Preskúmajte špecifikované funkcie diferenciálnych metód online. Všeobecná funkcia systému výskumu a stavebná grafika

Skúmame funkciu (y \u003d frac (x ^ 3) (1-x)) a vybudovať jeho plán.

1. Rozloha definície.
Oblasť určovania racionálnej funkcie (frakcie) bude: Dennominátor nie je nula, t.j. (1 -X NE 0 \u003d\u003e x 1 \\). Rozloha definície $$ d_f \u003d (- infry; 1) šálka (1; + infry) $$

2. Point Break Body a ich klasifikácia.
Funkcia má jeden bod medzery x \u003d 1
skúmame bod X \u003d 1. Nájdeme limit funkcie vpravo a doľava od bodu medzery, správne $ lim_ (x 1 + 0) (1 frac (x ^ 3) (1) -X)) \u003d - - - ourty $$ a doľava od $$ lim__ bodu (x až 1-0) (frac (x ^ 3) (1-x)) \u003d + infry $$ Bod porušovania druhého druhu. Jednostranné limity sú rovnaké (infry).

Straight (X \u003d 1) je vertikálny asymptot.

3. Parita funkcie.
Kontrola parity (F (-x) \u003d frac ((x) ^ 3) (1 + x)) Funkcia nie je ani nepárne.

4. Nulové funkcie (priesečníky s osou oxom). Intervaly funkcie symbolu.
Zeros funkcií (bod priesečníka s osou oxom): Uistite sa (y \u003d 0), dostaneme (frac (x ^ 3) (1-x) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 \\). Krivka má jeden priesečník s osou oxom s súradnicami ((0; 0)).

Intervaly funkčného rozsahu.
V intervaloch posudzovaných ((- infryse; 1) šálka (1; + infry)) Krivka má jeden priesečník bod s Ox osi, preto budeme zvážiť v troch intervaloch oblasti definície.

Určite znak funkcie v intervaloch oblasti definície:
interval ((- infry; 0)) nájsť funkciu v ľubovoľnom bode (F (-4) \u003d frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
interval ((0; 1)) Vyhľadajte hodnotu funkcie v ktoromkoľvek bode (F (0,5) \u003d frac (x ^ 3) (1-x)\u003e 0), v tomto intervale je funkcia kladná ( F (x)\u003e 0), t.j. Je nad osou ox.
interval ((1; + infry)) Nájdite funkciu v ľubovoľnom bode (F (4) \u003d frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Bod priesečníka s osou OY: RAGE (X \u003d 0), získavame (f (0) \u003d frac (x ^ 3) (1-x) \u003d 0). Súradnice priesečníka s osou OY (0; 0))

6. Intervaly monotonicity. Extrémna funkcia.
Nájdeme kritické (stacionárne) body, na to nájdeme prvý derivát a zodpovedá ho na nulu $$ y "\u003d (frac (x ^ 3) (1-x))" \u003d frac (3x ^ 2 ( 1-x) + x ^ 3) ((1-x) ^ 2) \u003d frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-X) ^ 2) $$ REVATE na 0 $$ \\ Frac ( x ^ 2 (3 -2x)) ((1-x) ^ 2) \u003d 0 \u003d\u003e x_1 \u003d 0 quad x_2 \u003d frac (3) (2) $$ nájsť hodnotu funkcie v tomto bode ( F (0) \u003d 0) a (f (frac (3) (2)) \u003d -6,75 \\ t). Dve kritické body so súradnicami ((0; 0)) a ((1,5; -6,75)) \\ t

Intervaly monotonicity.
Funkcia má dve kritické body (body možného extrému), takže môžeme zvážiť monotónnosť v štyroch intervaloch:
interval ((- infry; 0)) Zistíme hodnotu prvého derivátu v ktoromkoľvek bode intervalu (F (-4) \u003d frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1) -X) ^ 2)\u003e
interval ((0; 1)) Hodnota prvého derivátu nájdeme v ktoromkoľvek bode intervalu (F (0,5) \u003d frac (X ^ 2 (3-2x)) ((1-X) ^ 2)\u003e 0) V tomto intervale sa funkcia zvyšuje.
interval ((1; 1.5)) Hodnota prvého derivátu nájdeme v ktoromkoľvek bode intervalu (F (1.2) \u003d frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-X) ^ 2)\u003e 0) V tomto intervale sa funkcia zvyšuje.
interval ((1.5; + infry)) nájsť hodnotu prvého derivátu v ktoromkoľvek bode intervalu (F (4) \u003d frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-X) ^ 2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Extrémna funkcia.

V štúdii funkcie sa v intervale získali dve kritické (stacionárne) body. Definujeme, či sú extrémy. Zvážte zmenu znamenia derivátu počas prechodu prostredníctvom kritických bodov:

point (X \u003d 0) Derivátové zmeny označenie C (QUAD + quad 0 quad + quad) - bod extrému nie je.
point (X \u003d 1.5) Derivátové zmeny Zmeny znamenia C (QUAD + QUAD 0 quad - quad) - bod je maximálny bod.

