Kvadratinė nelygybė mažesnė už nulį. Kvadratinės nelygybės. Intervalinio metodo taikymo algoritmas

Kvadratinė nelygybė – „NUO ir IKI“.Šiame straipsnyje mes apsvarstysime kvadratinių nelygybių sprendimą, kuris yra vadinamas subtilybėmis. Rekomenduoju atidžiai išstudijuoti straipsnio medžiagą nieko neprarandant. Negalėsite iš karto įsisavinti straipsnio, rekomenduoju tai padaryti keliais būdais, informacijos yra daug.

Turinys:

Įvadas. Svarbu!

Įvadas. Svarbu!

Kvadratinė nelygybė yra formos nelygybė:

Jei imsite kvadratinę lygtį ir lygybės ženklą pakeisite bet kuriuo iš aukščiau pateiktų dalykų, gausite kvadratinę nelygybę. Išspręsti nelygybę reiškia atsakyti į klausimą, kokioms x reikšmėms duota nelygybė bus teisinga. Pavyzdžiai:

10 x 2 – 6 x+12 ≤ 0

2 x 2 + 5 x –500 > 0

– 15 x 2 – 2 x+13 > 0

8 x 2 – 15 x+45≠ 0

Kvadratinė nelygybė gali būti nurodyta netiesiogiai, pavyzdžiui:

10 x 2 – 6 x+14 x 2 –5 x +2≤ 56

2 x 2 > 36

8 x 2 <–15 x 2 – 2 x+13

0> – 15 x 2 – 2 x+13

Šiuo atveju būtina atlikti algebrines transformacijas ir perkelti ją į standartinę formą (1).

* Koeficientai gali būti ir trupmeniniai, ir neracionalūs, tačiau tokių pavyzdžių mokyklos programoje pasitaiko retai, o USE užduotyse jų visai nėra. Tačiau nebijokite, jei, pavyzdžiui, susitiksite:

Tai taip pat kvadratinė nelygybė.

Pirma, apsvarstykite paprastą sprendimo algoritmą, kuriam nereikia suprasti, kas yra kvadratinė funkcija ir kaip jos grafikas atrodo koordinačių plokštumoje koordinačių ašių atžvilgiu. Jei sugebate tvirtai ir ilgai atsiminti informaciją, reguliariai ją stiprindami praktika, tada algoritmas jums padės. Be to, jei jums, kaip sakoma, reikia išspręsti tokią nelygybę „iš karto“, tada algoritmas jums padės. Jo vadovaudamiesi nesunkiai įgyvendinsite sprendimą.

Jei mokotės mokykloje, primygtinai rekomenduoju pradėti studijuoti straipsnį nuo antrosios dalies, kurioje pateikiama visa sprendimo prasmė (žr. žemiau iš pastraipos -). Jei yra supratimas apie esmę, tuomet nereikės nesimokyti, neįsiminti nurodyto algoritmo, nesunkiai greitai išspręsite bet kokią kvadratinę nelygybę.

Žinoma, iš karto reikėtų pradėti aiškinimą nuo kvadratinės funkcijos grafiko ir paaiškinti pačią prasmę, bet nusprendžiau straipsnį „sukurti“ taip.

Dar vienas teorinis momentas! Pažvelkite į formulę, kaip kvadratinį trinarį padalyti į veiksnius:

kur x 1 ir x 2 yra kvadratinės lygties ax 2 šaknys+ bx+c=0

*Norint išspręsti kvadratinę nelygybę, reikės kvadratinį trinarį koeficientuoti.

Žemiau pateiktas algoritmas dar vadinamas intervalų metodu. Jis tinka formos nelygybėms spręsti f(x)>0, f(x)<0 , f(x)≥0 irf(x)≤0 . Atkreipkite dėmesį, kad gali būti daugiau nei du daugikliai, pavyzdžiui:

(x–10) (x+5) (x–1) (x+104) (x+6) (x–1)<0

Sprendimo algoritmas. intervalo metodas. Pavyzdžiai.

Atsižvelgiant į nelygybę kirvis 2 + bx+ c > 0 (bet koks ženklas).

1. Parašykite kvadratinę lygtį kirvis 2 + bx+ c = 0 ir mes tai išsprendžiame. Mes gauname x 1 ir x 2 yra kvadratinės lygties šaknys.

