Kokia trikampė piramidė. Piramidė. Nupjauta piramidė

Trikampė piramidė yra piramidė, kurios pagrinde yra trikampis. Šios piramidės aukštis yra statmenas, nuleistas nuo piramidės viršaus iki pagrindo.

Piramidės aukščio radimas

Kaip sužinoti piramidės aukštį? Labai paprasta! Norėdami rasti bet kurios trikampės piramidės aukštį, galite naudoti tūrio formulę: V = (1/3) Sh, kur S yra pagrindo plotas, V yra piramidės tūris, h yra jos aukštis. Iš šios formulės išveskite aukščio formulę: norėdami rasti trikampės piramidės aukštį, turite padauginti piramidės tūrį iš 3, o tada padalyti gautą reikšmę iš pagrindo ploto, tai bus: h = (3V)/S. Kadangi trikampės piramidės pagrindas yra trikampis, galite naudoti formulę trikampio plotui apskaičiuoti. Jei žinome: trikampio S plotą ir jo kraštinę z, tai pagal ploto formulę S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, kur h – piramidės aukštis, γ yra trikampio kraštas; kampą tarp trikampio kraštinių ir pačių dviejų kraštinių, tada naudodami šią formulę: S = (1/2)γφsinQ, kur γ, φ yra trikampio kraštinės, randame trikampio plotą. Į kampo Q sinuso reikšmę reikia pasižiūrėti sinusų lentelėje, kurią galima rasti internete. Toliau ploto reikšmę pakeičiame aukščio formule: h = (2S)/γ. Jei atliekant užduotį reikia apskaičiuoti trikampės piramidės aukštį, tai piramidės tūris jau žinomas.

Taisyklinga trikampė piramidė

Raskite taisyklingos trikampės piramidės aukštį, tai yra piramidės, kurios visi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai, žinant briaunos γ dydį. Šiuo atveju piramidės kraštai yra lygiakraščio trikampio kraštinės. Taisyklingos trikampės piramidės aukštis bus: h = γ√(2/3), kur γ lygiakraščio trikampio kraštas, h piramidės aukštis. Jei pagrindo plotas (S) nežinomas ir pateikiamas tik daugiakampio briaunos ilgis (γ) ir tūris (V), tada reikia pakeisti ankstesnio žingsnio formulės kintamąjį. jo atitikmeniu, kuris išreiškiamas briaunos ilgiu. Trikampio plotas (reguliarus) yra lygus 1/4 šio trikampio kraštinės ilgio sandaugos iš kvadratinės šaknies iš 3. Šią formulę pakeičiame vietoj pagrindo ploto ankstesnėje formulėje. formulę, ir gauname tokią formulę: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Tetraedro tūrį galima išreikšti per jo krašto ilgį, tada iš figūros aukščio skaičiavimo formulės galite pašalinti visus kintamuosius ir palikti tik figūros trikampio paviršiaus kraštą. Tokios piramidės tūrį galima apskaičiuoti padalijus iš 12 iš sandaugos jos veido kubo ilgį iš kvadratinės šaknies iš 2.

Pakeitę šią išraišką į ankstesnę formulę, gauname tokią skaičiavimo formulę: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Taip pat į sferą galima įrašyti taisyklingą trikampę prizmę, o žinant tik rutulio spindulį (R) galima rasti paties tetraedro aukštį. Tetraedro briaunos ilgis: γ = 4R/√6. Kintamąjį γ pakeičiame šia išraiška ankstesnėje formulėje ir gauname formulę: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Tą pačią formulę galima gauti žinant į tetraedrą įbrėžto apskritimo spindulį (R). Tokiu atveju trikampio briaunos ilgis bus lygus 12 santykių tarp kvadratinė šaknis 6 ir spindulys. Šią išraišką pakeičiame ankstesne formule ir gauname: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kaip rasti taisyklingos keturkampės piramidės aukštį

Norėdami atsakyti į klausimą, kaip rasti piramidės aukščio ilgį, turite žinoti, kas yra taisyklinga piramidė. Keturkampė piramidė yra piramidė, kurios pagrindas yra keturkampis. Jei problemos sąlygomis turime: piramidės tūrį (V) ir pagrindo plotą (S), tada daugiakampio aukščio (h) apskaičiavimo formulė bus tokia - padalykite tūrį, padaugintą 3 pagal plotą S: h = (3V)/S. Duotas piramidės kvadratinis pagrindas, kurio tūris (V) ir kraštinės ilgis γ, ankstesnėje formulėje plotą (S) pakeiskite kraštinės ilgio kvadratu: S = γ 2 ; H = 3 V/γ2. Taisyklingos piramidės aukštis h = SO tiksliai eina per apskritimo centrą, kuris yra apibrėžtas šalia pagrindo. Kadangi šios piramidės pagrindas yra kvadratas, taškas O yra įstrižainių AD ir BC susikirtimo taškas. Turime: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Toliau stačiajame trikampyje SOC randame (naudojant Pitagoro teoremą): SO = √(SC 2 -OC 2). Dabar jūs žinote, kaip rasti įprastos piramidės aukštį.

Hipotezė: manome, kad piramidės formos tobulumą lemia jos formai būdingi matematiniai dėsniai.

Tikslas: Ištyrę piramidę kaip geometrinį kūną, paaiškinkite jos formos tobulumą.

Užduotys:

1. Pateikite matematinį piramidės apibrėžimą.

2. Ištirkite piramidę kaip geometrinį kūną.

3. Supraskite, kokias matematines žinias egiptiečiai įtraukė į savo piramides.

Privatūs klausimai:

1. Kas yra piramidė kaip geometrinis kūnas?

2. Kaip galima paaiškinti unikalią piramidės formą matematiniu požiūriu?

3. Kuo paaiškinami geometriniai piramidės stebuklai?

4. Kas paaiškina piramidės formos tobulumą?

Piramidės apibrėžimas.

PIRAMIDĖ (iš graikų pyramis, gen. pyramidos) - daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o likę paviršiai yra trikampiai, turintys bendrą viršūnę (brėžinys). Pagal pagrindo kampų skaičių piramidės skirstomos į trikampes, keturkampes ir kt.