7. Konverzné a konvieratné intervaly. Body inflexie.

Ak chcete nájsť intervaly konvexnosti a konkávnosti, nájdeme druhú derivátovú funkciu a zodpovedá ho na nulu $$ Y "" \u003d (frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2)) " \u003d Frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3) $$ REQUETE na nulu $$ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x ) ^ 3) \u003d 0 \u003d\u003e 2x (x ^ 2-3x + 3) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 $ Funkcia má jeden kritický bod druhého druhu so súradnicami ((0; 0)).
Definujeme vydutie v intervale oblasti definície, pričom zohľadní kritický bod druhého druhu (bod možnej inflexie).

interval ((- infry; 0)) Hodnota druhého derivátu nájdeme v ktoromkoľvek bode (F "" (- 4) \u003d frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((( 1-x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
interval ((0; 1)) Nájdeme hodnotu druhého derivátu v ktoromkoľvek bode (F "" (0,5) \u003d frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x ) ^ 3)\u003e 0) V tomto intervale je druhá derivátová funkcia kladná (F "" (x)\u003e 0) Funkcia je konvexná (konvexná).
interval ((1; infry)) Zistíme hodnotu druhého derivátu v ktoromkoľvek bode (F "" (4) \u003d frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-) x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Body inflexie.

Zvážte zmenu označenia druhého derivátu pri pohybe kritickým bodom druhého druhu:
V bode (x \u003d 0), druhé derivátové zmeny zmení znak C (QUAD - quad 0 quad + quad), graf funkcie zmení vydutie, t.j. Toto je bod inflexie s súradnicami ((0; 0)).

8. Asymptotes.

Vertikálna asimptota. Funkčný graf má jeden vertikálny asymptot. \\ (X \u003d 1) (pozri článok 2).
Šikmá asymptotika.
Aby bol graf funkcie (y \u003d frac (x ^ 3) (1-x)) s (X ", mal naklonený asympottee (y \u003d kx + b, Je to potrebné, aby boli dva obmedzenia $$ lim_ (x + do + infry) \u003d frac (f (x)) (x) \u003d k $$ Nájdeme to $$ lim_ (X na infry ) (Frac (x ^ 3) (x (1-x))) \u003d infry \u003d\u003e k \u003d infry $$ a druhý limit $$ Lim_ (X \\ t + infry) (F (X) - KX) \u003d B $ $, pretože (K \u003d infry) - žiadne šikmé asymptoty.

Horizontálne asymptotiky: Aby bola horizontálna asymptotta existovala, je potrebné, aby existovala $$ lim___ (x) f (x) \u003d b $$ (x) (x) f (x) \u003d b $$ (X na + infry) (frac (x ^ 3) (1-x)) \u003d - infry $$$$ lim_ (x - infry) (frac (x ^ 3) (1) -x) \u003d - - - \\ t
Žiadne horizontálne asymptoty.

9. Funkčný graf.

Referenčné body v štúdii funkcií a výstavba ich grafov sú charakteristické body - medzera, extrémne, inflexie, križovatka s osami súradníc. S pomocou diferenciálneho počtu, môžete nastaviť charakteristické vlastnosti zmien v funkciách: Zvýšenie a zníženie, maxima a minimá, smer vydutia a konkávnej grafiky, prítomnosť asymptot.

Náčrt grafiky funkcie (a potrebná), ktorý sa má hodiť po zistení asymptotov a extrémnych bodov a konsolidovaná tabuľka výskumu funkcie je vhodná na vyplnenie priebehu štúdie.

Zvyčajne používajú nasledujúce funkcie funkcie funkcie.

1. Nájdite oblasť definície, intervaly kontinuity a body prerušenia funkcií.

2. Preskúmajte funkciu čítania alebo podivnosti (axiálna alebo centrálna symetria grafu.

3. Nájsť asymptoty (vertikálne, horizontálne alebo naklonené).

4. Nájsť a preskúmať medzery rastúcej a zostupnej funkcie, body jeho extrému.

5. Nájdite intervaly konvexity a konkávnej krivky, body jeho inflexie.

6. Ak existujú, nájdite priesečníkové body krivky s súradnicovými osami.

7. Kompilovať konsolidovaný študijný stôl.

8. Zostavte si harmonogram, pričom sa zohľadní štúdium funkcie vykonanej podľa vyššie uvedených položiek.

Príklad. Preskúmajte funkciu

a budovať jej plán.

7. Uskutočníme súhrnnú tabuľku výskumu funkcie, kde urobíme všetky charakteristické body a intervaly medzi nimi. Vzhľadom na pripravenosť funkcie získame nasledujúcu tabuľku:

				Funkcie znakov
[-1, 0[			Zväčšiť	Konvexný
				(0; 1) - maximálny bod
]0, 1[			Pokles	Konvexný
				Bod infračkových foriem s osou VÔL.tupý uhol

Ako skúmať funkciu a budovať jeho plán?

Zdá sa, že začnem pochopiť Spiritualizovanú tvár lídra svetového proletariat, autor kolekcie spisov v 55 zväzkoch .... ZOZNAMY ZAHRANIČNÉ INFORMÁCIU funkcie a grafyA teraz, práca na časovo náročnej téme končí prirodzeným výsledkom - článok o úplnom štúdiu funkcie. Dlhodobá úloha je formulovaná takto:

Preskúmajte funkciu diferenciálnych metód kalkulusu a na základe výsledkov štúdie vybudovať jeho plán

Alebo kratšie: Preskúmajte funkciu a vytvorte graf.