2. Pakeisti formulėje (2) koeficientą a ir šaknys. :

a(x – x 1 )(x – x 2)>0

3. Nustatykite intervalus skaičių tiesėje (lygybės šaknys padalija skaičių ašį į intervalus):

4. Nustatome intervalų (+ arba -) „ženklus“, į išraišką pakeisdami savavališką „x“ reikšmę iš kiekvieno gauto intervalo:

a(x – x 1 )(x – x2)

ir švęsti juos.

5. Belieka tik surašyti mus dominančius intervalus, jie pažymėti:

- ženklas "+", jei nelygybė buvo ">0" arba "≥0".

- ženklas "-", jei nelygybė buvo "<0» или «≤0».

PASTABA!!! Patys nelygybės ženklai gali būti:

griežtas yra ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Kaip tai paveiks sprendimo rezultatą?

Naudojant griežtus nelygybės ženklus, intervalo ribos NEĮTRAUKIAMOS į sprendimą, o atsakyme pats intervalas rašomas kaip ( x 1 ; x 2 ) yra apvalūs skliaustai.

Negriežtiems nelygybės ženklams intervalo ribos Įveskite sprendimą, o atsakymas rašomas kaip [ x 1 ; x 2 ] - laužtiniai skliaustai.

*Tai taikoma ne tik kvadratinėms nelygybėms. Kvadratinis skliaustas reiškia, kad pati intervalo riba yra įtraukta į sprendimą.

Tai pamatysite pavyzdžiuose. Pažvelkime į keletą, kad pašalintume visus klausimus apie tai. Teoriškai algoritmas gali atrodyti šiek tiek sudėtingas, iš tikrųjų viskas paprasta.

1 PAVYZDYS: Nuspręskite x 2 – 60 x+500 ≤ 0

Išsprendžiame kvadratinę lygtį x 2 –60 x+500=0

D = b 2 –4 ak = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Ieškoti šaknų:

Pakeičiame koeficientą a

x 2 –60 x+500 = (x-50) (x-10)

Nelygybę rašome formoje (х–50) (х–10) ≤ 0

Lygties šaknys skaičių eilutę padalija į intervalus. Parodykime juos skaičių eilutėje:

Gavome tris intervalus (–∞;10), (10;50) ir (50;+∞).

Nustatome intervalų „ženklus“, tai darome pakeisdami savavališkas kiekvieno gauto intervalo reikšmes į išraišką (x–50) (x–10) ir pažiūrime gauto „ženklo“ atitiktį pasirašyti nelygybę (х–50) (х–10) ≤ 0:

ties x=2 (x–50) (x–10) = 384 > 0 yra neteisingas

ties x = 20 (x–50) (x–10) = –300 < 0 верно

kai x=60 (x–50) (x–10) = 500 > 0 yra klaidinga

Sprendimas bus intervalas.

Visoms x reikšmėms iš šio intervalo nelygybė bus teisinga.

*Atkreipkite dėmesį, kad įtraukėme laužtinius skliaustus.

Jei x = 10 ir x = 50, nelygybė taip pat bus teisinga, tai yra, ribos įtraukiamos į sprendimą.

Atsakymas: x∊

Dar kartą:

- Intervalo ribos ĮTRAUKIAMOS į nelygybės sprendinį, kai sąlygoje yra ženklas ≤ arba ≥ (negriežta nelygybė). Tuo pačiu metu įprasta eskize gautas šaknis rodyti su HASHED apskritimu.

- Intervalo ribos NEĮSKAIČIUOTOS į nelygybės sprendimą, kai sąlygoje yra ženklas< или >(griežta nelygybė). Tuo pačiu metu eskize įprasta rodyti šaknį su UNSHATCHED apskritimu.

2 PAVYZDYS: Išspręskite x 2 + 4 x–21 > 0

Išsprendžiame kvadratinę lygtį x 2 + 4 x–21 = 0

D = b 2 –4 ak = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Ieškoti šaknų:

Pakeičiame koeficientą a ir šaknis į formulę (2), gauname:

x 2 + 4 x–21 = (x–3) (x+7)

Nelygybę rašome formoje (х–3) (х+7) > 0.

Lygties šaknys skaičių eilutę padalija į intervalus. Pažymėkime juos skaičių eilutėje:

*Nelygybė nėra griežta, todėl šaknų žymėjimas NĖRA užtamsintas. Gavome tris intervalus (–∞;–7), (–7;3) ir (3;+∞).

