Fyzikálny význam derivátu. Úlohy

Fyzikálny význam derivátu. Jednotná štátna skúška z matematiky zahŕňa skupinu problémov na riešenie, ktoré si vyžadujú znalosť a pochopenie fyzikálneho významu derivátu. Ide najmä o úlohy, kde je daný pohybový zákon určitého bodu (objektu) vyjadrený rovnicou a je potrebné zistiť jeho rýchlosť v určitom okamihu pohybu, resp. nadobudne určitú danú rýchlosť.Úlohy sú veľmi jednoduché, dajú sa vyriešiť jednou akciou. Takže:

Nech je daný zákon pohybu hmotného bodu x (t) pozdĺž súradnicovej osi, kde x je súradnica pohybujúceho sa bodu, t je čas.

Rýchlosť v určitom časovom okamihu je deriváciou súradnice vzhľadom na čas. Toto je mechanický význam derivátu.

Podobne aj zrýchlenie je deriváciou rýchlosti vzhľadom na čas:

Fyzický význam derivátu je teda rýchlosť. Môže to byť rýchlosť pohybu, rýchlosť zmeny procesu (napríklad rast baktérií), rýchlosť práce (a tak ďalej, existuje veľa problémov).

Okrem toho musíte poznať derivačnú tabuľku (treba ju poznať rovnako ako tabuľku násobenia) a pravidlá diferenciácie. Konkrétne, na vyriešenie špecifikovaných problémov je potrebná znalosť prvých šiestich derivátov (pozri tabuľku):

Zoberme si úlohy:

x (t) = t 2 – 7 t – 20

kde x t je čas v sekundách meraný od začiatku pohybu. Nájdite jeho rýchlosť (v metroch za sekundu) v čase t = 5 s.

Fyzikálny význam derivátu je rýchlosť (rýchlosť pohybu, rýchlosť zmeny procesu, rýchlosť práce atď.)

Nájdite zákon zmeny rýchlosti: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Pri t = 5 máme:

odpoveď: 3

Rozhodnite sa sami:

Hmotný bod sa pohybuje priamočiaro podľa zákona x (t) = 6t 2 – 48t + 17, kde X- vzdialenosť od referenčného bodu v metroch, t- čas v sekundách meraný od začiatku pohybu. Nájdite jeho rýchlosť (v metroch za sekundu) v čase t = 9 s.

Hmotný bod sa pohybuje priamočiaro podľa zákona x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, kde Xt- čas v sekundách meraný od začiatku pohybu. Nájdite jeho rýchlosť (v metroch za sekundu) v čase t = 6 s.

Hmotný bod sa podľa zákona pohybuje priamočiaro

x (t) = –t4 + 6t3 + 5t + 23

Kde X- vzdialenosť od referenčného bodu v metroch,t- čas v sekundách meraný od začiatku pohybu. Nájdite jeho rýchlosť (v metroch za sekundu) v čase t = 3 s.

Hmotný bod sa podľa zákona pohybuje priamočiaro

x(t) = (1/6)t2 + 5t + 28

kde x je vzdialenosť od referenčného bodu v metroch, t je čas v sekundách, meraný od začiatku pohybu. V ktorom časovom bode (v sekundách) sa jeho rýchlosť rovnala 6 m/s?

Poďme nájsť zákon zmeny rýchlosti:

Aby ste zistili, v akom časovom bodetrýchlosť bola 3 m/s, je potrebné vyriešiť rovnicu:

odpoveď: 3

Rozhodnite sa sami:

Hmotný bod sa pohybuje priamočiaro podľa zákona x (t) = t 2 – 13t + 23, kde X- vzdialenosť od referenčného bodu v metroch, t- čas v sekundách meraný od začiatku pohybu. V ktorom časovom bode (v sekundách) sa jeho rýchlosť rovnala 3 m/s?

Hmotný bod sa podľa zákona pohybuje priamočiaro

x (t) = (1/3) t 3 – 3 t 2 – 5 t + 3

Kde X- vzdialenosť od referenčného bodu v metroch, t- čas v sekundách meraný od začiatku pohybu. V ktorom časovom bode (v sekundách) sa jeho rýchlosť rovnala 2 m/s?