Prečo preskúmať? V jednoduchých prípadoch nebudeme zistí, že je ťažké pochopiť základné funkcie, čerpať plán získaný základné geometrické transformácie atď. Avšak, vlastnosti a grafické obrazy zložitejších funkcií sú ďaleko od zrejmé, čo je dôvod, prečo je celá štúdia potrebná.

Hlavné stupne roztoku sa znižujú v referenčnom materiáli. Funkčná výskumná schémaToto je váš sprievodca v sekcii. Teaeapotes vyžadujú krok za krokom vysvetlenie témy, niektorí čitatelia nevedia, kde začať a ako organizovať štúdiu a pokročilých študentov môžu mať záujem len na niektorých momentoch. Ale ktokoľvek môžete, drahý návštevník, navrhovaný abstrakt s ukazovateľmi na rôzne lekcie v najkratšom termíne zameraných a bude vás nasmerovať v smere záujmu. Roboty Chlaperered \u003d) Sprievodca riadok vo forme súboru PDF a urobili si zaslúžené miesto na stránke Matematické vzorce a tabuľky.

Štúdium funkcie som použil na rozchod 5-6 bodov:

6) Ďalšie body a harmonogram založený na výsledkoch štúdie.

Na úkor záverečnej akcie si myslím, že všetko je pre každého jasné - bude to veľmi sklamanie, ak sa v priebehu niekoľkých sekúnd prekročí a vráti sa k zdokonaleniu. Správny a presný výkres je hlavným výsledkom riešenia! Je výrazne pravdepodobné, že "viazanie" analytické odreniny, zatiaľ čo nesprávny a / alebo nedbanlivý graf dodá problémy aj s ideálne vykonaným štúdiom.

Treba poznamenať, že v iných zdrojoch sa počet výskumných položiek, postup pre ich implementáciu a štýl registrácie sa môže výrazne líšiť od systému, ktorú ma navrhuje, ale vo väčšine prípadov je dosť dosť. Najjednoduchšia verzia úlohy sa skladá len z 2-3 etáp a je formulovaná takto: "Preskúmajte funkciu pomocou derivátu a vybudovať graf" alebo "Preskúmajte funkciu pomocou prvého a druhého derivátu, vytvorte graf."

Prirodzene - ak je vaša metóda podrobne rozobratá iným algoritmom alebo váš učiteľ prísne požaduje dodržiavať svoje prednášky, bude musieť vykonať určité úpravy riešenia. Nie je ťažšie ako nahradenie vidlice paušálnou lyžičkou.

Skontrolujte funkciu na pripravenosť / podivnosť:

Potom sa nasleduje nahrávanie šablóny:
Preto táto funkcia nie je ani ani nepárna.

Keďže funkcia je nepretržitá, neexistujú žiadne vertikálne asymptoty.

Žiadny šikmý asymptot.

Poznámka : Pripomínam vám, že je vyššia rastúca objednávkaako, takže konečný limit sa rovná " plus Nekonečno. "

Zistite, ako sa funkcia správa na nekonečno:

Inými slovami, ak pôjdeme doprava, potom plán ide nekonečne ďaleko, ak je vľavo nekonečne nadol. Áno, tu sú tiež dve limity v rámci jedného záznamu. Ak máte akékoľvek ťažkosti s dekódovaním značiek, navštívte lekciu o nekonečne malé funkcie.

Funkcia nie sú obmedzené na vyššie uvedené a nIEKTORÉ NIEKTORÉ. Vzhľadom na to, že nemáme žiadne prerušenia, stáva sa jasné a plocha funkčných hodnôt: - aj akékoľvek platné číslo.

Užitočná technická technika

Každé nastavenie úlohy prináša nové informácie o grafePreto je v priebehu riešenia vhodné použiť druh usporiadania. Budem zobrazovať súradnicový systém na Cartovku Cartov. Čo je už známe? Po prvé, plán nemá asymptot, preto nie je potrebná priama nevýhoda. Po druhé, vieme, ako sa funkcia správa v nekonečno. Podľa analýzy nakreslite prvú aproximáciu:

Všimnite si, že na základe cnosti kontinuita Funkcie a skutočnosť, že plán by mal aspoň raz prejsť osi. Alebo možno existuje niekoľko priesečníckych bodov?

3) Zeros a intervaly zarovnania.

Najprv nájdeme bod priesečníka grafu s osou ordinácie. Je to jednoduché. Je potrebné vypočítať hodnotu funkcie, keď:

Jednu a polovicu nad morom.

Ak chcete nájsť priesečnícke body s osou (nulami funkcie), je potrebné vyriešiť rovnicu, a tu budeme mať nepríjemné prekvapenie:

Na konci bol pripojený voľný člen, čo značne komplikuje úlohu.

