Jei kampas yra smailus, koks yra koeficientas? Kaip rasti nuolydį

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Funkcijos išvestinė yra viena iš sudėtingiausių temų mokyklos mokymo programa. Ne kiekvienas abiturientas atsakys į klausimą, kas yra darinys.

Šiame straipsnyje paprastai ir aiškiai paaiškinama, kas yra išvestinė priemonė ir kodėl ji reikalinga.. Dabar pristatyme nesieksime matematinio griežtumo. Svarbiausia suprasti prasmę.

Prisiminkime apibrėžimą:

Išvestinė yra funkcijos kitimo greitis.

Paveikslėlyje pavaizduoti trijų funkcijų grafikai. Kuris, jūsų nuomone, auga greičiau?

Atsakymas akivaizdus – trečias. Ji turi didžiausią kitimo greitį, ty didžiausią išvestinę priemonę.

Štai dar vienas pavyzdys.

Kostya, Grisha ir Matvey gavo darbus tuo pačiu metu. Pažiūrėkime, kaip pasikeitė jų pajamos per metus:

Grafikas rodo viską iš karto, ar ne? Kostjos pajamos per šešis mėnesius išaugo daugiau nei dvigubai. Ir Grišos pajamos taip pat padidėjo, bet tik šiek tiek. Ir Matvey pajamos sumažėjo iki nulio. Pradinės sąlygos yra tos pačios, bet funkcijos kitimo greitis, tai yra išvestinė, - kitoks. Kalbant apie Matvey, jo pajamų išvestinė priemonė paprastai yra neigiama.

Intuityviai mes lengvai įvertiname funkcijos kitimo greitį. Bet kaip tai padaryti?

Mes iš tikrųjų žiūrime į tai, kaip staigiai funkcijos grafikas kyla aukštyn (arba žemyn). Kitaip tariant, kaip greitai y keičiasi keičiantis x? Akivaizdu, kad ta pati funkcija skirtingus taškus gali turėti skirtinga prasmė išvestinė – tai yra, ji gali keistis greičiau arba lėčiau.

Funkcijos išvestinė žymima .

Parodysime, kaip jį rasti naudojant grafiką.

Nubraižytas kokios nors funkcijos grafikas. Paimkime tašką su abscise. Šioje vietoje nubrėžkime funkcijos grafiko liestinę. Norime įvertinti, kaip staigiai kyla funkcijos grafikas. Patogi vertė yra liestinės kampo liestinė.

Funkcijos išvestinė taške yra lygi liestinės kampo, nubrėžto į funkcijos grafiką šiame taške, liestei.

Atkreipkite dėmesį, kad kaip liestinės pasvirimo kampas imame kampą tarp liestinės ir teigiamos ašies krypties.

Kartais mokiniai klausia, kas yra funkcijos grafiko liestinė. Tai tiesi linija, turinti tik vieną bendras taškas su grafiku ir kaip parodyta mūsų paveikslėlyje. Tai atrodo kaip apskritimo liestinė.

Suraskime. Prisimename, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė yra lygi priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykiui. Iš trikampio:

Išvestinę radome naudodami grafiką, net nežinodami funkcijos formulės. Tokios problemos dažnai aptinkamos vieningame valstybiniame matematikos egzamine pagal numerį.

Yra dar vienas svarbus ryšys. Prisiminkite, kad tiesią liniją suteikia lygtis

Šioje lygtyje esantis dydis vadinamas tiesios linijos nuolydis. Jis lygus tiesės polinkio į ašį kampo liestinei.

.

Mes tai gauname

Prisiminkime šią formulę. Ji išreiškia geometrine prasme išvestinė.

Funkcijos išvestinė taške yra lygi to taško funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui.

Kitaip tariant, išvestinė lygi liestinės kampo tangentei.

Jau sakėme, kad ta pati funkcija skirtinguose taškuose gali turėti skirtingus išvestinius. Pažiūrėkime, kaip išvestinė yra susijusi su funkcijos veikimu.

Nubraižykime kokios nors funkcijos grafiką. Tegul ši funkcija vienose srityse didėja, o kitose mažėja ir skirtingais tempais. Ir tegul ši funkcija turi didžiausią ir mažiausią taškus.