Mes nustatome intervalų „ženklus“, tai darome pakeisdami savavališkas šių intervalų reikšmes į išraišką (x–3) (x + 7) ir pažiūrime į nelygybės atitiktį. (х–3) (х+7)> 0:

kai x = -10 (-10-3) (-10 +7) = 39 > 0 tiesa

ties x \u003d 0 (0–3) (0 + 7) \u003d -21< 0 неверно

kai x=10 (10–3) (10 +7) = 119 > 0 tiesa

Sprendimas bus dviejų intervalų (–∞;–7) ir (3;+∞). Visoms x reikšmėms iš šių intervalų nelygybė bus teisinga.

*Atkreipkite dėmesį, kad įtraukėme skliaustus. Jei x = 3 ir x = -7, nelygybė bus neteisinga – ribos neįtrauktos į sprendimą.

Atsakymas: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

3 PAVYZDYS: Išspręskite – x 2 –9 x–20 > 0

Išsprendžiame kvadratinę lygtį – x 2 –9 x–20 = 0.

a = –1 b = –9 c = –20

D = b 2 –4 ak = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Ieškoti šaknų:

Pakeičiame koeficientą a ir šaknis į formulę (2), gauname:

– x 2 –9 x–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= – (x+5) (x+4)

Nelygybę rašome formoje –(x+5)(x+4) > 0.

Lygties šaknys skaičių eilutę padalija į intervalus. Pastaba skaičių eilutėje:

*Nelygybė griežta, todėl simboliai šaknims nėra užtamsinti. Gavome tris intervalus (–∞;–5), (–5; –4) ir (–4;+∞).

Mes nustatome intervalų „ženklus“, tai darome pakeisdami į išraišką –(x+5)(x+4) savavališkas šių intervalų vertes ir pažiūrėkite į nelygybės atitiktį –(x+5)(x+4)>0:

ties x= -10 - (-10+5)(-10 +4) = -30< 0 неверно

kai x = -4,5 - (-4,5 + 5) (-4,5 + 4) = 0,25 > 0 tiesa

ties x \u003d 0 - (0 + 5) (0 + 4) \u003d -20< 0 неверно

Sprendimas bus intervalas (-5; -4). Visoms jai priklausančioms "x" reikšmėms nelygybė bus teisinga.

*Atkreipkite dėmesį, kad ribos neįtrauktos į sprendimą. Jei x = -5 ir x = -4, nelygybė nebus teisinga.

KOMENTARUOTI!

Sprendžiant kvadratinę lygtį galime gauti vieną šaknį arba šaknų visai nebus, tuomet aklai naudojant šį metodą gali būti sunku nustatyti sprendinį.

Maža santrauka! Metodas yra geras ir patogus naudoti, ypač jei esate susipažinę su kvadratine funkcija ir žinote jos grafiko savybes. Jei ne, perskaitykite jį ir pereikite prie kito skyriaus.

Naudojant kvadratinės funkcijos grafiką. Rekomenduoti!

Kvadratinė yra formos funkcija:

Jos grafikas yra parabolė, parabolės šakos nukreiptos aukštyn arba žemyn:

Grafiką galima išdėstyti taip: jis gali kirsti x ašį dviejuose taškuose, gali liesti viename taške (viršuje), negali kirsti. Daugiau apie tai vėliau.

Dabar pažvelkime į šį metodą su pavyzdžiu. Visas sprendimo procesas susideda iš trijų etapų. Išspręskime nelygybę x 2 +2 x –8 >0.

Pirmas lygmuo

Išspręskite lygtį x 2 +2 x–8=0.

D = b 2 –4 ak = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Ieškoti šaknų:

Gavome x 1 \u003d 2 ir x 2 \u003d - 4.

Antrasis etapas

Parabolės kūrimas y=x 2 +2 x–8 pagal taškus:

Taškai – 4 ir 2 yra parabolės ir x ašies susikirtimo taškai. Viskas paprasta! Ką jie padare? Išsprendėme kvadratinę lygtį x 2 +2 x–8=0. Peržiūrėkite tokį jo įrašą:

0 = x2+2x-8

Nulis mums yra „y“ reikšmė. Kai y = 0, gauname parabolės susikirtimo su x ašimi taškų abscises. Galime sakyti, kad nulinė "y" reikšmė yra x ašis.