Takáto rovnica má aspoň jeden platný koreň a najčastejšie je tento koreň iracionálny. V horšom rozprávke budeme mať tri ošípané. Rovnica je solvidable s použitím tzv. kardano vzorceAle poškodenie papiera je porovnateľné takmer so všetkou štúdiou. V tomto ohľade je zrozumiteľnejší buď na návrhu, aby sa pokúsil vybrať aspoň jeden celok koreň. Skontrolujte, nie sú čísla:
- nevhodný;
- Tam je!

Je to šťastie. V prípade zlyhania je tiež možné testovať, a ak tieto čísla neprišli, potom existuje veľmi málo šancí na ziskové riešenie rovnice. Potom je študijná položka lepšie úplne preskočiť - možno sa stane niečo jasnejšie v poslednom kroku, keď budú vykonať ďalšie body. A ak je to isté koreň (korene) jasne "zlé", potom sú intervaly zarovnania lepšie vo všeobecnosti skromne silex áno, je viac pokyn, aby splnil výkres.

Máme však krásny koreň, takže rozdeľujeme polynóm Žiadne zvyšky:

Algoritmus na rozdelenie polynómu k polynómu podrobne je detail v prvom príklade lekcie Ťažké limity.

V dôsledku toho ľavá časť zdrojovej rovnice zložené do práce:

A teraz trochu o zdravom životnom štýle. Samozrejme, že to pochopím kvadratické rovnice Musíte sa každý deň rozhodnúť, ale dnes urobíme výnimku: Rovnica Má dva platné koreň.

Na numerickej priamom odložení nájdených hodnôt a intervalová metóda Určite funkcie funkcie:


Teda v intervaloch Plán sa nachádza
pod osou ABSCISSA av intervaloch - nad touto osou.

Výsledné závery vám umožňujú podrobne popisovať naše usporiadanie a druhá aproximácia grafu je nasledovná:

Upozorňujeme, že funkcia musí mať nevyhnutne aspoň jednu maximum a v intervale - aspoň jedno minimum. Ale koľkokrát, kde a kedy bude "skryť" harmonogram, ešte nevieme. Mimochodom, funkcia môže mať nekonečne veľa extrémy.

4) Vzostupne, Zníženie a extrémna funkcia.

Nájdite kritické body:

Táto rovnica má dva platné koreň. Budem ich odložiť na numerické priame a definovať znaky derivátu:


V dôsledku toho sa funkcia zvyšuje a klesá.
V bode, funkcia dosiahne maximum: .
V bode, funkcia dosiahne minimum: .

Nainštalované fakty Libujte našu šablónu v pomerne tvrdom ráme:

Čo povedať, diferenciálny kalkul - mocná vec. Nakoniec sa zaoberáme tvarom harmonogramu:

5) vydutie, konzumácia a bod inflexie.

Nájdeme kritické body druhého derivátu:

Určite označenia:


Funkčný graf je konvexný a konkávny. Vypočítajte ordináciu bodu inflexie :. \\ T

Takmer všetko sa ukázalo.

6) Zostáva nájsť ďalšie body, ktoré pomôžu presnejšie postaviť harmonogram a vykonávať seba-test. V tomto prípade nestačia, ale nezanedám:

Vykonajte výkres:

Zelená farba je označená bodom inflexie, krížov - ďalšie body. Graf kubickej funkcie je symetrický okolo jeho inflexného bodu, ktorý je vždy striktne umiestnený v strede medzi maximálnym a minimálnym.

V priebehu vykonávania úlohy som priniesol tri hypotetické medziprodukty. V praxi to stačí nakresliť súradnicový systém, označte zistené body a po každej položke štúdie psychicky odhadnúť, ako môže vyzerať funkčný graf. Študenti s dobrou úrovňou odbornej prípravy nebudú ťažké vykonávať takúto analýzu výlučne v mysli bez prilákania návrhu.

Pre vlastné riešenia:

Príklad 2.

Preskúmajte funkciu a vybudujte plán.

Existuje rýchlejšia a zábavná, príkladná vzorka dokončovacieho dizajnu na konci hodiny.

Veľa tajomstiev odhaľuje štúdium frakčných racionálnych funkcií:

Príklad 3.

Metódy diferenciálnej kalkuly preskúmať funkciu a na základe výsledkov štúdie na vybudovanie jeho harmonogramu.

Rozhodnutie: Prvá etapa štúdia sa nelíši s niečím pozoruhodným, s výnimkou diery v oblasti definície:

1) Funkcia je definovaná a kontinuálna na celej číselnej priamej s výnimkou bodu, doména: .

To znamená, že táto funkcia nie je ani ani nepárna.

Je zrejmé, že funkcia je neperiodická.

Graf funkcie je dva kontinuálne vetvy umiestnené v ľavej a pravej polovici roviny - to je snáď najdôležitejším záverom 1. bodu.

2) Asymptotes, správanie funkcie v nekonečno.

a) S pomocou jednosmerných limitov skúmame správanie funkcie v blízkosti podozrivého bodu, kde je jasne vertikálna asymptota:

Funkcie tolerujú nekonečná prestávka V bode,
a rovno (os) je vertikálna asimptota Grafika.

b) Skontrolujte, či existujú šikmé asymptoty:

Áno, Direct je Šikmý asymptoto Grafika, ak.