Chcel by som poznamenať, že na jednotnej štátnej skúške by ste sa nemali sústrediť len na tento typ úloh. Môžu úplne neočakávane priniesť problémy, ktoré sú opakom tých, ktoré sú prezentované. Keď je daný zákon zmeny rýchlosti a otázka bude o nájdení zákona pohybu.

Tip: v tomto prípade musíte nájsť integrál funkcie rýchlosti (toto je tiež jednokrokový problém). Ak potrebujete nájsť prejdenú vzdialenosť v určitom časovom bode, musíte do výslednej rovnice dosadiť čas a vypočítať vzdialenosť. Budeme však analyzovať aj takéto problémy, nenechajte si to ujsť!Prajem ti úspech!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Pri riešení rôznych problémov geometrie, mechaniky, fyziky a iných oblastí vedomostí vznikla potreba použiť rovnaký analytický proces z tejto funkcie y=f(x) získať novú funkciu s názvom derivačná funkcia(alebo jednoducho derivácia) danej funkcie f(x) a je označený symbolom

Proces, ktorým z danej funkcie f(x) získať novú funkciu f" (x), volal diferenciácie a pozostáva z nasledujúcich troch krokov: 1) uveďte argument X prírastok  X a určiť zodpovedajúci prírastok funkcie  y = f(x+ x) -f(x); 2) vytvoriť vzťah

3) počítanie X konštantný a  X0, nájdeme
, ktoré označujeme f" (x), akoby zdôrazňoval, že výsledná funkcia závisí len od hodnoty X, pri ktorej ideme na doraz. Definícia: Derivát y " =f " (x) daná funkcia y=f(x) pre dané x sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu za predpokladu, že prírastok argumentu smeruje k nule, ak samozrejme táto limita existuje, t.j. konečný. teda
, alebo

Všimnite si, že ak pre nejakú hodnotu X, napríklad keď x=a, postoj
pri  X0 nesmeruje ku konečnej limite, potom v tomto prípade hovoria, že funkcia f(x) pri x=a(alebo v bode x=a) nemá žiadnu deriváciu alebo nie je v bode diferencovateľná x=a.

2. Geometrický význam derivácie.

Uvažujme graf funkcie y = f (x), diferencovateľnej v blízkosti bodu x 0

f(x)

Uvažujme ľubovoľnú priamku prechádzajúcu bodom na grafe funkcie - bod A(x 0, f (x 0)) a pretínajúci graf v nejakom bode B(x;f(x)). Takáto čiara (AB) sa nazýva sečna. Z ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Od AC || Ox, potom ALO = BAC = β (ako zodpovedá paralelu). Ale ALO je uhol sklonu sečnice AB ku kladnému smeru osi Ox. To znamená, že tanβ = k je sklon priamky AB.

Teraz znížime ∆х, t.j. ∆х→ 0. V tomto prípade sa bod B priblíži k bodu A podľa grafu a sečna AB sa bude otáčať. Limitnou polohou sečnice AB pri ∆x→ 0 bude priamka (a), nazývaná dotyčnica ku grafu funkcie y = f (x) v bode A.

Ak prejdeme na limitu ako ∆x → 0 v rovnosti tgβ =∆y/∆x, dostaneme
ortg =f "(x 0), keďže
-uhol sklonu dotyčnice ku kladnému smeru osi Ox
, podľa definície derivátu. Ale tg = k je uhlový koeficient dotyčnice, čo znamená k = tg = f "(x 0).

Geometrický význam derivátu je teda nasledujúci:

Derivácia funkcie v bode x 0 rovná sklon dotyčnica ku grafu funkcie nakreslenej v bode s os x 0 .

3. Fyzikálny význam derivátu.

Zvážte pohyb bodu pozdĺž priamky. Nech je daná súradnica bodu v ľubovoľnom čase x(t). Je známe (z kurzu fyziky), že priemerná rýchlosť za určité časové obdobie sa rovná pomeru prejdenej vzdialenosti za toto časové obdobie k času, t.j.