PIRAMIDĖ - monumentalus pastatas su geometrine forma piramidės (kartais ir laiptuotos arba bokšto formos). Piramidėmis vadinami milžiniški senovės Egipto faraonų kapai III–II tūkstantmetyje prieš Kristų. e., taip pat senovės Amerikos šventyklų postamentai (Meksikoje, Gvatemaloje, Hondūre, Peru), siejami su kosmologiniais kultais.

Gali būti, kad graikiškas žodis „piramidė“ kilęs iš egiptiečių posakio per-em-us, t.y. iš termino, reiškiančio piramidės aukštį. Žymus rusų egiptologas V. Struvė manė, kad graikiškas „puram...j“ kilęs iš senovės egiptiečių „p“-mr.

Iš istorijos. Išstudijavę Atanasyano autorių vadovėlio „Geometrija“ medžiagą. Butuzovo ir kitų, sužinojome, kad: Daugiakampis, sudarytas iš n kampo A1A2A3 ... An ir n trikampių PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1, vadinamas piramide. Daugiakampis A1A2A3 ... An yra piramidės pagrindas, o trikampiai PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 šoniniai veidai piramidės, P – piramidės viršus, atkarpos PA1, PA2,…, PAn – šoninės briaunos.

Tačiau toks piramidės apibrėžimas egzistavo ne visada. Pavyzdžiui, senovės graikų matematikas, iki mūsų atėjusių teorinių matematikos traktatų autorius Euklidas, apibrėžia piramidę kaip vientisą figūrą, apribotą plokštumų, susiliejančių iš vienos plokštumos į vieną tašką.

Tačiau šis apibrėžimas buvo kritikuojamas jau senovėje. Taigi Heronas pasiūlė tokį piramidės apibrėžimą: „Tai figūra, apribota viename taške susiliejančių trikampių, kurių pagrindas yra daugiakampis“.

Mūsų grupė, palyginusi šiuos apibrėžimus, padarė išvadą, kad jie neturi aiškios „pamato“ sąvokos formuluotės.

Išnagrinėjome šiuos apibrėžimus ir radome Adrieno Marie Legendre apibrėžimą, kuris 1794 m. savo darbe „Geometrijos elementai“ apibrėžia piramidę taip: „Piramidė yra vientisa figūra, sudaryta iš trikampių, susiliejančių viename taške ir besibaigiančių skirtingose ​​jo pusėse. plokščias pagrindas“.

Mums atrodo, kad paskutinis apibrėžimas suteikia aiškų supratimą apie piramidę, nes ji mes kalbame apie kad pagrindas būtų plokščias. Kitas piramidės apibrėžimas pasirodė XIX amžiaus vadovėlyje: „piramidė yra kietasis kampas, kertamas plokštumos“.

Piramidė kaip geometrinis kūnas.

Tai. Piramidė yra daugiakampis, kurio vienas iš paviršių (pagrindas) yra daugiakampis, likusieji paviršiai (kraštinės) yra trikampiai, turintys vieną bendrą viršūnę (piramidės viršūnę).

Statmenas, nubrėžtas nuo piramidės viršaus iki pagrindo plokštumos, vadinamas aukščioh piramidės.

Be savavališkos piramidės, yra teisinga piramidė kurio pagrindu yra taisyklingas daugiakampis ir nupjauta piramidė.

Paveiksle yra piramidė PABCD, ABCD yra jos pagrindas, PO yra jos aukštis.

Plotas viso paviršiaus piramidė yra visų jos paviršių plotų suma.

Sfull = Sside + Smain, Kur Šoninė– šoninių paviršių plotų suma.

Piramidės tūris randama pagal formulę:

V=1/3Sbas. h, kur Sbas. - bazinis plotas, h- aukštis.

Taisyklingos piramidės ašis yra tiesi linija, kurioje yra jos aukštis.
Apothem ST yra taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis.

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas išreiškiamas taip: Sside. =1/2P h, kur P yra pagrindo perimetras, h- šoninio paviršiaus aukštis (taisyklingos piramidės apotema). Jei piramidę kerta plokštuma A'B'C'D', lygiagreti pagrindui, tada:

1) šoniniai šonkauliai ir aukštis šia plokštuma dalijami į proporcingas dalis;

2) skerspjūvyje gaunamas daugiakampis A’B’C’D’, panašus į pagrindą;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Nupjautinės piramidės pagrindai– panašūs daugiakampiai ABCD ir A`B`C`D`, šoniniai paviršiai yra trapecijos.

Aukštis nupjauta piramidė – atstumas tarp pagrindų.

Sutrumpintas tūris Piramidė randama pagal formulę:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Taisyklingos nupjautos piramidės šoninis paviršiaus plotas išreiškiamas taip: Pusė. = ½(P+P') h, kur P ir P’ yra bazių perimetrai, h- šoninio veido aukštis (įprasto sutrumpinto piramio apotema

Piramidės atkarpos.

Piramidės pjūviai plokštumų, einančių per jos viršūnę, yra trikampiai.

Atkarpa, einanti per du negretimus piramidės šoninius kraštus, vadinama įstrižainė pjūvis.

Jei atkarpa eina per tašką šoniniame krašte ir pagrindo šone, tada jos pėdsakas iki piramidės pagrindo plokštumos bus ši pusė.

Pjūvis, einantis per tašką, esantį ant piramidės paviršiaus, ir tam tikrą pjūvio pėdsaką pagrindinėje plokštumoje, tada konstrukcija turėtų būti atliekama taip:

· rasti tam tikro veido plokštumos ir piramidės pjūvio pėdsako susikirtimo tašką ir jį pažymėti;

sukonstruoti tiesią liniją, einanti per duotas taškas ir gautą susikirtimo tašką;

· pakartokite šiuos veiksmus su kitais veidais.

, kuris atitinka stačiojo trikampio kojelių santykį 4:3. Šis kojų santykis atitinka gerai žinomą stačiakampį trikampį, kurio kraštinės yra 3:4:5, kuris vadinamas „tobulu“, „šventuoju“ arba „egipto“ trikampiu. Pasak istorikų, „Egipto“ trikampiui buvo suteikta magiška prasmė. Plutarchas rašė, kad egiptiečiai visatos prigimtį palygino su „šventu“ trikampiu; vertikalią koją jie simboliškai prilygino vyrui, pagrindą – žmonai, o hipotenuzą – tai, kas gimsta iš abiejų.