Limity na analýzu nemá zmysel, pretože je tak jasné, že funkcia v recepcii s jeho naklonenou asymptotou nie sú obmedzené na vyššie uvedené a nIEKTORÉ NIEKTORÉ.

Druhý výskumný bod priniesol mnoho dôležitých informácií o funkcii. Vykonajte náčrt náčrtu:

Závery číslo 1 sa týka intervalov zarovnania. Na "mínus nekonečno" je graf funkcie jednoznačne umiestnený pod osou ABSCISSA, a na "plus nekonečno" - nad touto osou. Okrem toho, jednostranné limity uviedli, ako vľavo a vpravo na funkciu, tiež viac nula. Upozorňujeme, že v ľavej polovici roviny je harmonogram aspoň raz povinný prekročiť os osi. V pravej polovici rovinného nuly nemusia byť funkcie.

Výstupné číslo 2 je, že funkcia sa zvyšuje a doľava (je "zdola nahor"). Na pravej strane tohto bodu - funkcia klesá (existuje "zhora nadol"). Správna vetva grafu určite by mala byť aspoň jedno minimum. Ľavé extrémy nie sú zaručené.

Záver číslo 3 poskytuje spoľahlivé informácie o konkávnosti grafu v susedstve bodu. Nemôžeme povedať nič o vydutí / konkávnosti na nekonečno, pretože linka je možné stlačiť na ich asymptoty zhora a nižšie. Všeobecne povedané, existuje analytický spôsob, ako to, aby ste to práve teraz vymysleli, ale tvar darov "pre nič" sa stane jasnejšími v neskorších štádiách.

Prečo toľko slov? Monitorovať následné výskumné miesta a zabrániť chybám! Ďalšie výpočty by nemali byť v rozpore so závermi.

3) Body priesečníka grafu s súradnicovými osami, intervaly funkcie symbolu.

Graf funkcie neprechádza os.

Intervalová metóda určuje označenia:

, Ak ;
, Ak .

Výsledky bodu úplne zodpovedajú záveru číslo 1. Po každej fáze sa pozrite na návrh, mentálne označte štúdiu a nakreslite funkčný plán.

V posudzovanom príklade je nuterátor rozdelený na denominátor, ktorý je veľmi prospešný pre diferenciáciu:

Vlastne sa už uskutočnilo, keď sa nachádzajú asymptoty.

- kritický bod.

Určite označenia:

zvyšuje a zníženie

V bode, funkcia dosiahne minimum: .

Diskusie s záverom číslo 2 tiež zistili, a s najväčšou pravdepodobnosťou sme na správnej ceste.

Funkčný graf je teda konkávny v celej oblasti definície.

Vynikajúce - a nič nekreslí.

Neexistujú žiadne inflexné body.

Konferencia je v súlade s záverovým číslom 3, navyše naznačuje, že v nekonečnom (a tam) sa nachádza graf funkcie vyššie jeho šikmé asymptoty.

6) V svedomito ružovej úlohe s ďalšími bodmi. Tu bude pekné pracovať tvrdo, pretože štúdia sme známe len dva body.

A obraz, ktorý, pravdepodobne, mnohí už dlho predstavili:

Počas úlohy musíte starostlivo zabezpečiť, aby neexistovali žiadne rozpory medzi fázami štúdie, ale niekedy je situácia núdzová situácia alebo dokonca zúfalý-dead-end. Tu "nie konvergovať" analytik - a to je všetko. V tomto prípade odporúčam pohotovostný príjem: nájdeme toľko bodov, ktoré patria do grafiky (koľko trpezlivosti stačí), a všimli sme ich na súradnicovom lietadle. Grafická analýza zistených hodnôt vo väčšine prípadov vám povie, kde pravda a kde je lož. Okrem toho, harmonogram môže byť predtým postavený pomocou akéhokoľvek programu, napríklad v tom istom exile (zrozumiteľné, pre to potrebujete zručnosti).

Príklad 4.

Diferenciálne metódy počítača preskúmajú funkciu a budujú svoj plán.

Toto je príklad pre nezávislé riešenie. V ňom je samonosná kontrola zvýšená funkciou - graf je symetrický o osi, a ak je niečo, čo je v rozpore s týmto faktom vo vašej štúdii, pozrite sa na chybu.

Môžete tiež preskúmať jasnú alebo podivnú funkciu, keď a potom použite symetriu grafu. Takéto riešenie je optimálne, ale vyzerá to, že podľa môjho názoru je veľmi nezvyčajné. Osobne považujem celú číselnú os, ale nájdem ďalšie body ešte vpravo:

Príklad 5.

Vykonať kompletnú štúdiu funkcie a vybudovať jeho plán.

Rozhodnutie: HARD HARD:

1) Funkcia je definovaná a kontinuálna na celej číselnej čiare :.

To znamená, že táto funkcia je nepárna, jeho graf je symetrický vzhľadom na začiatok súradníc.

Je zrejmé, že funkcia je neperiodická.

2) Asymptotes, správanie funkcie v nekonečno.