Vav = ∆x/∆t. Poďme na limitu v poslednej rovnosti ako ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - okamžitá rýchlosť v čase t 0, ∆t → 0.

a lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (podľa definície derivátu).

Takže (t) =x"(t).

Fyzikálny význam derivácie je nasledovný: derivácia funkcier = f(X) v bodeX 0 je rýchlosť zmeny funkcief(x) v bodeX 0

Derivácia sa používa vo fyzike na nájdenie rýchlosti zo známej funkcie súradníc v závislosti od času, zrýchlenia zo známej funkcie rýchlosti v závislosti od času.

(t) = x"(t) - rýchlosť,

a(f) = "(t) - zrýchlenie, príp

Ak je známy zákon pohybu hmotného bodu v kruhu, potom je možné nájsť uhlovú rýchlosť a uhlové zrýchlenie počas rotačného pohybu:

φ = φ(t) - zmena uhla v čase,

ω = φ"(t) - uhlová rýchlosť,

ε = φ"(t) - uhlové zrýchlenie, alebo ε = φ"(t).

Ak je známy zákon o rozdelení hmoty nehomogénnej tyče, potom možno nájsť lineárnu hustotu nehomogénnej tyče:

m = m(x) - hmotnosť,

x  , l - dĺžka tyče,

p = m"(x) - lineárna hustota.

Pomocou derivácie sa riešia problémy z teórie pružnosti a harmonických kmitov. Teda podľa Hookovho zákona

F = -kx, x – premenná súradnica, k – koeficient pružnosti pružiny. Ak dáme ω 2 =k/m, dostaneme diferenciálnu rovnicu pružinového kyvadla x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

kde ω = √k/√m frekvencia kmitov (l/c), k - tuhosť pružiny (H/m).

Rovnica v tvare y" + ω 2 y = 0 sa nazýva rovnica harmonických kmitov (mechanických, elektrických, elektromagnetických). Riešením takýchto rovníc je funkcia

y = Asin(ωt + φ 0) alebo y = Acos(ωt + φ 0), kde

A - amplitúda kmitov, ω - cyklická frekvencia,

φ 0 - počiatočná fáza.

Matematické problémy nachádzajú svoje uplatnenie v mnohých vedách. Patrí medzi ne nielen fyzika, chémia, technika a ekonómia, ale aj medicína, ekológia a ďalšie odbory. Jedným z dôležitých konceptov, ktoré je potrebné zvládnuť, aby ste našli riešenia dôležitých dilem, je derivácia funkcie. Jeho fyzikálny význam nie je vôbec také ťažké vysvetliť, ako by sa mohlo zdať nezasvätenému do podstaty problematiky. Stačí na to nájsť vhodné príklady skutočný život a bežné každodenné situácie. V skutočnosti každý motorista zvláda podobnú úlohu každý deň, keď sa pozrie na tachometer a určí rýchlosť svojho auta v konkrétnom okamihu pevného času. Koniec koncov, je to práve tento parameter, ktorý obsahuje podstatu fyzikálneho významu derivátu.

Ako zistiť rýchlosť

Každý piaty žiak môže ľahko určiť rýchlosť osoby na ceste, pričom pozná prejdenú vzdialenosť a čas jazdy. Ak to chcete urobiť, vydeľte prvú z daných hodnôt druhou. Ale nie každý mladý matematik vie, že v súčasnosti nachádza pomer prírastkov funkcie a argumentu. Skutočne, ak si predstavíte pohyb vo forme grafu, ktorý vykreslí cestu pozdĺž osi y a čas pozdĺž osi x, bude to presne takto.

Rýchlosť chodca alebo akéhokoľvek iného objektu, ktorú určíme na veľkom úseku cesty, keďže pohyb považujeme za rovnomerný, sa však môže meniť. Vo fyzike je známych mnoho foriem pohybu. Môže sa vyskytnúť nielen pri konštantnom zrýchľovaní, ale aj spomaliť a zvýšiť svojvoľným spôsobom. Treba poznamenať, že v v tomto prípadečiara opisujúca pohyb už nebude priamka. Graficky dokáže zaujať aj tie najzložitejšie konfigurácie. Ale pre ktorýkoľvek z bodov v grafe môžeme vždy nakresliť dotyčnicu reprezentovanú lineárnou funkciou.