Dabar pažiūrėkite, kokios x reikšmės yra išraiška x 2 +2 x – 8 didesnis (ar mažesnis) už nulį? Pagal parabolės grafiką tai nesunku nustatyti, kaip sakoma, viskas matoma aiškiai:

1. Ties x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 bus teigiamas.

2. Prie -4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 bus neigiamas.

3. Jei x > 2, parabolės šaka yra virš x ašies. Duotajam x trinaris x 2 +2 x –8 bus teigiamas.

Trečias etapas

Iš parabolės iš karto matome, kuriai x išraiška x 2 +2 x–8 didesnis už nulį, lygus nuliui, mažesnis už nulį. Tai yra trečiojo sprendimo etapo esmė, ty pamatyti ir nustatyti paveiksle teigiamas ir neigiamas sritis. Rezultatą palyginame su pradine nelygybe ir užrašome atsakymą. Mūsų pavyzdyje būtina nustatyti visas x reikšmes, kurioms yra išraiška x 2 +2 x–8 Virš nulio. Tai padarėme antrame žingsnyje.

Belieka surašyti atsakymą.

Atsakymas: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Apibendrinant: pirmame žingsnyje apskaičiavę lygties šaknis, gautus taškus galime pažymėti x ašyje (tai parabolės susikirtimo taškai su x ašimi). Toliau schematiškai pastatome parabolę ir jau matome sprendimą. Kodėl eskizinis? Mums nereikia matematiškai tikslaus grafiko. Taip, ir įsivaizduokite, pavyzdžiui, jei šaknys yra 10 ir 1500, pabandykite sukurti tikslų grafiką lape, esančiame langelyje su tokia verčių diapazonu. Kyla klausimas! Na, gavome šaknis, na, pažymėjome jas ant x ašies, o pačios parabolės vietą - su šakomis aukštyn ar žemyn? Čia viskas paprasta! Koeficientas ties x 2 parodys:

- jei jis didesnis už nulį, tada parabolės šakos nukreiptos į viršų.

- jei mažesnis už nulį, tada parabolės šakos nukreiptos žemyn.

Mūsų pavyzdyje jis lygus vienetui, tai yra, teigiamas.

* Pastaba! Jei nelygybėje yra ne griežtas ženklas, tai yra ≤ arba ≥, tada skaičių eilutės šaknys turėtų būti užtamsintos, tai sąlyginai rodo, kad pati intervalo riba yra įtraukta į nelygybės sprendimą. Šiuo atveju šaknys nėra užtamsintos (išmušamos), nes mūsų nelygybė yra griežta (yra „>“ ženklas). Ką reiškia atsakymas, šiuo atveju dėkite ne laužtinius, o apvalius skliaustus (ribos į sprendimą neįtrauktos).

Daug parašyta, tikriausiai kažkas sutriko. Bet jei išspręsite bent 5 nelygybes naudodami paraboles, jūsų susižavėjimui nebus ribų. Viskas paprasta!

Taigi trumpai:

1. Nelygybę užrašome, suvedame į standartinę.

2. Užrašome kvadratinę lygtį ir ją išsprendžiame.

3. Nubraižome x ašį, pažymime gautas šaknis, schematiškai nubraižome parabolę, išsišakojame aukštyn, jei koeficientas ties x 2 yra teigiamas, arba šakojasi žemyn, jei jis neigiamas.

4. Nustatome vizualiai teigiamas arba neigiamas sritis ir užrašome atsakymą pagal pradinę nelygybę.

Apsvarstykite pavyzdžius.

1 PAVYZDYS: Nuspręskite x 2 –15 x+50 > 0

Pirmas lygmuo.

Išsprendžiame kvadratinę lygtį x 2 –15 x+50=0

D = b 2 –4 ak = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Ieškoti šaknų:

Antrasis etapas.

Mes statome ašį oh. Pažymėkime gautas šaknis. Kadangi mūsų nelygybė yra griežta, mes jų neužtemdysime. Schematiškai statome parabolę, ji yra šakomis į viršų, nes koeficientas x 2 yra teigiamas:

Trečias etapas.

Mes apibrėžiame vizualiai teigiamas ir neigiamas sritis, čia jas pažymėjome skirtingomis spalvomis, kad būtų aiškumo, to daryti negalima.

Užrašome atsakymą.

Atsakymas: x∊(–∞;5) U (10;∞).