Trikampio 3:4:5 lygybė yra teisinga: 32 + 42 = 52, kuri išreiškia Pitagoro teoremą. Ar ne šią teoremą Egipto kunigai norėjo įamžinti statydami piramidę pagal trikampį 3:4:5? Sunku rasti sėkmingesnį pavyzdį, iliustruojantį Pitagoro teoremą, kurią egiptiečiai žinojo dar gerokai prieš Pitagoro atradimą.

Taigi, puikūs kūrėjai Egipto piramidės siekė nustebinti tolimus palikuonis savo žinių gilumu ir tai pasiekė pasirinkę „auksinį“ stačiakampį trikampį kaip „pagrindinę geometrinę idėją“ Cheopso piramidei, o „šventąjį“ arba „Egipto“ trikampį Khafre piramidei. .

Labai dažnai savo tyrimuose mokslininkai naudoja aukso santykio proporcijų piramidžių savybes.

Matematikoje enciklopedinis žodynas Pateikiamas toks aukso pjūvio apibrėžimas – tai harmoninis padalijimas, padalijimas kraštutiniu ir vidutiniu santykiu – atkarpą AB padalijant į dvi dalis taip, kad jos didesnė dalis AC būtų vidurkis proporcingas visos atkarpos AB ir jos mažesnė dalis ŠV.

Algebrinis atkarpos auksinės pjūvio nustatymas AB = a redukuoja į lygties a išsprendimą: x = x: (a – x), iš kurios x yra apytiksliai lygus 0,62a. Santykis x gali būti išreikštas trupmenomis 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, kur 2, 3, 5, 8, 13, 21 yra Fibonačio skaičiai.

Geometrinė atkarpos AB aukso pjūvio konstrukcija atliekama taip: taške B atkuriamas statmenas AB, ant jo išdėstomas atkarpa BE = 1/2 AB, A ir E yra sujungti, DE = BE atleidžiama ir galiausiai AC = AD, tada tenkinama lygybė AB: CB = 2:3.

Auksinis santykis dažnai naudojamas meno kūriniuose, architektūroje ir randamas gamtoje. Ryškūs pavyzdžiai yra Apolono Belvederio ir Partenono skulptūra. Statant Partenoną buvo naudojamas pastato aukščio ir ilgio santykis ir šis santykis yra 0,618. Mus supantys objektai taip pat pateikia auksinio santykio pavyzdžių, pavyzdžiui, daugelio knygų įrišimo pločio ir ilgio santykis yra artimas 0,618. Atsižvelgiant į lapų išsidėstymą ant bendro augalų stiebo, galima pastebėti, kad tarp kas dviejų lapų porų trečiasis yra ties auksiniu santykiu (skaidrių). Kiekvienas iš mūsų „nešioja“ auksinį santykį su savimi „rankose“ - tai yra pirštų falangų santykis.

Dėl kelių matematinių papirusų atradimo egiptologai kai ką sužinojo apie senovės Egipto skaičiavimo ir matavimo sistemas. Juose esančias užduotis sprendė raštininkai. Vienas garsiausių yra Rhindo matematinis papirusas. Nagrinėdami šias problemas, egiptologai sužinojo, kaip senovės egiptiečiai elgėsi su įvairiais dydžiais, kurie atsirado skaičiuodami svorio, ilgio ir tūrio matmenis, kurie dažnai buvo susiję su trupmenomis, taip pat kaip jie tvarkė kampus.

Senovės egiptiečiai naudojo kampų skaičiavimo metodą, pagrįstą stačiojo trikampio aukščio ir pagrindo santykiu. Jie išreiškė bet kokį kampą gradiento kalba. Nuolydžio gradientas buvo išreikštas sveikojo skaičiaus santykiu, vadinamu "seced". Knygoje „Matematika faraonų amžiuje“ Richardas Pillinsas paaiškina: „Taisyklingos piramidės sekedas yra bet kurio iš keturių trikampių paviršių polinkis į pagrindo plokštumą, matuojamas n-tuoju horizontalių vienetų skaičiumi vertikaliam pakilimo vienetui. . Taigi šis matavimo vienetas yra lygiavertis mūsų šiuolaikiniam nuolydžio kampo kotangentui. Todėl egiptiečių žodis „seced“ yra susijęs su mūsų šiuolaikinis žodis"gradientas"".

Skaitmeninis piramidžių raktas yra jų aukščio ir pagrindo santykis. Praktiškai tai yra lengviausias būdas sukurti šablonus, reikalingus nuolat tikrinti teisingą pasvirimo kampą visos piramidės konstrukcijos metu.

Egiptologai mielai mus įtikintų, kad kiekvienas faraonas troško išreikšti savo individualumą, iš čia ir skiriasi kiekvienos piramidės polinkio kampai. Bet gali būti ir kita priežastis. Galbūt visi jie norėjo įkūnyti skirtingas simbolines asociacijas, paslėptas skirtingomis proporcijomis. Tačiau Khafre piramidės kampas (remiantis trikampiu (3:4:5) pasirodo trijose problemose, kurias pateikia Rhindo matematinio papiruso piramidės). Taigi šis požiūris buvo gerai žinomas senovės egiptiečiams.

Teisybės dėlei prieš egiptologus, kurie teigia, kad senovės egiptiečiai nežinojo apie 3:4:5 trikampį, 5 hipotenuzės ilgis niekada nebuvo paminėtas. Bet matematikos uždaviniai Klausimai dėl piramidžių visada sprendžiami pagal antrąjį kampą – aukščio ir pagrindo santykį. Kadangi hipotenuzės ilgis niekada nebuvo paminėtas, buvo padaryta išvada, kad egiptiečiai niekada neskaičiavo trečiosios pusės ilgio.

