkite DL;
• Transformuokite nelygybę taip, kad dešinėje pusėje būtų nulis (kairėje pusėje, jei įmanoma, sumažinkite iki Bendras vardiklis, faktorizuoti ir pan.);
• Suraskite visas skaitiklio ir vardiklio šaknis ir nubraižykite jas ant skaičių ašies, o jei nelygybė nėra griežta, nupieškite skaitiklio šaknis, bet bet kuriuo atveju palikite vardiklio šaknis išbrauktas;
• Raskite visos išraiškos ženklą kiekviename intervale, pakeisdami skaičių iš duoto intervalo į transformuotą nelygybę. Šiuo atveju, einant per ašies taškus, jokiu būdu kaitalioti ženklų nebegalima. Būtina nustatyti kiekvieno intervalo išraiškos ženklą, pakeičiant intervalo reikšmę į šią išraišką ir tt kiekvienam intervalui. Tai nebeįmanoma (tai iš esmės yra skirtumas tarp apibendrinto intervalo metodo ir įprasto);
• Raskite ODZ ir intervalų, kurie tenkina nelygybę, sankirtą, bet nepraraskite atskirų taškų, kurie tenkina nelygybę (skaitiklio šaknys negriežtose nelygybėse), ir nepamirškite iš atsakymo neįtraukti visų nelygybės šaknų. vardiklis visose nelygybėse.

• Atgal
• Persiųsti

Kaip sėkmingai pasiruošti fizikos ir matematikos KT?

Norint sėkmingai pasiruošti fizikos ir matematikos KT, be kita ko, būtina įvykdyti tris svarbiausias sąlygas:

1. Išstudijuokite visas temas ir atlikite visus šios svetainės mokomojoje medžiagoje pateiktus testus ir užduotis. Norėdami tai padaryti, jums nieko nereikia, o būtent: kiekvieną dieną skirkite tris ar keturias valandas pasiruošimui fizikos ir matematikos KT, teorijos studijoms ir problemų sprendimui. Faktas yra tas, kad kompiuterinė tomografija yra egzaminas, kuriame neužtenka tik fizikos ar matematikos išmanymo, reikia ir greitai ir be nesėkmių jį išspręsti. didelis skaičius užduotys skirtingomis temomis ir įvairaus sudėtingumo. Pastarųjų galima išmokti tik išsprendus tūkstančius problemų.
2. Išmokite visas fizikos formules ir dėsnius, o matematikoje – formules ir metodus. Tiesą sakant, tai taip pat labai paprasta padaryti, fizikoje yra tik apie 200 būtinų formulių, o matematikoje - dar šiek tiek mažiau. Kiekviename iš šių dalykų yra apie keliolika standartinių metodų, kaip išspręsti pagrindinio sudėtingumo problemas, kurių taip pat galima išmokti, taigi, visiškai automatiškai ir be sunkumų reikiamu laiku išspręsti didžiąją dalį KT. Po to teks galvoti tik apie sunkiausias užduotis.
3. Dalyvaukite visuose trijuose fizikos ir matematikos pratybų etapuose. Kiekviename RT galima apsilankyti du kartus ir nuspręsti dėl abiejų variantų. Vėlgi, KT, be gebėjimo greitai ir efektyviai spręsti problemas, formulių ir metodų išmanymo, taip pat turite mokėti tinkamai planuoti laiką, paskirstyti jėgas ir, svarbiausia, teisingai užpildyti atsakymo formą, be supainioti atsakymų ir problemų skaičius arba savo pavardę. Taip pat RT metu svarbu priprasti prie klausimų uždavimo problemose stiliaus, kuris nepasiruošusiam DT žmogui gali pasirodyti labai neįprastas.

Sėkmingas, kruopštus ir atsakingas šių trijų punktų įgyvendinimas leis jums pasirodyti KT puikus rezultatas, maksimaliai, ką sugebate.

Radai klaidą?