* Ženklas U reiškia sąjungos sprendimą. Vaizdžiai tariant, sprendimas yra „šis“ IR „šis“ intervalas.

2 PAVYZDYS: Išspręskite – x 2 + x+20 ≤ 0

Pirmas lygmuo.

Išsprendžiame kvadratinę lygtį – x 2 + x+20=0

D = b 2 –4 ak = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Ieškoti šaknų:

Antrasis etapas.

Mes statome ašį oh. Pažymėkime gautas šaknis. Kadangi mūsų nelygybė nėra griežta, užtemdome šaknų žymėjimą. Schematiškai statome parabolę, ji yra šakomis žemyn, nes koeficientas x 2 yra neigiamas (lygus -1):

Trečias etapas.

Mes apibrėžiame vizualiai teigiamas ir neigiamas sritis. Palyginkite su pradine nelygybe (mūsų ženklas ≤ 0). Nelygybė bus teisinga x ≤ - 4 ir x ≥ 5.

Užrašome atsakymą.

Atsakymas: x∊(–∞;–4] U ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) arba x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .

3 pavyzdys

Išspręskite kvadratinę nelygybę - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

Sprendimas

Pirmiausia suraskime kvadratinio trinalio šaknis iš kairės nelygybės pusės:

D "\u003d 1 2 - - 1 7 - 7 \u003d 0 x 0 \u003d - 1 - 1 7 x 0 \u003d 7

Tai griežta nelygybė, todėl grafike naudojame „tuščią“ tašką. Su koordinate 7 .

Dabar turime nustatyti gautų intervalų (− ∞ , 7) ir (7 , + ∞) ženklus. Kadangi kvadratinio trinalio diskriminantas yra lygus nuliui, o pirmaujantis koeficientas yra neigiamas, surašome ženklus − , − :

Kadangi sprendžiame nelygybę su ženklu< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

Šiuo atveju sprendiniai yra abu intervalai (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .

Atsakymas:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) arba kitu žymėjimu x ≠ 7 .

4 pavyzdys

Ar kvadratinė nelygybė x 2 + x + 7< 0 решения?

Sprendimas

Raskime kvadratinio trinalio šaknis iš kairės nelygybės pusės. Tam randame diskriminantą: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . Diskriminantas yra mažesnis už nulį, todėl nėra tikrų šaknų.

Grafinis vaizdas atrodys kaip skaičių eilutė be joje pažymėtų taškų.

Nustatykime kvadratinio trinalio verčių ženklą. Pas D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

Tokiu atveju per tarpelius galėtume pritaikyti perėjimą su „-“ ženklu. Bet pas mus tokių spragų nėra. Taigi piešinys atrodo taip:

Skaičiuodami gavome tuščią rinkinį. Tai reiškia, kad ši kvadratinė nelygybė neturi sprendimų.

Atsakymas: Nr.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šiame skyriuje surinkome informaciją apie kvadratines nelygybes ir pagrindinius jų sprendimo būdus. Medžiagą įtvirtinsime pavyzdžių analize.

Kas yra kvadratinė nelygybė

Pažiūrėkime, kaip atskirti skirtingus nelygybių tipus pagal įrašo tipą ir iš jų pasirinkti kvadratines.

1 apibrėžimas

Kvadratinė nelygybė yra nelygybė, kuri atrodo taip a x 2 + b x + c< 0 , kur a , b ir c yra keletas skaičių ir a nelygu nuliui. x yra kintamasis ir vietoje ženklo < gali būti bet koks kitas nelygybės ženklas.

Antrasis kvadratinių lygčių pavadinimas yra „antrojo laipsnio nelygybė“. Antrojo vardo egzistavimą galima paaiškinti taip. Kairėje nelygybės pusėje yra antrojo laipsnio daugianaris – kvadratinis trinaris. Sąvokos „kvadratinės nelygybės“ taikymas kvadratinėms nelygybėms yra neteisingas, nes kvadratinės funkcijos pateikiamos formos lygtimis y = a x 2 + b x + c.

Štai kvadratinės nelygybės pavyzdys:

1 pavyzdys

Paimkime 5 x 2 – 3 x + 1 > 0. Šiuo atveju a = 5 , b = − 3 ir c = 1.

Arba ši nelygybė:

2 pavyzdys

– 2, 2 z 2 – 0, 5 z – 11 ≤ 0, kur a = − 2 , 2 , b = − 0 , 5 ir c = – 11.