Pre objasnenie parametra zmeny posunu v závislosti od času je potrebné skrátiť merané segmenty. Keď sa stanú nekonečne malými, vypočítaná rýchlosť bude okamžitá. Táto skúsenosť nám pomáha definovať derivát. Z takéhoto uvažovania logicky vyplýva aj jeho fyzikálny význam.

Z pohľadu geometrie

Je známe, že čím väčšia je rýchlosť telesa, tým strmší je graf závislosti posunu od času, a teda aj uhla sklonu dotyčnice ku grafu v určitom bode. Indikátorom takýchto zmien môže byť dotyčnica uhla medzi osou x a dotyčnicou. Práve tá určuje hodnotu derivácie a vypočítava sa pomerom dĺžok opačného k susedná noha v pravouhlom trojuholníku tvorenom kolmicou spadnutou z určitého bodu na os x.

Toto je geometrický význam prvej derivácie. Ten fyzický sa odhaľuje v tom, že hodnota opačnej strany v našom prípade predstavuje prejdenú vzdialenosť a susedná strana predstavuje čas. V tomto prípade je ich pomerom rýchlosť. A opäť prichádzame k záveru, že okamžitá rýchlosť, určená vtedy, keď oba intervaly majú tendenciu byť nekonečne malé, je podstatou, naznačujúcou jej fyzikálny význam. Druhým derivátom v tomto príklade bude zrýchlenie karosérie, ktoré zase demonštruje mieru zmeny rýchlosti.

Príklady hľadania derivátov vo fyzike

Derivácia je indikátorom rýchlosti zmeny akejkoľvek funkcie, aj keď nehovoríme o pohybe v doslovnom zmysle slova. Aby sme to jasne demonštrovali, tu je niekoľko konkrétne príklady. Predpokladajme, že sila prúdu sa v závislosti od času mení podľa nasledujúceho zákona: ja= 0,4t2. Je potrebné nájsť hodnotu rýchlosti, ktorou sa tento parameter mení na konci 8. sekundy procesu. Všimnite si, že samotná požadovaná hodnota, ako možno usúdiť z rovnice, neustále rastie.

Na vyriešenie je potrebné nájsť prvú deriváciu, ktorej fyzikálny význam bol diskutovaný skôr. Tu dl/ dt = 0,8 t. Ďalej to nájdeme na t=8 , zistíme, že rýchlosť, akou dochádza k zmenám prúdu, sa rovná 6,4 A/ c. Tu sa predpokladá, že sila prúdu sa meria v ampéroch a čas podľa toho v sekundách.

Všetko je premenlivé

Viditeľné svet, pozostávajúce z hmoty, neustále prechádza zmenami, pričom sa v nej vyskytujú rôzne procesy. Na ich opis je možné použiť rôzne parametre. Ak sú spojené závislosťou, potom sú zapísané matematicky vo forme funkcie, ktorá jasne ukazuje ich zmeny. A tam, kde existuje pohyb (v akejkoľvek forme, ktorá môže byť vyjadrená), existuje aj derivát, ktorého fyzikálny význam v súčasnosti uvažujeme.

O tom je nasledujúci príklad. Povedzme, že telesná teplota sa mení podľa zákona T=0,2 t 2 . Rýchlosť jeho ohrevu by ste mali nájsť na konci 10. sekundy. Problém sa rieši podobným spôsobom ako v predchádzajúcom prípade. To znamená, že nájdeme derivát a dosadíme hodnotu t= 10 , dostaneme T= 0,4 t= 4. To znamená, že konečná odpoveď je 4 stupne za sekundu, to znamená, že proces zahrievania a zmeny teploty, merané v stupňoch, nastávajú presne pri tejto rýchlosti.