Gizos piramidėse naudotas aukščio ir pagrindo santykis neabejotinai buvo žinomas senovės egiptiečiams. Gali būti, kad šie santykiai kiekvienai piramidei buvo pasirinkti savavališkai. Tačiau tai prieštarauja skaičių simbolikos svarbai visų rūšių Egipto vaizduojamajame mene. Labai tikėtina, kad tokie santykiai buvo reikšmingi, nes išreiškė specifines religines idėjas. Kitaip tariant, visas Gizos kompleksas buvo pajungtas nuosekliam dizainui, sukurtam atspindėti tam tikrą dievišką temą. Tai paaiškintų, kodėl dizaineriai pasirinko skirtingus trijų piramidžių kampus.

Knygoje „The Orion Mystery“ Bauvalis ir Gilbertas pateikė įtikinamų įrodymų, siejančių Gizos piramides su Oriono žvaigždynu, ypač Oriono juostos žvaigždes. Tas pats žvaigždynas yra Izidės ir Ozyrio mite, todėl yra pagrindo vertinti kiekvieną piramidę kaip atstovauja vienai iš trijų pagrindinių dievybių – Ozyrio, Izidės ir Horo.

„GEOMETRIJI“ STEBUKLUAI.

Tarp grandiozinių Egipto piramidžių ji užima ypatingą vietą Didžioji faraono Cheopso piramidė (Chufu). Prieš pradėdami analizuoti Cheopso piramidės formą ir dydį, turėtume prisiminti, kokią matavimo sistemą naudojo egiptiečiai. Egiptiečiai turėjo tris ilgio vienetus: „uolektį“ (466 mm), kuri buvo lygi septynioms „delnams“ (66,5 mm), o tai, savo ruožtu, buvo lygi keturiems „pirštams“ (16,6 mm).

Panagrinėkime Cheopso piramidės matmenis (2 pav.), vadovaudamiesi nuostabioje ukrainiečių mokslininko Nikolajaus Vasiutinskio knygoje „Auksinė proporcija“ (1990) pateiktais argumentais.

Dauguma tyrinėtojų sutinka, kad, pavyzdžiui, piramidės pagrindo kraštinės ilgis GF lygus L= 233,16 m. Ši reikšmė beveik tiksliai atitinka 500 „alkūnių“. Visiškai atitiks 500 „alkūnių“, jei „alkūnės“ ilgis bus lygus 0,4663 m.

Piramidės aukštis ( H) tyrėjų vertinamas įvairiai nuo 146,6 iki 148,2 m Ir priklausomai nuo priimto piramidės aukščio, kinta visi jos geometrinių elementų ryšiai. Kokia yra piramidės aukščio įverčių skirtumų priežastis? Faktas yra tas, kad griežtai kalbant, Cheopso piramidė yra sutrumpinta. Jos viršutinė platforma šiandien yra maždaug 10 × 10 m, o prieš šimtmetį ji buvo 6 × 6 m. Akivaizdu, kad piramidės viršūnė buvo išardyta ir ji neatitinka originalios.

Vertinant piramidės aukštį, būtina į tai atsižvelgti fizinis veiksnys, kaip struktūros „juodraštis“. Už nugaros ilgas laikas veikiant kolosaliam slėgiui (siekiant 500 tonų 1 m2 apatinio paviršiaus), piramidės aukštis sumažėjo, palyginti su pradiniu aukščiu.

Koks buvo pradinis piramidės aukštis? Šį aukštį galima atkurti surandant pagrindinę piramidės „geometrinę idėją“.

2 pav.

1837 metais anglų pulkininkas G. Wise'as išmatavo piramidės veidų pasvirimo kampą: jis pasirodė lygus. a= 51°51". Šią reikšmę dauguma tyrinėtojų pripažįsta ir šiandien. Nurodyta kampo reikšmė atitinka liestinę (tg a), lygus 1,27306. Ši vertė atitinka piramidės aukščio santykį AC iki pusės pagrindo C.B.(2 pav.), tai yra A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

Ir čia mokslininkų laukė didelė staigmena!.png" width="25" height="24">= 1,272. Palyginus šią reikšmę su tg reikšme a= 1,27306, matome, kad šios vertės yra labai arti viena kitos. Jei imtume kampą a= 51°50", tai yra, sumažinkite ją tik viena lanko minute, tada vertę a taps lygus 1,272, tai yra, sutaps su reikšme. Pažymėtina, kad 1840 metais G. Wise'as pakartojo savo matavimus ir patikslino, kad kampo reikšmė a=51°50".

Šie matavimai paskatino tyrėjus padaryti tokią labai įdomią hipotezę: Cheopso piramidės trikampis ACB buvo pagrįstas ryšiu AC / C.B. = = 1,272!

Dabar apsvarstykite dešinįjį trikampį ABC, kuriame kojų santykis A.C. / C.B.= (2 pav.). Jei dabar stačiakampio kraštinių ilgiai ABC paskirti pagal x, y, z, taip pat atsižvelgti į tai, kad santykis y/x= , tada pagal Pitagoro teoremą ilgis z galima apskaičiuoti pagal formulę:

Jei priimsime x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

3 pav."Auksinis" stačiakampis trikampis.

Stačiakampis trikampis, kurio kraštinės yra susijusios kaip t:auksinis" stačiakampis trikampis.

Tada, jei remsimės hipoteze, kad pagrindinė Cheopso piramidės „geometrinė idėja“ yra „auksinis“ stačiakampis trikampis, tada iš čia galime lengvai apskaičiuoti Cheopso piramidės „projektinį“ aukštį. Jis lygus:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Dabar išveskime keletą kitų Cheopso piramidės santykių, kurie išplaukia iš „auksinės“ hipotezės. Visų pirma, mes rasime piramidės išorinio ploto ir jos pagrindo ploto santykį. Norėdami tai padaryti, paimame kojos ilgį C.B. už vienetą, tai yra: C.B.= 1. Bet tada piramidės pagrindo kraštinės ilgis GF= 2 ir pagrindo plotas EFGH bus lygus SEFGH = 4.

Dabar apskaičiuokime Cheopso piramidės šoninio paviršiaus plotą SD. Nuo aukščio AB trikampis AEF lygus t, tada šoninio paviršiaus plotas bus lygus SD = t. Tada bendras visų keturių piramidės šoninių paviršių plotas bus lygus 4 t, o viso piramidės išorinio ploto ir pagrindo ploto santykis bus lygus aukso pjūviui! Štai kas yra - pagrindinė geometrinė Cheopso piramidės paslaptis!