Parodykime keletą kvadratinių nelygybių pavyzdžių:

3 pavyzdys

Ypatingą dėmesį reikėtų atkreipti į tai, kad koeficientas x2 laikoma nuliu. Tai paaiškinama tuo, kad kitu atveju gauname tiesinę formos nelygybę b x + c > 0, nes kvadratinis kintamasis, padaugintas iš nulio, pats taps lygus nuliui. Tuo pačiu metu koeficientai b ir c gali būti lygus nuliui tiek kartu, tiek atskirai.

4 pavyzdys

Tokios nelygybės pavyzdys x 2 – 5 ≥ 0.

Kvadratinių nelygybių sprendimo būdai

Yra trys pagrindiniai metodai:

2 apibrėžimas

• grafinis;
• intervalo metodas;
• per kairėje pusėje esančio dvinario kvadrato pasirinkimą.

Grafinis metodas

Šis metodas apima kvadratinės funkcijos grafiko sudarymą ir analizę y = a x 2 + b x + c kvadratinėms nelygybėms a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) . Kvadratinės nelygybės sprendimas yra intervalai arba intervalai, kuriuose nurodyta funkcija įgauna teigiamas ir neigiamas reikšmes.

Tarpų metodas

Kvadratinę nelygybę galite išspręsti vienu kintamuoju, naudodami intervalų metodą. Metodas tinka bet kokioms nelygybėms išspręsti, o ne tik kvadratinėms. Metodo esmė – nustatyti intervalų, į kuriuos koordinačių ašis dalijama iš trinalio nulių, ženklus. a x 2 + b x + c jei galima.

Už nelygybę a x 2 + b x + c< 0 sprendiniai yra intervalai su minuso ženklu nelygybei a x 2 + b x + c > 0, intervalai su pliuso ženklu. Jei turime reikalą su negriežtomis nelygybėmis, tai sprendimas tampa intervalu, apimančiu taškus, atitinkančius trinalio nulius.

Dvinalio kvadrato parinkimas

Kvadratinės nelygybės kairėje pusėje esančio dvinario kvadrato parinkimo principas yra atlikti lygiavertes transformacijas, leidžiančias pereiti prie formos (x − p) 2 ekvivalentinės nelygybės sprendinio.< q (≤ , >, ≥) , kur p ir q- kai kurie skaičiai.

Prie kvadratinių nelygybių galima prieiti pasitelkus ekvivalentines transformacijas iš kitų tipų nelygybių. Tai galima padaryti įvairiais būdais. Pavyzdžiui, perstatant terminus tam tikroje nelygybėje arba perkeliant terminus iš vienos dalies į kitą.

Paimkime pavyzdį. Apsvarstykite lygiavertę nelygybės transformaciją 5 ≤ 2 x − 3 x2. Jei visus terminus perkelsime iš dešinės pusės į kairę, tai gausime kvadratinę formos nelygybę 3 x 2 – 2 x + 5 ≤ 0.

5 pavyzdys

Būtina rasti nelygybės 3 (x − 1) (x + 1) sprendinių aibę< (x − 2) 2 + x 2 + 5 .

Sprendimas

Norėdami išspręsti problemą, naudojame sutrumpinto daugybos formules. Norėdami tai padaryti, surenkame visus terminus kairėje nelygybės pusėje, atidarome skliaustus ir pateikiame panašius terminus:

3 (x - 1) (x + 1) - (x - 2) 2 - x 2 - 5< 0 , 3 · (x 2 − 1) − (x 2 − 4 · x + 4) − x 2 − 5 < 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 < 0 , x 2 + 4 · x − 12 < 0 .

Gavome ekvivalentinę kvadratinę nelygybę, kurią galima išspręsti grafiškai, nustatant diskriminanto ir susikirtimo taškus.

D’ = 2 2 − 1 (− 12) = 16, x 1 = −6, x 2 = 2

Sukūrę grafiką, matome, kad sprendinių aibė yra intervalas (− 6 , 2) .

Atsakymas: (− 6 , 2) .