Tam tikru momentu funkcija padidėja. Taške nubrėžto grafiko liestinė sudaro smailųjį kampą; su teigiama ašies kryptimi. Tai reiškia, kad taško išvestinė yra teigiama.

Tuo metu mūsų funkcija sumažėja. Liestinė šiame taške sudaro bukąjį kampą; su teigiama ašies kryptimi. Kadangi bukojo kampo liestinė yra neigiama, išvestinė taške yra neigiama.

Štai kas nutinka:

Jei funkcija didėja, jos išvestinė yra teigiama.

Jei jis mažėja, jo išvestinė yra neigiama.

Kas atsitiks su didžiausiu ir mažiausiu taškais? Matome, kad taškuose (maksimalus taškas) ir (minimalus taškas) liestinė yra horizontali. Todėl liestinės liestinė šiuose taškuose lygi nuliui, o išvestinė taip pat lygi nuliui.

Taškas – maksimalus taškas. Šiuo metu funkcijos padidėjimas pakeičiamas sumažėjimu. Vadinasi, išvestinės ženklas taške pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“.

Taške - minimaliame taške - išvestinė taip pat yra nulis, tačiau jos ženklas keičiasi iš „minuso“ į „pliusą“.

Išvada: naudodamiesi išvestine galime sužinoti viską, kas mus domina apie funkcijos elgesį.

Jei išvestinė yra teigiama, tada funkcija didėja.

Jei išvestinė yra neigiama, tada funkcija mažėja.

Didžiausiame taške išvestinė yra nulis ir keičia ženklą iš „pliuso“ į „minusą“.

Mažiausiame taške išvestinė taip pat yra nulis ir keičia ženklą iš „minuso“ į „pliusą“.

Parašykime šias išvadas lentelės pavidalu:

	dideja	maksimalus taškas	mažėja	minimalus taškas	dideja
+	0	-	0	+

Padarykime du nedidelius paaiškinimus. Vieno iš jų prireiks sprendžiant problemą. Kitas – pirmame kurse, su rimtesniu funkcijų ir išvestinių tyrimu.

Gali būti, kad funkcijos išvestinė tam tikru momentu yra lygi nuliui, tačiau funkcija šiuo metu neturi nei maksimumo, nei minimumo. Tai yra vadinamasis :

Taške grafiko liestinė yra horizontali, o išvestinė lygi nuliui. Tačiau prieš tašką funkcija padidėjo, o po taško ji toliau didėja. Išvestinio ženklas nesikeičia – jis lieka teigiamas toks, koks buvo.

Taip pat atsitinka, kad maksimumo ar minimumo taške išvestinė neegzistuoja. Grafike tai atitinka staigų pertrauką, kai tam tikrame taške neįmanoma nubrėžti liestinės.

Kaip rasti išvestinę, jei funkcija pateikta ne grafiku, o formule? Šiuo atveju tai taikoma

Tiesė y=f(x) bus taške x0 paveiksle pavaizduoto grafiko liestinė, jei ji eina per tašką, kurio koordinatės (x0; f(x0)) ir turi kampinį koeficientą f"(x0). Raskite toks koeficientas, Žinant liestinės ypatybes, tai nėra sunku.

Jums reikės

• - matematikos žinynas;
• - paprastas pieštukas;
• - užrašų knygelė;
• - transporteris;
• - kompasas;
• - rašiklis.

Instrukcijos

Jei reikšmės f‘(x0) neegzistuoja, tai arba liestinės nėra, arba ji eina vertikaliai. Atsižvelgiant į tai, funkcijos išvestinė taške x0 yra dėl to, kad taške (x0, f(x0)) yra funkcijos grafiko nevertikali liestinė. Tokiu atveju nuolydis liestinė bus lygi f"(x0). Taigi paaiškėja geometrinė išvestinės reikšmė – liestinės kampinio koeficiento apskaičiavimas.

Nubraižykite papildomas liestines, kurios liestųsi su funkcijos grafiku taškuose x1, x2 ir x3, taip pat pažymėkite šių liestinių suformuotus kampus su x ašimi (šis kampas skaičiuojamas teigiama kryptimi nuo ašies iki liestinė). Pavyzdžiui, kampas, ty α1, bus smailus, antrasis (α2) bus bukas, o trečiasis (α3) bus lygus nuliui, nes liestinės linija yra lygiagreti OX ašiai. Šiuo atveju bukojo kampo liestinė yra neigiama, smailiojo – teigiama, o esant tg0 rezultatas lygus nuliui.

pastaba

Teisingai nustatykite liestinės suformuotą kampą. Norėdami tai padaryti, naudokite transporterį.