Į grupę" geometriniai stebuklai„Cheopso piramidę galima priskirti realioms ir fiktyvioms piramidės skirtingų dimensijų santykių savybėms.

Paprastai jie gaunami ieškant tam tikrų „konstantų“, ypač skaičiaus „pi“ (Ludolfo skaičius), lygus 3,14159...; pagrindu natūralūs logaritmai„e“ (Nepero skaičius), lygus 2,71828...; skaičius „F“, „auksinės pjūvio“ skaičius, lygus, pavyzdžiui, 0,618... ir t.t.

Galite įvardyti, pavyzdžiui: 1) Herodoto savybė: (Aukštis)2 = 0,5 str. pagrindinis x Apothem; 2) V nuosavybė. Kaina: Aukštis: 0,5 str. bazė = kvadratinė šaknis iš "F"; 3) M. Eisto savybė: Pagrindo perimetras: 2 Aukštis = "Pi"; kitaip interpretuojant - 2 šaukštai. pagrindinis : Aukštis = "Pi"; 4) G. briaunos savybė: Įbrėžto apskritimo spindulys: 0,5 str. pagrindinis = "F"; 5) K. Kleppisch nuosavybė: (Art. Pag.)2: 2(Art. Main. x Apothem) = (Art. Main. W. Apothema) = 2 (Art. Pag. x Apothem) : ((2 str. . bazė X Apothem) + (art. bazė)2). ir kt. Galite sugalvoti daug tokių savybių, ypač jei sujungsite dvi gretimas piramides. Pavyzdžiui, kaip „A. Arefjevo savybes“ galima paminėti, kad Cheopso piramidės ir Chafrės piramidės tūrių skirtumas lygus dvigubam Mikerino piramidės tūriui...

Daug įdomios nuostatos Visų pirma, piramidžių statyba pagal „aukso pjūvį“ aprašyta D. Hambidge'o knygose „Dinaminė simetrija architektūroje“ ir M. Gick „Proporcingumo estetika gamtoje ir mene“. Prisiminkime, kad „auksinis pjūvis“ yra atkarpos padalijimas tokiu santykiu, kad dalis A būtų tiek kartų didesnė už dalį B, kiek kartų A mažesnė už visą atkarpą A + B. Santykis A/B yra lygus skaičiui „F“ == 1,618. .. „Aukso pjūvio“ naudojimas nurodomas ne tik atskirose piramidėse, bet ir visame piramidžių komplekse prie Gizos.

Tačiau įdomiausia, kad vienoje ir toje pačioje Cheopso piramidėje tiesiog „negali“ būti tiek daug nuostabių savybių. Paėmus tam tikrą turtą po vieną, ją galima „priderinti“, tačiau visos jos netelpa iš karto – nesutampa, prieštarauja viena kitai. Todėl jei, pavyzdžiui, tikrindami visas savybes, iš pradžių imsime tą pačią piramidės pagrindo pusę (233 m), tai ir skirtingų savybių piramidžių aukščiai skirsis. Kitaip tariant, yra tam tikra piramidžių „šeima“, kurios išoriškai panašios į Cheopsą, bet atitinka skirtingos savybės. Atkreipkite dėmesį, kad „geometrinėse“ savybėse nėra nieko ypač stebuklingo - daug kas atsiranda grynai automatiškai, iš pačios figūros savybių. „Stebuklu“ reikėtų laikyti tik tai, kas senovės egiptiečiams buvo akivaizdžiai neįmanoma. Tai visų pirma apima „kosminius“ stebuklus, kuriuose Cheopso piramidės arba piramidės komplekso Gizoje matavimai lyginami su kai kuriais astronominiais matavimais ir nurodomi „lyginiai“ skaičiai: milijoną kartų mažiau, milijardą kartų mažiau ir taip toliau. Panagrinėkime kai kuriuos „kosminius“ santykius.

Vienas iš teiginių yra: „Jei padalysite piramidės pagrindo kraštinę iš tikslaus metų ilgio, gausite lygiai 10 milijonųjų Žemės ašies dalių“. Apskaičiuokite: padalinkite 233 iš 365, gausime 0,638. Žemės spindulys yra 6378 km.

Kitas teiginys iš tikrųjų yra priešingas ankstesniam. F. Noetlingas atkreipė dėmesį, kad jei naudosime jo paties sugalvotą „Egipto uolektį“, tai piramidės kraštinė atitiks „tiksliausią Saulės metų trukmę, išreikštą milijardosios paros dalies tikslumu“ – 365,540. 903.777.

P. Smitho teiginys: „Piramidės aukštis yra lygiai viena milijardoji atstumo nuo Žemės iki Saulės dalis“. Nors paprastai imamas aukštis yra 146,6 m, Smithas jį įvertino kaip 148,2 m. Remiantis šiuolaikiniais radarų matavimais, pusiau pagrindinė Žemės orbitos ašis yra 149 597 870 + 1,6 km. Tai yra vidutinis atstumas nuo Žemės iki Saulės, tačiau perihelyje jis yra 5 000 000 kilometrų mažesnis nei prie afelio.

Paskutinis įdomus teiginys:

„Kaip galime paaiškinti, kad Cheopso, Khafre ir Mykerinus piramidžių masės yra susijusios viena su kita, kaip ir planetų Žemės, Veneros ir Marso masės? Paskaičiuokime. Trijų piramidžių masės yra: Khafre - 0,835; Cheopsas – 1000; Mikerinas - 0,0915. Trijų planetų masių santykiai: Venera – 0,815; Žemė - 1000; Marsas – 0,108.

Taigi, nepaisant skepticizmo, pastebime gerai žinomą teiginių konstravimo harmoniją: 1) piramidės aukštis, kaip linija „einanti į kosmosą“, atitinka atstumą nuo Žemės iki Saulės; 2) piramidės pagrindo pusė, esanti arčiausiai „pagrindo“, tai yra, Žemės, yra atsakinga už žemės spindulį ir žemės cirkuliaciją; 3) piramidės tūriai (skaityti – masės) atitinka arčiausiai Žemės esančių planetų masių santykį. Panašų „šifrą“ galima atsekti, pavyzdžiui, bičių kalboje, kurią analizavo Karlas von Frischas. Tačiau kol kas nuo komentarų šiuo klausimu susilaikysime.