Riešenie praktických problémov

Samozrejme, v reálnom živote môže byť všetko oveľa komplikovanejšie ako v teoretických problémoch. V praxi sa hodnota veličín zvyčajne určuje počas experimentu. V tomto prípade sa používajú prístroje, ktoré dávajú hodnoty počas meraní s určitou chybou. Preto sa pri výpočte musíte zaoberať približnými hodnotami parametrov a uchýliť sa k zaokrúhľovaniu nepohodlných čísel, ako aj k ďalším zjednodušeniam. Keď to vezmeme do úvahy, pristúpme opäť k problémom o fyzikálnom význame derivácie, berúc do úvahy, že sú len akýmsi matematickým modelom najzložitejších procesov vyskytujúcich sa v prírode.

Erupcia

Predstavme si, že vybuchne sopka. Aký nebezpečný môže byť? Na objasnenie tohto problému je potrebné zvážiť veľa faktorov. Pokúsime sa vziať do úvahy jeden z nich.

Z úst „ohnivého monštra“ sú kamene hádzané kolmo nahor, pričom počiatočnú rýchlosť majú od momentu, keď vyjdú, je potrebné vypočítať, akú maximálnu výšku môžu dosiahnuť.

Aby sme našli požadovanú hodnotu, zostavíme rovnicu pre závislosť výšky H, meranej v metroch, od iných hodnôt. Medzi ne patrí počiatočná rýchlosť a čas. Hodnotu zrýchlenia považujeme za známu a približne rovnú 10 m/s 2 .

Čiastočná derivácia

Uvažujme teraz o fyzikálnom význame derivácie funkcie z trochu iného uhla, pretože samotná rovnica môže obsahovať nie jednu, ale viacero premenných. Napríklad v predchádzajúcom probléme bola závislosť výšky stúpania kameňov vyhodených z úst sopky určená nielen zmenou časových charakteristík, ale aj hodnotou počiatočnej rýchlosti. Ten bol považovaný za konštantnú, pevnú hodnotu. No v iných problémoch s úplne inými podmienkami by mohlo byť všetko inak. Ak existuje niekoľko veličín, od ktorých závisí komplexná funkcia, výpočty sa vykonajú podľa nižšie uvedených vzorcov.

Fyzikálny význam frekventovanej derivácie by sa mal určiť ako v bežný prípad. Ide o rýchlosť zmeny funkcie v určitom bode, keď sa parameter premennej zvyšuje. Vypočítava sa tak, že všetky ostatné zložky sa berú ako konštanty, iba jedna sa považuje za premennú. Potom sa všetko deje podľa obvyklých pravidiel.

Pochopenie fyzikálneho významu derivátu, nie je ťažké uviesť príklady riešenia zložitých a zložitých problémov, na ktoré možno nájsť odpoveď s takýmito znalosťami. Ak máme funkciu, ktorá popisuje spotrebu paliva v závislosti od rýchlosti auta, vieme vypočítať, pri akých parametroch tej druhej bude spotreba benzínu najmenšia.

V medicíne sa dá predvídať, ako človek zareaguje Ľudské telo na liek predpísaný lekárom. Užívanie lieku ovplyvňuje rôzne fyziologické ukazovatele. Patria sem zmeny krvný tlak, pulz, telesná teplota a oveľa viac. Všetky závisia od prijatej dávky liek. Tieto výpočty pomáhajú predpovedať priebeh liečby, a to tak pri priaznivých prejavoch, ako aj pri nežiaducich udalostiach, ktoré môžu fatálne ovplyvniť zmeny v tele pacienta.

Nepochybne je dôležité pochopiť fyzikálny význam derivátu v technických záležitostiach, najmä v elektrotechnike, elektronike, dizajne a konštrukcii.

Brzdné dráhy

Uvažujme o ďalšom probléme. Auto, ktoré sa pohybovalo konštantnou rýchlosťou, bolo približujúce sa k mostu nútené zabrzdiť 10 sekúnd pred vjazdom, ako si vodič všimol dopravná značka, ktorým sa zakazuje pohyb rýchlosťou nad 36 km/h. Porušil vodič predpisy, ak jeho brzdnú dráhu možno opísať vzorcom S = 26t - t 2?