Jei manote, kad radote klaidą mokomoji medžiaga, tada prašau parašyti apie tai el. Taip pat galite pranešti apie klaidą Socialinis tinklas(). Laiške nurodykite dalyką (fizika ar matematika), temos ar testo pavadinimą arba numerį, uždavinio numerį arba vietą tekste (puslapyje), kur, jūsų nuomone, yra klaida. Taip pat aprašykite, kokia yra įtariama klaida. Jūsų laiškas neliks nepastebėtas, klaida bus arba ištaisyta, arba jums bus paaiškinta, kodėl tai nėra klaida.

Ir tik tuo atveju primename, kad tai galite padaryti mūsų svetainėje. Dabar ... Staiga tu nežinai.

Svarbi pastaba!Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Norėdami tai padaryti, paspauskite CTRL+F5 („Windows“ sistemoje) arba Cmd + R („Mac“).

ODZ

Ar prisimeni, kas yra ODZ?

Pavyzdžiui, lygtyje yra kvadratinė šaknis. Ir kvadratinė šaknis neturi reikšmės, jei radikali išraiška yra neigiama. Tai yra, į tokiu atveju DLZ yra nelygybių sprendimai.

Nereikia ieškoti ODZ kiekvienoje problemoje, kurioje yra šaknis.

Paimkite, pavyzdžiui, šią užduotį:

Kvadratuodami gauname, tai yra radikali išraiška automatiškai yra neneigiama! Tai kam papildomas rašymas?

Tačiau kai kuriais atvejais tai gali būti labai naudinga. Be to, kartais galite išspręsti pavyzdį tiesiog suradę ODZ. Pavyzdžiui:

Tačiau mes prisimename, kad kvadratinė šaknis visada yra neneigiama. Štai kodėl jis visada bus didesnis. Tai reiškia, kad problemos sprendimas bus ODZ:

Formos nelygybės.

Natūralu, kad nelygybės ženklas negali būti griežtas.

Kaip išspręsti šią nelygybę?

Pirmiausia prisiminkime, kad funkcija yra monotoniška, tai yra, kuo didesnė radikali išraiška, tuo didesnė pati šaknis. Todėl iš dviejų šaknų ta, kurios radikalų išraiška yra didesnė, yra didesnė.

Bet ne veltui neseniai prisiminėme apie ODZ. Ar yra šios nelygybės ribos?

Iš tiesų, kad nelygybė turėtų prasmę, būtina, kad abi radikalios išraiškos būtų neneigiamos:

Tačiau kadangi pirmoji išraiška yra didesnė už antrąją, pakanka reikalauti, kad tik antroji būtų neneigiama:

Kaip atrodys ši taisyklė, jei nelygybė nėra griežta? Kaip šitas:

Pagalvokite patys, kodėl taip yra.

Dabar abi nelygybės pusės yra neneigiamos, o tai reiškia, kad galime jas kvadratuoti:

Dabar mes išsprendžiame naudodami šabloną:

Dabar reikia palyginti skaičius ir. Prisiminkime temą:

Tada sistema taps tokia:

Formos nelygybės.

Čia viskas yra šiek tiek paprasčiau: kadangi šaknis yra ne neigiama, tada dešinė šios nelygybės pusė turi būti ne neigiama:

Laipsnio šaknys yra didesnės

Jei nelygybės šaknis nėra kvadratas, jos laipsnio paritetas yra svarbus.

I. Lyginio laipsnio šaknys.

Šaknys ir kt. laipsniai yra labai panašūs vienas į kitą, o lygčių sprendimo su jais principas yra visiškai vienodas. Faktas yra tas, kad lygiąją šaknį visada galima sumažinti iki kvadratinės šaknies (atminkite temą!):

Pavyzdžiui:

II. Nelyginio laipsnio šaknys.

Su keistomis galiomis (,…) viskas daug paprasčiau!

Faktas yra tas, kad nelyginę šaknį galima paimti iš bet kurio skaičiaus! (Vėlgi, jei to nežinojote, prisiminkite temą!)