Naudingas patarimas

Dvi pasvirusios linijos bus lygiagrečios, jei jų kampiniai koeficientai yra lygūs vienas kitam; statmena, jei šių liestinių kampinių koeficientų sandauga lygi -1.

Šaltiniai:

• Funkcijos grafiko liestinė

Kosinusas, kaip ir sinusas, priskiriamas „tiesioginei“ trigonometrinei funkcijai. Tangentas (kartu su kotangentu) klasifikuojamas kaip kita pora, vadinama „dariniais“. Yra keletas šių funkcijų apibrėžimų, pagal kuriuos galima rasti liestinę, pateiktą žinoma vertė tos pačios vertės kosinusas.

Instrukcijos

Vienybės koeficientą atimkite iš vertės, pakeltos iki nurodyto kampo kosinuso, ir iš rezultato ištraukite kvadratinę šaknį – tai bus kampo liestinė, išreikšta jo kosinusu: tan(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . Atkreipkite dėmesį, kad formulėje kosinusas yra trupmenos vardiklyje. Neįmanoma padalyti iš nulio neleidžia naudoti šios išraiškos kampams, lygiems 90°, taip pat tiems, kurie skiriasi nuo šios vertės skaičiais, kurie yra 180° kartotiniai (270°, 450°, -90° ir kt.).

Yra alternatyvus būdas tangentei apskaičiuoti pagal žinomą kosinuso reikšmę. Jis gali būti naudojamas, jei nėra jokių apribojimų naudoti kitus. Norėdami įgyvendinti šį metodą, pirmiausia nustatykite kampo reikšmę pagal žinomą kosinuso reikšmę – tai galima padaryti naudojant lanko kosinuso funkciją. Tada tiesiog apskaičiuokite gautos vertės kampo liestinę. IN bendras vaizdasšį algoritmą galima parašyti taip: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Taip pat yra egzotiškas variantas, naudojant kosinuso ir liestinės apibrėžimą per stačiojo trikampio smailius kampus. Šiame apibrėžime kosinusas atitinka kojos, esančios greta nagrinėjamo kampo, ilgio ir hipotenuzės ilgio santykį. Žinodami kosinuso reikšmę, galite pasirinkti atitinkamus šių dviejų kraštinių ilgius. Pavyzdžiui, jei cos(α) = 0,5, tada gretimas gali būti lygus 10 cm, o hipotenuzė - 20 cm. Konkretūs skaičiai čia neturi reikšmės – gausite tuos pačius ir teisingus skaičius su bet kokiomis vienodomis reikšmėmis. Tada, naudodamiesi Pitagoro teorema, nustatykite trūkstamos pusės - priešingos kojos - ilgį. Jis bus lygus kvadratinė šaknis nuo skirtumo tarp kvadratinės hipotenuzės ir žinomos kojos ilgių: √(20²-10²)=√300. Pagal apibrėžimą liestinė atitinka priešingos ir ilgių santykį gretimos kojos(√300/10) – apskaičiuokite jį ir gaukite liestinę, rastą naudojant klasikinį kosinuso apibrėžimą.

Šaltiniai:

• kosinusas per liestinės formulę

Vienas iš trigonometrinės funkcijos, dažniausiai žymimas raidėmis tg, nors randama ir pavadinimų tan. Lengviausias būdas pavaizduoti liestinę yra sinuso santykis kampuį jo kosinusą. Tai nelyginė periodinė ir nenutrūkstama funkcija, kurios kiekvienas ciklas lygus skaičiui Pi, o lūžio taškas atitinka pusę šio skaičiaus.

Paveikslėlyje parodytas tiesios linijos pasvirimo kampas ir nurodyta nuolydžio vertė ties įvairių variantų linijos vieta stačiakampės koordinačių sistemos atžvilgiu.

Tiesios linijos nuolydžio radimas ties žinomos anglies pakreipimas į Jaučio ašį nesukelia jokių sunkumų. Norėdami tai padaryti, pakanka prisiminti kampinio koeficiento apibrėžimą ir apskaičiuoti polinkio kampo liestinę.