Vzhľadom k tomu, funkcia je nepretržitá, potom sú vertikálne asymptoty neprítomné

Pre funkciu obsahujúcu vystavovateľ oddelený Štúdia "plus" a "mínus nekonečno", ale naše životy uľahčuje symetriu harmonogramu - buď doľava a na pravej strane je asymptota, alebo to nie je. Preto môžu byť nekonečné limity vydané v rámci jedného záznamu. Počas riešenia, ktoré používame lopital pravidlo:

DIRECT (AXIS) je horizontálna asymptota grafu.

Upozorňujeme, ako som zasiahol kompletný algoritmus hľadania naklonených asymptotov: Limit je úplne ľahko a objasňuje správanie funkcie v nekonečno a horizontálna asymptota našla "ako keby súčasne."

Z kontinuity a existencie horizontálnych asymptotov nadväzuje na skutočnosť, že funkcia obmedzené zhora a obmedzené združené.

3) Priesecové body grafu s súradnicovými osami, intervalmi vyrovnania.

Aj tu znížte rozhodnutie:
Rozvrh prechádza pôvodom súradníc.

Neexistujú žiadne iné body križovatky s súradnicovými osami. Okrem toho sú intervaly alpopurizmu zrejmé, a os nie je možné čerpať:, čo znamená, že funkcia funkcie závisí len na "ICA":
, Ak ;
, Ak .

4) Zvýšenie, zníženie, extrémne funkcie.


- kritické body.

Body sú symetrické vzhľadom na nulu, ako by mala byť.

Určite príznaky derivátu:


Funkcia sa zvyšuje v intervale a znižuje sa v intervaloch

V bode, funkcia dosiahne maximum: .

Na základe majetku (Náhradné funkcie) Minimálne nie je možné vypočítať:

Keďže funkcia sa znižuje v intervale, je zrejmé, že "mínus nekonečno" sa nachádza plán pod S jeho asymptotou. V intervale sa táto funkcia tiež znižuje, ale tu všetko je naopak - po prepnutí maximálneho bodu sa línia približuje k osi už na vrchole.

Z vyššie uvedeného vyplýva, že funkčný plán je konvexný na "mínus nekonečno" a konkávne na "plus nekonečno".

Po tomto mieste štúdia bola tiež nakreslená oblasť hodnôt funkcie:

Ak nemáte nedorozumenie akýchkoľvek okamihov, opäť nutkanie nakresliť súradnicové osi v notebooku a ceruzkou v rukách, aby znovu analyzovať každý záver.

5) Konverzia, konzumácia, inffekcia grafiky.

- kritické body.

Body symetrie sú zachované a s najväčšou pravdepodobnosťou nie sme mylne.

Určite označenia:


Funkčný graf je konvexný A konkávne .

Potvrdili sa vydutie / konzumácia v extrémnych intervaloch.

Vo všetkých kritických bodoch sú geografické body ohýbanie. Nájdeme ordináty božských bodov, zatiaľ čo opäť zníži počet výpočtov pomocou podivnosti funkcie:

Vykonávať plnú štúdiu a vybudovať graf funkcie

y (x) \u003d x2 + 81-X.Y (x) \u003d x2 + 81-X.

1) Oblasť definície funkcií. Keďže funkcia je zlomok, musíte nájsť nuly denominátora.

1-x \u003d 0, ⇒x \u003d 1,1-X \u003d 0, ⇒X \u003d 1.

Vylučujeme jediný bod x \u003d 1x \u003d 1 z funkcie určovania funkcie a získajte:

D (Y) \u003d (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞) .d (Y) \u003d (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞).

2) Preskúmame správanie funkcie v susedstve bodu medzery. Nájdeme jednosmerné limity:

Vzhľadom k tomu, limity sú rovné nekonečno, bod x \u003d 1x \u003d 1 je medzera druhého druhu, priamka x \u003d 1x \u003d 1 je vertikálna asymptota.

3) Definujeme priesečníky funkcie s súradnicovými osami.

Nájdite priesečníkové body s osou ORYOY OYOY, pre ktoré sa rovná X \u003d 0x \u003d 0:

Teda priesečník s osou OYOY má súradnice (0; 8) (0; 8).

Nájdite priesečníky s osou Oxox Abscissa, pre ktorú sme dali y \u003d 0y \u003d 0:

Rovnica nemá korene, takže neexistujú žiadne križovatky s osou oxoxov.

Všimnite si, že X2 + 8\u003e 0x2 + 8\u003e 0 pre každý XX. Preto, s X∈ (-∞; 1) X∈ (-∞; 1), funkcia Y\u003e 0y\u003e 0 (berie pozitívne hodnoty, graf je nad osou osi), s X∈ (1; + ∞) x∈ (1; + ∞) funkcia y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcia nie je ani nepárne, pretože:

5) Preskúmame funkciu na frekvencii. Funkcia nie je periodická, pretože je to frakčná racionálna funkcia.