PIRAMIDĖS FORMA

Garsioji tetraedrinė piramidžių forma atsirado ne iš karto. Skitai laidodavo žemiškų kalvų – piliakalnių pavidalu. Egiptiečiai iš akmens statė „kalvas“ – piramides. Pirmą kartą tai įvyko po Aukštutinio ir Žemutinio Egipto suvienijimo, 28 amžiuje prieš Kristų, kai Trečiosios dinastijos įkūrėjas faraonas Džoseris (Zoseris) susidūrė su užduotimi stiprinti šalies vienybę.

Ir štai, pasak istorikų, svarbus vaidmuo Karaliaus „naujoji dievinimo samprata“ suvaidino vaidmenį stiprinant centrinę valdžią. Nors karališkieji palaidojimai ir pasižymėjo didesniu puošnumu, iš esmės jie nesiskyrė nuo rūmų didikų kapų, buvo tie patys statiniai – mastabas. Virš kameros su sarkofagu, kuriame yra mumija, buvo supiltas stačiakampis mažų akmenų kalnas, kuriame buvo pastatytas nedidelis pastatas iš didelių akmens blokų - "mastaba" (arabiškai - "suolas"). Faraonas Džoseris pastatė pirmąją piramidę savo pirmtako Sanakhto mastabos vietoje. Jis buvo laiptuotas ir buvo matomas pereinamasis etapas nuo vienos architektūrinės formos prie kitos, nuo mastabos iki piramidės.

Tokiu būdu išminčius ir architektas Imhotepas, kurį vėliau laikė burtininku, o graikai tapatino su dievu Asklepijumi, „išaugino“ faraoną. Atrodė, lyg iš eilės būtų pastatyti šeši mastabai. Be to, pirmoji piramidė užėmė 1125 x 115 metrų plotą, o numatomas 66 metrų aukštis (pagal Egipto standartus - 1000 „delnų“). Iš pradžių architektas planavo statyti mastabą, bet ne pailgą, o kvadratinio plano. Vėliau jis buvo išplėstas, bet kadangi prailginimas buvo žemesnis, atrodė, kad yra du laipteliai.

Tokia situacija architekto netenkino ir ant didžiulės plokščios mastabos viršutinės platformos Imhotepas pastatė dar tris, palaipsniui mažėdamas link viršaus. Kapas buvo po piramide.

Žinomos dar kelios laiptuotos piramidės, tačiau vėliau statybininkai perėjo prie mums labiau pažįstamų tetraedrinių piramidžių. Tačiau kodėl ne trikampis ar, tarkim, aštuonkampis? Netiesioginį atsakymą duoda tai, kad beveik visos piramidės yra puikiai orientuotos išilgai keturių pagrindinių krypčių, todėl turi keturias puses. Be to, piramidė buvo „namas“, keturkampės laidojimo kameros apvalkalas.

Bet kas lėmė veidų pasvirimo kampą? Knygoje „Proporcijų principas“ tam skirtas visas skyrius: „Kas galėjo lemti piramidžių pasvirimo kampus“. Visų pirma nurodoma, kad „vaizdas, į kurį traukia didžiosios Senosios Karalystės piramidės, yra trikampis, kurio viršūnė yra stačiu kampu.

Erdvėje tai yra pusiau oktaedras: piramidė, kurios pagrindo kraštai ir kraštinės yra lygios, briaunos yra lygiakraščiai trikampiai.

Koks yra pusiau oktaedro kampo pranašumas? Remiantis archeologų ir istorikų aprašymais, kai kurios piramidės sugriuvo nuo savo svorio. Reikėjo „patvarumo kampo“, kuris buvo energetiškai patikimiausias. Grynai empiriškai šis kampas gali būti paimtas iš viršūnės kampo trupančio sauso smėlio krūvoje. Tačiau norint gauti tikslius duomenis, reikia naudoti modelį. Paėmus keturis tvirtai pritvirtintus rutulius, ant jų reikia uždėti penktą ir išmatuoti pasvirimo kampus. Tačiau čia galite suklysti, todėl padeda teorinis skaičiavimas: rutulių centrus turėtumėte sujungti linijomis (protiškai). Pagrindas bus kvadratas, kurio kraštinė yra dvigubai didesnė už spindulį. Kvadratas bus tik piramidės pagrindas, kurio kraštų ilgis taip pat bus lygus dvigubam spinduliui.

Taigi, glaudus rutuliukų supakavimas, pavyzdžiui, 1:4, suteiks mums taisyklingą pusiau oktaedrą.

Tačiau kodėl daugelis piramidžių, besikreipiančių į panašią formą, vis dėlto jos neišlaiko? Piramidės tikriausiai sensta. Priešingai nei garsus posakis:

„Viskas pasaulyje bijo laiko, o laikas bijo piramidžių“, piramidžių pastatai turi senti, juose gali ir turi vykti ne tik išoriniai atmosferos procesai, bet ir vidinio „susitraukimo“ procesai. todėl piramidės tampa žemesnės. Susitraukimas galimas ir dėl to, kad, kaip atskleidė D. Davidovito darbas, senovės egiptiečiai naudojo blokelių gamybos iš kalkių drožlių, kitaip tariant, iš „betono“, technologiją. Būtent panašūs procesai galėtų paaiškinti Medumo piramidės, esančios 50 km į pietus nuo Kairo, sunaikinimo priežastį. Jam 4600 metų, pagrindo matmenys 146 x 146 m, aukštis 118 m. „Kodėl jis toks subjaurotas?“ – klausia V. Zamarovskis. „Įprastos nuorodos į destruktyvų laiko poveikį ir „akmens panaudojimą kitiems pastatams“ čia netinka.

Juk dauguma jo blokų ir apkalų plokščių iki šių dienų išliko savo vietose, jos papėdėje griuvėsiais.“ Kaip matysime, nemažai nuostatų net verčia manyti, kad ir garsioji Cheopso piramidė „susitraukė“. bet kokiu atveju visuose senoviniuose vaizduose piramidės yra smailios ...

Piramidžių forma taip pat galėjo būti sukurta imituojant: kai kurie natūralūs pavyzdžiai, „stebuklas tobulumas“, tarkime, kai kurie kristalai oktaedro pavidalu.