Pavyzdys.

Raskite tiesios linijos nuolydį, jei jos pasvirimo kampas į abscisių ašį lygus .

Sprendimas.

Pagal sąlygą. Tada, apibrėždami tiesios linijos nuolydį, apskaičiuojame .

Atsakymas:

Užduotis rasti tiesės pasvirimo kampą į x ašį su žinomu nuolydžiu yra šiek tiek sudėtingesnė. Čia būtina atsižvelgti į nuolydžio ženklą. Kai tiesės polinkio kampas yra ūminis ir randamas kaip . Kai tiesės polinkio kampas yra bukas ir gali būti nustatytas pagal formulę .

Pavyzdys.

Nustatykite tiesės polinkio į abscisių ašį kampą, jei jos nuolydis lygus 3.

Sprendimas.

Kadangi pagal sąlygą kampo koeficientas yra teigiamas, tiesės polinkio kampas į Ox ašį yra ūmus. Apskaičiuojame pagal formulę.

Atsakymas:

Pavyzdys.

Tiesios linijos nuolydis yra . Nustatykite tiesės polinkio į Ox ašį kampą.

Sprendimas.

Pažymėkime k – tiesės kampinis koeficientas, – šios tiesės polinkio į teigiamą Ox ašies kryptį kampas. Nes , tada mes naudojame formulę tiesios linijos pasvirimo kampui rasti tokio tipo . Sąlygos duomenis pakeičiame į jį: .

Atsakymas:

Tiesios linijos su kampiniu koeficientu lygtis.

Tiesios linijos su nuolydžiu lygtis turi formą , kur k yra linijos nuolydis, b yra tam tikras tikras numeris. Naudodami tiesės su kampo koeficientu lygtį, galite nurodyti bet kurią tiesę, kuri nėra lygiagreti Oy ašiai (tiesei, lygiagrečiai ordinačių ašiai, kampo koeficientas neapibrėžiamas).

Supraskime frazės reikšmę: „Tiesioji linija plokštumoje fiksuotoje koordinačių sistemoje pateikiama lygtimi su kampiniu koeficientu, kurio forma yra „“. Tai reiškia, kad lygtį tenkina bet kurio tiesės taško koordinatės ir netenkina jokių kitų plokštumos taškų koordinatės. Taigi, jei pakeičiant taško koordinates gaunama teisinga lygybė, tai tiesė eina per šį tašką. Priešingu atveju taškas nėra ant linijos.

Pavyzdys.

Tiesi linija pateikiama lygtimi su nuolydžiu. Ar taškai taip pat priklauso šiai linijai?

Sprendimas.

Pakeiskime taško koordinates į pradinę tiesės su nuolydžiu lygtį: . Gavome teisingą lygybę, todėl taškas M 1 yra tiesėje.

Pakeitę taško koordinates, gauname neteisingą lygybę: . Taigi taškas M 2 nėra tiesėje.

Atsakymas:

Taškas M 1 priklauso linijai, M 2 nepriklauso.

Pažymėtina, kad per tašką eina tiesė, apibrėžta tiesės su kampiniu koeficientu lygtimi, nes pakeitę jos koordinates į lygtį, gauname teisingą lygybę: .

Taigi tiesės su kampo koeficientu lygtis apibrėžia plokštumoje tiesę, einanti per tašką ir sudaranti kampą su teigiama x ašies kryptimi, ir .

Kaip pavyzdį pavaizduokime tiesę, apibrėžtą tiesės lygtimi su formos kampiniu koeficientu. Ši linija eina per tašką ir turi nuolydį radianų (60 laipsnių) į teigiamą Ox ašies kryptį. Jo nuolydis lygus .

Tiesios linijos su nuolydžiu, einančios per nurodytą tašką, lygtis.

Dabar išspręsime labai svarbų uždavinį: gausime tiesės, kurios nuolydis k ir einančios per tašką , lygtį.

Kadangi linija eina per tašką, lygybė yra teisinga . Mes nežinome skaičiaus b. Norėdami jo atsikratyti, atimkite iš kairės ir teisingos dalys tiesės lygtys su kampiniu koeficientu, atitinkamai kairioji ir dešinė paskutinės lygybės pusės. Šiuo atveju gauname . Ši lygybė yra tiesės su tam tikru nuolydžiu k, kuri eina per nurodytą tašką, lygtis.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

Pavyzdys.

Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygtį, šios tiesės nuolydis -2.

Sprendimas.

Iš mūsų būklės . Tada tiesės lygtis su kampiniu koeficientu įgis formą .

Atsakymas:

Pavyzdys.

Parašykite tiesės lygtį, jei žinoma, kad ji eina per tašką, o polinkio kampas į teigiamą Ox ašies kryptį yra lygus .

Sprendimas.

Pirmiausia apskaičiuokime tiesės, kurios lygties ieškome, nuolydį (šią problemą išsprendėme ankstesnėje šio straipsnio pastraipoje). A-prioras . Dabar turime visus duomenis, kad galėtume užrašyti tiesės lygtį su kampo koeficientu:

Atsakymas:

Pavyzdys.

Parašykite tiesės su kampiniu koeficientu, einančios per tašką, lygiagretų tiesei, lygtį.

Sprendimas.

Akivaizdu, kad lygiagrečių tiesių polinkio kampai į Ox ašį sutampa (jei reikia, žr. straipsnį tiesių lygiagretumas), todėl lygiagrečių tiesių kampiniai koeficientai yra lygūs. Tada tiesės, kurios lygtį turime gauti, nuolydis yra lygus 2, nes tiesės nuolydis yra lygus 2. Dabar galime sukurti reikiamą tiesės su nuolydžiu lygtį:

Atsakymas:

Perėjimas nuo tiesės su kampo koeficientu lygties prie kitų tiesės lygčių tipų ir atvirkščiai.

Nepaisant visų žinomumo, tiesės ir kampo koeficiento lygtis ne visada yra patogi naudoti sprendžiant uždavinius. Kai kuriais atvejais uždavinius lengviau išspręsti, kai tiesės lygtis pateikiama kitokia forma. Pavyzdžiui, tiesės lygtis su kampiniu koeficientu neleidžia iš karto užsirašyti tiesės krypties vektoriaus koordinačių arba tiesės normalaus vektoriaus koordinačių. Todėl turėtumėte išmokti pereiti nuo tiesės lygties su kampo koeficientu prie kitų šios tiesės lygčių tipų.

Iš tiesės lygties su kampo koeficientu nesunku gauti kanoninę tiesės lygtį formos plokštumoje . Norėdami tai padaryti, iš dešinės lygties pusės perkeliame terminą b į kairė pusė su priešingu ženklu, tada gautos lygybės abi puses padalinkite iš nuolydžio k: . Šie veiksmai veda mus nuo tiesės su kampo koeficientu lygties prie kanoninės linijos lygties.

Pavyzdys.

Pateikite tiesės su kampo koeficientu lygtį į kanoninę formą.

Sprendimas.

Atlikime reikiamas transformacijas: .

Atsakymas:

Pavyzdys.

Tiesi linija pateikiama tiesės su kampiniu koeficientu lygtimi. Ar vektorius yra normalus šios tiesės vektorius?

Sprendimas.

Norėdami išspręsti šią problemą, pereikime nuo tiesės su kampo koeficientu lygties prie bendrosios šios tiesės lygties: . Žinome, kad kintamųjų x ir y koeficientai bendrojoje tiesės lygtyje yra atitinkamos šios tiesės normaliojo vektoriaus koordinatės, tai yra tiesės normalusis vektorius. . Akivaizdu, kad vektorius yra kolinearinis vektoriui, nes ryšys galioja (jei reikia, žr. straipsnį). Taigi pradinis vektorius taip pat yra normalus linijos vektorius , ir todėl yra normalus vektorius ir pradinė linija.

Atsakymas:

Taip tai yra.

O dabar išspręsime atvirkštinę problemą – plokštumos tiesės lygties sumažinimo iki tiesės su kampo koeficientu lygties.

Iš formos bendrosios tiesės lygties , kuriame labai lengva pereiti prie lygties su nuolydžio koeficientu. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti bendrąją tiesės lygtį y atžvilgiu. Šiuo atveju gauname. Gauta lygybė yra tiesės, kurios kampinis koeficientas lygus , lygtis.