6) Skúmame funkciu na extrémy a monotónnosť. Na to nájdite prvú funkciu derivátu:

Vyrovnávame prvý derivát na nulu a nájsť stacionárne body (v ktorom y '\u003d 0y' \u003d 0):

Tri kritické body získané: X \u003d -2, X \u003d 1, X \u003d 4x \u003d -2, X \u003d 1, X \u003d 4. Celú oblasť definovania funkcie rozdeľujeme do intervalov podľa týchto bodov a určiť príznaky derivátu v každom intervale:

S X∈ (-∞; -2), (4; + ∞) X∈ (-∞; -2), (4; + ∞) derivát Y '<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

S X∈ (-2; 1), (1; 4) X∈ (-2; 1), (1; 4), derivát Y '\u003e 0Y'\u003e 0, funkcia sa zvyšuje v týchto intervaloch.

Súčasne X \u003d -2x \u003d -2 - bod lokálneho minimum (funkcia sa znižuje a potom sa zvyšuje), X \u003d 4x \u003d 4 je bod lokálneho maxima (funkcia sa zvyšuje a potom sa znižuje).

Nájdite hodnoty funkcie v týchto bodoch:

Minimálny bod (-2; 4) (- 2; 4), maximálny bod (4; -8) (4; -8).

7) Preskúmame funkciu na inflexie a vydutie. Druhá derivátová funkcia nájdeme:

Vyrovnávame druhý derivát na nulu:

Výsledná rovnica nemá korene, takže neexistujú blistrové body. Zároveň, keď X∈ (-∞; 1) X∈ (-∞; 1) sa vykonáva Y ''\u003e 0y "\u003e 0, to znamená, že funkcia konkávne, keď x∈ (1; + ∞) x∈ (1; + ∞) Spustenie Y ''<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Skúmame správanie funkcie na nekonečno, to znamená.

Keďže limity sú nekonečné, žiadne horizontálne asymptoty.

Pokúsme sa určiť šikmé asymptoty formulára Y \u003d KX + BY \u003d KX + B. Vypočítajte hodnoty K, BK, B podľa známych vzorcov:

Prijaté, že funkcie majú jednu šikmú asymptotea y \u003d -X-1Y \u003d -X-1.

9) Ďalšie body. Vypočítajte hodnotu funkcie v niektorých iných bodoch, aby ste presnejšie postaviť graf.

y (-5) \u003d 5,5; Y (2) \u003d - 12; Y (7) \u003d - 9,5,y (-5) \u003d 5,5; Y (2) \u003d - 12; Y (7) \u003d - 9,5.

10) Podľa získaných údajov, vytvárame graf, pridajte IT Asymptotes X \u003d 1x \u003d 1 (BLUE), Y \u003d -X-1Y \u003d -X-1 (zelená) a všimnite si charakteristické body (fialová križovatka s ordináciou osou, oranžové extrémy, čierne ďalšie body):

Úloha 4: geometrické, ekonomické ciele (nemám potuchy, čo existuje príklad výberu úloh s riešeniami a vzorcami)

Príklad 3.23. a.

Rozhodnutie. x. a y. y.
Y \u003d A - 2 × A / 4 \u003d A / 2. Keďže X \u003d A / 4 je jediným kritickým bodom, skontrolujte, či sa označenie mení počas prechodu cez tento bod. S Xa / 4 S "\u003e 0 a X\u003e A / 4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Príklad 3.24.

Rozhodnutie.
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

Príklad 3.22.Nájsť extrémistické funkcie f (x) \u003d 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Rozhodnutie.Pretože f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (X - 3), potom kritické body funkcie X1 \u003d 2 a X2 \u003d 3. Extrémy môžu byť len v týchto bodoch , Tak ako v prechode cez bod x 1 \u003d 2, derivát zmení znamenie plus na mínus, potom má funkcia maximum. Pri prepnutí bodu X 2 \u003d 3, derivát zmení mínus plus preto v bode x 2 \u003d 3 v funkcii aspoň. Vypočítajte hodnoty funkcií v bodoch
X 1 \u003d 2 a X 2 \u003d 3, nájdeme extrémy funkcie: maximálne F (2) \u003d 14 a aspoň f (3) \u003d 13.

Príklad 3.23.Je potrebné vybudovať obdĺžnikovú plošinu v blízkosti kamennej steny, takže je vyvŕtaný s drôteným pletivom z troch strán a priľahlých do steny. Pre toto je k dispozícii a. Spustenie mesh vzory. S akouto pomerom strán bude mať najvyšší priestor?

Rozhodnutie.Označujú stranu lokality x. a y.. Oblasť oblasti sa rovná S \u003d XY. Byť y. - Toto je dĺžka boku susediacej s stenou. Potom by sa mala vykonať rovnosť 2x + y \u003d A. Preto Y \u003d A - 2X a S \u003d X (A - 2X), kde
0 ≤ x ≤ A / 2 (dĺžka a šírka lokality nemožno negatívne). S "\u003d A - 4X, A - 4X \u003d 0 AT X \u003d A / 4, odkiaľ
Y \u003d A - 2 × A / 4 \u003d A / 2. Keďže X \u003d A / 4 je jediným kritickým bodom, skontrolujte, či sa označenie mení počas prechodu cez tento bod. S Xa / 4 S "\u003e 0 a X\u003e A / 4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Príklad 3.24.Je potrebné, aby sa uzavretá valcová nádrž s kapacitou V \u003d 16P ≈ 50 m 3. Aké by mali byť veľkosti nádrže (R polomer a výška H), takže najmenšie množstvo materiálu ide na jeho výrobu?