Iracionalios ir logaritminės nelygybės yra nelygybių, kurios dažnai redukuojasi į kvadratus, pavyzdys. Taigi, pavyzdžiui, nelygybė 2 x 2 + 5< x 2 + 6 · x + 14

yra lygiavertė kvadratinei nelygybei x 2 – 6 x – 9< 0 , o logaritminė nelygybė log 3 (x 2 + x + 7) ≥ 2 nelygybei x 2 + x - 2 ≥ 0.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šiame straipsnyje yra medžiagos, apimančios temą " kvadratinių nelygybių sprendimas“. Pirmiausia parodoma, kas yra kvadratinės nelygybės su vienu kintamuoju, pateikiama jų bendroji forma. Ir tada išsamiai analizuojama, kaip išspręsti kvadratines nelygybes. Pateikiami pagrindiniai sprendimo būdai: grafinis metodas, intervalų metodas ir dvinario kvadrato paryškinimas kairėje nelygybės pusėje. Pateikiami tipinių pavyzdžių sprendimai.

Puslapio naršymas.

Kas yra kvadratinė nelygybė?

Natūralu, kad prieš kalbant apie kvadratinių nelygybių sprendimą, reikia aiškiai suprasti, kas yra kvadratinė nelygybė. Kitaip tariant, jūs turite mokėti atskirti kvadratines nelygybes nuo kitų tipų nelygybių pagal įrašo tipą.

Apibrėžimas.

Kvadratinė nelygybė yra a x 2 +b x+c formos nelygybė<0 (вместо знака >gali būti bet koks kitas nelygybės ženklas ≤, >, ≥), kur a, b ir c yra kai kurie skaičiai, o a≠0, o x yra kintamasis (kintamasis gali būti žymimas bet kuria kita raide).

Iškart duokime kvadratinėms nelygybėms kitą pavadinimą - antrojo laipsnio nelygybė. Šis pavadinimas paaiškinamas tuo, kad kairėje nelygybių pusėje x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Taip pat kartais galite išgirsti, kad kvadratinės nelygybės vadinamos kvadratinėmis nelygybėmis. Tai nėra visiškai teisinga: „kvadratinės“ apibrėžimas reiškia funkcijas, pateiktas y=a x 2 +b x+c formos lygtimis. Taigi yra kvadratinės nelygybės ir kvadratines funkcijas, bet ne kvadratinės nelygybės.

Parodykime keletą kvadratinių nelygybių pavyzdžių: 5 x 2 −3 x+1>0 , čia a=5 , b=−3 ir c=1 ; −2,2 z 2 −0,5 z−11≤0, šios kvadratinės nelygybės koeficientai yra a=−2,2 , b=−0,5 ir c=−11 ; , tokiu atveju .

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės nelygybės apibrėžime koeficientas a, esantis x 2, laikomas ne nuliu. Tai suprantama, koeficiento a lygybė nuliui iš tikrųjų „pašalins“ kvadratą, o mes susidursime su b x + c>0 formos tiesine nelygybe be kintamojo kvadrato. Tačiau koeficientai b ir c gali būti lygūs nuliui tiek atskirai, tiek vienu metu. Štai tokių kvadratinių nelygybių pavyzdžiai: x 2 −5≥0 , čia kintamojo x koeficientas b lygus nuliui; −3 x 2 −0,6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 ir b ir c yra lygūs nuliui.

Kaip išspręsti kvadratines nelygybes?

Dabar jus gali sugluminti klausimas, kaip išspręsti kvadratines nelygybes. Iš esmės naudojami trys pagrindiniai metodai:

• grafinis metodas (arba, kaip A. G. Mordkovičius, funkcinis-grafinis),
• intervalo metodas,
• ir kvadratinių nelygybių sprendimas paryškinant dvinario kvadratą kairėje pusėje.

Grafiškai

Iš karto padarykime išlygą, kad kvadratinių nelygybių sprendimo būdas, kurį pradedame nagrinėti, algebros mokykliniuose vadovėliuose nėra vadinamas grafiniu. Tačiau iš esmės jis toks ir yra. Be to, pirmoji pažintis su grafinis nelygybių sprendimo būdas paprastai prasideda tada, kai iškyla klausimas, kaip išspręsti kvadratines nelygybes.