Po vypočítaní prvej derivácie nájdeme vzorec pre rýchlosť, dostaneme v = 28 - 2t. Ďalej do uvedeného výrazu dosadíme hodnotu t=10.

Keďže táto hodnota bola vyjadrená v sekundách, rýchlosť vychádza na 8 m/s, čo znamená 28,8 km/h. To umožňuje pochopiť, že vodič začal brzdiť včas a neporušil pravidlá cestnej premávky, a teda obmedzenie rýchlosti uvedené na značke.

To dokazuje dôležitosť fyzikálneho významu derivátu. Príklad riešenia tohto problému najviac demonštruje šírku využitia tohto konceptu rôznych oblastiachživota. Vrátane každodenných situácií.

Derivát v ekonómii

Až do 19. storočia ekonómovia operovali najmä s priemermi, či už ide o produktivitu práce alebo cenu vyrábaných produktov. Ale v určitom bode sa limitné hodnoty stali potrebnejšími na efektívne predpovede v tejto oblasti. Môžu zahŕňať marginálnu užitočnosť, príjem alebo náklady. Pochopenie tohto dalo impulz k vytvoreniu úplne nového nástroja v ekonomickom výskume, ktorý existuje a vyvíja sa už viac ako sto rokov.

Na zostavenie takýchto výpočtov, kde dominujú pojmy ako minimum a maximum, je jednoducho potrebné pochopiť geometrický a fyzikálny význam derivátu. Medzi tvorcami teoretický základ Medzi tieto disciplíny patria takí významní anglickí a rakúski ekonómovia ako W. S. Jevons, K. Menger a ďalší. Samozrejme, nie je vždy vhodné používať limitné hodnoty v ekonomických výpočtoch. A napríklad štvrťročné správy nemusia nevyhnutne zapadať do existujúcej schémy, ale aj tak je aplikácia takejto teórie v mnohých prípadoch užitočná a efektívna.

Derivácia funkcie f (x) v bode x0 je limita (ak existuje) pomeru prírastku funkcie v bode x0 k prírastku argumentu Δx, ak má prírastok argumentu tendenciu k nula a označuje sa f '(x0). Akt nájdenia derivácie funkcie sa nazýva diferenciácia.
Derivácia funkcie má nasledujúci fyzikálny význam: derivácia funkcie v daný bod- rýchlosť zmeny funkcie v danom bode.

Geometrický význam derivát. Derivácia v bode x0 sa rovná sklonu dotyčnice ku grafu funkcie y=f(x) v tomto bode.

Fyzikálny význam derivátu. Ak sa bod pohybuje pozdĺž osi x a jeho súradnica sa mení podľa zákona x(t), okamžitá rýchlosť bodu je:

Pojem diferenciál, jeho vlastnosti. Pravidlá diferenciácie. Príklady.

Definícia. Diferenciál funkcie v určitom bode x je hlavná, lineárna časť prírastku funkcie Diferenciál funkcie y = f(x) sa rovná súčinu jej derivácie a prírastku nezávislej premennej x. (argument).

Píše sa to takto:

alebo

Alebo


Diferenciálne vlastnosti
Diferenciál má vlastnosti podobné vlastnostiam derivátu:





TO základné pravidlá diferenciácie zahŕňajú:
1) umiestnenie konštantného faktora mimo znamienka derivácie
2) derivácia súčtu, derivácia rozdielu
3) derivácia súčinu funkcií
4) derivácia podielu dvoch funkcií (derivát zlomku)

Príklady.
Dokážme vzorec: Podľa definície derivátu máme:

Ľubovoľný faktor môže byť prenesený za znak prechodu k limitu (to je známe z vlastností limitu), preto

Napríklad: Nájdite deriváciu funkcie
Riešenie: Využime pravidlo umiestnenia násobiteľa mimo znamienka derivácie :

Pomerne často je potrebné najskôr zjednodušiť tvar diferencovateľnej funkcie, aby sa použila tabuľka derivácií a pravidlá hľadania derivácií. Nasledujúce príklady to jasne potvrdzujú.

Diferenciačné vzorce. Aplikácia diferenciálu v približných výpočtoch. Príklady.