Panašūs kristalai gali būti deimanto ir aukso kristalai. Charakteristika didelis skaičius„persidengiantys“ ženklai tokioms sąvokoms kaip faraonas, saulė, auksas, deimantas. Visur – kilnus, genialus (briliantiškas), puikus, nepriekaištingas ir pan. Panašumai nėra atsitiktiniai.

Saulės kultas, kaip žinoma, sudarė svarbią religijos dalį Senovės Egiptas. „Nesvarbu, kaip verčiame didžiausios piramidžių pavadinimą“, – rašoma viename iš šiuolaikinių vadovų „The Sky of Khufu“ arba „The Skyward Khufu“, tai reiškė, kad karalius yra saulė. Jei Khufu savo galios spindesyje įsivaizdavo esąs antrąja saule, tai jo sūnus Djedef-Ra tapo pirmuoju iš Egipto karalių, pasivadinusiu „Ra sūnumi“, tai yra, Saulės sūnumi. Beveik visų tautų saulę simbolizavo „saulės metalas“, auksas. „Didelis šviesaus aukso diskas“ – taip egiptiečiai vadino mūsų dienos šviesą. Egiptiečiai puikiai pažinojo auksą, žinojo jo gimtąsias formas, kur aukso kristalai gali atsirasti oktaedrų pavidalu.

„Saulės akmuo“ – deimantas – čia taip pat įdomus kaip „formų pavyzdys“. Deimanto pavadinimas kilo būtent iš arabų pasaulio, „almas“ - kiečiausias, kiečiausias, nesunaikinamas. Senovės egiptiečiai gana gerai žinojo deimantą ir jo savybes. Kai kurių autorių teigimu, gręžimui jie naudojo net bronzinius vamzdžius su deimantiniais pjaustytuvais.

Šiuo metu pagrindinis deimantų tiekėjas yra Pietų Afrika, tačiau Vakarų Afrikoje taip pat gausu deimantų. Malio Respublikos teritorija netgi vadinama „Deimantų žeme“. Tuo tarpu būtent Malio teritorijoje gyvena dogonai, su kuriais paleo vizito hipotezės šalininkai sieja daug vilčių (žr. toliau). Deimantai negalėjo būti senovės egiptiečių kontaktų su šiuo regionu priežastis. Tačiau vienaip ar kitaip gali būti, kad būtent kopijuodami deimantų ir aukso kristalų oktaedrus senovės egiptiečiai dievino faraonus, „nesunaikinamus“ kaip deimantas ir „briliuojančius“ kaip auksas, Saulės sūnus, palyginamus tik į nuostabiausius gamtos kūrinius.

Išvada:

Ištyrę piramidę kaip geometrinį kūną, susipažinę su jos elementais ir savybėmis, įsitikinome nuomonės apie piramidės formos grožį pagrįstumu.

Atlikę tyrimą priėjome prie išvados, kad egiptiečiai, surinkę vertingiausias matematines žinias, jas įkūnijo piramidėje. Todėl piramidė tikrai yra tobuliausias gamtos ir žmogaus kūrinys.

BIBLIOGRAFIJA

„Geometrija: vadovėlis. 7-9 klasėms. bendrojo išsilavinimo įstaigos\ ir tt - 9 leidimas - M.: Švietimas, 1999 m

Matematikos istorija mokykloje, M: „Prosveshchenie“, 1982 m.

Geometrija 10-11 kl., M: „Nušvitimas“, 2000 m

Peteris Tompkinsas „Didžiosios Cheopso piramidės paslaptys“, M: „Tsentropoligraf“, 2005 m.

Interneto ištekliai

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Su piramidės koncepcija studentai susiduria dar gerokai prieš studijuodami geometriją. Dėl to kalti garsieji didieji Egipto pasaulio stebuklai. Todėl, pradėdami tyrinėti šį nuostabų daugiakampį, dauguma studentų jau aiškiai jį įsivaizduoja. Visi aukščiau paminėti atrakcionai turi tinkamą formą. Kas nutiko taisyklinga piramidė, ir kokias savybes jis turi ir pasikalbėsime toliau.

Susisiekus su

Apibrėžimas

Yra gana daug piramidės apibrėžimų. Nuo seniausių laikų jis buvo labai populiarus.

Pavyzdžiui, Euklidas jį apibrėžė kaip kūno figūrą, susidedančią iš plokštumų, kurios, pradedant nuo vienos, susilieja tam tikrame taške.

Heronas pateikė tikslesnę formulę. Jis tvirtino, kad tai yra ta figūra turi pagrindą ir plokštumas trikampių pavidalu, susilieja viename taške.

Remiantis šiuolaikine interpretacija, piramidė vaizduojama kaip erdvinis daugiakampis, susidedantis iš tam tikro k-gon ir k plokščių trikampių figūrų, turinčių vieną bendrą tašką.

Pažvelkime į tai išsamiau, iš kokių elementų jis susideda:

• K-gonas laikomas figūros pagrindu;
• 3 kampų formos išsikiša kaip šoninės dalies kraštai;
• viršutinė dalis, iš kurios atsiranda šoniniai elementai, vadinama viršūne;
• visos atkarpos, jungiančios viršūnę, vadinamos briaunomis;
• jei tiesi linija nuleista nuo viršūnės iki figūros plokštumos 90 laipsnių kampu, tai jos dalis, esanti vidinėje erdvėje, yra piramidės aukštis;
• bet kuriame šoniniame elemente statmenas, vadinamas apotemu, gali būti nubrėžtas į mūsų daugiakampio pusę.

Kraštinių skaičius apskaičiuojamas pagal formulę 2*k, kur k – k-kampio kraštinių skaičius. Kiek veidų turi daugiakampis, pavyzdžiui, piramidė, galima nustatyti naudojant išraišką k+1.

Svarbu! Taisyklingos formos piramidė yra stereometrinė figūra, kurios pagrindinė plokštuma yra kkampis, turintis lygias kraštines.