Ką tai reiškia?

Dabar jokios papildomos sąlygos, jokių apribojimų – tiesiog viską pakeliame iki reikiamo laipsnio ir išsprendžiame:

IRACIONALIOS NELYGYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Neracionali nelygybė yra nelygybė, kurios šaknyje yra kintamasis

1. Formos nelygybės.

2. Formos nelygybės arba.

3. Formos nelygybės.

4. Formos nelygybės.

5. Formos nelygybės.

6. Lyginio laipsnio šaknys.

Pavyzdžiui:

7. Nelyginio laipsnio šaknys.

Nelyginę šaknį galima paimti iš bet kurio skaičiaus!

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą, stojant į koledžą su biudžetu ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje - 299 rubliai.
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - 999 rubliai.

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Antruoju atveju mes tau duosime simuliatorius „6000 problemų su sprendimais ir atsakymais kiekvienai temai, visuose sudėtingumo lygiuose“. Tikrai pakaks į rankas paimti bet kokios temos problemas.

Tiesą sakant, tai yra daug daugiau nei tik treniruoklis – visa mokymo programa. Jei reikia, galite naudotis ir NEMOKAMAI.

Prieiga prie visų tekstų ir programų suteikiama VISĄ svetainės gyvavimo laikotarpį.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Bet kokia nelygybė, kurios šaknyje yra funkcija, vadinama neracionalus. Yra dviejų tipų tokios nelygybės:

Pirmuoju atveju šaknis mažiau funkcijų g (x), antroje - daugiau. Jei g(x) – pastovus, nelygybė labai supaprastinta. Atkreipkite dėmesį: išoriškai šios nelygybės yra labai panašios, tačiau jų sprendimo schemos iš esmės skiriasi.

Šiandien išmoksime išspręsti neracionalias pirmojo tipo nelygybes – jos yra paprasčiausios ir suprantamiausios. Nelygybės ženklas gali būti griežtas arba negriežtas. Jiems tinka šis teiginys:

Teorema. Bet kokia neracionali formos nelygybė

Atitinka nelygybių sistemą:

Ar ne silpna? Pažiūrėkime, iš kur atsirado ši sistema:

1. f (x) ≤ g 2 (x) – čia viskas aišku. Tai yra pradinė nelygybė kvadratu;
2. f (x) ≥ 0 yra šaknies ODZ. Leiskite jums priminti: aritmetinė kvadratinė šaknis egzistuoja tik nuo neneigiamas skaičiai;
3. g(x) ≥ 0 yra šaknies diapazonas. Padalindami nelygybę kvadratu, sudeginame neigiamus dalykus. Dėl to gali atsirasti papildomų šaknų. Nelygybė g(x) ≥ 0 juos atkerta.

Daugelis studentų „užsikabina“ ant pirmosios sistemos nelygybės: f (x) ≤ g 2 (x) – ir visiškai pamiršta kitas dvi. Rezultatas nuspėjamas: neteisingas sprendimas, prarasti taškai.

Kadangi pakanka iracionalių nelygybių sudėtinga tema, pažvelkime į 4 pavyzdžius iš karto. Nuo pagrindinio iki tikrai sudėtingo. Visos problemos paimtos iš Maskvos valstybinio universiteto stojamųjų egzaminų. M. V. Lomonosovas.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Prieš mus yra klasika neracionali nelygybė: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 – konstanta. Mes turime:

Iš trijų nelygybių sprendimo pabaigoje liko tik dvi. Kadangi visada galioja nelygybė 2 ≥ 0. Perbraukime likusias nelygybes:

Taigi, x ∈ [−1,5; 0,5]. Visi taškai užtamsinti, nes nelygybės nėra griežtos.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Taikome teoremą:

Išspręskime pirmąją nelygybę. Norėdami tai padaryti, atskleisime skirtumo kvadratą. Mes turime:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x – 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Dabar išspręskime antrąją nelygybę. Ten irgi kvadratinis trinaris:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 – 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)