Použitie diferenciálu v približných výpočtoch vám umožňuje použiť diferenciál na aproximáciu hodnôt funkcie.
Príklady.
Pomocou diferenciálu vypočítajte približne
Na výpočet tejto hodnoty použijeme vzorec z teórie
Zaveďme do úvahy funkciu a znázornime danú hodnotu vo forme
potom počítajme

Nahradením všetkého do vzorca sa konečne dostaneme
odpoveď:

16. L'Hopitalovo pravidlo pre zverejňovanie neistôt tvaru 0/0 alebo ∞/∞. Príklady.
Hranica podielu dvoch nekonečne malých alebo dvoch nekonečne veľkých veličín sa rovná hranici pomeru ich derivácií.

1)

17. Zvyšujúca a klesajúca funkcia. Extrém funkcie. Algoritmus na štúdium funkcie pre monotónnosť a extrém. Príklady.

Funkcia zvyšuje na intervale, ak pre ľubovoľné dva body tohto intervalu spojené vzťahom , je nerovnosť pravdivá. teda vyššiu hodnotu argument zodpovedá väčšej hodnote funkcie a jej graf ide „zdola nahor“. Ukážková funkcia sa počas intervalu zvyšuje

Rovnako aj funkcia klesá na intervale, ak pre akékoľvek dva body daného intervalu tak, že , Nerovnosť je pravdivá. To znamená, že väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie a jej graf ide „zhora nadol“. Naša klesá v intervaloch klesá v intervaloch .

Extrémy Bod sa nazýva maximálny bod funkcie y=f(x), ak nerovnosť platí pre všetky x v jeho okolí. Zavolá sa hodnota funkcie v maximálnom bode maximum funkcie a označujú .
Bod sa nazýva minimálny bod funkcie y=f(x), ak nerovnosť platí pre všetky x v jeho okolí. Zavolá sa hodnota funkcie v minimálnom bode minimálna funkcia a označujú .
Okolie bodu sa chápe ako interval , kde je dostatočne malé kladné číslo.
Minimálne a maximálne body sa nazývajú extrémne body a funkčné hodnoty zodpovedajúce extrémnym bodom sa nazývajú extrémy funkcie.

Na preskúmanie funkcie k monotónnosti, použite nasledujúcu schému:
- Nájdite definičný obor funkcie;
- Nájdite deriváciu funkcie a definičný obor derivácie;
- Nájdite nuly derivácie, t.j. hodnota argumentu, pri ktorej sa derivácia rovná nule;
- Na číselnom riadku vyznačte spoločnú časť definičného oboru funkcie a definičný obor jej derivácie a na ňom - ​​nuly derivácie;
- Určite znamienka derivácie na každom z výsledných intervalov;
- Pomocou znamienok derivácie určte, v ktorých intervaloch funkcia rastie a v ktorých klesá;
- Napíšte príslušné intervaly oddelené bodkočiarkou.

Algoritmus na štúdium spojitej funkcie y = f(x) pre monotónnosť a extrémy:
1) Nájdite deriváciu f ′(x).
2) Nájdite stacionárne (f ′(x) = 0) a kritické (f ′(x) neexistuje) body funkcie y = f(x).
3) Označte stacionárne a kritické body na číselnej osi a určte znamienka derivácie na výsledných intervaloch.
4) Vyvodiť závery o monotónnosti funkcie a jej extrémnych bodoch.

18. Konvexnosť funkcie. Inflexné body. Algoritmus na štúdium funkcie pre konvexnosť (konkávnosť) Príklady.

konvexné nadol na intervale X, ak jeho graf nie je v žiadnom bode intervalu X umiestnený nižšie ako dotyčnica k nemu.

Funkcia, ktorá sa má diferencovať, sa volá konvexne nahor na intervale X, ak jeho graf nie je umiestnený vyššie ako dotyčnica k nemu v žiadnom bode intervalu X.

Bodový vzorec sa nazýva inflexný bod grafu funkcia y=f(x), ak v danom bode existuje dotyčnica ku grafu funkcie (môže byť rovnobežná s osou Oy) a existuje také okolie bodu vzorca, v rámci ktorého doľava a doprava bodu M má graf funkcie rôzne smery konvexnosti.