Grafinis kvadratinių nelygybių a x 2 +b x+c sprendimo būdas<0 (≤, >, ≥) yra analizuoti kvadratinės funkcijos y=a x 2 +b x+c grafiką ir rasti intervalus, kuriuose nurodyta funkcija įgauna neigiamas, teigiamas, neteigiamas arba neneigiamas reikšmes. Šie intervalai sudaro kvadratinių nelygybių a x 2 +b x+c sprendinius<0 , a·x 2 +b·x+c>0, a x 2 +b x+c≤0 ir a x 2 +b x+c≥0 atitinkamai.

intervalo metodas

Kvadratinėms nelygybėms spręsti vienu kintamuoju, be grafinio metodo, gana patogus yra intervalinis metodas, kuris pats savaime yra labai universalus ir tinkamas spręsti įvairioms nelygybėms, ne tik kvadratinėms. Jo teorinė pusė yra už 8, 9 klasių algebros kurso ribų, kai jie mokosi spręsti kvadratines nelygybes. Todėl čia nesigilinsime į teorinį intervalų metodo pagrindimą, o sutelksime dėmesį į tai, kaip jo pagalba sprendžiamos kvadratinės nelygybės.

Intervallinio metodo esmė kvadratinių nelygybių a x 2 +b x + c sprendinio atžvilgiu<0 (≤, >, ≥), susideda iš ženklų, turinčių kvadratinio trinalio a x 2 + b x + c reikšmes intervaluose, į kuriuos koordinačių ašis yra padalinta iš šio trinalio nulių (jei yra), nustatymas. Tarpai su minuso ženklais sudaro kvadratinės nelygybės a x 2 +b x+c sprendinius<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , o sprendžiant negriežtas nelygybes, prie nurodytų intervalų pridedami trinalio nulius atitinkantys taškai.

Susipažinti su visomis šio metodo detalėmis, jo algoritmu, ženklų dėjimo ant intervalų taisyklėmis ir apsvarstyti paruoštus tipinių pavyzdžių sprendimus su pateiktomis iliustracijomis galite remdamiesi straipsnio, sprendžiančio kvadratines nelygybes intervalų metodu, medžiaga. .

Išskirdami dvinario kvadratą

Be grafinio metodo ir intervalo metodo, yra ir kitų būdų, leidžiančių išspręsti kvadratines nelygybes. Ir mes ateiname prie vieno iš jų, kuris yra pagrįstas dvinario kvadratu kairėje kvadratinės nelygybės pusėje.

Šio kvadratinių nelygybių sprendimo būdo principas yra atlikti lygiavertes nelygybės transformacijas, leidžiančias pereiti prie (x−p) 2 formos ekvivalentinės nelygybės sprendinio. , ≥), kur p ir q yra kai kurie skaičiai.

O kaip vyksta perėjimas į nelygybę (x−p) 2 , ≥) ir kaip ją išspręsti, straipsnio medžiagoje paaiškinamas kvadratinių nelygybių sprendimas, paryškinant dvinario kvadratą. Taip pat pateikiami kvadratinių nelygybių sprendimo tokiu būdu pavyzdžiai ir pateikiamos reikiamos grafinės iliustracijos.

Kvadratinės nelygybės

Praktikoje labai dažnai tenka susidurti su nelygybėmis, kurias galima redukuoti ekvivalentinėmis transformacijomis į kvadratines a x 2 +b x + c formos nelygybes.<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Pradėkime nuo paprasčiausių nelygybių, kurias galima sumažinti iki kvadratinių, pavyzdžių. Kartais, norint pereiti prie kvadratinės nelygybės, pakanka šios nelygybės terminus pertvarkyti arba perkelti iš vienos dalies į kitą. Pavyzdžiui, jei visus narius iš dešinės nelygybės 5≤2 x−3 x 2 pusės perkelsime į kairę, gausime kvadratinę nelygybę tokia forma, kokia nurodyta aukščiau 3 x 2 −2 x+5≤0. . Kitas pavyzdys: nelygybės 5+0.6 x 2 −x pertvarkymas kairėje pusėje<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

Mokykloje, algebros pamokose, mokantis spręsti kvadratines nelygybes, kartu susiduriama su racionaliųjų nelygybių sprendimas, sumažinant iki kvadrato. Jų sprendimas apima visų terminų perkėlimą į kairę pusę ir ten suformuotos išraiškos transformaciją į formą a x 2 +b x + c, vykdant . Apsvarstykite pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite nelygybės sprendimų rinkinį 3 (x−1) (x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .neracionali nelygybė yra lygiavertė kvadratinei nelygybei x 2 −6 x−9<0 , а logaritminė nelygybė – nelygybė x 2 +x−2≥0 .

Bibliografija.

• Algebra: vadovėlis 8 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2009. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovičius A. G. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 11 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams (profilio lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01027-2.