Pagrindinės savybės

Teisinga piramidė turi daug savybių, kurios būdingos tik jai. Išvardinkime juos:

1. Pagrindas yra tinkamos formos figūra.
2. Šoninius elementus ribojančios piramidės briaunos turi vienodas skaitines reikšmes.
3. Šoniniai elementai yra lygiašoniai trikampiai.
4. Figūros aukščio pagrindas patenka į daugiakampio centrą, o kartu yra centrinis įbrėžto ir apibrėžto taškas.
5. Visi šoniniai šonkauliai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu.
6. Visi šoniniai paviršiai turi tokį patį pasvirimo kampą pagrindo atžvilgiu.

Ačiū visiems išvardytos savybės, atlikti elementų skaičiavimus yra daug lengviau. Remdamiesi aukščiau pateiktomis savybėmis, atkreipiame dėmesį į du ženklai:

1. Tuo atveju, kai daugiakampis tilps į apskritimą, šoniniai paviršiai turės pagrindą vienodi kampai.
2. Apibūdinant apskritimą aplink daugiakampį, visos piramidės briaunos, kylančios iš viršūnės, bus vienodo ilgio ir vienodo kampo su pagrindu.

Pagrindas yra kvadratas

Taisyklinga keturkampė piramidė - daugiakampis, kurio pagrindas yra kvadratas.

Jis turi keturis šoninius paviršius, kurie yra lygiašoniai.

Kvadratas vaizduojamas plokštumoje, bet remiasi visomis taisyklingo keturkampio savybėmis.

Pavyzdžiui, jei reikia susieti kvadrato kraštinę su jo įstrižaine, naudokite tokią formulę: įstrižainė yra lygi kvadrato kraštinės ir dviejų kvadratinės šaknies sandaugai.

Jis pagrįstas taisyklingu trikampiu

Teisingai trikampė piramidė– daugiakampis, kurio pagrindas yra taisyklingas 3 kampų.

Jei pagrindas yra taisyklingas trikampis, o šoniniai kraštai yra lygūs pagrindo kraštams, tada tokia figūra vadinamas tetraedru.

Visi tetraedro paviršiai yra lygiakraščiai 3 kampų. IN tokiu atveju Skaičiuodami turite žinoti kai kuriuos dalykus ir nešvaistyti jiems laiko:

• šonkaulių pasvirimo kampas į bet kurį pagrindą yra 60 laipsnių;
• visų vidinių veidų dydis taip pat yra 60 laipsnių;
• bet koks veidas gali veikti kaip pagrindas;
• , nupieštas paveikslo viduje, tai yra vienodi elementai.

Daugiakampio pjūviai

Bet kuriame daugiakampyje yra kelių tipų skyriai butas. Dažnai į mokyklos kursas geometrijos veikia su dviem:

• ašinis;
• lygiagrečiai pagrindui.

Ašinis pjūvis gaunamas susikertant daugiakampį su plokštuma, kuri eina per viršūnę, šonines briaunas ir ašį. Šiuo atveju ašis yra aukštis, nubrėžtas iš viršūnės. Pjovimo plokštumą riboja susikirtimo linijos su visais paviršiais, todėl susidaro trikampis.

Dėmesio! Taisyklingoje piramidėje ašinis pjūvis yra lygiašonis trikampis.

Jei pjovimo plokštuma eina lygiagrečiai pagrindui, rezultatas yra antrasis variantas. Šiuo atveju turime skerspjūvio figūrą, panašią į pagrindą.

Pavyzdžiui, jei prie pagrindo yra kvadratas, tai atkarpa lygiagreti pagrindui taip pat bus kvadratas, tik mažesnių matmenų.

Spręsdami problemas pagal šią sąlygą, jie naudoja figūrų panašumo ženklus ir savybes, remiantis Thaleso teorema. Pirmiausia reikia nustatyti panašumo koeficientą.

Jei plokštuma nubrėžta lygiagrečiai pagrindui ir ji nupjaunama viršutinė dalis daugiakampis, tada apatinėje dalyje gaunama taisyklinga nupjauta piramidė. Tada sakoma, kad nupjauto daugiakampio pagrindai yra panašūs daugiakampiai. Šiuo atveju šoniniai veidai yra lygiakraštės trapecijos. Ašinė pjūvis taip pat lygiašonis.

Norint nustatyti nupjauto daugiakampio aukštį, reikia nubrėžti aukštį ašinėje pjūvyje, tai yra trapecijoje.

Paviršiaus plotai

Pagrindinės geometrinės problemos, kurias reikia išspręsti mokykliniame geometrijos kurse piramidės paviršiaus ploto ir tūrio radimas.

Yra dviejų tipų paviršiaus ploto vertės:

• šoninių elementų plotas;
• viso paviršiaus plotas.

Iš paties pavadinimo aišku, apie ką kalbame. Šoninis paviršius apima tik šoninius elementus. Iš to išplaukia, kad norint jį rasti, tereikia susumuoti šoninių plokštumų plotus, tai yra lygiašonių 3 kampų plotus. Pabandykime išvesti šoninių elementų ploto formulę:

1. Lygiašonio 3 kampo plotas yra Str = 1/2 (aL), kur a yra pagrindo kraštinė, L yra apotemas.
2. Šoninių plokštumų skaičius priklauso nuo pagrindo k-gon tipo. Pavyzdžiui, teisingas keturkampė piramidė turi keturias šonines plokštumas. Todėl būtina pridėti keturių plotas skaičiai Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Išraiška tokiu būdu supaprastinta, nes reikšmė yra 4a = Rosn, kur Rosn yra pagrindo perimetras. O išraiška 1/2*Rosn yra jos pusiau perimetras.
3. Taigi darome išvadą, kad taisyklingos piramidės šoninių elementų plotas yra lygus pagrindo pusperimetro ir apotemos sandaugai: Sside = Rosn * L.

Piramidės viso paviršiaus plotas susideda iš šoninių plokštumų ir pagrindo plotų sumos: Sp.p. = Sside + Sbas.

Kalbant apie pagrindo plotą, čia formulė naudojama pagal daugiakampio tipą.

Taisyklingos piramidės tūris lygi bazinės plokštumos ploto ir aukščio sandaugai, padalytai iš trijų: V=1/3*Sbas*H, kur H – daugiakampio aukštis.

Kas yra taisyklinga piramidė geometrijoje

Taisyklingos keturkampės piramidės savybės