Hľadanie intervalov pre konvexnosť:

Ak funkcia y=f(x) má konečnú sekundovú deriváciu na intervale X a ak nerovnosť platí (), potom má graf funkcie v X konvexnosť smerujúcu nadol (nahor).
Táto veta vám umožňuje nájsť intervaly konkávnosti a konvexnosti funkcie, stačí vyriešiť nerovnice, resp. na definičnom obore pôvodnej funkcie.

Príklad: Zistite intervaly, na ktorých je graf funkcie Zistite intervaly, na ktorých je graf funkcie má konvexnosť smerujúcu nahor a konvexnosť smerujúcu nadol. má konvexnosť smerujúcu nahor a konvexnosť smerujúcu nadol.
Riešenie: Definičnou doménou tejto funkcie je celá množina reálne čísla.
Poďme nájsť druhú deriváciu.

Definičný obor druhej derivácie sa zhoduje s oborom definície pôvodnej funkcie, preto na zistenie intervalov konkávnosti a konvexnosti stačí riešiť a podľa toho. Preto je funkcia konvexná smerom nadol na intervalovom vzorci a konvexná smerom nahor na intervalovom vzorci.

19) Asymptoty funkcie. Príklady.

Priamka je tzv vertikálna asymptota graf funkcie, ak sa aspoň jedna z limitných hodnôt rovná alebo .

Komentujte. Priamka nemôže byť zvislou asymptotou, ak je funkcia v bode spojitá. Preto by sa mali hľadať vertikálne asymptoty v bodoch diskontinuity funkcie.

Priamka je tzv horizontálna asymptota graf funkcie, ak sa aspoň jedna z limitných hodnôt alebo rovná .

Komentujte. Graf funkcie môže mať len pravú horizontálnu asymptotu alebo len ľavú.

Priamka je tzv šikmá asymptota funkčný graf ak

PRÍKLAD:

Cvičenie. Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie. Rozsah funkcie:

a) vertikálne asymptoty: priamka - vertikálna asymptota, od r

b) horizontálne asymptoty: limitu funkcie nájdeme v nekonečne:

to znamená, že neexistujú žiadne horizontálne asymptoty.

c) šikmé asymptoty:

Šikmá asymptota je teda: .

Odpoveď. Vertikálna asymptota je rovná.

Šikmá asymptota je rovná.

20) Všeobecná schéma skúmanie funkcie a vykresľovanie grafu. Príklad.

a.
Nájdite body ODZ a nespojitosti funkcie.

b. Nájdite priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami.

2. Vykonajte štúdiu funkcie pomocou prvej derivácie, to znamená nájdite extrémne body funkcie a intervaly nárastu a poklesu.

3. Preskúmajte funkciu pomocou derivácie druhého rádu, to znamená nájdite inflexné body grafu funkcie a intervaly jej konvexnosti a konkávnosti.

4. Nájdite asymptoty grafu funkcie: a) zvislý, b) šikmý.

5. Na základe výskumu zostrojte graf funkcie.

Všimnite si, že pred vytvorením grafu je užitočné zistiť, či túto funkciu párne alebo nepárne.

Pripomeňme, že funkcia sa volá, aj keď zmena znamienka argumentu nezmení hodnotu funkcie: f(-x) = f(x) a funkcia sa nazýva nepárna, ak f(-x) = -f(x).

V tomto prípade stačí funkciu preskúmať a nakresliť jej graf na kladné hodnoty argumenty patriace ODZ. Pre záporné hodnoty argumentu sa graf doplní na základe toho, že pre dokonca funkciu je symetrická okolo osi Oj, a pre nepárne vzhľadom na pôvod.

Príklady. Preskúmajte funkcie a vytvorte ich grafy.

Funkčná doména D(y)= (–∞; +∞). Neexistujú žiadne zlomové body.

Priesečník s osou Vôl: X = 0,y= 0.

Funkcia je nepárna, preto ju možno študovať iba na intervale )