Rozhodnutie.Oblasť celého povrchu valca je S \u003d 2PR (R + H). Poznáme objem valec V \u003d PR 2H þ H \u003d V / PR 2 \u003d 16P / PR 2 \u003d 16 / R2. SO, S (R) \u003d 2P (R2 + 16 / R). Nájdite derivát tejto funkcie:
S "(R) \u003d 2P (2R- 16 / R2) \u003d 4P (R- 8 / R2). S" (R) \u003d 0 pri R3 \u003d 8,
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

Podobné informácie.

Pre úplnú štúdiu funkcie a vybudovať svoju grafiku, odporúča sa použiť nasledujúcu schému:

1) Nájdite oblasť definície terénu;

2) Nájdite body prerušenia funkcie a vertikálne asymptoty (ak existujú);

3) Ak chcete preskúmať správanie funkcie v nekonečno, nájsť horizontálne a naklonené asymptotes;

4) Preskúmanie funkcie na pripravenosť (podivnosť) a frekvenciu (pre trigonometrické funkcie);

5) Nájdite extrémy a monotónne intervaly funkcie;

6) určiť intervaly konvexnosti a bodov inflexie;

7) Ak je to možné, niektoré ďalšie body špecifikujú harmonogram, nájdite priesečníkové body so súradnicovými osami.

Štúdia funkcie sa vykonáva súčasne s výstavbou jeho harmonogramu.

Príklad 9. Preskúmajte funkciu a vybudujte plán.

1. Oblasť stanovenia :;

2. Funkcia toleruje body členenia
,
;

Skúmame funkciu na prítomnosť vertikálnych asymptotov.

;
,
─ Vertical Asymptota.

;
,
─ Vertical Asymptota.

3. Preskúmame funkciu na prítomnosť naklonených a horizontálnych asymptotov.

Priamy
─ naklonená asymptota, ak
,
.

,
.

Priamy
─ Horizontálna asymptota.

4. Funkcia je aj preto, že
. Pripravenosť funkcie označuje symetriu grafu v porovnaní s osou ordinácie.

5. Nájdite funkcie monotónnych intervalov a extrémnej funkcie.

Nájdite kritické body, t.j. bodov, v ktorých je derivát 0 alebo neexistuje: \\ t
;
. Máme tri body
;

. Tieto body rozdeľujú celú platnú os do štyroch medzier. Určite označenia na každom z nich.

V intervaloch (-∞; -1) a (-1; 0) sa funkcia zvyšuje v intervaloch (0; 1) a (1; + ∞) ─. Pri prechode
derivát zmení znak z plus do mínus, preto v tomto bode má funkcia maximum
.

6. Nájdeme intervaly vydutia, bod inflexie.

Nájdite body, v ktorých rovná 0, alebo neexistuje.

nemá platné korene.
,
,

Body
a
Prerušte skutočnú os pre tri intervaly. Určiť znamenie v každom intervale.

Tak, krivka v intervaloch
a
konvexné, na intervale (-1; 1) konvexné; Body inflexie nie, pretože funkcia v bodoch
a
nešpecifikované.

7. Nájdite priesečníky s osami.

S osou
graf funkcie sa pretína v bode (0; -1) a osou
rozvrh sa nepretiahne, pretože Numerátor tejto funkcie nemá žiadne platné korene.

Graf špecifikovanej funkcie je znázornený na obrázku 1.

Obrázok 1 ─ Funkčný plán

Používanie koncepcie derivátu v ekonomike. Elasticita funkcie

Pre štúdium ekonomických procesov a riešení iných aplikovaných úloh sa často používa koncepcia elasticity funkcie.

Definícia. Funkcia elasticity
nazývaný limit vzťahu relatívneho prírastkového funkcie relatívneho prírastku premennej pre
. (VII)

Elasticita funkcie ukazuje približne, koľko percent bude zmení funkciu
pri zmene nezávislej premennej o 1%.

Elasticita funkcie sa uplatňuje pri analýze dopytu a spotreby. Ak je elasticita dopytu (absolútna hodnota)
Potom sa dopyt považuje za elastický, ak
─ neutrálne, ak
─ Neelastické vzhľadom na cenu (alebo príjem).

Príklad 10. Vypočítajte elasticitu funkcie
a nájdite hodnotu indikátora elasticity = 3.

Riešenie: podľa vzorca (VII) elasticity funkcie:

Nech X \u003d 3, potom
, To znamená, že ak sa nezávislá premenná zvýši o 1%, hodnota závislej premennej sa zvýši o 1,42%.

Príklad 11. Nechajte požiadavku funkciu relatívna cena má vzhľad
kde ─ Trvalý koeficient. Nájdite hodnotu ukazovateľa elasticity funkcie dopytu za cenu X \u003d 3 Den. Jednotky.

Riešenie: Vypočítajte elasticitu funkcie dopytu podľa vzorca (VII)

Veril
den.ed
. To znamená, že za cenu
den.ru Zvyšovanie ceny 1% spôsobí zníženie dopytu o 6%, t.j. Dopyt je elastický.